Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 3: Lunes 25 - Jueves 28 de Marzo. Contenidos

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1 Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 3: Lunes 25 - Jueves 28 de Marzo Cálculo Contenidos Clase 1: Funciones: Dominio, recorrido, gráfico. Ejemplos. Clase 2: Igualdad de funciones. Álgebra de Funciones. Funciones par e impar, crecientes, decrecientes. 1 Clase Aprendizajes esperados Identifica dominio y recorrido de una función. Identifica conceptos de imagen, preimagen. Grafica funciones con elementos básicos. Grafica funciones mediante transformaciones de las funciones básicas. asociadas a tales conceptos. 1.2 Funciones Reales En muchas aplicaciones, con frecuencia eiste cierta correspondencia entre dos conjuntos de números. Por ejemplo, si un objeto es dejado caer desde una altura de 64 pies, la distancia s en pies que hay entre el y el suelo en un instante t en segundos después de haberlo soltado viene dada por s = 64 16t 2, Cuando t = 0 el objeto está a una distancia de 64 pies del suelo, cuando t = 1 segundo el objeto está a una altura de 48 pies y cuando t = 2 segundos el objeto llega al suelo. La fórmula s = 64 16t 2 nos proporciona una forma para determinar la distancia entre el objeto y el suelo para cada t, donde (0 t 2), eiste una correspondencia entre cada tiempo t en el intervalo [0, 2] y la distancia s. Decimos que la distancia s está en función de t ya que: 1. Eiste una correspondencia entre el conjunto de los tiempos y el de las distancias. 2. Eiste eactamenmte una distancia s para cada tiempo t con 0 t Definición Función Sean X e Y dos conjuntos no vacíos de números reales. Una función de X en Y es una regla o correspondencia que asocia a cada elemento de X un único elemento de Y. Al conjunto X lo llamaremos el dominio de la función y lo denotaremos mediante dom(f). Para cada elementio X el elemento correspondiente y Y será el valor de la función en, también llamado la imagen de bajo la función, si denominamos a la función mediante f, a la imagen de bajo f la representaremos mediante notación y = f(), al conjunto de todas las imágenes del dominio de f lo llamaremos rango o recorrido de la función y lo representaremos mediante rec(f), es decir, rec(f) = {f() Y / X} MAT021 Primer Semestre 2013 (Cálculo) 1

2 Observación 1.1. De acuerdo a lo anterior, puede que eistan elementos en Y que no están en el rango o recorrido de la función. Para un y Y, puede que eistan varios valores de en el dominio cuya imagen sea y, aquellos valores de son llamados las preimágenes de y bajo f. Para decir que f es una función de X en Y, que toma un X y lo lleva a un y = f() Y, se anotará. f : X Y y = f() Si en cierta función se nos entrega sólo la correspondecia y = f(), entenderemos que Y = R y que el dominio de la función es: al que usualmente se le llama dominio máimo. dom(f) = { R/f() R} Ejemplo 1.1. Considere la función definida mediante la fórmula f() = 2, el dominio máimo será aquel 1 conjunto de números reales para los cuales la epresión 2 R, luego, 1 dom(f) = R { 1, 1} = (, 1) ( 1, 1) (1, + ) El y = 0, tiene una única preimagen, a saber, = 0, cualquier otro real y 0, posee dos preimágenes, a saber y 2 2y y y 2 2y lo anterior nos muestra que rec(f) = R. Podría mostrar con este mismo ejemplo, que sucede con el recorrido y el número de preimágenes si usamos como dominio de la función sólo el conjunto ( 1, 1) Observación 1.2. Haga varios ejemplos donde haya que determinar, dominios, algunas imágenes y otros cálculos de preimágenes específicas para ciertos valores concretos de y Y, la idea es que el estudiante vea que esta determinación de preimágenes cae en la resolución de ecuaciones las que podrán tener variadas respuestas, como no tener solución, tener una única, otras con dos, inclusive ejemplos con infinitas soluciones. Determine algunos recorridos. 1.4 Gráficas de Funciones Llamaremos gráfica de una función f al subconjunto del plano cartesiano R R = R 2 definido mediante;: G(f) = {(, y) R 2 / y = f()} Observación 1.3. Muestre gráficas de las funciones básicas como por ejemplo: f() = c con c R, f() = m+b, donde m, b R, f() = 2, f() = 1, f() =, f() = [[]], y f() =. Haga un ejemplo de un gráfico de una función por tramo. 1.5 Técnicas para Graficar Tomando en cuenta que se tiene cierta variedad de gráficas básicas, generar nuevas gráficas mediante transformaciones que se le apliquen a estas, por ejemplo, conocida la gráfica de y = f(), representar en el plano las gráficas de: 1. Corrimientos verticales: y = f() + c, donde c R MAT021 Primer Semestre 2013 (Cálculo) 2

3 2. Corrimientos horizontales: y = f( c), donde c R 3. Compresiones y alargamientos: y = cf(), donde c R + 4. Refleiones con respecto a los ejes e y: y = f() e y = f( ) 5. Valor absoluto de la función: y = f() Observación 1.4. Muestre como quedan los dominios y recorridos de las funciones transformadas a partir de f cuando es conocido el dominio y recorrido de esta, eplicar que estas transformaciones se pueden aplicar combinadamente. Para ilustrar este hecho, construya las gráficas de: 1. g() = a partir de f() = 1 2. g() = a partir de f() = 3. g() = a partir de f() = indicando claramente el dominio y recorrido de g en cada caso. Observación 1.5. Ayúdese de las técnicas descritas arriba para mostrar a los estudiantes en términos geométricos las soluciones de las ecuaciones e inecuaciones, por ejemplo, obtener geométricamente las soluciones de: 1. 2 = < 3. 2 < Clase Aprendizajes esperados Reconoce y distingue funciones pares de impares y sus características gráficas. Reconoce funciones crecientes, decrecientes y sus características gráficas. 2.2 Igualdad de Funciones Se dice que dos funciones f : A B y g : C D son iguales, denotándolo f = g, si y sólo si: 1. A = C B = D, es decir, dominios y conjuntos de llegada coinciden; 2. a A, f(a) = g(a), en otras palabras, que se cuenta con asignaciones idénticas para cualquier a en A. Ejercicio propuesto: Sean f : [0, 1] R y g : R R dos funciones definidas por Determine si estas dos funciones son iguales. f() = 2 [0, 1] g(y) = y 2 y R. Definición 2.1. Sea f : A B una función y D A un conjunto. Llamaremos restricción de f al conjunto D a la función f D : D B tal que f D () = f () para cada D. MAT021 Primer Semestre 2013 (Cálculo) 3

4 2.3 Álgebra de funciones. Dadas dos funciones reales f : dom(f) R y g : dom(g) R, se definen las siguientes operaciones: Suma, denotada por f + g, es la función definida por (f + g)() = f() + g() Resta, denotada por f g, es la función definida por (f g)() = f() g() Multiplicación, denotada por f + g, es la función definida por (f g)() = f() g() División, denotada por f/g, es la función definida por (f/g)() = f()/g() g() 0 con dominio el conjunto dom(f/g) = dom(f) dom(g) { dom(g) : g () = 0}. Ejemplo 2.1. Son iguales las funciones f () = y g () = + 1? 2.4 Definiciones: funciones par e impar, crecientes y decrecientes. Funciones par e impar. Sean f y g funciones definidas en intervalos simétricos, es decir, si dom(f) entonces dom(f): 1. Una función real f es una función par si para cada del dominio de f se tiene f( ) = f(). 2. Una función real f es una función impar si para cada del dominio de f se tiene f( ) = f(). Ejemplo 2.2. La función f : R R, f () = 1 es una función par Ejemplo 2.3. La función g : R R, g () = + 3 es una función impar. Ejemplo 2.4. La función h : R R, h () = + no es par ni impar. Observación 2.1. Mostrar las características gráficas de este tipo de funciones. Funciones crecientes y decrecientes. 1. Una función real f se dice creciente en A dom(f) si y sólo si 1 2 f( 1 ) f( 2 ), 1, 2 A. 2. Una función real f se dice decreciente en A dom(f) si y sólo si 1 2 f( 1 ) f( 2 ), 1, 2 A. Si las desigualdades son estrictas, entonces se dicen estrictamente crecientes o bien estrictamente decrecientes según sea el caso. Observación 2.2. Con la introducción de funciones crecientes y decrecientes, se puede hacer el neo con herramientas utilizadas durante la resolución de inecuaciones, como por ejemplo la aplicación a una desigualdad, de funciones que por los estudiantes son conocidas como crecientes o decrecientes (e.g. f() = en [0, + [; f() = a en R dependiendo del signo de a; f() = n en [0, + [). Observación 2.3. Mostrar las características gráficas de este tipo de funciones. Ejemplo 2.5. Determine en que conjuntos la función f () = es creciente y en cuales decreciente. MAT021 Primer Semestre 2013 (Cálculo) 4

5 Ejercicios propuestos Demuestre que, si f y g son funciones impares, entonces (f + g) y (f g) también son funciones impares, mientras que f g y f/g son funciones pares. Dada una función f definida en todo R, considere la igualdad: f() = 1 2 (f() + f( )) + 1 (f() f( )), 2 y demuestre que f puede descomponerse siempre como la suma de una función par y otra impar. MAT021 Primer Semestre 2013 (Cálculo) 5