Aplicaciones Lineales Entre Espacios Vectoriales

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Aplicaciones Lineales Entre Espacios Vectoriales"

Transcripción

1 Aplicciones lineles Bloque 2 Lección Aplicciones Lineles Entre Espcios Vectoriles Progrm: 0.- Concepto de Homomorfismo. Propieddes. Homomorfimos de grupos, nillos y cuerpos. 1- Concepto de plicción linel entre espcios vectoriles f: E: F Ejemplos. Condición Necesri y Suficiente de plicción linel. Propieddes derivds. 2- Núcleo e Imgen de un plicción linel. Rngo de un plicción linel Teorem 1.- Si L es subespcio de E, entonces f(l) es un subespcio de F. Teorem 2.- Im(f) es un subespcio vectoril de F. Teorem 3.- Ker(f) es un subespcio vectoril de E. Teorem 4.- Teorem de ls dimensiones: dim (ker(f)) + dim Im(f)= dim E. Teorem 5.- f inyectiv ker(f)= {O E }. Teorem 6.- f es supryectiv rngo (f)=dim F. Corolrio.- Si dim (E)= dim(f): f inyectiv f supryectiv. Teorem 7.- Si f es supryectiv rngo (f)= dim E. Teorem 8.- Si dim E=n, entonces E K n. 3.- Aplicciones lineles y l dependenci e independenci linel. Teorem 1.- Si {g i } i=1,,n es un sistem de generdores de E entonces {f(g i )} i=1,..,n es un sistem de generdores de f(e). Teorem 2.- Si {x 1,..,x n } son l.d. {f(x 1 ),,f(x n )} son l.d. Teorem 3.- Si f es inyectiv y {x i } i=1,..,n son l.i. {f(x i )} i=1,..,n tmbién son l.i. 4.- Expresión nlític de un plicción linel. Mtriz de un homomorfismo. Mtriz de l sum, producto por un esclr y composición de plicciones 5.- Estructur lgebric de ls plicciones lineles entre espcios vectoriles. Bibliogrfí.- Álgebr Linel Jun de Burgos (cp VI). Problems de Álgebr A. de l Vill (cp IV) Álgebr linel y Geometrí (López-Pellicer y Grcí Grcí 1/8

2 1.- CONCEPTO DE APLICACIÓN LINEAL. PROPIEDADES. Aplicciones lineles Definición: Sen dos k-espcios vectoriles, E y F, decimos que l plicción f: E F es un plicción linel u homomorfismo cundo: 1) f (x + y) = f(x) + f(y) 2) f(α x) = α f(x) α K, x,y E Not: Cundo F = K se llm form linel. Ejemplos: 1.- f: R R f(x)=3x es un plicción linel entre los R-espcios vectoriles (R,+, k). 2.- f: P 2 (x) P 1 (x) / p(x) P 2 f(p(x)) = p (x) 3.- f: R 2 R 3 f(x,y)=(x-y,2x,x+y) 4.- f: V V f(x)= k x k K (Homoteci) 5.- V = {funciones reles integrles} F: V W = R F(φ) = b φdx. Teorem. (Condición necesri y suficiente de plicciones lineles). Se E, F dos K- espcios vectoriles: F es plicción linel f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) α,β K y x,y V f(αx + βy) = f(αx) + f(βy) = αf(x) + βf(y) α,βєk y x,yєe tomndo α=1=β f(x+y) = f(x) + f(y) tomndo α=1,β=0 f(αx + 0y) = αf(x) + 0f(y) c.q.d. Definición: Si f es: 1. Inyectiv el homomorfismo se llm monomorfismo. 2. Supryectiv el homomorfismo se llm epimorfismo. 3. Biyectiv el homomorfismo se llm isomorfismo. 2/8

3 Propieddes: Aplicciones lineles 1.- f(0 E ) = 0 F En efecto, x + 0 = x f(x + 0) = f(x) f(x) + f(0) = f(x) f(0 E ) = 0 F 2.- f(-x) = -f(x) xєe x +(-x) = 0 f(0) = f((x) + f(-x)) = f(x) + f(-x) = f(0) =0 F f(-x) = -f(x) c.q.d. 3.- f(x-y) = f(x) f(y) x,y E por 2) f(x-y) = f(x+(-y)) = f(x) + f(-y) = f(x) + (-f(y)) = f(x) f(y). 2.- NÚCLEO E IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL. Definición 1: Se f:(e,+,. K ) (F,+,. K ) llmmos imgen de l plicción linel y lo denotmos por Im(f) l conjunto: f(e) = Im (f) = {y F / x x E, f(x) = y} F Definición 2: Se f: E F plicción linel definimos el núcleo del homomorfismo, y lo denotmos por Ker(f) : Ker(f) = N(f) = { x E / f(x) = 0 F } E Teorem 1: Se f: E F donde E, F son dos K-espcios vectoriles entonces, si L E es un subespcio de E f(l) es subespcio de F. q.d. α,β, y y 1,y 2 f(l) } αy 1 + βy 2 f(l) y 1 f(l) x 1 L / f(x 1 ) = y 1 y 2 єf(l) x 2 L / f(x 2 ) = y 2 Como L es subespcio: α,βєk αx 1 + βx 2 L f(αx 1 + βx 2 ) f(l) αf(x 1 ) + βf(x 2 ) f(l) αy 1 + βy 2 f(l) c.q.d. Teorem 2: Im(f) es subespcio vectoril de F. Es consecuenci del teorem 1 pues Im(f) = f(e). 3/8

4 Teorem 3: Ker(f) es subespcio vectoril de E. Aplicciones lineles q.d. x,y Ker(f) y α,β k } αx +βy ker(f) Si x,y Ker(f) f(x) = f(y) = 0 F αf(x) + βf(y) = 0 F f(αx + βy) = 0 F αx + βy Ker(f). Observción: Por l propi definición de Ker(f), tmbién se escribirá Ker(f) = f -1 ({0 F }). Teorem 4: Se f: E F y se V un subespcio vectoril de F siendo: f -1 (V ) = {x E / f(x) V }. Corolrio: Ker(f) es subespcio vectoril. En efecto pues Ker(f) = f -1 (0 F ). Definición: Rngo de un plicción linel es l dimensión de l imgen o se rg(f) = dim(im(f)) = dim(f(e)). Teorem de ls dimensiones.- Se f: E F un plicción linel se verific que: dim E = dim(ker(f)) + dim (Im(f)). Se n = dim E y se {x 1, x 2,, x r } bse de Ker(f), por el teorem de l mplición de l bse podemos encontrr n-r vectores x r+1, x r+2,,x n de form que {x 1,x 2,,x n } sen bse de E. ) {f(x 1 ),f(x 2 ),,f(x n )} es un sistem generdor de f(e) = Im(f), en efecto, si y Im(f) x E / f(x) = y como x E x = α 1 x 1 + α 2 x α n x n f(x) = n i=1α i f(x i ) y = n i=1α i f(x i ) {f(x 1 ),,f(x n )} es sistem generdor de Im(f). b) Se puede suprimir f(x 1 ),f(x 2 ),,f(x h ) pues son 0. Vemos que {f(x r+1 ),,f(x n )} es un sistem l.i. o se dim(im(f)) = n r con lo que quedrá demostrdo el teorem pues dim E = h dim f(e) = n h. Probemos pues que {f(x r+1 ),f(x r+2 ),,f(x n )} son l.i. Se α r+1 f(x r+1 ) + + α n f(x n ) = 0 F f( i=r+1 n α i x i ) = 0 F n r+1α i x i N(f) n r+1α i x i = β 1 x β r x r β 1 x 1 + β 2 x 2 ++ β r x r α r+1 x r α n x n = 0 E ( como {x 1,x 1,,x n } bse de E) β 1 =β 2 =β r =α r+1 = =α n =0 {f(x i )} n i=r+1 es l.i. Por tnto {f(x i )} n i=h+1 es bse de Im(f) con lo que qued demostrdo el teorem. Teorems 5: Si f: E F plic. linel entonces: f inyectiv N(f) ={0 E } Se x N(f) f(x) = 0 F como f(0 E ) = 0 F f(x) = f(0 E ) x = 0 E Si x N(f) x = 0 E ( por hipótesis hor). Se f(x) = f(y) f(x-y) = 0 F x y Ker(f) x y = 0 E x = y f inyectiv. 4/8

5 Aplicciones lineles Teorem 6: Se f: E F, f es supryectiv rngo f dim F Corolrio 1.- Si dim E = dim F entonces: f supryectiv f inyectiv En efecto, por el tª. de ls dimensiones: dim E = dim Ker(f) + dim(im(f)) y como f supryectiv dim(im(f)) = dim F dim Ker(f) = 0 f inyectiv. f inyectiv dim Ker(f) = 0 dim Im(f) = dim E = dim F f supryectiv. Corolrio 2.- Dos espcios isomorfos tienen igules dimensiones. En efecto si E F E f inyectiv y supryectiv. f inyectiv dim Ker(f) = {0} como f es supryectiv dim Im(f) = dim F } dim E = dim(ker(f)) + dim(im(f)) dim E = 0 + dim (Im(f)) = dim F c.q.d Teorem 7: Si f es supryectiv rngo(f) = dim V Teorem 8: Si dim V = n V K n 3.- APLICACIONES LINEALES Y COMBINACIONES LINEALES. PROPIEDADES. Teorem 1: Si {g 1,g 2,,g n } son generdores de E {f(g 1 ),f(g 2 ),,f(g n ) es un sistem de generdores de f(e). Se y f(e) E x E / f(x) = y, donde x = n i=1α i g i plico f f(x) = n i=1α i f(g i ) y = n i=1α i f(g i ) es decir {f(g i ),,f(g n )} es un sistem generdor de f(e). Teorem 2: Si {x 1,x 2,,x n } son l.d. {f(x 1 ),,f(x n )} son l.d. Se α 1 f(x 1 ) + + α n f(x n ) = 0 F q.d. α i 0 pr cierto i. Pero como x i son l.d. i / α i 0, n i=1α i x i = 0 f( n i=1α i x i )= n i=1α i f(x i )) = f(0) = 0 F. Teorem 3: Se f inyectiv, si {x 1,x 2, x n } es l.i. {f(x 1 ),,f(x n )} es l.i.. Se n i=1α i f(x i ) = 0 F f( n i=1α i x i ) = 0 F n i=1α i x i Ker(f) y como si f es inyectiv Ker(f)={ 0 E } n i=1α i x i = 0 E y como los {x i } son l.i. entonces α i = 0 i, c.q.d. 5/8

6 Aplicciones lineles 4.- EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UN HOMOMORFISMO. MATRIZ DE UN HOMOMORFISMO. Se f un plicción linel de V n V n y sen dos bses B n = {ē 1,ē 2,,ē n } de V n y B n = {ē 1,,ē m} bse de V m. Se x V n pretendemos hllr f(x) V m (su expresión nlític) Si x V n sus coordends le llmmos x = n i=1α i ē i, su imgen le llmmos f(x) = n j=1α jē j Vemos: x V m, x = n i=1α i ē i f(x) = n i=1α i f(ē i ) o se que conociendo los trnsformdos de un bse de V m tenemos l imgen de culquier vector xєv n. Supongmos, pues que nos dn ls coordends de ls imágenes de un bse de V n : f(ē 1 ) = 11 ē ē m ē m f(ē 2 ) = 21 ē ē m ē m f(ē n ) = n1 ē 1 + n2 ē nm ē m f(ē i ) = m j=1 ij ē j, i=1, n. Entonces ddo x V n f(x) = n i=1α i f(ē i ) = n i=1 α i ( m j=1 ij ē j) = (α α α n n1 )ē 1+(α α α n n2 )ē (α 1 1m +α 2 2m + +α n nm )ē m. Pero como llmmos ntes f(x) = m j=1α jē j y ls coordends son únics tenemos Ecuciones prmétrics del homomorfismo f, respecto de ls bses {ē i } n i=1 {ē i} m i=1 α 1 = α α α n n1 α 2 = α α α n n2 α n = α 1 1m +α 2 2m + +α n nm donde (f(x)) B = (α 1,α 2,,α m), x B = (α 1,α 2,,α n ) y { ij } son ls coordends de f(ē i ) respecto de {ē i}. Se puede poner tmbién en form mtricil de l form: (α 1,α 2,,α m) = (α 1,α 2,,α n ) n n2.. donde cd fil es l imgen de los vectores {e i } En form simplificd un plicción linel es : Y = X. M(f) Siendo Y l imgen de X y M(f) es l mtriz de f respecto de l bses elegids en E y F. 1m nm 6/8

7 Aplicciones lineles Not.- Tmbién se puede expresr en form de column:.. (f(x)) t = (M(f)) t x 5. - ESTRUCTURAS DE LAS APLICACIONES LINEALES. Teorem 1: El conjunto de ls plicciones lineles de E en F con l sum de funciones y producto por un esclr tiene estructur de Espcio Vectoril. Se L(E,F;K) = {plicciones lineles E F, e.v. sobre K} Definimos l l.c.i. (f,g) f +g. L(E,F;K) x L(E,F;k) L(E,F;K) (f+g)(x) = f(x) + g(x) x E llmd sum. ) Es l.c.i. (f+g) L(E,F;K) (f+g)(αx+βy) α(f+g)(x) + β(f+g)(y). b) Propieddes: Asocitiv. Elemento neutro: f(x)=0 F x E, f L(E,F;K). Elemento simétrico: f L(E,F;K) f L(E,F;K) / f+(-f) 0 Conmuttiv: f+g g+f Por tnto: (L(E,F;K),+,. K ) es un grupo belino. Definimos l l.c.e. ( producto por un esclr): K x L(E,F;K) L(E,F;K) α f es l plicción definid: Es ley de composición extern: 1. (α+β) f α f + β f 2. α (f+g) = α f + α g 3. α (β f) = (α β) f 4. 1 f f 5. O se (L(E,F;K),+,.K) es un espcio vectoril. (α,f) α f x E (α f)(x) = α f(x) Teorem 2: Los endomorfismos de un K-espcio vectoril E tienen estructur de Álgebr. 7/8

8 Aplicciones lineles Se E un K-e.v. y sen tods plicciones de E en si mismo f: E E. End(E)={f: E E / f plicción linel}. Por el teorem 1 tenemos que (End(E),+, k) es Espcio Vectoril. Dotmos l conjunto End(E) de l l.c.i. gof definid: f g E E E (gof)(x) = g(f(x)) E x E (End(E),o) es semigrupo 1. gof End(E) pues (gof)(αx+βy) = g(αf(x)+βf(y)) = α(gof)(x) + β(gof)(x) x,y E, α,β k 2. Asocitiv por serlo l composición de plicciones. 3. Elemento unidd I(x) = x f o I = I o f = f f End(E) Por tnto: (End(E),o) es semigrupo. Además se d l propiedd distributiv: f o (g+h) = (f o g) + (f o h) f,g,h End(E)). Por ello (End(E),+,o) es un nillo y (End(E),+,. K ) es un espcio vectoril A ( End(E),+,. K,o) se le dice que tiene estructur de Álgebr. 8/8

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUEA POITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 009/10 PRÁCTICA Nº9 Espcios vectoriles y Aplicciones ineles I: Bses y coordends. Aplicciones lineles. Recordemos

Más detalles

APLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal.

APLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal. Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 2014/15 PRÁCTICA Nº 12 APICACIONES INEAES: Núcleo e Imgen de un plicción linel. Con est práctic se pretende revisr l definición de plicción

Más detalles

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 3: Aplicaciones Lineales.

Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema 3: Aplicaciones Lineales. Problemas y Ejercicios Resueltos. Tema : Aplicaciones Lineales. Ejercicios 1.- Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales: (i) f : R R 2 definida por f((x, y, z)) = (x y, y + 2z). (ii)

Más detalles

4 Aplicaciones Lineales

4 Aplicaciones Lineales Prof Susana López 41 4 Aplicaciones Lineales 41 Definición de aplicación lineal Definición 23 Sean V y W dos espacios vectoriales; una aplicación lineal f de V a W es una aplicación f : V W tal que: 1

Más detalles

1. APLICACIONES LINEALES

1. APLICACIONES LINEALES 1 1 APLICACIONES LINEALES El objetivo de este capítulo es el estudio de las aplicaciones lineales u homomorfismos entre espacios vectoriales Este tipo de aplicaciones respeta la estructura de espacio vectorial

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Tema 3 Aplicaciones Lineales 3.1 Introducción Se presentan en este tema las aplicaciones entre espacios vectoriales, particularmente las aplicaciones lineales, que de una manera informal pueden definirse

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6

ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6 ÁLGEBRA LINEAL I Soluciones a la Práctica 6 Aplicaciones lineales (Curso 2009 2010) 1. De las siguientes aplicaciones definidas entre espacios vectoriales reales, determinar cuáles son homomorfismos, monomorfismos,

Más detalles

MATRICES DE NÚMEROS REALES

MATRICES DE NÚMEROS REALES MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m

Más detalles

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN

4 APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN 4 APLICACIONES LINEALES DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES En ocasiones, y con objeto de simplificar ciertos cálculos, es conveniente poder transformar una matriz en otra matriz lo más sencilla posible Esto nos

Más detalles

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales Aplicaciones Lineales Primeras definiciones Una aplicación lineal de un K-ev de salida E a un K-ev de llegada F es una aplicación f : E F tal que f(u + v) = f(u) + f(v) para todos u v E f(λ u) = λ f(u)

Más detalles

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide:

vectoriales N(f) e Im(f) N(f) = (5,1,0),( 3,0,1) y f(1,0,0)=(2,-1,1). Se pide: .- En los siguientes casos estudiar si f es una aplicación lineal y en caso afirmativo hallar una matriz A tal que f(x) Ax, así como los subespacios vectoriales N(f) e Im(f) a) f(x,y) = (x,-y) b) f(x,y)

Más detalles

1. APLICACIONES LINEALES

1. APLICACIONES LINEALES 1 1. APLICACIONES LINEALES 1. Estudiar si las siguientes aplicaciones son lineales: a) f : R 2 R 3, f(x, y) = (x + y, y, x 2y). Sí es lineal. b) f : R 2 R, f(x, y) = xy. No es lineal. Basta observar que

Más detalles

4 Aplicaciones lineales

4 Aplicaciones lineales Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 4 Aplicaciones lineales 4. Aplicación lineal Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K (en general, R o C. Una aplicación

Más detalles

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z )

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z ) Cpítulo III. Álgebr vectoril Objetivo: El lumno plicrá el álgebr vectoril en l resolución de problems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3. Cntiddes esclres

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física, Curso 2012

Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física, Curso 2012 Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física, Curso 2012 5. Transformaciones lineales Una transformación lineal (TL es una función F : V V entre dos espacios vectoriales V,V sobre el mismo cuerpo K que satisface

Más detalles

Solución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2008 2009)

Solución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2008 2009) ÁLGEBRA Solución a los problemas adicionales Aplicaciones lineales (Curso 2008 2009) I. Se considera el homomorfismo f : P 2 (IR) P 2 (IR) definido por las siguientes condiciones: (1) Los polinomios sin

Más detalles

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales Capítulo 3 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 3.1 Espacios vectoriales. Aplicaciones lineales Definición 3.1 Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea K un

Más detalles

Calcular la dimensión, una base y unas ecuaciones implícitas linealmente independientes del núcleo e imagen de

Calcular la dimensión, una base y unas ecuaciones implícitas linealmente independientes del núcleo e imagen de Calcular la dimensión, una base y unas ecuaciones implícitas linealmente independientes del núcleo e imagen de 1 (a) f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 3, x 2 + x 3, x 1 + x 3, x 2 + x 3 ) (b) f(x 1, x 2, x

Más detalles

CUADERNO IV ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES

CUADERNO IV ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES 1 CUADERNO IV ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES Miguel A. Sainz, Joan Serarols, Anna M. Pérez Dep. de Informática y Matemática Aplicada Universidad de Girona RESUMEN: Se va a desarrollar la

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

Matemáticas I. Tema 2 E.I.I. Aplicaciones Lineales y Matrices. Curso 2012-2013

Matemáticas I. Tema 2 E.I.I. Aplicaciones Lineales y Matrices. Curso 2012-2013 Matemáticas I E.I.I Tema 2 Aplicacioes Lieales y Matrices Curso 202-203 Itroducció 2 Como requisitos previos para maejar todos lo que e este tema se itroduce se tiee que recordar de cursos ateriores los

Más detalles

CAPÍTULO II. 3 El grupo lineal

CAPÍTULO II. 3 El grupo lineal CAPÍTULO II 3 El grupo lineal Como ya se advirtió en el capítulo precedente, los grupos de transformaciones juegan un importante papel en el estudio de la geometría. En esta sección nos ocuparemos de aquellas

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices.

Tema 2. Aplicaciones lineales y matrices. Tema 2 Aplicaciones lineales y matrices. 1 Índice general 2. Aplicaciones lineales y matrices. 1 2.1. Introducción....................................... 2 2.2. Espacio Vectorial.....................................

Más detalles

Tema 4: Aplicaciones lineales

Tema 4: Aplicaciones lineales Tema 4: Aplicaciones lineales Definición, primeras propiedades y ejemplos Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V W se dice que es una aplicación lineal si

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales

Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales y Aplicaciones lineales Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto dotado de una operación interna + que llamaremos suma, y sea

Más detalles

Álgebra II. Tijani Pakhrou

Álgebra II. Tijani Pakhrou Álgebra II Tijani Pakhrou Índice general 1. Teoría de conjuntos 1 1.1. Conjuntos................................. 1 1.2. Productos cartesianos........................... 6 1.3. Relaciones de equivalencia........................

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión

Más detalles

4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES

4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales 4. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA 1.- Espacios Vectoriales..- Propiedades de un Espacio Vectorial..-

Más detalles

Estructuras algebraicas

Estructuras algebraicas Tema 1 Estructuras algebraicas 1.1 Álgebras binarias Sea A un conjunto no vacío, una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación *: A A A (x, y) x * y es decir, una regla que a cada

Más detalles

TEST DE ÁLGEBRA. 6.- Sea el subespacio de R 3 S = { (x,,y,z) / x +y+z = 0} a) es de dimensión 1 b) es de dimensión 2 c) es R 3 d) NDLA

TEST DE ÁLGEBRA. 6.- Sea el subespacio de R 3 S = { (x,,y,z) / x +y+z = 0} a) es de dimensión 1 b) es de dimensión 2 c) es R 3 d) NDLA TEST DE ÁLGEBRA 1.- Sea f:r 4 -----> R 5 una apli. lineal a) Dim ker(f) tiene que ser 3 b) Dim ker(f) será 4 c) Dim ker(f) es 5 2.- El sistema homogéneo 3 x % 8 y % ð z 0 y & z 0 a) tiene soluciones no

Más detalles

Vectores. Dr. Rogerio Enríquez

Vectores. Dr. Rogerio Enríquez Vectores Dr. Rogerio Enríquez Objetivo Eductivo Reflexión sobre lo que y se sbe Dominr los conceptos como mestros Unir l geometrí con el álgebr Deducir lógicmente el álgebr Explorr el dominio mtemático

Más detalles

Vectores en el espacio. Producto escalar

Vectores en el espacio. Producto escalar Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr Vectores en el espcio Producto esclr Espcios vectoriles Definición de espcio vectoril Un conjunto E es un espcio vectoril si en él se definen dos operciones,

Más detalles

II. ESPACIOS NORMADOS Y ESPACIOS DE BANACH

II. ESPACIOS NORMADOS Y ESPACIOS DE BANACH II. ESPACIOS NORMADOS Y ESPACIOS DE BANACH Se pretende en este capítulo establecer los resultados generales relacionados con el concepto de norma en un espacio vectorial así como mostrar las distintas

Más detalles

3. OPERACIONES CON FUNCIONES.

3. OPERACIONES CON FUNCIONES. 3. OPERACIONES CON FUNCIONES. Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles y semejantes a las correspondientes efectuadas con los números. En esta sección definiremos

Más detalles

Fundamentos algebraicos

Fundamentos algebraicos Fundamentos algebraicos 1. Grupos Sea S un conjunto. Se denota con S S el conjunto de los pares ordenados (s, t) con s, t en S. Un mapeo de S S en S se llama operación binaria en S. Esta definición requiere

Más detalles

Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física

Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física Algebra Lineal: Aplicaciones a la Física Resumen del curso 2014 para Lic. en Física (2 o año), Depto. de Física, UNLP. Prof.: R. Rossignoli 0. Repaso de estructuras algebraicas básicas Un sistema algebraico

Más detalles

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

Tema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción

Tema 3. Aplicaciones lineales. 3.1. Introducción Tema 3 Aplicaciones lineales 3.1. Introducción Una vez que sabemos lo que es un espacio vectorial y un subespacio, vamos a estudiar en este tema un tipo especial de funciones (a las que llamaremos aplicaciones

Más detalles

Espacios vectoriales con producto interno

Espacios vectoriales con producto interno Capítulo 8 Espacios vectoriales con producto interno En este capítulo, se generalizarán las nociones geométricas de distancia y perpendicularidad, conocidas en R y en R 3, a otros espacios vectoriales.

Más detalles

APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN

APLICACIONES LINEALES. DIAGONALIZACIÓN I.- Sea f una transformación lineal de un espacio vectorial V de dimensión n. Sea B una base de V. Sea A la matriz asociada a f respecto de la base B. Señala, sin demostrar, cuáles de las siguientes afirmaciones

Más detalles

3.- Matrices y determinantes.

3.- Matrices y determinantes. 3.- Mtrices y determinntes. 3.. Definición de mtriz, notción y orden. Se define un mtriz de orden m x n, un reunión de m x n elementos colocdos en m fils y n columns. Cd elemento que form l mtriz se denot

Más detalles

Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas

Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas Tem 1.3: Concepto de derivd. Ecuciones de Cuchy-Riemnn. De nición y primers propieddes de ls funciones holomorfs Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso 2008-09 E. de Amo L estructur de cuerpo pr C tiene

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

Funciones. f(x) = 2 2 x 2. 2x + 5 si 9 < x. x 4 si x < 9. 3. Si Dom(f) = [0, 1]. Determine el dominio de las siguientes funciones

Funciones. f(x) = 2 2 x 2. 2x + 5 si 9 < x. x 4 si x < 9. 3. Si Dom(f) = [0, 1]. Determine el dominio de las siguientes funciones Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Campus Santiago Funciones 1. Hallar Dominio y Recorrido de la función: x. Sea f : R R definida por: x + 5 si 9 < x x x si 9 x 9 x 4 si

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

Clase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal

Clase 15 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Espacios vectoriales Clase 5 Espacios vectoriales Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia En esta sección estudiaremos uno de los conceptos

Más detalles

Razones trigonométricas

Razones trigonométricas LECCIÓ CODESADA 12.1 Rzones trigonométrics En est lección Conocerás ls rzones trigonométrics seno, coseno y tngente Usrás ls rzones trigonométrics pr encontrr ls longitudes lterles desconocids en triángulos

Más detalles

Problema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0).

Problema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0). Problema 1. (4 puntos) Sea f la aplicación lineal de R³ en R³ definida por f(1,3,4)=(2,6,8), f(1,1,1)=(2,6,8) y f(0,1,1)=(0,0,0). a) Demostrad que (1,3,4), (1,1,1) i (0,1,1) son una base de R³. b) Decid

Más detalles

Álgebra para ingenieros de la Universidad Alfonso X

Álgebra para ingenieros de la Universidad Alfonso X Crrer: UAX Asigtur: temátics Fech: Pági de 9 Álger pr igeieros de l Uiversidd Alfoso X -trices y sistems de ecucioes lieles Opercioes co mtrices: A= m m B= m p p q q pq Sum: - s mtrices sumr tiee que teer

Más detalles

ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA

ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA LAUREANO GONZALEZ VEGA Y CECILIA VALERO REVENGA Departamento de Matemáticas, Estadística ycomputación Universidad de Cantabria 2 Índice 1 Espacios Vectoriales 5 1.1 Definición

Más detalles

Matrices M - 1 MATRICES. Definición.- Una tabla de mxn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas de la forma ...

Matrices M - 1 MATRICES. Definición.- Una tabla de mxn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas de la forma ... Mtrices M - - Mtrices Se K un cuerpo MATRICES Definición- Un tl de n eleentos de K dispuestos en fils n coluns de l for recie el nore de tri de diensión n n n n En un tri el eleento ij ocup el lugr deterindo

Más detalles

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR 1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid

Más detalles

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico.

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. Álgebra y Estructuras Discretas Grupo B de la Ingeniería Técnica de Sistemas TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. 1. Definición de Grupo. Propiedades Básicas. Definición 1. Dado un conjunto no vacío G,

Más detalles

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS

Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS Capitán de fragata ingeniero AGUSTÍN E. GONZÁLEZ MORALES ÁLGEBRA PARA INGENIEROS 2 Í N D I C E CAPÍTULO MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES. MATRIZ. DEFINICIÓN 2. ALGUNOS

Más detalles

Formas bilineales y cuadráticas.

Formas bilineales y cuadráticas. Tema 4 Formas bilineales y cuadráticas. 4.1. Introducción. Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicación lineal, matriz de una aplicación lineal y diagonalización, estudiaremos en este tema dos

Más detalles

DETERMINANTES. Determinantes

DETERMINANTES. Determinantes Determinntes DETERMINANTES Autores: Jun Alberto Rodríguez Velázquez (jrodriguezvel@uoc.edu), Cristin Steegmnn Pscul (csteegmnn@uoc.edu), Ángel Alejndro Jun Pérez (junp@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS Definición

Más detalles

Notas de Espacios Vectoriales

Notas de Espacios Vectoriales Notas de Espacios Vectoriales José Luis Mancilla Aguilar Depto. de Matemática, Fac. de Ingeniería, Univ. de Buenos Aires jmancil@fi.uba.ar 1 Propósito El objeto de estas notas es repasar las principales

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

TEMA 1 Matrices MATRICES A... es una matriz de dos filas y tres columnas. El elemento a 2,3 = -3

TEMA 1 Matrices MATRICES A... es una matriz de dos filas y tres columnas. El elemento a 2,3 = -3 . DEFINICIÓN. http://mtemticsconsole.wikispces.com/ TE trices TRICES Un mtriz de m fils n columns es un serie ordend de m n números ij, i=,,...m; j=,,...n, dispuestos en fils columns, tl como se indic

Más detalles

No. 1 Grupos. Oswaldo Lezama. Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Sede de Bogotá

No. 1 Grupos. Oswaldo Lezama. Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Sede de Bogotá CUADERNOS DE ÁLGEBRA No. 1 Grupos Oswaldo Lezama Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Sede de Bogotá 30 de junio de 2014 ii Cuaderno dedicado a Justo Pastor,

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires

Fascículo 2. Álgebra Lineal. Cursos de grado. Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri. Universidad de Buenos Aires Fascículo 2 Cursos de grado ISSN 1851-1317 Gabriela Jeronimo Juan Sabia Susana Tesauri Álgebra Lineal Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires 2008

Más detalles

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3 UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID EJERCICIOS PUS MTEMÁTICS II (DESDE EL CURSO 78 L ) ÁLGEBR: TEMS (Los ejercicios de selectividd resueltos los podéis encontrr en l págin web clsesdepooco) http://wwwclsesdepooco/docuents/es_serch

Más detalles

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.

2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas. . Ecuciones de l rect en. Posiciones reltivs. R Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de rects Determine si dos rects son coincidentes, prlels o si son intersecntes Encuentre punto

Más detalles

E-mail: grupociencia@hotmail.com 405 4466 Web-page: www.grupo-ciencia.jimdo.com 945 631 619

E-mail: grupociencia@hotmail.com 405 4466 Web-page: www.grupo-ciencia.jimdo.com 945 631 619 1. En el prlelogrmo mostrdo en l figur M N son puntos medios. Hlle = ++ en función de 3 + D + C +3. En l figur muestr los vectores de inscritos en un cudro de 6m de ldo. Determine el vector unitrio del

Más detalles

La aplicación derivada sobre el espacio E de los polinomios en una variable, E D E, es

La aplicación derivada sobre el espacio E de los polinomios en una variable, E D E, es Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS 1 Aplicaciones lineales Núcleo e Imagen Tipos de aplicaciones lineales Sean E y E k-espacios vectoriales Definición 11 Una

Más detalles

OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA

OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA . DOMINIO inio de o cmpo de eistenci de es el conjunto de vlores pr los que está deinid l unción, es decir, el conjunto de vlores que tom l vrible independiente. Se denot por. { R / y R con y } OBTENCIÓN

Más detalles

AX = B. X es la matriz columna de las variables:

AX = B. X es la matriz columna de las variables: ÁLGEBR MTRICIL PRO. MRIEL SRMIENTO SESIÓN 9: METODO DE ELIMINCIÓN GUSSIN En est sesión, resolvemos sistems de ecuciones lineles de orden x y x. Pr ello escribimos el sistem en término de mtrices, por ejemplo:

Más detalles

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x

Más detalles

ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2

ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO Dominio I: Conocimientos de Mtemátics Tem: Funciones reles de un vrible rel. L función eponencil. L función logrítmic. Asignturs involucrds en l formción universitri: Análisis

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

Presentación Axiomática de los Números Reales

Presentación Axiomática de los Números Reales Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

Resumen Segundo Parcial, MM-502

Resumen Segundo Parcial, MM-502 Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L

Más detalles

Aproximación e interpolación mediante polinomios

Aproximación e interpolación mediante polinomios LA GACETA DE LA RSME, Vol. 5.3 (2002), Págs. 621 627 621 Aproximción e interpolción medinte polinomios por Miguel Mrno y Mrt Mrcolini En este trbjo se muestr un relción entre los conceptos de interpolción

Más detalles

FUNCIONES EN R. Agosto 2007

FUNCIONES EN R. Agosto 2007 FUNCIONES EN R Alexis Vera Pérez Instituto de Estadística & Sistemas Computarizados de Información Universidad de Puerto Rico, Recinto de Río Piedras Agosto 2007 1 Definición y notación Definición 1 Una

Más detalles

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES CPITULO II MGNITUDES ESCLRES Y VECTORILES 1 CONTENIDO 1. VECTORES Y ESCLRES 2. ELEMENTOS DE UN VECTOR, CONCEPTO DE DIRECCION Y SENTIDO 3. LGEBR DE VECTORES 4. METODOS GRFICOS Y NLITICOS 5. COMPOSICION

Más detalles

Estructuras Algebraicas. UCR ECCI CI-1204 Matemática Discretas Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

Estructuras Algebraicas. UCR ECCI CI-1204 Matemática Discretas Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides UCR ECCI CI-204 Mtemátic Discrets Prof. M.Sc. Krysci Dvin Rmírez Benvides Se E un conjunto no vcío, un función f f : E E E se llm ley de composición intern (operción) sobre E. Además, l imgen f(,b) se

Más detalles

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases.

Tema III. Capítulo 2. Sistemas generadores. Sistemas libres. Bases. Tema III Capítulo 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC 2 Sistemas generadores Sistemas libres Bases 1 Combinación lineal

Más detalles

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1(2003), pp. 71 82 L Geometrí de ls Norms del Espcio de ls Funciones Continus The Geometry of the Norms of the Spce of Continuous Functions Arístides Arellán (ristide@ciens.ul.ve)

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3

Más detalles

Operaciones con Funciones

Operaciones con Funciones Carlos A. Rivera-Morales Precálculo I Tabla de Contenido Contenido : Contenido Discutiremos: suma, resta, multiplicación y división de funciones : Contenido Discutiremos: suma, resta, multiplicación y

Más detalles

1.4. Integral de línea de un campo escalar.

1.4. Integral de línea de un campo escalar. .4. Integrl de líne de un cmpo esclr. L integrl de líne tiene vris plicciones en el áre de ingenierí, y un de ls interpretciones importntes pr tles plicciones es el significdo que posee l integrl de líne

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR} Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar

Más detalles

1 Sistemas de ecuaciones lineales Tema 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1 Sistemas de ecuaciones lineales Tema 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sistems de ecuciones lineles Tem 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Los sistems de ecuciones lineles tienen muchs plicciones en todos los cmpos y ciencis y y desde. C. se tenín métodos pr resolver los sistems.

Más detalles

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales.

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales. Clse del Miércoles 3 de Junio de 22: Ecuciones Integrles. Introducción En est clse estudiremos ls ecuciones integrles de Fredholm y de Volterr. -+ - Empezremos por considerr l ecución de Fredholm de segund

Más detalles

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES

TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES TEMA 2: FUNCIONES CONTINUAS DE VARIAS VARIABLES ÍNDICE 1. Funciones de varias variables 1 2. Continuidad 2 3. Continuidad y composición de funciones 4 4. Continuidad y operaciones algebraicas 4 5. Carácter

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS. Números reales Intervalos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorema fundamental del Álgebra

NÚMEROS COMPLEJOS. Números reales Intervalos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorema fundamental del Álgebra NÚMEROS COMPLEJOS Números reles Intervlos El conjunto R 2 Discos Números complejos Teorem fundmentl del Álgebr NÚMEROS REALES Números nturles, enteros rcionles e irrcionles En mtemátics son importntes

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Matemáticas I: Hoa 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Eercicio 1. Demostrar que los vectores v 1, v 2, v 3, v 4 expresados en la base canónica forman una base. Dar las coordenadas del vector

Más detalles

TEMAS DE MATEMÁTICAS (OPOSICIONES DE SECUNDARIA) TEMA 42

TEMAS DE MATEMÁTICAS (OPOSICIONES DE SECUNDARIA) TEMA 42 TEMAS DE MATEMÁTIAS (OPOSIIONES DE SEUNDARIA) TEMA 42 HOMOTEIA Y SEMEJANZA EN EL PLANO. 1. Introducción. 2. Homotecis en el plno. 2.1. Propieddes de l homoteci en el plno. 2.2. Producto de homotecis. 2.2.1.

Más detalles