Aplicaciones Lineales Entre Espacios Vectoriales

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1 Aplicciones lineles Bloque 2 Lección Aplicciones Lineles Entre Espcios Vectoriles Progrm: 0.- Concepto de Homomorfismo. Propieddes. Homomorfimos de grupos, nillos y cuerpos. 1- Concepto de plicción linel entre espcios vectoriles f: E: F Ejemplos. Condición Necesri y Suficiente de plicción linel. Propieddes derivds. 2- Núcleo e Imgen de un plicción linel. Rngo de un plicción linel Teorem 1.- Si L es subespcio de E, entonces f(l) es un subespcio de F. Teorem 2.- Im(f) es un subespcio vectoril de F. Teorem 3.- Ker(f) es un subespcio vectoril de E. Teorem 4.- Teorem de ls dimensiones: dim (ker(f)) + dim Im(f)= dim E. Teorem 5.- f inyectiv ker(f)= {O E }. Teorem 6.- f es supryectiv rngo (f)=dim F. Corolrio.- Si dim (E)= dim(f): f inyectiv f supryectiv. Teorem 7.- Si f es supryectiv rngo (f)= dim E. Teorem 8.- Si dim E=n, entonces E K n. 3.- Aplicciones lineles y l dependenci e independenci linel. Teorem 1.- Si {g i } i=1,,n es un sistem de generdores de E entonces {f(g i )} i=1,..,n es un sistem de generdores de f(e). Teorem 2.- Si {x 1,..,x n } son l.d. {f(x 1 ),,f(x n )} son l.d. Teorem 3.- Si f es inyectiv y {x i } i=1,..,n son l.i. {f(x i )} i=1,..,n tmbién son l.i. 4.- Expresión nlític de un plicción linel. Mtriz de un homomorfismo. Mtriz de l sum, producto por un esclr y composición de plicciones 5.- Estructur lgebric de ls plicciones lineles entre espcios vectoriles. Bibliogrfí.- Álgebr Linel Jun de Burgos (cp VI). Problems de Álgebr A. de l Vill (cp IV) Álgebr linel y Geometrí (López-Pellicer y Grcí Grcí 1/8

2 1.- CONCEPTO DE APLICACIÓN LINEAL. PROPIEDADES. Aplicciones lineles Definición: Sen dos k-espcios vectoriles, E y F, decimos que l plicción f: E F es un plicción linel u homomorfismo cundo: 1) f (x + y) = f(x) + f(y) 2) f(α x) = α f(x) α K, x,y E Not: Cundo F = K se llm form linel. Ejemplos: 1.- f: R R f(x)=3x es un plicción linel entre los R-espcios vectoriles (R,+, k). 2.- f: P 2 (x) P 1 (x) / p(x) P 2 f(p(x)) = p (x) 3.- f: R 2 R 3 f(x,y)=(x-y,2x,x+y) 4.- f: V V f(x)= k x k K (Homoteci) 5.- V = {funciones reles integrles} F: V W = R F(φ) = b φdx. Teorem. (Condición necesri y suficiente de plicciones lineles). Se E, F dos K- espcios vectoriles: F es plicción linel f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) α,β K y x,y V f(αx + βy) = f(αx) + f(βy) = αf(x) + βf(y) α,βєk y x,yєe tomndo α=1=β f(x+y) = f(x) + f(y) tomndo α=1,β=0 f(αx + 0y) = αf(x) + 0f(y) c.q.d. Definición: Si f es: 1. Inyectiv el homomorfismo se llm monomorfismo. 2. Supryectiv el homomorfismo se llm epimorfismo. 3. Biyectiv el homomorfismo se llm isomorfismo. 2/8

3 Propieddes: Aplicciones lineles 1.- f(0 E ) = 0 F En efecto, x + 0 = x f(x + 0) = f(x) f(x) + f(0) = f(x) f(0 E ) = 0 F 2.- f(-x) = -f(x) xєe x +(-x) = 0 f(0) = f((x) + f(-x)) = f(x) + f(-x) = f(0) =0 F f(-x) = -f(x) c.q.d. 3.- f(x-y) = f(x) f(y) x,y E por 2) f(x-y) = f(x+(-y)) = f(x) + f(-y) = f(x) + (-f(y)) = f(x) f(y). 2.- NÚCLEO E IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL. Definición 1: Se f:(e,+,. K ) (F,+,. K ) llmmos imgen de l plicción linel y lo denotmos por Im(f) l conjunto: f(e) = Im (f) = {y F / x x E, f(x) = y} F Definición 2: Se f: E F plicción linel definimos el núcleo del homomorfismo, y lo denotmos por Ker(f) : Ker(f) = N(f) = { x E / f(x) = 0 F } E Teorem 1: Se f: E F donde E, F son dos K-espcios vectoriles entonces, si L E es un subespcio de E f(l) es subespcio de F. q.d. α,β, y y 1,y 2 f(l) } αy 1 + βy 2 f(l) y 1 f(l) x 1 L / f(x 1 ) = y 1 y 2 єf(l) x 2 L / f(x 2 ) = y 2 Como L es subespcio: α,βєk αx 1 + βx 2 L f(αx 1 + βx 2 ) f(l) αf(x 1 ) + βf(x 2 ) f(l) αy 1 + βy 2 f(l) c.q.d. Teorem 2: Im(f) es subespcio vectoril de F. Es consecuenci del teorem 1 pues Im(f) = f(e). 3/8

4 Teorem 3: Ker(f) es subespcio vectoril de E. Aplicciones lineles q.d. x,y Ker(f) y α,β k } αx +βy ker(f) Si x,y Ker(f) f(x) = f(y) = 0 F αf(x) + βf(y) = 0 F f(αx + βy) = 0 F αx + βy Ker(f). Observción: Por l propi definición de Ker(f), tmbién se escribirá Ker(f) = f -1 ({0 F }). Teorem 4: Se f: E F y se V un subespcio vectoril de F siendo: f -1 (V ) = {x E / f(x) V }. Corolrio: Ker(f) es subespcio vectoril. En efecto pues Ker(f) = f -1 (0 F ). Definición: Rngo de un plicción linel es l dimensión de l imgen o se rg(f) = dim(im(f)) = dim(f(e)). Teorem de ls dimensiones.- Se f: E F un plicción linel se verific que: dim E = dim(ker(f)) + dim (Im(f)). Se n = dim E y se {x 1, x 2,, x r } bse de Ker(f), por el teorem de l mplición de l bse podemos encontrr n-r vectores x r+1, x r+2,,x n de form que {x 1,x 2,,x n } sen bse de E. ) {f(x 1 ),f(x 2 ),,f(x n )} es un sistem generdor de f(e) = Im(f), en efecto, si y Im(f) x E / f(x) = y como x E x = α 1 x 1 + α 2 x α n x n f(x) = n i=1α i f(x i ) y = n i=1α i f(x i ) {f(x 1 ),,f(x n )} es sistem generdor de Im(f). b) Se puede suprimir f(x 1 ),f(x 2 ),,f(x h ) pues son 0. Vemos que {f(x r+1 ),,f(x n )} es un sistem l.i. o se dim(im(f)) = n r con lo que quedrá demostrdo el teorem pues dim E = h dim f(e) = n h. Probemos pues que {f(x r+1 ),f(x r+2 ),,f(x n )} son l.i. Se α r+1 f(x r+1 ) + + α n f(x n ) = 0 F f( i=r+1 n α i x i ) = 0 F n r+1α i x i N(f) n r+1α i x i = β 1 x β r x r β 1 x 1 + β 2 x 2 ++ β r x r α r+1 x r α n x n = 0 E ( como {x 1,x 1,,x n } bse de E) β 1 =β 2 =β r =α r+1 = =α n =0 {f(x i )} n i=r+1 es l.i. Por tnto {f(x i )} n i=h+1 es bse de Im(f) con lo que qued demostrdo el teorem. Teorems 5: Si f: E F plic. linel entonces: f inyectiv N(f) ={0 E } Se x N(f) f(x) = 0 F como f(0 E ) = 0 F f(x) = f(0 E ) x = 0 E Si x N(f) x = 0 E ( por hipótesis hor). Se f(x) = f(y) f(x-y) = 0 F x y Ker(f) x y = 0 E x = y f inyectiv. 4/8

5 Aplicciones lineles Teorem 6: Se f: E F, f es supryectiv rngo f dim F Corolrio 1.- Si dim E = dim F entonces: f supryectiv f inyectiv En efecto, por el tª. de ls dimensiones: dim E = dim Ker(f) + dim(im(f)) y como f supryectiv dim(im(f)) = dim F dim Ker(f) = 0 f inyectiv. f inyectiv dim Ker(f) = 0 dim Im(f) = dim E = dim F f supryectiv. Corolrio 2.- Dos espcios isomorfos tienen igules dimensiones. En efecto si E F E f inyectiv y supryectiv. f inyectiv dim Ker(f) = {0} como f es supryectiv dim Im(f) = dim F } dim E = dim(ker(f)) + dim(im(f)) dim E = 0 + dim (Im(f)) = dim F c.q.d Teorem 7: Si f es supryectiv rngo(f) = dim V Teorem 8: Si dim V = n V K n 3.- APLICACIONES LINEALES Y COMBINACIONES LINEALES. PROPIEDADES. Teorem 1: Si {g 1,g 2,,g n } son generdores de E {f(g 1 ),f(g 2 ),,f(g n ) es un sistem de generdores de f(e). Se y f(e) E x E / f(x) = y, donde x = n i=1α i g i plico f f(x) = n i=1α i f(g i ) y = n i=1α i f(g i ) es decir {f(g i ),,f(g n )} es un sistem generdor de f(e). Teorem 2: Si {x 1,x 2,,x n } son l.d. {f(x 1 ),,f(x n )} son l.d. Se α 1 f(x 1 ) + + α n f(x n ) = 0 F q.d. α i 0 pr cierto i. Pero como x i son l.d. i / α i 0, n i=1α i x i = 0 f( n i=1α i x i )= n i=1α i f(x i )) = f(0) = 0 F. Teorem 3: Se f inyectiv, si {x 1,x 2, x n } es l.i. {f(x 1 ),,f(x n )} es l.i.. Se n i=1α i f(x i ) = 0 F f( n i=1α i x i ) = 0 F n i=1α i x i Ker(f) y como si f es inyectiv Ker(f)={ 0 E } n i=1α i x i = 0 E y como los {x i } son l.i. entonces α i = 0 i, c.q.d. 5/8

6 Aplicciones lineles 4.- EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UN HOMOMORFISMO. MATRIZ DE UN HOMOMORFISMO. Se f un plicción linel de V n V n y sen dos bses B n = {ē 1,ē 2,,ē n } de V n y B n = {ē 1,,ē m} bse de V m. Se x V n pretendemos hllr f(x) V m (su expresión nlític) Si x V n sus coordends le llmmos x = n i=1α i ē i, su imgen le llmmos f(x) = n j=1α jē j Vemos: x V m, x = n i=1α i ē i f(x) = n i=1α i f(ē i ) o se que conociendo los trnsformdos de un bse de V m tenemos l imgen de culquier vector xєv n. Supongmos, pues que nos dn ls coordends de ls imágenes de un bse de V n : f(ē 1 ) = 11 ē ē m ē m f(ē 2 ) = 21 ē ē m ē m f(ē n ) = n1 ē 1 + n2 ē nm ē m f(ē i ) = m j=1 ij ē j, i=1, n. Entonces ddo x V n f(x) = n i=1α i f(ē i ) = n i=1 α i ( m j=1 ij ē j) = (α α α n n1 )ē 1+(α α α n n2 )ē (α 1 1m +α 2 2m + +α n nm )ē m. Pero como llmmos ntes f(x) = m j=1α jē j y ls coordends son únics tenemos Ecuciones prmétrics del homomorfismo f, respecto de ls bses {ē i } n i=1 {ē i} m i=1 α 1 = α α α n n1 α 2 = α α α n n2 α n = α 1 1m +α 2 2m + +α n nm donde (f(x)) B = (α 1,α 2,,α m), x B = (α 1,α 2,,α n ) y { ij } son ls coordends de f(ē i ) respecto de {ē i}. Se puede poner tmbién en form mtricil de l form: (α 1,α 2,,α m) = (α 1,α 2,,α n ) n n2.. donde cd fil es l imgen de los vectores {e i } En form simplificd un plicción linel es : Y = X. M(f) Siendo Y l imgen de X y M(f) es l mtriz de f respecto de l bses elegids en E y F. 1m nm 6/8

7 Aplicciones lineles Not.- Tmbién se puede expresr en form de column:.. (f(x)) t = (M(f)) t x 5. - ESTRUCTURAS DE LAS APLICACIONES LINEALES. Teorem 1: El conjunto de ls plicciones lineles de E en F con l sum de funciones y producto por un esclr tiene estructur de Espcio Vectoril. Se L(E,F;K) = {plicciones lineles E F, e.v. sobre K} Definimos l l.c.i. (f,g) f +g. L(E,F;K) x L(E,F;k) L(E,F;K) (f+g)(x) = f(x) + g(x) x E llmd sum. ) Es l.c.i. (f+g) L(E,F;K) (f+g)(αx+βy) α(f+g)(x) + β(f+g)(y). b) Propieddes: Asocitiv. Elemento neutro: f(x)=0 F x E, f L(E,F;K). Elemento simétrico: f L(E,F;K) f L(E,F;K) / f+(-f) 0 Conmuttiv: f+g g+f Por tnto: (L(E,F;K),+,. K ) es un grupo belino. Definimos l l.c.e. ( producto por un esclr): K x L(E,F;K) L(E,F;K) α f es l plicción definid: Es ley de composición extern: 1. (α+β) f α f + β f 2. α (f+g) = α f + α g 3. α (β f) = (α β) f 4. 1 f f 5. O se (L(E,F;K),+,.K) es un espcio vectoril. (α,f) α f x E (α f)(x) = α f(x) Teorem 2: Los endomorfismos de un K-espcio vectoril E tienen estructur de Álgebr. 7/8

8 Aplicciones lineles Se E un K-e.v. y sen tods plicciones de E en si mismo f: E E. End(E)={f: E E / f plicción linel}. Por el teorem 1 tenemos que (End(E),+, k) es Espcio Vectoril. Dotmos l conjunto End(E) de l l.c.i. gof definid: f g E E E (gof)(x) = g(f(x)) E x E (End(E),o) es semigrupo 1. gof End(E) pues (gof)(αx+βy) = g(αf(x)+βf(y)) = α(gof)(x) + β(gof)(x) x,y E, α,β k 2. Asocitiv por serlo l composición de plicciones. 3. Elemento unidd I(x) = x f o I = I o f = f f End(E) Por tnto: (End(E),o) es semigrupo. Además se d l propiedd distributiv: f o (g+h) = (f o g) + (f o h) f,g,h End(E)). Por ello (End(E),+,o) es un nillo y (End(E),+,. K ) es un espcio vectoril A ( End(E),+,. K,o) se le dice que tiene estructur de Álgebr. 8/8

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