Cálculo Relacional. 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 1/31. Porqué necesitamos un Lenguaje de Consulta?

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1 El Modelo Relacional: Cálculo Relacional 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 1/31 Porqué necesitamos un Lenguaje de Consulta? Dos ventajas importantes Menor trabajo realizar consultas Una mayor oportunidad para la optimización Algebra Relacional Fundamento teórico del SQL Lenguaje de programación de alto nivel pero debe especificarse los pasos para obtener el resultado deseado Cálculo Relacional Fundamento formal del Query-by-Example Utiliza lógica de primer orden Se especifica el resultado deseado, no cómo obtenerlo 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 2/31 1

2 Revisión del Álgebra Relacional Reserva Marinero Barco mid bid dia /10/ /12/06 Operaciones Básicas: Seleccion ( σ ) Proyeccion ( π ) Producto Cartesiano ( ) Diferencia ( ) Union ( ) mid mnombre puntaje edad 22 duban luis rufino : da un subconjunto de filas. : borra columnas no deseadas. : combina dos relaciones. : tuplas in relación 1, pero no en 2 : tuplas en relación 1 y 2. bid bname bcolor 101 MaLuisa azul 102 MaLuisaII rojo 103 Flipper verde 104 Marinazo rojo Operaciones adicionales: Intersección ( ) Join Natural ( ) :tuplas en ambas relaciones. :Como pero solo mantiene tuplas donde se igualan los Division ( ) campos comunes. :tuplas de relación 1 que igualan con los de la relación 2 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 3/31 El Cálculo Relacional La lógica de primer-orden también puede pensarse como un lenguaje de consulta, y puede usarse de dos maneras: Cálculo Relacional de Tuplas Cálculo Relacional de Dominios La diferencia esta en el nivel con el cual se usan las variables: por atributos (dominios) o por tuplas. El calculo es no-procedimental (declarativo) comparado con el álgebra. 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 4/31 2

3 Cálculo Relacional Alto nivel, lógica de primer orden Una definición formal de que se quiere de la base de datos Consulta: Hallar todos los marineros con un puntaje superior a 7 En Calculo: {S S 0 Marinero v S.puntaje > 7} El significado de la consulta: Hallar el conjunto de tuplas S, tales que las tuplas sean de la relación Marinero y cuyo atributo puntaje sea mayor a 7. Dos aplicaciones: Calculo Relacional de Tuplas (TRC) (como el SQL) Calculo Relacional de Dominios (DRC) (como el QBE) 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 5/31 Construcciones del Cálculo Relacional Variables TRC: Las variables se enlazan a tuplas. DRC: Las variables se enlazan a elementos del dominio (= valores de columna) Constantes 7, IVA, , etc. Operadores de comparición =, <>, <, >, etc. Conectores Lógicos no-not v y-and w o-or implica 0 es miembro de Cuantificadores œx (p(x)): Para todo X, p(x) debe ser verdadero X (p(x)): Existe al menos un X tal que p(x) es verdadero 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 6/31 3

4 Lógica de Predicados resumen La sintaxis de la lógica de predicados inicia con las variables, constantes y predicados que pueden ser construidos usando una colección de operadores booleanos (expresiones booleanas) Ejemplos: 1=2, x > y, esprimo(x), contiene(t, Joe ). El funcionamiento disponible depende del dominio y del lenguaje de consulta. Por ahora asumiremos las siguientes expresiones booleanas: R Rel, R.a <oper> S.b, R.a <oper> constante, o constante <oper> R.a, donde <oper> es <, =, >,,, 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 7/31 Lógica de Predicados... cont. Iniciando con estos predicados básicos (también llamados atómicos), podemos construir nuevos predicados usando las siguientes reglas: Conectores Lógicos: Si p Y q son predicados, Entonces también lo son p q, p q, p, Y p q (x>2) (x<4) (x>2) (x>0) Cuantificador Existencial: Si p es un predicado, también lo es x p x (x>2) (x<4) Cuantificador Universal: Si p es un predicado, también lo es x p x x>2 x y y>x 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 8/31 4

5 Cálculo Relacional de Tuplas Consulta de la forma: { T p(t) } T es una tupla y p(t) denota una fórmula en la cual aparece la variable de tupla T. Significado de la pregunta: Conjunto de todas las tuplas T para las cuales la formula p (T ) toma el valor verdadero. Una formula se define recursivamente: Formulas Atomicas obtienen tuplas de relaciones o comparan valores Las Formulas construidas desde otras formulas usan operadores lógicos. 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 9/31 Formulas TRC Una formula atómica es una de las siguientes: R 0 Rel R.a op S.b R.a op constante, donde op es uno de los operadores <, =, >,,, Una formula puede ser: una formula atómica p, p q, p q donde p y q son formulas R(P(R)) donde la variable R es una variable de tupla œr(p(r)) donde la variable R es una variable de tupla 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 10/31 5

6 Variables Libres y Enlazadas Al usar de los cuantificadores X y wx en una formula, se dice que X esta enlazada en la fórmula. Una variable que no esta enlazada es libre. Restricción importante: {T p (T) } La variable T que aparece a la izquierda de ` debe ser la única variable libre en la formula p (T ). En otras palabras, todas las otras variables de tupla deben estar enlazadas usando un cuantificador 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 11/31 Uso de œ (Para Todo) œx (P(x)): Solo es verdadero si P(x) es verdadero para cada x en el universo: Ejemplo: œ x (x.color = rojo ) Significa que todo lo que existe es rojo Normalmente somos menos grandiosos en nuestras aserciones: œx ( (x 0 Barcos) (x.color = rojo ) es una implicación lógica a b significa que si a es verdadero, b debe ser verdadero a b es lo mismo que a v b 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 12/31 6

7 Simplificación del Cuantificador œx ((x 0 Barco) Y (x.color = rojo )) Para todo x en la relación, el color debe ser rojo También puede escribirse como: œx 0 Barco (x.color = rojo ) x ((x 0 Barco ) v (x.color = rojo ) ) Existe una tupla x en la relación Barco cuyo color es rojo También puede escribirse como: x 0 Barco (x.color = rojo ) 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 13/31 Selección y Proyección Selección Hallar todos los marineros con puntaje superior a 8 {S S 0 Marinero v S.puntaje > 8} mid mnombre puntaje edad 22 duban luis rufino Proyección Hallar los nombres y las edades S de los marineros con S puntaje superior a 8. {S S1 0 Marinero (S1. puntaje > 8 v S.nombre = S1.nombre v S.edad = S1.edad)} mnombre edad duban 45.0 rufino 35.0 S es una variable de tupla de 2 campos ( {S} es una proyección de Marinero) 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 14/31 7

8 Unión Natural (Joins) Hallar los marineros con puntaje > 7 quienes hayan reservado el barco #103 {S S 0 Marinero v S.puntaje > 7 v S R(R 0 Reserva v R.mId = S.mId S v R.bId = 103)} S Marinero mid mnombre puntaje edad 22 duban luis rufino Reserva mid bid dia /10/ /12/06 Note el uso de para hallar una tupla en Reserva que enlaza con la tupla de marinero en consideración. Que sucede si hay otra tupla {58, 103, 12/13/06} en la relación Reservas? 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 15/31 R R Unión Natural (Joins) Hallar los marineros con puntaje > 7 que han reservado barcos rojos {S S 0 Marinero v S.puntaje > 7 v R (R 0 Reserva v R.mId = S.mId B(B 0 Barco v R.bId = B.bId v B.color = rojo ) )} Observe cómo los paréntesis controlan el alcance de cada uno de los enlaces de los cuantificadores. 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 16/31 8

9 División Recordemos la expresión del algebra A/B Un valor x en A se inhabilita si atando un valor y de B, obtenemos una tupla xy que no está en A. (déme las tuplas de A que tiene un valor que iguala en B. En cálculo, se utiliza el operador œ Hallar los marineros que han reservado TODOS los barcos: {S S 0 Marinero v œb 0 Barco ( R 0 Reserva Hallar los marineros S tal que ( R.mId = S.mId v B.bId = R.bId )) } Para todas las tuplas B en Barco Hay al menos una tupla R en Reserva Muestre que marineros S tiene reservas R. 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 17/31 Cálculo Relacional de Dominios Las consultas tienen la forma: {<x 1, x 2,, x n > p} donde x 1, x 2,, x n son variables de dominio Y p es un predicado el cual puede mencionar las variables x 1, x 2,, x n Ejemplo: proyección simple {<RN, H> RI, G, R <RI, RN, G, R, H>, Rutas} Ejemplo: selección y proyección {<RN, H> RI, G, R <RI, RN, G, R, H>, Rutas G >5.5} Ejemplo: Join {<CI, R> RI, RN, G, H, RI, Da, Du <RI, RN, G, R, H> Rutas <CI, RI, Da, Du> Montañas RI=RI } 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 18/31 9

10 Consulta Explicación {<C, N, P, E> < C, N, P, E > 0 Marinero P > 7 } La condición <C, N, P, E> asegura que las variables de dominio C, N, P y E están limitadas a los mismos campos de la tupla Marinero. El término <C, N, P, E> a la izquierda del símbolo ` (que debe leerse tal que) nos indica que cada tupla que satisface la condición P>7 está en la respuesta. CONSULTA ANTERIOR: Hallar todos los marineros con puntaje superior a 7 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 19/31 Consulta Explicación Consulta: Hallar los marineros con puntaje > 7 que han reservado el barco #103. {<C, N, P, E> < C, N, P, E> 0 Marinero P > 7 Cr, Nr, D (<Cr, Nr, D>) 0 Reserva Cr=C Nr =103 } Se ha utilizado Cr, Nr, D (...) como una simplificación de Cr ( Nr ( D (...))) Observe el uso del para hallar una tupla en Reserva que se una con las tuplas de Marinero bajo la condición dada. 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 20/31 10

11 Consulta Explicación Consulta: Hallar los marineros con puntaje > 8 que han reservado el barco rojo. {<C, N, P, E> < C, N, P, E > 0 Marinero P > 8 Cm, Nb, D (<Cm, Nb, D>) 0 Reserva Cm=C K, BN, X (< K, BN, X>) 0 Barco K=Nb X= rojo`} Observe el uso del paréntesis: controla el alcance de cada enlace de los cuantificadores 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 21/31 Consulta Explicación Consulta: Hallar los marineros que han reservado todos los barcos. {<C, N, P, E> < C, N, P, E > 0 Marinero K, BN, X ( (< B, BN, X> 0 Barco) ( Cr, Nb, D (<Cr, Nb, D> 0 Reserva Cr=C K=Nb ) ) )} Esta consulta se puede leer: hallar todos los marineros C tales que no existe una tupla < B, BN, X> de Barco o una tupla <Cr, Nb, D> de Reserva que muestre que el marinero C tiene alguna reserva 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 22/31 11

12 Renombrando variables Cuando una variable esta enlazada se puede reemplazar por otra variable sin alterar el significado de la expresión, previendo que no hay discrepancias con el nombre. Ejemplo: x x>2 es equivalente a y y>2 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 23/31 Algunas Consultas Intente resolver las siguientes consultas: Nombre y edad de los marineros Nombre y edad de los marineros quienes han obtenido un puntaje superior a 5 Nombre de los marineros quienes han reservado el Barco Simón Bolivar 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 24/31 12

13 Traduciendo de AR to CRD Recordemos que el álgebra relacional consiste de Π, σ,, x, -. Necesitamos trabajar traduciendo una posible expresión a través de la estructura de una expresión de AR Sea TR[e] la traducción de una expresión e del Álgebra Relacional a una expresión del Calculo Relacional de Dominios. Nombre de la Relación: Para la expresión R del AR (la relación), la expresión CRD es {<x 1,x 2,, x n > <x 1,x 2,, x n > R} 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 25/31 Selección Suponga que la expresión AR es σ c (e ), donde e es otra expresión AR con TR[e ]= {<x 1,x 2,, x n > p} Entonces la traducción de σ c (e ) es {<x 1,x 2,, x n > p C }, donde C es la condición obtenida de C al reemplazar cada atributo con la correspondiente variable. Ejemplo: TR[σ #1=#2 #4>2.5 R] (donde R tiene ariedad 4) es {<x 1,x 2, x 3, x 4 > < x 1,x 2, x 3, x 4 > R x 1 =x 2 x 4 >2.5} 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 26/31 13

14 Proyección Si TR[e]= {<x 1,x 2,, x n > p} entonces TR[Π i1,i2,,im (e)]= {<x i1,x i2,, x im > x j1,x j2,, x jk.p}, donde x j1,x j2,, x jk son variables en x 1,x 2,, x n que no están en x i1,x i2,, x im Example: Con R anterior, Π #1,#3 (R)={<x 1,x 3 > x 2,x 4. <x 1,x 2, x 3,x 4 > R} 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 27/31 Unión Sabemos que R y S en R S deben ser compatibles, así que deben tener la misma ariedad. Por tanto podemos asumir que para e 1 e 2, donde e 1, e 2 son expresiones algebraicas, TR[e 1 ]={<x 1,,x n > p} y TR[e 2 ]={<y 1, y n > q}. Renombrando las variables en la segunda expresión queda TR[e 2 ]={< x 1,,x n > q }. Esto puede involucrar renombrar variables limitadas en q para evitar discrepancias. Entonces: TR[e1 e2]={<x 1,,x n > p q }. Ejemplo: TR[R S]= {<x 1,x 2,x 3,x 4 > <x 1,x 2,x 3,x 4 > R <x 1,x 2, x 3,x 4 > S} 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 28/31 14

15 Otros Operadores Binarios Diferencia : Se deben cumplir las mismas condiciones que para la union. Así, TR[e 1 ]={<x 1,,x n > p} y TR[e 2 ]={< x 1,,x n > q}. Luego TR[e 1 -e 2 ]= {<x 1,,x n > p q} Producto: Si TR[e 1 ]={<x 1,,x n > p} TR[e 2 ]={< y 1,,y m > q}, Luego TR[e 1 X e 2 ]= {<x 1,,x n, y 1,,y m > p q} y Ejemplo: TR[R S]= {<x 1,,x n, y 1,,y m > <x 1,,x n > R <y 1,,y m > S 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 29/31 Resumen Hemos visto como traducir expresiones del Álgebra Relacional al calculo relacional (de dominios). Hay varias restricciones sintácticas para garantizar la seguridad de una consulta en el CRD. Desde ellas se puede regresar al algebra relacional. Esta correspondencia entre el álgebra y la lógica de primer-orden fue la responsable del desarrollo inicial de las bases de datos relacionales 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 30/31 15

16 Qué no se puede calcular con el Cálculo Relacional Operaciones Agregadas. como El número de montañistas que han ascendido al Pico Simón Bolívar o Edad promedio de los montañistas. Lo cual SI es posible en SQL. Consultas Recursivas. Dada la relación Padre (padre, hijo) calcular la relación antepasado. Para ello se necesita realizar un número arbitrario de joins. Lo cual no puede ser expresado en lógica de 1er. Orden, por lo tanto en CR. Trabajar con estructuras complejas relaciones que no están en (1NF), como listas, arreglos, conjuntos. 12/03/07 E.I.S.C. - Prof. Mauricio Fernández - Curso: Bases de Datos I 31/31 16

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