TEMAS DE MATEMATICAS (Oposiciones de Secundaria)

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1 TEMAS DE MATEMATICAS (Oposiciones de Secundaia) TEMA 47 GENERACIÓN DE CURVAS COMO ENVOLVENTES.. Intoducción.. Envolvente... Definición de Envolvente... Existencia de Envolvente en el Plano..3. Deteminación Páctica de la envolvente en el Plano..4. La Astoide. 3. Evoluta y Envolventes. 3.. Evoluta de una cuva Plana. 3.. Ejemplos de Evolutas Evoluta de la Elipse Rectas del Plano dadas en foma Pola Evolventes de una cuva plana. 4. Envolvente de una Familia de Cuvas. 4.. Cuvas en Foma Paamética. 4.. Cuvas en Foma Explícita Cuvas en Foma Implícita Popiedades de la envolvente. 5. Constucción de Algunas Cuvas. 5.. Tazado de la Evolvente del Cículo. 5.. Tazado de la Cuva Peicicloide Tazado de la Cuva Epicicloide Tazado de la Cuva Cadioide Tazado de la Cuva Hipocicloide. Bibliogafía Recomendada. /

2 TEMA 47 GENERACIÓN DE CURVAS COMO ENVOLVENTES.. INTRODUCCIÓN. En este tema vamos a descibi un tipo especial de cuvas: las cuvas geneadas como envolventes. Son cuvas de gan inteés ya que tienen gan cantidad de aplicaciones.. ENVOLVENTE DE UNA FAMILIA DE RECTAS... Definición de Envolvente. Sea D el conjunto fomado po todas las ectas del plano. D { y ax + b/ a, b } DEF Llamaemos Familia de Rectas dependientes de un Paámeto a la imagen de una aplicación. ϕ: I D y designaemos a la familia como ( D Ejemplos t ) t I. Dado el plano catesiano, podemos defini tes funciones numéicas α t, β t y γ t con t I. ( ) ( ) ( ) Entonces, las ectas D t α ( t) x + β( t) y + γ ( t) 0 deteminan una familia en función del paámeto t I.. También podemos detemina una familia de ectas po su ecuación vectoial. D t α +λ ( t) v( t) siendo α, v : I dos funciones vectoiales y λ una vaiable independiente de t. α ( t) es un punto del plano y v ( t) el vecto diecto que detemina la ecta D t en función del paámeto t I. DEF Llamaemos envolvente de una familia de ectas dependientes de un paámeto, ( D t ) t I,a un aco paametizado ( I, f ) tal que, en todo punto ( t, f ( t) ), la ecta D t sea tangente al aco. /

3 El pa ( I f ), también ecibe el nombe de cuve en paeméticas. ( ) DEF Llamaemos Punto Caacteístico de la ecta D t a t f ( t).. Existencias de Envolvente en el Plano.,. PROP Una familia de ectas del plano dependientes de un paámeto posee, en geneal, un envolvente. Dem Sea ( D t ) t I la familia de ectas definidas como siendo las funciones α ( t) y ( t) α +λ ( t) v ( t) v deivables en I. El aco ( I, f ) es la envolvente de la familia de ectas ( t ) t I punto caacteístico ( t) en ese punto, tiene la diección de D t. f petenece a D t y el vecto ( t) Suponga mos que existe una función envolvente de la familia dada. Entonces: ) t I el punto f ( t) Dt. f : I Existe, po tanto, un númeo eal λ ( t) tal que f ( t) ( t) + λ( t) v( t) α () La deteminación de la función f equivale a halla la función f D si paa todo t I, el que define la tangente al aco tal que el aco ( I f ) λ: I, sea la ) El vecto deivada f ( t) (que en geneal seá distinto de ceo) debe se vecto diecto de D t. Ahoa bien, si deivamos () Y como ( t) f λ ( t) α ( t) + λ( t) v ( t) + ( t) v ( t) v es el vecto diecto de D t, ha de existi un µ ( t) tal que: Recípocamente, si existe α () ( t) + λ( t) v ( t) + µ ( t) v( t) o λ,µ: I funciones numéicas que satisfacen la expesión (), y si λes deivable, la función vectoial f dada po () es deivable, y su deivada veifica la ecuación: 3/

4 f ( t) [ λ ( t) µ ( t) ] v( t) po tanto, el vecto f ( t) es nulo o colineal con ( t) v. Po tanto, la existencia de la envolvente están ligada a la existencia de dos funciones numéicas λ y µ que satisfagan (). Y () exige que los vectoes α ( t ), v ( t) y ( t) v sean Linealmente Dependientes, condición que tivialmente se veifica en el plano elación () se puede obtene las funciones λ y µ como sigue: Multiplicando escalamente po w ( t) α λ ( t) w( t) + ( t) v ( t) w( t) o α λ ( t) (3) v ( t) w( t) ( t) w( t) Multiplicando po u ( t), pependiculamente a v ( t) α +µ ( t) u ( t) v ( t) u ( t) o α µ ( t) (4) v ( t) u( t) ( t) u( t) esulta: En téminos geneales, estos dos valoes existián siempe, salvo v ( t) y v ( t) sean colineales, en cuyo caso se anulan los denominadoes. Si v ( t) y v ( t) son linealmente independientes, paa todo t I existe un único pa de funciones λ(t) y µ(t) que satisfacen (3) y (4). Este pa único de funciones constituye la única solución de (). La función λ(t), así deteminada, define la función f., de donde se deduce f ( t) o. Tal punto t I es un punto odinaio del aco ( I, f ). La tangente al aco en ese punto es la ecta D t. En el caso geneal, paa la mayoía de valoes de t I, se tiene también λ( t ) µ ( t) Si paa cieto valo t o I se tiene λ ( t ) µ ( ) entonces f ( t ) o El punto t f ( ) ( o, t o ) del aco ( I f ) o t o., es un punto singula, y no es posible afima que la tangente al aco en ese punto sea la ecta D t. f ( t o ) Si la situación anteio nos la encontamos en puntos aislados, diemos también que es un punto caacteístico de D to. Teniendo en cuenta esto, la envolvente de la o 4/

5 familia (D t ) t I es el aco ( I f ) cálculo de la función µ. Si v ( t) y v ( t),, incluidos los puntos singulaes. Así, es posible evita el son linealmente dependientes, tenemos: ) Si α ( t o ) no es colineal con ( t o ) w ( t), que es pependicula a v ( t), también lo seá a v ( t) lo cual es imposible. v, la expesión (3) no tiene solución paa λ ya que ( 3) α ( t) w( t) o y po tanto ) Si α ( t o ) es colineal con v ( t o ) es colineal con v ( t o ), todo númeo eal λ veifica (3) y todos los puntos de la ecta D to satisfacen las condiciones de punto caacteístico. Diemos que D to es una ecta estacionaia de la familia. Como casos singulaes tenemos: a) Si el pa de funciones λ y µ veifican λ ( t) µ ( t) t I Entonces, se tiene f ( t) o t I f ( t) C siendo c un vecto fijo. Así pues, todas las ectas de la familia (F t ) t I pasan po el punto fijo c. La familia foma una adicación de ectas concuentes en c., t I. Entonces v ha de tene una oientación fija. b) Supongamos que v ( t) satisface que { v ( t) v ( t) } son linealmente dependientes v. La familia (D t ) t I foma una adicación de ectas paalelas de la misma diección que Como conclusión a todo lo anteio podemos enuncia TEOREMA La familia de ectas del plano dependientes de un paámeto (D t ) t I α t + λ v t con, v : I I, f con ( ) ( ) α admite, en geneal, una envolvente ( ) f ( t) α ( t) + λ( t) v ( t) donde la función λ(t) es la solución de la ecuación 5/

6 α ( t) + λ( t) v( t) + µ ( t) v( t) o.3. Deteminación Páctica de la Envolvente en el Plano. TEOREMA La envolvente de la familia de ectas del plano, ( D t ) t I α( t) x + β( t) y + γ ( t) 0 con α, β, γ: I y deivables t I, se obtiene deivando pimeo esta elación especto de la vaiable t: ( t) x + β ( t) + γ ( t) 0 α y esolviendo a continuación con el sistema fomado po las dos ecuaciones. La I, f. solución (c, y) seán las coodenadas de ( t) Dem. Deteminaemos la envolvente ( I f ) f que define la envolvente ( ), mediante las coodenadas x ϕ y ϕ ( t) ( t) de f ( t) Lo vamos a hace basándonos en el azonamiento desaollado en el punto anteio. a) El punto f ( t) ( ϕ ( t), ψ( t) ) ha de petenece a D t. entonces ( t) ϕ( t) + β( t) ψ( t) + γ( t) 0 t I α (5) b) El vecto tangente f ( t) ( ϕ ( t), ψ ( t) ) ( t) ϕ ( t) + β( t) ψ ( t) 0 t I ha de se paalelo a D t, entonces α (6) Si deivamos la expesión (5) y tenemos en cuenta la expesión (6) obtendemos ( t) ϕ( t) + β ( t) ψ( t) + ( t) 0 t I α γ (7) ϕ, del sistema de ecuaciones fomado po las expesiones (5) y (7) es también solución de la expesión (6) y epesenta, po tanto, la envolvente buscada. Recípocamente, toda solución ( ψ).4. La Astoide. Sea un sistema de efeencia otonomal del plano y l + un númeo dado. Consideemos la familia de ectas que cotan a los ejes en dos puntos, siendo la distancia ente estos constante de valo l. 6/

7 Vamos a obtene ecuaciones de estas ectas, que dependeán de un paámeto. Una ecta cotaá a los ejes en dos puntos que llamaemos P y Q, veificándose d(p,q) l. Sea A el punto medio del segmento que une P y Q. Definimos el paámeto t como L( OX OA) con t [ 0,π ) t, Si d(p,q) l entonces d(0,a) l siendo entonces las coodenadas del punto A A(lcost, lsent) Es fácil ahoa obtene las coodenadas de P y Q P(lcost, 0) y Q(0, lsent) Y de aquí conseguimos la ecuación de la ecta que pasa po P y Q x y + l cost l sen t Paa obtene la familia de ectas, vamos a limitanos a toma I [ 0,π] ( D ) xsen t + ycos t lsentcost t t I (8), siendo Ahoa ya estamos en condiciones de halla la envolvente a esta familia de ectas. Paa ello aplicamos el teoema anteio. Deivando los dos miembos de la expesión (8) con especto al paámeto t ( Cos t Sen t) x cost ysen t l (9) Ahoa hemos de esolve el sistema fomado po (8) y (9) siendo x 3 ( t) lcos t 3 ( t) lsen t y y definimos f ( t) ( x( t), y( t) ) La envolvente ( I f )., que acabamos de obtene ecibe el nombe de Astoide. Esta ecuación epesenta la ecta tazada po W(lcost, lsent) pependicula al segmento PQ, cuyo vecto p q es linealmente dependiente con (cost sent). El punto caacteístico m sobe D t es el pie de dicha pependicula. 7/

8 3. EVOLUTAS Y EVOLVENTES. 3.. Evoluta de una cuva Plana. DEF Llamaemos Evoluta de una cuve paamética ( I f ),, con f: I deivable dos veces, a la envoltua de la familia de ectas nomales a la cuva paamética. Sea el sistema de efeencia de Fenet coespondiente a un punto S I, deteminado po f ( s), como oigen de coodenadas T f ( s) como vecto que define un eje de coodenadas que pasa po ( s) N vecto nomal a f en f ( s), y pependicula a f ( s) DEF Definimos el adio de cuvatua ρ del aco ( I f ), en s como dt dn N y T ρ ρ ρ f. TEOREMA cuvatua. La envoltua ce una cuva plana es el conjunto de los centos de Dem. La ecuación vectoial de la nomal a f en cada punto viene deteminada po p f `+λn Paa detemina el punto caacteístico de esta ecta calculamos la función λ(s) de p s p s sean linealmente dependientes. s I. Entonces foma que ( ) y ( ) 8/

9 p dp df sn dλ ρ dλ λ ρ dλ ( s ) + λ + N T + λ T + N T + N Paa que p ( s) y N sean colineales basta con λ 0 ρ λ ρ Queda así deteminado el punto caacteístico de la nomal, el cual es pecisamente el cento de cuvatua en el punto s I. 3.. Ejemplos de Evolutas Evoluta de la Elipse. La elipse ( I f ), viene dada po I [ 0,π] ( ) En el punto I la ecuación de la nomal es asen f x acos y bsen ( x a cos ) + bcos( y bsen) 0 Haciendo c a b obtenemos la familia de ectas nomales a la elipse ( D ) I asen x + bcos y + c SenCos 0 Paa halla la envolvente de esta familia se calcula pimeo ( D ) I Cosx bsen y + c ( Cos Sen ) 0 Resolviendo el sistema fomado po las dos ecuaciones anteioes tenemos: c La evoluta es ( c ) c a c b 3 3 ( ) : x Cos y y Sen I,, que es la tansfomación de la Astoide: c 3 X Cos a c 3 Y Sen a al aplicale la afinidad se eje OX y de azón a, es deci b 9/

10 x X y a b y c Los puntos de etoceso de la evoluta c,0 y a 0, se obtienen tazando, po b el cuato vétice d del ectángulo constuido sobe los semiejes OX y Ob positivos de la elipse, la nomal a la diagonal ab. La ecuación de esta ecta nomal es ax + b + c 0 Po tanto, encuenta a los ejes OX y OY espectivamente, en los puntos de etoceso en cuestión. Los estantes se deducen po simetía Rectas del plano dadas en foma pola. Sea ( D ) I una familia de ectas del plano, siendo el paámeto su ángulo pola: L i, ( u) donde u es un vecto unitaio nomal de la ecta I v D I c (, ) de la familia ( ) y la evoluta ( ) I, del aco ( I f ) D. Vamos a calcula la envolvente,. 0/

11 El pie de la nomal a I h un aco (, ), denominado Podaia del aco ( ) D tazada po el oigen O, que denotaemos po h, descibe I, f con elación al punto O. Sea h u una función la ecuación de la Podaia en coodenadas polaes, con ( ) : I La ecuación catesiana de la familia de ectas es: ( D ) I xcos + ysen ( ) Aplicando lo visto ya paa el cálculo de la envolvente, basta esolve el sistema fomado po la ecuación y su deivada especto del paámeto : ( D ) xsen + ycos ( ) I h La ecta D es nomal al vecto ( ) ( ). u u y pasa po el punto h, definido como El punto caacteístico m de La envolvente ( I f ) nomales. La evoluta del aco ( I f ) D es m D D, de la familia ( D ) tiene a ( D ) I I como familia de, coincide, po consiguiente, con al popio aco (I, f). Es la evolvente de la familia ( D. ) I Paa halla esta evolvente, deivamos de nuevo La ecta ( D ) xcos ysen ( ) I D es nomal al vecto u y pasa po el punto h tal que h ( ) u El cento de cuvatua del aco ( I f ) ( I f )., es c D D. La evoluta ( c ), está definida po las coodenadas de c, solución del sistema ( D, D ) Evolventes de una cuva plana. DEF Llamamos Evolvente de un aco ( I f ) como Evoluta. Sea el aco ( I f ) tangente en m es:, a oto aco ( I p) I, del aco, que admite a ( I, f ), dado en epesentación nomal. La ecuación vectoial de la v p f + λt /

12 Vamos a obtene la función λ: I de foma que el aco ( I p) anteio como nomal, s I. dp dλ dt dλ T + T + λ + T + con ρ el adio de cuvatua en el punto s I. dp Paa que sea nomal a T basta con que λ ρ N, admite la ecta dλ + 0 de donde se deduce d λ λ s + k (con k cte) Obtenemos una familia paametizada de los acos ( I, p k ) k siendo k el paámeto, y su ecuación. p k f + ( k s)t k, k s I, los acos (, ) e ( p ) I p k I, k admiten tangentes paalelas, ya que: dp λ N (0) ρ Aun más, sobe la nomal común a los dos acos, los puntos ( s) deteminan un segmento de longitud constante k k ya que: p k y ( s) p k p k p ( k k )T k Decimos que las evolventes ( ) I, k son cuvas paalelas. p k La expesión (0) pueba que λ 0 implica que ( s ) 0 evolvente del aco ( I f ) p. Es deci, si una, encuenta a este aco, el punto de intesección es un punto singula de la evolvente (en geneal, un punto de etoceso). /

13 4. EVOLVENTE DE UNA FAMILIA DE CURVAS. 4. Cuvas en Foma Paamética. Sea la ecuación x x( t, λ). Dando al paámeto λ todos los valoes posibles obtenemos, paa cada valo, un vecto de posición que seá función de la vaiable t, que epesentaá una cuva. El conjunto de Cuvas obtenidas seá función de la vaiable t, que epesentaá una cuva. El conjunto de Cuvas obtenidas seá una familia de cuvas dependientes del paámeto λ. Sea una ecta tangente a cada cuva de la familia en uno de sus puntos. Diemos que esta línea es la Envolvente de la familia de cuvas. Si queemos detemina la anteio envolvente, se M un punto de la cuva de la familia que coesponde a un valo de λ y supongamos que a este punto le coesponde un cieto valo de t. Paa que el punto M sea de contacto de la cuva con la envolvente, es necesaio que los valoes de t y λ existan una elación que se expesa como λ λ(t) y la ecuación de la envolvente seá: x x ( t, λ( t) ) Al se M un punto en el que coinciden las ectas tangentes a la cuva de la familia y a la envolvente, esulta que el vecto tangente a la envolvente ha de se igual al vecto tangente a la cuva. dλ + t dt Po tanto, las componentes de ambos vectoes deben se popocionales t dλ + k t dt t y entonces obteniendo que los vectoes Si hacemos y t dλ dt ( k ) t son linealmente dependientes. 3/

14 det, 0 t y eliminamos λ ente las ecuaciones x x( t, λ) de la envolvente. 4.. Cuvas en Foma Explícita. Sea la familia de cuvas paametizadas dada como () y () obtenemos la ecuación implícita ( λ) x f x, Podemos convetila a foma paamética intoduciendo la ecuación x x educiéndose así al caso anteio. La ecuación () se tansfoma en: 0 0 ( x, λ) 0 () y eliminando λ ente las ecuaciones () y implícita de la envolvente. x f(x, λ) obtenemos la ecuación 4.3. Cuvas en Foma Implícita. Si la familia de cuvas viene dada po la ecuación entonces, paa cietas condiciones luego, po la condición () y po tanto ( x x, λ) 0 f (3), ( λ) x ϕ, x ϕ lo que implica 4/

15 0 (4) que es la condición de envolvente. Po tanto, basta elimina el paámeto λ ente las ecuaciones (3) y (4) paa obtene la ecuación de envolvente Popiedades de la Envolvente. PROP La envolvente es el luga geomético de las posiciones límites de la intesección de cada dos cuvas de la familia cuando tienden a confundise. Dem. Sea la familia de cuvas y consideemos las cuvas La cuva f f f ( x, x, λ) 0 f ( x ), x, λ 0 ( x, x, λ+ λ) 0 ( x x, λ+ λ) f ( x, x, λ), λ pasa po el punto común a ambas cuvas consideadas (punto caacteístico) y cuando λ 0 el movimiento que lleva a la segunda a confundise con la pimea desplaza a éste, de foma que la posición límite del punto común seá: f ( x x λ), 0 0 que son las condiciones de envolvente de una familia de cuvas. PROP La envolvente contiene al luga geomético de los puntos singulaes de las cuvas. Dem. Sea la familia de cuvas ( x, x, λ) 0 f. Los puntos singulaes vienen dados po las condiciones 0 5/

16 0 y 0 (5) Si de estas dos ecuaciones despejamos x y x en función de λ, tendemos un punto singula paa cada valo de λ, el cual debe satisface la ecuación de la familia. O sea: y deivando especto a λ: f ( x ( λ) x ( λ), λ) 0, y teniendo en cuenta (5) queda dx + dx dλ que es la condición de envolvente. Po tanto, esulta inteesante al halla la envolvente de una familia elimina el luga de los posibles puntos singulaes de las cuvas de la familia. Recípocamente, de las elaciones f ( x x, λ) y 0, deducimos las ecuaciones paaméticas de la línea ( ) x ( λ) x x λ x cuyos puntos satisfacen la ecuación de la familia, es deci: y deivando especto a λ: f ( x ( λ) x ( λ), λ) 0, dx + dλ dx dλ + 0 y como 0 esulta 6/

17 dx λ dx d dλ que nos dice que la línea obtenida y cada una de las cuvas de la familia son tangentes. 6. CONSTRUCCIÓN DE ALGUNAS CURVAS. TEOREMA El aco de evoluta es igual a la difeencia ente los adios de cuvatua coespondientes a los extemos del aco de evoluta. Dem Deivando (6) tenemos Sea la cuva x x( s) y la ecuación de su evoluta x x (6) ( t) + p N( s) Vamos a demosta que el aco CD de la evoluta es igual a la difeencia de los adios de cuvatua en A y B. dx dn T + ρ ρ ( s ) N ( s) + ρ( s) T + ( s) N ( s) T luego dx ρ ( s) N( s) luego Si llamamos σ al aco de evoluta dx dσ dσ dρ σ dσ CD B A d ρ ρ B ρ A c.q.d. Del teoema anteio deducimos la manea de constui de foma páctica la evolvente: Bastaía supone una línea aollada sobe la evoluta e ila extendiendo manteniéndola tensa. El punto tomado como oigen paa tal desaollo descibe la 7/

18 evolvente. Ahoa bien, al vaia ese punto obtenemos difeentes evolventes, todas ellas paalelas, de la misma cuva evoluta. Po ota pate, la podaia de una cuva especto de un punto C es el luga geomético de los pies de las pependiculaes tazadas po C a las tangentes de la cuva. Puede considease la podaia como envolvente de las cicunfeencias de diámeto CA donde A es el punto de la cuva donde se taza la tangente y la nomal. En efecto, si la cuva es x x( s), la tangente en uno de sus puntos es x x La pependicula po C a esta ecta es ( s) + λt x c + µ N Si ente estas ecuaciones eliminamos s, λ y µ obtenemos la ecuación de la podaia. Si la cuva viene dada po f ( ) como nomal en C: x se pocesa de foma análoga obteniendo x x c f ( ) ( x ) c a Si consideamos la cicunfeencia de diámeto AC: ( x c )( x a ) + ( x c )( x a ) 0 y queemos halla la envolvente, deivamos especto de a da ( x c ) + ( x c ) 0 da y dividiendo ambas ecuaciones, después de tansfoma los téminos x a a ( x a ) que con f ( ) a nos dan las ecuaciones obtenidas anteiomente. a 5.. Tazado de la Evolvente de la cicunfeencia. La evolvente de la cicunfeencia es la cuva engendada po un punto de una ecta que se mueve, apoyándose sin desplazamientos sobe una cicunfeencia. Las ecuaciones paaméticas son 8/

19 x cosα + y senα ( α ± h) senα ( α± h) cosα Veamos cual es el pocedimiento paa su tazado. Paso : Tazamos la cicunfeencia evoluta con adio. Paso : Dividimos la cicunfeencia en n pates iguales. En el dibujo tomamos n. Paso 3: Po cada punto obtenido de la división anteio, tazamos ectas tangentes a la cicunfeencia. Paso 4: Si el punto de tangencia C coespondiente a la patición O es punto de la evolvente, tazamos el aco de cento el punto y adio la distancia del punto al O. Paso 5: Repetimos el poceso haciendo cento en el esto de puntos y como adio la distancia de dichos puntos al O. 5.. Tazado de la cuva Peicicloide. Esta cuva pesenta caacteísticas muy similaes a la anteio. La difeencia está en que las tangentes a la cicunfeencia, que van a apoya la constucción de la evolvente seán de cicunfeencias en luga de ectas. Los lados cóncavos del dichos acos tocaán al lado convexo de la cicunfeencia inicial e evoluta, siendo los adios de aquellos mayoes que los de esta. 9/

20 5.3. Tazado de la cuva Epicicloide. Un punto P de una cicunfeencia que ueda sobe ota fija descibe la cuva epicicloide. De su constucción gáfica obtenemos sus ecuaciones paaméticas x y Su constucción gáfica es: ( + a) ( + a) cosα a cos + a α senα a sen + α a 0/

21 5.4. Tazado de la cuva Cadioide. Si en el tazado de la Epicicloide, ambas cicunfeencias, la móvil y la fija, son de la misma dimensión, obtenemos la Cadioide Tazado de la cuva hipocicloide. Si al oda una cicunfeencia sobe ota fija el contacto es inteio, las cuvas descitas po los distintos puntos, unidos invaiablemente a la cuva móvil, desciben hipocicloides. Las ecuaciones paaméticas son: x y ( a) ( a) cosα+ a cos α a senα a sen α a /

22 Bibliogafía ecomendada. Cuso de Matemáticas. Análisis y Geometía Difeencia. Aut: A. Donnddu. Edit: Aguila. Algeba. Aut: L. Thomas Aa. Geometía Analítica. Aut: M. De Lanuza. Edit: Gedos. Geometía Analítica. Aut: L. Cusat. Edit: Bosch. /