UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL TALLER No. 1

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL TALLER No Represente gráficamente cada una de las siguientes relaciones y determine su dominio y su rango. Cuáles de estas relaciones son funciones? (a) x = y. (b) x = y, para (x, y) [, 3] [0, 7].. Las siguientes igualdades definen relaciones. Para cada una de ellas, cuántas y cuáles funciones se pueden encontrar despejando y? Dibuje las gráficas de las funciones encontradas. (a) x + y = 4. (b) 3x + y = 1. (c) (x 3) + (y + ) = Suponga que y es una función de x. Determine si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Justifique su respuesta. (a) Para cada valor de x, y puede tomar varios valores. (b) Para cada valor de y, x puede tomar varios valores. (c) Cuando x crece y también crece. 4. Encuentre el dominio y rango de cada una de las siguientes funciones. 9 x (a) f(x) = x 3, (b) f(x) = 6 + x x, (c) f(x) = 1 x, x (d) f(x) = x. 5. Sean f(x) = 4x y g(x) = x. Si a y h representan números reales positivos, halle: x + 1 (a) f(4) + g(), (b) f(a) + g(a), ( ) 1 (c) f 1 a f(a), g(a + h) g(a) (d), h (e) g( a) g(a), (f) g(f(a). 6. Un acuario debe tener 50 cm de altura y 00 cm 3 de volumen. Si x e y denotan el largo y el ancho de la base, (a) Exprese y como función de x. (b) Exprese la cantidad de vidrio necesaria para hacer el acuario, como función de x.

2 7. La escala de Richter fue desarrollada en 1935 por Charles Richter para medir la magnitud M de un terremoto. Está dada por M = ( ) E 3 log, E 0 donde E es la energía liberada por el terremoto medida en Joules y E 0 es la energía liberada por un terremoto de leve intensidad, la cual se toma como E 0 = Joules. El terremoto más intenso registrado en Colombia ocurrió en 1906 y liberó una energía de Joules. Cuál fue su magnitud en la escala de Richter? Calcule la respuesta con una cifra decimal. 8. La salinidad de los océanos se refiere a la cantidad de material disuelto que se encuentra en una muestra de agua marina. La salinidad S se puede calcular a partir de la cantidad C de cloro en agua de mar con la ecuación S = C, donde S y C se miden por peso en partes por millar. Calcular C, si S es La relación entre las lecturas de las temperaturas en grados Fahrenheit (F ) y en grados Celsius (C) está dada por F = 9 5 C + 3. (a) Encuentre la temperatura a la cual la lectura es la misma en ambas escalas. (b) A qué temperatura la lectura en grados Fahrenheit es el doble que la lectura en grados Celsius? 10. Cuando trazamos la gráfica de una función f en el plano cartesiano, lo que estamos haciendo es ubicando parejas ordenadas de la forma (x, f(x)). Justifique la veracidad de las siguientes afirmaciones. (a) Las parejas ordenadas (, 5), (3, 5) y (, 7) pertenecen a la gráfica de alguna función. (b) La gráfica de cualquier función está formada por parejas del tipo (x, y), donde siempre x y. (c) Para (x, y), un punto en la gráfica de alguna función, se cumple que para cada valor y existe una única preimagen x. 11. En cada caso dar ejemplos de relaciones que no sean funciones y de funciones que cumplan las siguientes condiciones dadas: (a) Las parejas (, ), (3, 3) y (4, 4) estén en su gráfica. (b) La gráfica sea simétrica con respecto al eje y pero no al eje x. 1. Determine si f es par, impar, o ninguna de las dos. (a) f(x) = 3 x 3 + 3x. (b) f(x) = 5 4x 4 + 4x Utilizando la gráfica de la función g(x) = 1 y desplazamientos, ampliaciones o reflexiones, x encuentre la gráfica de las siguientes funciones: (a) f(x) = 1 x + 1, (b) f(x) = 1 x + 1, (c) f(x) = 1 x, (d) f(x) = 4 1, (e) f(x) = x 4x, (f) f(x) = x.

3 14. En cada caso halle f + g, f g, fg y f g. (a) f(x) = 1 x + 3, g(x) = x x. (b) f(x) = x 3 8, g(x) = x. x si x < 1 (c) f(x) = 1 si 1 x 1, g(x) = x si x > 1 { x + 1 si x 5 en otros casos. 15. En cada caso defina una función que tenga las características dadas y dibuje su gráfica. (a) Es creciente en el intervalo [0, 1] y decreciente en el intervalo [, 3]. (b) Es un función polinómica cuya gráfica corta el eje x en dos puntos distintos y pasa por el punto (0, ). (c) Es una función racional y su dominio es el conjunto R de los números reales. (d) Su dominio es el conjunto R de los números reales y su rango es el conjunto de los enteros negativos. 16. En cada caso halle f g y g f y los dominios de las funciones compuestas. (a) f(x) = x 3, g(x) = x 4 x + 3. (b) f(x) = x + 1, g(x) = x + x. x si x 1 5 si x < 5 (c) f(x) = x si 1 < x < 1, g(x) = x si 5 x 5. x si x 1 5 si x > Sea g(x) = 4x 1x. Halle f tal que (f g)(x) = x En cada caso, exprese h como la compuesta de dos funciones (existe más de una respuesta). (a) h(x) = x + 1. (b) h(x) = 3 x. 19. Demuestre que f y g son funciones inversas una de la otra. (a) f(x) = x 4, x y g(x) = 1 (x + 4), x 0. (b) f(x) = x y g(x) = 1 x x. 0. Si f es una función definida de un conjunto A en un conjunto B y C A, se define f C como la restricción de f en C, es decir, una nueva función que tiene dominio C. Dadas las siguientes funciones definida de los números reales en los reales, encuentre f C inyectiva, y dibuje las gráficas de f y f C. (a) f(x) = x +, (b) f(x) = 1 para x 0, (c) f(x) = x. x

4 1. Un pez grande se come al chico. En un lago, un pez grande se alimenta de uno mediano, y el número de peces grandes es función del número x de peces medianos, f(x). El pez mediano se alimenta de un pez pequeño y el número de peces medianos es una función del número w de peces pequeños, g(w). Si f(x) = 3x y g(w) = w , (a) Exprese el número de peces grandes en términos del número de peces pequeños. (b) Halle el número de peces grandes existentes cuando en el lago hay 1 millones de peces pequeños.. En la teoría de relatividad, la masa de una partícula con velocidad v es m 0 m = f(v) = 1 v /c, donde m 0 es la masa en reposo de la partícula y c es la velocidad de la luz en el vacío. Encuentre la función inversa de f y explique su significado. 3. En cada uno de los siguientes casos, la curva tiene como dominio el conjunto R. Trace la curva dando valores al parámetro t y obtenga una ecuación en x e y eliminando el parámetro. (a) x = t + 1; y = 3t + 3. (b) x = t + 1; y = t 1, t 1. (c) x = t + 1; y = t, t. (d) x = 8 t + 4 ; y = 4t t Halle en cada caso la ecuación de la recta que satisface la condición dada. (a) Pasa por los puntos ( 1, ) y (4, 3). (b) Es paralela a la recta x + y = 6 y pasa por (1, 6). (c) Pasa por el punto ( 1, ) y es perpendicular a la recta x + 5y + 8 = Un avión vuela a una velocidad de 350 mi/h, a una altitud de una milla y pasa directamente sobre una estación de radar en el instante t = 0. (a) Exprese la distancia horizontal d (en millas) que el avión ha volado como función de t. (b) Exprese la distancia s entre el avión y la estación de radar como función de d. (c) Aplique la composición para expresar s como función de t. 6. Si g(x) = x + 1 y h(x) = 4x + 4x + 7, encuentre una función f tal que f g = h. 7. Suponga que g es una función impar y sea h = f g. h siempre es una función impar? Qué pasa si f es impar? 8. Las curvas con ecuaciones y = x c x se llaman curvas de nariz de bala. Grafique algunas para ver el porqué de este nombre. Qué sucede al crecer c?

5 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL TALLER No. 1. En cada uno de los siguientes casos, considere una circunferencia de radio 1 y centro en (0,0). Partiendo del punto (1,0) dibuje un arco que tiene la longitud dirigida dada. En qué caudrante termina? (a) 7 4 π (b) 4 3 π (c) 1 (d) 4.5. Sea x la longitud de arco trazado como se describe en el ejercicio anterior. En cada caso halle x en el intervalo [0, π] si las coordenadas dadas corresponden al punto final del arco (a) (, ). (b) ( 1, 3 ). (c) ( 3, 1 ). 3. Para cada uno de los arcos del ejercicio 1, basándose en el trazo, sin usar calculadora ni tabla, deduzca en cuál de los siguientes intervalos se hallan los valores del seno y del coseno: [ 1, 3 ] [, 3, ) [, ), 1, [ 1, 0), [ 0, 1 ) [, 1, ), 4. Usando calculadora, verifique, las respuestas del ejercicio anterior. [, 3 ), [ 3, 1 ]. 5. La distancia entre dos puntos A y B situados sobre la tierra, se mide sobre una circunferencia que pasa por ellos y tiene su centro C en el centro del planeta (el radio es, entonces, la distancia de C a la superficie). Si el diámetro de la tierra es aproximadamente de millas (unos km), calcule la distancia aproximada entra A y B cuando el ángulo ACB mide: (a) 30 o (b) 75 o (c) 1 o 6. Con respecto al ejercicio anterior, se define una milla náutica como la distancia entre A y B cuando el ángulo ACB mide un minuto. Si un grado tiene 60 minutos, determine aproximadamente el número de kilómetros que tiene una milla náutica. 7. Determine la longitud del lado de un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio 1 si el polígono es: (a) un cuadrado.

6 (b) un hexágono. (c) un decágono. 8. Un tramo de una carretera tiene una inclinación de 1.5 grados. Si el punto inicial y el punto final se encuentran respectivamente a 00 y 0 mts, sobre el nivel del mar, cual es la longitud del tramo? 9. Una función f es periódica si existe un número real positivo p tal que para cualquier x del dominio de f se tiene que x + p pertenece también al dominio de f y f(x + p) = f(x). Al más pequeño de estos números p se le llama periodo de f. Las funciones seno y coseno son periódicas y su periodo es π. Las funciones de la forma sin ax y cos ax dónde a R también lo son. Así, por ejemplo f(x) = cos 3x es periódica pues f(x) = cos 3x = cos(3x + π) = cos(3(x + π)) = f(x + π). El periodo es π. En general, si y = sin ax o y = cos ax, a 0 el período es π. a De otra parte, si b es una constante diferente de cero, las gráficas de y = b sin x y y = b cos x, cortan el eje x en los puntos donde lo cortan las gráficas de y = sin x y y = cos x respectívamente. Si b > 0, el máximo valor que toman y = b sin x y y = b cos x es b y lo toman cuando sin x = 1 y cuando cos x = 1, respectivamente. Si b < 0, el máximo valor que toman y = b sin x y y = b cos x es b y lo toman cuando sin x = 1 o cos x = 1, respectivamente. Así, ese valor máximo es b. Esta constante se llama amplitud de la gráfica. Finalmente, como para a 0 tenemos que sin(ax + b) = sin a(x + b ) y cos(ax + b) = a cos a(x + b ), las gráficas de y = cos(ax + b) y y = sin(ax + b) son respectívamente las a gráficas de y = cos ax y y = sin ax trasladadas hacia la derecha si b es positivo y hacia a la iquierda si b es negativo. En los dos casos la gráfica está trasladada b unidades. a a El número b se llama corrimiento o fase. a Verifique que cada una de las siguiente funciones es periódica. Halle se período, amplitud y corrimiento de fase, trace su gráfica. (a) sin 8πx. (b) 4 cos 1 3 x. (c) 4 sin(3x )π. 10. Un cuerpo suspendido de un resorte está vibrando verticalmente y f(t) denota la distancia dirigida del cuerpo a su posición central (el origen) transcurridos t segundos, con sentido positivo hacia arriba. Si f(t) = sin 3t, (a) Determine el período de f. (b) Dibuje la gráfica de f y compuébela en la calculadora graficadora. (c) Utilice la gráfica hecha en esta para estimar la posición del cuerpo en los 0 s, 1 s, s y 6 s. (d) Verifique la estimación calculando f(0), f(1), f() y f(6). 11. Un generador de corriente alterna genera una corriente dada por I = 30 sin 10t donde t es el tiempo en segundos. Cuál es la amplitud A y el período p de esta función? Cuál es la frecuencia de la corríente?; es decir cuántos ciclos (periodos ) se completarán en un segundo?

7 1. En cada caso halle los valores de sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, a partir de los datos (a) sin x = y 3 π < x < π (b) cos x = 3 7 y π < x < 1 π (c) tan x = 3 4 y sec x < 0 (d) cot x = 8 15 y csc x < El segmento de recta que va de un punto de observación O a un punto observado P se denomina la visual de P. El ángulo que tiene vértice en O y está formado por una recta horizontal que pasa por O y la visual de P, se denomina ángulo de elevación o ángulo de depresión de P, según P se encuentre por arriba o por debajo del punto O. Una montaña tiene 450m de altura con respecto a un río cercano y el ángulo de depresión de un punto P situado en la ribera más próxima es 45 y el ángulo de depresión de un punto Q directamente opuesto en el otro lado del río es de 30. Si los puntos P y Q y la base de la montaña están en la misma línea horizontal, determine cuánto mide de ancho el río entre esos puntos 14. Sobre una colina inclinada con respecto a la horizontal en ángulo de 15 se halla una torre vertical. En el punto P que está a 60m del pie de la torre colina abajo, el ángulo de elevación de la parte superior de la torre es de 45. Determine la altura de la torre. 15. En navegación el rumbo de un barco es el ángulo formado por un línea recta norte-sur que pasa por el punto de partida y por la línea recta que coincide con la dirección de la nave. El ángulo se mide de 0 a 90 y se expresa mencionando si esta va hacia el norte (N) o hacia el sur (S) y si va hacia el este (E) o hacia el oeste (O). Un barco tiene rumbo N30 E desde un puerto a otro situado a 00km de distancia pero una corriente lo desvía de su ruta y se encuentra en un punto P que está a N45 E y a 130km del puerto de partida. Determine de manera aproximada la distancia del barco al puerto de llegada y la dirección se debe tomar el barco para corregir su ruta, suponiendo que no hay corrientes. 16. Pruebe las siguientes idéntidades trigonométricas (a) tan x csc x cos x = 1 (b) cos x sin x sin x cos x (c) 1+cos x 1 cos x = = csc x sin x (1 cos x) (d) tan x sin x = tan x sin x (e) sin x = csc x 1 cos x (f) sin x+4 sin x+3 cos x = 3+sin x 1 sin x (g) sin 4 x cos 4 x = 1 cos x (h) cot x+cot y cot x cot y 1 = tan x tan y 1 tan x tan y 17. Para cada una de las siguientes igualdades, determine en qué cuadrante es una identidad. (a) 1 sin x = cos x (b) 1 cos x = sin x (c) sin x 1 sin = tan x x

8 18. Pruebe las identidades trigonométricas (a) cos (π + x) = cos x (b) tan (π x) = tan x (c) (d) tan x+ cot x cot x tan x 1+ sin x+ cos x 1+ sin x cos x = sec x = cot x. 19. En cada caso determine todos los valores de x que son soluciones de la ecuación dada : (a) sin x = (b) cos x = 1 sec x (c) cos x 3 = 0 (d) sin ( x + π 4 ) = 1 (e) tan x+ tan x = 0 (f) cos 3x sin x - sin x = 0 (g) sin 3 x+ sin x sin x 1 = 0. Sobre la circunferencia de radio 1 trace dos ángulos θ y φ y el ángulo θ + φ. Trace además los puntos A(1, 0), B(cos θ, sin θ), C(cos φ, sin φ) y D (cos(θ + φ), sin(θ + φ)). Note que las longitudes de los segmentos de recta BC y AD son iguales pues subtienden el mimo ángulo θ + φ. Deduzca que cos (θ + φ) =cos θ cos φ sen θ sen φ. 0. Sabiendo que sin x = 3 5 y x está en el cuarto cuadrante, cos y = 1 13 y y está en el tercer cuadrante, sin determinar x ni y, halle sin(x + y), cos(x + y), sin(x y), cos(x y). 1. Trace las gráfica de las siguientes funciones: (a) y = sin 1 x (b) y = 4 cos 1 x (c) y = 1 tan 1 x. Halle el valor exacto de cada una de las siguientes expresiones: (a) sin 1 ( cos 1 4 π) (b) tan 1 ( cot 5π) 6 (c) tan ( cos ( )) 5 sin (d) cos ( tan sin 1 ( 5 )) Pruebe las siguientes identidades: (a) sin 1 x = tan 1 x 1 x (b) cos 1 x = cos(x 1), 0 x 1

9 (c) arctan x + arctan 1 x = π, x > 0 4. Un cuadro que tiene m de altura está colgado de tal manera que su borde inferior se halla a 0.75m del piso. Una persona cuyos ojos están a 1.75m del piso, contempla el cuadro a una distancia x medida en metros. (a) Si la persona se para a x pies de distancia de la pared y θ es el ángulo visual demuestre que ( ) x θ = tan 1 x 1 (b) A qué distancia debe situarse la persona para que el ángulo θ sea de 45? 5. En cada caso determine si la afirmación es verdadera o falsa. Justifique su respuesta. (a) Ninguna función periódica es inyectiva. = cot x para todos los valores de x en los cuales las dos funciones están definidas. (b) 1+ cot x sec x (c) tan x+ tan x = tan 3 x, para todos los valores x en los cuales tan x está definida. (d) sin (x + y) = sin x+ sin y., para todos los valores x e y 6. Encuentre el dominio y la imagen de la función g(x) = ln(4 x ). 7. Si una población de bacterias comenzó con 100 y se duplica cada tres horas, la cantidad de ejemplares después de t horas es n = f(t) = 100() t/3. (a) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. (b) Cuando habrá ejemplares? 8. Resuelva cada ecuación para x. (a) ln(x 1) = 3 (b) e 3x 4 = (c) ln(ln(x)) = 1 (d) x 5 = 3

10 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL TALLER No Trace la gráfica de la función x si x < 1 x si 1 x 1 g(x) = 4 si x = 1 4 x si x > 1 De acuerdo con la gráfica de g(x) determine el valor de cada uno de los siguientes límites, si existe a) lím g(x) b) lím g(x) c) lím g(x) x 1 x x 1. Construya la gráfica de una función f, definida a trozos, que tenga las siguientes características a) dominio [ 4, 0) (0, 4] b) lím x 0 f(x) existe y es c) lím x 1 f(x) existe y es 1 d) f(1) = 1 e) lím x f(x) existe y es 1 f) lím x + f(x) existe y es g) f() = 1 3. Sea h(x) = x x 3 x 4x + 3. a) Use calculadora para hacer una tabla con los valores de h(x) en los puntos x = 9, 99, 999,.... Estime lím x 3 h(x). Qué estimación obtiene con x = 3 1, 3 01, 3 001,...? b) Use una calculadora gráfica o un computador para trazar h(x) cerca de x = 3. Estime los valores de y en la gráfica, cuando x tiende a 3. c) Simplifique h(x) y calcule lím x 3 h(x) usando las reglas de los límites. 4. Sea g(x) = x x a) Use calculadora para hacer una tabla con los valores de g(x) en los puntos x = 1 4, 1 41, 1 414,.... Estime lím x g(x). b) Use una calculadora gráfica o un computador para trazar g(x) cerca de x =. Estime los valores de y en la gráfica, cuando x tiende a. c) Simplifique g(x) y calcule lím x g(x) usando las reglas de los límites.

11 5. Sea f(x) = x 1 x 1 a) Use calculadora para hacer una tabla con los valores de f(x) en los valores de x que se acercan a 1 por izquierda y por derecha. Luego estime lím x 1 f(x) b) Use una calculadora gráfica o un computador para trazar f(x) cerca de x = 1. Estime los valores de y en la gráfica, cuando x tiende a 1. c) Simplifique f(x) y use las reglas para calcular lím x 1 f(x). 6. Sea g(θ) = sin(θ). θ a) Use calculadora para hacer una tabla con los valores de g(θ) en los valores de θ que se acercan a 0 por izquierda y por derecha. Luego estime lím θ 0 g(θ) b) Use una calculadora gráfica o un computador para trazar g(θ) cerca de θ = 0. Estime los valores de y en la gráfica, cuando θ tiende a Sea h(t) = 1 cos(t) t. a) Use calculadora para hacer una tabla con los valores de h(t) en los valores de t que se acercan a 0 por izquierda y por derecha. Luego estime lím t 0 h(t) b) Use una calculadora gráfica o un computador para trazar h(t) cerca de t = En los siguientes casos calcule lím x a f(x) y, si ese límite es L, halle los valores de x para los cuales f(x) L es menor que ɛ. a) f(x) = 3x 7x +, a = 1, ɛ = 0 0 b) f(x) = 3x 8x 3, a = 1/, ɛ = x 3 c) f(x) = 19 x, a = 10, ɛ = 1 d) f(x) = x, a = 3, ɛ = 0 1 e) f(x) = mx, m > 0, a =, ɛ = Suponga que lím x c f(x) = 5 y lím x c g(x) =. Halle a) lím x c f(x)g(x) b) lím x c f(x)g(x) c) lím x c (f(x) + 3g(x)) d) lím x c f(x) f(x) g(x) 10. Usando las reglas para calcular límites, halle, si existe, cada uno de los siguientes: a) lím x x3 3x + 4x b) lím (x + 3)1999 c) x 4 1 e) lím x 1 1 x x 1 i) lím t 0 1 t 1 + t 1 t 4x x f) lím x 4 x j) lím h 0 (3 + h) h 3 lím h 0 3h ( + h) 3 8 g) lím h 0 h x 3x k) lím x x 4 d) lím x x + 3 x + 6 u 4 1 h) lím u 1 u l) lím 1 x x x

12 11. Calcule cada uno de los siguientes límites, si existe a) lím x + 4 x 4 x + 4 b) lím x 4 x + 4 d) lím x +[x] e) lím x g) lím x 8 + [x + 1] x h) lím x 0 x 1 x [x] f) lím x 3x c) lím x 1 5 x 3 x 4 [x] 1 i) lím x 0 x 1 x 1. Si lím x 4 f(x) 5 x = 1, halle lím x 4 f(x). 13. Con un ejemplo muestre que puede existir lím x a (f(x) + g(x)) aunque no existan lím x a f(x), ni lím x a g(x). 14. Con un ejemplo muestre que puede existir lím x a (f(x)g(x)) aunque no existan lím x a f(x), ni lím x a g(x). 15. Puede mostrarse que las desigualdades 1 x 6 < x sin x cos x los valores de x cercanos a cero. < 1 son válidas para todos a) Qué nos dice esto acerca de x sin x lím x 0 cos x? b) Use calculadora graficadora o computador para dibujar en el mismo plano las gráficas de las funciones f(x) = 1 x y g(x) = 1 para x. Qué puede decirse de 6 las gráficas cuando x tiende a 0? 16. Para cada una de las siguientes funciones, existe exactamente un punto a donde los límites de f(x) por la derecha y por la izquierda no existen. Determine a y describa el comportamiento de f(x) para x cerca de a. a) f(x) = x 5 5 x b) f(x) = 1 x x + c) f(x) = x + 1 x + 6x + 9 d) f(x) = x 4 x 17. A partir de la gráfica de f(x), halle los valores de x en los cuales f(x) es discontinua, para cada uno de esos números determine si f(x) es continua por la derecha, o por la izquierda o si no se presenta ninguno de estos casos. a) f(x) = x 1 x 3 1 si x 1, y f(1) = 1/3. b) f(x) = x 1 x 1 si x 1, y f(1) =. c) f(x) = x3 1 x 1 si x 1, y f(1) = Suponga que f(x) es una función continua en todo R. Deduzca que las siguientes funciones son continuas a) f( x ), b) f(x), c) f(x), d) (f(x)) 1, e) (f(x)) + 1.

13 1. Determine dy dx para: UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL TALLER No. 4 a) y = x sin x + tan x b) y = sin x x e) y = sin x 1 cos x f) y = x sin x cos x g) y = x cot x csc x c) y = x sec x + tan x d) y = x csc x. Para qué valores de x la gráfica de f(x) = 4x + cos x tiene tangente horizontal? 3. Encuentre la ecuación de la recta tangente a y = tan x en (π/4, 1). x 3 x si x < 0 x 4. Sea f(x) = + x 0 si x = 0. Determine los puntos en los cuales la función es 1 x si x > 0 discontinua y los puntos en los cuales no es diferenciable. Trace la gráfica de la función. 5. Deduzca la fórmula general para la n ésima derivada de cada una de las siguientes funciones: a) f(x) = 1 x b) f(x) = x 6. Sea f(x) = x 3 + 3x + 1 a) Halle f(1), f (1), f (1) y f (1) b) Defina a 0 = f(1), a 1 = f (1), a = f (1), a 3 = f (1) y g(x) = a 0 + a 1 (x 1) + a (x 1) + a 3 (x 1) 3. Compare f(x) y g(x). Qué puede decir de la función f dada originalmente? 7. En cada caso halle la derivada de la función ( ) x + 1 a) f(x) = b) f(x) = (x 3) 3 (x + ) 4 c) f(x) = (7 x 3 ) /3 x 1 d) f(x) = 3 x + 4 x e) f(x) = x x + (x + 1) x + 1 cos x f) f(x) = x + 1 g) f(x) = 1 + sin x h) f(x) = 1 x x 1 + tan x i) f(x) = sin(x 3 ) + cot(x) j) f(x) = x 1 + x k) f(x) = 4(x 1) l) f(x) = sin 3 (x ) m) f(x) = (x + 1) sin(x 1) n) f(x) = 1 + sin(cos x) cos(sin 3x) o) f(x) = csc ((x + 1) 3 )

14 8. Si y = u(x), donde u(x) es una función diferenciable de x, se tiene que donde u(x) 0. Derive f(x) = 4 x. 9. Halle dy dx d u(x) ( u(x) ) = dx u(x) en cada uno de los siguientes casos a) y = sec(sin x) 1 b) y = sin x + sin 3 3x 10. Si y = f(u) y u = g(x). Demuestre que d y dx = dy d u du dx + d y du 11. Sean f(x) = x 3 y g(x) = (x + 1), calcule: a) y = d (f g)(x) dx b) y = d (g f)(x) dx du dx ( ) du. dx 1. Calcule la segunda derivada de s con respecto a t en cada uno de los siguientes casos: a) s = t t + 1 b) s = (t 7t)(5 t 3 + t 4 ) t En cada caso x y y denotan funciones de t. Halle dy dt a) y = 3 x, cuando x = 8, sabiendo que dx dt = 3 b) xy = 9, cuando x =, sabiendo que dx dt = 6 c) y = 7x 3 x, cuando x = 7, sabiendo que dx dt = 1 d) x 4 + y 3 dx = 1, cuando x = 1, y =, sabiendo que 9 dt = En cada caso halle y : a) x y + xy + x + y = 0 b) x 3 + xy + y = 4 x c) x 5 + 4xy 3 3y 5 = d) (x + y) 3 + (x y) 3 = x 4 + y 4 e) 40x 36xy + 5y 8 13y = 0

15 15. En cada caso calcule y y y a) x + xy + 4 = b) x 3 4xy + xy + 1 = 0 c) x 3/ + y 3/ = 1 d) x xy + y = 3 e) x 3 y + xy 3 = 16. Halle dy dx derivando implícitamente a) y = sin(xy) b) y = sec(xy) c) cos x = x(1 + cot x) d) (sin π + cos πy) = e) x = sec 1 y f) y = tan(cos xy) 17. Halle dy dx por derivación implícita y calcule la derivada en el punto indicado a) y = x 4, (, 0) b) tan(x + y) = x, (0, 0) x + 4 c) x sin y = 1, (, π 1 ) d) (x + y)3 = x 3 + y 3, ( 1, 1) 18. Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva (x + y ) = 4x en el punto (1, 1). 19. Muestre que las curvas x + y = 3 y x = y se cortan en ángulo recto. 0. Pruebe que las gráficas de x 3 = 3(y 1) y x(3y 9) = 3 son ortogonales. 1. Halle los puntos en donde la tangente a la curva x 3 + 3xy + y + 4y = 1 es horizontal o vertical.. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de x + 4y = 4 en el punto (, 1 ). 3. Encuentre la derivada de: ( ) sin 1 (x 3 ) a) f(x) = cot 1 (x) ( sec 1 (3x ) b) f(x) = sin ( x) ( (cot 1 (x )) 3/ c) f(x) = (sin 1 (x 1/3 )) 3 4. Demuestre que ) 3/ ) 1/4 cos 1 1 = x 1 + x sin x cos 1 1 (Observe que las funciones cos x y sin 1 x 1+x cual su diferencia es una constante) tienen la misma derivada, por lo

16 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL TALLER No El volumen de un globo esférico está disminuyendo a razón de 0 cm 3 /min. Con qué rapidez disminuye el radio del globo cuando el volumen es 1 m 3?. Una pista atlética tiene forma circular (centro en un punto C) y su radio es de 50 mts. Un atleta corre por el borde de la pista y un juez lo va a cronometrar desde un punto de partida A. Si el atleta está en un punto B, con qué velocidad crece el área del triángulo ABC, cuando el ángulo central es de π/4? 3. Se coloca una bola en un plano inclinado, de ángulos de inclinación θ, y comienza a rodar. La distancia (en mts) recorrida por la bola en t segundos es s(t) = 4,9(sin θ)t. a) Determine la velocidad de la bola. b) Qué valor de θ produce la máxima velocidad en un instante concreto? 4. Halle los valores extremos de las funciones: a) f(x) = 3x en ( 3, ) 9 x b) f(x) = x en (0, 8] 5. En cada caso halle los intervalos donde la función es creciente a) f(x) = (x ) (x 1) b) f(x) = x /3 (x 5) c) f(x) = 5 x 5 d) f(x) = x 3x 4 e) f(x) = x + 1 f) f(x) = sin x cos x x x g) f(x) = x + cos x h) f(x) = sin x + sin x i) f(x) = cos x 1 + sin x 6. En cada caso halle los extremos locales y los puntos de inflexión a) f(x) = x(x 4) 3 b) f(x) = sec(x π/4), 0 < x < 4π c) f(x) = x x + 1 d) f(x) = sin x + sin x, 0 x π 7. Explique por qué la función polinomial cúbica f(x) = ax 3 + bx + cx + d con a 0, puede tener dos, uno o ningún punto crítico en R. De ejemplos que ilustren los casos. 8. Determine las constantes a y b para que la función f(x) = x 3 + ax + bx + c tenga: a) Máximo relativo en x = 1 y mínimo relativo en x = 3. b) Mínimo relativo en x = 4 y punto de inflexión en x = Sea f(x) = (x ) n

17 a) En la calculadora represente f para n = 1,, 3, 4. Use esas gráficas para formular una conjetura sobre la relación entre n y los puntos de inflexión de la gráfica de f. b) Verifique la conjetura en el apartado a). 10. S denota las ventas semanales de un producto. Qué se puede decir de S y de S en las siguientes circunstancias? a) El ritmo de ventas crece. b) Las ventas crecen a menor ritmo. c) El ritmo de cambio de las ventas es constante. d) Las ventas se mantienen estables. e) Las ventas bajan, pero a menor ritmo. f) Las ventas han tocado fondo y empiezan a crecer. 11. Para que valores de los números a y b alcanza el máximo f() = 1? f(x) = axe bx 1. Estudiar la concavidad y los puntos de inflexión de: a) y = xe x b) y = e x c) y = a e b x d) y = ln x x 13. Demostrar que f(x) = ln x x + c tiene un máximo en x = Demuestre que sin b sin a b a, para todo a, b R. 15. Hallar los máximos y los mínimos absolutos de la función dada, en el intervalo indicado: a) f(x) = x 3 x + ; x [, 1] b) f(x) = cos x x; x [π/, π] c) f(x) = x x + 1 ; x [ 1/, 1] d) f(x) = x + 1 ; x [ 1/, ] x 16. Halle las dimensiones del cono circular recto de máximo volumen que puede inscribirse en una esfera de radio dado. 17. Encuentre las dimensiones del mayor rectángulo que se puede inscribir en un triángulo equilátero de lado a, de manera que dos de sus vértices estén en un mismo lado del triángulo. 18. Encuentre el rectángulo de área máxima que tiene dos vértices sobre el eje de X y los otros dos en la parte de la parábola y = 6 x que está en el semiplano superior.

18 19. Dos fábricas A y B que se encuentran a 4 millas una de la otra, emiten humo con partículas que contaminan el aire de la región. Suponga que el número de partículas provenientes de cada fábrica es directamente proporcional a la cantidad de humo e inversamente proporcional al cubo de la distancia desde la fábrica. Qué punto entre A yb tendrá la menor contaminación si la fábrica A emite el doble de humo que la fábrica B? 0. Demuestre que la distancia mínima de un punto (x 1, y 1 ) a la gráfica de una función derivable f(x) se alcanza a lo largo de una recta normal a la gráfica, es decir, sobre una perpendicular a la tangente. 1. Halle el punto de la gráfica de f(x) = x + 3, que está más cercano al punto (5, 1).. En cada caso determinar los intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente. Hallar los máximos y mínimos relativos de la función. Dibujar su gráfica. a) f(x) = x 4 + x 3 3x + 1 b) f(x) = 4x 6x /3 c) f(x) = x3 + 1 x d) f(x) = x /3 x 1/3 e) f(x) = sin x + sin x f) f(x) = x sin x 3. En cada caso determinar los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y los intervalos donde es cóncava hacia abajo. Hallar los puntos de inflexión y dibujar la gráfica. a) f(x) = x 4 8x 3 b) f(x) = x /3 (1 x) c) f(x) = x3 x + 1 d) f(x) = 3 x + 4. En cada caso estudiar completamente la función definida por: a) f(x) = x x3 4x 4 b) f(x) = x 1 3 x c) f(x) = 4x 8 d) f(x) = x + 4 x x 4 e) f(x) = 8x 1/3 + x 4/3 f) f(x) = x 5 + x g) f(x) = 5x /3 x 5/3 h) f(x) = x 1/3 (x + ) /3 i) f(x) = cos x cos x j) f(x) = x x 5. Esbozar la gráfica de una función continua f tal que: a) f() = f(4) = 0 b) f (x) < 0 si x < 3 c) f (x) > 0 si x > 3 d) f (x) < 0 para todo x

19 6. Decidir en cada caso si es aplicable el teorema del valor medio. En los casos afirmativos hallar los valores posibles de c. a) f(x) = x + 3x 1; [ 3, 1] b) f(x) = x + 3 ; [ 1, 4] x 3 c) f(x) = x /3 ; [0, ] d) f(x) = x 3 x x + 1; [ 1, ] 7. Sea f(x) una función derivable en un intervalo I. Demostrar que entre ceros distintos sucesivos de f (x) puede existir a los más un cero de f(x). 8. Determinar a, b, c y d de tal forma que f(x) = ax 3 + bx + cx + d tenga un máximo relativo en (0, 3) y un punto de inflexión en (1, 1). T 9. La ecuación E = da la intensidad de un campo eléctrico en el eje de un (x + a ) 3/ anillo uniformemente cargado, donde T es la carga total del anillo y a su radio. Para qué valores de x es máxima E? 30. Hallar los extremos, intersecciones con los ejes y asíntotas y trace la gráfica de cada una de las siguientes funciones: a) f(x) = x x 4 b) f(x) = 4 x c) f(x) = x 3 x Una escalera de 5 pies de longitud está apoyada sobre una pared. Su base desliza por el suelo a razón de pies/seg. a) A qué ritmo está bajando su extremo superior por la pared cuando la base dista de ella 7, 15 y 4 pies? b) Halle el ritmo al que cambia el área del triángulo formado por la escalera, el suelo y la pared, cuando la base está a 7 pies del muro. c) Calcule el ritmo de cambio del ángulo entre la escalera y la pared cuando la base está a 7 pies del muro. d) Calcule la aceleración del extremo superior de la escalera cuando su base está a 7 pies del muro. 3. Una cubeta con 10 galones de agua comienza a gotear en el instante t = 0; el volumen V de agua en la cubeta t segundos más tarde está dada por ( V (t) = 10 1 t ) 100 hasta que la cubeta se vacía en el instante t = 100 a) A qué razón sale el agua de la cubeta después de un minuto?. b) En qué instante son iguales la razón de cambio instantánea de V y la razón de cambio promedio de V de t = 0 a t = 100?.

20 33. Una persona de 1,8 mts camina hacia un edificio a razón de 1,5 mts/seg. Si hay una lámpara sobre el suelo a 15 mts del edificio, con qué rapidez se acorta la sombra de la persona cuando se encuentra a 9 mts del edificio? 34. Una mujer en un muelle tira de un bote a una velocidad de 15 mts/min usando una soga amarrada al bote al nivel del agua. Si las manos de la mujer se hallan a 4.8 mts por arriba del nivel del agua. Con qué rapidez se aproxima el bote al muelle cuando la cantidad de cuerda suelta de de 6mts? 35. De un embudo cónico invertido sale agua a razón de 1 cm 3 /seg, si el radio de la base es de 4.5 cm y la altura es de 9 cm. Calcule la velocidad a la que cambia la profundidad del agua cuando está es de 8 cm. 36. Halle los puntos extremos y los puntos de inflexión, si los hay, de las siguientes funciones: a) f(x) = ex e x b) f(x) = xe x 37. Ley de Boyle. Esta ley establece que si la temperatura de un gas permanece constante, su presión es inversamente proporcional a su volumen. Use la derivada para mostrar que el ritmo de cambio de la presión es inversamente proporcional al cuadrado del volumen. 38. La sombra de un edificio de 80 pies sobre el suelo es de 100 pies. Si el ángulo que forma el sol con el suelo disminuye a razón de 15 por hora. A qué razón aumenta la longitud de la sombra? 39. Si un objeto cae desde una altura de h mts, t segundos después de iniciar la caida ha recorrido una distancia de s(t) = 4,9t + h A un obrero se le cae una llave inglesa desde una altura de 50 mts y grita: cuidado ahí abajo. Cuánto tiempo deberá permanecer apartada de la trayectoria de la llave una persona en el suelo?, a qué velocidad la llave tocará el suelo? 40. Un tanque tiene forma de un cilindro con extremos hemisféricos. Si la parte cilíndrica tiene 10 mts de largo, y tiene un radio de 1 mts. Cuánta pintura se necesita para pintar la parte exterior del tanque con un espesor de 1 milímetro?