Cálculo de Estructuras Utilizando Elemento Finito con Cómputo en Paralelo

Transcripción

1 Cntro d Invstigación n Matmáticas A.C. Mastría n Cincias con Espcialidad n Computación y Matmáticas Industrials Cálculo d Estructuras Utilizando Elmnto Finito con Cómputo n Parallo por José Migul Vargas Félix Assor: Dr. Salvador Botllo Rionda Guanajuato, abril d

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3 Rsumn Nustro trabajo trata sobr la solución numérica d problmas d dformación linal d sólidos por mdio dl método d lmntos finitos, stos problmas s rsulvn utilizando stratégias d cómputo n parallo. Hablamos sobr algunas formas d parallizar los algoritmos, tanto utilizando modlos d mmoria compartida como d mmoria distribuída. En particular nos cntrarmos n la dscomposición d dominios usando l método altrnant d Schwarz para rsolvr problmas d lmnto finito con mallas muy rfinadas. El método altrnant d Schwarz s rfir a particionar l dominio dl problma d tal forma qu haya traslap n las frontras comuns d las particions. Cada partición s rsulv como un problma indpndint, dspués s intrcambian valors n las frontras con las particions adyacnts. Est procso s rpit d forma itrativa hasta la convrgncia global dl problma. Hablarmos d la parallización utilizando dos tipos d algoritmos para rsolvr los sistmas d cuacions rsultants: gradint conjugado y factorización Cholsky. En cuanto a la factorización Cholsky, xplicarmos varias stratégias para hacrla más ficint, como son: almacnaminto utilizando squmas d matrics ralas, factorización Cholsky simbólica para dtrminar la structura d la matriz ants d calcular sus ntradas y l rordnaminto d la matiz d rigidz para obtnr una factorización más conómica. S dscrib n sta tsis la implmntación d un programa d cómputo qu utiiliza la dscomposición d Schwarz para rsolvr problmas d dformación d sólidos n dos y trs dimnsions. Est programa fu implmntado para funcionar n un clustr d computo con l objtivo d rsolvr problmas d gran scala n forma ficint. Finalmnt mostrarmos algunas gráficas d timpos obtnidas al rsolvr sistmas d cuacions con dcnas d millons d variabls. Palabras clav: Ecuacions difrncials parcials, dscomposición d dominios, álgbra linal, cómputo n parallo, método d lmnto finito, método altrnant d Schwarz.

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5 Agradcimintos En primra instancia y d forma gnral quiro agradcr al CIMAT, s un gran lugar para crcr, tanto n forma académica, como n forma prsonal. Es una comunidad fantástica d la cual rcibí incontabl apoyo. En partícular ahora quiro dcir gracias al Dr. Salvador Botllo por compartir su conociminto y xprincia, por todo l apoyo qu m brindó. Admás d assorar y guiar con por bun camino sta tésis, consiguió los rcursos (bcas, cursos y hardwar) ncsarios para llvarla a cabo. A los rvisors Dr. Arturo Hrnándz Aguirr y Dr. Migul Ángl Mórls Vázquz, por sus valiosos comntarios y opinions. Agradzco también a Jos Jsus Rocha Quzada quin fu l ncargado ponr a punto l clustr d cómputo n l cual s implmntó sta tsis. Al Dr. Juan José Tapia Armnta por su intrés n st trabajo d tésis y por tomars l timpo d lr y nviarm comntarios, los cuals furon d gran ayuda. Apoyos rcibidos Durant l timpo n qu ralicé mis studios d mastía rcibí apoyos n forma d bcas, sin los cuals no hubis sido posibl la conclusión d stos y l dsarrollo d sta tésis. Cntro d Invstigación n Matmáticas (CIMAT) Octubr a dicimbr d 7. Art - III - Bca d studios d Mastría (Acta 7-) Enro d 8. Art - III - Bca d studios d Mastría (Acta 8-) Agosto a dicimbr d 9. Art9- VI- Bca d laboración d tsis d Mastría (Acta 9-) Consjo Nacional d Cincia y Tcnología (Conacyt) Enro d 8 a julio d 9. Convocatoria d Bcas Conacyt Nacionals nro - julio 8. Novimbr a dicimbr d 9. Proycto d Invstigación 897-Y

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7 A los implicados

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9 Índic Gnral Rsumn... Agradcimintos... Apoyos rcibidos... Cntro d Invstigación n Matmáticas (CIMAT)... Consjo Nacional d Cincia y Tcnología (Conacyt).... Introducción..... Motivación..... Distribución d los capítulos..... Modlos d cómputo n parallo..... Avanc dl cómputo n parallo..... Las matmáticas dl parallismo..... Sobr l stado dl art Discrtización con l método d lmntos finitos Dscomposición d dominios Dominios sin traslap, complmnto d Schur Métodos Numann-Numann Métodos Dirichlt-Dirichlt.... Dformación lástica d sólidos con l método d los lmntos finitos..... Elasticidad bidimnsional Esfurzos y dformacions Principio d trabajos virtuals Discrtización n lmntos finitos Funcions d forma Discrtización d los campo d dformacions y sfurzos Ecuacions d quilibrio d la discrtización Ensamblado d la matriz d rigidz..... Elasticidad tridimnsional Esfurzos y dformacions Funcions d forma Discrtización d los campo d dformacions y sfurzos Ecuacions d quilibrio d la discrtización...7. Una aplicación d la parallización con mmoria compartida Introducción Arquitctura dl procsaminto n parallo Parallización con thrads..... Algoritmo d gradint conjugado..... Formulación n parallo... 9

10 Agradcimintos.. Implmntación con matrics ralas Rsultados.... Una aplicación d la parallización con mmoria distribuída Parallización con mmoria distribuida Dscomposición d dominios Algoritmo altrnant d Schwarz Aplicación con un problma d lmnto finito Vlocidad d convrgncia..... Particionaminto dl dominio..... Implmntación con MPI Factorización Cholsky simbólica para matrics ralas..... Cómo lograr un solvr dircto ficint..... Factorización clásica d Cholsky..... Rordnaminto d rnglons y columnas Dscripción dl problma Matrics d prmutación Rprsntación d matrics ralas como grafos Algoritmos d rordnaminto Factorización Cholsky simbólica Implmntación En dos dimnsions Rsultados Prparación Dscomposición d dominio y gradint conjugado Gradint conjugado parallizado Gradint conjugado sin parallizar Dscomposición d dominio y factorización Cholsky simbólica Evolución y convrgncia Distribución d timpo Traslap Afinidad dl CPU Sistmas grands Un caso particular con malla structurada Distribución d timpos dl algoritmo Conclusions y trabajo futuro Bibliografía... 9 Apéndic A. Guía para hacr prubas...9 Forma combinada... 9 Particions indpndints... 9 Apéndic B. Ejmplo d jcución n un clustr... Apéndic C. Gnración d mallas grands...

11 . Introducción.. Motivación Algunos problmas modlados con lmnto finito rquirn d una discrtización muy fina para rducir l grado d rror, lo cual implica utilzar una gran cantidad d rcursos d cómputo para podr sr rsultos. En particular nos nfocamos n problmas d lmnto finito rsultants d la modlación d la dformación lástica d sólidos n dos y trs dimnsions. Sucd ntoncs qu l tamaño d las matrics rsultants d sta modlación fina son tan grands qu no s factibl almacnarlas n la mmoria d una sola computadora, admás, l timpo qu s tarda n ncontrar la solución dl sistma d cuacions pud sr dmasiado xtnso como para rsultar práctico. Lo qu nos llva a cambiar d paradigma d programación y nfocarnos n l cómputo n parallo, con l cual hacmos qu múltipls computadoras trabajn d forma cooprativa n la rsolución d st tipo d problmas... Distribución d los capítulos Iniciarmos más adlant n st capítulo hablando d forma brv dl cómputo n parallo, tanto d hardwar y softwar, la motivación matmática d ést y harmos una intruducción a la técnica d dscomposición d dominios hablando brvmnt dl stado dl art d ést. El ordn d los capítulos siguints tin qu vr con la forma n qu s fu atacando l problma. Con l capítulo dscribirmos la toría d dformación lástica d sólidos con lmntos finitos. En l capítulo dscribirmos la parallización d dicho programa utilizando l squma d mmoria compartida utilizando como solvr l método d gradint conjugado n parallo, prsntamos algunos rsultados. A continuación, n l capítulo, hablarmos d la toría implmntación un squma híbrido, qu combina los squmas d mmoria distribuida y mmoria compartida. En pocas palabras, lo qu hacmos s particionar l dominio d un problma d lmntos finitos para así formar problmas indpndints qu stán rlacionados ntr sí a través d condicions d frontra comuns. Cada problma indpndint s rsulv utilizando l solvr dscrito n l capítulo. Las solucions locals a cada partición s combinan con las d las particions adyacnts d forma itrativa hasta lograr una convrgncia. Mostramos algunos rsultados y dnotamos algunos d los problmas d st squma híbrido.

12 . Introducción Para solvntar los problmas ncontrados con l squma híbrido, dcidimos implmntar como solvr dl sistma d cuacions la factorización Cholsky simbólica para matrics ralas. En l capítulo mostramos la toría y dtalls d implmntación d st solvr. Al utilizar la factorización Cholsky para matrics ralas como solvr para l squma d mmoria distribuida implmntado s obtuviron rsultados intrsants, los cuals son mostrados n l capítulo. S incluy al final d st trabajo un apéndic con los dtalls dl programa d softwar qu implmnta los algoritmos dscritos n los capítulos a... Modlos d cómputo n parallo El modlo más común para clasificar las arquitcturas d cómputo n parallo s la taxonomía d Flynn [Flyn7]. Esta taxonomía agrupa las difrnts arquitcturas d computadoras basándos n l flujo d datos instruccions n una computadora, dnotando si s pud o no procsar datos y/o jcutar instruccions n parallo, lo qu da como rsultado las cuatro catgorías d la tabla.. Un dato Múltipls datos Una instrucción Múltipls instruccions SISD MISD SIMD MIMD Tabla.. Taxonomía d Flynn. SISD (singl instruction, singl data). En st modlo no xist parallismo ni d procsaminto d datos ni d jcución d instruccions. S rfir ntoncs al procsaminto srial ncontrado n las computadoras con un solo procsador. SIMD (singl instruction, multipl data). Est tipo d computadoras tinn arrglos d procsadors qu jcutan la misma scuncia d instruccions n datos difrnts. Las tarjtas d vido modrnas o GPUs s basan n st modlo, cada una pud tnr dcnas o cintos d procsadors qu pudn, por jmplo, aplicar la misma opración a muchas ntradas d una matriz al mismo timpo. El disño d st tipo d hardwar lo hac spcialmnt ficint para opracions sncillas, pro no lo s tanto cuando los algoritmos prsntan condicions d la forma: si l dato s A jcuta sta instrucción, si s B sta otra. Est tipo d condicionants no son fácils d parallizar, lo qu rsulta n qu n stos casos s jcut primro la instrucción para A y lugo la instrucción para B d forma srial. MISD (multipl instruction, singl data). Es l caso mnos común d sta taxonomía, n él múltipls procsadors trabajan n parallo pro n un mismo dato. Est tipo d arquitctura s utiliza n sistmas qu tinn qu oprar a pruba d fallos, n los cuals s ncsario tnr rdundancia. Por jmplo la computadora d control d vulo dl transbordador spacial utiliza sta arquitctura. MIMD (multipl instruction, multipl data). En st caso s tinn muchos procsadors, cada uno jcutando una scuncia d instruccions aplicada a datos difrnts. Por jmplo, las computadoras d scritorio multi- cor sigun sta arquitctura. Los sistmas distribuidos también s considran dntro d sta clas, tanto si utilizan squmas d mmoria compartida o distribuida. Es la arquitctura más

13 . Introducción utilizada n computación cintífica d alto rndiminto, la mayoría d las computadoras n la lista TOP, utilizan st squma... Avanc dl cómputo n parallo Motorola 8 (M ips) Intl 8x8 (M ips) Motorola 8 (88M ips) Intl Pntium Pro (M ips) Intl Pntium III (.G ips) Intl 8x8 (M ips) E+ Intl 8x8 (M ips) E+ Intl 88 (K ips) E+ Motorola 8 (M ips) E+ Intl Cor i7 AMD Phnom II X (7G ips) (G ips) E+ PlayStation Cll (G ips) E+ AMD Athlon XP (.9G ips) Intl Pntium IV (9.7G ips) 7E+ Intl Cor (9G ips) 8E+ Intl (9K ips) Númro d instruccions por sgundo En años rcints s ha logrado un avanc xponncial n cuanto a la capacidad d procsaminto, d los procsadors, como s mustra n la figura.. E Figura.. Evolución d la capacidad d los procsadors n instruccions por sgundo (ips). Est incrmnto no solo s db al dsarrollo d la tcnología con la qu s fabrican los procsadors, sino al hcho d qu ahora s fabrican procsadors con varios núclos. Por jmplo l procsador Intl Cor i7-98x tin núclos. Los sistmas oprativos y compiladors modrnos aprovchan sta caractrística para jcutar sus rutinas n parallo. El stándar más utilizado para procsadors multi-cor s OpnMP [Chap8]. Otro avanc important n los últimos años s qu l uso d clustrs d computadoras s ha hcho accsibl. En particular los clustrs Bowulf [Str9], son implmntados con computadoras comrcials qu son intrconctadas por mdio d una rd local (figura.), las computadoras funcionan jcutando sistmas oprativos librs (GNU/Linux, FrBSD, tc.) y s programan utilizando librrías qu prmitn la comunicación ntr los programas d cálculo numérico. La librría más utilizada para dsarrollar aplicacions n parallo n clustrs Bowulf s la intrfac d pas d mnsajs MPI (dl inglés, Mssag Passing Intrfac) [MPIF8], ésta prmit implmntar con facilidad programas qu s jcutn bajo l squma d mmoria distribuida.

14 . Introducción Computadoras nodos scalvo Computadora nodo mastro Rd xtrna Switch d rd Figura.. Configuración típica d un clustr Bowulf. El trabajo d sta tsis implicó l dsarrollo d un programa d softwar para rsolvr problmas d lmnto finito utilizando cómputo n parallo. Para la implmntación y pruba d st programa s utilizó l clustr d cómputo dl CIMAT, l cual sigu l modlo MIMD. Cunta con computadoras multi-cor, las cuals provn un total d 9 procsadors, los cuals son accsados a través d un nodo mastro. Éstas tinn instalado l sistma oprativo GNU/Linux, la suit d compiladors GNU/GCC y la librría d MPI OpnMPI.... Las matmáticas dl parallismo Hay muchas opracions matmáticas básicas qu pudn parallizars, sto significa qu pudn sparars n varias sub-opracions qu pud ralizars d forma indpndint. Por jmplo, l la suma d dos vctors x, y para producir otro vctor c, c i= x i y i, i=,, N. En st caso las N sumas pudn ralizars simultánamnt, asignando una a cada procsador. Lo qu hay qu rsaltar s qu no hay dpndncia ntr los difrnts pars d datos, tnmos ntoncs l parallismo más ficint. Hay opracions qu prsntan mayor dificultad para parallizars, por jmplo l producto punto x, y N a= x i yi, i= dond a s un scalar, una primra aproximación sría vrlo como una scuncia d sumas d productos qu rquirn ir acumulando un rsultado, al vrlo así no s una opración parallizabl. Sin mbargo, podmos rorganizar l procso como s mustra n la figura..

15 . Introducción x y x y x y x y xn y N a Figura.. Parallización dl producto punto. En st caso s tin una parallización ficint d la multiplicación d las ntradas d los vctors, dspués s va rducindo la ficincia, l primr grupo s sumas s ralizado por N / procsadors, las sgundas sumas por N / procsadors, hasta llgar a la suma final n un procsador, l qu obtin l rsultado final a. En st tipo d parallización xist dpndncia ntr los datos y llo provoca qu sa mnos ficint. Muchos algoritmos srials rquirn, para sr parallizados, d r-ordnar las opracions con una stratgia d divid y vncrás, como n l caso dl producto punto. Usualmnt s tndrán mmos procsadors qu l tamaño dl vctor, por lo qu s asignan varias opracions d un grupo a cada procsador, las cuals s jcutarán n scuncia, lo qu rduc aún más la ficincia dl parallismo... Sobr l stado dl art La toría d dscomposición d dominios para rsolvr problmas d cuacions difrncials parcials s un tma n constant dsarrollo. En años rcints ha sido bnficiado por la cración d sistmas d cómputo cada vz más vlocs, con mayor capacidad d mmoria y vlocidad d comunicación ntr nodos. La tndncia iniciada n la década d los años novnta ha sido trabajar al mismo timpo con las solucions individuals d cada particion y d forma gnral con un subdominio gruso d todo l problma. En l caso dl trabajo con problmas d lmnto finito n mcánica d sólidos n régimn linal s prsntan matrics simétricas positivas dfinidas, varios d los métodos más modrnos para rsolvr st tipo d problmas usan dscomposición d dominios sin traslap, por llo vamos a hablar d éstos n las siguints sccions, aunqu muy brvmnt. Para sta tsis, sin mbargo, lgimos trabajar usando l método d dscomposición d dominios con traslap, l cual srá dscrito n l capítulo.... Discrtización con l método d lmntos finitos Una técnica muy utilizada para rsolvr numéricamnt problmas d cuacions difrncials parcials s l método d lmntos finitos. El método consist n discrtizar un dominio dividiéndolo n lmntos gométricos qu aproximadamnt cubran al dominio. S gnra así una malla d lmntos, los cuals

16 . Introducción compartn aristas y nodos, figura.. Las rlacions ntr nodos corrspondn a ntradas n una matriz. Así, la rlación ntr los nodos i y j quival a un valor n la ntrada a i j n una matriz A. Dado qu xist una rlación dl nodo i al nodo j, también xist una rlación (no ncsariamnt con l mismo valor) dl nodo j al nodo i, lo qu producirá una matriz con structura simétrica, aunqu no ncsariamnt simétrica n cuanto a sus valors (n las sccions siguints s tratan sólo problmas con matrics simétricas tanto n structura como n valors). Admás, n la diagonal aparcn ntradas qu rprsntan a los nodos. aii ai j j A= i a ji ajj Figura.. Discrtización d un dominio. Tndrmos ntoncs la rprsntación dl problma d cuacions difrncials parcials como un sistma d cuacions A x=b, x=c n con cirtas condicions (Dirichlt o Numann) n la frontra. En l capítulo formularmos problma d dformación linal d sólidos utilizando st método.... Dscomposición d dominios La dscomposición d dominios nac d la ncsidad d trabajar cuacions difrncials n dominios discrtizados qu producn sistmas d cuacions grands, tratando d rsolvrlos d forma ficint. En forma gnral podmos dcir qu xistn dos tipos d dscomposición d dominios, utilizando particions sin traslap o con traslap, figura.. Figura.. Dscomposición n dominios sin traslap (izquirda) y con traslap (drcha).

17 . Introducción Dividir un dominio n P particions quival ntoncs a sparar n P bloqus la matriz A qu rprsnta las rlacions ntr nodos. Cada dominio ntoncs stará rprsntado por una matriz A p, con p= P. El siguint paso s rsolvr l sistma d cuacions con la matriz A p d cada partición d foma indpndint, utilizando algún método convncional para rsolvr sistmas d cuacions. La solucions obtnidas s intrcambiarán con las particions adyacnts y así, d forma itrativa, s irá aproximando la solución global dl sistma.... Dominios sin traslap, complmnto d Schur En dominios sin traslap, =, =, =, dos particions adyacnts tndrán nodos n común n la frontra, lo qu quivaldrá a ntradas iguals n sus rspctivas matrics. Podmos ntoncs formar la matriz A como A II A= A I A I x I b I A I, x= x I, b= b I. x b A A II A I (.) Para cada patición p tndrmos ntoncs p A = A IpI A Ip A pi A p p,x = x Ip x p p,b = b I p b p, con p= P. (.) Una stratgia para rsolvr st tipo d problmas s utilizar l sistma d complmntos d Schur [Tos pp-7]. Part d liminar las incógnitas x I p n l intrior d la partición, sto corrspond a la factorización d la matriz d (.) como I A=L R= I A I AI I A I A I I I A II A II A I A I, S y un sistma linal rsultant A II A II A I b I A I x = b I, S g aquí S =A A I A II A I A I A II A I, s l complmnto d Schur rlativo a las incógnitas n. Acomodando como n (.), podmos scribir l complmnto d Schur local S p = A p A pi A I pi A Ip, con p= P, ncontrarmos l complmnto d Schur para x con S x = g, (.) con 7

18 . Introducción S =S S, g = b A I A II b I b A I A II b I = g g. El método d complmntos d Shur consist ntoncs n ncontrar primro la solución n la frontra común x rsolvindo (.) y dspués aplicar ésta como condición d Dirichlt para ncontrar las incógnitas dntro d los dominios con x I p = A IpI b Ip A I p x. Si partimos d una condición d Numann n la frontra común, = =, rsolvmos los sistmas locals d Numann para ncontrar x y x, A I pi A pi A Ip A p (.) x Ip b I p =, con p= P. x p b p p Usando la factorización n bloqus d las matrics locals, ncontramos x p = S p g p p, ahora podmos ncontrar usando F =d, (.) con F = S S, d =d d = S g S g.... Métodos Numann-Numann S ls conoc como métodos Numann-Numan [Tos pp-] porqu s rsulv un problma Numann a cada lado d la intrfaz ntr los subdominios. El primr paso para rsolvr l algoritmo Numann-Numann s rsolvr l problma con condicions Dirichlt n cada domino p, con valors x n, dspués n cada subdominio rsolvr un problma Numann, con valors scogidos como la difrncia n las drivadas normals d la solución d dos problmas Dirichlt. Los valors n d las solucions d stos problmas Numann son utilizados para corrgir la aproximación inicial x y obtnr x. Para dos partcions, podmos dscribir l método utilizando opradors difrncials, así, para n, 8

19 . Introducción Problma Dirichlt D p Problma Numann N p { { } x n / =b n p p n / x p = sobr p, p=,, n / n x p =x n } n n p p = n p = sobr p, p=,. n n / n / p x x = n ni n n Para la siguint itración usarmos n n n x n =x n, con un, max lgido d forma adcuada. Para mostrar n st procdiminto forma matricial intoducirmos los vctors intrnos d grados librtad v p= x I p y w p= Ip, así / A I pi v n A Ip x n =b I p, p=,, p Problma Dirichlt D p Problma Numann N p / A IpI A I p w n p =, p=,, p p n / r A I A p (.) (.7) n n n x n = x, dond l rsidual r s dfin como / r = A I v n A x n b A I v n / A x n b. / A continuación liminamos v n /, w n d (.) y (.7). A partir dl problma Dirichlt D p, p p r = g S x n, qu indica qu la difrncia r s igual al ngativo dl rsidual dl complmnto d Schur para l sistma (.). Usamos la factorización por bloqus d las matrics locals A p, los problmas d Numan N p dan p = S p r = S p r n g S x n. Finalmnt ncontramos n x n x = S S g S x. n El prcondicionador para l sistma (.) sría [ S F= S S ] S=[ S S ] S S. Tomando como bas l algoritmo Numann-Numann, s ha dsarrollado l método BDD (n inglés, Balancing Domain Dcomposition), la formulación d ést s pud ncontrar n [Mand9]. Los métodos BDD son algoritmos itrativos qu trabajan con substructuras, s dcir, métodos dond los grados d librtad intriors d cada una d las particions sin traslap son liminados. En cada itración s rsulvn los problmas locals d cada partición y s combinan las solucions con un problma n una malla más grusa crata a partir dl subdominio dl spacio nulo. En las forntras comuns s stablcn condicions Numann. 9

20 . Introducción Una d las stratégias más rcints para rsolvr problmas d dscomposición d dominios para problmas d lmnto finito d dformación lástica d sólidos qu producn matrics simétricas positivas dfinidas s l método d balanc d dscomposición d dominios por rstriccions, BDDC (n inglés, Balancing Domain Dcomposition by Constraints) [Mand] y [Dohr]. El problma s rsulv utilizando formulando un spacio gruso (coars spac) l cual consist d fucions d minimización d nrgía con los grados d librtad dados n la malla grusa, una dscripción condnsada pud ncontrars n [Widl8]. Rcintmnt s han dsarrollado algoritmos basados n BDD formulados con subdominios con traslap, la dscripción d stos pud consultars n [Kimna] y [Kimnb].... Métodos Dirichlt-Dirichlt El caso dual al algoritmo Numann-Numan s l algoritmo con condicions Dirichlt a ambos lados d la intrfaz común d los subdominios [Tos pp-]. Si comnzamos con una aproximación inicial n, como n (.), podmos rsolvr inicialmnt problmas con condicions Numann, n cada p. Dspués rsolvrmos un problma con las condicions Dirichlt n lgidas como la difrncia d la traza d las solucions d los problmas Numann n. Los valors n d las drivadas normals d las solucions d stos problmas Dirichlt son mplados para corrgir la incial y ncontrar l valor para la nuva itración. Para dos partcions, podmos dscribir l método utilizando opradors difrncials, así, para n, Problma Numann N p Problma Dirichlt D p { } x n / =b n p p n / x p = sobr p, p=,, n / xp n = p n np { } n n p p = n p = sobr p, p=,. n n / n / p =x x n Para la siguint itración usarmos n = n n n n, n n con un, max lgido d forma adcuada. Para mostrar n st procdiminto forma matricial intoducirmos los vctors intrnos d grados librtad v p= x I p y w p= Ip, así Problma Numann N p A IpI A I p A pi A p Problma Dirichlt D p v n / p n / p b Ip b p np, p=,, p A I pi w n p AI r =, p=,, n n n n =, dond l rsidual r s dfin como = (.8) (.9)

21 . Introducción r = n / n /, y los flujos n por p p n / n A p r. p = A I w p / Para liminar v n /, w n y n / d (.8) y (.9) usamos la factorización por bloqus d las matrics p p p p locals A, los problmas d Numan N p dan r = d F n, qu indica qu la difrncia r s igual al ngativo dl rsidual dl complmnto d Schur para l sistma (.). D los problmas Dirichlt D p podmos stablcr p n r = S p r d F n. p =S Finalmnt ncontramos n n n = S S d F. El prcondicionador para l sistma (.), ést sría la matriz [ S F= S S S ]= S S [ S S ]. A st método s l conoc como FETI (Finit Elmnt Taring and Intrconnct), spcíficamnt FETI con prcondicionador [Tos p]. El método FETI s pud rformular como un problma d minimización con rstriccions, minimizando la suma d las formas d nrgía d los dos subproblmas sujtos a la rstricción x x =, tndrmos ntoncs qu formará un vctor d multiplicadors d Lagrang [Li], a st nuvo método s l conoc como FETI-DP (FETI Dual-Primal) [Farh]. Una dscripción profunda d stos métodos pud ncontrars n [Tos], [Mand] y n [Widl8].

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23 . Dformación lástica d sólidos con l método d los lmntos finitos Vamos a dscribir la toría d lasticidad d sólidos n dos y trs dimnsions. En st dsarrollo modlarmos sólidos formados por matrials homogénos isotrópicos... Elasticidad bidimnsional... Esfurzos y dformacions Para una structura plana con sfurzos y dformacions aplicados n l mismo plano, podmos utilizar la hipótsis d qu, para un mismo matrial, las dformacions prpndiculars al plano srán d la misma magnitud. Así, podmos omitir sta dimnsión y trabajar sólo n l plano, asumindo qu l campo d dsplazamintos stá prfctamnt dfinido si s conocn los dsplazamintos n las coordnadas x y n todos sus puntos [Bot p8]. El vctor d dsplazamintos n un punto s dfin como [ ] u x, y = u x, y, v x, y (.) n dond u x, y y v x, y rprsntan los dsplazamintos d un punto n las coordnadas x y rspctivamnt. A partir dl campo d dsplazamintos (.) s dducn las dformacions hacindo uso d la toría gnral d lasticidad [Esch97], l vctor d dformacions s ntoncs [] x = y x y [ ][ ] u x x v = = y u v y y x y x [uv ], (.) dond x y y son las dformacions normals y x y la dformación por cizalladura. Con rspcto a la dformación longitudinal z hay qu sñalar qu n l caso d dformación plana s utiliza la hipótsis d qu s nula. Por otra part, n un stado d sfurzo dicha dformación no s nula, pro sí s supon qu

24 . Dformación lástica d sólidos con l método d los lmntos finitos lo s z (la componnt dl sfurzo prpndicular al plano). Por consiguint, n ninguno d los dos casos hay qu considrar la dformación z ya qu no intrvin n las cuacions dl trabajo d dformación al sr l producto z z nulo. También considramos qu x z= y z =. D la cuación (.) s dduc qu los sfurzos tangncials x z y y z son nulos. Usando la misma hipótsis con rspcto a la dformación z, l sfurzo z no intrvin, por tanto l vctor d sfurzos srá [] x = y, x y (.) con x y y sfurzos normals y x y l sfurzo tangncial. La rlación ntr sfurzos y dformacions s dduc d la cuación constitutiva d la lasticidad tridimnsional [Esch97], con las hipótsis para z, z y x z= y z = mncionadas antriormnt. S dduc ntoncs qu la rlación matricial ntr sfurzos y dformacions stá dada por =D. (.) En l caso d considrar sfurzos inicials y dformacions inicials [Zin p], dbidos a cambios d tmpratura, ncogiminto, crciminto d cristals, sfurzos rsiduals inicials, tc., utilizamos la forma más gnral d (.) qu s =D. (.) La matriz D s conoc como matriz constitutiva o matriz d constants lásticas. Dl Torma d Maxwll-Btti s dduc qu D s simpr simétrica [Esch97 p]. En l caso d lasticidad isotrópica [ ] v E D= v, v / dond E s l módulo d Young y l coficint d Poisson.... Principio d trabajos virtuals La xprsión intgral d quilibrio n problmas d lasticidad bidimnsional pud obtnrs hacindo uso dl principio d los trabajos virtuals [Zin pp-7]. Tnindo n cunta los sfurzos y dformacions qu contribuyn al trabajo virtual d la structura, la xprsión dl principio d trabajos virtuals pud scribirs como x x y y y y t da= ub x vb y t da u t x v t y t ds ui U x v i V y. A A l i (.) A la izquirda d la cuación stá rprsntado l trabajo qu los sfurzos x, y y x y ralizan sobr las dformacions virtuals x, y y x y. El primr mimbro a la drcha d la igualdad rprsnta las furzas rpartidas por unidad d volumn b x y b y. El sgundo mimbro indica las furzas rpartidas sobr l contorno t x y t y. Y finalmnt l trcr mimbro las furzas puntuals U i y V i sobr los dsplazamintos virtuals u y v. A y l son l ára y l contorno d la scción transvrsal dl sólido y t su spsor. En problmas d sfurzo plano, t coincid con l spsor ral, mintras qu n problmas d dformación plana s usual asignar a t un valor unidad.

25 . Dformación lástica d sólidos con l método d los lmntos finitos Dfinindo l vctor d furzas puntuals [ ] qi= U i, Vi l vctor d furzas sobr l contorno [] t= tx ty y l vctor d furzas másicas como [] b= b x, by podmos ntoncs xprsar (.) n forma matricial T t da= ut b t da ut t t ds uti q i. A A i l (.7) D las cuacions (.) y (.) s obsrva qu n las intgrals dl principio d trabajos virtuals sólo intrvinn las primras drivadas d los dsplazamintos, lo qu implica qu s rquir continuidad d clas C n la aproximación d lmntos finitos.... Discrtización n lmntos finitos La figura. mustra l dominio d un problma, l cual s analiza bajo las hipótsis d lasticidad bidimnsional, cunta admás con cirtas condicions d frontra d Dirichlt u y d Numann q. u q Figura.. Dominio dl problma. Para nustro dsarrollo vamos a utilizar para discrtizar l dominio lmntos triangulars d trs nodos, los cuals son sncillos d visualizar. En la figura. vmos la discrtización dl dominio.

26 . Dformación lástica d sólidos con l método d los lmntos finitos u q Figura.. Discrtización (mallado) dl dominio. La malla d lmntos finitos rprsnta una idalización d la gomtría ral. Por consiguint, l análisis por lmntos finitos rproduc l comportaminto d la malla scogida y no l d la structura ral. Solamnt comprobando la convrgncia d la solución podmos stimar l grado d aproximación d la solución d lmntos finitos a la xacta.... Funcions d forma Un lmnto triangular d trs nodos s caractriza por los númros d sus nodos,, y, con sus rspctivas coordnadas. Esta numración s local y tin qu crars una corrspondncia con la numración global. N x, y y y N x, y x y x N x, y x Figura.. Funcions d forma para un lmnto finito triangular d trs nodos. Tomando un lmnto aislado, como l d la figura., podmos xprsar los dsplazamintos cartsianos d un punto cualquira n l intrior dl lmnto n función d los dsplazamintos d sus nodos introducindo las funcions d norma N i, con i=,, u x, y = N i x, y u i, i= v x, y = N i x, y v i, i= dond u i y vi son los valors discrtos d dsplazaminto n los nodos. Una función d forma N i tin qu cumplir la condición d valr uno n la coordnada dl nodo i y cro n los nodos j i.

27 . Dformación lástica d sólidos con l método d los lmntos finitos Para obtnr unas funcions d forma más fácils d trabajar, s convnint hacr un mapo a un spacio normalizado, como s mustra n la figura.. y x Figura.. Mapo d un lmnto a un spacio normalizado. Dfinamos ntoncs a u y v n términos d las coordnadas normalizadas y, como sigu u, = N i, ui, i = v, = N i, v i, i= con lo qu podmos dfinir las funcions d forma como N, =, N, =, N, =. Las funcions d cambio d coordnada srán x, = N i, x i, i= y, = N i, yi. i =... Discrtización d los campo d dformacions y sfurzos Podmos así xprsar las componnts d la dformacion (.) como Ni Ni Ni Ni u u v v = u i, = u i, = v i, = v. x i x x i x x i x y i y i 7

28 . Dformación lástica d sólidos con l método d los lmntos finitos Para aplicar un cambio d variabl n las primras drivadas rqurirmos dl jacobiano Ni x y = x y Ni Ni x Ni. y J Sí dt J, ntoncs Ni x = J Ni y Ni. Ni Ahora podmos dfinir l vctor d dformacions (.) como [] x = y = i x y [ ][ ] Ni u x i Ni = v y i i Ni Ni u v y i x i Ni x Ni y Ni x Ni y [ ] ui vi, (.8) ui Bi dond Bi s la matriz d dformación dl nodo i. Visto n forma más compacta =[ B B B n ] [] u u, un finalmnt como =B u. (.9) Pud vrs ntoncs qu la matriz d dformación B stá compusta d tantas sub-matrics Bi como nodos tinn l lmnto. La xprsión discrtizada dl vctor d sfurzos (.) s obtin a partir d (.) =D B u. Pud obsrvars d (.8) qu la matriz d dformación B dl lmnto triangular d trs nodos s constant, lo qu implica qu las dformacions y sfurzos son constants n todo l lmnto. Esto s conscuncia dircta dl campo d dsplazamintos linal scogido, cuyos gradints son obviamnt constants. Por consiguint, n zonas d alta concntración d sfurzos srá ncsaria utilizar una malla tupida para aproximar la solución d sfurzos con suficint prcisión. 8

29 . Dformación lástica d sólidos con l método d los lmntos finitos... Ecuacions d quilibrio d la discrtización Para la obtnción d las cuacions d quilibrio d la discrtización partimos d la xprsión dl principio d trabajos virtuals aplicada al quilibro d un lmnto aislado. Vamos a suponr qu sobr un lmnto, como l d la figura., actúan furzas másicas rpartidas por unidad d ára b y n sus lados furzas d suprfici por unidad d longitud t. Las furzas d suprfici pudn sr d dos tipos: dbidas a furzas xtriors qu actúan sobr los lados dl lmnto qu forman part dl contorno xtrior d la structura o dbidas a las furzas d intracción ntr lmntos qu s transmit a través d sus lados comuns. Éstas últimas pudn ignorars dsd un inicio, dbido a qu s anulan cuando s raliza l nsamblado d todos los lmntos. v,v y,v tx by Px Furzas d suprfici t= tx ty Furzas nodals d quilibrio qi = U i Vi Furzas nodals xtriors Pi= Px i Py i v, V bx v,v b= b x by u, U ty [] [] [ ] [ ] Furzas másicas u, U u, U P y x,u Figura.. Furzas sobr un lmnto triangular d trs nodos. Partindo d la suposición d qu l quilibrio dl lmnto s stablc únicamnt n los nodos, podmos dfinir unas furzas puntuals d qu actún sobr los nodos qu quilibrn las furzas dbidas a la dformación dl lmnto y al rsto d las furzas qu actúan sobr l mismo. Hacmos ntoncs uso dl principio d trabajos virtuals (.7) aplicado ahora al lmnto T t da ut b t da u T t t ds = u T q, A A l rscribíndola utilizando (.9) ut B T t da ut b t da u T t t ds = u T q, A A l tomando admás n cunta qu los dsplazamintos virtuals son arbitrarios, y l spsor s constant, t B T da t b da t t ds =q. A A l (.) La cuación (.) xprsa l quilibrio ntr las furzas nodals d quilibrio y las furzas dbidas a la dformación dl lmnto (la primr intgral), las furzas másicas (sgunda intgral) y las d suprfici (trcra intgral). Sustituyndo l vctor d sfurzos por su valor n función d los dsplazamintos nodals utilizando la forma gnral (.) 9

30 . Dformación lástica d sólidos con l método d los lmntos finitos t B T [ D ] da t b da t t ds =q, A A l sparando las intgrals T T T t B D da t B D da t B da t b da t t ds =q, A A A A l aplicando d nuvo (.9) t BT D B da u=t B T D da t BT da t b da t t ds q A A A A l, K f f fb ft (.) dond K s la matriz d rigidz dl lmnto y tnmos un conjunto d furzas nodals quivalnts dbidas a: dformacions inicials f, sfurzos inicials f, furzas másicas f b, furzas n la suprfici f t. Dfinindo l vctor d furzas nodals quivalnts dl lmnto como f = f f f b f t, podmos xprsar (.) como un sistma d cuacions para l lmnto K u= f q. La cuación d quilibrio total d la malla s obtin stablcindo qu la suma d las furzas nodals d quilibrio n cada nodo db sr igual a la furza nodal xtrior, s dcir qj =q j, sta s la suma d las contribucions d los vctors d furzas nodals d quilibrio d los distintos lmntos qu compartn l nodo con numración global j, y p j rprsnta l vctor d furzas puntuals actuando n dicho nodo. Las cuacions d quilibrio d la malla s obtinn a partir d las contribucions d las matrics lmntals d rigidz y d los vctors d furzas nodals quivalnts d los difrnts lmntos. Así pus, tras l nsamblaj, la cuación matricial global s pud scribir como K u= f, dond K s la matriz d rigidz, u s l vctor d dsplazamintos nodals y f l vctor d furzas nodals quivalnts d toda la malla. Rcordmos d nuvo qu las furzas nodals d quilibrio dbidas al las furzas d intracción ntr los contornos d los lmntos adyacnts s anulan n l nsamblaj, dbido a qu dichas furzas tinn igual magnitud y dircción, pro sntidos opustos n cada lmnto. A fctos prácticos, solamnt hay qu considrar l fcto d las furzas d suprfici cuando s trat d furzas xtriors actuants sobr lados d lmntos qu prtnzcan al contorno d la structura...7. Ensamblado d la matriz d rigidz El primr paso s gnrar una malla d lmntos para l dominio idntificar los nodos.

31 . Dformación lástica d sólidos con l método d los lmntos finitos Figura.. Numración global d los nodos n l dominio. S calcula la matriz lmntal K y l vctor f para cada lmnto. Por jmplo, n la figura. s dstaca l lmnto con nodos, y 9. Su nsamblaj s mostrado n la figura.7. Global Local x x y y 9x 9y x y x y x y [ x x y y K K K K K K 9x x 9y y x x K K K K K u K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K y y ][ ] [ ] f u f u f = u f u f u f Figura.7. Numración global y local al nsamblar la matriz lmntal. Los valors s sumarán a la matriz d rigidz K y al vctor f, como s mustra n la figura.8.

32 . Dformación lástica d sólidos con l método d los lmntos finitos [ K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K ][ ] u f K K K K u u f f K K K K u = f u f K K u Figura.8. Ensamblaj d la matriz lmntal n la matriz d rigidz. f Una condición d frontra d Dirichlt, u i fijo, implicarán liminar l i-ésimo rnglón y la i-ésima columna d la matriz d rigidz y l i-ésimo rnglón dl vctor. Para podr hac sto, hay qu compnsar n l vctor f d sta forma f j f j K i j u j, j i La matriz d rigidz rsultant no tndrá un ancho d banda prdfinido... Elasticidad tridimnsional La formulación d los lmntos finitos tridimnsionals s análoga a la formulación bidimnsional, por lo cual vamos a dscribirla brvmnt. Trabajarmos ahora con lmntos n trs dimnsions, n particular con ttradros con cuatro nodos.... Esfurzos y dformacions Iniciamos dfinindo l vctor d dsplazamintos [ ] u x, y, z u x, y, z = v x, y, z. w x, y, z

33 . Dformación lástica d sólidos con l método d los lmntos finitos Introducimos ahora l vctor d dformacions, l cual stá dado por [] x y = y x y y z z x [] u x v y w z =, u v y x v w z y w u x z dond x, y y z son las dformacions normals, mintras qu x y, y z y z x son las dformacions por cizalladura. El vctor d tnsions s dfin como [] x y = z, x y yz z x dond x, y y z son las tnsions normals y x y, y z y z x las tnsions tangncials. Para un mdio homogéno isotrópico la matriz constitutiva s [Zin p9] E v D= v v [ v v v v v v v v v v v v v v v v v v ], dond E s l módulo d Young y s l coficint d Poisson.

34 . Dformación lástica d sólidos con l método d los lmntos finitos... Funcions d forma El vctor [] ui ui x, y, z = v i wi rprsnta los dsplazamintos d un nodo i. Introducindo las funcions d intrpolación u x, y, z = N i x, y, z u i, i v x, y, z = N i x, y, z v i, i w x, y, z = N i x, y, z w i. i Para ralizar l mapo al spacio normalizado, tnmos u,, = N i,, u i, i= v,, = N i,, v i, i= w,, = N i,, wi; i= dond u, v y w rprsntan los valors discrtos d los dsplazamintos n los nodos dl lmnto, N i son las funcions d forma. z y x Figura.9. Mapo al spacio normalizado. Elgimos las siguints funcions linals para l mapo N,, =, N,, =,

35 . Dformación lástica d sólidos con l método d los lmntos finitos N,, =, N,, =. Las funcions d cambio d coordnada son ntoncs x,, = N i,, xi, i= y,, = N i,, y i, i= z,, = N i,, z i; i= dond x, y y z son las coordnadas d los vértics dl lmnto.... Discrtización d los campo d dformacions y sfurzos Las dformacions ntoncs son Ni Ni Ni u u u = u i, = u i, = u; x i x y i y z i z i Ni Ni Ni v v v = v i, = v i, = v; x i x y i y z i z i Ni Ni Ni w w w = w i, = w i, = w. x i x y i y z z i i Aplicamos la rgla d la cadna a primras drivadas para obtnr l jacobiano J, ést s Ni x y z Ni x y z = x y z Ni J si dt J, ntoncs Ni x Ni y, Ni z Ni x N i =J y Ni z Ni Ni, Ni

36 . Dformación lástica d sólidos con l método d los lmntos finitos D sta forma [] [ ] [] x y = y = x y i y z z x Ni u x i Ni v y i Ni wi z, Ni Ni u v y i x i Ni Ni v i w z y i Ni Ni wi u x z i ésta xprsión s pud scribir como = i Ni x Ni y Ni z Ni y Ni x Ni z Ni z [] ui v i = B i ui i wi Ni y Ni x y d forma más compacta como =[ B B B n ] finalmnt =B u. [] u u, un

37 . Dformación lástica d sólidos con l método d los lmntos finitos... Ecuacions d quilibrio d la discrtización Dfinindo l vctor d furzas puntuals [] [] [] Ui qi= V i, Wi l vctor d furzas sobr l contorno tx t= t y tz y l vctor d furzas másicas como bx b= b y, bz podmos ntoncs xprsar la cuación dl principio d trabajos virtuals como T dv = u T b dv ut t ds uti qi. V V s i Ralizando un dsarrollo similar al caso bidimnsional, podmos llgar a la cuación d quilibrio discrtizada para un lmnto, ésta s B T D B dv u= BT D dv BT dv b dv t ds q V V V V s. K f f f b f t 7

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39 . Una aplicación d la parallización con mmoria compartida.. Introducción Nustra primr aproximación para parallizar la solución dl sistma d cuacions rsultant dl método d lmnto finito s utilizar l squma d parallización con mmoria compartida. Vrmos como st tipo d squma s prsta para la parallización dl método d gradint conjugado. Vamos a comnzar hablando d la arquitctura dl procsaminto n parallo, sto s porqu tanto l hardwar como l softwar utilizados para l cómputo n parallo son mucho más compljos y sofisticados qu los utilizado n l cómputo srial, lo qu hac qu n l cómputo n parallo sa más dificil obtnr bunos rsultados sobr todo n las primras implmntacions d los algoritmos. Es ncsario ntndr, por lo mnos concptualmnt, cuals son las caractrísticas tanto dl hardwar como dl softwar, con l fin d podr disñar algoritmos qu saqun vntaja d sta forma d cómputo, d no hacrlo podmos hacr qu nustros algoritmos caigan n los múltipls cullos d botlla qu prsntan stas arquitcturas. Podmos dcir ntoncs qu la arquitctura dl hardwar d cómputo n parallo nos srvirá d guía para disñar l softwar para la parallización d los algoritmos d solución d problmas d lmnto finito... Arquitctura dl procsaminto n parallo La parallización con mmoria compartida s rfir a la utilización d computadoras con dos o más unidads d procsaminto qu accsan a la misma mmoria principal. La arquitctura más usada n st tipo d parallización s con procsadors multi-cor, s dcir procsadors qu tinn más d un núclo (cor) o unidad d procsaminto (CPU). También s factibl tnr computadoras con más d un procsador multi- cor accsando la misma mmoria (figura.). 9

40 . Una aplicación d la parallización con mmoria compartida Procsador Procsador Cor CPU Cor CPU Cor CPU Cor CPU Cach CachL Cach CachL Cach CachL Cach CachL CPU CPU CPU CPU Cach L Cach L Cach L Cach L Cach L Cach L Bus dl sistma Mmoria principal (RAM) Figura.. Configuración d un sistma multiprocsador multinúclo Al podr accsar la misma mmoria s ntoncs posibl hacr qu los CPUs cooprn n la rsolución d un problma. En la taxonomia d Flynn [Flyn7], sta stratgia s conocida como Multipl Instructions- Multipl Data, o por sus siglas MIMD. La vlocidad d opración d los procsadors s mucho mayor qu la vlocidad d accso d la mmoria RAM d las computadoras [Wulf9], sto s dbido a qu s muy costoso fabricar mmoria d alta vlocidad. Para solvntar sta difrncia n vlocidad, los procsadors modrnos incluyn mmoria cach, n difrnts nivls (L, L y n algunos casos L). Estas mmoria cach son d alta vlocidad aunqu d mnor capacidad qu la mmoria RAM dl sistma. Su función s la d lr d forma anticipada mmoria RAM mintras l CPU stá trabajando y modificar la información lida d forma local. Cuando ntra nuva información al cach la información ya procsada s almacnada n la mmoria RAM. Otra d las vntajas dl uso d cachs s qu son admás más ficints cuando ln o scribn localidads d mmoria continuas [Drp7 p]. El uso d cachs como un método d accso intrmdio a la mmora principal incrmnta mucho la ficincia d los procsadors mintras mantin bajos los costos d la computadora. La siguint tabla mustra los ciclos d rloj d CPU ncsarios para accsar cada tipo d mmoria n un procsador Pntium M: Accso a Rgistro CPU L L Mmoria RAM Ciclos ~ ~ ~ Sin mbargo, mantnr cohrncia n la información cuando varios procsadors accsan la misma mmoria RAM s compljo, los dtalls s pudn consultar n [Drp7]. Lo important a notar s qu para lograr bunos algoritmos n parallo con mmoria compartida s ncsario qu cada CPU trabaj n localidads d mmoria difrnts, ya qu si dos CPU modifican la misma dircción d mmoria s cra una falla n la cohrncia ntr los cachs, lo qu obliga a los CPU a accsar a la mmoria RAM, lo cual como vimos s muy costoso. Es muy important tnr n cunta la arquitctura d cachs d los sistmas multi- cor al momnto d disñar algoritmos n parallo cuyo rquriminto sa sr muy ficints.

41 . Una aplicación d la parallización con mmoria compartida Otra d las dsvntajas dl squma d procsaminto n parallo con mmoria compartida s qu xist un cullo d botlla n l accso a la mmoria principal, ya qu sólo un procsador pud accsarla la vz, sto srá más y mas notorio cuando l sistma tnga más procsadors... Parallización con thrads Vamos ahora lo qu significa n cuanto a la programación l procsaminto con thrads. Un programa srial jcuta sólo una scuncia d instruccions, n cambio, un programa parallizado pud contnr difrnts scuncias d instruccions qu s jcutan simutánamnt. A la jcución d cada scuncia d instruccions s l conoc como un hilo d procsaminto o thrad. Cada thrad pos sus propios rgistros d control y su propio stack d datos, mintas qu compart l uso d la mmoria dl montículo (hap) con los dmás thrads dl programa. En las computadoras multi-cor logra la mjor ficincia cuando cada CPU jcuta sólo un thrad. Comunmnt l manjo d la programación con thrads s hac a través d librrías d softwar, ntr las más comuns stán Windows Thrads y POSIX Thrads. En los últimos años s han incluido xtnsions a los lnguajs d programación (C, C++ o Fortran) qu simplifican la programación d las librrías d thrads, como s l caso d OpnMP [Chap8]. Ést incorpora dirctivas para l compilador qu indican d forma simpl qu parts dl código dbn parallizars, la dclaración d mmoria compartida o local, balanc d carga, tc. Un programa pud ntoncs crar varios thrads para procsar un bloqu dl algoritmo, dspués jcutar un bloqu d forma srial para dspués rgrsar a procsar n parallo, como s mustra n la figura.. Por jmplo, si s tin qu hacr una multiplicación d una matriz por vctor n varias ocasions. En st caso cada thrad accsa cirto rango d rnglons d la matriz, todos los thrads accsan al vctor por l cual s multiplica. Procsaminto srial Procsaminto parallo CPU CPU CPU inactivo CPU CPU CPU activo CPU N Cración d los thrads Sincronización t Figura.. Visualización tmporal d un procso jcutando thrads n difrnts procsadors Hay varias casos n los cuals s pud vr limitada la ficincia dl procsaminto con thrads. Por jmplo, la dpndncia d datos, ésta s da cuando un thrad tin qu sprar a qu otro trmin una

42 . Una aplicación d la parallización con mmoria compartida opración para podr continuar. Entr más dpndncia xista ntr los datos, más difícil srá parallizar un algoritmo. Por jmplo, l algoritmo d sustitución hacia atrás para rsolvr sistmas d cuacions triangulars prsnta mucha dpndncia para ncontrar la solución d cada incógnita. Un caso más compljo sría cuando dos thrads modifican los mismos datos, un thrad podría ntoncs altrar un dato qu otro thrad spra prmanzca constant. S pird ntoncs la sincronía n los algoritmos. Es ncsario implmntar sistmas d bloquo d datos para podr modificar los datos d forma ordnada. Esto provoca qu un thrad tnga qu parar y sprar a qu otro trmin para podr n su momnto modificar o lr l valor. Al rpartir un trabajo ntr varios thrads pud sucdr qu la carga d trabajo no sté balancada, provocando qu uno o más procsadors trminn ants y stén inactivos, símplmnt sprando. Entoncs nustro algoritmo srá tan rápido como l más lnto d los thrads. Rsultando n un dsprdicio d podr d cómputo. Dspués d vr las caractrísticas d la programación con thrads y mmoria compartida, podmos buscar ntoncs un tipo d algoritmo qu sa adcuado para funcionar n la parallización d la solución d sistmas d cuacions. En particular, uno qu s ajusta bastant bin a st squma s l método d gradint conjugado, l cual, como vrmos tin la vntaja d sr fácilmnt parallizabl utilizando st squma d procsaminto n parllo con mmoria compartida... Algoritmo d gradint conjugado El algoritmo d gradint conjugado s un método itrativo para minimizar funcions cuadráticas convxas d la forma f x = x T A x x T b, (.) dond x, b ℝ n y A ℝ n n s una matriz simétrica positiva dfinida. Para minimizar f x calculamos primro l gradint d (.), f x =A x b. Buscando igualar a cro l gradint, podmos vr l gradint conjugado como un método itrativo para rsolvr systmas d cuacions linals A x=b. aplicando l concpto d vctors conjugados a una matriz A partir d una matriz A simétrica positiva dfinida, podmos dfinir un producto intrno como x T A y= x, y A. Ahora, dcimos qu un vctor x s conjugado a otro vctor y con rspcto a una matriz A si x, y A=, con x y. La ida dl algoritmo s utilizar dirccions conjugadas para l dscnso n la búsquda dl punto óptimo x * [Noc p], s dcir x *= p p n p n,

43 . Una aplicación d la parallización con mmoria compartida los coficints stán dados a partir d la combinación linal A x *= A p A p n A p n=b, con k= p Tk b T pk A pk = pk, b. pk, pk A A partir d una matriz A d rango n sólo s pudn dfinir n vctors A-conjugados, por lo tanto l algoritmo d gradint conjugado garantiza la obtnción d una solución n un máximo d n itracions. D la fórmula d actualización x k = x k p k, tomando p como una dircción d dscnso. Dfinamos g k = f x k, l tamaño d paso qu minimiza la función f x a lo largo d la dircción x k p k s k = g Tk p k p Tk A p k. Si dfinimos p k como la dircción más crcana al gradint g k bajo la rstricción d sr conjugado. Esta dircción stá dada por la proycción d g k n l spacio ortogonal a p k con rspcto al producto intrno inducido por A, así pt A g k p k = g k Tk p k. pk A pk Al utilizar l ngativo dl gradint tndrmos una dircción d dscnso. san x, coordnada inicial g A x b, gradint inicial p g, dircción inicial d dscnso, tolrancia k inicio mintras g k, s dcir k rank A g k gt p k Tk k pk A pk x k x k k p k g k A x k b gt A pk k k p Tk A p k p k g k k p k k k fin_mintas fin Algoritmo.. Gradint conjugado.

44 . Una aplicación d la parallización con mmoria compartida Una fórma más conómica dl algoritmo., n la cual s rduc la cantidad d productos matriz-vctor [Noc p] s la mostrada n l algoritmo.. san x, coordnada inicial g A x b, gradint inicial p g, dircción inicial d dscnso, tolrancia k inicio mintras g k, s dcir k rank A g k w A pk gt g k kt k pk w x k x k k p k g k g k w gt g k k T k gk gk p k g k k p k k k fin_mintas fin Algoritmo.. Gradint conjugado práctico... Formulación n parallo Al ralizar la parallización dl algoritmo s important considrar qu hay un costo n timpo d procsaminto cada vz qu s raliza una sincronización ntr los thrads utilizados, sta sincronización s manjada tanto por l sistma oprativo como por la librría d manjo d thrads. Si l algoritmo. lo implmntamos calculando individualmnt cada producto punto, suma d vctors, vctor por scalar y matriz por vctor, tndrémos más d una dcna d puntos d sincronización. La vrsión parallizada dl algoritmo antrior rducindo los puntos d sincronización:

45 . Una aplicación d la parallización con mmoria compartida san x, coordnada inicial g A x b, gradint inicial p g, dircción inicial d dscnso, tolrancia n Rnglons x k inicio mintras g k, s dcir k rank A g k q, guardará p Tk w g, guardará g Tk g k parallizar para i n w i para j n w i w i A i j p k j fin_para q q p k i w i g g g k i g k i fin_para g k q h, guardará g Tk g k parallizar para i n x k i x k i k p k i g k i g k i k w i h h g k i g k i fin_para h k g parallizar para i n p k i g k i k p k i fin_para k k fin_mintas fin Algoritmo.. Gradint conjugado n parallo. S han agrupado las opracions algbraicas n trs ciclos, qudando sólo dos puntos d sincronización, uno para calcular k y otro para k. Es posibl rordnar l algoritmo para disminuir aún más los puntos d sincronización [DAz9] mantnindo la stabilidad numérica. Para nustro programa lgimos mantnr n su scncia l algoritmo., mostramos un xtracto n l algoritmo.. Vctor<T> G(rows); // Gradint Vctor<T> P(rows); // Dscnt dircction Vctor<T> W(rows); // A*P for (int i = ; i <= rows; ++i) { T sum =.; int km = A.RowSiz(i); for (rgistr int k = ; k < km; ++k) { sum += A.Entry(i, k)*p(a.indx(i, k)); } W(i) = sum; // W = AP pw += P(i)*W(i); // pw = P'*W } omp_st_num_thrads(thrads); T gg =.; #pragma omp paralll for dfault(shard) rduction(+:gg) schdul(guidd) for (int i = ; i <= rows; ++i) { T sum =.; int km = A.RowSiz(i); for (rgistr int k = ; k < km; ++k) { sum += A.Entry(i, k)*x(a.indx(i, k)); } G(i) = sum - Y(i); // G = AX - Y; P(i) = -G(i); // P = -G gg += G(i)*G(i); // gg = G'*G } T alpha = gg/pw; // alpha = (G'*G)/(P'*W) T gngn =.; #pragma omp paralll for dfault(shard) rduction(+:gngn) for (int i = ; i <= rows; ++i) { X(i) += alpha*p(i); // Xn = X + alpha*p G(i) += alpha*w(i); // Gn = G + alpha*w gngn += G(i)*G(i); // gngn = Gn'*Gn } T psilon = tolranc*tolranc; int stp = ; whil (stp < max_stps) { // Tst trmination condition if (gg <= psilon) // Norm(Gn) <= tolranc { brak; } T pw =.; #pragma omp paralll for dfault(shard) rduction(+:pw) schdul(guidd) T bta = gngn/gg; // bta = (Gn'*Gn)/(G'*G) #pragma omp paralll for dfault(shard) for (int i = ; i <= rows; ++i) { P(i) = bta*p(i) - G(i); // Pn = -G + bta*p } gg = gngn; ++stp; } Algoritmo.. Scción dl código n C++ dl algoritmo d gradint conjugado n parallo.

46 . Una aplicación d la parallización con mmoria compartida.. Implmntación con matrics ralas La part más costosa dl algoritmo. s la multiplicación matriz-vctor, la cual tin qu ralizars una vz n cada itración. Para ahorrar tanto mmoria como timpo d procsaminto sólo almacnarmos los lmntos d la matriz A qu san distintos d cro. Lo cual s convnint, dado qu las matrics d rigidz rsultants d problmas d lmnto finito son ralas, s dcir, la mayor part d las ntradas d la matriz A son cro. Hay varias stratégias d almacnaminto n mmoria d matrics ralas, dpndindo d la forma n qu s accsarán las ntradas. El método Comprssd Row Storag [Saad p] s adcuado para l caso dl algoritmo., n l cual s accsarán las ntradas d cada rnglón d la matriz A n scuncia Arrglo d valors Arrglo d índics Figura.. Almacnaminto con Comprssd Row Storag. Con st método, por cada rnglón d la matriz s guardan dos arrglos. Uno contnindo los índics y otro los valors d los lmntos d s rnglón cuyo valor sa difrnt a cro. Si buscamos n un rnglón una ntrada con cirto índic d columna, s tndrá un costo d búsquda dl lmnto d ordn O n n l por caso. Sin mbargo, tnmos la vntaja qu, para l caso d multiplicación matriz vctor l órdn d búsquda s O, sto s porqu no s hac una búsquda sino qu s toman los lmntos d cada rnglón uno tras otro. Otra d las vntajas d utilizar Comprssd Row Storag s qu los datos d cad rnglón d la matriz d rigidz son accsados n scuncia uno tras otro, sto producirá una vntaja d accso al ntrar l bloqu d mmoria d cada rnglón n l cach dl CPU. Para problmas d lmnto finito, s posibl conocr la structura d la matriz d rigidz ants d llnarla, ya qu son conocidas las conctividads d los nodos n l mallado. Si un nodo i stá conctado con un nodo j ntoncs la matriz rala tndrá las ntradas i, j, j, i, i, i y j, j distintas d cro. Conocr d antmano la structura hará más ficint la rsrva d mmoria d cada arrglo d la matriz rala. Para problmas con m grados d librtad por nodo las ntradas d la matriz difrnts d cro srán i m k, j m l, j m k, i m l, i m k,i m k y j m k, j m k, con m, l=..7. Rsultados Los siguints rsultados s rfirn a ncontrar la dformación d un sólido tridimnsional d ', lmntos y 8,7 nodos, figura.. Con trs grados d librtad por nodo, tnmos ntoncs, un sistma d ', cuacions.

47 . Una aplicación d la parallización con mmoria compartida Figura.. Rsultado dl problma d dformación d sólidos tridimnsional. Para stas prubas s utilizó una computadora MacPro con ocho procsadors Intl Xon a.ghz, con hyprthrading habilitado (s dcir CPUs). La gráfica. mustra los l timpo qu l programa tardó n rsolvr l problma parallizando con una cantidad difrnt d CPUs n cada una d las prubas. La primr pruba fu con un CPU, la sgunda con dos, y así sucsivamnt.. Timpo ral [m] Timpo idal [m]. Timpo [m] Procsadors Gráfica.. Comparación ntr timpo d jcución ral y l idal sprado. Sa t l timpo qu tardó l rsolvrs l problma con un CPU, ntoncs, n la gráfica antrior l timpo idal s t /n, don n s l númro d procsadors utilizado. Podmos dar una mdida d ficincia E dl algoritmo t E=, n tn con t n l timpo d jcución qu l tomó al programa n trminar l procso. 7

48 . Una aplicación d la parallización con mmoria compartida Eficincia Procsadors Gráfica. Eficincia d la parallización dl gradint conjugado. Es notorio n la gráfica. como la ficincia d la parallización disminuy conform s aumnta l númro d CPUs. Esto s dbido a qu s cra un cullo d botlla cuando más d un CPU trata d accsar a la mmoría RAM d forma simultána, lo cual s invitabl para st tipo d arquitcturas. El qu los procsadors utilicn las línas d cach disminuy st fcto, pro l hcho d qu s trat d problmas qu utilizan una gran cantidad d mmoria hara qu la ayuda dl cach sa sobrpasada. Una altrnativa podría sr ralizar st procso utilizando GPUs, las cuals stán disñadas para parallizar mjor l accso a mmoria. Sin mbargo, podmos dcir qu para un númro rducido d CPUs ( o mnos) la parallización dl gradint conjugado funciona bin ya qu mantin un rndiminto por arriba dl 8%. 8

49 . Una aplicación d la parallización con mmoria distribuída.. Parallización con mmoria distribuida Est squma d parallización implica qu un programa ahora srá jcutado multipls vcs n varias computadoras conctadas n rd. A cada instancia dl programa (procso) s l asigna una part dl trabajo, los rsultados son intrcambiados ntr los procsos a fin d colaborar para lograr un rsultado global. Para la comunicación ntr los procsos utilizamos l stándar Mssag Passing Intrfac (MPI) [MPIF8], l cual consist n un conjunto d librrías y programas qu s ncargan d facilitar la implmntación y administración d programas qu rquirn transmitir información con gran ficincia. Estos programas s jcutarán simultánamnt n varias computadoras intrconctadas por mdio d una rd d cómputo. La figura. mustra un squma d la arquitctura d procsaminto con mmoria distribuída. En st modlo s tin qu cada computadora pud tnr uno o más procsadors qu localmnt pudn trabajar bajo l squma d mmoria compartida o si s rquir bajo un squma d mmoria distribuída dntro d la misma computadora. Computadora Computadora Computadora Procsador Procsador Procsador Procsador Procsador Procsador Mmoria Mmoria Mmoria Intrfaz d rd Intrfaz d rd Intrfaz d rd Switch d rd Intrfaz d rd Intrfaz d rd Mmoria Mmoria Procsador Procsador Procsador Procsador Computadora Computadora Figura.. Esquma d procsaminto con mmoria distribuida. En su forma básica, l modlo MPI prmit jcutar un mismo programa n varias computadoras y n varios procsadors dntro d cada computadora. A cada instancia dl programa (procso) s l asigna un 9

50 . Una aplicación d la parallización con mmoria distribuída númro d rango qu va d a N, dond N s l númro d instancias dl programa. Visto d forma concptual, la opración d MPI s una rd d comunicación dond todos los procsos pudn mandar datos (o mnsajs) a todos los procsos, vr figura.. Procso rango Procso rango Procso rango N- Procso rango Procso rango Procso rango Figura.. Diagrama concptual d la comunicación con MPI. Ningun procso tin prioridad sobr otro, aunqu s sul djar al procso con rango cro l control d todos los dmás. La comunicación ntr los procsos s transparnt para l usuario y s slcciona d forma automática, ésta pud sr stablcida utilizando sockts TCP/IP n l caso d qu los procsos stén n difrnts computadoras, o utilizando mmoria compartida monitorada con polling n l caso d qu los procsos rsidan n la misma computadora... Dscomposición d dominios Al discrtizar sólidos n varios millons d lmntos, s utiliza tal cantidad d información qu hac qu l cálculo d la solución rquira timpos d procsaminto y/o cantidads d mmoria tals qu no s posibl rsolvr l problma utilizando una sola computadora n un timpo razonabl. Es ncsario dividir l dominio n particions, para rsolvr cada una indpndintmnt y dspués combinar las solucions locals d forma itrativa. Hay dos formas d trabajar la dscomposición d dominio, con particions con traslap y sin traslap. En st trabajo lgimos utilizar la vrsión n parallo l método altrnant d Schwarz [Smit9], qu s un método con traslap ntr las particions. Un trataminto profundo d la toría d los algoritmos d Schwarz pud consultars n [Tos].

51 . Una aplicación d la parallización con mmoria distribuída... Algoritmo altrnant d Schwarz El algoritmo s conocido como l método altrnant d Schwarz n parallo. La figura. mustra un dominio con frontra, l cual va a sr dividido n dos particions y. Figura.. Dscomposición d un dominio n dos particions. La figura. mustra las particions traslapadas, n las cuals =. Figura.. Particions traslapadas. Las frontras y son frontras artificials y son la part d las frontras d y qu stán n l intrior d. Para rsolvr una cuación difrncial, sindo L un oprador difrncial, tnmos L x= y n, x=b sobr. El método altrnant d Schwarz consist n rsolvr d cada partición d forma indpndint, fijando condicions d Dirichlt n las frontras artificials d cada partición con los valors d la itración prvia d la partición adyacnt.

52 . Una aplicación d la parallización con mmoria distribuída x, x aproximacións inicials tolrancia i númro d itración i i i i mintras x x y x x rsolvr rsolvr i L x= y L x i= y n n x i=b x i =b n n x i x i x i x i n n i i fin_mintras Algoritmo.. Método altrnant d Schwarz. El algoritmo dbrá itrar hasta qu s satisfaga las condicions d tolrancia.... Aplicación con un problma d lmnto finito Cuando l oprador L tin una rprsntación como matriz, l algoritmo. corrspond a una gnralización (dbido al traslap) dl método itrativo tradicional Gauss-Sidl por bloqus [Smit9 p]. En problmas d lmnto finito, l traslap s raliza aumntando a cada partición lmntos d la partición adyacnt a partir d la frontra ntr las particions. La figura. mustra un jmplo simpl. q q Figura.. Dscomposición con traslap d un dominio con difrnts capas d traslap. Las frontras virtuals s formarán con los nodos qu stán n la part más xtrior dl traslap. El intrcambio d valors srá ntoncs con los rsultados ncontrados n unos nodos fantasma qu s ncontrarán n la partición adyacnt.... Vlocidad d convrgncia La vlocidad d convrgncia al utilizar dscomposición d dominios s dtriora conform s aumnta l númro d particions [Smith9 p]. Esto pud vrs d forma hurística como sigu. Considrs l dominio d la figura., l cual stá dividido n N particions.

53 . Una aplicación d la parallización con mmoria distribuída N Figura.. Dominio dividido n N particions. En cada itración dl mtodo altrnant d Schwarz solo transfrirá información ntr las particions adyacnts. Entoncs, si s tin una condición d frontra difrnt d cro n la primr partición, y s inicia n la itración, l tomará N itracions para qu la solución local n la partición N sa difrnt d cro. Por tanto, l algoritmo altrnant d Schwarz impon límits n la vlocidad n la cual la información s transfrida globalmnt a través d todo l dominio. El algoritmo d Schwarz típicamnt convrg a una vlocidad qu s indpndint (o ligramnt dpndint) d la dnsidad d la malla y d la partición, cuando l traslap ntr las particions s suficintmnt grand [Smith9 p7]... Particionaminto dl dominio Nustra ida s ntoncs particionar l dominio para rsolvr cada partición n una computadora dl clustr, cada partición srá tratada como un problma individual d tamaño rducido. Localmnt cada problma individual srá rsulto utilizando l método d gradint conjugado parallizado con mmoria compartida visto n l capítulo. Utilizarmos l squma MPI d mmoria distribuída para intrcambiar l rsultado n las frontras artificials ntr las particions, sto s hara itrativamnt siguindo l método altrnant d Schwartz. Tndrmos así un sistma híbrido qu combina los squmas d procsaminto con mmoria compartida y distribuída. Vamos a mostrar como s raliza la partición dl dominio con traslap ncsario para implmntar l método altrnant d Schwarz, utilizando para llo un jmplo sncillo d un problma d lmnto finito n dos dimnsions con una malla d 8 lmntos triangulars y nodos. El dominio s dividirá n dos particions con una capa d traslap. La malla s gnrada por l módulo d pr-procsaminto dl programa GiD, l cual prmit gnrar la gomtría y ntrga una tabla d conctividads, la tabla indica los nodos n, n, n qu prtncn a cada lmnto E, figura.7. Dnotarmos con ngritas los númros qu corrspondn a lmntos y sin ngritas los qu corrsponn a nodos.

54 . Una aplicación d la parallización con mmoria distribuída E n n n E n n n Figura.7. Mallado y su rprsntación con conctividads. Para ralizar la partición inicial dl dominio nustro programa utiliza la librría d softwar METIS [Kary99], ésta rcib como ntrada la tabla d conctividads y un númro qu indica las particions rquridas. La figura.8 mustra l rsultado ntrgado por sta librría, indicarmos los lmntos d la primr partición como EP y los d la sgunda como EP. La librría indica a qu partición prtnc cada nodo, solo divid los lmntos EP EP Figura.8. Sparación d los lmntos dl mallado n dos particions. Buscando n la tabla d conctividads dtrminamos qu nodos prtncn a cada lmnto n cada partición. Indicarmos los nodos d la primr partición como np y los d la sgunda como np. Los nodos pudn prtncr a más d una partición, como s obsrva n la figura np np Figura.9. Idntificación d los nodos d cada partición. Para dfinir qué nodos prtncn a la frontra ntr las particions, buscamos los nodos qu aparzcan n más d una partición. En l caso d la figura., qu aparzcan tanto n np como n np.

55 . Una aplicación d la parallización con mmoria distribuída np np Figura.. Dfinición d los nodos frontra ntr las particions. A partir d st momnto dividirmos la malla n l númro d particions, la frontra dfinida antriormnt sguirá xistindo n cada sub-malla tndrá una frontra, tal como s mustra n la figura., xistn dos frontras FP y FP, n sta tapa ambas son iguals FP FP 7 8 Figura.. División d la malla n dos sub-mallas con dos frontras. Aumntar una capa d traslap significa qu s agrgarán a la sub-partición los lmntos qu compartan nodo n la frontra, pro qu no stén n dicha sub-partición. Los nodos d stos nuvos lmntos qu no stén n la sub-partición s agrgarán y formarán la nuva frontra, suplantando a la antrior. En la figura. s obsrva cómo s agrga una capa d traslap a cada partición, s dnotan los lmntos agrgados y la nuva frontra formada FP FP 9 EP EP np np Figura.. Aumnto d una capa d traslap n cada partición. Est procso s pud rptir tantas vcs como capas d traslap s dsn agrgar a cada partición. La frontra final srá la frontra artificial dl método altrnant d Schwarz, n la cual s impondrán condicions d Dirichlt ants d solucionar l sistma local d cuacions d la partición. Ahora s ncsaria la rnumración local a cada partición d lmntos y nodos. Primro s rnumran los lmntos y n bas a stos los nodos. Est paso s ncsario ya qu cada sub-malla s procsará por sparado como si s tratas d un problma indpndint. La figura. mustra l rordnaminto para nustro jmplo, las tablas indican la numración local y global, tanto d lmntos como d nodos.

56 . Una aplicación d la parallización con mmoria distribuída E EP E EP E EP E np n 9 7 np 7 8 n np n np n EP Figura.. Rnumración d lmntos y nodos. Esta numración funciona bin para solvrs itrativos (por jmplo con gradint conjugado), pro s inadcuada para solvrs dirctos como la factorización Cholsky. Cuando s aplica la factorización Cholsky a una matriz, la cantidad d nodos no cro n la matriz factor L dpnd dl órdn d los nodos n la malla o lo qu s quivalnt, l órdn d los rnglons y columnas n la matriz d rigidz. Cuando s utiliza l solvr con factorización Cholsky srá ncsario agrgar un paso xtra qu imponga una numración d los nodos más adcuada, para una dscripción más xtnsa d st caso consultar l capítulo. El paso final s crar nlacs ntr los nodos n la frontra artificial d cada sub-malla con su corrspondint nodo fantasma n la otra sub-malla. Estos nalcs srán utilizados para intrcambiar información ntr las particions. S tndrán una lista d nodos fantasma para cada partición. Cada nlac guarda dos datos, l índic dl nodo n la frontra artificial con la numración local y l índic dl nodo fantasma con la numración corrspondint n la partición adyacnt. En la figura. s mustran los nlacs formados ntr los nodos n la frontra artificial y los nodos fantasma n la otra partición.

57 . Una aplicación d la parallización con mmoria distribuída Nodo n la frontra artificial 8 9 np 7 9 gp np 9 8 np np gp Nodo fantasma Nodo fantasma 9 Nodo n la frontra artificial 8 8 Figura.. Cración d los nlacs hacia los nodos fantasma Para ralizar particionamintos con más d dos particions s rqurirá guardar una lista d nlacs por cada partición con la qu s tnga una frontra artificial. El jrcicio d ralizar l particionaminto dl dominio n trs dimnsions s más complicado d visualizar, pro s sigun xactamnt los mismos pasos, la única difrncia s la cantidad d nodos por lmnto. La figura. mustra l jmplo d un dominio n trs dimnsions dividido n particions con traslap. Figura.. Ejmplo tridimnsional d particionaminto con traslap. 7

58 . Una aplicación d la parallización con mmoria distribuída.. Implmntación con MPI Vamos a xplicar d forma simplificada las rutinas d MPI [MPIF8] utilizadas n nustra implmntación dl método altrnant d Schwarz. Vamos a mostrar l funcionaminto utilizando la gomtría d un arco bidimnsional al cual s l ha impusto un dsplazaminto n la part suprior drcha. Por brvdad no vamos a prsntar la sintaxis complta d las rutinas d MPI. Las rutinas d MPI d nvio y rcpción d datos tinn la siguint structura MPI_Function i, D, dond i s l nodo al cual s nvia o s quir lr l dato o mnsaj D. Las funcions qu cuyo nombr cominza con I indican qu no s spra a qu los datos stén listos para nviar o rcibir, MPI_Ifunction i, D sto prmit continuar con la jcución dl programa. La sincronización d stos datos s dará cuando s llam a la función MPI_Waitall D.. El programa inicia con una gomtría, una tabla d conctividads y cirtas condicions d frontra, y un númro P qu indica la cantidad d particions. Para l jmplo d figura. l programa s instancia vcs, asignándos l procso con rango como l mastro y los procsos a como sclavos, s dcir, tndrmos particions. Cada nodo ntra n l squma d MPI llamando la rutina MPI_Init. Mastro MPI_Init Esclavos i=,, P MPI_Init Figura.. Entrada dl programa.. En l nodo mastro s raliza un particionaminto con traslap siguindo l procdiminto dscrito n la scción antrior. S gnran las particions con traslap, s rnumran lmntos y nodos, finalmnt s gnran tablas con los nlacs d los nodos fantasma, figura.7. 8

59 . Una aplicación d la parallización con mmoria distribuída Figura.7. Particionaminto dl dominio con traslap.. Ya con las particions indpndints s gnran los problmas individuals, cada uno tin sus propias condicions d frontra. El nodo mastro ntra n un ciclo i=,, P n l cual s nvian los siguints datos corrspondints a cada partición i utilizando la función MPI_Snd: N i coordnadas d los nodos, i i E tabla d conctividads d los lmntos, C condicions d frontra; s nvian n un ciclo j=,, P i j con j i los L nlacs con los indics d los nodos d frontra artificial y su corrspondint nodo fantasma n la partición j. Con la función MPI_Ircv i, si s cra una ptición sin bloquo dl status dl nodo i, sto l prmit al nodo mastro sguir nviando datos sin sprar a qu los sclavos stén listos. Por su part cada sclavo utilizará la función MPI_Rcv para rcibir todos stos datos. Cada sclavo gnrará su sistma d cuacions y cuando sté listo nviará su status s i al nodo mastro. Todo sto s indicado n la figura.8. Mastro Esclavo Esclavo MPI_Snd i, N i MPI_Snd i, E i MPI_Snd i,c i MPI_Snd i, Li j MPI_Ircv i, si MPI_Waitall si Esclavo Esclavo Esclavos i=,, P Mastro Mastro Esclavo Esclavo MPI_Rcv, N i MPI_Rcv, E i MPI_Rcv,C i MPI_Rcv, Li j MPI_Snd, si Esclavo Esclavo Figura.8. Cración d problmas individuals. Con la función MPI_Waitall si l nodo mastro spra l status d todos los sclavos ants d continuar. 9

60 . Una aplicación d la parallización con mmoria distribuída. En st punto l programa cominza a itrar hasta qu s logr la convrgncia dl algoritmo.. En cada sclavo l sistma d cuacions s rsulto localmnt. Al trminar cada sclavo nvia la difrncia ntr la solución antrior y la actual d i al nodo mastro, l cual valua la convrgncia global dl problma. En caso d qu l problma llgu a una convrgncia s continuará al paso. Vr figura.9. Esclavo Esclavo Esclavo Esclavo Mastro MPI_Ircv i, d i MPI_Waitall d i Esclavos i=,, P Mastro Mastro MPI_Snd, d i Esclavo Esclavo Esclavo Esclavo Figura.9. Rport dl stado d la convrgncia al nodo mastro.. Si aún no s ha logrado la convrgncia global, ntoncs los sclavos solicitarán los valors n los nodos fantasma a cada una d las particions adyacnts con la función MPI_Ircv j, Gi j, con j=,, P, i j, al mismo timpo nviara los valors d los nodos fantasma qu solicitn las otras particions con l la función MPI_Isnd j, G j i, j=,, P, i j. Con la función MPI_Wait spraran a qu todas las transaccions con las particions adyacnts hayan concluido. Nóts n la figura. qu l nodo mastro no intrvin n st paso. Esclavo Esclavo Esclavo Esclavo Esclavos i=,, P MPI_Ircv j,g i j MPI_Isnd j,g j i MPI_Waitall G i j MPI_Waitall G j i Mastro Mastro Esclavo Esclavo Esclavo Esclavo Figura.. Gnración d la solucions locals intrcambio d valors n las frontras artificials con sus rspctivos nodos fantasma.

61 . Una aplicación d la parallización con mmoria distribuída S rgrsa al paso para continuar a la siguint itración.. Una vz qu s logr la convrgncia l nodo mastro ntrará n un ciclo i=,, P y solicitará uno a uno a los sclavos los rsultados d dsplazaminto ui, dformación i, y sfurzos i d cada partición. Esto s indica n la figura.. Mastro Esclavo Esclavo MPI_Rcv i, ui MPI_Rcv i, i MPI_Rcv i, i Esclavo Esclavo Esclavos i=,, P MPI_Snd,u i MPI_Snd, i MPI_Snd, i Mastro Mastro Esclavo Esclavo Esclavo Esclavo Figura.. Envio d rsultados locals al nodo mastro. 7. El nodo mastro gnrará una solución global conjuntando los rsultados d todas las particions, figura.. Los nodos saln dl squma MPI llamando la función MPI_Finaliz. Mastro MPI_Finaliz Esclavos i=,, P MPI_Finaliz Figura.. Consolidación d un rsultado global.

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63 . Factorización Cholsky simbólica para matrics ralas.. Cómo lograr un solvr dircto ficint El algoritmo factorización Cholsky para rsolvr sistmas d cuacions s computacionalmnt mas caro qu l método d gradint conjugado, tanto n timpo como n utilización d mmoria. Sin mbargo, al trabajar con l algoritmo altrnant d Schwarz obtndrmos la vntaja, d qu una vz factorizado l sistma d cuacions, rsolvr l sistma n cada itración d Schwarz consistirá simplmnt n hacr una sustitución hacia adlant y una hacia atrás, lo cual s bastant rápido. La tabla. mustra los difrnts costos d opración y almacnaminto para matrics simétricas [Piss8 p], sindo n l rango d la matriz, b l ancho d banda y r i l númro d lmntos no cro d la columna i d L. Matriz Multiplicacions y divisions Simétrica complta Simétrica bandada Sumas n n n b b n b b b Almacnaminto n n n n b b n b b b b n b b n i= r i r i / Simétrica rala n i= r i r i / n n i= r i Tabla.. Costo d opración y almacnaminto para difrnts tipos d matrics. Para l caso dl algoritmo d sustitución hacia atrás, los costos opración s mustran n la tabla. [Piss8 p]. Matriz Simétrica complta Simétrica bandada Simétrica rala Multiplicacions y divisions n b n b b n n i= r i Sumas n n b n b b n i= r i Tabla.. Costo d opración dl algoritmo d sustitución hacia atrás. Dbido a la dpndncia ntr las variabls, no s sncillo parallizar la factorización Cholsky [Hat9], sin mbargo, podmos aumntar l númro d particions para así obtnr sistmas individuals d mnor tamaño, lo qu rsultará a su vz n una factorización más rápida. Utilizarmos dos stratgias para disminuir l uso d timpo y mmoria d la factorización Cholsky. La primr stratgia s rordnar los rnglons y columnas d la matriz dl sistma d cuacions para rducir l tamaño d las matrics rsultants d la factorización. La sgunda stratgia s utilizar la

64 . Factorización Cholsky simbólica para matrics ralas factorización Cholsky simbólica para obtnr la factorización xacta y formar con sta matrics ralas qu no tngan lmntos cro. La combinación d ambas stratgias rducirá tanto l timpo d jcución como la mmoria utilizada... Factorización clásica d Cholsky Como antcdnt vamos a dscribir la factorización Cholsky tradicional [Quar p8]. Un sistma d cuacions con una matriz A ℝ factorización Cholsky n n A x= y, (.) simétrica positiva dfinida pud sr rsulto aplicando a sta matriz la T A=L L, dond L s una matriz triangular infrior. Ésta factorización xist y s única [Quar p8]. (.) Las fórmulas para dtrminar los valors d L son (.) L i i= Ai i Li k. (.) i L i j= A L L, para i j L j j i j k= i k j k i k = Sustituyndo (.) n (.), tnmos T L L x= y, T hagamos z =L x y ntoncs tndrmos dos sistmas d cuacions L z= y, T L x=z, con (.) s rsulv para z hacindo una sustitución hacia adlant con i zi = y L z Li,i i k = i,k k y con (.) rsolvmos para x sustituyndo hacia atrás con n x i = T z i LiT, k x k. Li, i k=i (.) (.)

65 . Factorización Cholsky simbólica para matrics ralas.. Rordnaminto d rnglons y columnas... Dscripción dl problma Al utilizar la factorización Cholsky para rsolvr sistmas d cuacions, dond A s una matriz simétrica y positiva dfinida, l primr paso s rordnar los rnglons y las columnas d tal forma qu s rduzca l númro d ntradas no cro d la matriz factor L. Dfinamos la notación L, qu indica l númro d lmntos no cro d L. La figura. mustra los lmntos no cro (n ngro) d un sistma d cuacions para un problma d lmnto finito n dos dimnsions, l cual no ha sido rordnado. A la izquirda stá la matriz d rigidz A, con A =8, a la drcha la matriz triangular infrior L, con L =879, rsultant d la factorización Cholsky d A. Figura.. Rprsntación d los lmntos no cro d una matriz A (izquirda) y su corrspondint factorización L (drcha). Ahora vamos n la figura. tnmos qu la matriz d rigidz A' con A' =8 (con la misma cantidad d lmntos no nulos qu A) y su factorización L ' tin L' =. Ambas factorizacions prmitn rsolvr l mismo sistma d cuacions. Para dtrminar st rordnaminto utilizamos las rutinas d la librría METIS [Kary99]. Figura.. Rprsntación d los lmntos no cro d una matriz rordnada A' (izquirda) y su corrspondint factorización L ' (drcha).

66 . Factorización Cholsky simbólica para matrics ralas... Matrics d prmutación Dada P una matriz d prmutación, las prmutacions (rordnamintos) d columnas dl tipo A' P A, o d rnglón A' A P solas dstruyn la simtría d A [Golu9 p8]. Para prsrvar la simtría d A solamnt podmos considrar rordnaminto d las ntradas d la forma A' P A P T. Es d notar qu sta prmutacions no muvn los lmntos fura d la diagonal a la diagonal. La diagonal d P A P T s un rordnaminto d la diagonal d A. Dado qu P A P T s admás simétrica y positiva dfinida para cualquir prmutación d la matriz P, podmos ntoncs rsolvr l sistma rordnado P A P T P x = P y. La lcción d P tndrá un fcto dtrminant n l tamaño d las ntradas no cro d L. Calcular un bun rordnaminto d la matriz A qu minimic las ntradas no cro d L s un problma NP complto [Yann8], sin mbargo xistn hurísticas qu gnran un rordnaminto acptabl n un timpo rducido.... Rprsntación d matrics ralas como grafos Vamos a introducir algunas nocions d toría d grafos para hacr un análisis d las opracions con matrics ralas. Un grafo G= X, E consist n un conjunto finito d nodos o vértics X junto con un conjunto E d aristas, los cuals son pars no ordnados d vértics. Un ordnaminto (o tiqutado) d G s simplmnt un mapo dl conjunto {,,, N } n X, dond N dnota l númro d nodos d G. El grafo ordnado por srá dnotado como G = X, E. Sa A una matriz simétrica d N N, l grafo ordnado d A, dnotado por G A = X A, E A n l cual los N vértics d G A stán numrados d a N, y { x i, x j } E A si y solo sí a i j =a j i, i j. Aquí x i dnota l nodo d X A con tiquta i. La figura. mustra un jmplo. [ ] * * * * * * * * * * * * * * * * * * Matriz A Grafo G A Figura.. Una matriz y su grafo ordnado, con * s indican las ntradas no cro d A'. Para cualquir matriz d prmutación P I, los grafos no ordnados (o tiqutados) d A y P A P T son los mismos pro su tiqutado asociado s difrnt. Así, un grafo no tiqutado d A rprsnta la

67 . Factorización Cholsky simbólica para matrics ralas structura d A sin sugrir un ordn n particular. Esta rprsnta la quivalncia d las class d matrics P A P T. Entoncs, ncontrar una buna prmutación d A quival a ncontrar un bun ordnaminto d su grafo [Gor8]. La figura. mustra un jmplo. [ ] * * * * * * * * * * * * * * * * * * Matriz P A P T T Grafo G P A P Figura.. El gráfico d la figura. con difrnt ordnaminto. P dnota una matriz d prmutación. Dos nodos x, y X n un grafo G X, E son adyacnts si { x, y r } E. Para Y X, l conjunto adyacnt d Y, dnotado como ady Y, s adj Y ={ x X Y { x, y } E para algún y Y }. En otras palabras, ady Y s simplmnt l conjunto d nodos n G qu no stán n Y pro son adyacnts n al mnos un nodo d Y. La figura. mustra un jmplo. [ ] * * * * * * * * * * * * * * * * * * Y ={ x, x } adj Y = { x, x, x } gr x = Figura.. Ejmplo d adyacncia d un conjunto Y X. Para Y X, l grado d Y, dnotado por gr Y, s simplmnt l númro ady Y, dond S dnota l númro d mimbros dl conjunto S. En l caso d qu s trat d un solo lmnto, considrarmos gr {x } gr x.... Algoritmos d rordnaminto Vamos a hablar muy brvmnt d los algoritmos d rordnaminto. La hurística más común utilizada para ralizar l rordnaminto s l algoritmo d grado mínimo. El algoritmo. mustra una vrsión básica d ést [Gor8 p]. 7

68 . Factorización Cholsky simbólica para matrics ralas Dada un matriz A y su corrspondint grafo G i rptir En l grafo d liminación Gi X i, E i, lgir un nodo x i qu tnga grado mínimo. Formar l grafo d liminación Gi X i, E i como sigu: Eliminar l nodo x i d G i y sus aristas inicidnts Agrgar aristas al grafo tal qu los nodos adj x san pars adyacnts n G i. i i mintras i { X } Algoritmo.. Método d grado mínimo para rordnar grafos no dirigidos. Cuando l grado mínimo s prsnta n varios nodos, usualmnt s lig uno d forma arbitraria. El jmplo dl rordnaminto obtnido n la figura. s obtin aplicando l algoritmo d grado mínimo con la scuncia mostrada n la tabla.. ii Grafo d liminación Gi Grado mínimo Nodo lgido Tabla.. Numración usando l algoritmo d grado mínimo. Vrsions más avanzadas d st algoritmo pudn consultars n [Gor89]. Ahora vamos a rvisar brvmnt l método d discción anidada, l cual s más apropiado para matrics rsultants d problmas d difrncias finitas y lmnto finito. La principal vntaja d st 8

69 . Factorización Cholsky simbólica para matrics ralas algoritmo comparado con l d grado mínimo s la vlocidad y l podr prdcir las ncsidads d almacnaminto. La ordnación producida s similar a la dl algoritmo d grado mínimo. Vamos a introducir la dfinición d sparador. El conjunto S X s un sparador dl grafo conctado G si l grafo scción G X S stá dsconctado. Por jmplo, n la figura. s mustra qu S ={ x, x, x } s un sparador d G, dado qu G X S tin trs componnts, los conjuntos d nodos { x }, { x } y { x, x 7}. G 7 Figura.. Ejmplo d un conjunto sparador S. Sa A una matriz simétrica y G A su grafo no dirigido asociado. Considrmos un sparador S n G A, cuya rmoción dsconcta l grafo n dos conjuntos d nodos C y C. Si los nodos n S son numrados dspués d aqullos d C y C, ntoncs s inducirá una partición n la corrspondint matriz ordnada. La obsrvación principal s qu los bloqus cro n la matriz continúan sindo cro dspués d la factorización. Cuando s lgido apropiadamnt, una submatriz grand stá garantizada d prmancr cro. La ida pud sr aplicada rcursivamnt, d tal forma qu los cros pudan sr prsrvados n la misma forma n las submatrics. C C [ A V A V V T V T AS ] S Figura.7. El fcto d un conjunto sparador S n una matriz. Esta procdiminto aplicado d forma d forma rcursiva s conoc como algoritmo d discción anidada gnralizado [Lipt77]. La ida s tratar d dividir l grafo tratando d qu san d igual tamaño con un sparador pquño. Para ncontrar st sparador s busca gnrar una structura grand y ntoncs lgir un sparador d un nivl mdio. Est s un algoritmo rcursivo qu mpla la stratgia d divid y vncrás, a continuación dscribimos l algoritmo. Sa S una clas d grafos crrados n los cuals s cumpl l torma dl sparador n [Lipt79]. San, constants asociadas con l torma dl sparador y sa G X, E un grafo d n nodos n S. El algoritmo rcursivo. numra los nodos d G tal qu la liminación gaussiana rala (factorización Cholsky rala) s ficint. El algoritmo supon qu l d los nodos d G ya continn númros asignados, cada uno d los 9

70 . Factorización Cholsky simbólica para matrics ralas cuals s más grand qu b (s xplica más adlant). El objtivo s numrar los nodos rstants d G conscutivamnt d a a b. Sa dado G X, E inicio si G Los nodos son ordnados arbitrariamnt d a a b (pud utilizars l algoritmo d grado mínimo) si_no Encontrar conjuntos A, B y C qu satisfagan l torma dl sparador n, dond C s l conjunto sparador. Al rmovr C s divid l rsto d G n dos conjuntos A y B los cuals no tinn qu sr conxos. Sa A contnindo i nodos no numrados, B contin j y C contin k nodos no numrados. Numrar los nodos no numrados n C d forma arbitraria d b k a b, s dcir, stamos asignando a los nodos d C los númros más grands. Eliminar todos las aristas cuyas conxions stén ambas n C. Aplicar l algoritmo rcursivamnt al subgrafo inducido por B C para numrar los nodos no numrados n B d a b k j a b b k. Aplicar l algoritmo rcursivamnt al subgrafo inducido por A C para numrar los nodos no numrados n B d a b k j i a b b k j. fin_si fin Algoritmo.. Algoritmo d discción anidada gnralizado. S inicia l algoritmo. con todos los nodos d G no numrados, con a, b n y l. Esto numrará los nodos n G d a n. En st algoritmo los nodos n l sparados son incluidos n la llamada rcursiva pro son no numrados. Una vrsión mjorada d st algoritmo s la mplada n la librría METIS [Kary99], ésta s la qu hmos utilizado n la implmntación d nustro programa... Factorización Cholsky simbólica Cuando trabajamos con matrics grands y ralas, s muy costoso calcular dirctamnt L utilizando (.) y (.), un mjor método s dtrminar qu lmntos d L son distintos d cro y llnarlos utilizando ntoncs (.) y (.). El algoritmo para dtrminar los lmntos distintos cro n L s l dnomina factorización simbólica [Gall9 p8-88]. Para una matriz rala A, dfinamos a j {k j A k j }, j= n (.7) como l conjunto d los índics d los lmntos no nulos d la columna j d la part strictamnt triangular infrior d A. D forma análoga dfinimos para la matriz L, los conjuntos l j { k j Lk j }, j= n. 7 (.8)

71 . Factorización Cholsky simbólica para matrics ralas Rqurirmos d conjuntos r j qu srán usados para rgistrar las columnas d L cuyas structuras afctarán a la columna j d L. para j n rj lj aj para i r j l j l j l i { j } fin para min {i l j } si l j p j otro caso r p r p { j } fin para Algoritmo.. Factorización Cholsky simbólica. { Esta algoritmo d factorización simbólica s muy ficint, la compljidad n timpo y spacio s d ordn O L. Vamos ahora a mostrar visualmnt como funciona la factorización simbólica, ésta pud sr vista como una scuncia d grafos d liminación [Gor8 pp9-]. Dado H = A, podmos stablcr una corrspondncia ntr una transformación d H a H como los cambios corrspondints n sus grafos rspctivos. Dnotamos H por G H y H por G H. Dado un ordnaminto implicado por G A, dnotmos l nodo i por x i. Como s mustra n la figura.8, l grafo d H s obtnido d H por: ) Eliminar l nodo x y sus aristas incidnts ) Agrgar las aristas a l grafo tal qu los nodos n adj x san pars adyacnts n G H. 7

72 . Factorización Cholsky simbólica para matrics ralas GH GH G [ ] * * H = * * * # * * * * * * # * * [ ] * * * * * * * * * * H = * * * * * * * * [ ] * # * # # H = # * * * * # # * * * # # H = # * * # * * H GH GH GH [ ] [ ] H = * * * * H =[ * ] Figura.8.Scuncia d grafos d liminación. El grafo llnado y su matriz corrspondint s mustran n la figura.9, las ntradas nuvas s indican con #. Sa L la matriz triangular factor d la matriz A. Dfinamos l grafo llnado d G A como l grafo simétrico G F = X F, E F, dond F =L LT. Así l conjunto d aristas E F consist d todas las aristas n E A junto con todos las aristas agrgadas durant la factorización. Obviamnt X F = X A. G F [ * * * * * * * F =L LT= * # * * # # * # * * # # * # * Figura.9. Rsultado d la scuncia d liminación. 7 * # # # * * ]

73 . Factorización Cholsky simbólica para matrics ralas.. Implmntación... En dos dimnsions La gráfica. mustra los rsultados obtnidos con la implmntación dl algoritmo d factorización Cholsky simbólica para la solución d un problma d lmnto finito n dos dimnsions. Como comparación xtra s mustran los timpos d solución utilizando l algoritmo d gradint conjugado sin parallizar. Al igual qu n la implmntación dl método dl gradint conjugado, s utiliza l método d comprssd row storag para l almacnaminto d las matrics ralas. Para ralizar stas mdicions s utilizó una malla rgular, como la d la figura., con difrnts dnsidads d malla. Figura.. Mallado d jmplo. No s posibl mostrar un comparativo con una factorización clásica d Cholsky para un matriz complta, dado qu la cantidad d mmoria utilizada aún para matrics d tamaño rducido s xcsiva. Por jmplo, para una matriz d,x, ntradas s ncsitarían gigabyts d mmoria (con dobl prcisión)., Cholsky (primr vrsión) Timpo [s], Cholsky (sgunda vrsión) Gradint conjugado Cholsky (Vrsión final),,,,,,,,, Númro d rnglons d la matriz Gráfica.. Comparativo d timpos d solución. 7

74 . Factorización Cholsky simbólica para matrics ralas Una vz implmntada la primr vrsión s ralizó un análisis d los cullos d botlla dl algoritmo.. El primr cullo d botlla fu n l llnado d las columnas l j. Para rducir l timpo tratando d minimizar l uso d mmoria usamos una matriz d bits triangular infrior qu almacna valors tru si la ntrada xistirá n L y fals n caso contrario. Como mjora postrior s cambió l formato d ésta matriz a sky- lin, con lo qu s logró una rducción n l uso d mmoria n la factorización simbólica n aproximadamnt un %. La sgunda vrsión dl algoritmo s toma n cunta la modificación dl cullo d botlla qu daba l mayor timpo d procsaminto, la cuación (.) n la búsquda d las ntradas L j k. Para mjorar la búsquda s optó por rordnar las ntradas d los los lmntos d las matrics ralas n bas a sus índics. Si los índics d las ntradas por rnglón no son ordnadas, s tndrá un costo d búsquda d la ntrada d ordn O n n l por caso. Al ordnar y aplicar un algoritmo d búsquda binaria, s rdujo l costo d la búsquda a un ordn O log n n l por caso. Tnmos la vntaja qu, para l caso d multiplicación matriz vctor, l ordn d búsquda sigu sindo O. Esto s porqu no s hac una búsquda sino qu s toman los lmntos d cada rnglón uno tras otro. La vrsión final dl algoritmo tin considrabl mjora con rspcto a la sgunda vrsión. S modificó l accso a las ntradas L i k y L j k d tal forma qu no s hiciran búsqudas. El algoritmo final rcorr los índics d los rnglons i y j d la matriz rala L, tomando n cunta sólo los índics comuns para calcular (.). Una vista a dtall d la gráfica. s mostrada n la gráfica.. Cholsky (primr vrsión) Cholsky (sgunda vrsión) Timpo [s] Gradint conjugado Cholsky (Vrsión final),,,,,, Númro d rnglons d la matriz Gráfica.. Dtall dl comparativo d timpos d solución. La idntificación d stos cullos d botlla y su corrcción rducn l timpo d solución dl algoritmo como s mustra n la gráfica.. S logró qu la solución d los sistmas d cuacions utilizando la factorización Cholsky simbólica sa más rápida qu la solución con gradint conjugado. La gráfica. indica la utilización d mmoria comparando l algoritmo final d factorización Cholsky simbólica con rspcto al gradint conjugado. 7

75 . Factorización Cholsky simbólica para matrics ralas,,, Gradint conjugado 8,, Mmoria utilizada [byts] Cholsky,,,,,, Númro d rnglons d la matriz Gráfica.. Comparativo d utilización d mmoria d los algoritmos d gradint conjugado y Cholsky. Es claro qu l algoritmo d factorización Cholsky utiliza mucha más mmoria qu l gradint conjugado. 7

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77 . Rsultados.. Prparación La tabla. rsum las caractrísticas dl clustr d cómputo con l cual s ralizaron las prubas qu s mustran a continuación. Nodo Mastro Clustr Nodos Esclavos Clustr Nodos Esclavos Rd Sistma oprativo Compiladors Librría MPI Total Procsador: AMD Quad Cor Optron HE (8 cors) Mmoria: GB Disco Duro: SATA GB, GB Procsador: x AMD Quad Cor Optron HE (8 cors) Mmoria: GB Disco Duro: SATA GB Procsador: Intl(R) Xon(R) CPU E ( cors) Disco Duro: SATA GB Mmoria: GB Switch SMC: 8 ptos Gbps Rocks Clustr Linux. ( bits) GCC.. (con soport para OpnMP) C, C++, Fortran Opn MPI.. Núclos d procsaminto (CPU): 9 Capacidad n mmoria: GB Capacidad n disco : GB Tabla.. Caractrísticas dl clustr d pruba. A fin d podr valorar la scalabilidad d las stratégias d solución s utilzó un solo problma para hacr prubas, ést s mostrado n la figura.. Figura.. Dscripción dl problma patrón (iquirda problma, drcha solución). El problma consist n arco n dos dimnsions compusto d un solo matrial, las condicions d frontra impustas son: las bass dl arco stán fijas, n la part suprior drcha s impon un 77

78 . Rsultados dsplazaminto vrtical. Al problma s l gnrarán mallas d lmnto finito con difrnts grados d rfinaminto y s rsolvrá utilizando divrsas stratégias, las cuals s dscribn a continuación... Dscomposición d dominio y gradint conjugado La siguint pruba s fctuó utilizando una d las computadoras dl Clustr dl CIMAT. El siguint rsultado consist n l problma d la figura. mallado n '9, lmntos con '98, nodos, s dcir un sistma d '97, d cuacions. El rsultado d st problma s mustra n la figura.. Figura.. Diagrama dl rsultado dl problma d jmplo n dos dimnsions. La primr columna d la gráfica. mustra l rsultado d st problma, utilizando una sola computadora dl clustr (sin dscomposición d dominio) rsolvindo l sistma d cuacions complto utilizando gradint conjugado parallizado con CPUs con mmoria compartida, l timpo qu tardó n rsolvr l sistma fu d 8. minutos. Est rsultado nos srvirá como una rfrncia d cuánto más ficint s la solución dl problma utilizando dscomposición d dominios.... Gradint conjugado parallizado En las siguints prubas s siguió utilizando l Clustr dl CIMAT, utilizamos las computadoras dl clustr, cada una con cuatro procsadors, lo qu nos da un total d CPUs. En la sgunda columna d la gráfica. mostramos l rsultado d utilizar l squma híbrido n una dscomposición d dominios d particions (una por nodo) con capas d traslap, utilizando como solvr l gradint conjugado parallizado n cada computadora con CPUs con mmoria compartida. El timpo total para rsolvr l sistma fu d 9. minutos. Es dcir,.8 vcs más lnto qu l rsultado d la primr columna. 78

79 . Rsultados. Timpo total Timpo [m] G.C. parallo D.D. con G.C. ( particions) D.D. con G.C. ( particions) Gráfica.. Comparación d stratgias. El problma qu ncontramos con st squma s qu l timpo qu rquir l gradint conjugado para convrgr s muy difrnt n cada una d las particions. Las gráficas d la figura. mustran la carga d procsaminto durant itracions d Schwarz n dos nodos dl clustr, l más ficint y l mnos ficint, a la izquirda y a la drcha rspctivamnt. En l nodo más ficint s v qu dspués d trminar d rsolvr l sistma tin priodos d baja actividad, durant st timpo st nodo stá sprando qu los otros nodos trminn. En comparación, l nodo mnos ficint tarda más n rsolvr l sistma d cuacions, al sr l más lnto no mustra priodos d spra, n la gráfica s aprcia qu stá trabajando continuamnt. El nodo mnos ficint alnta a todos los nodos dl clustr. Figura.. Difrncia d carga n los nodos más ficint (izquirda) y mnos ficint (drcha) Como rsultando tnmos un gran dsbalanc d carga qu hac qu la mayoría d los procsos stén inactivos casi un % dl timpo Esto provoca qu la ficincia d opración dl clustr s rduzca significativamnt, como s aprcia n la figura., la cual mustra l nivl d opración d todo dl clustr. 79

80 . Rsultados Figura.. Dtall dl trabajo d CPU gnral dl clustr.... Gradint conjugado sin parallizar Ahora con una configuración difrnt, vamos a utilizar la dscomposición d dominio utilizando l gradint conjugado no parallizado, para sto dividirmos l dominio n particions con capas d traslap, un solvr por cada CPU dl clustr. La trcr columna d la gráfica. mustra l timpo obtnido d. minutos. Casi la trcra part dl timpo con n comparación dl con gradint conjugado parallizado, pro aún cuatro vcs más lnto qu la vrsión sin dscomposición d dominio. Al tnr particions más pquñas, y por lo tanto sistmas d cuacions más pquños l dsbalanc d carga s hac mnor, aunqu sigu sindo la causa principal d la poca ficincia d sta stratgia... Dscomposición d dominio y factorización Cholsky simbólica Entr más pquño sa l sistma d cuacions más ficint srá la rsolución por factorización Cholsky, s por so qu n vz d utilizar particions, como n l caso con gradint conjugado parallizado, utilizarmos particions (una por cada procsador dl clustr) con capas d traslap. La gráfica. mustra dos rsultados, la columna d la izquirda s la misma qu la d la primr columna d la gráfica. (s la solución dl sistma sin dscomposición d dominio utilizando una sola computadora con procsadors y aplicando l algoritmo d gradint conjugado n parallo). A la drcha l rsultado d utilizar dscomposición d dominios utilizando como solvr la factorización Cholsky para matrics ralas mostrada n l capítulo. 8

81 . Rsultados 9 Timpo total 8 Timpo d f actorización 7 Timpo [m] 8.. G.C. parallo D.D. con Cholsky ( particions) Gráfica.. Comparación d stratgias. El timpo utilizando gradint conjugado n parallo n una computadora fu d 8. minutos, l timpo con dscomposición d dominio y factorización Cholsky n computadoras fu d. minutos. S tuvo la solución aproximadamnt vcs más rápido. Esto s db a qu l timpo por itración Schwarz s muy rducido, ya qu solo s rsulvn dos matrics triangulars con sustitución hacia atrás y hacia adlant n cada partición. El ahorro n timpo s notabl... Evolución y convrgncia A continuación, n la figura., mostramos un jmplo d la volución d las itracions dl método altrnant d Schwarz n l problma d la figura. dividido n 7 lmntos y 9 nodos, utilizando cuatro particions con dos capas d traslap. Figura.. Ejmplo d volución n las primras ocho itracions. 8

82 . Rsultados La gráfica. mustra la convrgncia d i d cada partición, mdida como la norma pondrada d la difrncia ntr la solución actual y la antrior uit uit d=, uit i dond uit s l vctor d dsplazaminto rsultant d rsolvr l sistma d cuacions d la partición i. El critrio d paro stablcido para l método altrnant d Schwarz s cuando d i x para i=,,. E+ E+ norm(x' - x)/norm(x) E- P P P P E- E- E- E- E E-7 Itration Gráfica.. Evolución d la convrgncia. En problmas con mallas más grands s vn otro tipo d fctos. Los siguints rsultados mustran la volución d la convrgncia dl problma d la figura. dividido n 9, lmntos y 98, nodos ( 97, cuacions), utilizando particions. En la gráfica. s v la volución con una capa d traslap. Esta s intrsant, s v qu n las primras itracions hay unos picos dond mpora la convrgncia n algunas particions, para dspués mjorar. Gráfica.. Evolución d la convrgncia con una capa d traslap. 8

83 . Rsultados La gráfica. s v la volución dl mismo problma, pro utilizando sit capas d traslap. En ésta s obsrva qu los valors d la convrgncia d i prsntan los mismos picos pro d forma más tmprana. Gráfica.. Evolución d la convrgncia con sit capas d traslap... Distribución d timpo La gráfica. mustra la distribución d timpos n dada itración d Schwarz con l problma d la figura. dividido n 9, lmntos y 98, nodos ( 97, cuacions), utilizando particions. El timpo ncsario para la transmisión d datos no s notorio... Tim [s] ut- c omp ut- c omp ut- c omp ut- c omp - ut- ut- - ut- c omp c omp c omp - ut- - c omp - - ut- c omp ut- c omp -9 ut- ut- c omp -8 ut- -7 ut- c omp c omp - ut- Solvr c omp - ut- Snd/rciv ghosts data c omp ut- - c omp c omp - - ut- - c omp ut- c omp ut- - Wait for start c omp ut- c omp ut- -9 c omp ut- -7 c omp ut- c omp ut- c omp ut- c omp - ut- c omp - - ut- c omp ut- c omp c omp ut-. Snd solution diffrnc to mastr Gráfica.. Distribución d timpo dl algoritmo. S obsrva qu l timpo utilizado por l solvr varía n cada nodo, todos los nodos tinn qu sprar al solvr más lnto, l dl nodo n st caso. 8

84 . Rsultados.. Traslap Los siguints rsultados son para un problma d dos dimnsions con 9, lmntos y 98, nodos ( 97, cuacions), dividido n particions rsulto con factorización Cholsky simbólica. Tolrancia Traslap x x Tim [m] E- E Capas d traslap Gráfica.7. Eficincia n timpo variando las capas d traslap ntr las particions..7. Afinidad dl CPU Uno d los problmas más importants qu ncontramos al ralizar prubas asignando procsos a todos los CPU d una computadora s qu la intrcomunicación con OpnMPI ntr stos procsos s ralizada utilizando mmoria compartida monitorada con polling. A fin d sr ficint, OpnMPI hac un polling muy intnso, n l ordn d microsgundos por ptición. Para mantnr st monitoro, OpnMPI cra 8

85 . Rsultados varios thrads, l problma s qu stos thrads, qu pudn llvar l uso dl CPU al %, son asignados por l sistma oprativo para jcutars n los otros CPU d la computadora, lo qu alnta n gran mdida los procsos asignados prviamnt a stos CPU. Como todos los procsos cran thrads para comunicars con los otros procsos n la misma computadora s produc una caída d la ficincia considrabl al intrfrirs ntr llos. La solución qu ncontramos fu stablcr la afinidad a los procsos a un CPU, d sta forma los thrads crados por st procso s jcutarán n l mismo CPU qu l procso. D tal forma qu si un procso spra datos no intrfrirá con los procsos qu aún stán ralizando cálculos. Encontramos dos formas d stablcr la afinidad d CPU, una s utilizando l programa taskst, qu s part d las utilrías dl krnl d Linux. Est programa prmit asignar a un procso un CPU dtrminado, ncrrando sus thrads n l mismo CPU. La sgunda forma s utilizando una modalidad d OpnMPI n la cual s posibl asignar a cada procso, utilizando su númro d rango, un CPU n particular dl clustr. Est problma no aparc cuando s implmnta l squma híbrido d dscomposición d dominios utilizando como solvr l gradint conjugado parallizado con mmoria compartida. Esto s db a qu l OpnMPI sólo s cra un procso n cada computadora no s rquir comunicación con mmoria compartida y polling..8. Sistmas grands Los siguints rsultados s sigun rfirindo al problma d la figura.. La tabla. mustra divrsos rsultados al gnrar mallas cada vz más rfinadas, lo qu significa sistmas d cuacions cada vz más grands. Los timpos son dados n horas. La columna d la mmoria s rfir a la mmoria total utilizada por todos los nodos, tanto l nodo mastro (qu s dónd s carga y distribuy l problma) como los nodos sclavo (dónd s rsulvn los problmas individuals). Cada partición (o problma individual) s rsolvió utilizando un CPU. El númro d capas d traslap s ligió d forma urística hacindo varias prubas tratando d ncontrar un bun valor qu dis un timpo d solución rducido. Ecuacions,97,,,,99,8,,8,87,9 78,7, 8,, Timpo [h] Mmoria [GB] Particions 8 Traslap 7 7 PCs Tabla.. Rsultados para sistmas d cuacions d difrnt tamaño. Los primros cuatro rsultados s obtuviron utilizando l Clustr. Para los siguints trs casos s utilizaron n conjunto l Clustr y l Clustr. La gráfica.8 prmit comparar visualmnt l tamaño dl sistma d cuacions contra l timpo d solución. 8

86 . Rsultados...9 Timpo [horas]...9.,97,,,,99,8,,8,87,9 78,7, 8,, Númro d cuacions Gráfica.8. Comparativo d númro d cuacions contra timpo d solución dl problma..9. Un caso particular con malla structurada El programa qu utilizamos para gnrar las mallas no nos prmitió gnrar mallas más rfinadas para l problma d la figura., por lo qu cramos un problma más simpl utilizando una malla structurada rgular, d sta forma sí pudimos gnrar una malla con más lmntos, figura.. Las condicions d frontra para st caso son: las squinas infriors fijas y n toda la part suprior s impon un dsplazaminto. El problma d, d cuacions s rsolvió n horas y minutos (99.9 sgundos). S utilizanron n conjunto l Clustr y l Clustr. Elmntos: Nodos: Particions ( por 9): Traslap: Tolrancia:,,. Ecuacions:, Mmoria (mastro): Mmoria (cada sclavo): Mmoria (total):.8 GB 8. GB. GB Ecuacions por sclavo:,8 Figura.. Malla simpl para st jmplo 8

87 . Rsultados.9.. Distribución d timpos dl algoritmo En la tabla. mostramos como s distribuyó l timpo d solución dl problma n cada una d las tapas dl programa d cómputo. Etapa Cargar problma Particionar malla ( particions) Ensamblar sistmas Inicializar sclavos Factorización Itracions d Schwarz (7 d.8s c/u) Guardar rsultado Total Timpo [s] Tabla.. Timpos d jcución por tapa. Estos rsultados s pudn comparar más facilmnt n la gráfica.9. Cargar problma % Particionar malla % Guardar rsultado % Ensamblar sistmas % Inicializar sclavos % Factorización % Itracions d Schwarz % Gráfica.9. Distribución d timpos n la solución. Visto d otro modo, podmos dcir qu n total s rsolviron,9 sistmas d,8 cuacions cada uno (n promdio), n un timpo d horas min. 87

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89 7. Conclusions y trabajo futuro El gradint conjugado n parallo con OpnMP prsnta muy bunos rsultados con hasta 8 procsadors, con más d 8 s dgrada dmasiado la ficincia, sto s dbido a qu no s factibl qu todos los procsadors utilicn l bus d datos al mismo timpo, lo qu cra cullos d botlla, lo qu da lugar timpos d spra muy grands. El squma d Schwarz funciona muy bin dbido a qu l tráfico d información ntr los nodos s muy rducido. S ncontró admás qu s pud mjorar l timpo d convrgncia significativamnt aumntando la cantidad d capas d traslap ntr las particions. Es complicado valuar la ficincia d la dscomposición d dominios para lmntos finitos n problmas con mallas muy irrgulars. Hmos ncontrado qu cuando las particions quda con frontras pquñas s mjora la vlocidad d convrgncia. Pro, si una partición tin más condicions d frontra d Dirichlt, ntoncs convrg más rápido, sto cra un dsbalanc d cargas, lo qu alnta l timpo d convrgncia a una solución global. Para vitar st problma habría qu implmntar un mallador qu sa más intlignt, para qu ést puda dcidir dond sría mjor colocar las frontras y mjorar l balanc d cargas. Encontramos qu l utilizar l squma d dscomposición d dominios con un solvr dircto (factorización Cholsky simbólica) aunqu costoso al momnto d factorizar s muy ficint al momnto d rsolvr los sistmas n cada itración. La gran dsvntaja d st método s qu s utiliza mucha mmoria. La cantidad d mmoria stá rlacionada a la cantidad d conctividads qu tnga la malla gnrada al discrtizar con lmnto finito. Ésta s una altrnativa para rsolvr problmas d gran scala cuando s dispon d la mmoria suficint para podr factorizar las matrics. El programa dsarrollado sólo prmit hacr mallados con triángulos o ttradros, stos son los tipos d lmntos qu aunqu prmitn mallar gomtrías compljas, gnran mallas con l mayor númro d intrconxions. Crmos qu, para gomtrías sncillas, s lograría una mjor ficincia n l programa si s utilizaran cuadrilátros o hxadros con l fin d obtnr matrics más ralas y por lo tanto más rápidas d rsolvr y con un mnor consumo d mmoria. La part más ncsaria a mjorar s l particionador, actualmnt s utilizan las rutinas d METIS, pro st tin la dsvntaja d crar las particions tratando d igualar la cantidad d lmntos n cada una. Lo qu s ncsita s crar un particionador qu divida las particions considrando l númro d conctividads d cada una. Al tnr todas las particions un númro smjant d conctividads s gnrarán sistmas d cuacions ralos con un númro smjant d lmntos distintos d cro, lo qu n st tipo d problmas n parallo s traducirá n un mjor balanc d carga. S stá trabajando para xtndr l uso d stas rutinas a otros problmas d lmnto finito, por jmplo, para rsolvr las cuacions d Navir-Stoks con fluidos multi-fásicos n mdios porosos. 89

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91 Bibliografía [Bot] S. Botllo, H. Esquda, F. Gómz, M. Morls, E. Oñat. Módulo d Aplicacions dl Método d los Elmntos Finitos, MEFI.. Guanajuato, México.. [Chap8] B. Chapman, G. Jost, R. van dr Pas. Using OpnMP: Portabl Shard Mmory Paralll Programming. Th MIT Prss, 8. [DAz9] E. F. D'Azvdo, V. L. Eijkhout, C. H. Romin. Conjugat Gradint Algorithms with Rducd Synchronization Ovrhad on Distributd Mmory Multiprocssors. Lapack Working Not. 99. [Dohr] Dohrmann C. R. A Prconditionr for Substructuring Basd on Constraind Enrgy Minimization. SIAM Journal of Scintific Computing. Volum -, pp. -8,. [Drp7] U. Drppr. What Evry Programmr Should Know About Mmory. Rd Hat, Inc. 7. [Esch97] H. Eschnaur, N. Olhoff, W. Schnll. Applid Structural Mchanics. Springr, 997. [Farh] C. Farhat, M. Lsoinn, P. L Tallc, K. Pirson, D. Rixn. FETI-DP: A dual-primal unifid FETI mthod - part I: A fastr altrnativ to th two-lvl FETI mthod. Intrnational Journal of Numrical Mthods Engnring, Vol. pp,. [Flyn7] M. Flynn, Som Computr Organizations and Thir Effctivnss, IEEE Transactions on Computrs., Vol. C-, pp. 98, 97. [Gall9] K. A. Gallivan, M. T. Hath, E. Ng, J. M. Ortga, B. W. Pyton, R. J. Plmmons, C. H. Romin, A. H. Samh, R. G. Voigt, Paralll Algorithms for Matrix Computations, SIAM, 99. [Gor8] A. Gorg, J. W. H. Liu. Computr solution of larg spars positiv dfinit systms. Prntic-Hall, 98. [Gor89] A. Gorg, J. W. H. Liu. Th volution of th minimum dgr ordring algorithm. SIAM Rviw Vol -, pp -9, 989. [Golu9] G. H. Golub, C. F. Van Loan. Matrix Computations. Third didion. Th Johns Hopkins Univrsity Prss, 99. [Hat9] M T. Hath, E. Ng, B. W. Pyton. Paralll Algorithms for Spars Linar Systms. SIAM Rviw, Vol., No., pp. -, 99. [Kary99] G. Karypis, V. Kumar. A Fast and Highly Quality Multilvl Schm for Partitioning Irrgular Graphs. SIAM Journal on Scintific Computing, Vol. -, pp. 9-9, 999. [Kimna] J. H. Kimn, M. Sarkis. OBDD: Ovrlapping balancing domain dcomposition mthods and gnralizations to th Hlmholtz quation. Procdings of th th Intrnational Confrnc on Domain Dcomposition Mthods,. 9

92 Bibliografía [Kimnb]J. H. Kimn, B. Bourdin. Numrical Implmntation of Ovrlapping Balancing Domain Dcomposition Mthods on Unstructurd Mshs. Procdings of th th Intrnational Confrnc on Domain Dcomposition Mthods,. [Lipt77] R. J. Lipton, D. J. Ros, R. E. Tarjan. Gnralizd Nstd Dissction, Computr Scinc Dpartmnt, Stanford Univrsity, 997. [Lipt79] R. J. Lipton, R. E. Tarjan. A Sparator Thorm for Planar Graphs. SIAM Journal on Applind Mathmatics, Vol. -, 979. [Li] J. Li, O. Widlund. FETI-DP, BDDC, and block Cholsky mthods. Intrnational Journal for Numrical Mthods in Enginring. Vol. -, pp. -7,. [Mand9] J. Mandl. Balancing Domain Dcomposition. Communications on Numrical Mthods in Enginring. Vol. 9 pp -, 99. [Mand] J. Mandl, C. R. Dohrmann. Convrgnc of a balancing domain dcomposition by constraints and nrgy minimization. Journal of Numrical Linar Algbra with Applications, Vol. -7, pp [Mand] J. Mandl, C. R. Dohrmann, R. Tzaur. An algbraic thory for primal and dual substructuring mthods by constraints. Elsvir Scinc Publishrs. Journal of Applid Numrical Mathmatics, Vol. -,. [MPIF8] Mssag Passing Intrfac Forum. MPI: A Mssag-Passing Intrfac Standard, Vrsion.. Univrsity of Tnnss, 8. [Noc] J. Nocdal, S. J. Wright. Numrical Optimization, Springr,. [Piss8] S. Pissantzky. Spars Matrix Tchnology. Acadmic Prss, 98. [Quar] A. Quartroni, R. Sacco, F. Salri. Numrical Mathmatics. Springr,. [Saad] Y. Saad. Itrativ Mthods for Spars Linar Systms. SIAM,. [Smit9] B. F. Smith, P. E. Bjorstad, W. D. Gropp. Domain Dcomposition: Paralll Multilvl Mthods for Elliptic Partial Diffrntial Equations. Cambridg Univristy Prss, 99. [Str9] T. Strling, D. J. Bckr, D. Savars, J. E. Dorband, U. A. Ranawak, C. V. Packr. BEOWULF: A Paralll Workstation For Scintific Computation. Procdings of th th Intrnational Confrnc on Paralll Procssing, 99. [Tos] A. Toslli, O. Widlund. Domain Dcomposition Mthods - Algorithms and Thory. Springr,. [Widl8] O. B. Widlund. Th Dvlopmnt of Coars Spacs for Domain Dcomposition Algorithms. Procdings of th 8th Intrnational Confrnc on Domain Dcomposition, 8. [Wulf 9] W. A. Wulf, S. A. Mck. Hitting th Mmory Wall: Implications of th Obvious. Computr Architctur Nws, ():-, March 99. [Yann8] M. Yannakakis. Computing th minimum fill-in is NP-complt. SIAM Journal on Algbraic Discrt Mthods, Volum, Issu, pp 77-79, March, 98. [Zin] 9 O.C. Zinkiwicz, R.L. Taylor, J.Z. Zhu, Th Finit Elmnt Mthod: Its Basis and Fundamntals. Sixth dition,.

93 Apéndic A. Guía para hacr prubas Para probar l proycto s ncsario utilizar l programa d pr y postprocso GiD, dsarrollado por CIMNE (Intrnational Cntr for Numrical Mthods in Enginring), para gnrar l mallado y al final para visualizar los rsultados. Los rsultados s pudn vr d forma combinada, s dcir, los rsultados d todas las particions mzclados o con los rsultados d las particions d forma indpndint. Las instruccions funcionan hacindo prubas tanto n Windows como n Linux. Forma combinada. Abrir l GiD.. Dsd l mnú [Fils/Opn] slccionar alguno d los dirctorios contnidos n "Mcanic/xampls", por jmplo l dirctorio "Mcanic/xampls/arc-D.gid". Gnrar una malla con l mnú [Msh/Gnrat msh]. S pud cambiar la dnsidad dl mallado ajustando l parámtro dl tamaño dl lmnto. 9

94 Apéndic A. Guía para hacr prubas. Ejcutar l mnú [Calculat/Calculat], sto gnrará un archivo "Mcanic/xampls/arc-D.gid/arcD.dat" qu contndrá los datos d ntrada dl programa. El sistma gnrará un mnsaj d rror, sto s porqu para usar MPI s ncsario jcutar l programa manualmnt.. Abrir una consola d comandos... Cambiars al dirctorio "Mcanic/xampls/arc-D.gid" 9

95 Apéndic A. Guía para hacr prubas.. Ejcutar "mpirun -n../../cod/mcanicd arc-d.dat arc-d" (sto dividirá l problma n particions).. Al trminar s gnrará un archivo "Mcanic/xampls/arc-D.gid/arc-D.post.rs" qu contndrá los rsultados d dsplazamintos, dformacions y tnsions. Los valors qu rporta l programa ntr corchts son l timpo qu tardó n jcutar cada tara n sgundos.. Rgrsar al GiD y slccionar l mnú [Fils/Postprocss] 7. Para vr la dformación rsultant, n l mnú [Viw rsults/dformation/displacmnts] 9

96 Apéndic A. Guía para hacr prubas Particions indpndints Para vr los rsultados d cada partición d forma indpndint:. En caso d qu ya sté abirto GiD, cambiar a modo d prprocso, abrindo l mnú [Fils/Prprocss].. Dsd l mnú [Fils/Opn] slccionar alguno d los dirctorios contnidos n "Mcanic/xampls", por jmplo l dirctorio "Mcanic/xampls/arc-D.gid" 9

97 Apéndic A. Guía para hacr prubas. Abrir l mnú [Data/Problm data], aquí s pudn modificar los parámtros d jcución dl programa McanicD... Slccionar [Domain dcomposition].. Activar la opción [Multipl fils] y prsionar [Accpt]. Gnrar una malla con l mnú [Msh/Gnrat msh]. S pud cambiar la dnsidad dl mallado ajustando l parámtro dl tamaño dl lmnto. 97

98 Apéndic A. Guía para hacr prubas. Ejcutar l mnú [Calculat/Calculat], sto gnrará un archivo "Mcanic/xampls/arc-D.gid/arcD.dat" qu contndrá los datos d ntrada dl programa. El sistma gnrará un mnsaj d rror, sto s porqu para usar MPI s ncsario jcutar l programa manualmnt.. Abrir una consola d comandos.. Cambiars al dirctorio "Mcanic/xampls/arc-D.gid" 98

99 Apéndic A. Guía para hacr prubas. Ejcutar "mpirun -n../../cod/mcanicd arc-d.dat arc-d" (sto dividirá l problma n particions). Al trminar s gnrarán varios archivos "Mcanic/xampls/arc-D.gid/arc-D.*.rs" qu contndrán los rsultados d dsplazamintos, dformacions y tnsions para cada partición. Los valors qu rporta l programa ntr corchts son l timpo qu tardó n jcutar cada tara n sgundos. 7. Rgrsar al GiD y slccionar l mnú [Fils/Postprocss] 7.. Abrir con l mnú [Fils/Opn] l archivo "Mcanic/xampls/arc-D.gid/arc-D..rs" 99

100 Apéndic A. Guía para hacr prubas 8. Para vr las otras particions, rgrsar al punto 7. y lgir otro archivo "Mcanic/xampls/arcD.gid/arc-D.*.rs" 9. Es posibl mzclar las particions, para sto abrir [Fils/Mrg] y slccionar otro d los archivos "Mcanic/xampls/arc-D.gid/arc-D.*.rs". Para vr la dformación rsultant, n l mnú [Viw rsults/dformation/displacmnts]

101 Apéndic A. Guía para hacr prubas. S pud lgir cambiar l modo d visualización abrindo l mnú [Window/Viw styl].