1. DESARROLLO EN SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER...2 Ejemplos de series de Fourier...3 Onda cuadrada CÁLCULO DE ARMÓNICOS

Transcripción

1 AUNES DE ELERÓNA DE OENA. DESARROLLO EN SERE RGONOMÉRA DE FOURER.... Ejemlos de series de Fourier... Onda cuadrada..... ÁLULO DE ARMÓNOS Disorsión armónica Disorsión de un armónico Disorsión armónica oal...8. OENA oencia media, real o aciva oencia aarene Facor de oencia álculo del facor de oencia álculo de la oencia aciva: álculo de la oencia aarene: asos ariculares Señales sin disorsión, sin comonene de coninua ero con desfase ensión de red rígida...

2 AUNES DE ELERÓNA DE OENA. DESARROLLO EN SERE RGONOMÉRA DE FOURER. ualquier función eriódica uede ser escria como una suma de senos y cosenos, según el desarrollo es serie de Fourier. La exresión de dicha serie es: A i [ A cos B sin ] donde i es una función eriódica cuyo eriodo es π rimer érmino de l a serie A/ coincide con el valor medio de la función i. Los coeficienes A y B se calculan con las exresiones: A B i cos i sin d; d;. A se le conoce como frecuencia fundamenal. El,,,.....,,,.... Haciendo uso de relaciones de rigonomería se uede escribir la exresión de la serie de Fourier de manera más comaca: i cos Ecuación - A B Ecuación - B an Ecuación - A Esas exresiones se simlifican si el inegrando cumle cieras roiedades. ara enender esas roiedades vamos a reasar algunas definiciones: Función AR Una función f es AR si se verifica que f f La función coseno es un ejemlo de función ar: Amliud -,5 -, -,5,,5,,5 - w La función de cumlir cieros requisios.

3 AUNES DE ELERÓNA DE OENA Función MAR Una función f es MAR si se verifica que f f. Un ejemlo de función imar es la función seno Amliud -,5 -, -,5,,5,,5 - w Función ALERNADA Una función f es ALERNADA si se verifica que f f El roduco de dos funciones verifica las siguienes roiedades AR AR AR AR MAR MAR AR MAR MAR MAR AR Fíjae que es igual que el roduco de signos olviendo a los coeficienes de la serie de Fourier: Si el inegrando es una función ar odos los B son nulos. Si el inegrando es una función imar odos los A son nulos. Si el inegrando es una función alernada odos los coeficienes ares son nulos. EJEMLOS DE SERES DE FOURER. ONDA UADRADA. amos a deerminar el desarrollo en serie de Fourier de una señal i cuadrada de eriodo y ciclo de rabajo D/. La función i se uede escribir: si < < i oro caso

4 AUNES DE ELERÓNA DE OENA,, au au iclo de rabajo Dau/,8 Amliud,6,4,,,E 5,E-4,E-,5E-,E-,5E-,E-,5E- iemo ueso la función i es AR, los coeficienes B son nulos. alculamos a coninuación los coeficienes A: A A i cos d cos d d cos cos d ; inegrando: cos d { sin sin Ecuació n -4 Susiuimos los valores de los exremos en los senos: a sin sin sin 4 sin b sin sin sin eniendo en cuena que π a sin π sin rescribimos las ecuaciones aneriores de la siguiene forma: b sin sin π sin π sin π ; ueso que sinπ. Ese úlimo ermino lo desarrollamos como sina-bsina cosb-cosa sinb: b sin sin π cosπ cosπ sin π sin π Susiuimos esos desarrollo en la Ecuación -4: A sin π π sin πd Donde hemos usado la definición de ciclo de rabajo D/. sin πd D πd ; ya que cosπ. Ecuación -5

5 AUNES DE ELERÓNA DE OENA Una vez calculado el valor de los coeficienes, rocedemos a escribir la serie susiuyendo los valores de A y B en la Ecuación - y la Ecuación -: A sin π D D ; ya que los B son nulos or ser i función AR. πd B an A i sin πd πd D cos πd El rimer érmino de la serie ara lo calculamos aare: sin πd A D D πd ángulo válido ara ángulos endiendo a cero ara salvar la indeerminación /. D ; donde se ha aroximado el valor del seno or el valor del on odo eso ya enemos el desarrollo en serie de la función i: i D omonene de coninua o valor medio de i sin π D cos π sin π D cos π sin π D cos π sin 4π D cos4 4π sin 5π D cos5 5π sin 6π D cos6 6π Armónico fundamenal o er armónico Segundo armónico de la señal ercer armónico uaro armónico Quino armónico Sexo armónico. ÁLULO DE ARMÓNOS. En el ejemlo anerior se han calculado los armónicos inegrando direcamene las definiciones de los coeficienes en la serie de Fourier. En ese aarado veremos unas definiciones úiles ara rabajar con funciones eriódicas disorsionadas, enendiendo or disorsionadas aquellas funciones que disan de ser un ono, es decir, que además del armónico fundamenal seno o coseno de ienen resencia de armónicos de orden suerior. 5

6 AUNES DE ELERÓNA DE OENA 6 eniendo en cuena la definición de valor eficaz ara un ono, y eniendo en cuena que cada comonene de la serie de Fourier salvo el rimero que es el valor medio de la función es un ono con amliud dada or, odemos escribir el valor eficaz de un armónico de la siguiene forma: cos cos B A Armónico El valor eficaz de cada armónico endrá la exresión: B A d Elevando al cuadrado esa úlima: d Ecuación - ara oder escribir el valor eficaz de i en función de su desarrollo en serie Ecuación -, enemos que calcular i : cos cos cos cos i cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos i uando vayamos a inegrar ara calcular el valor eficaz, endremos que seara la inegral en anas inegrales como sumandos enemos. Sin embargo, no hace fala calcular odos los érmino si enemos en cuena que al inegrar sobre un eriodo se verifican las siguienes roiedades: La inegral sobre un eriodo de la función coseno es nula. La inegral sobre un eriodo del roduco de razones rigonoméricas de diferene frecuencia es nula. on esas condiciones los únicos érminos que no se van a anular al inegra son aquellos que esán elevados al cuadrado, es decir, y odos los cos desde hasa infinio. negraremos or lo ano esos érminos: d d d d i cos cos odas las inegrales, salvo la rimera son de la misma forma. Resolvemos el caso genérico:

7 AUNES DE ELERÓNA DE OENA 7 d d d cos cos, donde hemos usado la relación rigonomérica cos cos cos sin cos cos a a a a a a. El resulado de la inegral genérica es : sin sin cos d. Si susiuimos en esa úlima π endremos: sin 4 sin cos d π Ecuación - Ahora bien, sin sin cos4 cos 4 sin 4 sin π π π, or lo que el segundo sumando de la Ecuación - es nulo. on odo eso odemos escribir: d i Y or fin: Ecuación -.. DSORSÓN ARMÓNA... DSORSÓN DE UN ARMÓNO Se define la disorsión del armónico de orden de la siguiene forma: D Ecuación -4 Es una medida de la roorción que iene la amliud del armónico de orden con reseco al armónico fundamenal de la señal. Si enendemos que una señal no disorsionada es aquella que iene forma senoidal ura, es decir que sólo coniene el armónico fundamenal, comrenderemos que ora señal que además enga armónicos de orden suerior esará disorsionada. uano mayor sea la amliud del érmino de Fourier corresondiene a ese armónico de orden suerior, ano mayor será la disorsión.

8 AUNES DE ELERÓNA DE OENA... DSORSÓN ARMÓNA OAL. Se define la disorsión armónica oal como la suma de las conribuciones a la disorsión de cada armónico. Sin embargo no se uede definir como una suma algebraica direca, debido a que los coeficienes de la serie de Fourier ueden ser osiivos o negaivos. ara calcular la conribución oal a la disorsión se define de la siguiene forma: HD D D D 4 Ecuación -5 Oerando sobre esa úlima ecuación odemos redefinir el valor eficaz de la señal i en función de los arámeros de disorsión: HD 4 D D D HD 4 4 MRS Susiuyendo en la Ecuación - queda: HD Ecuación -6. OENA ara erminar ese aéndice, damos las definiciones de las diferenes oencias que se usan en elecrónica de oencia. Suongamos un disosiivo cualquiera someido a un oencial insanáneo v y or el cual circula una corriene insanánea i. Se define la oencia insanánea suminisrada al disosiivo v i... OENA MEDA, REAL O A No es más el valor medio de la oencia insanánea: Ecuación - d La oencia media iene or unidad el W... OENA AARENE Se define de la siguiene forma: a Ecuación - Donde e son el volaje eficaz y la corriene eficaz en el disosiivo. La oencia aarene iene or unidad el volamerio A.. FAOR DE OENA La definición de ese arámero reender evaluar la diferencia que uede exisir enre las dos oencias definidas. 8

9 AUNES DE ELERÓNA DE OENA f Ecuación - a Si f es la unidad quiere decir que la oencia aciva y la oencia aarene son iguales. Las comañías que suminisran elecricidad arifan sólo la oencia aciva cuya medida de consumo es fácil de realizar, or lo que siemre reenden que f sea la unidad. Sin embargo lo normal es que haya diferencias, y que la comañía esé suminisrando a >, or lo que erdería dinero. La diferencia enre ambas oencias se debe a dos facores: a or la diferencia en las formas de la ondas de corriene y de ensión, es decir, or la disorsión armónica. b or es desfase enre la ensión y la corriene. Exisen diferenes formas de corregir el facor de oencia es decir llevarlo lo más cerca osible al valor, sin embargo las correcciones deenden de la nauraleza de la causa que rovoca la diferencia enre la oencia aciva y la oencia aarene..4. ÁLULO DEL FAOR DE OENA Suongamos que la señal de volaje y de corriene que circulan or un disosiivo ienen una forma general desconocida no analíica. ara oder calcular la oencia aciva y la oencia aarene enemos que exresar ambas señales en sus comonenes de Fourier. v sin ϕ sin ϕ Ecuación -4 i sin ϕ sin ϕ Ecuación -5 donde se han ueso los armónicos de corriene desfasados un ángulo reseco a los armónicos de ensión..4.. ÁLULO DE LA OENA A: sin ϕ sin ϕ d sin ϕ d sin ϕ d sin ϕ sin ϕ d d La mayoría de las inegrales resulanes se anulan si enemos en cuena que: negrales sobre un eriodo de funciones imares senos son nulas. negrales sobre un eriodo de roduco de razones rigonoméricas de diferene frecuencia son nulas. Según esas reglas odas las inegrales en las que el inegrando sea una consane or un seno son nulas, y odas las inegrales cuyo inegrando sea el roduco de senos de diferene frecuencia ambién son nulas. or lo ano queda: 9

10 AUNES DE ELERÓNA DE OENA d sin ϕ sin ϕ d sin ϕ sin ϕ d d sin ϕ sin ϕ odas las inegrales, salvo la rimera, son de la misma forma. Resolvemos el caso genérico: sin ϕ sin ϕ d cos d cos ϕ d donde hemos hecho uso de la igualdad rigonomérica sena senb,5 [cosa-b - cosab] Ahora bien, la segunda inegral debe ser nula ya que es la inegral de un coseno en un eriodo, or lo que el valor de la inegral genérica es: sin ϕ cos sin ϕ cos cos cos d Escribimos ahora la exresión de la oencia aciva susiuyendo el valor de las inegrales calculadas: cos cos Ecuación ÁLULO DE LA OENA AARENE: Usando la Ecuación -6 odemos exresar la oencia aarene sin ener que calcular las inegrales: a [ HD ] [ HD ] Ecuación ASOS ARULARES.4... SEÑALES SN DSORSÓN, SN OMONENE DE ONNUA ERO ON DESFASE El ejemlo íico de un condensador someido a una ensión senoidal y aravesado or una corriene senoidal desfasada 9º reseco al volaje. ueso que las señales no ienen disorsión, HD HD. Además odos los menos el fundamenal. Si no hay comonene de coninua. Susiuyendo esos valores nulos en la Ecuación -7 y en la Ecuación -6 queda:

11 AUNES DE ELERÓNA DE OENA a cos El facor de oencia será : f a cos, donde es el desfase enre la ensión y la corriene. radicionalmene se ha inenado evaluar la diferencia enre la oencia aarene y la oencia aciva definiendo la oencia reaciva. Sin embargo ese es un conceo lleno de ambigüedades, ya que el origen de la diferencia enre las dos oencias ciadas es múlile y deende de los desfases y de las disorsiones. Una de las definiciones más usuales, que es válida ara ese caso es la siguiene: REA r a. La unidad de la oencia reaciva es el volamerio reacivo AR. on esa definición, y ara el caso que nos ocua: cos r sin Esas exresiones nos ermien reresenar las relaciones enre las disinas oencias en forma de fasores: a A r AR W.4... ENSÓN DE RED RÍGDA. En ese caso se suone que la ensión que suminisra la red no sufre aleraciones, es decir : v sin. La corriene suonemos que esá afecada de deformaciones coniene armónicos de orden suerior y de un desfase reseco al volaje, y además iene una comonene de coninua. or lo ano la exresaremos con su desarrollo en serie rigonomérica de Fourier: i sin ϕ sin ϕ alculamos la oencia aciva: sin sin sin sin ϕ d sin ϕ sin d d sin ϕ sin d sin ϕ d

12 AUNES DE ELERÓNA DE OENA odos los sumandos se anulan al inegrar menos el segundo, que coniene el roduco de los senos de la misma frecuencia. ara resolver la inegral del segundo sumando alicamos la relación rigonomérica siguiene: cos a b cosa cosb sin a sin b cos a b cosa cosb sin a sin b Resando la rimera ecuación de la segunda, y susiuyendo a y b ϕ, la exresión de la oencia aciva queda: cos ϕ d cos ϕ d ; inegrando y eniendo en cuena que cos-a cosa: cos Ecuación -8 ϕ Según esa úlima ecuación los armónicos de la corriene no influyen en la oencia aciva, an sólo aarece el desfase del rimer armónico de la corriene con reseco a la ensión. amoco influye l a comonene de coninua que enga la corriene. alculamos ahora la oencia aarene. ara ello usamos la exresión de la corriene eficaz dada or la Ecuación -6: a HD Ecuación -9 omo se uede areciar la oencia aarene deende de odos los armónicos de la corriene y de la comonene de coninua. El facor de oencia en ese caso aricular será: f a cosϕ HD HD HD cosϕ MRS cosϕ Si además suonemos que la corriene no iene comonene de coninua queda: f cosϕ HD Ecuación - Según esa úlima ecuación la resencia de armónicos en la corriene hace que descienda el facor de oencia. Si se usa la exresión definida en árrafos aneriores ara la oencia reaciva, REA r a, se HD 4cos ϕ llega a r