m La fórmula cuadrática que se usó para construir el ejemplo anterior es un caso particular

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "m 2 9 8 La fórmula cuadrática que se usó para construir el ejemplo anterior es un caso particular"

Transcripción

1 Funión Cudráti Unidd Conepto Un negoio de deorión, Alfomri Confort, onfeion tpies udrdos que miden entre metros de ldo, on diseños elusivos pedido. Queremos ver que superfiie tiene los tpies. Teniendo en uent que l es el ldo del tpiz t su áre, ompletmos l siguiente tl de vlores prtir de estos vlores relizremos un representión gráfi. l (m) t (m ),00,00,0.,00,00,0.,00 9,00 Como l longitud del ldo puede tomr vlores entre metros, los vlores del áre estrán omprendidos entre m 9 m. Por onsiguiente, el dominio l imgen de l funión t(l) son: Dom ; t [ ] ( l ) [ ;9 ] ( l ) Im t m 9 m Funiones udráti de l fórmul ( ) L fórmul udráti que se usó pr onstruir el ejemplo nterior es un so prtiulr de f ( ) on perteneiente los reles distintos ero ( R { 0} ) Ests funiones están definids pr todo número rel, es deir que su dominio nturl result: Domf R En d so, l representión gráfi es un práol ls oordends de los puntos del plno que perteneen l práol verifin l euión udráti. En el so nterior, el dominio tení omo intervlo [; ] l funión definid es f ( ). f de

2 Unidd Nª Como el udrdo de un número es siempre positivo o ero, el onjunto de 0 ;. l imgen es el intervlo [ ) f ( ) Como l funión f tom el mismo vlor pr los vlores opuesto de, su gráfio es simétrio on respeto l eje de ls ordends, su euión es 0 se denomin eje de simetrí de l práol. El únio punto de l práol que pertenee l eje de simetrí es el vértie. En este ejemplo es el punto v (0; 0) Los puntos de interseión de un práol on el eje de ls siss son quellos en que l ordend es ero; en este so sí 0; result que 0 est euión tiene omo úni soluión 0. El punto de interseión es el vértie. Representión gráfi de l funión ( ) En todos los gráfios de este tipo de funiones se puede oservr que el eje de simetrí es el eje de ls ordends () on el vértie en el origen del sistem v ( 0;0). En lgunos sos el vértie es un vlor mínimo en otros sos es el vlor máimo. f Cundo el oefiiente es positivo l ordend del vértie nul es menor tods ls ordends restntes, que son positivs. En onseueni el vértie es el menor vlor de l funión. Cundo el oefiiente es negtivo, suede lo ontrrio, l ordend nul del vértie es mor ls restntes ordends, que son negtivs. En onseueni el vértie es el máimo vlor de l funión. Tmién puede oservrse que pr distintos vlores de, l rpidez on l que reen ls rms de d un de ls práols es diferente. Por ejemplo, dd l funión, si >, el gráfio se otiene diltndo vertilmente el de ; por el ontrrio sí de

3 Funión udráti-euión de do grdo < on 0, el gráfio se otiene ontrendo vertilmente el de. Trsliones de l funión ( ) f Trsliones en l direión del eje de ls ordends () L fórmul de l funión que permite onstruir un modelo on l situión nterior es un so prtiulr de f ( ) k. Veremos omo se otienen los gráfios de ls funiones de este tipo prtir del gráfio de on R. Gráfio de l funión k Compremos ls tls de vlores de ls funiones ; e Los vlores de, se otienen, omo es lógio, sumndo uniddes de l funión. Por lo tnto, l gráfi de se lo- gr suiendo tres uniddes l gráfi de. Como l práol siende uniddes, el vértie se trsldó v ( 0;), l imgen es hor el intervlo [ ; ). Tmién podemos deir que l práol no tiene interseión on el eje de ls siss; porque l funión no se nul pr ningún vlor de. Teniendo l mism onsiderión nterior, l gráfi se otiene jndo ino uniddes l de. El vértie tiene oordend v ( 0; ), mindo l imgen l intervlo[ ; ). En este so, l práol tiene dos puntos de interseión on el eje de ls siss, son los puntos donde l ordend es igul ero ( 0). Dihos puntos se denominn eros, ríes o siss l origen de l funión. de

4 Unidd Nª Pr nuestro so, se otienen de l siguiente mner: 0 Ls oordends son ( ;0) ( ;0). En el primer so, no hlmos de eros o ríes porqué l resoluión de l euión son dos números omplejos onjugdos. 0 Podemos gregr demás que tods ls práols tienen omo eje de simetrí l eje de ls ordends (), que es l ret 0. El vértie se desplz vertilmente según los diferentes vlores de k. En resumen, prtir del gráfio de, pr grfir k se trsld k uniddes ls ordends de los puntos de l práol de l siguiente mner: si k es i positivo, hi rri hi jo, si k es negtivo. v 0;k el eje de simetrí es 0. El vértie tiene oordends ( ) Trsliones en l direión del eje de ls siss () L fórmul de l funión que permite onstruir un modelo on l situión nterior es un so prtiulr de f ( ) ( h). Veremos omo se otienen los gráfios de ls funiones de este tipo prtir del gráfio de on R. Gráfio de l funión ( h) Compremos ls tls de vlores de ls funiones ; ( ) e ( ) de

5 ( ) Funión udráti-euión de do grdo ( ) ( ) Ahor el vértie de ( ) se enuentr en el punto donde 0, es deir el punto ( ;0), h un desplzmiento del vértie en direión horizontl igul h, no lterndo el rngo de l imgen ni del dominio on respeto. H un desplzmiento del eje de simetrí Análogmente, el vértie de ( ) estrá en el punto ( ;0) su eje de simetrí es Podemos deir en generl, l gráfi de ( ) h se otiene de l gráfi trsldándol un trmo h en l direión del eje de ls siss (). Trsliones en ulquier direión ( ) En lguns osiones, ls funiones udrátis pueden epresrse medinte l euión f ( ) ( h) k Est funión tiene l prtiulridd de que permite visulizr ls oordends del vértie de l práol que están indids en l fórmul, de l siguiente mner: ( h) k o ien ( v ) v v ( v ; v ) Veremos omo se otienen los gráfios de ls funiones de este tipo prtir del gráfio de. Pr trsldr l práol trnsformremos su euión del siguiente modo: se trsld h;, de modo que su vértie se sitúe en el punto ( k) h uniddes horizontlmente ( h) ( h) se trsld k uniddes vertil ( h) k Por ejemplo, vmos trsldr l práol v ;. en el punto ( ) L práol de modo que su vértie se enuentre se trsld uniddes l dereh ( ) se trsld uniddes hi rri ( ). de

6 Unidd Nª Vemos que el eje de simetrí se trsldó uniddes. El dominio de l funión no se lteró, pero l im- ;. gen es hor el intervlo [ ) Análogmente, podemos deir que ( ) es un práol omo on su vértie en ( ;) o que ( ) es un práol omo on su vértie en ( ;). En onseueni podemos deir que un funión del tipo ( h) k, está ompuest por dos movimientos, uno horizontl otro vertil, siguiendo los oneptos de trslión visto nteriormente. Cundo un funión udráti se epres de l form ( h) k o ( v ) v, se l denomin form ordinri de l funión udráti. Pr lulr determinr los puntos, donde l funión ort l eje de ls siss, o se los eros, ríes o siss l origen, se proede de l siguiente mner: Prtimos que en dihos puntos es 0, omo muestr l siguiente figur pr los puntos. Por lo tnto igulmos ero l epresión nóni.. h k 0 despejmos Ejemplo: ( ). ( h) ( h) k h h h k h Clulr ls ríes de l funión ( ) k k Como 0, tenemos que: k k ( ) 0 ( ) ( ;0) ( ;0) de

7 Funión udráti-euión de do grdo Ls oordends de ls ríes son: ( ) ( ;0) ( ;0 ) Otro punto rterístio es l ordend l origen, es el punto donde l funión ort l eje de ls ordends, por lo tnto omo ulquier punto de este eje tiene sis nul, podemos esriir 0 en l funión nóni. Ejemplo:.. ( h) k ( 0 h) k. h k Clulr l ordend l origen ( ) Como 0, tenemos que: L oordend de l ordend l origen es ( 0 ) ( ) 9 ( 0;) Otr form de epresr un funión de segundo grdo Vimos que se denomin form nóni de l funión de segundo grdo si se epres de l form: ( h) k Si, hor, se epres en funión de sus ríes de l siguiente mner: ( ) ( ) se denomin form ftorizd de l funión udráti. 7 de

8 Unidd Nª Si se desrroll el udrdo del inomio se sum de l form nóni o se pli propiedd distriutiv l produto de los inomios de l form ftorizd, se otiene un nuev form del tipo: que se denomin form polinómi, donde el oefiiente es el mismo vlor en tods ls forms es l ordend l origen de l práol es el oefiiente del término de segundo grdo es el oefiiente del término linel o de primer grdo es el término independiente Pr psr de l form polinómi l form nóni se puede utilizr Gráfio de l funión polinómi Vmos grfir hor l funión udráti de l form polinómi; o se, donde ; ; R 0. Tmién est funión se l denomin funión udráti omplet. Pr poder grfir este tipo de funión será neesrio enontrr puntos rterístios. Ordend l origen Es el punto de interseión de l práol el eje de ls ordends; es deir 0 Su oordend es Asiss l origen, ríes o eros ( 0 ;) Ls siss l origen, ríes o eros de l funión son los puntos de interseión de l práol on el eje de ls siss; es deir 0. Pr enontrr estos puntos proedemos ompletndo el udrdo. Se he l funión igul ero (0) 0. Se etre ftor omún 0. En el préntesis se omplet un trinomio udrdo perfeto ( ) ( ) 0 Los tres primeros términos del préntesis formn un trinomio udrdo perfeto que se puede epresr omo el udrdo de un inomio. 0 de

9 Funión udráti-euión de do grdo 9 de. Se despej. L fórmul resolvente es ; Deemos lrr, que tmién lo podemos resolver por el método de ompletr el udrdo visto nteriormente. Ejemplo Resolver l siguiente euión 0 Como, -, podemos reemplzr el l fórmul resolvente ; ( ) ( ) ( )( ) ( ) 9 ; ; ; ; Vértie de l práol Es el vlor máimo o mínimo, según el tipo de práol, que puede tomr l funión. Pr lulr ests oordends se puede proeder de dos forms diferentes

10 Unidd Nª 0 de. Trnsformndo l funión de form polinómi en form nóni, proediendo de l siguiente mner:. Se etre ftor omún. Se sum se rest, formndo un trinomio udrdo perfeto. Aplindo propiedd distriutiv d. Llmndo h k reemplzndo el l funión nterior, tenemos ( ) k h donde h k son ls oordends del vértie, es deir: ( ) k h v ; o ien v ;. Como l práol tiene eje de simetrí, entones dee psr por el medio de ls ríes, es deir h reemplzndo en l funión otendremos el vlor de l ordend. h h k

11 Funión udráti-euión de do grdo Los puntos grfir son los siguientes Ordend l origen Ríes Vértie Ejemplo Grfir l funión 0 Aplindo ls fórmuls orrespondientes tenemos:. Ordend l origen: ( 0 ;0). Ceros de l funión ; Si - 0 reemplzndo ; ; ( ) ( ) ; ; de

12 Unidd Nª. Vértie h h h k h h k ( ) ( ) k 9 0 k v ( ; ). Eje de Simetrí h 0 Un vez otenido los puntos rterístios podemos her un grfi proimd de

13 Funión udráti-euión de do grdo Disriminnte Dd l euión de segundo grdo 0, u fórmul resolvente es ;, se denomin disriminnte l epresión se lo simoliz on l letr grieg (delt). El disriminnte determin que tipo de ríes tiene l funión de segundo grdo, soid su euión. Según l resoluión del disriminnte, pueden sueder tres sos:. > 0, l euión tiene dos ríes reles distints. Está soido un funión udráti uo gráfio trvies en dos puntos el eje de ls siss.. 0, l euión tiene un ríz rel dole. Está soido un funión udráti uo gráfio to en un solo punto el eje de ls siss.. < 0, l euión tiene dos ríes omplejs onjugds. Está soido un funión udráti uo gráfio no to en dos puntos el eje de ls siss. Propieddes de ls ríes. Si summos miemro miemro ls ríes de l fórmul de l resolvente de un euión de segundo grdo de l form 0, po- demos deir que: de

14 Unidd Nª L sum de ls ríes de un euión de segundo grdo es igul l rzón del oefiiente linel el oefiiente prinipl mido de signo.. Si multiplimos, hor, ms ríes de l fórmul de l resolvente de un euión de segundo grdo de l form 0, tenemos: ( ) ( ) ( ) El produto de ls ríes de un euión de segundo grdo es igul l rzón del oefiiente independiente el oefiiente prinipl. Euiones Cudrátis Llmmos euiones udrátis o euiones de segundo grdo, ls euiones que pueden reduirse l form 0. Cundo igulmos ero l fórmul de un funión udráti pr verigur sus ríes, plntemos un euión udráti. Ls soluiones reles de est euión, que pueden ser dos, un o ningun, serán los vlores usdos. Deimos que un euión udráti es inomplet undo sus oefiientes o son nulos. Tods pueden resolverse plindo l fórmul resolvente o de Bhskr (primero se reduen l form 0 relizndo tods ls operiones posiles) ; O por el método de ompletr el udrdo que onsiste en: de

15 Funión udráti-euión de do grdo de A prtir de l euión 0, se ps el término l segundo miemro Se s ftor omún el oefiiente del término de segundo grdo se lo ps l segundo miemro omo divisor Trtndo de formr un trinomio udrdo perfeto, se sum rest l mitd del oefiiente del término linel elevdo l udrdo, quedndo sí un trinomio udrdo perfeto Ahor despejmos : Ls ríes del polinomio son: Donde son l ríes del polinomio. Ejemplo: 0 ) ( p ( ) 0 0 0

16 Unidd Nª Si l euión no tiene término linel ( 0), se despej diretmente l inógnit. Si l euión no tiene término independiente ( 0), se etre ftor omún. En este so, 0 es siempre un de ls soluiones. L otr soluión se otiene igulndo ero el otro ftor. Sistem mito de dos euiones Un sistem mito de euiones es un sistem formdo por un funión udráti (práol) un funión linel (ret). Es deir usmos l interseión de ret on práol. Pr lulr los puntos de orte de un práol de euión on un ret m n, se resuelve el sistem de euiones: m n El método que se puede usr es el de igulión. Siendo que si los primeros miemros son igules los segundos tmién lo son, por lo tnto tenemos: m n Despejndo grupndo ( m) ( n) 0 Otenemos un euión de segundo grdo, que se resuelve por los métodos estudido. Est euión puede tener tres tipos de resultdo, según se el disriminnte.. > 0, l ret ort l práol en dos puntos,. Se die que l ret es sente.. 0, l ret to l práol en un punto,. Se die que l ret es tngente l práol.. < 0, l ret no ort l práol. Pr oservr ls posiiliddes, presentremos los siguientes ejemplos de

17 Funión udráti-euión de do grdo 7 de. Igulndo ls euiones, se otiene: Aplindo l fórmul pr resolver un euión udráti, result: Los puntos de interseión son: ( ) ( ) ; ; ( ) ( ) ; ;. 7 Igulndo ls euiones, se otiene: Aplindo l fórmul pr resolver un euión udráti, result:

18 Unidd Nª de 9 Los puntos de interseión son: ( ) ( ) ; ;. Igulndo ls euiones, se otiene: 0 7 0

19 Funión udráti-euión de do grdo 9 de Aplindo l fórmul pr resolver un euión udráti, result: ( ) ( ) 7 Como est ríz udrd no tiene soluión en R, no eisten vlores de que verifiquen l euión plnted. Por lo tnto, no h ningún punto de interseión entre l práol l ret.

20 Unidd Nª Síntesis L funión udráti Son funiones de l form ( 0). Dom ( f ) : R Su gráfio es un urv llmd práol. Signo vlor soluto del oefiiente prinipl : (form po- Pr epresr un funión udráti en l form linómi, se desrrolln ls operiones indids Ríes eros de l funión: son ls siss de los puntos de interseión de l práol on el eje de ls siss. Pr hllrls, si es que eisten, en l fórmul de l funión se reemplz l vrile por 0 se resuelve l euión por ulquier método. Desplzmientos de f ( ) Al desplzr h uniddes en sentido horizontl k uniddes en sentido vertil del gráfio de f(), se otiene el gráfio de l funión: g ( ) ( h) k ( ) ( h) k g Su vértie es el punto: v ( h; k). El eje de simetrí es l ret de euión h. L funión sí epresd se denomin form nóni. Euiones udrátis k h Tods pueden resolverse plindo l fórmul resolvente (primero se reduen l form 0 relizndo tods ls operiones posiles). 0 de

21 Funión udráti-euión de do grdo ; Si l euión no tiene término linel ( 0), se despej diretmente l inógnit. Si l euión no tiene término independiente ( 0), se etre ftor omún. En este so, 0 es siempre un de ls soluiones. L otr soluión se otiene igulndo ero el otro ftor. Construión del gráfio Se pli l fórmul resolvente se otienen ls ríes. Si ests son reles, se mrn los puntos de ontto sore el eje de ls siss. Coordends del vértie: Pr lulr v se puede usr: v v f, es deir se reemplz v en l fórmul de l funión. v ( v ) Vértie v ( ; ) v v Eje de simetrí es un ret vertil que ps por l sis del vértie (se mr on líne punted. 0 ;. Punto de ontto on eje de ls ordends. Se proveh el eje de simetrí pr otener puntos simétrios. Ordend l origen: ( ) Form Cnóni f ( ) ( h) k o f ( ) ( v ) v Pr hllr l fórmul de un funión udráti de l que se onoen el vértie otro punto que pertenee l práol, se reemplzn tods ls oordends en l fórmul f v se despej. ( ) ( ) v Disriminnte > 0 dos ríes reles distints 0 un ríz rel dole < 0 dos ríes omplejs onjugds Máimo mínimo Si el dominio de un funión udráti es R, lnz un máimo o mínimo en l ordend del vértie de su gráfio. de

FUNCIÓN CUADRÁTICA Y LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA HORIZONTAL

FUNCIÓN CUADRÁTICA Y LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA HORIZONTAL FUNCIÓN CUADRÁTICA Y LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA HORIZONTAL El prolem de l práol horizontl Qué relión h entre ls propieddes nlítis de l funión udráti ls propieddes geométris de l práol horizontl? Como

Más detalles

Matemática Diseño Industrial Cónicas Ing. Avila Ing. Moll CÓNICAS. Directriz. Generatriz

Matemática Diseño Industrial Cónicas Ing. Avila Ing. Moll CÓNICAS. Directriz. Generatriz Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll CÓNICAS Diretriz Genertriz Un superfiie óni está generd por un ret (genertriz) que se mueve poyándose en un urv fij (diretriz) y que ps por un punto fijo

Más detalles

1.6. BREVE REPASO DE LOGARITMOS.

1.6. BREVE REPASO DE LOGARITMOS. .. BREVE REPASO DE LOGARITMOS. Sistems de ritmos. Si ulquier número positivo puede tomrse omo Bse, eiste infinito número de sistems de logritmos, pero trdiionlmente, solo se utilizn dos sistems: o ritmos

Más detalles

x x = 0 es una ecuación compatible determinada por que sólo se

x x = 0 es una ecuación compatible determinada por que sólo se Euiones Denominmos euión l iguldd que se stisfe pr uno o más vlores de l(s) vrile(s), o inógnit(s), que interviene en ell. Ejemplos: + 5 + 5 + 6 0 + 0 Denominmos euión lgeri tod euión del tipo: n n n +

Más detalles

se llama ecuación polinómica de primer grado con una incógnita. Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjunto solución.

se llama ecuación polinómica de primer grado con una incógnita. Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjunto solución. Euiones e ineuiones de Primer Grdo on un inógnit Se P () un euión polinómi, on P() un polinomio, resolver l mism es enontrr los eros o ríes de P(), es deir, los vlores de que nuln diho polinomio. X se

Más detalles

Cuestionario Respuestas

Cuestionario Respuestas Cuestionrio Respuests Copright 2014, MtemtiTu Derehos reservdos 1) Un ineuión o desiguldd on un vrile (inógnit) es un enunido en que se presentn dos epresiones, l menos un on l vrile entre ells uno de

Más detalles

En donde x representa la incógnita, y a, b y c son constantes.

En donde x representa la incógnita, y a, b y c son constantes. FUNCIÓN CUADRÁTICA. Cundo los elementos de un onjunto los elementos de un onjunto se soin medinte un regl de orrespondeni definid por un euión de segundo grdo en, l llmmos funión de segundo grdo o udráti.

Más detalles

SESIÓN 11 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I

SESIÓN 11 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I Mtemátis I SESIÓN SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I I. CONTENIDOS:. Conepto y representión geométri.. Métodos de soluión: o Igulión o Sustituión. o Reduión (sum y rest). o Determinnte.

Más detalles

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO UNIDAD ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO EJERCICIOS RESUELTOS Ojetivo generl. Al terminr est Unidd resolverás ejeriios y prolems que involuren l soluión de euiones de primer grdo y de segundo grdo Ojetivo.

Más detalles

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE UNIDAD VI LA ELIPSE OBJETIVO PARTIULAR Al onluir l unidd, el lumno onoerá plirá ls propieddes relionds on el lugr geométrio llmdo elipse, determinndo los distintos prámetros, su euión respetiv vievers.

Más detalles

Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes 6 Aritméti Friones equivlentes Reflexiones diionles Frión unitri. Es quell frión uyo numerdor es igul. Friones equivlentes. Son ls que representn l mism ntidd, un undo el numerdor y el denomindor sen distintos,

Más detalles

5. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO

5. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO. PUNTOS EN EL ESPACIO Semos que pr determinr l posiión de un punto en el plno neesitmos tomr, por un prte, un

Más detalles

Figura 1. Teoría y prática de vectores

Figura 1. Teoría y prática de vectores UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Fultd Regionl Rosrio UDB Físi Cátedr FÍSICA I VECTORES Mgnitudes eslres vetoriles Ls mgnitudes eslres son quells que quedn determinds dndo un solo número rel, resultdo

Más detalles

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio Colegio Sn Ptriio A-09 - Inorpordo l Enseñnz Ofiil Fundión Edutiv Sn Ptriio MATEMÁTICA º AÑO Trjo prátio Nº 8 Sistems de dos euiones lineles on dos inógnits Un sistem de euiones es un onjunto de dos o

Más detalles

X. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse.

X. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse. X. LA ELIPSE 10.1. DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definiión Se llm elipse l lugr geométrio de un punto P que se mueve en el plno, de tl modo que l sum de ls distnis del punto P dos puntos fijos

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano)

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano) ES CSTELR DJOZ Menguino PRUE DE CCESO (LOGSE) UNVERSDD DE ZRGOZ SEPTEMRE (RESUELTOS por ntonio Menguino) MTEMÁTCS Tiempo máimo: hors Se vlorrá el uso del voulrio l notión ientíi Los errores ortográios,

Más detalles

B 1. d 1 d 2 B 2 XI.2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN

B 1. d 1 d 2 B 2 XI.2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN Págin del Colegio de Mtemátis de l ENP-UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos HIPÉRBOLA UNIDAD XI XI.1 DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA Un hipérol es el lugr geométrio de todos los puntos P del plno,

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA

DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA. (S-97)Hllr el rngo de l mtriz B 0 0 según se el vlor del prámetro [,5 puntos] Puesto que el menor 0 0 rgb 0 () 0 ( ) 0 ) Pr 0 r(b) ) Pr 0 0 - B 0-0 0 - r(b) 0-0 - 0-0

Más detalles

B 1. d 1 d 2 B 2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN

B 1. d 1 d 2 B 2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos MATEMÁTICAS BÁSICAS HIPÉRBOLA DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA Un hipérol es el lugr geométrio de todos los puntos P del plno, tles

Más detalles

Determinantes Bachillerato 2º. Determinantes. Los determinantes históricamente son anteriores a las matrices, pero por el auge de éstos han quedado

Determinantes Bachillerato 2º. Determinantes. Los determinantes históricamente son anteriores a las matrices, pero por el auge de éstos han quedado Determinntes hillerto º Determinntes Introduión: Los determinntes histórimente son nteriores ls mtries, pero por el uge de éstos hn queddo relegdos un º plno. El uso de los determinntes nos permitirá:

Más detalles

Haga clic para cambiar el estilo de título

Haga clic para cambiar el estilo de título Medids de ángulos 90º 0º 80º 360º R 70º reto 90º º 60' ' 60'' Se die que mide un rdián si el ro de irunfereni orrespondiente tiene un longitud igul l rdio de l mism. R Equivlenis entre grdos segesimles

Más detalles

SenB. SenC. c SenC = 3.-

SenB. SenC. c SenC = 3.- TRIANGULOS OBLICUANGULOS Se llmn oliuángulos por que los ldos son oliuos on relión uno l otro, no formndo nun ángulos retos. Hy seis elementos fundmentles en un tringulo: los tres ldos y los tres ángulos,

Más detalles

SUPERFICIES-SUPERFICIES CUÁDRICAS CUÁDRICAS SIN CENTRO

SUPERFICIES-SUPERFICIES CUÁDRICAS CUÁDRICAS SIN CENTRO : L euión generl es de l form M N Pz donde todos los oefiientes son no nulos M N P Se puede esriir l euión nterior en l form: ± ± on Llmd form nóni de un uádri sin entro. Álger B Fultd de Ingenierí UNMdP

Más detalles

TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria) TEMS DE MTEMÁTICS (Oposiiones de Seundri) TEM 37 L SEMEJNZ EN EL PLNO. CONSECUENCIS. TEOREM DE THLES. RZONES TRIGONOMÉTRICS. 1. Introduión.. Homoteis: Definiión y propieddes. 3. L semejnz en el plno. 3.1.

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones lineales Discusión con parámetros. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a:

Sistemas de Ecuaciones lineales Discusión con parámetros. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a: ALGEBRA Sistems de Euiones lineles Disusión on prámetros Disutir el siguiente sistem de euiones lineles según el vlor del prámetro : + ( + ) = + = + = Interpretión: Del enunido se dedue que se trt de un

Más detalles

VECTORES Magnitudes escalares y vectoriales Vectores Figura 1.1 Figura 1-1 vector. Año: 2010

VECTORES Magnitudes escalares y vectoriales Vectores Figura 1.1 Figura 1-1 vector. Año: 2010 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Fultd Regionl Rosrio --- UDB Físi Cátedr VECTORES Mgnitudes eslres vetoriles Ls mgnitudes eslres son quells que quedn determinds dndo un solo número rel, resultdo de su

Más detalles

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN http://www.cepmrm.es ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN Tnto en mtemátics, como en físic, en economí, en químic,... es corriente el

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

Matemática básica para ingeniería (MA105) Clase Práctica Dada la siguiente ecuación, identifique la cónica, grafique y encuentre todos sus

Matemática básica para ingeniería (MA105) Clase Práctica Dada la siguiente ecuación, identifique la cónica, grafique y encuentre todos sus Mtemáti ási pr ingenierí (MA05) Clse Práti 4.. Dd l siguiente euión, identifique l óni, grfique enuentre todos sus elementos. 6 9 64 54 6 0 Completndo udrdos: ( ) ( 3) 3 4 Centro= C(; 3) 3 4 Como Entones

Más detalles

Matrices y determinantes

Matrices y determinantes Mtemátis CCSS II Mtries José Mrí Mrtíne Meino (SM, www.profes.net) Mtries eterminntes CTS. Sen ls mtries, C. Hll l mtri ( C). Soluión: Mtemátis CCSS II Mtries José Mrí Mrtíne Meino (SM, www.profes.net)

Más detalles

Unidad didáctica 4. Trigonometría plana

Unidad didáctica 4. Trigonometría plana Interpretión Gráfi Unidd didáti 4. Trigonometrí pln 4.1 Medids de ros y ángulos omo en un mism irunfereni ros igules orresponden ángulos igules, se quiere enontrr un medid de ros que sirv pr ángulos y

Más detalles

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

ECUACIONES DE PRIMER GRADO IES Jun Grí Vldemor Deprtmento de Mtemátis TEMA : ECUACIONES º ESO Mtemátis B ECUACIONES DE PRIMER GRADO PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO. Eliminr préntesis si los hy). Eliminr denomindores

Más detalles

3.1 Circunferencia 3.2 Parábola 3.3 Elipse 3.4 Hiperbola

3.1 Circunferencia 3.2 Parábola 3.3 Elipse 3.4 Hiperbola Moisés Villen Muñoz Cónis. Cirunfereni. Práol. Elise. Hierol Ojetivos. Se ersigue que el estudinte: Identifique, grfique determine los elementos de un óni onoiendo su euión generl. Ddo elementos de un

Más detalles

CIRCUNFERENCIA: Definición: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado Centro y esa distancia es el radio.

CIRCUNFERENCIA: Definición: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado Centro y esa distancia es el radio. Ls cónics responden l ecución generl del tipo F, ) 0 L ecución generl de un cónic es: A B C D E F 0 I) tér min oc cudráti cos tér min os lineles tér min o independiente B término rectngulr, cundo prece

Más detalles

CONJUNTOS, RELACIONES Y GRUPOS

CONJUNTOS, RELACIONES Y GRUPOS CONJUNTOS, RELACIONES Y GRUPOS. CONJUNTOS. Conjunto Un onjunto está ien definido undo se posee un riterio que permit firmr si un elemento pertenee o no diho onjunto.. Inlusión Un onjunto B está inluido

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

TRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal

TRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal . ÁNGULOS.. Ángulo en el plno TRIGONOMETRÍA Dos semirrets en el plno, r y s, on un origen omún O, dividen diho plno en dos regiones. Cd un de de ests regiones determin un ángulo. O es el vértie de los

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

ALGEBRA. 1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, se cumple la relación (A-B) 2 = A 2-2AB+B 2?

ALGEBRA. 1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, se cumple la relación (A-B) 2 = A 2-2AB+B 2? ejeriiosemenes.om. Si A B son mtries udrds de orden n, se umple l relión (AB) A ABB?. Siendo que d e f. Hllr el vlor de: g h i ( e) i h g d g i d f ) (d e) f i e h ) h e ) h/ / e/ e i h i f i f. Enuni

Más detalles

x 2 + ( x + 1 ) 2 + ( x + 2 ) 2 = 365 x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 365 3 x 2 + 6x 360 = 0

x 2 + ( x + 1 ) 2 + ( x + 2 ) 2 = 365 x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 365 3 x 2 + 6x 360 = 0 Ecuciones cudrátics con un incógnit Sen, 1 y los tres números nturles consecutivos uscdos. El prolem nos indic que ( 1 ) ( ) 365 Un número con misterio! El número 365 tiene l crcterístic de ser l sum de

Más detalles

Propuesta sobre la enseñanza de los números racionales Geovany Sanabria Brenes

Propuesta sobre la enseñanza de los números racionales Geovany Sanabria Brenes Geovny Snri B. Propuest sore l enseñnz de los números rionles Geovny Snri Brenes Un mner de ordr los números rionles es trvés del onoimiento previo de rzones. En l tulidd, ls friones en primri no son vists

Más detalles

TEMA 9. DETERMINANTES.

TEMA 9. DETERMINANTES. Uni.Determinntes TEM. DETERMINNTES.. Coneptos previos, permutiones. Definiión generl e eterminntes. Determinnte e mtries e oren y oren... Determinnte mtries urs e oren.. Determinnte mtries urs e oren.

Más detalles

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS Págin 0 PR EMPEZR, REFLEXION Y RESUELVE Prolem Pr lulr l ltur de un árol, podemos seguir el proedimiento que utilizó Tles de Mileto pr llr l ltur de un pirámide de Egipto: omprr

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

Taller 3: material previo

Taller 3: material previo Tller 3: mteril previo El tller 3 está dedido los diferentes modelos de empquetmiento ompto de esfers y prender ontr átomos dentro de l eld unidd. Por ello, ntes de l orrespondiente sesión (dís 20, 21

Más detalles

GRAMATICAS REGULARES - EXPRESIONES REGULARES

GRAMATICAS REGULARES - EXPRESIONES REGULARES CIENCIAS DE LA COMPUTACION I 29 GRAMATICAS REGULARES - EXPRESIONES REGULARES Grmátis Ls grmátis formles definen un lenguje desriiendo ómo se pueden generr ls dens del lenguje. Un grmáti forml es un udrupl

Más detalles

, donde a y b son números cualesquiera.

, donde a y b son números cualesquiera. Mtemátis Mtries José Mrí Mrtínez Meino (SM, www.profes.net) MJ6 D l mtriz enuentr tos ls mtries P tles que P = P. Soluión: Se ese que Por tnto, ee umplirse que: Por tnto, P, one y son números ulesquier.

Más detalles

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.

Más detalles

TRIGONOMETRÍA (4º OP. A)

TRIGONOMETRÍA (4º OP. A) SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS TRIGONOMETRÍA (4º OP. A) Dos figurs son semejntes undo tienen l mism form: Dos triángulos son semejntes si tienen: Sus ldos proporionles: r rzón de semejnz ' ' ' Sus ángulos, respetivmente

Más detalles

TEMA 2 INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS

TEMA 2 INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS Frnisnos T.O.R. Cód. 867 TEMA INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS. INTEGRAL DEFINIDA El álulo de l integrl definid, que se denot por: f ( d, onsiste en lulr l integrl de l funión f( en el intervlo [, ].

Más detalles

9 Proporcionalidad geométrica

9 Proporcionalidad geométrica 82485 _ 030-0368.qxd 12//07 15:37 Págin 343 Proporionlidd geométri INTRODUIÓN El estudio de l proporionlidd geométri y l semejnz de figurs es lgo omplejo pr los lumnos de este nivel edutivo. omenzmos l

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA DE MATRICES

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA DE MATRICES Mtemátis Álger e mtries José Mrí Mrtínez Meino PROLEMS DE ÁLGER DE MTRCES Oservión: L myorí e estos ejeriios proeen e ls prues e Seletivi D l mtriz enuentr tos ls mtries P tles que P P Soluión: Se ese

Más detalles

8 - Ecuación de Dirichlet.

8 - Ecuación de Dirichlet. Ecuciones Diferenciles de Orden Superior Prte V III Integrl de Dirichle t Ing. Rmón scl Prof esor Titulr de nálisi s de Señles Sistems Teorí de los Circuit os I I en l UTN, Fcultd Regionl vellned uenos

Más detalles

La elipse. coordenadas de los vértices, y la longitud del eje mayor que es #+Þ. coordenadas de los extremos del eje menor, cuya longitud es #,Þ

La elipse. coordenadas de los vértices, y la longitud del eje mayor que es #+Þ. coordenadas de los extremos del eje menor, cuya longitud es #,Þ Definiión. L elipse Est Guí tiene..todas...ls respuests MALAS Se llm elipse, l lugr geométrio de los puntos de un plno u sum de distnis dos puntos fijos del mismo plno es onstnte. Los puntos fijos se ostumrn

Más detalles

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g).

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g). 64 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción Actividd 3 Resuelven inecuciones y sistems de inecuciones con un incógnit; expresn ls soluciones en form gráfic y en notción de desigulddes; nlizn ls

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

2. Integrales iteradas dobles.

2. Integrales iteradas dobles. 2 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio 26. 2. Integrles iterds dobles. 2.. Integrles iterds en dominios simples respeto de x. Se omo en l subseión.2, el retángulo

Más detalles

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 7. RZONES TRIGONOMÉTRIS EN EL TRIÁNGULO RETÁNGULO 7.1 onepto de trigonometrí Trigonometrí L plr trigonometrí es un volo ltino ompuesto

Más detalles

Los números racionales

Los números racionales UNIDAD Los números rionles Contenidos Conepto Ls friones y los números rionles Representión de friones Friones equivlentes Simplifiión de friones Ordenión de friones Sum y rest de friones Multipliión y

Más detalles

TRANSFORMACIONES LINEALES

TRANSFORMACIONES LINEALES . 7 Cpítulo 5 RANSFORMACIONES LINEALES Mrtínez Hétor Jiro Snri An Mrí Semestre,.7 5.. Introduión Reordemos que un funión : A B es un regl de soiión entre los elementos de A y los elementos de B, tl que

Más detalles

Apéndice V. Ing. José Cruz Toledo M. Vectores tridimensionales

Apéndice V. Ing. José Cruz Toledo M. Vectores tridimensionales Apéndie V Ing. José Cruz Toledo M. Vetores tridimensionles En este péndie se present un resúmen de ls reliones vetoriles que son referenidos en este liro. y(j) (x,y,z) y Simologí (Ver Fig. V-1): ( x i

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS ELIPSE. B 2B 1 del eje mayor es el eje menor. Cada extremo del eje mayor V 1 y V 2 se llama vértice. El punto DEFINICIÓN DE ELIPSE

MATEMÁTICAS BÁSICAS ELIPSE. B 2B 1 del eje mayor es el eje menor. Cada extremo del eje mayor V 1 y V 2 se llama vértice. El punto DEFINICIÓN DE ELIPSE Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos TÁTIS BÁSIS LIPS FINIIÓN LIPS Un elipse es el lugr geométrio de todos los puntos P del plno, tles que l sum de sus distnis dos puntos

Más detalles

Aplicando las propiedades conocidas de las operaciones entre número reales, obtenemos:

Aplicando las propiedades conocidas de las operaciones entre número reales, obtenemos: Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones Un prolem de ingenio frecuente es: Pensr un número. Sumrle 5. Multiplicr por el resultdo. A lo que se otiene, restrle 9. Dividirlo por. Restrle 8. ECUACIONES Si

Más detalles

7.1 Ecuación en forma común o canónica de la hipérbola. En la gráfica dada a continuación (Fig. 1) es posible encontrar los elementos siguientes:

7.1 Ecuación en forma común o canónica de la hipérbola. En la gráfica dada a continuación (Fig. 1) es posible encontrar los elementos siguientes: UNIDAD VII. LA HIPÉRBOLA. DEFINICIÓN: L Hipérol es el onjunto de puntos en el plno u difereni de sus distnis dos puntos fijos en el mismo plno, llmdos foos, es onstnte e igul. 7.1 Euión en form omún o

Más detalles

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES.

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERA- LES. 6. En l integrl dole f(, ), colocr los límites de integrción en mos órdenes, pr los siguientes recintos: i) trpecio de vértices (, ), (, ), (, ) (, ). ii)

Más detalles

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=± CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes

Más detalles

Una condición necesaria y suficiente para que el triangulo PBP sea equilátero es que el ángulo HBP sea 30º. b que es la relación buscada.

Una condición necesaria y suficiente para que el triangulo PBP sea equilátero es que el ángulo HBP sea 30º. b que es la relación buscada. Hoj de Prolems Geometrí III 49. Dd l elipse, si tommos el etremo B de ordend positiv del eje menor omo entro, se desrie un irunfereni de rdio igul diho eje menor, ortr l elipse en dos punto P P. Determinr

Más detalles

UNIVERSIDAD CRISTIANA AUTONOMA DE NICARAGUA UCAN FACULTAD DE INGENIERÍAS. Ingeniería en Sistemas de Computación. Ing. Enmanuel de Jesús Fonseca Alfaro

UNIVERSIDAD CRISTIANA AUTONOMA DE NICARAGUA UCAN FACULTAD DE INGENIERÍAS. Ingeniería en Sistemas de Computación. Ing. Enmanuel de Jesús Fonseca Alfaro CARRERA: Ingenierí en Sistems de Computión PLAN DE ESTUDIOS: 00 ASIGNATURA: AÑO ACADÉMICO: DOCENTE: MATEMATICA BASICA I Año Ing. Enmnuel de Jesús Fonse Alfro UNIDAD I: ALGEBRA Al finlir est unidd el estudinte

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS: MONOMIOS Y POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS: MONOMIOS Y POLINOMIOS EXPRESIONES LGERIS: MONOMIOS Y POLINOMIOS EXPRESIÓN LGERI.- Un epresión lgeric es culquier cominción de números letrs unidos por ls operciones ritmétics (sum, rest, multiplicción, división, potenci, (o)

Más detalles

1. Definición de Semejanza. Escalas

1. Definición de Semejanza. Escalas Tem 5. Semejnz Tem 5. Semejnz 1. Definiión de Semejnz. Esls. Teorem de Tles 3. Semejnz de Triángulos. riterios 4. riterios de Semejnz en triángulos retángulos 5. Teorems en triángulos retángulos 6. Relión

Más detalles

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3 Máximo común divisor El máximo común divisor de dos números nturles y es el número más grnde que divide tnto como. se denot mcd,. Lists: (tl vez, el más intuitivo, pero el menos eficiente) Encontrr mcd

Más detalles

SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA

SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA - Septiemre de 03 - Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A CC.SS. I TEMA 1 Y 2: LOS NÚMEROS RADICALES. LOGARITMOS

MATEMÁTICAS APLICADAS A CC.SS. I TEMA 1 Y 2: LOS NÚMEROS RADICALES. LOGARITMOS http://olmo.pnti.me.es/dms000 MATEMÁTICAS APLICADAS A CC.SS. I TEMA Y : LOS NÚMEROS RADICALES. LOGARITMOS HOJA Nº Feh de entreg: Viernes, de Oture de 00 Ejeriios. 7. Etre ftores y simplifi l máimo l epresión

Más detalles

MATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn

MATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn Mtrices MATRICES. DEFINICIÓN. Un mtriz A de m fils y n columns es un serie ordend de m n números ij, i,,m; j,,...n, dispuestos en fils y columns, tl como se indic continución:... n... n A........... m

Más detalles

Las expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Son expresiones

Las expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Son expresiones Definición de Polinomio Epresiones Algerics Epresión lgeric es tod cominción de números letrs ligdos por los signos de ls operciones ritmétics: dición, sustrcción, multiplicción, división potencición.

Más detalles

Función de transición δ. Tema 6. Función de transición extendida. Función de transición extendida. Función de transición extendida

Función de transición δ. Tema 6. Función de transición extendida. Función de transición extendida. Función de transición extendida Tem 6 El lenguje eptdo por un FA Funión de trnsiión δ p j p l Dr. Luis A. Pined ISBN: 970-32-2972-7 Σ Q p i p k n Pr todo en Q & Σ, δ(, ) = p Funión de trnsiión etendid δ permite moverse the un estdo otro

Más detalles

1.- MEDIDA DE ÁNGULOS. - El sistema sexagesimal que usa como unidad de medida el grado. Un grado es la 90-ava parte del ángulo recto.

1.- MEDIDA DE ÁNGULOS. - El sistema sexagesimal que usa como unidad de medida el grado. Un grado es la 90-ava parte del ángulo recto. º Bhillerto Mtemátis I Dpto de Mtemátis- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz)-Curso 0/0 TEMAS 4 y 5.- RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. FUNCIONES FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Pr medir ángulos se suelen usr dos sistems

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff.

Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff. Resolución de circuitos complejos de corriente continu: Leyes de Kirchhoff. Jun P. Cmpillo Nicolás 4 de diciemre de 2013 1. Leyes de Kirchhoff. Algunos circuitos de corriente continu están formdos por

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m

Más detalles

Determinantes D - 1 DETERMINANTES

Determinantes D - 1 DETERMINANTES Determinntes D - DETERMINNTES Determinnte e un mtri ur e oren os Definiión: D un mtri ur e oren os numero rel: Det (), se llm eterminnte e l El eterminnte e un mtri ur e oren os es igul l routo e los elementos

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

f(t)dt para todo x [a, b].

f(t)dt para todo x [a, b]. ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. L integrl lnz todo su poder undo se li on l derivd. Esto ourre en el Teorem Fundmentl del Cálulo. Funiones definids trvés de l integrl. Dd

Más detalles

La Parábola A. Definición B. Construcción de la parábola C. Elementos de la parábola. Und. 11 Geometría Analítica

La Parábola A. Definición B. Construcción de la parábola C. Elementos de la parábola. Und. 11 Geometría Analítica Cundo ls orgniziones de vuelos espiles desen poner en órit un stélite deen lnzrlos on un veloidd proimd de 8 km/s. Pero undo quieren que slg de l órit terrestre deen lnzrlo on un veloidd 8 km/s l tretori

Más detalles

UNIDAD Nº 1: LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS APLICACIONES, GUIA 2 DOCENTE: LIC ROSMIRO FUENTES ROCHA

UNIDAD Nº 1: LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS APLICACIONES, GUIA 2 DOCENTE: LIC ROSMIRO FUENTES ROCHA REPUBLICA DE COLOMBIA SECRETARIA DE EDUCACION DISTRITAL DE SANTA MARTA INSTITUCION EDUCATIVA DISTRITAL RODRIGO DE BASTIDAS Resoluión Nº 88 de noviemre.8/ Emnd de l Seretri De Eduión Distritl DANE Nº7-99

Más detalles

RADICALES. 1.2.1 Teorema fundamental de la radicación. 1.2.3 Reducción de radicales a índice común. 1.2.4 Potenciación de exponente fraccionario

RADICALES. 1.2.1 Teorema fundamental de la radicación. 1.2.3 Reducción de radicales a índice común. 1.2.4 Potenciación de exponente fraccionario RDICLES. Rdiles. Trsformioes de rdiles.. Teorem fudmetl de l rdiió.. Simplifiió de rdiles.. Reduió de rdiles ídie omú.. Poteiió de epoete friorio. Operioes o rdiles.. Produto de rdiles.... Etrió de ftores

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS INTEGRALES IMPROPIAS INDICE.- Integrles impropis de primer espeie....- Integrles impropis de segund espeie.- Integrles impropis del tipo C... 8 4.- Criterios de omprión 8.- Biliogrfi 0 DEFINICION DE INTEGRALES

Más detalles

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INDICADORES DE DESEMPEÑO INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS DOCENTE: HUGO HERNAN BEDOYA TIPO DE GUIA: NIVELACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 8º A/B Julio de 0 módulos

Más detalles

Si este proceso de subdivisión se repitiese muchas veces, se obtendrían dos sucesiones, s i y S

Si este proceso de subdivisión se repitiese muchas veces, se obtendrían dos sucesiones, s i y S Integrles LA INTEGRAL DEFINIDA Integrl definid: áre jo un urv L integrl definid permite lulr el áre del reinto limitdo, en su prte superior por l gráfi de un funión f (, ontinu y no negtiv, en su prte

Más detalles

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida Integrl Indefinid Estmos costumrdos decir que el producto el cociente son operciones inverss. Lo mismo sucede con l potencición l rdicción. Vmos estudir hor l operción invers de l diferencición. Dd l función

Más detalles

73 ESO. E = m c 2. «El que pregunta lo que no sabe es ignorante un. día. El que no lo pregunta será ignorante toda la vida»

73 ESO. E = m c 2. «El que pregunta lo que no sabe es ignorante un. día. El que no lo pregunta será ignorante toda la vida» 73 ESO dí. «El que pregunt lo que no se es ignornte un El que no lo pregunt será ignornte tod l vid» E = m c ÍNDICE: MENSAJES OCULTOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Más detalles

MATRICES: un apunte teórico-práctico

MATRICES: un apunte teórico-práctico MRICES: un punte teório-prátio Definiión Un mtriz e tmño n x m es un rreglo e números reles oloos en n fils (o renglones) y m olumns, e l siguiente form: [ ].. n Los números se llmn elementos o entrs e

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que

Más detalles

Triángulos congruentes

Triángulos congruentes Leión#4 Triángulos ongruentes y triángulos similres Ojetivos Aplir ls propieddes de triángulos ongruentes Aplir ls propieddes de ongrueni Aplir ls propieddes de triángulos similres Aplir el teorem de Pitágors

Más detalles

z b 2 = z b y a + c 2 = y a z b + c

z b 2 = z b y a + c 2 = y a z b + c 47 ESTUDIO DEL CONO ELIPTICO Not: Lo diujos orrespondientes ls interseiones de este estudio tienen el mismo speto l estudio del ono irulr. Sin emrgo l interseión on plnos prlelos l plno son en este so

Más detalles

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n

Más detalles