m La fórmula cuadrática que se usó para construir el ejemplo anterior es un caso particular

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1 Funión Cudráti Unidd Conepto Un negoio de deorión, Alfomri Confort, onfeion tpies udrdos que miden entre metros de ldo, on diseños elusivos pedido. Queremos ver que superfiie tiene los tpies. Teniendo en uent que l es el ldo del tpiz t su áre, ompletmos l siguiente tl de vlores prtir de estos vlores relizremos un representión gráfi. l (m) t (m ),00,00,0.,00,00,0.,00 9,00 Como l longitud del ldo puede tomr vlores entre metros, los vlores del áre estrán omprendidos entre m 9 m. Por onsiguiente, el dominio l imgen de l funión t(l) son: Dom ; t [ ] ( l ) [ ;9 ] ( l ) Im t m 9 m Funiones udráti de l fórmul ( ) L fórmul udráti que se usó pr onstruir el ejemplo nterior es un so prtiulr de f ( ) on perteneiente los reles distintos ero ( R { 0} ) Ests funiones están definids pr todo número rel, es deir que su dominio nturl result: Domf R En d so, l representión gráfi es un práol ls oordends de los puntos del plno que perteneen l práol verifin l euión udráti. En el so nterior, el dominio tení omo intervlo [; ] l funión definid es f ( ). f de

2 Unidd Nª Como el udrdo de un número es siempre positivo o ero, el onjunto de 0 ;. l imgen es el intervlo [ ) f ( ) Como l funión f tom el mismo vlor pr los vlores opuesto de, su gráfio es simétrio on respeto l eje de ls ordends, su euión es 0 se denomin eje de simetrí de l práol. El únio punto de l práol que pertenee l eje de simetrí es el vértie. En este ejemplo es el punto v (0; 0) Los puntos de interseión de un práol on el eje de ls siss son quellos en que l ordend es ero; en este so sí 0; result que 0 est euión tiene omo úni soluión 0. El punto de interseión es el vértie. Representión gráfi de l funión ( ) En todos los gráfios de este tipo de funiones se puede oservr que el eje de simetrí es el eje de ls ordends () on el vértie en el origen del sistem v ( 0;0). En lgunos sos el vértie es un vlor mínimo en otros sos es el vlor máimo. f Cundo el oefiiente es positivo l ordend del vértie nul es menor tods ls ordends restntes, que son positivs. En onseueni el vértie es el menor vlor de l funión. Cundo el oefiiente es negtivo, suede lo ontrrio, l ordend nul del vértie es mor ls restntes ordends, que son negtivs. En onseueni el vértie es el máimo vlor de l funión. Tmién puede oservrse que pr distintos vlores de, l rpidez on l que reen ls rms de d un de ls práols es diferente. Por ejemplo, dd l funión, si >, el gráfio se otiene diltndo vertilmente el de ; por el ontrrio sí de

3 Funión udráti-euión de do grdo < on 0, el gráfio se otiene ontrendo vertilmente el de. Trsliones de l funión ( ) f Trsliones en l direión del eje de ls ordends () L fórmul de l funión que permite onstruir un modelo on l situión nterior es un so prtiulr de f ( ) k. Veremos omo se otienen los gráfios de ls funiones de este tipo prtir del gráfio de on R. Gráfio de l funión k Compremos ls tls de vlores de ls funiones ; e Los vlores de, se otienen, omo es lógio, sumndo uniddes de l funión. Por lo tnto, l gráfi de se lo- gr suiendo tres uniddes l gráfi de. Como l práol siende uniddes, el vértie se trsldó v ( 0;), l imgen es hor el intervlo [ ; ). Tmién podemos deir que l práol no tiene interseión on el eje de ls siss; porque l funión no se nul pr ningún vlor de. Teniendo l mism onsiderión nterior, l gráfi se otiene jndo ino uniddes l de. El vértie tiene oordend v ( 0; ), mindo l imgen l intervlo[ ; ). En este so, l práol tiene dos puntos de interseión on el eje de ls siss, son los puntos donde l ordend es igul ero ( 0). Dihos puntos se denominn eros, ríes o siss l origen de l funión. de

4 Unidd Nª Pr nuestro so, se otienen de l siguiente mner: 0 Ls oordends son ( ;0) ( ;0). En el primer so, no hlmos de eros o ríes porqué l resoluión de l euión son dos números omplejos onjugdos. 0 Podemos gregr demás que tods ls práols tienen omo eje de simetrí l eje de ls ordends (), que es l ret 0. El vértie se desplz vertilmente según los diferentes vlores de k. En resumen, prtir del gráfio de, pr grfir k se trsld k uniddes ls ordends de los puntos de l práol de l siguiente mner: si k es i positivo, hi rri hi jo, si k es negtivo. v 0;k el eje de simetrí es 0. El vértie tiene oordends ( ) Trsliones en l direión del eje de ls siss () L fórmul de l funión que permite onstruir un modelo on l situión nterior es un so prtiulr de f ( ) ( h). Veremos omo se otienen los gráfios de ls funiones de este tipo prtir del gráfio de on R. Gráfio de l funión ( h) Compremos ls tls de vlores de ls funiones ; ( ) e ( ) de

5 ( ) Funión udráti-euión de do grdo ( ) ( ) Ahor el vértie de ( ) se enuentr en el punto donde 0, es deir el punto ( ;0), h un desplzmiento del vértie en direión horizontl igul h, no lterndo el rngo de l imgen ni del dominio on respeto. H un desplzmiento del eje de simetrí Análogmente, el vértie de ( ) estrá en el punto ( ;0) su eje de simetrí es Podemos deir en generl, l gráfi de ( ) h se otiene de l gráfi trsldándol un trmo h en l direión del eje de ls siss (). Trsliones en ulquier direión ( ) En lguns osiones, ls funiones udrátis pueden epresrse medinte l euión f ( ) ( h) k Est funión tiene l prtiulridd de que permite visulizr ls oordends del vértie de l práol que están indids en l fórmul, de l siguiente mner: ( h) k o ien ( v ) v v ( v ; v ) Veremos omo se otienen los gráfios de ls funiones de este tipo prtir del gráfio de. Pr trsldr l práol trnsformremos su euión del siguiente modo: se trsld h;, de modo que su vértie se sitúe en el punto ( k) h uniddes horizontlmente ( h) ( h) se trsld k uniddes vertil ( h) k Por ejemplo, vmos trsldr l práol v ;. en el punto ( ) L práol de modo que su vértie se enuentre se trsld uniddes l dereh ( ) se trsld uniddes hi rri ( ). de

6 Unidd Nª Vemos que el eje de simetrí se trsldó uniddes. El dominio de l funión no se lteró, pero l im- ;. gen es hor el intervlo [ ) Análogmente, podemos deir que ( ) es un práol omo on su vértie en ( ;) o que ( ) es un práol omo on su vértie en ( ;). En onseueni podemos deir que un funión del tipo ( h) k, está ompuest por dos movimientos, uno horizontl otro vertil, siguiendo los oneptos de trslión visto nteriormente. Cundo un funión udráti se epres de l form ( h) k o ( v ) v, se l denomin form ordinri de l funión udráti. Pr lulr determinr los puntos, donde l funión ort l eje de ls siss, o se los eros, ríes o siss l origen, se proede de l siguiente mner: Prtimos que en dihos puntos es 0, omo muestr l siguiente figur pr los puntos. Por lo tnto igulmos ero l epresión nóni.. h k 0 despejmos Ejemplo: ( ). ( h) ( h) k h h h k h Clulr ls ríes de l funión ( ) k k Como 0, tenemos que: k k ( ) 0 ( ) ( ;0) ( ;0) de

7 Funión udráti-euión de do grdo Ls oordends de ls ríes son: ( ) ( ;0) ( ;0 ) Otro punto rterístio es l ordend l origen, es el punto donde l funión ort l eje de ls ordends, por lo tnto omo ulquier punto de este eje tiene sis nul, podemos esriir 0 en l funión nóni. Ejemplo:.. ( h) k ( 0 h) k. h k Clulr l ordend l origen ( ) Como 0, tenemos que: L oordend de l ordend l origen es ( 0 ) ( ) 9 ( 0;) Otr form de epresr un funión de segundo grdo Vimos que se denomin form nóni de l funión de segundo grdo si se epres de l form: ( h) k Si, hor, se epres en funión de sus ríes de l siguiente mner: ( ) ( ) se denomin form ftorizd de l funión udráti. 7 de

8 Unidd Nª Si se desrroll el udrdo del inomio se sum de l form nóni o se pli propiedd distriutiv l produto de los inomios de l form ftorizd, se otiene un nuev form del tipo: que se denomin form polinómi, donde el oefiiente es el mismo vlor en tods ls forms es l ordend l origen de l práol es el oefiiente del término de segundo grdo es el oefiiente del término linel o de primer grdo es el término independiente Pr psr de l form polinómi l form nóni se puede utilizr Gráfio de l funión polinómi Vmos grfir hor l funión udráti de l form polinómi; o se, donde ; ; R 0. Tmién est funión se l denomin funión udráti omplet. Pr poder grfir este tipo de funión será neesrio enontrr puntos rterístios. Ordend l origen Es el punto de interseión de l práol el eje de ls ordends; es deir 0 Su oordend es Asiss l origen, ríes o eros ( 0 ;) Ls siss l origen, ríes o eros de l funión son los puntos de interseión de l práol on el eje de ls siss; es deir 0. Pr enontrr estos puntos proedemos ompletndo el udrdo. Se he l funión igul ero (0) 0. Se etre ftor omún 0. En el préntesis se omplet un trinomio udrdo perfeto ( ) ( ) 0 Los tres primeros términos del préntesis formn un trinomio udrdo perfeto que se puede epresr omo el udrdo de un inomio. 0 de

9 Funión udráti-euión de do grdo 9 de. Se despej. L fórmul resolvente es ; Deemos lrr, que tmién lo podemos resolver por el método de ompletr el udrdo visto nteriormente. Ejemplo Resolver l siguiente euión 0 Como, -, podemos reemplzr el l fórmul resolvente ; ( ) ( ) ( )( ) ( ) 9 ; ; ; ; Vértie de l práol Es el vlor máimo o mínimo, según el tipo de práol, que puede tomr l funión. Pr lulr ests oordends se puede proeder de dos forms diferentes

10 Unidd Nª 0 de. Trnsformndo l funión de form polinómi en form nóni, proediendo de l siguiente mner:. Se etre ftor omún. Se sum se rest, formndo un trinomio udrdo perfeto. Aplindo propiedd distriutiv d. Llmndo h k reemplzndo el l funión nterior, tenemos ( ) k h donde h k son ls oordends del vértie, es deir: ( ) k h v ; o ien v ;. Como l práol tiene eje de simetrí, entones dee psr por el medio de ls ríes, es deir h reemplzndo en l funión otendremos el vlor de l ordend. h h k

11 Funión udráti-euión de do grdo Los puntos grfir son los siguientes Ordend l origen Ríes Vértie Ejemplo Grfir l funión 0 Aplindo ls fórmuls orrespondientes tenemos:. Ordend l origen: ( 0 ;0). Ceros de l funión ; Si - 0 reemplzndo ; ; ( ) ( ) ; ; de

12 Unidd Nª. Vértie h h h k h h k ( ) ( ) k 9 0 k v ( ; ). Eje de Simetrí h 0 Un vez otenido los puntos rterístios podemos her un grfi proimd de

13 Funión udráti-euión de do grdo Disriminnte Dd l euión de segundo grdo 0, u fórmul resolvente es ;, se denomin disriminnte l epresión se lo simoliz on l letr grieg (delt). El disriminnte determin que tipo de ríes tiene l funión de segundo grdo, soid su euión. Según l resoluión del disriminnte, pueden sueder tres sos:. > 0, l euión tiene dos ríes reles distints. Está soido un funión udráti uo gráfio trvies en dos puntos el eje de ls siss.. 0, l euión tiene un ríz rel dole. Está soido un funión udráti uo gráfio to en un solo punto el eje de ls siss.. < 0, l euión tiene dos ríes omplejs onjugds. Está soido un funión udráti uo gráfio no to en dos puntos el eje de ls siss. Propieddes de ls ríes. Si summos miemro miemro ls ríes de l fórmul de l resolvente de un euión de segundo grdo de l form 0, po- demos deir que: de

14 Unidd Nª L sum de ls ríes de un euión de segundo grdo es igul l rzón del oefiiente linel el oefiiente prinipl mido de signo.. Si multiplimos, hor, ms ríes de l fórmul de l resolvente de un euión de segundo grdo de l form 0, tenemos: ( ) ( ) ( ) El produto de ls ríes de un euión de segundo grdo es igul l rzón del oefiiente independiente el oefiiente prinipl. Euiones Cudrátis Llmmos euiones udrátis o euiones de segundo grdo, ls euiones que pueden reduirse l form 0. Cundo igulmos ero l fórmul de un funión udráti pr verigur sus ríes, plntemos un euión udráti. Ls soluiones reles de est euión, que pueden ser dos, un o ningun, serán los vlores usdos. Deimos que un euión udráti es inomplet undo sus oefiientes o son nulos. Tods pueden resolverse plindo l fórmul resolvente o de Bhskr (primero se reduen l form 0 relizndo tods ls operiones posiles) ; O por el método de ompletr el udrdo que onsiste en: de

15 Funión udráti-euión de do grdo de A prtir de l euión 0, se ps el término l segundo miemro Se s ftor omún el oefiiente del término de segundo grdo se lo ps l segundo miemro omo divisor Trtndo de formr un trinomio udrdo perfeto, se sum rest l mitd del oefiiente del término linel elevdo l udrdo, quedndo sí un trinomio udrdo perfeto Ahor despejmos : Ls ríes del polinomio son: Donde son l ríes del polinomio. Ejemplo: 0 ) ( p ( ) 0 0 0

16 Unidd Nª Si l euión no tiene término linel ( 0), se despej diretmente l inógnit. Si l euión no tiene término independiente ( 0), se etre ftor omún. En este so, 0 es siempre un de ls soluiones. L otr soluión se otiene igulndo ero el otro ftor. Sistem mito de dos euiones Un sistem mito de euiones es un sistem formdo por un funión udráti (práol) un funión linel (ret). Es deir usmos l interseión de ret on práol. Pr lulr los puntos de orte de un práol de euión on un ret m n, se resuelve el sistem de euiones: m n El método que se puede usr es el de igulión. Siendo que si los primeros miemros son igules los segundos tmién lo son, por lo tnto tenemos: m n Despejndo grupndo ( m) ( n) 0 Otenemos un euión de segundo grdo, que se resuelve por los métodos estudido. Est euión puede tener tres tipos de resultdo, según se el disriminnte.. > 0, l ret ort l práol en dos puntos,. Se die que l ret es sente.. 0, l ret to l práol en un punto,. Se die que l ret es tngente l práol.. < 0, l ret no ort l práol. Pr oservr ls posiiliddes, presentremos los siguientes ejemplos de

17 Funión udráti-euión de do grdo 7 de. Igulndo ls euiones, se otiene: Aplindo l fórmul pr resolver un euión udráti, result: Los puntos de interseión son: ( ) ( ) ; ; ( ) ( ) ; ;. 7 Igulndo ls euiones, se otiene: Aplindo l fórmul pr resolver un euión udráti, result:

18 Unidd Nª de 9 Los puntos de interseión son: ( ) ( ) ; ;. Igulndo ls euiones, se otiene: 0 7 0

19 Funión udráti-euión de do grdo 9 de Aplindo l fórmul pr resolver un euión udráti, result: ( ) ( ) 7 Como est ríz udrd no tiene soluión en R, no eisten vlores de que verifiquen l euión plnted. Por lo tnto, no h ningún punto de interseión entre l práol l ret.

20 Unidd Nª Síntesis L funión udráti Son funiones de l form ( 0). Dom ( f ) : R Su gráfio es un urv llmd práol. Signo vlor soluto del oefiiente prinipl : (form po- Pr epresr un funión udráti en l form linómi, se desrrolln ls operiones indids Ríes eros de l funión: son ls siss de los puntos de interseión de l práol on el eje de ls siss. Pr hllrls, si es que eisten, en l fórmul de l funión se reemplz l vrile por 0 se resuelve l euión por ulquier método. Desplzmientos de f ( ) Al desplzr h uniddes en sentido horizontl k uniddes en sentido vertil del gráfio de f(), se otiene el gráfio de l funión: g ( ) ( h) k ( ) ( h) k g Su vértie es el punto: v ( h; k). El eje de simetrí es l ret de euión h. L funión sí epresd se denomin form nóni. Euiones udrátis k h Tods pueden resolverse plindo l fórmul resolvente (primero se reduen l form 0 relizndo tods ls operiones posiles). 0 de

21 Funión udráti-euión de do grdo ; Si l euión no tiene término linel ( 0), se despej diretmente l inógnit. Si l euión no tiene término independiente ( 0), se etre ftor omún. En este so, 0 es siempre un de ls soluiones. L otr soluión se otiene igulndo ero el otro ftor. Construión del gráfio Se pli l fórmul resolvente se otienen ls ríes. Si ests son reles, se mrn los puntos de ontto sore el eje de ls siss. Coordends del vértie: Pr lulr v se puede usr: v v f, es deir se reemplz v en l fórmul de l funión. v ( v ) Vértie v ( ; ) v v Eje de simetrí es un ret vertil que ps por l sis del vértie (se mr on líne punted. 0 ;. Punto de ontto on eje de ls ordends. Se proveh el eje de simetrí pr otener puntos simétrios. Ordend l origen: ( ) Form Cnóni f ( ) ( h) k o f ( ) ( v ) v Pr hllr l fórmul de un funión udráti de l que se onoen el vértie otro punto que pertenee l práol, se reemplzn tods ls oordends en l fórmul f v se despej. ( ) ( ) v Disriminnte > 0 dos ríes reles distints 0 un ríz rel dole < 0 dos ríes omplejs onjugds Máimo mínimo Si el dominio de un funión udráti es R, lnz un máimo o mínimo en l ordend del vértie de su gráfio. de

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