Funciones. 2.6 Tipos de funciones CAPÍTULO Funciones monótonas

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Funciones. 2.6 Tipos de funciones CAPÍTULO. 2.6.1 Funciones monótonas"

Transcripción

1 CAPÍTULO Funciones.6 Tipos de funciones Definimos ahora algunos tipos de funciones que tienen comportamientos mu particulares que son importantes en el estudio del cálculo..6. Funciones monótonas Una función es monótona creciente si <. D f / ) f. / < f. /. f. / f. / Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función creciente va de abajo hacia arriba. Una función es monótona decreciente si <. D f / ) f. / > f. /. canek.azc.uam.m: / / 008

2 Cálculo Diferencial e Integral I f. / f. / Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función decreciente va de arriba hacia abajo. Si <. D f / ) f. / f. /, la función es monótona no decreciente. f. / f. / Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función no decreciente no baja (donde es constante). Si <. D f / ) f. / f. /, la función es monótona no creciente. f. / f. / Al ir de izquierda a derecha, la gráfica de una función no creciente no sube (donde es constante).

3 .6 Tipos de funciones Una función es monótona por partes si se puede partir su dominio de manera que en cada una de las partes la función sea monótona. Creciente a b Decreciente c Creciente d Vemos que la función anterior es:. Creciente en. ; a/.. No decreciente en. ; b/.. Constante en.a; b/.. No creciente.a; c/.. Decreciente en.b; c/. 6. No creciente en.b; d/. 7. Constante en.c; d/. 8. No decreciente en.c; C/. 9. Creciente en.d; C/..6. Funciones pares e impares El dominio de una función f es simétrico con respecto al origen, cuando satisface: D f ) D f : Si suponemos que f cumple esta condición, entonces: f es par si f. / D f./. Recordemos que dos puntos son simétricos respecto a una recta si éta es la mediatriz del segmento que ellos determinan. A l A

4 Cálculo Diferencial e Integral I Los puntos A A son simétricos con respecto al eje l. La recta l es la mediatriz del segmento AA. Que un conjunto de puntos sea simétrico con respecto a un punto (llamado centro de simetría) quiere decir que está constituido por parejas de puntos simétricos con respecto a tal centro de simetría. La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje, es decir, está constituida por parejas de puntos simétricos con respecto al eje pues si una función es par un punto.a; b/ G f, entonces otro punto de la gráfica de f es. a; b/. Ejemplo.6. f./ D C es par a que f. / D. / C D C D f./. f./ D C f.a/ D f. a/ a a Si D, entonces f./ D f. / D. Ejemplo.6. Las siguientes funciones son pares:

5 .6 Tipos de funciones f es impar si f. / D f./. La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.0; 0/. Si una función es impar un punto.a; b/ G f, entonces otro punto de la gráfica de f es. a; b/ que es el simétrico de.a; b/ respecto al origen. Ejemplo.6. f./ D es impar a que f. / D. / D D f./. f./ D f.a/ D f. a/ a a Si D, entonces f. / D. / D 7 D f./. Ejemplo.6. Las siguientes funciones son impares:

6 6 6 Cálculo Diferencial e Integral I.6. Función lineal Una función f es lineal si es de la forma f./ D m C b con m & b R. Su dominio son todos los reales. Su gráfica es una línea recta de pendiente m ordenada en el origen b. Si m 0, la única raíz de f./ D m C b es D b m a que f./ D 0, m C b D 0, D b m :. Si m D 0, diremos que f./ D b es constante, su rango consta de un solo número: f b g. Su gráfica es una recta paralela al eje de las que pasa por el punto.0; b/. Ejemplo.6. Si f./ D, entonces D f D R & R f D f g. La gráfica de D f./ D es la recta paralela al eje de las que pasa por el punto.0; / no tiene raíces. D f./ D 0 Ejemplo.6.6 Si f./ D 0, entonces D f D R & R f D f 0 g. Su gráfica es el eje de las todos los reales son raíces de f./!. Si m > 0; f./ D m C b es creciente. Ejemplo.6.7 Si f./ D C, entonces D f D R & R f D R. f./ D C

7 7.6 Tipos de funciones 7 f./ es creciente su única raíz es cuando: f./ D C D 0, D, D D :. Si m < 0; f./ D m C b es decreciente. Ejemplo.6.8 Si f./ D, entonces D f D R & R f D R. f./ D La función f es decreciente su única raíz es cuando: f./ D D 0, D, D D :.6. Función cuadrática Una función f es cuadrática si es de la forma Su dominio son todos los reales. f./ D a C b C c con a 0; b & c R : Tiene dos raíces, una o ninguna dependiendo de si b ac >; D o bien < 0 respectivamente. Su gráfica es una parábola vertical que se abre hacia arriba o hacia abajo a partir de su vértice, dependiendo de si a > 0 o bien a < 0. Recordemos que: D a C b C c D a ( C ba ) D a ( ba b C C ( D a C b ) C a C c D a ) C c ac b a : b a D

8 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba para D es: D ac a b. b se obtiene el menor valor para que a Rango ac b a b a [ ) ac b Su rango es ; C. a Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo para D es: D ac a b. b a b a se obtiene el maor valor para que ac b a Rango ( Su rango es ] ac b ;. a En ambos casos: ( b Su vértice es el punto: V a ; ac a Es monótona por partes. b ). Ejemplo.6.9 allar el vértice, el eje, la intersección con el eje (las raíces) graficar la parábola D C :

9 9.6 Tipos de funciones 9 Esta parábola se abre hacia abajo a que a D < 0. Además, D ( C ) C D D ( C C ) C C D D. C / C : Vértice: V. ; /; eje: D. Las raíces se obtienen cuando D 0: Gráfica de D C : C D 0,, C D 0 (multiplicando a la ecuación dada por ),, D p6 C D p { 0: : : f./ D C p C p.6. Funciones polinomiales Una función f que tiene la forma f./ D a C b C cd C d con a 0; b; c d R ; se llama función cúbica : Ejemplo.6.0 Sea la función f./ D, su gráfica es

10 0 0 Cálculo Diferencial e Integral I 8 f./ D 8 Además: D f D R f D R, es impar creciente. Una función f es polinomial de grado n donde n N [ f 0 g si es de la forma f./ D a 0 n C a n C a n C C a n C a n C a n ; con fa 0 ; a ; a ; ; a n ; a n ; a n g R que son llamados coeficientes. Ejemplo.6. Las funciones f./ D ; f 6./ D 6 ; ; f n./ D n con n N son funciones polinomiales. Su dominio son los números reales su rango los reales no negativos, su única raíz es D 0, son pares no son monótonas pero restringidas a los reales no negativos son crecientes a los no positivos son decrecientes. Sus gráficas son semejantes a las de f./ D. Ejemplo.6. Las funciones f./ D ; f 7./ D 7 ; ; f nc./ D nc con n N son funciones polinomiales. Su dominio son los números reales su rango también los reales, su única raíz es D 0, son impares crecientes. Sus gráficas son semejantes a las de f./ D..6.6 Funciones racionales algebraicas Una función de la forma: ˆ./ D f./ g./ donde f./ & g./ son funciones polinomiales se llama función racional. Su dominio son todos los números reales con ecepción de las raíces del denominador g./, que a lo más son tantas como su grado.

11 .6 Tipos de funciones Ejemplo.6. Sea la función racional f./ D D. D f D R f D R f0g. Es impar, no monótona, pero restringida a los reales negativos o a los positivos es decreciente. Su gráfica es la hipérbola equilátera D. D Una función tal que en su regla de correspondencia sólo aparezca la variable independiente./, números reales los símbolos de sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia etraer raíz se llama función algebraica. Ejemplo.6. Sea la función algebraica f./ D p, su gráfica es p D p D f D R f D R C f0g. Su única raíz es D 0, es creciente su gráfica es la semiparábola superior D. Ejemplo.6. Sea la función algebraica f./ D p, su gráfica es

12 Cálculo Diferencial e Integral I D p D f D Œ ; ; R f D Œ0;. Sus raíces son D & D, es par, no es monótona, es monótona por partes, creciente en Œ ; 0 decreciente en Œ0;, su gráfica es la semicircunferencia unitaria superior D p, D, C D con centro en el origen.0; 0/..6.7 Función definida por partes A veces la regla de correspondencia de la función no es una sóla fórmula, esto es, el dominio de la función está descompuesto en partes ajenas en cada una de ellas la función está definida por una fórmula diferente. Ejemplo.6.6 Trazar la gráfica de la función f./ D j j, valor absoluto de. Recordando la definición se tiene f./ D j j D { si 0 I si < 0 : Por la definición de f sucede que:. Si 0, entonces D f./ D j j D ) D, que es la recta que pasa por el origen con pendiente m D.. Si < 0, entonces D f./ D j j D ) D, que es la recta que pasa por el origen con pendiente m D. D f D R & R f D R C f0g, es decir, los reales no negativos. f. / D j j D ) A.; / & B. ; / están en la gráfica D jj B A

13 0/. + -, ( *) % '& $# "!.6 Tipos de funciones Ejemplo.6.7 Trazar la gráfica de la función de eaviside (80-9) { 0 si t < 0 I.t/ D si t 0 : La gráfica es: Ejemplo.6.8 Graficar la función E./ D n si n < n C. Nótese que E es una función definida por partes. Esta función se llama la función cumpleaños" o bien el maor entero menor o igual que". D E D R & R E D Z. Ejemplos de E./ para algunos valores de : E./ D I E.e/ D I E. p / D &E. p / D : Algunos autores en lugar de E./, E.e/, E. p /, E. p / escriben: E. D /I E. D e/ I E. D p / & E. D p /; respectivamente. Veamos su gráfica: Ejemplo.6.9 Graficar la función f./ D E./. Si Œn; n C / con n Z ) f./ D n.

14 C F BA P ED I L G RQ RQ KJ O NM P RQ 7 : 6 RQ 98 <;?> Cálculo Diferencial e Integral I D f./ D f D R & R f D Œ0; /. Ejemplo.6.0 Trazar la gráfica de la función si < I g./ D si < < I 8 si < : Para obtener la gráfica de g notemos que:. Para < se tiene que g./ D. En este caso la gráfica de g es el segmento de la recta D que tiene por etremos a los puntos A. ; / B. ; /.. Para < < se tiene que g./ D. En este caso la gráfica de g es la porción de la parábola D que tiene vértice en V.0; 0/ por etremos a los puntos C. ; / D.; /.. Para < se tiene que g./ D 8. En este caso la gráfica de g es el segmento de la recta D C 8 que tiene por etremos a los puntos E.; / F.; /. Por lo tanto la gráfica de la función g es C E D g./ A B D F Comprobamos en esta gráfica que el dominio de g es D g D Œ ; / f g, el rango de g es. ; que los puntos B. ; /, C. ; /, D.; / F.; / no pertenecen a la gráfica de la función a diferencia de A. ; / de E.; /, que sí están es la gráfica. Ejemplo.6. Trazar la gráfica de la función C si < < I f./ D j j si < < I si < 6 :

15 TS TS TS U TS TS U.6 Tipos de funciones Para obtener la gráfica de f notamos que:. Para < < se tiene que f./ D C. En este caso la gráfica de f es el segmento de la recta D C que tiene por etremos a los puntos A. ; / B. ; /.. Para < < se tiene que f./ D j j. En este caso la gráfica de f está compuesta por el segmento de la recta D con etremos en C. ; / O.0; 0/, por el segmento de la recta D con etremos en O.0; 0/ E.; /.. Para < 6 se tiene que f./ D recta D C cuos etremos son los puntos F.; / G.6; /.. En este caso la gráfica de f es el segmento de la Por lo tanto la gráfica de la función f es B C F E D f./ G O 6 A Entonces, el dominio de f es D f D. ; 6 f ; g, el rango de f es R f D. ; / comprobamos que los puntos A, B, C, E F no pertenecen a la gráfica de la función, a diferencia de O G que sí están en la gráfica. Ejercicios.6. Soluciones en la página??. Dada la función f./ D p C, señale si es par, impar o ninguna de las dos cosas.. Dada la función f./ D p, señale si es par, impar o ninguna de las dos cosas.. Dada la función f./ D, señale si es par, impar o ninguna de las dos cosas. C. Si f es par será g./ D. C /f./ par?. Si f & g son impares será h./ D.f C g/./ impar? 6. La función f es par, parte de su gráfica es la figura siguiente:

16 6 WV ]\ ^ Z ^ ^ [ YX ^ 6 Cálculo Diferencial e Integral I D f./ a. Complete su gráfica de f. b. Obtenga su dominio, raíces rango, además determine a partir de la gráfica completada las soluciones de f./ > 0 de f./ < Si f es una función par cua gráfica para es la que se indica en la figura, D f./ completar la gráfica, indicar su dominio, sus raíces su rango. 8. Sea la función si I f./ D C si < I 7 si < : a. Obtener su gráfica. b. Determinar su dominio rango. c. Calcular: f. /, f. /, f. /, f.0/, f./, f./ & f. 000/. 9. Dada la siguiente función j C j si < I p g./ D si I si > : Obtenga su gráfica diga si es par, impar o ninguna de las dos. Determinar su rango.

17 7.6 Tipos de funciones 7 0. Sea C si < I p f./ D si I si > : Esboce su gráfica, obtenga el rango, las raíces diga si es par, impar o ni una cosa ni la otra.. Graficar la siguiente función z C si z < I G.z/ D z si z I si z > :. Considere la función f./ D { C si. ; 0 I C si Œ; C/ : Obtener dominio, raíces, gráfica rango de dicha función.. Sea C si < I f./ D si j j < I si : a. Proporcionar el dominio raíces de f. b. acer un bosquejo gráfico hallar el rango.. Sea la función C si < 0 I f./ D si 0 < I C si : a. Proporcionar el dominio de la función, sus raíces su paridad. b. acer un bosquejo de la gráfica hallar el rango.. allar el dominio, graficar determinar el rango de las funciones: si 0 I a. f./ D si 0 < < I C si : b. g./ D j j C :

18 8 8 Cálculo Diferencial e Integral I 6. Determinar dominio, raíces, un esbozo de la gráfica de la siguiente función su rango. { j C j si < < I f./ D C si : 7. Dada la función si < I f./ D C si I si > : a. Trace su gráfica. b. Determine su dominio, rango raíces. 8. Dada la siguiente función j C j si 0 I f./ D C si 0 < < I si ; obtener la gráfica de f, su dominio, su rango sus raíces. 9. Sea Determine: C 7 si < I si < I f./ D si I si < < 6 I 6 C 7 si 6 : 6 a. Gráfica rango de f. b. Es par o impar f? Justifique su respuesta. 0. Graficar la función C si < I p f./ D si I j j si > :. Realizar un bosquejo de la gráfica de la función C si < I j j si < & 0I f./ D si D I 6 C 6 si > :

19 _ 9.6 Tipos de funciones 9. Obtener dominio gráfica de la función j j C si 0 I f./ D C si 0 < I si :. Considere las funciones así como U./ D { 0 si < 0 I si 0 : si < 0 I sgn./ D 0 si D 0 I si > 0: Obtener el dominio, la gráfica el rango de la función definida por f./ D sgn./ C U./:. Sean las funciones f./ D { si 0 < 6I si > 6: g./ D { si 0I si > 0: Obtenga el dominio la fórmula de la función f C g.. A partir de la gráfica de la función f D f./ _ 6 determine: a. Los intervalos donde f./ > 0 & f./ < 0, así como los valores donde f./ D 0, es decir, las raíces de f. b. Los intervalos de monotonía de f, es decir, dónde es creciente dónde es decreciente. 6. A partir de la gráfica de la función f :

20 0 e a` f 0 Cálculo Diferencial e Integral I 0 D f./ 7 b c d Determinar: a. Los intervalos donde f./ > 0 & f./ < 0; los valores donde f./ D 0. b. Los intervalos de monotonía de f ; es decir dónde es creciente dónde es decreciente. 7. Para la función: C si 7 < I f./ D C si I si < 6 : a. Bosqueje su gráfica. b. Determine su dominio, su rango sus raíces. c. A partir de la gráfica, encuentre los intervalos de crecimiento decrecimiento. d. A partir de la gráfica, encuentre los intervalos donde la función es positiva donde es negativa. 8. Sea la función: si 6 < I f./ D si I C 7 si < : a. Bosqueje la gráfica de la función. b. Determine el dominio el rango de la función; encuentre también sus raíces. c. A partir de la gráfica, encuentre los intervalos de crecimiento de decrecimiento. d. A partir de la gráfica, encuentre los intervalos en donde la función es positiva negativa. 9. Sea la función: Bosquejar su gráfica. C si I f./ D si. ; / I si : Obtener el dominio, raíces especificar los intervalos donde: a. f./ > 0; b. f./ < 0; c. f./ crece; d. f./ decrece.

21 g g g ih g g g g g.6 Tipos de funciones 0. Sea la función C si 0 I f./ D j j si 0 < < I si : a. Grafique la función. b. Cuáles son el rango las raíces de f? c. Cuáles son los intervalos de monotonía de f? d. La función f es par o impar? Justifique su respuesta.. En el dibujo aparece una parte de la gráfica de la función f D f./ a. Complete esta gráfica sabiendo que se trata de una función par también determine su dominio, raíces rango (imagen). b. Determine las soluciones de las desigualdades f./ > 0 & f./ < 0. c. Determine los intervalos donde esta función f es i. creciente; ii. decreciente.. La siguiente figura es parte de la gráfica de una función f :

22 l kj l l l Cálculo Diferencial e Integral I 9 7 D f./ a. Completar la gráfica sabiendo que es una función par. b. Determinar dominio, raíces rango. c. Determinar los intervalos de monotonía.

23 r qp r wv qp nm ts u o u u o nm u { { z { { { z.6 Tipos de funciones Ejercicios.6. Tipos de funciones, página??. No es par ni impar. 8.. f./ no es par ni impar. 0. Es impar. 7. Sí.. Sí. D f./ 6. D f./ D f D Œ ; C/; R f D Œ ; 0 ; f. / D, f. / D, f. / D, f.0/ D ; 0 r r r r f./ D 0, f./ D 7 f. 000/ D D f D. ; /.; C/; raíces: D 8,, & 8; D g./ rango = f g Œ ; ; f./ > 0,. 8; /. ; /.; /.; 8/; f./ < 0,. ; 8/.8; C/. 7. no es par ni impar; R g D R. D f./ 0. D f./ D f D Œ ; /.; ; R f D Œ ; /; raíces D, D, D & D. R f D. ; ; las raíces son D ; la función es par.

24 Ž ˆ ~} Œ Š ž Ÿ š Ÿ Cálculo Diferencial e Integral I. raíces: D ; f no es par, ni impar D G.z/ D f./ ƒ. D f D. ; 0 [ Œ; C/; la única raíz es D p ;. D f D R ; D f./ D f./ :8 8 œ œ R f D R.. Dominio: Œ ; f g; rango: Œ ; ; raíces: D & D ; R f D. ; 0 [ fg [ Œ; C/. D g D R f0g; D f./ V W R g D { } ;. D g./. D f D Œ ; ; R f D Œ ; ( ] 9 8 ; ; 6. D f D. ; C/; las raíces son D & D C p ;

25 ª ³² ³² «µ ³² ± µ µ µ.6 Tipos de funciones R f D. ; D f./ 0 «««6 7 6 D f./ R f D. ;.; C/; 7. D 0. la función no es par ni impar. D f./ D D f./ D f D. ; C/ D R ; R f D. ; ; raíces D & D D f D R ; R f D f g Œ0; C/; raíz D. D f./ ²³²³ D f./ C p. D f D. ; Œ; C/ ;. 6 D f./

26 6» º ¹»»» ½¼»    ¾   ¾ 6 Cálculo Diferencial e Integral I D f D R ; f./ < 0 si Œ 7; p /. p ; : D f./ 8. a. R f D f ; 0g.; C/.. D f Cg D. 0; C/; C si. 0; 0 I.f C g/./ D C si.0; 6 I C si.6; C/ :. a. En. ; 0/.0; /.; C/, f./ > 0; en. ; /.; /, f./ < 0; f./ D 0 si D, D & D ; b. f es creciente en. ; 0/.; 6/; f es decreciente en.0; /.6; C/. 6. f./ > 0 si. ; /. ; /.; 7/; f./ < 0 si. ; /. ; /.7; C/; f./ D 0 si D ; ; ; 7; f es creciente en. ; / en.0:; /; f es decreciente en. ; 0:/ en.; C/. 7. a. 6 D f./ b. D f D Œ 6; ; R f D Œ ; ; raíces D ; 7 ; c. f./ crece en Œ0; decrece en Œ ; 0 Œ; ; d. f./ > 0 si Œ 6; / ( ; 7 ) ; f./ < 0 si. ; / ( ] 7 ;. 9. D f D R ; las raíces: f ; ; g; f./ > 0 si. ; /. ; /.; /; f./ < 0 si. ; / Œ; /; 7 D f./ 6 f./ crece si. ; / ;. ; 0/ en.; /; f./ decrece si. ; / en.0; /; ÀÁÀÁ 6 b. D f D Œ 7; 6 R f D Œ 6; fg; raíces D p; c. en Œ 7; 0 creciente en Œ0; decreciente; en.; 6 es constante; D f./ d. f./ > 0 si. p ; p /.; 6 ;

27 Æ Ç Å Ç Å Ê Ê Ê Ê Ç Ê Ç Ç Å ÄÃ Ç Ç Ê Ê Ê Í ÌË Ð Ð Í Í Í ÏÎ Ð 7.6 Tipos de funciones 7 0. a.. a. D f./ b. R f D. ; ; sus raíces son c. f es creciente en. ; Œ; ; f es decreciente en Œ ; ; f constante en Œ; C/; d. f no es par tampoco es impar ÈÉÈÉ D f./ p ;. raíces: 6; ; 6; R f = Œ 0; 0 ; ( b. f./ > 0 si 6; ) ( ; 6 f./ < 0 si.7; 6/ ( ; ) ; ).6; 7/; c. f es creciente en. 7; /, Œ0; en Œ; /; 7 f es decreciente en. ;.; 7/. 9 7 D f./ /, Œ ; 0 en D f D Œ 7; 7 ; raíces: f ; g; R f D Œ ;.; 9 ; 0 la función decrece en Œ 7; / en Œ0; ; D f D. 7; 7/; la función crece en Œ ; 0 en Œ; 7.

Gráfica de una función

Gráfica de una función CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Bosquejo de la gráfica de una función Para gráficar una función es necesario:. Hallar su dominio sus raíces.. Decidir si es par o impar, o bien ninguna de las dos cosas..

Más detalles

Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos

Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos A una función p se le llama polinomio si: p x = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1x + a 0 Donde un entero no negativo y los números a 0, a 1, a 2,

Más detalles

i. y = 0,25x k. x = 2 l. y = -3 n. 2y 2x = 0

i. y = 0,25x k. x = 2 l. y = -3 n. 2y 2x = 0 TRABAJO PRÁCTICO Nº1 1. Identificar la pendiente y ordenada al origen de las siguientes rectas. Graficar y escribir para cada una dominio, imagen, crecimiento, decrecimiento, raíces. a. y = 2x + 1 d. y

Más detalles

Funciones y gráficas (1)

Funciones y gráficas (1) Funciones y gráficas (1) Introducción Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes

Más detalles

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

Precálculo 2130034 Prof.: Gerardo Varela

Precálculo 2130034 Prof.: Gerardo Varela Definición de función Una función con dominio D es un conjunto W de pares ordenados tales que, para cada en D, ha eactamente un par ordenado (, ) en W que tiene a en la primera posición. Terminología Definición

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................

Más detalles

2 año secundario. Función Lineal MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Se llama función lineal porque la potencia de la x es 1. Su gráfico es una recta.

2 año secundario. Función Lineal MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Se llama función lineal porque la potencia de la x es 1. Su gráfico es una recta. año secundario Función Lineal Se llama función lineal porque la potencia de la x es. Su gráfico es una recta. Y en general decimos que es de la forma : f(x)= a. x + b donde a y b son constantes, a recibe

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

Concepto de función y funciones elementales

Concepto de función y funciones elementales Concepto de unción unciones elementales Matemáticas I - º Bachillerato Las unciones describen enómenos cotidianos, económicos, psicológicos, cientíicos Tales unciones se obtienen eperimentalmente, mediante

Más detalles

Álgebra y Trigonometría CNM-108

Álgebra y Trigonometría CNM-108 Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E700 1) x 5 > 1. A) Primer parcial ) Sean las funciones ft) t +,gy) y 4&hw) w. Encontrar f/h, g f, f g y sus dominios. ) Graficar la función x + six

Más detalles

Gráfica de una función

Gráfica de una función CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Interpretación de gráficas símbolos Con la finalidad de reafirmar la relación eistente entre el contenido de un concepto, la notación simbólica utilizada para representarlo

Más detalles

1.5.- FUNCIONES Y SUS GRAFICAS. OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de función, su representación gráfica así como su uso en el Cálculo.

1.5.- FUNCIONES Y SUS GRAFICAS. OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de función, su representación gráfica así como su uso en el Cálculo. 1.5.- FUNCIONES Y SUS GRAFICAS OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de función, su representación gráfica así como su uso en el Cálculo. 1.5.1.- Introducción. Como ya mencionamos al inicio de estas

Más detalles

Transformación de gráfica de funciones

Transformación de gráfica de funciones Transformación de gráfica de funciones La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos auda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando. A partir

Más detalles

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas

Lección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano

Más detalles

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán

Más detalles

49 http://iedonboscohunter.hol.es

49 http://iedonboscohunter.hol.es 49 http://iedonboscohunter.hol.es MODULO PRECALCULO SEGUNDA UNIDAD Funciones Algebraicas Había un hombre en Roma que se parecía mucho a César Augusto; Augusto se enteró de ello, mandó buscarlo y le preguntó.

Más detalles

Funciones Reales de Variable Real

Funciones Reales de Variable Real 1 Capítulo 6 Funciones Reales de Variable Real M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet

Más detalles

1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y

1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y UNIDAD I. FUNCIONES POLINOMIALES Conceptos clave: Sean X y Y dos conjuntos no vacíos. 1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................

Más detalles

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Capítulo : Aplicaciones de la derivada 1 Capítulo : APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de conseguir los valores máimos y mínimos

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

9 Funciones elementales

9 Funciones elementales Solucionario 9 Funciones elementales ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios. a) P() 4 b) Q() 3 6 a) Se resuelve la ecuación 4 0. Las raíces son 6 y, y P() ( 6)(

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

Funciones definidas a trozos

Funciones definidas a trozos Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad

Más detalles

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar. L. F. Reséndis O.

Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar. L. F. Reséndis O. Texto de Cálculo I Intervalos de la recta real R Versión preliminar L. F. Reséndis O. 2 Contents 1 Números reales L.F. Reséndis O. 5 1.1 Números racionales e irracionales.l.f. Reséndis O............ 5

Más detalles

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:

PARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa: Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay

Más detalles

Traslación de puntos

Traslación de puntos LECCIÓN CONDENSADA 9.1 Traslación de puntos En esta lección trasladarás figuras en el plano de coordenadas definirás una traslación al describir cómo afecta un punto general (, ) Una regla matemática que

Más detalles

Matemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas

Matemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado Decanato de Agronomía Programa Ingeniería Agroindustrial Departamento de Gerencia Estudios Generales Matemática I Etremos de una Función. Definiciones-Teoremas

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL. Amaury Camargo y Favián Arenas A. Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas

CÁLCULO DIFERENCIAL. Amaury Camargo y Favián Arenas A. Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas CÁLCULO DIFERENCIAL Amaury Camargo y Favián Arenas A. Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas Cálculo Diferencial UNIDAD 1 2. Funciones y modelos 2.1.

Más detalles

Gráficas de funciones

Gráficas de funciones Apuntes Tema 1 Gráficas de funciones 1.1 Gráficas de funciones a) Función constante: f(x) = k b) Recta vertical: x = k c) Función lineal: f(x) = mx Todas pasan por el origen O(0, 0). 2 d) Función afín:

Más detalles

Por ejemplo si a = 1 y c = 2 obtenemos y x 2 2. 2 1, su gráfico es el mismo que el de. En general, a partir del gráfico de

Por ejemplo si a = 1 y c = 2 obtenemos y x 2 2. 2 1, su gráfico es el mismo que el de. En general, a partir del gráfico de Caso 3: En la ecuación general a b c, a 0 b 0, obtenemos a c, a 0. 10 = + = 8 6 4 = -1 3 - -1 1 3-1 Por ejemplo si a = 1 c = obtenemos. El gráfico de, es el mismo que el de desplazado unidades hacia arriba.

Más detalles

FUNCIÓN CUADRÁTICA. Tres formas para identificar una parábola según los datos:

FUNCIÓN CUADRÁTICA. Tres formas para identificar una parábola según los datos: FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado de la forma y=ax +bx+c, cuya gráfica es una parábola de eje vertical, donde a representa la abertura de la parábola.

Más detalles

1. Funciones y sus gráficas

1. Funciones y sus gráficas FUNCIONES 1. Funciones sus gráficas Función es una relación entre dos variables a las que, en general se les llama e. es la variable independiente. es la variable dependiente. La función asocia a cada

Más detalles

GUÍA DE APRENDIZAJE DE CÁLCULO DIFERENCIAL

GUÍA DE APRENDIZAJE DE CÁLCULO DIFERENCIAL I N S T I T U T O P O L I T É C N I C O N A C I O N A L C E N T R O D E E S T U D I O S C I E N T Í F I C O S Y T E C N O L Ó G I C O S N o.11 W I L F R I D O M A S S I E U A C A D E M I A D E M A T E

Más detalles

0 7, que no tiene sentido. Así, al número 0 no se. puede asociar por esta regla, ningún número real. La función definida por la expresión x + asocia

0 7, que no tiene sentido. Así, al número 0 no se. puede asociar por esta regla, ningún número real. La función definida por la expresión x + asocia FUNCIONES Notas redactadas por A. Diego M. I. Platzeck para el curso de Matemática General. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS. El concepto de función que vamos a estudiar está en la base de la matemática, de otras

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700. (1) Considere la función h : R R definida por. h(x) = x2 3

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700. (1) Considere la función h : R R definida por. h(x) = x2 3 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700 (1) Considere la función h : R R definida por h() = 3 3 Halle el dominio y las raíces de la función Las asíntotas verticales y las horizontales

Más detalles

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES. FUNCIÓN CÚBICA.

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES. FUNCIÓN CÚBICA. FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES. FUNCIÓN CÚBICA. La ecuación de dichas funciones es de la forma f(x) = y = ax 3 +bx 2 +cx +d, donde a,b,c y d PRIMERAS CARACTERÍSTICAS: 1.- DOMINIO: por ser polinómicas

Más detalles

Examen funciones 4º ESO 12/04/13

Examen funciones 4º ESO 12/04/13 Examen funciones 4º ESO 12/04/13 1) Calcula el dominio de las siguientes funciones: a. b. c. d. Calculamos las raíces del numerador y del denominador: Construimos la tabla para ver los signos: - - 0 +

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones

Estudio Gráfico de Funciones Esquema 1 2 Esquema 1 2 Definición es una correspondencia entre dos conjuntos A B tal que a cada elemento del conjunto A le corresponde un único valor solo uno del conjunto B. La gráfica de la función

Más detalles

LA PARABOLA. R(-a, y) P (x, y) con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el

LA PARABOLA. R(-a, y) P (x, y) con el origen del sistema de coordenadas cartesianas y el eje de la parábola con el LA PARABOLA Señor... cuando nos equivoquemos, concédenos la voluntad de rectificar; y cuando tengamos razón... no permitas que nos hagamos insufribles para el prójimo. Marshall En la presente entrega,

Más detalles

f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n-2 +...a 2 x 2 +a 1 x 1 +a 0

f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +a n-2 x n-2 +...a 2 x 2 +a 1 x 1 +a 0 FUNCIÓN POLINOMIAL. DEFINICIÓN. Las funciones polinomiales su representación gráfica, tienen gran importancia en la matemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables

Más detalles

Cuadernillo de Apuntes de Matemáticas I. Luis Ignacio Sandoval Paéz

Cuadernillo de Apuntes de Matemáticas I. Luis Ignacio Sandoval Paéz Cuadernillo de Apuntes de Matemáticas I Luis Ignacio Sandoval Paéz 1 Índice Números reales 1.1 Clasificación de los números reales. 5 1.2 Propiedades. 7 1.3Interpretación geométrica de los números reales.

Más detalles

Posteriormente el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) fue el primero que utilizó el símbolo y = f(x) en la forma que ahora lo utilizamos.

Posteriormente el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) fue el primero que utilizó el símbolo y = f(x) en la forma que ahora lo utilizamos. Una función en matemáticas, es un término que se usa para indicar la relación entre dos o más magnitudes. El matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fue el primero que utilizó el término

Más detalles

Funciones lineales. Año Hombres Mujeres 2008 40.3% 35.2% 2009 42.9% 37.6% 2010 45.1% 40.6%

Funciones lineales. Año Hombres Mujeres 2008 40.3% 35.2% 2009 42.9% 37.6% 2010 45.1% 40.6% Capítulo Funciones lineales Todos los días leemos, en los medios de comunicación, información basada en datos recopilados de fuentes estadísticas. En el Ecuador, el organismo encargado de recopilar datos

Más detalles

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal

Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Universidad de Sonora División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Problemas Resueltos de Desigualdades y Programación Lineal Para el curso de Cálculo Diferencial de Químico Biólogo

Más detalles

Función Cuadrática *

Función Cuadrática * Función Cuadrática * Edward Parra Salazar Colegio Madre del Divino Pastor 10-1 Una función f : A B, f(x) = ax 2 + bx + c, donde A y B son subconjuntos de R, a, b, c R, a 0, se llama una función cuadrática.

Más detalles

Características de funciones que son inversas de otras

Características de funciones que son inversas de otras Características de funciones que son inversas de otras Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y se representa por f 1 al conjunto. f 1 = a, b b, a f} Es decir, f 1 (x, y) = { x =

Más detalles

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Valor Absoluto Trabajaremos en el campo de los números reales, R. Para el estudio de las propiedades de las funciones necesitamos el concepto de valor absoluto de un número

Más detalles

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones 1. Indica las características de la siguiente función: Dominio:, 1 1,1 1, 1,1 Imagen o recorrido:,0 1, Monotonía: - Creciente:, 1 1,0 - Decreciente: 0,11, - Máimos relativos:

Más detalles

Cuatro maneras de representar una función

Cuatro maneras de representar una función Cuatro maneras de representar una función Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B. Una función f es una regla que

Más detalles

FUNCIONES. Funciones. Qué es una función? Indicadores. Contenido

FUNCIONES. Funciones. Qué es una función? Indicadores. Contenido Indicadores FUNCIONES Calcula el valor de incógnitas usando la definición de función. Determina valores de la variable dependiente a partir de valores dados a la variable independiente. Determina los puntos

Más detalles

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado.

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado. ECUACIONES Y DESIGUALDADES UNIDAD VII VII. CONCEPTO DE ECUACIÓN Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos epresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, algunos o todos los valores

Más detalles

Relaciones y Funciones

Relaciones y Funciones Capítulo Relaciones Funciones.1. Producto Cartesiano Definición El producto cartesiano de A B, se define por A B = (a, b)/a A b B} A B conjuntos dados, A B se lee A cruz B (a, b) es un par ordenado, recuerde

Más detalles

UNIDAD 2: Funciones racionales y con radicales 2.5.1 SITUACIONES QUE DAN LUGAR A FUNCIONES CON RADICALES

UNIDAD 2: Funciones racionales y con radicales 2.5.1 SITUACIONES QUE DAN LUGAR A FUNCIONES CON RADICALES .5 FUNCIONES CON RADICALES UNIDAD : Funciones racionales y con radicales.5.1 SITUACIONES QUE DAN LUGAR A FUNCIONES CON RADICALES Aprendizajes: - Eplora en una situación o problema que da lugar a una función

Más detalles

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim DERIVADAS. CONTENIDOS. Recta tangente a una curva en un punto. Idea intuitiva del concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. sucesivas. Reglas de derivación Aplicación de la derivada

Más detalles

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones Unidad 6 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 96 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 178 Evaluar un polinomio. a) b) c) d) e) Escribir intervalos. a) b) c) 179 PÁGINA 98 SOLUCIONES 1.a)

Más detalles

FUNCIONES DE VARIABLE REAL

FUNCIONES DE VARIABLE REAL CAPÍTULO II. FUNCIONES DE VARIABLE REAL SECCIONES A. Dominio e imagen de una función. B. Representación gráfica de funciones. C. Operaciones con funciones. D. Ejercicios propuestos. 47 A. DOMINIO E IMAGEN

Más detalles

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de

Más detalles

2FUNCIONES CUADRÁTICAS

2FUNCIONES CUADRÁTICAS CONTENIDOS El modelo cuadrático La función cuadrática Desplazamientos de la gráfica Máximos, mínimos, ceros, crecimiento y decrecimiento Ecuaciones cuadráticas Sistemas mixtos En este capítulo se analizan

Más detalles

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo:

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo: Titulo: DOMINIO Y RANGO I N D I C E Página DE UNA FUNCIÓN Año escolar: 4to. Año de Bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela

Más detalles

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 TEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto

Más detalles

2. GRAFICA DE FUNCIONES

2. GRAFICA DE FUNCIONES . GRAFICA DE FUNCIONES En vista de que el comportamiento de una función puede, en general, apreciarse mu bien en su gráfica, vamos a describir algunas técnicas con auda de las cuales podremos hacer un

Más detalles

CUADERNO DE TRABAJO 2

CUADERNO DE TRABAJO 2 1 COLEGIO UNIVERSITARIO DE CARTAGO ELECTRÓNICA MATEMÁTICA ELEMENTAL EL-103 CUADERNO DE TRABAJO 2 Elaborado por: Msc. Adriana Rivera Meneses II Cuatrimestre 2014 2 ESTIMADO ESTUDIANTE: Continuamos con el

Más detalles

DESIGUALDADES E INTERVALOS

DESIGUALDADES E INTERVALOS DESIGUALDADES E INTERVALOS 1. INTERVALOS: Son regiones comprendidas entre dos números reales. En general, si los etremos pertenecen al intervalo, se dice que cerrado, si por el contrario no pertenecen

Más detalles

Prof. Susana López 1. UniversidadAutónomadeMadrid. 1 Definición y clasificación de funciones reales de una variable real. f B

Prof. Susana López 1. UniversidadAutónomadeMadrid. 1 Definición y clasificación de funciones reales de una variable real. f B Prof. Susana López 1 UniversidadAutónomadeMadrid Tema 1: Introducción a las funciones de varias variables 1 Definición clasificación de funciones reales de una variable real Definición 1 UnafunciónfesunareglaqueasignaacadaelementodeunconjuntoA

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

2.2 Transformada de Laplace y Transformada. 2.2.1 Definiciones. 2.2.1.1 Transformada de Laplace

2.2 Transformada de Laplace y Transformada. 2.2.1 Definiciones. 2.2.1.1 Transformada de Laplace 2.2 Transformada de Laplace y Transformada 2.2.1 Definiciones 2.2.1.1 Transformada de Laplace Dada una función de los reales en los reales, Existe una función denominada Transformada de Laplace que toma

Más detalles

Gráficas. Funciones Reales. Variable Real

Gráficas. Funciones Reales. Variable Real I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas Matemáticas de º de Bachillerato Gráficas de Funciones Reales de Variable Real Por Javier Carroquino CaZas Catedrático de matemáticas del I.E.S.

Más detalles

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.

Universidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G. Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4).

Más detalles

3.1 Funciones de Variable Real

3.1 Funciones de Variable Real 3 CAPÍTULO TRES Ejercicios propuestos 3.1 Funciones de Variable Real 1. La gráfica de una función puede tener más de una intersección con el eje Y. 2. Un dominio de la función de variable real f (x)= 2x

Más detalles

FUNCIÓN CUADRÁTICA. Los gráficos de as funciones cuadráticas tienen siempre un eje de simetría vertical. En este caso coincide con el eje y.

FUNCIÓN CUADRÁTICA. Los gráficos de as funciones cuadráticas tienen siempre un eje de simetría vertical. En este caso coincide con el eje y. FUNCIÓN CUADRÁTICA 5º AÑO 013 PROF. RUHL, CLAUDIA FUNCIÓN CUADRÁTICA BATÁN, ROMINA FORMA CANÓNICA FORMA POLINÓMICA FORMA FACTORIZADA Y = a. ( x h ) + k Y = a. x + b. x + c y = a. ( x x1 ). ( x x FORMA

Más detalles

x - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas.

x - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas. f ( ) + +. Dominio D (f ) R 4. Recorrido Im( f ) [, ). Puntos de corte - Con el eje y, donde 0 y + + y P (0,) - Con el eje, donde y 0 No hay punto de corte con el eje 4. Asíntotas - Horizontales lim +

Más detalles

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas BLOQUE IV Funciones 0. Funciones. Rectas y parábolas. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Límites y derivadas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo

Más detalles

Matemáticas 1204, 2013 Semestre II Tarea 5 Soluciones

Matemáticas 1204, 2013 Semestre II Tarea 5 Soluciones Matemáticas 104, 01 Semestre II Tarea 5 Soluciones Problema 1: Una definición errónea de línea tangente a una curva es: La línea L es tangente a la curva C en el punto P si y sólamente si L pasa por C

Más detalles

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { }

I. RELACIONES Y FUNCIONES 1.1. PRODUCTO CARTESIANO { } I. RELACIONES Y FUNCIONES PAREJAS ORDENADAS Una pareja ordenada se compone de dos elementos x y y, escribiéndose ( x, y ) donde x es el primer elemento y y el segundo elemento. Teniéndose que dos parejas

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 011 (Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD SEPTIEMBRE 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Más detalles

1. Graficando con Maple

1. Graficando con Maple 1. Graficando con Maple Maple es un programa de computación simbólica que permite, entre otras cosas, calcular derivadas, límites, integrales de funciones de una o varias variables; graficar funciones

Más detalles

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:

DOMINIO Y RANGO página 89. Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades: DOMINIO Y RANGO página 89 3. CONCEPTOS Y DEFINICIONES Cuando se grafica una función eisten las siguientes posibilidades: a) Que la gráfica ocupe todo el plano horizontalmente (sobre el eje de las ). b)

Más detalles

Capítulo 6. Aplicaciones de la Integral

Capítulo 6. Aplicaciones de la Integral Capítulo 6 Aplicaciones de la Integral 6. Introducción. En las aplicaciones que desarrollaremos en este capítulo, utilizaremos una variante de la definición de integral la cual es equivalente a la que

Más detalles

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. TEMA 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD ÍNDICE. Introducción. Concepto de función. 3. Dominio e imagen de una función. 4. Gráfica de algunas

Más detalles

FUNCIONES Y SUPERFICIES

FUNCIONES Y SUPERFICIES FUNCIONES Y SUPERFICIES Sergio Stive Solano Sabié 1 Octubre de 2012 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com FUNCIONES Y SUPERFICIES Sergio Stive Solano Sabié 1 Octubre de 2012 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles

3ª Parte: Funciones y sus gráficas

3ª Parte: Funciones y sus gráficas 3ª Parte: Funciones y sus gráficas Relaciones funcionales. Estudio gráfico y algebraico de funciones 1. Interpretación de gráficas 1. Un médico dispone de 1hora diaria para consulta. El tiempo que podría,

Más detalles

Funciones Reales en una Variable

Funciones Reales en una Variable Funciones Reales en una Variable Contenidos Concepto función Grafica de una función Dominio y Recorrido de una función Clasificación de la funciones Función Inversa Paridad de las Funciones Operaciones

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

Funciones. Catedrática Recinto Universitario de Mayagüez AFAMaC Residencial Sept. 4 de 2010

Funciones. Catedrática Recinto Universitario de Mayagüez AFAMaC Residencial Sept. 4 de 2010 Funciones Prof. Nilsa I. Toro Catedrática Recinto Universitario de Mayagüez AFAMaC Residencial Sept. 4 de 010 Introducción Es frecuente que se describa una cantidad en términos de otra; por ejemplo: 1.

Más detalles

ECUACION DE DEMANDA. El siguiente ejemplo ilustra como se puede estimar la ecuación de demanda cuando se supone que es lineal.

ECUACION DE DEMANDA. El siguiente ejemplo ilustra como se puede estimar la ecuación de demanda cuando se supone que es lineal. ECUACION DE DEMANDA La ecuación de demanda es una ecuación que expresa la relación que existe entre q y p, donde q es la cantidad de artículos que los consumidores están dispuestos a comprar a un precio

Más detalles

Descripción: dos. función. decreciente. Figura 1. Figura 2

Descripción: dos. función. decreciente. Figura 1. Figura 2 Descripción: En éste tema se utiliza la primera derivada para encontrar los valores máximo y mínimo de una función, así como para determinar los intervalos en donde la función es creciente o decreciente,

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN AUTOR: M. F. ALBERTO DE LA ROSA ELIZALDE MATEMÁTICAS II (CÁLCULO DIFERENCIAL) Clave: 66 Plan: 005 Créditos: 8 Licenciatura:

Más detalles

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) = T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente

Más detalles

3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1

3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1 3. Funciones reales de una variable real. Límites. Continuidad 1 Una función real de variable real es una aplicación f : D R, donde D es un subconjunto de R denominado dominio de f. La función f hace corresponder

Más detalles