UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES

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1 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN 6 - DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 7 - INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA 8 4- CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 9 5- FUNCIÓN DERIVADA DERIVADAS SUCESIVAS 0 6- ÁLGEBRA DE DERIVADAS REGLA DE LA CADENA 0 7- DERIVADA DE FUNCIONES ELEMENTALES 0 8- DERIVACIÓN LOGARÍTMICA 4 9- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 4 9- CÁLCULO DE LÍMITES: REGLAS DE L HÔPITAL 4 9- MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS OPTIMIZACIÓN 5 9- CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 4 0- ACTIVIDADES 44 - SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES 6 - INTRODUCCIÓN El concepto de derivada, íntimamente asociado al de límite, que ya estudiamos en la unidad anterior, constituyen, junto al de integral, los dos pilares fundamentales del Cálculo Infinitesimal, parte de las Matemáticas de suma importancia en nuestro mundo actual Fue Fermat (60-665), adelantándose a Newton y Leibnitz, el primer matemático que formuló la idea de derivada en sus estudios de máimos y mínimos Años después, Newton también llegó a la idea de derivada en sus investigaciones sobre velocidad Por otra parte, Leibnitz también progresó en la definición de derivada y fue quien designó la derivada en la forma: d/dt, refiriéndose a cantidades infinitesimalmente pequeñas Ya en el siglo XIX, los matemáticos de la época dieron rigor y precisión al concepto de derivada, conservándose prácticamente hasta nuestros días y siendo, junto con las integrales una de las herramientas más eficaces para múltiples campos de la ciencia como la Física, la Química o toda la Ingeniería Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 6

2 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES - DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Definición : Sea f una función definida en un a, b Dom f Se llama tasa de intervalo [ ] variación media de f en dicho intervalo al cociente: f ( b) f ( a) TVM[ a, b] ( f ) b a Nota : Obsérvese que la tasa de variación media de una función en un intervalo coincide con la pendiente (recordemos que la pendiente es la tangente trigonométrica del ángulo que forma con el eje de abscisas) de la recta secante a la gráfica en los puntos correspondientes, es decir: f ( b) f ( a) m tgα TVM [ a, b] ( f ) b a Definición : Sea f una función definida en un entorno de un punto a de su dominio f f ( a) Decimos que f es derivable en dicho punto si eiste y es finito: Lím En tal a a caso, a este límite se le llama tasa de variación media o derivada de la función en el f ( ) f ( a) f f ( a) punto Se escribe: f '( a) Lím Al cociente se le llama cociente a a a incremental Nota : Sin más que hacer el cambio de variable h a, podemos obtener una definición equivalente y que fue la primera que apareció históricamente: f f ( a) f ( a + h) f ( a) f '( a) Lím Lím Ambas definiciones son válidas y dependerá a a h 0 h del caso la idoneidad de emplear una u otra Definición : Sea f una función definida en un entorno por la izquierda de un punto a de su dominio Decimos que f es derivable por la izquierda en dicho punto si eiste y es f f ( a) finito: Lím En tal caso, a este límite se le llama derivada por la izquierda de a a ' f f ( a) la función en el punto Se escribe: f ( a) Lím a a Definición 4: Sea f una función definida en un entorno por la derecha de un punto a de su dominio Decimos que f es derivable por la derecha en dicho punto si eiste y es f f ( a) finito: Lím En tal caso, a este límite se le llama derivada por la derecha de la + a a ' f f ( a) función en el punto Se escribe: f+ ( a) Lím+ a a Nota : Es evidente que una función es derivable en un punto cuando eisten sus derivadas laterales y coinciden Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 7

3 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Definición 5: Se dice que una función es derivable en un intervalo cuando lo es en todos sus puntos, entendiendo derivadas laterales en los etremos cerrados del intervalo si es que el intervalo es cerrado Ejemplo : Sea a) f + Veamos si es derivable en algunos puntos: ( ) + + ( )( ) f f Lím Lím Lím f '( ) b) ( 0 + ) ( 0) h h + ( ) f h f h h Lím Lím Lím f '( 0) h 0 h h 0 h h 0 h Ejemplo : Sea g 6 g g ( ) ( ) a) Veamos si es derivable en algunos puntos: Lím Lím Lím Lím g ' ' b) ( ) g g g Lím Lím Lím Lím ' g g ( ) g+ Lím Lím Lím Lím Así pues f no es derivable en si Veamos si es derivable en + si > ' h h( ) ( + ) h ( ) Lím Lím Lím ' h h( ) + ( + )( ) h+ ( ) Lím Lím Lím Ejemplo : Sea: h Así pues f no es derivable en - INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Analicemos desde un punto de vista gráfico la definición de derivada de una función en un punto: Parece claro que, a medida que se acerca al punto a, las rectas secantes se acercan a la recta tangente en el punto a Es además evidente, que las distintas tasas de variación media, correspondientes a los sucesivos cocientes incrementales, tienden, en caso de eistir a la derivada Podemos establecer, por tanto la siguiente interpretación geométrica de la derivada: Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 8

4 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Nota 4: (Interpretación geométrica de la derivada) Si una función f es derivable en un punto a, entonces, la derivada de f en a coincide con la y f pendiente de la recta tangente a la curva en el punto a, f ( a ) normal tienen por ecuaciones: a Así pues, las rectas tangente y t : y f a f ' a a Recta tangente n : y f ( a) a Recta normal f ' Esta nota es una de las propiedades más importantes para entender bien todas las aplicaciones de las derivadas, por lo que debemos tomarnos su comprensión e interpretación en distintos contetos como uno de los objetivos esenciales de la unidad 4- CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Proposición : Si f es derivable en el punto a, entonces es continua en a Nota 5: Como consecuencia de la proposición anterior, si una función no es continua en un punto, entonces, no puede ser derivable en dicho punto Nota 6: El recíproco de la proposición no es cierto, es decir, una función continua en un punto no tiene porqué ser derivable Definición 6: Se dice que una función f tiene un punto anguloso en a si f es continua en a y no derivable, siendo derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto, es decir, si es continua y eisten las derivadas laterales pero no coinciden Gráficamente, un punto anguloso es aquel en el que las tangentes saltan de la izquierda a la derecha del punto Por el contrario, las funciones derivables son redondeadas y sus tangentes no dan saltos Ejemplo 4: Si recordamos los ejemplos, y, cuyas epresiones eran: si f +, g 6 y h + si > Es evidente que mientras la primera es redondeada y no tiene picos, la segunda y tercera presentan picos (puntos angulosos) en los puntos en los que no eran derivables Este hecho, como tendremos oportunidad de ver durante la unidad, es bastante frecuente en funciones con valores absolutos y en funcione definidas a trozos Además de esto, con estos ejemplos podemos comprobar que la continuidad no implica la derivabilidad ya que se trata de tres funciones continuas en todo su dominio Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 9

5 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES 5- FUNCIÓN DERIVADA DERIVADAS SUCESIVAS Definición 7: Sea f : D R una función derivable en un dominio D ' D Se llama f ' : D ' R función derivada primera de f a la función De manera análoga se define la f ' función derivada segunda de f en un dominio D '' D ', como la derivada de la derivada, f '' f ' ', la derivada tercera como la derivada de la derivada segunda, es decir ect Nota 7: Es importante observar que, mientras que la derivada de una función en un punto es un número, la función derivada, como su propio nombre indica, es una función, precisamente la que a cada punto asocia la derivada puntual Ejemplo 5: Hallemos la función derivada de la función f ( ) Sea a R cualquiera f f ( a) a ( a)( + a) f '( a) Lím Lím Lím a Así pues, podemos concluir a a a a a a que la función es derivable en todo su dominio, siendo f ' 6- ÁLGEBRA DE DERIVADAS REGLA DE LA CADENA Veamos en este punto de la unidad, el resultado de las derivadas que resultan de las operaciones elementales: Proposición : (Álgebra de derivadas) Sean f y g dos funciones derivables en entonces: a) f ± g es derivable en a f ± g ' a f ' a ± g ' a b) k f es derivable en c) f g es derivable en a d) Si g ( a) 0, f g a, y se cumple: a y se cumple: ( k f )'( a) k f '( a) k R y se cumple: ( f g )'( a) f '( a) g ( a) + f ( a) g '( a) y se cumple: f '( a) g ( a) f ( a) g '( a) f / g ' a g ( a) es derivable en a Proposición : (Regla de la cadena) Sea g una función derivable en función derivable en g ( a) ( f g )'( a) f ' g ( a) g ' a, entonces f g es derivable en 7- DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES a y f una a y se cumple que: Es evidente que el cálculo de derivadas mediante la definición (procediendo de forma similar a lo hecho en el ejemplo 5) resulta largo y a menudo dificultoso Para evitar estos cálculos, lo más sensato es obtener una vez la fórmula de cada derivada elemental, y usarla cuando sea necesario En las dos siguientes tablas se resumen las epresiones de las derivadas de funciones elementales y las operaciones vistas en el punto 6 Además, eceptuando el valor absoluto, las funciones elementales, son derivables en sus dominios respectivos y carecen de puntos angulosos Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 0

6 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Simple DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES Compuesta Función Derivada Función Derivada y k y ' 0 y y y y y y n y ' y ' n y ' y ' e y ' n n n n y f y ' nf f ' y f y f n y n f n n e a ' ln y ln y log a y a a y ' y ' y lnf ( ) lna y sen y ' cos y f ( ) y y ' f y ' f f ' y ' f ( ) f ' y ' n n f f ( ) e ' ' y f e f ( ) a log a f n f y ' f ' a lna '( ) f y ' f f '( ) ln y ' f a y sen f y cos y ' sen y cos( f ) y tg y cotg y sec y co sec y arcsen y arccos cos + y tg f y' tg sec sen y' ( cotg ) co sec y ' f ' cos( f ) y ' f ' sen f + y cotg f y ' y ' y ' y ' sen cos y f cos sen sec y co sec ( f ) y arctg y ' ( ) y arcsen f y arccos( f ) y arctg f ( ) + ' ( f ) f y' f ' + tg ( f ) f ' sec f cos f ' sen ( f ) ( ) y' f ' + cotg f f ' cos ec f ( ( )) ( f ( )) ( f ( )) ( ) sen f y ' f ' cos sen f cos y ' f ' y ' y ' f ' f ' f ( ) f ( ) ( ) ( ) f ' y ' + f Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página

7 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES OPERACIONES CON DERIVADAS Suma/Resta ( f ± g )'( ) f ' ± g ' Producto por escalar ( k f )'( ) k f ' Producto ( f g )'( ) f ' g + f g '( ) f ' g f g ' Cociente ( f / g )' g Composición (Regla de la cadena) ( f g) ' f ' g g ' Nota 8: Además de las derivadas de funciones elementales y de las reglas de derivación, es bastante importante que tengamos en cuenta algunas de las propiedades de los logaritmos que pasamos a recordar a continuación, ya que, al transformar productos y divisiones en sumas y restas, además de potencias en productos, facilitan bastante el cálculo de derivadas logarítmicas aplicando las propiedades antes de derivar Pasamos a recordarlas: a) b) log y log + log y a a a log / y log log y a a a y c) log y log a a Vamos a dedicar en este punto un tiempo a resolver algunas situaciones que requerían el cálculo de derivada y que hemos pospuesto hasta disponer de la tabla de derivadas Nota 9: (Estudio de la derivabilidad) Lo primero que podemos observar, a la vista de la tabla, es que la mayoría de las funciones elementales no son sólo continuas y derivables, sino que sus derivadas son también continuas (y en la mayoría de los casos nuevamente derivables) Esto nos permite estudiar la derivabilidad derivando las funciones y tomando límites y hallar derivadas puntuales derivando y sustituyendo Esto simplifica bastante el estudio de la derivación Veamos un ejemplo ya hecho utilizando este método: Ejemplo 6: Si tomamos la misma función del ejemplo : ' si si < f ( ) h h' ' + si > si > f ( ) Así pues, se concluye que no es derivable en, ya que tiene un punto anguloso Obsérvese también que al derivar una función a trozos, las desigualdades pasan a ser estrictas momentáneamente hasta que no tengamos seguridad de la derivabilidad de la misma en el punto en cuestión Proponemos las actividades, y + Ejemplo 7: Hallemos las recta tangente y normal a la curva 5 + en y Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página

8 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Lo primero que hacemos es llamarla f 5 + para sustituir en valores numéricos con rigor Recordemos que las fórmulas de la tangente y la normal, para este t : y f ( ) f '( )( ) Recta tangente caso serían: n : y f ( ) ( ) Recta normal f ' f y f ', para lo cual, derivamos la función: Así pues, necesitamos hallar f ' 5 Así pues: Proponemos la actividad f ( ) 7 t : y 7 t : y + 0 simplificando 0 f '( ) n : y 7 ( ) n : y + Ejemplo 8: Vamos a mostrar ahora varios ejemplos de cómo se usa la tabla de derivadas y las reglas de derivación: a) y + 6 y ' 4 b) y + + y ' c) y ln y ' ln + ln + ( ln + ) 5/ 5 / 5 d) y y ' 4 8 e) y y ' 6 6 cos f) y ln( sen) ln + ln sen y ' + + cotg sen e e e e ( ) e ( ) g) y y ' 4 4 y cos y ' ln cos sen ln cos sen h) i) y 4 y ' ln 4 4 j) y ln( + ) y ' + k) y sen y ' cos l) m) / / y arctg y ' + arccos ' y y ( ) ( + ) Se proponen las actividades 4 y 5 4 Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página

9 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES 8- DERIVACIÓN LOGARÍTMICA A menudo, eisten funciones que no se ajustan a ninguna de las derivadas de funciones elementales y deben ser llevadas a cabo con otros métodos no elementales f, a la que no se le puede aplicar la fórmula Este es el caso de funciones como de la potencia (el eponente no es constante) ni la de la eponencial (la base no es constante) Para derivar este tipo de funciones y otras en las que se pueda aplicar, vamos a ver un procedimiento llamado derivación logarítmica: Nota 0: (derivación logarítmica) Consideremos una función del tipo g y f Si tomamos logaritmo neperiano en ambos miembros nos quedará la igualdad: ln y lnf g ( ) Aplicando ahora las propiedades de los logaritmos, se transforma en: ln y g lnf 4 Si ahora derivamos ambos miembros queda: g ' lnf + g g 5 Con lo que, basta despejar: ( ) f y ' f g ' lnf + g ( ) f Como es lógico, no tiene ningún sentido memorizar esta última fórmula y, en los ejemplos concretos podemos proceder como en el caso general que acabamos de ver Veamos un ejemplo: y ' y ' f '( ) y ' Ejemplo 9: Sea y ln y ln ln ln + y ' + ln y Se propone la actividad 6 9- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 9- Cálculo de límites: Reglas de L Hôpital Proposición 4: (Regla de L Hôpital): Sean y g f entorno reducido de a tales que Lím a g f ' f Si eiste Lím, entonces también eiste Lím a g' a g resultado también es válido para límites en el infinito f f funciones derivables en un 0 presenta la indeterminación o bien 0 y coincide con el anterior El En la práctica, esto supone que en la mayoría de las situaciones en las que se nos presenten indeterminaciones de tipo cociente, podemos derivar numerador y denominador y ver si el límite resultante eiste, ya que, en tal caso, coincidirá con el anterior Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 4

10 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Ejemplo 0: Resolvamos los siguientes límites: L ' H sen 0 cos a) Lím Lím ln L ' H b) Lím Lím Lím c) [ ] L ' H ln Lím ln 0 Lím Lím Lím Se propone la actividad 7 9- Monotonía y etremos relativos Optimización Definición 8: Sea f una función definida en un intervalo a, b Se dice que f es creciente en el intervalo a, b si creciente en el intervalo, a, b / < f f Definición 9: Se dice que una función f es creciente en un punto a si eiste un entorno a ε, a + ε de dicho punto en el que f es creciente Definición 0: Sea f una función definida en un intervalo a, b Se dice que f es decreciente en el intervalo a, b si decreciente en el intervalo, a, b / < f f Definición : Se dice que una función f es decreciente en un punto a si eiste un entorno a ε, a + ε de dicho punto en el que f es decreciente Definición : Cuando las desigualdades de las definiciones anteriores son estrictas, hablamos de función estrictamente creciente o decreciente a) Si b) Si si eiste un entorno f ' a > 0 f es creciente en a f ' a < 0 f es decreciente en a Nota : En general, el recíproco de la proposición anterior, no es cierto, es decir, no todas las funciones derivables en un punto y crecientes (o decrecientes) en el punto tienen porqué tener derivada positiva (o negativa) Lo único que podemos asegurar es que si una función es derivable y creciente (decreciente), entonces f ' ( a) 0 f '( a) 0 Veamos un contraejemplo: si eiste un entorno Proposición 5: (Monotonía): Sea f una función derivable en un punto a Entonces: Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 5

11 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Ejemplo : Consideremos la función en su gráfica, se trata de una función creciente en todo su dominio y, en particular en 0 Sin embargo, es evidente que su derivada no f ' 0 0 es positiva ya que Nota : Análogamente se obtiene un resultado para intervalos: a) b) Si f ' > 0 a, b f es creciente en el intervalo a, b Si f ' < 0 a, b f es decreciente en el intervalo a, b A partir de esta proposición, el estudio de la monotonía de una función derivable en un dominio se puede realizar estudiando el signo de su función derivada en dicho dominio Este método, que durante el curso pasado no lo podíamos llevar a cabo, será una potente herramienta a la hora de conocer las características gráficas de una función dada algebraicamente Veamos un ejemplo: Ejemplo : Estudiemos la monotonía de la función fácil 0 f ' 6 f '( ) Estudiando el signo de la derivada con las raíces calculadas: f es creciente en (,0) ( 4, + ) Así pues, podemos concluir que: f es decreciente en 0,4 Observemos lo visto desde un punto de vista gráfico: Es evidente que la monotonía en la gráfica se corresponde con los visto estudiando el signo de la derivada Una interpretación de esto bastante interesante para la comprensión de este apartado es observar lo que ocurre con las pendientes de las tangentes a la gráfica en los distintos intervalos Se puede observar que en los intervalos en los que la función es creciente, las rectas tangentes también lo son y en los que la función es decreciente, las rectas tangentes son decrecientes también Esto era de esperar, ya que, según vimos en la interpretación geométrica de la derivada, la pendiente de la recta tangente en un punto coincidía con la derivada en dicho punto Definición : Se dice que una función f alcanza un máimo relativo a, f a si eiste un entorno a ε, a + ε del punto a en un punto tal que ( Consideremos la función f < f a a ε, a + ε a Definición 4: Se dice que una función f alcanza un mínimo relativo a, f a si eiste un entorno a ε, a + ε del punto a f en un punto si eiste un entorno tal que f > f ( a ) ( a ε, a + ε ) { a } Como podemos ver Estudiemos la monotonía de la función si eiste un entorno ) { } f definida en R : Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 6

12 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Proposición 6: (Condición necesaria de etremo relativo): Sea f una función derivable en un punto a Si f tiene en dicho punto un etremo relativo, entonces f ' a 0 Nota : La condición anterior no es suficiente, es decir, puede darse que una función con derivada nula en un punto no tenga etremo relativo en dicho punto Como contraejemplo nos sirve el ejemplo Proposición 7: (Criterio de la derivada segunda): Sea f una función dos veces derivable en a, siendo f ' ( a) 0 y f ''( a) 0 Entonces: f '' a > 0 f presenta en a, f a un mínimo relativo a) Si b) Si f '' a < 0 f presenta en a, f a un máimo relativo Nota 4: En la situación de la proposición anterior, si primera derivada no nula en signo de dicha derivada Ejemplo : Con la función del ejemplo, es evidente que los candidatos a etremos relativos se obtienen en la forma: fácil 0 f ' 6 f ' f ''( 0) 6 < 0 Máimo relativo en ( 0,0) f '' 6 6 f '' 6 > 0 Mínimo relativo en (, 4) Otra forma de establecer si un etremo es máimo o mínimo relativo es estudiar su monotonía a la izquierda y derecha del punto en cuestión Nota 5: Al igual que la monotonía, se puede observar la estrecha relación entre el estudio analítico y el gráfico ya que, como se puede observar, las rectas tangentes en puntos en los que la función es derivable son horizontales, es decir, de pendiente nula, cosa que no es de etrañar puesto que la pendiente es la derivada, como ya hemos visto en numerosas ocasiones Nota 6: Hay que tener en cuenta que hay puntos en los que una función no es derivable Así que si queremos ver si un punto singular es o no un etremo, hemos de actuar de forma distinta (sin usar la derivada) Lo más habitual es evaluar la función en puntos genéricos de la forma a ε y a + ε y ver lo que ocurre con sus imágenes Se proponen las actividades 8, 9 y 0 Definición 5: Sea f una función definida en un dominio D Decimos que f tiene en el a, f a un máimo absoluto f < f a D punto Definición 6: Sea f una función definida en un dominio D Decimos que f tiene en el a, f a un mínimo absoluto f > f a D punto Si f tiene en dicho punto un etremo relativo, entonces ( ) En la situación de la proposición anterior, si f ' a 0 y f '' a 0 pero la a es de orden par, el criterio sigue siendo válido con el máimo absoluto si mínimo absoluto si Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 7

13 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Nótese que los conceptos de etremos relativos y absolutos son similares pero distintos Mientras que el etremo relativo se centra en lo que ocurre alrededor del punto en un entorno cerca de él, los etremos absolutos abarcan un dominio mayor En resumen, los etremos relativos son los mayores (menores) de los valores que toma la función cerca de ellos mientras que los absolutos son los mayores (o menores) de todo el dominio estudiado En numerosas situaciones físicas, geométricas, económicas, se plantean problemas que consisten en optimizar funciones, es decir, en hallar sus máimos y/o mínimos absolutos en determinados dominios de definición de las mismas A menudo, la dificultad de ello no radica en optimizar en sí las funciones, sino en encontrar su epresión algebraica Nota 7: (Optimización de funciones) Optimizar una función consiste en determinar sus máimos y/o mínimos absolutos de dicha función en un dominio concreto Para ello los pasos recomendados son los siguientes: º) Comprender bien el enunciado del problema y etraer la información necesaria para escribir la epresión algebraica de la función a optimizar y su dominio Es bastante frecuente que la función de una variable pueda epresarse a partir de una función de dos variables y de unas restricciones, también llamadas ligaduras º) Determinar los etremos relativos a los que se refiera el problema (máimos y/o mínimos) aplicando lo visto en la proposición 7 º) Determinar los puntos singulares, es decir, aquellos puntos que pudieran ser, en principio, etremos absolutos, pero que no sean etremos relativos Estos serán los puntos aislados, puntos de discontinuidad, puntos angulosos y etremos de intervalos cerrados 4º) Evaluar todos los candidatos etraídos del º y º paso en la función Además hemos de ver la tendencia de la función en puntos de discontinuidad y en el infinito para ver posibles ausencias de etremos Ejemplo 4: Hallemos dos números positivos cuya suma sea 0 y el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máimo f (, y ) y º) Sean e y los números El problema de optimización es: Má Ligadura: + y 0 Si despejamos y de la ligadura y sustituimos en la función, nos queda la función de una f ( 0 ) + 0 variable: Má, ya que se trata de dos números positivos Dom f ( 0,0) º) Es claro que la función es continua y derivable en todo su dominio, por ser polinómica 0 Domf Hallamos sus máimos relativos: f ' f '' f '' 0 60 < 0 Así pues, se trata de un máimo relativo º) No hay puntos singulares Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 8

14 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES 4º) Hemos de evaluar en 0 y ver la tendencia de la función en los etremos abiertos: f Máimo absoluto Límf Lím f 0 0 Por tanto, los números buscados son el 0 y al 0, siendo el producto máimo 4000 Ejemplo 5: Hallemos las dimensiones del jardín rectangular de mayor área que puede inscribirse en un terreno circular de 00 m de radio º) Sean e y sus dimensiones Evidentemente, como el radio es 00 m, la diagonal mide 00 m, así pues, utilizando el Teorema de A(, y ) y Pitágoras, el problema es: Má Ligadura: + y 00 Despejando y de la ligadura y sustituyendo en la función, el problema queda: A Má Dom A ( 0,00) º) Es claro que la función es continua y derivable en todo su dominio Dom A A ' Como la derivada segunda tiene una epresión considerablemente larga, preferimos estudiar la monotonía: Así pues, se trata de un máimo relativo º) No hay puntos singulares 4º) Hemos de evaluar en 00 y ver la tendencia de la función en los etremos abiertos: A Má absoluto LímA Lím A 0 00 Así pues, el máimo absoluto se alcanza para 0 Luego el máimo absoluto se alcanza para 00 Por lo tanto, el área máima se obtiene con un cuadrado de lado 00 y , ya que Proponemos las actividades y Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 9

15 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES 9- Curvatura y puntos de infleión Definición 7: Se dice que una función f es convea en a, f a si eiste un entorno del punto un punto ( a ε, a ε ) + en el que la recta tangente a la curva está situada por debajo de la gráfica de la función Definición 8: Se dice que una función f es cóncava en a, f a si eiste un entorno del punto un punto ( a ε, a ε ) + en el que la recta tangente a la curva está situada por encima de la gráfica de la función Definición 9: Diremos que una función es convea en a, b si lo es en todos sus puntos un intervalo Definición 0: Diremos que una función es cóncava en a, b si lo es en todos sus puntos un intervalo Proposición 8: (Curvatura) Sea f una función dos veces derivable en a Entonces: a) a) Si f '' a > 0 f es convea en a Si f '' a < 0 f es cóncava en a Nota 8: En general, el recíproco de la proposición anterior, no es cierto, es decir, no todas las funciones dos veces derivables en un punto y conveas (o cóncavas) en el punto tienen porqué tener derivada segunda positiva (o negativa) Lo único que podemos asegurar ar es que si una función es dos veces derivable y convea f '' a 0 f '' a 0 (cóncava), entonces Veamos un contraejemplo: Ejemplo 6: Consideremos la función trata de una función convea en todo su dominio y, en particular en es evidente que su derivada segunda no es positiva ya que f '' 0 0 Nota 9: Análogamente se obtiene un resultado para intervalos: a) b) ( ) Consideremos la función 4 f es evidente que su derivada segunda no es positiva ya que Si f '' > 0 a, b f es convea en el intervalo a, b Si f '' < 0 a, b f es cóncava en el intervalo a, b Como podemos ver en su gráfica, se 0 Sin embargo, A partir de esta proposición, el estudio de la curvatura de una función dos veces derivable en un dominio se puede realizar estudiando el signo de su derivada segunda en dicho dominio Veamos un ejemplo: Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 40

16 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Ejemplo 7: Estudiemos la curvatura Estudiemos la curvatura de la función f ' + 9 f '' Viendo el signo de la derivada ª con las raíces calculadas: f es convea en (, + ) Así pues, podemos concluir que: f es cóncava en, Si observamos la gráfica, vemos que, efectivamente, los intervalos de conveidad corresponden a intervalos en los que las pendientes de las rectas tangentes van creciendo, con lo que las derivadas son crecientes y, por tanto, las derivadas de las derivadas, que son las derivadas segundas, son positivas Lo contrario ocurre en los intervalos de concavidad f definida en R : fácil Definición : Se dice que una función tienen un punto de a, f a si la función cambia de curvatura en a, infleión en es decir, si pasa de cóncava a convea o de convea a cóncava Geométricamente, en un punto de infleión, la recta tangente pasa de estar por debajo de la gráfica a estar por encima o viceversa Proposición 9: (Puntos de infleión) Sea f una función tres veces derivable en a '' 0 ''' 0, entonces f tiene un punto de infleión en (aa, f a Si f ( a) y f ( a) Nota 0: En la situación de la proposición anterior, si primera derivada no nula en a es de orden impar, el criterio sigue siendo válido con el signo de dicha derivada Ejemplo 8: La función del ejemplo 7 tiene un punto de infleión en f ''' 6 0 En la situación de la proposición anterior, si Se proponen las actividades y Representación gráfica de funciones f '' a 0 y f ''' a 0 pero la Nota : (Aspectos a tratar para la representación gráfica de funciones) Aunque para representar gráficamente una función no son imprescindibles todas las características que vamos a ver a continuación, en un plano general, debemos tratar: ) Dominio: Para ello, recordamos que hay que tener en cuenta que: Las funciones racionales no están definidas en las raíces del denominador Las funciones radicales de índice par solo eisten cuando el radicando es positivo o nulo El argumento de un logaritmo debe ser estrictamente positivo Eceptuando seno y coseno, las funciones trigonométricas no están definidas en ciertos múltiplos de π / ) La función del ejemplo 7 tiene un punto de infleión en, ya que Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 4

17 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES ) Puntos de corte con los ejes y signo: Los puntos de corte y el estudio del signo suelen ser útiles ya que restringen bastante la zona de trazado de la función Recordamos que los puntos de corte con los ejes se determinan a partir de los siguientes sistemas: y f y f Eje OX: Eje OY: y 0 0 ) Continuidad: Estudiando la continuidad de la función podemos observar posibles saltos, discontinuidades evitables y enlazar con el estudio de las asíntotas 4) Asíntotas: Son quizás el aspecto más determinante a la hora de la representación gráfica Hemos de estudiar, de la forma que vimos en la unidad anterior, las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas 5) Simetría: Aunque no es, en absoluto, un aspecto fundamental, puede ayudarnos a entender la gráfica de una forma global y detectar posibles errores Recordemos que: Si f f f es par Si f f f es impar 6) Periodicidad: Es útil en determinadas funciones, casi en su mayoría, trigonométricas ya que permite restringir el estudio a un intervalo concreto Recordemos que una función f es f + P f Dom f periódica de período P cuando 7) Monotonía y etremos relativos: Se estudian como hemos visto en el punto 9 del tema, mediante el estudio del signo y las raíces de la derivada primera 8) Curvatura y puntos de infleión: Se estudian como hemos visto en el punto 9 del tema, mediante el estudio del signo y las raíces de la derivada segunda 0 ± Dom f R, Ejemplo 9: Estudiemos y representemos la función f ) Dominio: Es evidente que { } ) Puntos de corte con los ejes y signo: y Eje OX: Así pues, el único punto de corte y 0 O 0,0 El signo de la función es: con los ejes es el origen ) Continuidad: Es inmediato ver que f es continua en su dominio con saltos finitos en los puntos de discontinuidad pero eso lo vemos más claramente en las asíntotas 4) Asíntotas: Verticales: Lím + 0 Tiene una asíntota vertical en Lím Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 4

18 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES Lím 0 T iene una asíntota vertical en Lím Oblicuas m Lím Lím Lím ± ± ± + n Lím Lím Lím Lím Lím ± ± ± ± ± 0 ± Así pues, tiene una asíntota oblicua en y Horizontales No tiene ya que tiene oblicuas en ambos sentidos 5) Simetría: ( ) ( ) f f ( ) f es impar 6) Periodicidad: Es evidente que no es periódica 7) Monotonía y etremos relativos: 0 ( ) 4 4 f '( ) 0 0 Estudiando su ( ) ( ) signo: Luego: f es creciente en (,, + y decreciente en (,,, Es evidente que la función alcanza un máimo relativo en, relativo en, 8) Curvatura y puntos de infleión: ( f '' Para estudiar la curvatura, vemos el signo: Así pues, f es convea en (,0, + infleión en O ( 0,0) ) ) ) y cóncava en ( ) ( ) ) y un mínimo, 0, con un punto de Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 4

19 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES La gráfica queda como sigue: Se propone la actividad 5 0- ACTIVIDADES ACTIVIDADES INTERCALADAS EN LA TEORÍA Actividad : Estudia la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones: a) f ( ) si < 4 si g b) Actividad : Determina los valores de los parámetros a y b para que sea derivable en + si 0 todo su dominio la función: f ( ) + a + b si > 0 si Actividad : Dada la función: f ( ) si > a) Estudia la continuidad y la derivabilidad de f b) Determina las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función en el punto de abscisa Actividad 4: Deriva las siguientes funciones: a) y d) y e + b) 4 e) y + c) y f) y y e e ln + 7 Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 44

20 UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES g) y ln ( ) + i) y ln j) y arccos k) y l) y cos sen m) y ln( e + ) + n) y ln ñ) y ln ( 4 ) o) y sen cos y ln tg q) y arcsen h) y log ( ) p) r) y tg + u) y ln( ) e v) y ln e ) y arctg y) y cos ln + aa) y ln( sen) s) y arctg ( sen ) t) y sen ln( ) ab) y + ac) ad) ( ) + ( + ) y sen cos Actividad 5: Halla la derivada novena en cada caso: w) y sen cos z) y ln( tg ) y ( + ) + a) f ( ) e b) g c) h ( ) ln Actividad 6: Halla la derivada de las siguientes funciones: a) y ( sen) b) y cos c) y Actividad 7: Halla el valor de los siguientes límites: e a) Lím + b) e e Lím 0 sen e + c) Lím 0 d) + + Lím + Actividad 8: Estudia la monotonía de las siguientes funciones: a) f ( ) 4 b) g ( ) + 5 c) h + Actividad 9: Halla los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f ( ) b) g + 5 c) h + + Actividad 0: Halla a, b y c para que la curva el punto ( 0,4 ) y + b + c tenga un máimo relativo en Matemáticas II º de Bachillerato A Prof: Santiago Martín Fernández Página 45

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