Funciones de valores vectoriales

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1 Zill q 6/9/ 8:3 Págin 655 pítulo Funciones e vlores vectoriles ( (t ), (t ), (t )) r (t ) (t ), (t ), (t ) En este cpítulo Un curv en el plno sí como un curv en el espcio triimensionl pueen efinirse meinte ecuciones prmétrics. Al empler ls funciones como componentes en un conjunto e ecuciones prmétrics, poemos construir un función e vlores vectoriles cuos vlores son los vectores e posición e los puntos sobre l curv. En este cpítulo consierremos el cálculo ls plicciones e ests funciones vectoriles.. Funciones vectoriles. álculo e funciones vectoriles.3 Movimiento sobre un curv.4 urvtur celerción Revisión el cpítulo 655

2 Zill q 6/9/ 8:3 Págin APÍTULO Funciones e vlores vectoriles. Funciones vectoriles Introucción Vimos en l sección. que un curv en el plno puee prmetrirse meinte os ecuciones f (t), g(t), t b. () En ciencis e ingenierí muchs veces es conveniente introucir un vector r con ls funciones f g como componentes: r(t) 8 f (t), g(t)9 f (t) i g(t) j, () one i 8, 9 j 8, 9. En est sección se estuin los nálogos e () () en tres imensiones. Funciones e vlores vectoriles Un curv en el espcio triimensionl, o un curv espcil, se prmetri meinte tres ecuciones f (t), g(t), h(t), t b. (3) omo en l sección., l orientción e correspone vlores crecientes el prámetro t. Al empler ls funciones en (3) como componentes, l contrprte en el espcio triimensionl e () es r(t) 8 f (t), g(t), h(t)9 f (t)i g(t) j h(t) k, (4) one i 8,, 9, j = 8,, 9 k 8,, 9. Afirmmos que r en () (4) es un función e vlores vectoriles, o simplemente un función vectoril. omo se ilustr en l FIGURA.., pr un número o t, el vector r(t ) es el vector e posición e un punto P sobre l curv. En otrs plbrs, cuno vrí t, poemos prever l curv como si fuer tr por l punt e flech móvil e r(t). ( (t ), (t )) ( (t ), (t ), (t )) r (t ) (t ), (t ), (t ) r (t ) (t ), (t ) ) Espcio biimensionl b) Espcio triimensionl FIGURA.. Funciones vectoriles en los espcios biimensionl triimensionl Rects Y se io un ejemplo e ecuciones prmétrics sí como l función vectoril e un curv espcil en l sección.5 one nlimos l rect en el espcio triimensionl. Recuere, ls ecuciones prmétrics e un rect L que ps por un punto P (,, ) en el espcio es prlel un vector v 8, b, c9, v, son t, bt, ct, q 6 t 6 q. Ests ecuciones resultn el hecho e que los vectores r r v son prlelos e moo que r r es un múltiplo esclr e v, esto es, r r tv. En consecuenci, un función vectoril e l rect L está por r(t) r tv. L últim ecución se epres en ls forms lterns r(t) 8 t, bt, ct9 r(t) ( t)i ( bt) j ( ct) k. Si r 8,, 9 r 8,, 9 son los vectores e posición e os puntos istintos P P, entonces poemos consierr v r r 8,, 9. Un función vectoril e l rect que ps por los os puntos es r(t) r t(r r ) o r(t) ( t)r tr. (5)

3 Zill q 6/9/ 8:3 Págin 657. Funciones vectoriles 657 Si el intervlo el prámetro es cerro [, b], entonces l función vectoril (5) tr el segmento e rect entre los puntos efinios por r() r(b). En prticulr, si t r = ( - t)r + tr, entonces l orientción es tl que r(t) tr el segmento e rect el punto P l punto P. EJEMPLO Gráfic e un función vectoril Encuentre un función vectoril el segmento e rect el punto P (3,, ) l punto P (, 4, 5). Solución Los vectores e posición corresponientes los puntos os son r 83,, 9 r 8, 4, 59. Entonces, e (5) un función vectoril pr el segmento e rect es r(t) ( t) 83,, 9 t 8, 4, 59 o r(t) 83 t, t, 6t9, one t. L gráfic e l ecución vectoril está en l FIGURA... EJEMPLO Gráfic e un función vectoril Grfique l curv tr por l función vectoril r(t) cos t i sen t j t k, t. Solución Ls ecuciones prmétrics e l curv son = cos t, = sen t, t. Al eliminr el prámetro t e ls primers os ecuciones, ( cos t) ( sen t), observmos que un punto sobre l curv ce en el cilinro circulr 4. omo vertimos en l FIGURA..3 l tbl junt l mism, cuno ument el vlor e t, l curv se enroll hci rrib en un espirl cilínric o un hélice circulr. P (, 4, 5) P (3,, ) FIGURA.. Segmento e rect el ejemplo t / / 3/ 3/ 5/ 5/ 3 3 7/ 7/ 4 4 9/ 9/ 7,,,, 4 3,,,, cilinro 4 9,, 3 5,,,,,,,, FIGURA..3 Gráfic e l función vectoril el ejemplo (,, ) urvs helicoiles L curv en el ejemplo es un e vrios tipos e curvs espciles conocis como curvs helicoiles. En generl, un función vectoril e l form r(t) cos kt i sen kt j ct k (6) escribe un hélice circulr. El número pc>k recibe el nombre e horquill e un hélice. Un hélice circulr es sólo un cso especil e l función vectoril r(t) cos kt i b sen kt j ct k, (7) que escribe un hélice elíptic cuno b. L curv efini por r(t) t cos kt i bt sen kt j ct k (8) se enomin hélice cónic. Por último, un curv por r(t) sen kt cos t i sen kt sen t j cos kt k (9) se llm hélice esféric. En (6)-(9) se supone que, b, c k son constntes positivs. L hélice efini por (6) se enroll hci rrib lo lrgo el eje. L horquill es l seprción verticl e los los e l hélice.

4 Zill q 6/9/ 8:3 Págin APÍTULO Funciones e vlores vectoriles 4, 3 FIGURA..5 írculo en un plno en el ejemplo 4 EJEMPLO 3 urvs helicoiles ) Si se intercmbin, por ejemplo, ls componentes e l función vectoril (7), obtenemos un hélice elíptic que se enroll lterlmente lo lrgo el eje. Por ejemplo, con l u e un SA, l gráfic e l hélice elíptic se muestr en l FIGURA..4). b) L figur..4b) muestr l gráfic e e ilustr por qué un función vectoril e l form en (8) efine un hélice cónic. Pr mor clri, se h eciio suprimir l cj que por omisión roe l sli 3D e Mthemtic. 4 4 r(t) 4 cos t i t j sen t k r(t) t cos t i t sen t j t k 4 ) Hélice elíptic FIGURA..4 urvs helicoiles el ejemplo 3 EJEMPLO 4 Gráfic e un función vectoril Grfique l curv tr por l función vectoril r(t) cos t i sen t j 3k. Solución Ls ecuciones prmétrics e l curv son ls componentes e l función vectoril = cos t, = sen t, 3. omo en el ejemplo, vertimos que un punto sobre l curv ebe cer sobre el cilinro 4. Sin embrgo, puesto que l cooren e culquier punto tiene el vlor constnte 3, l función vectoril r(t) tr un círculo en el plno 3 unies rrib prlelo l plno. Ve l FIGURA b) Hélice cónic 9 9 FIGURA..6 urv e intersección el ejemplo 5 EJEMPLO 5 urv e intersección e os superficies Determine l función vectoril que escribe l curv e intersección el plno el prboloie 9. Solución Primero se prmetri l curv e intersección ejno t. Se euce que t 9 t (t) 9 5t. De cuero con ls ecuciones prmétrics t, t, 9 5t, q 6 t 6 q, vemos que un función vectoril que escribe el tro el prboloie en el plno está por r(t) t i t j (9 5t ) k. Ve l FIGURA..6. EJEMPLO 6 urv e intersección e os cilinros Encuentre l función vectoril que escribe l curv e intersección e los cilinros 3. Solución En el espcio biimensionl l gráfic e es un prábol en el plno por ello en el espcio triimensionl es un cilinro prbólico cuo bstior es perpeniculr l

5 Zill q 6/9/ 8:3 Págin 659. Funciones vectoriles 659 plno, esto es, prlelo l eje. Ve l FIGURA..7). Por otro lo, 3 puee interpretrse como un cilinro cúbico cuo bstior es perpeniculr l plno, esto es, prlelo l eje. Ve l figur..7b). omo en el ejemplo 5, si se ej t, entonces t t 3. Un función vectoril que escribe l curv e intersección e los os cilinros es entonces r(t) t i t j t 3 k, () one q 6 t 6 q ) b) 3 c) FIGURA..7 ) b) os cilinros; c) curv e intersección en el ejemplo 6 5 L curv efini por l función vectoril () recibe el nombre e cúbic tren. on l u e un SA se h grfico r(t) t i t j t 3 k en l FIGURA..8. Ls prtes ) b) e l figur muestrn os perspectivs, o puntos e vist, istints e l curv e intersección e los cilinros 3. En l figur..8c) vertimos l nturle cúbic e utilino un punto e vist que es hci el plno. L cúbic tren tiene vris propiees e interés pr los mtemáticos por ello se estui frecuentemente en cursos vnos e geometrí lgebric ) Vieno hci rrib l curv b) Vieno hci bjo l curv c) Vieno en el plno FIGURA..8 úbico treno el ejemplo 6 Ejercicios. Ls respuests e los problems impres seleccionos comienn en l págin RES-38. Funmentos En los problems -4, encuentre el ominio e l función vectoril... r(t) t 9i 3t j r(t) (t )i ln ( t ) j 3. r(t) t i t j sen t k 4. r(t) e t i cos t j sen t k En los problems 5-8, escrib ls ecuciones prmétrics s como un función vectoril r(t). 5. sen pt, cos pt, cos pt 6. cos t, sen t, t 7. e t, e t, e 3t 8. 6t, 5t,

6 Zill q 6/9/ 8:3 Págin APÍTULO Funciones e vlores vectoriles En los problems 9-, escrib l función vectoril r(t) como ecuciones prmétrics. 9. r(t) t i sen t j cos t k. r(t) t sen t (i k). r(t) ln t i ( t) j t 3 k. r(t) 5 sen t sen 3t i 5 cos 3t j 5 cos t sen 3t k En los problems 3-, grfique l curv tr por l función vectoril que se inic. 3. r(t) sen t i 4 cos t j t k, t 4. r(t) t i cos t j sen t k, t 5. r(t) t i t j cos t k, t 6. r(t) 4i cos t j 3 sen t k 7. r(t) 8e t, e t 9 8. r(t) cosh t i 3 senh t j 9. r(t) H sen t, sen t, cos ti, t p>. r(t) t i t 3 j t k. r(t) e t cos t i e t sen t j e t k. r(t) 8t cos t, t sen t, t 9 En los problems 3 4, grfique l rect cu función vectoril se inic. 3. r(t) (4 4t) i ( t) j 3t k 4. r(t) ( 3t) i (3 t) j 5t k 5. Encuentre un función vectoril pr el segmento e rect en el espcio biimensionl con orientción tl que r(t) tr l rect ese el punto (4, ) hst el (, 3). Dibuje el segmento e rect. 6. Determine un función vectoril pr el segmento e rect en el espcio triimensionl con orientción tl que r(t) tr l rect ese el punto (,, ) hst (,, ). Dibuje el segmento e rect. En los problems 7-3, encuentre l función vectoril r(t) que escribe l curv e intersección entre ls superficies s. Dibuje l curv. Emplee el prámetro inico. 7., ; t 8., ; t 9. 9, 9 ; 3 cos t 3., ; sen t 3., ; t , ; t En los problems 33-36, socie l gráfic inic con un e ls funciones vectoriles en )-). ) r(t) t i cos 3t j sen 3t k b) r(t) sen 6t i t j t k c) r(t) cos t i sen t j ( sen t)k ) r(t) cos 3 t i sen 3 t j 5k FIGURA..9 Gráfic el problem FIGURA.. Gráfic el problem FIGURA.. Gráfic el problem FIGURA.. Gráfic el problem Demuestre que los puntos sobre un hélice cónic 6 4 7, b 7, c 7, cen sobre un cono elíptico cu ecución es c. b r(t) t cos t i bt sen t j ct k,

7 Zill q 6// 3:3 Págin 66. álculo e funciones vectoriles Un vrición e l hélice cónic el problem 37 está por ) ntes e grficr r(t) nlice l orientción e l curv. b) Utilice un SA pr grficr r(t). Eperimente con el intervlo el prámetro el punto e vist e l curv. 39. L función vectoril 7, b 7, c 7, k 7 escribe tmbién un hélice cónic. Demuestre que los puntos sobre est hélice cónic cen sobre un cono elíptico cu ecución está en el problem Un cso especil e l curv en el problem 39 está o por r(t) r(t) t i t cos t j t sen t k. r(t) e kt cos t i be kt sen t j ce kt k, e.5t cos t i ) Emplee un SA pr grficr r(t) en relción con -3 t 3. b) Reemine l figur..4b). Luego iscut l iferenci geométric básic entre l hélice cónic en el problem 37 l que se en el problem Demuestre que los puntos sobre un hélice esféric r(t) sen kt cos t i sen kt sen t j cos kt k cen sobre un esfer e rio 7. e.5t sen t j e.5t k. 4. Un cso especil e l curv en el problem 4 está o por r(t) sen kt cos t i sen kt sen t j cos kt k. Utilice un SA pr grficr r(t) respecto k =,, 3, 4,, t p. Eperimente con iferentes perspectivs e ls gráfics. 43. ) Use un SA pr superponer ls gráfics e los cilinros 4 4 sobre los mismos ejes e coorens. b) Encuentre funciones vectoriles que escribn ls os curvs e intersección e los cilinros. c) Emplee un SA pr ibujr mbs curvs en el inciso b). Superpong ls curvs sobre los mismos ejes e coorens. Eperimente con l perspectiv hst que l visulición e ls gráfics teng sentio. 44. Supong que r(t) es un función vectoril no constnte que efine un curv con l propie r(t), one 7 es un constnte. Describ geométricmente l curv. Problems con clculor/sa 45. Use un SA pr grficr l función vectoril r(t) ( sen t) cos t i ( sen t) sen t j cos t k pr t p. Eperimente con iferentes perspectivs e l gráfic. Discut por qué l curv se enomin un espirl toroil. 46. Utilice un SA pr grficr l función vectoril r(t) cos (rc tn kt)cos t i cos (rc tn kt)sen t j sen (rc tn kt)k pr -p t p k =.,., 3. Eperimente con iferentes perspectivs e l gráfic. L curv se conoce como espirl esféric. En los problems 47 48, emplee un SA pr grficr l función vectoril reltiv los vlores inicos e k. Eperimente con iferentes perspectivs e l gráfic. 47. r(t) sen kt sen t i sen kt cos t j sen t k; k, r(t) sen t i cos t j ln (kt)sen t k; k,. álculo e funciones vectoriles Introucción En est sección consierremos el cálculo e funciones e vlores vectoriles, en otrs plbrs, límites, erivs e integrles e función vectoril. omo los conceptos son similres los que se iscutieron en l sección.3, se recomien un repso e es sección. Límites continui L noción funmentl e límite e un función vectoril r(t) = 8 f (t), g(t), h(t)9 se efine en términos e los límites e ls funciones componentes. Definición.. Límite e un función vectoril Si límf (t), límg(t) límh(t) eiste, entonces límr(t) Hlím f (t), lím g(t), lím h(t)i. () El símbolo t S en l efinición.. puee, ese luego, sustituirse por t S +, t S -, t Sq, o t S-q.

8 Zill q 6/9/ 8:3 Págin APÍTULO Funciones e vlores vectoriles omo un consecuenci inmeit e l efinición.., tenemos el siguiente resulto. Teorem.. Propiees e los límites Supong que es un número rel lím r (t)lím r (t) eiste. Si lím r (t) = L lím r (t) = L, entonces i) lím cr (t) cl, c un esclr ii) lím [r (t) r (t)] L L iii) lím r (t). r (t) L. L. Definición.. ontinui Un función vectoril r es continu en el número si i) r() es efinio, ii) límr(t) eiste iii) límr(t) = r(). Equivlentemente l función vectoril r(t) 8 f (t), g(t), h(t)9 es continu en un número si sólo si ls funciones componentes f, g h son continus en. Por breve, menuo firmmos que un función vectoril r(t) es continu en un número si lím r(t) r(). () Escribieno () se supone que ls coniciones i) ii) e l efinición.. se cumplen en un número. Deriv e un función vectoril L efinición e eriv r (t) e un función vectoril r(t) es el equivlente vectoril e l efinición 3... En l siguiente efinición se sume que h represent un número rel istinto e cero. Definición..3 Deriv e un función vectoril L eriv e un función vectoril r es r(t h) r(t) r (t) lím hs h pr to t pr l cul eiste el límite. (3) L eriv e r tmbién se escribe r>t. El siguiente teorem muestr que en un nivel práctico, se obtiene l eriv e un función vectoril iferencino simplemente sus funciones componentes. Teorem.. Diferencición Si ls funciones componentes f, g h son iferencibles, entonces l eriv e l función vectoril r(t) está por r (t) 8 f (t), g (t), h (t)9. (4)

9 Zill q 6/9/ 8:3 Págin 663. álculo e funciones vectoriles 663 DEMOSTRAIÓN De (3) tenemos urvs suves uno ls funciones componentes e un función vectoril r tienen primers erivs continus r (t) pr to t en un intervlo bierto (, b), entonces r se ice que es un función suve l curv tr por r se enomin curv suve. Interpretción geométric e r (t) Si el vector r (t) eiste no es en el punto P sobre l curv efini por l función vectoril r(t), entonces l eriv r (t) se efine como el vector tngente l curv en P. L justificción e lo nterior es similr l iscusión que llevó l efinición.7. en l sección.7. omo puee verse en ls FIGURAS..) b), pr h 7 el vector r(t h) r(t) el múltiplo esclr r(t h) r(t) r(t h) r(t) h h son prlelos. Suponieno que el límite eiste, entonces los vectores r(t) r(t h) se vuelven c ve más cercnos cuno h S. omo sugieren ls figurs..b) c), l posición límite el vector [r(t h) r(t)]>h es un vector sobre l rect tngente en P. Tmbién efinimos l rect tngente como l rect que ps por P que es prlel l vector r (t). P r(t) r (t) rect tngente r(t h) lím [8 f (t h), g(t h), h(t h)9 8f (t), g(t), h(t)9] hs h lím hs r(t h) r(t) f (t h) f (t) h, h 8 f (t), g (t), h (t)9. g(t h) g(t), h f (t h) f (t) h lím, g(t h) g(t) lím, h(t h) h(t) lím i hs h hs h hs h r(t h) r(t) lím hs h P r(t) rect tngente r(t h) r(t h) r(t) h h(t h) h(t) i h P r(t) rect tngente r(t) ) Vector secnte b) Múltiplo esclr el vector secnte FIGURA.. Vector tngente en P sobre un curv c) Vector tngente EJEMPLO El vector r (t) onsiere l curv en el espcio biimensionl que es tr por un punto P cu posición está por r(t) = cos t i + sen t j, - p t p. Encuentre l eriv r (t) grfique los vectores r () r (p>6). Solución L curv es suve ebio que ls funciones componentes e r(t) = cos t i + sen t j tienen erivs continus r(t) sobre el intervlo bierto (p>, p>). De (4), r (t) sen t i cos t j. En consecuenci, r () j r (p>6) 3i 3j. Pr grficr primero eliminmos el prámetro e ls ecuciones prmétrics = cos t, = sen t: cos t cos t sen t sen t. Puesto que p> t p>, vertimos que l curv es l porción e l prábol sobre el intervlo efinio por. Los vectores r () r (p>6) se ibujn tngentes l curv en (, ) A, B, respectivmente. Ve l FIGURA... r 6 r(), (, ) FIGURA.. urv vectores el ejemplo

10 Zill q 6/9/ 8:3 Págin APÍTULO Funciones e vlores vectoriles EJEMPLO Ecuciones prmétrics Encuentre ls ecuciones prmétrics e l rect tngente l curv cus ecuciones prmétrics son t, t t, 7t en el punto corresponiente t 3. Solución L función vectoril que prouce l posición e un punto P sobre l curv está por r(t) t i (t t) j 7t k. Ahor, r (t) t i (t ) j 7k r (3) 6i 5j 7k. El vector r (3) es tngente en el punto P cuo vector e posición es esto es, en el punto P(9, 6, ). Al empler ls componentes e r (3), vertimos que ls ecuciones prmétrics e l rect tngente son Derivs e oren superior Ls erivs e oren superior e un función vectoril se obtienen tmbién iferencino sus componentes. En el cso e l segun eriv, tenemos r (t) 8 f (t), g (t), h (t)9 f (t)i g (t) j h (t)k. (5) EJEMPLO 3 Vectores r (t) r (t) Si r(t) (t 3 t )i 4t j e t k, entonces r(3) 9i 6j k, 9 6t, 6 5t, 7t. r (t) (3t 4t) i 4 j e t k r (t) (6t 4)i e t k. En el siguiente teorem se enlistn lguns regls e iferencición pr funciones vectoriles. Teorem..3 Regls e iferencición onsiere que r, r r son funciones vectoriles iferencibles f (t) es un función esclr iferencible. i) t [r (t) r (t)] r (t) r (t) ii) [ f (t)r(t)] f (t)r (t) f (t) r (t) t iii ) [r( f (t))] r ( f (t)) f (t) (regl e l cen) t iv) t [r (t). r (t)] r (t). r (t) r (t). r (t) v) t [r (t) r (t)] r (t) r (t) r (t) r (t) DEMOSTRAIÓN DE iv ) Si r (t) = 8 f (t), g (t), h (t)9 r (t) = 8 f (t), g (t), h (t)9, entonces por () e l sección.3 el proucto punto es l función esclr r (t). r (t) f (t) f (t) g (t)g (t) h (t)h (t). Después e usr l regl el proucto grupmos los términos en rojo los términos que se muestrn en ul: t r (t). r (t) t f (t) f (t) f (t) f (t) f (t) f (t) g (t)g (t) g (t) g (t) h (t)h (t) h (t) h (t) 8 f (t), g (t), h (t)9. 8 f (t), g (t), h (t)9 8 f (t), g (t), h (t)9. 8 f (t), g (t), h (t)9 r (t). r (t) t g (t)g (t) r (t). r (t). t h (t)h (t) Not: Puesto que el proucto cru e os vectores no es conmuttivo, el oren en el cul r r precen en l prte v) el teorem..3 ebe observrse estrictmente. Dese luego, en iv) v) poemos efectur el proucto punto el proucto cru primero espués iferencir el esclr o l función vectoril resultntes.

11 Zill q 6/9/ 8:3 Págin 665 Integrles e funciones vectoriles Si r(t) f (t)i g(t) j h(t)k es un función vectoril continu sobre el intervlo [, b], entonces l integrl inefini e r está efini por L integrl inefini e r es otro vector R, one es un vector constnte, tl que R (t) r(t). Debio l continui e ls funciones componentes f, g h, l integrl efini e r(t) sobre [, b] puee efinirse como En otrs plbrs, b r(t)t b r(t)t c f (t) t i c g(t) t j c h(t) t k. n lím nsq k n nsq k c lím r(t)t r(t * k) t f (t * k) t i El teorem funmentl el cálculo, etenio funciones vectoriles, es one R es un función vectoril tl que R (t) r(t). c b b r(t)t f (t)t i n nsq k c lím c R(t) b b g(t * k) t j g(t)t j R(b) c R(), c lím b n nsq k h(t)t k. h(t * k) t k.. álculo e funciones vectoriles 665 EJEMPLO 4 Integrles ) Si r(t) 6t i 4e t j 8 cos 4t k, entonces r(t)t c 6t t i c 4e t t j c 8 cos 4t t k one c i c j c 3 k. Ls componentes c, c c 3 el último vector son constntes reles rbitrris. b) Si r(t) (4t 3)i t j k, entonces t [t 3 c ]i [ e t c ] j [ sen 4t c 3 ] k t 3 i e t j sen 4t k, r(t)t (t 3t)i 4t 3 j tn t k i 4j. p 4 kb 5i 4j. p 4 kb 6i 8j pk. Longitu e un curv espcil En l sección.3 vimos que l fórmul e l longitu e rco pr un curv suve en el espcio biimensionl efini por ls ecuciones prmétrics f (t), g(t), t b, es b b L [ f (t)] [g (t)] t B t b t b t. De mner similr, si es un curv suve en el espcio triimensionl efini por ls ecuciones prmétrics f (t), g(t), h(t), t b, entonces como hicimos en l sección.3 poemos construir un integrl efini utilino un trectori poligonl, como se ilustr en l FIGURA..3, pr llegr l integrl efini L b [ f (t)] [g (t)] [h (t)] t b B t b t b t b t (6) (ƒ(), g(), h()) FIGURA..3 Aproimción e l longitu e (ul) por meio e l longitu e un trectori poligonl (rojo) (ƒ(b), g(b), h(b))

12 Zill q 6// 3:4 Págin APÍTULO Funciones e vlores vectoriles que efine l longitu L e l curv entre los puntos ( f (), g(), h()) ( f (b), g(b), h(b)). Si l curv se tr por meio e un función suve e vlores vectoriles r(t), entonces su longitu entre el punto inicil en t = el punto terminl en t = b puee epresrse en términos e l mgnitu e r (t): L En (7), r (t) es r (t) [ f (t)] [g (t)] o r (t) [ f (t)] [g (t)] [h (t)] epenieno e si está en el espcio biimensionl o triimensionl, respectivmente. b r (t) t. (7) Revise (5) en l sección 6.5. Función e l longitu e rco L integrl efini t s(t) r (u) u se llm l función e longitu e rco pr l curv. En (8) el símbolo u es un vrible e integrción sustitut. L función s(t) represent l longitu e entre los puntos sobre l curv efini por los vectores e posición r() r(t). Muchs veces es útil prmetrir un curv suve en el plno o en el espcio en términos e l longitu e rco s. Al evlur (8) se epres s como un función el prámetro t. Si poemos resolver es ecución pr t en términos e s, entonces es fctible epresr r(t) = 8 f (t), g(t)9 o r(t) = 8 f (t), g(t), h(t)9 como r(s) = 8(s), (s)9 o r(s) = 8(s), (s), (s)9. El siguiente ejemplo ilustr el proceimiento pr eterminr un prmetrición e longitu e rco r(s) pr un curv. (8) EJEMPLO 5 Un prmetrición e longitu e rco Encuentre un prmetrición e longitu e rco e l hélice circulr el ejemplo e l sección.: r(t) = cos t i + sen t j + t k. Solución De r (t) = - sen t i + cos t j + k se encuentr r (t) 5. Se euce e (8) que l longitu e l curv empeno en r() hst un punto rbitrrio efinio por r(t) es s t Al resolver s 5t pr t se encuentr que t s> 5. Al sustituir respecto t en r(t) obtenemos un función vectoril e l hélice como un función e l longitu e rco: r(s) Ls ecuciones prmétrics e l hélice son entonces s cos 5, sen s 5, s 5. t 5 u 5u 5t. s cos 5 i sen s 5 j s 5 k. (9) Aviert que l eriv e l función vectoril (9) respecto l longitu e rco s es Es prticulrmente fácil encontrr un prmetrición e longitu e rco e un rect r(t) r tv. Ve el problem 49 en los ejercicios.. su mgnitu es r (s) r (s) 5 sen s 5 i 5 cos s 5 j 5 k 4 s A 5 sen 5 4 s 5 cos A 5 El hecho e que r (s) inic que r (s) es un vector unitrio. Esto no es coincienci. omo hemos visto, l eriv e un función vectoril r(t) con respecto l prámetro t es un vector.

13 Zill q 6/9/ 8:3 Págin 667 tngente l curv tr por r. Sin embrgo, si l curv se prmetri en términos e l longitu e rco s, entonces: L eriv r (s) es un vector tngente unitrio. () Pr ver por qué esto es sí, recuere que l form e l eriv el teorem funmentl el cálculo, teorem 5.5., muestr que l eriv e (8) con respecto t es s () t r (t). Sin embrgo, si l curv es escrit por un prmetrición e longitu e rco r(s), entonces (8) muestr que l longitu s e l curv e r() r(s) es s s r (u) u. omo, l eriv e () con respecto s es s s En l siguiente sección veremos por qué () es importnte. s r (s) o r (s). s. álculo e funciones vectoriles 667 () Ejercicios. Ls respuests e los problems impres seleccionos comienn en l págin RES-39. Funmentos En los problems -4, evlúe el límite o o enuncie que éste no eiste lím h t ts t, 5t t, et i t 4. En los problems 5 6, supong que límr (t) i j k Encuentre el límite o. 5. lím [t 3 i t 4 j t 5 k] ts lím ts lím tsq h sen t c i (t ) t 5 j t ln t k e t e t t, e t e t lím[ 4r (t) 3r (t)] 5, tn t i límr (t) i 5j 7k. En los problems 7 8, etermine si l función vectoril inic es continu en t. 7. r(t) (t t)i j ln (t )k t 8. r(t) sen pt i tn pt j cos pt k En los problems 9, encuentre los os vectores inicos pr l función vectoril. r(.) r() 9. r(t) (3t )i 4t j (5t t) k; r (),.. r(t) 5t i r(.5) r() (3t t)j(t) 3 k; r (),.5 6. lím r (t). r (t) En los problems -4, etermine r (t) r (t) pr l función vectoril.. r(t) ln t i t j, t 7. r(t) 8t cos t sen t, t cos t9 3. r(t) 8te t, t 3, 4t t9 4. r(t) t i t 3 j tn t k En los problems 5-8, grfique l curv que es escrit por r(t) grfique r (t) en el punto corresponiente l vlor inico e t. 5. r(t) cos t i 6 sen t j; t p>6 6. r(t) t 3 i t j; t 7. r(t) i t j 4 t k; t 8. r(t) 3 cos t i 3 sen t j t k; t p>4 En los problems 9, encuentre ecuciones prmétrics e l rect tngente l curv en el punto corresponiente l vlor que se inic e t. 9. t, t, 3 t3 ; t. t 3 t, 6t t, (t ) ; t En los problems, etermine un vector tngente unitrio pr l curv en el punto corresponiente l vlor que se inic e t. Encuentre ecuciones prmétrics e l rect tngente en este punto.. r(t) te t i (t t)j (t 3 t)k; t. r(t) ( sen 3t)i tn t j t k; t p

14 Zill q 6/9/ 8:3 Págin APÍTULO Funciones e vlores vectoriles En los problems 3 4, encuentre un función vectoril e l rect tngente l curv en el punto corresponiente l vlor que se inic e t. 3. r(t) 8cos t, sen t, t9; t p>3 4. r(t) 86e t>, e t, e 3t 9; t En los problems 5-3, etermine l eriv inic. Supong que tos ls funciones vectoriles son iferencibles. 5. [r(t) r (t)] t t [r(t). (r (t) r (t))] t [r (t) r (>t)] 3. t [r(t). (t r(t))] t [r (t) (r (t) r 3 (t))] t [t3 r(t )] En los problems 3-34, evlúe l integrl (t i 3t j 4t 3 k) t A t i t j sen pt kb t (te t i e t j te t k) t 34. t (i t j t k) t En los problems 35-38, encuentre un función vectoril que stisfg ls coniciones inics. r(t) 35. r (t) 6i 6t j 3t k; r() i j k 36. r (t) t sen t 3 i cos t j; r() i 37. r (t) t i 3t > j k; r () j, r() i k 38. r (t) sec t i cos t j sen t k; r () i j k, r() j 5k En los problems 39-4, encuentre l longitu e l curv tr por l función vectoril en el intervlo que se inic. 39. r(t) cos t i sen t j ct k; t p 4. r(t) t i t cos t j t sen t k; t p 4. r(t) e t cos t i e t sen t j e t k; t 3p 4. r(t) 3t i 3t j 3 t 3 k; t En los problems 43-46, emplee (8) l integrción e u = u = t pr eterminr un prmetrición e longitu e rco r(s) pr l curv. Verifique que r (s) es un vector unitrio. 43. r(t) 9 sen t i 9 cos t j 44. r(t) 5 cos t i t j 5 sen t k 45. r(t) ( t)i (5 3t)j ( 4t)k 46. r(t) e t cos t i e t sen t j k Piense en ello 47. Supong que r es un función vectoril iferencible pr l cul r(t) c pr to t. Demuestre que el vector tngente r (t) es perpeniculr l vector e posición r(t) pr to t. 48. Si v es un vector constnte r(t) es integrble sobre [, b], emuestre que b v. r (t) t v. b r (t) t. 49. Supong que r(t) r tv es un ecución vectoril e un rect, one r v son vectores constntes. Utilice l función e longitu e rco s t r (u) u pr emostrr que un prmetrición e longitu e rco v e l rect está por r(s) r s. Demuestre v que r (s) es un vector unitrio. En otrs plbrs, pr obtener un prmetrición e longitu e rco e un rect sólo se necesit normlir l vector v. 5. Emplee los resultos el problem 49 pr encontrr un prmetrición e longitu e rco e c un e ls siguientes rects. ) r(t) 8 3t, 4t9 8, 9 t83, 49 b) r(t) 8 t, t, t9.3 Movimiento sobre un curv Introucción Supong que un prtícul o cuerpo se mueve lo lrgo e l curv e mner que su posición en el tiempo t está por l función e vlores vectoriles r(t) f (t)i g(t)j h(t)k. Poemos escribir l veloci l celerción e l prtícul en términos e erivs e r(t). Veloci celerción Si f, g h tienen seguns erivs, entonces los vectores v(t) (t) r (t) r (t) f (t)i f (t)i g (t) j g (t) j h (t)k h (t)k () () se enominn l veloci l celerción e l prtícul, respectivmente. L función esclr v(t) r (t) [ f (t)] [g (t)] [h (t)] (3) es l rpie e l prtícul. L rpie se relcion con l longitu e rco. De (7) e l sección. se observ que si un curv es tr por un función e vlores vectoriles suve

15 Zill q 6/9/ 8:3 Págin Movimiento sobre un curv 669 r(t), entonces su longitu entre el punto inicil en t = el punto terminl en t = b está por L b r (t) t. En vist e () (3), esto es lo mismo que L Si P(,, ) es l posición e l prtícul sobre l curv en el tiempo t, entonces en vist e l iscusión en l sección. cerc e l interpretción geométric e r (t) concluimos que v(t ) es tngente l curv en P. Se hcen comentrios similres pr curvs trs por l función vectoril r(t) f (t)i g(t)j. EJEMPLO Gráfic e l veloci l celerción L posición e un prtícul en movimiento está por r(t) t i t j 5 t k. Grfique l curv efini por r(t) los vectores v() (). Solución Puesto que t, t, l trectori e l prtícul está por rrib e l prábol que ce en el plno. uno t =, el vector e posición r() 4i j 5k inic que l prtícul está en el punto P(4,, 5) sobre. Ahor, 5 v(t) r (t) t i j k (t) r (t) i 5 e moo que v() 4i j k () i. Estos vectores se ilustrn en l FIGURA.3.. Si un prtícul se mueve con un rpie constnte c, entonces su vector e celerción es perpeniculr l vector e veloci v. Pr ver lo nterior, viert que Diferencimos mbos los con respecto t, con l u el teorem..3iv) obtenemos t (v. v) v. v t b v t. v v(t) t. v c o v. v c. v. v t v Entonces, (5) t. v o (t). v(t) pr to t. EJEMPLO Gráfic e l veloci l celerción Supong que l función vectoril el ejemplo 4 e l sección. represent l posición e un prtícul que se mueve en un órbit circulr. Grfique los vectores e veloci celerción en t p>4. Solución L función e vlores vectoriles r(t) cos t i sen t j 3k es el vector e posición e un prtícul que se mueve en un órbit circulr e rio en el plno 3. uno t p4, l prtícul está en el punto P A,, 3B. En este cso, v(t) r (t) sen t i cos t j (t) r (t) cos t i sen t j. Puesto que l rpie v(t) es constnte pr too tiempo t, se sigue e (5) que (t) es perpeniculr v(t). (Verifique lo nterior.) omo se muestr en l FIGURA.3., los vectores v p 4 b sen p 4 i cos p j 4 i j p 4 b cos p 4 i sen p j 4 i j se ibujn en el punto P. El vector v(p>4) es tngente l trectori circulr en tnto que (p>4) punt lo lrgo e un rio hci el centro el círculo.. (4) v() () (4,, ) FIGURA.3. Vectores e veloci celerción el ejemplo FIGURA.3. Vectores e veloci celerción el ejemplo P(4,, 5) 4 v 4 plno 3 P(,, 3)

16 Zill q 6/9/ 8:3 Págin APÍTULO Funciones e vlores vectoriles Acelerción centrípet Pr el movimiento circulr en el plno, escrito meinte r(t) r cos vti + r sen vtj, r constntes, es eviente que r r. Esto signific que el vector celerción (t) r (t) punt en l irección opuest l el vector e posición r(t). Afirmmos entonces que (t) es l celerción centrípet. Ve l FIGURA.3.3. Si v(t) (t), se ej como ejercicio emostrr que >r. Ve el problem 7 en los ejercicios.3. El proectil se ispr o ln en ve e utoimpulsrse. En el nálisis el movimiento e blístic e lrgo lcnce, ebe tomrse en cuent l curvtur e l Tierr. v(t ) FIGURA.3.3 Vector e celerción centrípet ( sen ) j s j r(t ) FIGURA.3.4 v(t ) v ( cos ) i (t ) Proectil blístico Movimiento curvilíneo en el plno Muchs plicciones importntes e ls funciones vectoriles ocurren en l escripción el movimiento curvilíneo en un plno. Por ejemplo, los movimientos plnetrios e proectiles se efectún en un plno. Al nlir el movimiento e proectiles blísticos e corto lcnce, se empie con l celerción e l grve escrit en form vectoril (t) gj. Si, como se ilustr en l FIGURA.3.4, se ln un proectil con un veloci inicil v = v cos ui + v sen uj, ese un ltur inicil s s j, entonces v(t) (gj)t gt j, one v() v implic que v. Por tnto, v(t) ( cos u) i ( gt sen u) j. Al integrr e nuevo utilir r() s se obtiene r(t) ( cos u)t i c gt ( sen u)t s j. Por consiguiente, ls ecuciones prmétrics pr l trectori el proectil son (t) ( cos u)t, (t) gt ( sen u)t s. (6) Ve (3) e l sección.. Eiste un interés nturl en eterminr l ltur máim H l istnci horiontl R máim, o lcnce, l que lleg el proectil. omo se muestr en l FIGURA.3.5, ests cnties son los vlores máimos e (t) (t), respectivmente. Pr clculr estos vlores se eterminn los tiempos t t 7 pr los cules (t ) (t ), respectivmente. Luego H má (t ) R má (t ). (7) H R ) Altur máim H b) Alcnce R FIGURA.3.5 Altur lcnce máimos e un proectil EJEMPLO 3 Movimiento e proectiles Un obús es lno ese el nivel el suelo con un rpie inicil e 768 pies/s un ángulo e elevción e 3. Encuentre ) l función vectoril ls ecuciones prmétrics e l trectori el obús, b) l ltur máim lcn, c) el lcnce el obús ) l rpie en el impcto. Solución ) En términos e vectores, l posición inicil el proectil es s su veloci inicil correspone v (768 cos 3 )i (768 sen 3 ) j 3843i 384 j. (8)

17 Zill q 6/9/ 8:3 Págin 67.3 Movimiento sobre un curv 67 Al integrr (t) 3j utilir (8), se obtiene v(t) A3843Bi (3t 384) j. (9) Al integrr (9) empler s se encuentr l función vectoril r(t) A3843tB i (6t 384t) j. Por consiguiente, ls ecuciones prmétrics e l trectori el obús son (t) 3843t, (t) 6t 384t. () b) De () vertimos que >t cuno 3t 384 o t. Entonces, e cuero con l primer prte e (7), l ltur máim H lcn por el obús es H () 6() 384() 34 pies. c) De (6) vemos que (t) cuno 6t (t 4) o t, t 4. De l segun prte e (7), el lcnce R el obús es R (4) 3843(4) pies. ) De (9) obtenemos l rpie e impcto el obús: v(4) A3843B ( 384) 768 pies/s. r(t) NOTAS DESDE EL AULA En l págin 667 vimos que l ts e cmbio e l longitu e rco L>t es l mism que l rpie v(t) r (t). Sin embrgo, como veremos en l siguiente sección, no se euce que l celerción esclr L>t es l mism que (t) r (t). Ve el problem 8 en los ejercicios.3. Ejercicios.3 Ls respuests e los problems impres seleccionos comienn en l págin RES-39. Funmentos En los problems -8, r(t) es el vector e posición e un prtícul en movimiento. Grfique l curv los vectores e veloci celerción en el tiempo inico. Encuentre l rpie en ese tiempo.. r(t) t i 4 t4 j; t. r(t) t i t j; t 3. r(t) cos h t i sen h t j; t 4. r(t) cos t i ( sen t) j; t p>3 5. r(t) i (t ) j t k; t 6. r(t) t i t j t 3 k; t 7. r(t) t i t j t 3 k; t 8. r(t) t i t 3 j t k; t 9. Supong que r(t) t i (t 3 t) j (t 5t)k es el vector e posición e un prtícul en movimiento. ) En qué puntos l prtícul ps por el plno? b) uáles son su veloci celerción en los puntos el inciso )?. Supong que un prtícul se mueve en el espcio e mner que (t) pr too tiempo t. Describ su trectori.. Un obús se ln ese el nivel el suelo con un rpie inicil e 48 pies/s un ángulo e elevción e 3. Encuentre: ) un función vectoril ls ecuciones prmétrics e l trectori el obús, b) l ltur máim lcn, c) el lcnce el obús ) l rpie en el impcto.. Vuelv trbjr el problem si el obús se ln con l mism rpie inicil el mismo ángulo e elevción pero ese un cntilo 6 pies e ltur. 3. Un utomóvil se empuj con un rpie e 4 pies/s ese un escrpo cntilo frente l mr que tiene un ltur e 8 pies. Encuentre l rpie l cul el utomóvil golpe el gu. 4. Un pequeño proectil se ln ese el nivel el suelo con un rpie inicil e 98 m/s. Encuentre los ángulos posibles e elevción e mner que su lcnce se e 49 m. 5. Un mriscl e cmpo e futbol mericno ln un bomb e rs un ángulo e 45 con respecto l horiontl. uál es l rpie inicil el blón en el punto e lnmiento? 6. Un mriscl e cmpo ln un blón e futbol con l mism rpie inicil un ángulo e 6 ese l horiontl espués un ángulo e 3 ese l horiontl. Muestre que el lcnce el blón es el mismo en c cso. Generlice este resulto pr culquier ángulo e lnmiento 6 u 6 p>.

18 Zill q 6/9/ 8:3 Págin APÍTULO Funciones e vlores vectoriles 7. Supong que r(t) = r cos vt i + r sen vt j es el vector e posición e un objeto que se está movieno en un círculo e rio r en el plno. Si v(t), muestre que l mgnitu e l celerción centrípet es = (t) = > r. 8. El movimiento e un prtícul en el espcio triimensionl se escribe meinte l función vectoril ) lcule v(t). b) lcule l función e longitu e rco s(t) = t v(u) u verifique que s>t es l mism que el resulto el inciso ). c) Verifique que s>t (t). Aplicciones r(t) b cos t i b sen t j ct k, t. 9. Se ln un proectil ese un cñón irectmente un blnco que se ej cer ese el reposo en form simultáne cuno se ispr el cñón. Demuestre que el proectil golperá l blnco en el ire. Ve l FIGURA.3.6. [Sugerenci: Supong que el origen está en l boc el cñón que el ángulo e elevción es u. Si r p r t son los vectores e posición el proectil el blnco, respectivmente, h lgún tiempo en el cul r p r t?] FIGURA.3.6 ñón blnco el problem 9. Pr r bsto ls víctims e un esstre nturl, se ejn cer simplemente equipo sólio resistente sí como pquetes e suministros e limentos/meicins ese viones que vueln horiontlmente bj rpie ltur. Un vión e suministros vij horiontlmente sobre un blnco un ltur e 4 pies un rpie constnte e 8 mi/h. Emplee () pr eterminr l istnci horiontl que recorre un pquete e suministros con relción l punto ese el cul se ejó cer. A qué ángulo e l líne visul ebe soltrse el pquete e suministro pr que é en el blnco inico en l FIGURA.3.7? pquete e suministro blnco 4 pies FIGURA.3.7 Avión e suministro el problem. El peso efectivo w e e un cuerpo e ms m en el ecuor e l Tierr se efine meinte w e mg m, one es l mgnitu e l celerción centrípet en el problem 7. Determine el peso efectivo e un person e 9 lb si el rio e l Tierr es e 4 mi, g 3 pies/s 53 pies/s.. onsiere un ciclist que vij sobre un pist circulr pln e rio r. Si m es l ms combin el ciclist l biciclet, llene los blncos e l FIGURA.3.8. [Sugerenci: Refiérse l problem 7 fuer ms * celerción. Supong que ls irecciones positivs son hci rrib l iquier.] El vector resultnte U l irección l cul el ciclist ebe inclinrse pr evitr cer. Encuentre el ángulo f respecto e l verticl l cul el ciclist ebe inclinrse si su rpie es e 44 pies/s el rio e l pist es e 6 pies. resultnte U, fuer centrípet, FIGURA.3.8 iclist el problem 3. Emplee el resulto que se obtuvo en (6) pr emostrr que l trectori e un proectil blístico es prbólic. 4. Se ln un proectil con un rpie inicil ese el suelo un ángulo e elevción u. Emplee (6) pr emostrr que l ltur el lcnce máimos el proectil son H sen u g respectivmente. 5. L veloci e un prtícul que se mueve en un fluio se escribe por meio e un cmpo e velocies v = i + j + 3 k, one ls componentes, 3 son funciones e,, el tiempo t. Si l veloci e l prtícul es v(t) 6t i 4t j t ( )k, etermine r(t). [Sugerenci: Emplee seprción e vribles. Ve l sección 8. o l sección 6..] 6. Supong que m es l ms e un prtícul en movimiento. L segun le el movimiento e Newton puee escribirse en form vectoril como F m p (mv) t t, one p mv se enomin el momento linel. El momento ngulr e l prtícul respecto l origen se efine como L r p, one r es el vector e posición. Si el movimiento e torsión e l prtícul lreeor el origen es T r F r p>t, emuestre que t es l ts e cmbio en el tiempo el momento ngulr. 7. Supong que el Sol se locli en el origen. L fuer grvitcionl F ejerci sobre un plnet e ms m por el Sol e ms M es F k Mm r u., R fuer ejerci por l pist el opuesto el peso combino e l biciclet l person sen u, g

19 Zill q 6// 3:7 Págin urvtur celerción 673 F es un fuer centrl, esto es, un fuer irigi lo lrgo el vector e posición r el plnet. Aquí k es l constnte grvitcionl (ve l págin 369), r r, u (>r)r es un vector unitrio en l irección e r, el signo menos inic que F es un fuer trctiv, esto es, un fuer irigi hci el Sol. Ve l FIGURA.3.9. ) Emplee el problem 6 pr emostrr que el momento e torsión que ctú sobre el plnet ebio est fuer centrl es. b) Eplique por qué el momento ngulr L el plnet es constnte. Sol FIGURA.3.9 Vector e fuer centrl F el problem 7 Piense en ello 8. Un cñón ln un bl horiontlmente como se inic en l FIGURA.3.. ) unto mor es l cnti e pólvor que se utili, tnto mor result l veloci inicil v e l bl e cñón mor l istnci l que lleg. on rgumentos mtemáticos sólios eplique l rón. b) Si se ignor l resistenci el ire, eplique por qué l bl e cñón siempre lcn el suelo en el mismo tiempo, inepenientemente el vlor e l veloci inicil v 7. c) Si l bl e cñón se suelt simplemente ese l ltur s que se inic en l figur.3., muestre que el tiempo en el que golpe el suelo es el mismo que el tiempo en el inciso b). FIGURA.3. ñón el problem 8 M r F Plnet m Bl e cñón que se ej cer v s Proectos 9. En este proecto uste emplerá ls propiees e ls secciones.4. pr emostrr l primer le e Kepler el movimiento plnetrio. L órbit e un plnet es un elipse con el Sol en un foco. Se supone que el Sol es e ms M está ubico en el origen, r es el vector e posición e un cuerpo e ms m que se mueve bjo l trcción grvitcionl el Sol u (>r)r es un vector unitrio en l irección e r. ) Emplee el problem 7 l segun le el movimiento e Newton F m pr emostrr que r t km r u. b) Utilice el inciso ) pr emostrr que r r. c) Utilice el inciso b) pr emostrr que (r v). t ) Se euce el inciso c) que r v c, one c es un vector constnte. Demuestre que c r (u u ). e) Demuestre que t (u. u) consecuentemente u. u. f ) Utilice los incisos ), ) e) pr emostrr que t (v c) km u t. g) Después e integrr el resulto en el inciso f ) respecto t, se euce que v c kmu, one es otro vector constnte. Efectúe el proucto punto en mbos los e est últim epresión con el vector r ru utilice el problem 6 e los ejercicios.4 pr emostrr que r c >km (>km) cos u, one c c, = u es el ángulo entre r. h) Eplique por qué el resulto el inciso c) prueb l primer le e Kepler. i) En el perihelio (ve l págin 595), los vectores r v son perpeniculres tienen mgnitues r, respectivmente. Emplee est informción los incisos ) g) pr emostrr que c r r km..4 urvtur celerción Introucción Se un curv suve en el espcio biimensionl o triimensionl que es tr por l función e vlores vectoriles r(t). En est sección consierremos con mor etlle el vector celerción (t) r (t), introucio en l sección nterior. Sin embrgo, ntes e hcer esto, es necesrio eminr un cnti esclr llm curvtur e un curv.

20 Zill q 6/9/ 8:3 Págin APÍTULO Funciones e vlores vectoriles T T T T P 3 T T P FIGURA.4. El vector tngente cmbi con respecto l longitu e rco T T P T urvtur Si r(t) efine un curv, entonces se sbe que r (t) es un vector tngente en un punto P sobre. En consecuenci, r (t) T(t) () r (t) es un tngente unitri. Sin embrgo, es necesrio recorr el finl e l sección. que si es prmetri por un longitu e rco s, entonces l tngente unitri l curv tmbién está por r>s. omo vimos en () e l sección.3, l cnti r (t) en () se relcion con l función e longitu e rco s por meio e s>t r (t). Puesto que l curv es suve, se sbe e l págin 667 que s>t 7. Por consiguiente, meinte l regl e l cen, P r t r s s t por ello r s r t st r (t) T(t). r (t) () Supong hor que es como se ilustr en l FIGURA.4.. onforme s ument, T se mueve lo lrgo e cmbino irección pero no longitu (siempre es e longitu unitri). A lo lrgo e l prte e l curv entre P el vector T vrí poco en irección; lo lrgo e l curv entre P P 3, one se obl obvimente en form más pronunci, el cmbio en l irección e l tngente T es más pronuncio. Utiliremos l ts l cul el vector unitrio T cmbi e irección respecto l longitu e rco como un inicor e l curvtur e un curv suve. Definición.4. urvtur Se r(t) un función vectoril que efine un curv suve. Si s es el prámetro e longitu e rco T r>s es el vector tngente unitrio, entonces l curvtur e en un punto P se efine como T k ` s `. (3) El símbolo k en (3) es l letr grieg kpp. Ahor, puesto que ls curvs menuo no se prmetrin por meio e l longitu e rco, es conveniente epresr (3) en términos e un prámetro generl t. Al empler e nuevo l regl e l cen, es posible escribir T t T s s t consecuentemente En otrs plbrs, l curvtur efini en (3) prouce k(t) T (t). r (t) T s T/t s/t. (4) Grn curvtur Pequeñ curvtur FIGURA.4. urvtur e un círculo en el ejemplo EJEMPLO urvtur e un círculo Encuentre l curvtur e un círculo e rio. Solución Un círculo puee escribirse por meio e un función vectoril r(t) = cos t i + sen t j. En este cso, e r (t) = - sen t i + cos t j r (t) = obtenemos T(t) r (t) r (t) Por consiguiente, e cuero con (4) l curvtur es k(t) sen t i cos t j T (t) cos t i sen t j. T (t) r (t) cos t sen t El resulto en (5) muestr que l curvtur en un punto sobre un círculo es el recíproco el rio el círculo e inic un hecho que concuer con nuestr intuición: un círculo con un rio pequeño se curv más que uno con un rio más grne. Ve l FIGURA.4... (5)

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