UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN FACULTAD DE MATEMÁTICAS MISIÓN

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1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN FACULTAD DE MATEMÁTICAS MISIÓN Formar profesionales altamente capacitados, desarrollar investigación y realizar actividades de extensión, en Matemáticas y Computación, así como en sus diversas aplicaciones. Cálculo II Segundo semestre LICENCIATURA EN ACTUARÍA LICENCIATURA EN ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

2 LICENCIADO EN ACTUARÍA Formar profesionales capaces de: 1. Identificar los riesgos y las contingencias cuantificables, a los que las personas, las empresas y las sociedades están expuestas. 2. Valuar las consecuencias económicas, financieras y sociales de la ocurrencia de los riesgos y contingencias. 3. Instrumentar los esquemas de previsión óptimos, para que los impactos de las ocurrencias de los riesgos y contingencias sean lo menos sorpresivos y adversos. 4. Vigilar el cumplimiento de las hipótesis de valuación y el de las acciones de prevención implementadas para los riesgos y contingencias, mediante el establecimiento de procedimientos de seguimiento, control, identificación de desviaciones significativas y de estrategias correctivas. LICENCIADO EN ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS Formar profesionales en: 1. El manejo de las estructuras teóricas fundamentales de la matemática y los procesos matemáticos que justifican los principales resultados de esta ciencia. 2. La planeación de actividades de enseñanza-aprendizaje de matemáticas, mediante el diseño de programas y estrategias que faciliten el proceso correspondiente, así como de los instrumentos adecuados para medir los aprendizajes de acuerdo con los objetivos de las mismas. 3. El desarrollo de programas de enseñanza-aprendizaje de matemáticas en forma dinámica y creativa, utilizando la metodología y los recursos necesarios y adecuados para lograr en sus alumnos aprendizajes significativos y permanentes. 4. La evaluación del proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas para retroalimentar el proceso mismo, así como para obtener indicadores útiles para una mejor planeación de actividades. LICENCIADO EN MATEMÁTICAS Formar profesionales capaces de: 1. Manejar las herramientas matemáticas que propician el desarrollo de la ciencia y tecnología, así como el enriquecimiento de la cultura en general. 2. Contribuir a la resolución de problemas que requieran del empleo de procesos matemáticos o de la elaboración de modelos matemáticos. 3. Conducir procesos de desarrollo académico propios de la matemática.

3 CÁLCULO II Semestre: Segundo Horas: 192 Hrs/sem: 12 Créditos: 23 Clave: CA-02 Descripción de la asignatura: Se introducirá el concepto de integral de una función real de variable real usando el enfoque de Riemann, relacionándolo con el de derivada a través del Teorema Fundamental del Cálculo. Se presentarán los conceptos de sucesión y serie y se aplicarán algunos criterios de convergencia. Se desarrollará el concepto de vector desde el punto de vista algebraico y geométrico y se definirán funciones de varias variables. Para los campos vectoriales se desarrollará la idea de líneas de flujo. Se extenderán los conceptos de límites y continuidad y las principales propiedades y usos de éstos. Se apoyará el aprendizaje en algún paquete de cómputo para facilitar la visualización y los cálculos algebraicos, todo ello con el fin de facilitar la comprensión de los conceptos definidos y finalmente realizar análisis y aplicaciones de dichos conceptos, equilibrando así el enfoque teórico con el uso de la tecnología actual. Se propicia en el alumno el desarrollo de habilidades tales como realizar un pensamiento lógico y redactar demostraciones matemáticas. Se pretende que se demuestren en clase algunos de los teoremas más inmediatos o ilustrativos para la comprensión de los conceptos. Entendiéndose que hay teoremas que no se demostrarán pero que se aplicarán. OBJETIVOS GENERALES: 1. Comprender y aplicar los principales resultados de integración de funciones reales de variable real. 2. Comprender y aplicar los conceptos y los principales resultados de convergencia para sucesiones y series. 3. Aplicar la teoría básica del álgebra y geometría de R 2 y R Comprender y aplicar los principales resultados que provienen de los conceptos de límite y continuidad. 5. Identificar las analogías y diferencias entre los conceptos de función, límite y continuidad para una y varias variables. 6. Resolver problemas de diferentes áreas del conocimiento usando modelos en una y varias variables. CONTENIDO: Unidad 1. Teoría de integración. Objetivos: Al finalizar la unidad el alumno será capaz de: 1. Interpretar la integral definida como sumas de Riemann. Página 3/8

4 2. Explicar las principales propiedades de la integral definida usando este enfoque. 3. Comprender y usar el Teorema Fundamental del Cálculo para resolver problemas diversos. 4. Modelar problemas de diferentes áreas del conocimiento usando la integral definida. 5. Utilizar las integrales impropias en la resolución de ejercicios relativos Definición de la integral con el enfoque de sumas de Riemann Sumas de Riemann Definición y ejemplos de función integrable Existencia de la integral Integrabilidad de las funciones continuas Integrabilidad de las funciones monótonas Propiedades de la integral Linealidad Aditividad del intervalo de integración Monotonía y desigualdad del triángulo Teorema del valor medio Integral indefinida y sus propiedades La integral indefinida Relación entre integración y derivación: Teorema Fundamental del Cálculo Integrales impropias Para intervalos de longitud infinita Para integrandos discontinuos en alguno de los extremos del intervalo de integración Aplicaciones de la integral Aplicaciones geométricas (Áreas, longitud de arco, volúmenes) Aplicaciones de la integral en diversas áreas (Ejemplo: Matemáticas, Actuaría, Física, Computación, etc.) ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA: En 1.6 se pretende que el alumno sea dirigido por el profesor en las aplicaciones geométricas y que en las otras aplicaciones realice y exponga un trabajo de investigación con la posibilidad de elegir un tema de su interés, pudiendo apoyarse en la bibliografía complementaria. En se pretende que el alumno sepa del resultado que se menciona, lo comprenda y lo utilice sin demostración. Unidad 2: Sucesiones y series numéricas. Objetivos: Al finalizar la unidad el alumno será capaz de: 1. Comprender los conceptos de sucesión y serie. Página 4/8

5 2. Comprender el concepto de convergencia y aplicar los criterios correspondientes a la resolución de ejercicios. 3. Calcular los límites de sucesiones y series conocidas. 4. Distinguir cuándo una función tiene un desarrollo en serie de potencias. 5. Obtener la serie de Taylor de una función y calcular el radio de convergencia. 2.1 Sucesiones Definición, ejemplos y operaciones con sucesiones Convergencia Teoremas básicos Sucesiones acotadas y sucesiones monótonas El Teorema de Bolzano-Weierstrass. 2.2 Series Definición y convergencia de series Criterios de convergencia: de Cauchy, del término n-ésimo, series telescópicas Series geométricas Pruebas de convergencia: de comparación, de comparación en el límite, de la razón, de la raíz, de la integral El Teorema de Leibnitz para series alternantes. 2.3 Series de Potencias Definición y ejemplos Radio de convergencia Series de Taylor Ejemplos de funciones con expresión en serie de potencias. 2.4 Aplicaciones de las sucesiones y series en diversas áreas. ESTRATEGIAS: En 2.4 se sugiere usar bibliografía complementaria para ilustrar aplicaciones fuera del ámbito propiamente del Cálculo (Ejemplo: aplicaciones en probabilidad, física, etc. obtenidos de libros de estas áreas). Unidad 3. Resultados básicos de R 2 y R 3 Objetivo: Al finalizar la unidad el alumno entenderá los elementos básicos del Álgebra y Geometría de R 2 y R Geometría Analítica Geometría de R 2 (recta, círculo, parábola, elipse, hipérbola) Plano Esfera Superficies cuadráticas (cono, cilindro, paraboloide, elipsoide, hiperboloides). 3.2 Vectores y subconjuntos importantes de R 2 y R Suma de vectores, multiplicación de un vector por un escalar. Página 5/8

6 3.2.2 El producto interno o escalar, norma de un vector El producto cruz o vectorial Vecindades, abiertos, cerrados Graficación de conjuntos solución de desigualdades. ESTRATEGIAS: 1. La geometría de R 2 es a modo de repaso, que nos va a ayudar a visualizar a las superficies cuadráticas. 2. Las superficies cuadráticas no se van a estudiar de manera exhaustiva, sino poniendo énfasis en la graficación de las más representativas. 3. El se usará para calcular dominios de algunas funciones de la siguiente unidad. Unidad 4. Funciones, dominios y sus gráficas en R 2 y R 3. Objetivo: Al finalizar la unidad el alumno será capaz de determinar los dominios y representar gráficamente diferentes tipos de funciones (curvas, superficies, campos) y elementos relacionados (líneas de flujo, curvas de nivel, trazas, etc.). 4.1 Trayectorias o curvas parametrizadas (f:r R n, n=2,3) La recta en R n Curvas parametrizadas (Rectangulares, Polares, etc.). 4.2 Campos escalares. (f:r n R) Superficies en R Conjuntos de nivel 4.3 Funciones f:r n R n Representaciones gráficas de campos vectoriales Líneas de flujo Cambios de coordenadas (lineales, polares, cilíndricas y esféricas). 4.4 Funciones f:r n R m 4.5 Operaciones con funciones: Algebraicas y composiciones. ESTRATEGIAS: 1. En no se pretende un estudio exhaustivo de curvas, sino graficación de ejemplos básicos. 2. Las líneas de flujo se estudian de manera intuitiva. 3. Los cambios de coordenadas se ven con énfasis en transformación de conjuntos de R n. 4. En 4.4 se pretende dar una idea rápida y general de este otro tipo de función y el alumno desarrollará, cuando sea posible, alguna representación gráfica. Página 6/8

7 Unidad 5. Límites y Continuidad. Objetivo: Al finalizar la unidad el alumno será capaz de enunciar, comprender y aplicar las nociones de límite y continuidad así como los teoremas importantes sobre estos conceptos. 5.1 Límites y continuidad de Trayectorias o curvas parametrizadas Definiciones y su relación con los límites de sus componentes Teoremas básicos y sus aplicaciones. 5.2 Límites y continuidad de Campos escalares Definiciones y ejemplos Teoremas básicos y sus aplicaciones Aproximación por trayectorias y su relación con el límite. 5.3 Límites y continuidad de Funciones f:r n R m Definiciones y su relación con los límites de sus componentes Teoremas básicos y sus aplicaciones. 5.4 Límites y continuidad de la composición de funciones. ESTRATEGIAS: 1. En la sección 5.3 hacer notar que las definiciones anteriores de límite son casos particulares de la definición presentada en esta sección. ESTRATEGIAS GENERALES DE ENSEÑANZA: Conferencia, interrogatorio, tormenta de ideas, resolución de ejercicios, demostración. CRITERIOS DE EVALUACIÓN: Exámenes: 85% Tareas: 15% ANTECEDENTES ACADÉMICOS: Cálculo I. NEXOS ACADÉMICOS: Cálculo III. BIBLIOGRAFÍA: Básica 1. Stewart, James; Cálculo: Conceptos y Contextos: México. International Thomson Editores (1999). 2. Marsden, Jerrold E. Cálculo Vectorial. Addison-Wesley Larson, Ron, et al Cálculo. Mc Graw Hill Salas, Hille, Etgen, Calculus. Reverté Adicional 1. Spivak, Michael; Calculus: Cálculo Infinitesimal (2a. Edición): México. Ed. Reverté (1992). Página 7/8

8 2. Apostol, Tom; Calculus: Vol. 1 : Barcelona, España. Ed. Reverté (1979). 3. Apostol, Tom; Calculus: Vol. 2 : Barcelona, España. Ed. Reverté (1979). 4. Hasser; Lasalle; Sullivan; Análisis Matemático: Curso de Introducción. Vol. 1 y Vol. 2 México. Ed. Trillas (1970). 5. De Burgos, Juan; Cálculo Infinitesimal de Varias Variables: Madrid España. Mc Graw Hill (1994). 6. Cruse & Granberg, Lectures on freshman Calculus: Filipinas. Ed. Addison Wesley, Hughes, Hallett, Gleason. Cálculo. CECSA McCallum, Gleason, Hughes-Hallett, et al Cálculo de varias variables CECSA Finney, Thomas, Demana, Waits Cálculus Addison Wesley Ellis, Gulick, Calculus Saunders College Publishing Strang, Gilbert; Calculus: Massachusetts, USA. Wesley-Cambridge Press. PAQUETES DE CÓMPUTO. 1. Maple Inc. 2. Mathematica 3. Derive etc PERFIL PROFESIOGRÁFICO DEL PROFESOR: Licenciado en Matemáticas o Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas preferentemente con posgrado y experiencia docente, de investigación o de trabajo en el área. Modificación: Dr. Ángel Gabriel Estrella González, M. en C. Celia B. Villanueva Novelo, Dr. Jorge Lugo Jiménez, Dr. Gerardo García Almeida, Dr. Didier Solís Gamboa, L.M. Israel García Lara, M. en C. Lucía Belén Gamboa, Dr. Eric Ávila Vales, M. en C. Felipe Rosado. Fecha de Modificación: Enero, Página 8/8

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