2º BCT Matemáticas II 1

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1 PROGRAMACIÓN DOCENTE Matemáticas II BLOQUE TEMÁTICO I ÁLGEBRA LINEAL 1.- MATRICES Y DETERMINANTES Matrices. Tipos de matrices. Operaciones con matrices. Propiedades. Matriz inversa. Resolución de ecuaciones matriciales sencillas utilizando las operaciones con matrices y la matriz inversa. Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estructurados en tablas y grafos. Aplicación de las operaciones de matrices y de sus propiedades en la resolución de problemas extraídos de contextos reales. Rango de una matriz. Obtención del rango de una matriz utilizando el método de Gauss. Determinantes. Propiedades elementales de los determinantes. Cálculo de determinantes de orden dos o tres utilizando la regla de Sarrus o el desarrollo por los elementos de una fila o columna. Utilización de los determinantes para calcular el rango de una matriz. Cálculo de la matriz inversa utilizando determinantes. Justificación de una condición necesaria y suficiente para su existencia. Qué es una matriz de dimensión m x n Identificar filas, columnas y elementos concretos en una matriz. Interpretarlos en problemas extraídos de contextos reales. Entender y manejar la notación con subíndices. Efectuar correctamente las operaciones con matrices, suma, resta, multiplicación, potencias y producto por escalares y decir la dimensión de la matriz resultante. Trasponer matrices. Saber que propiedades verifican las operaciones con matrices. Identificar tipos especiales de matrices cuadradas: diagonales, escalares, triangulares, simétricas, antisimétricas y ortogonales. Conocer la definición de determinante de una matriz cuadrada y calcular determinantes de orden dos o tres utilizando la regla de Sarrus o mediante el desarrollo por los adjuntos de una fila o columna. Calcular rangos de matrices por el método de Gauss y por el método de orlado. Estudiar el rango de una matriz que depende de un parámetro en función de los valores del mismo. Aplicar el método de Gauss Jordan o determinantes para decidir si una matriz es inversible y, en caso afirmativo, calcular la inversa. 2.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas equivalentes. Matrices asociadas. Clasificación de los sistemas según el número de soluciones. Sistemas de Cramer. Resolución de sistemas por métodos diversos. Teorema de Rouché Fröbenius. Sistemas dependientes de un parámetro. Planteamiento, discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Saber los conceptos de sistema de ecuaciones lineales y conjunto solución del mismo. Clasificar los sistemas según su compatibilidad. Conocer los sistemas homogéneos y cuáles son sus posibles soluciones. La noción de equivalencia de sistemas y su interpretación geométrica. Definir sistemas de Cramer. Resolverlos aplicando la regla de Cramer. Elegir el método de resolución de sistemas (de Gauss, de la matriz inversa o regla de Cramer) más adecuado en cada caso concreto. Enunciar y aplicar el teorema de Rouché Fröbenius. Analizar, clasificar y resolver sistemas en función de los valores de un parámetro con ayuda del teorema de Rouché Fröbenius. BLOQUE TEMÁTICO II GEOMETRÍA 3.- GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Vectores en el espacio tridimensional. Operaciones con vectores. Vectores paralelos, vectores ortogonales. Módulo de un vector. Producto escalar, vectorial y mixto. Expresión analítica y significado geométrico. Obtención de las distintas ecuaciones de la recta. Deducción de las distintas ecuaciones del plano a partir de un punto y dos vectores directores o un punto y un vector normal asociado. Obtención de la ecuación de la recta como intersección de dos planos. Resolución de problemas de posiciones relativas entre dos rectas, dos o tres planos o una recta y un plano. Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, perpendicularidad, paralelismo, incidencia, distancias, áreas y volúmenes. Cálculo del punto simétrico de un punto respecto a otro punto, una recta o un plano. Búsqueda de la perpendicular común a dos rectas que se cruzan y los puntos de mínima distancia. Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales. 2º BCT Matemáticas II 1

2 Conocer el producto escalar, su interpretación geométrica y expresión analítica. Determinar el ángulo de dos vectores. Conocer el módulo de un vector. Distinguir vectores paralelos y vectores ortogonales. Conocer el producto vectorial, su interpretación geométrica y expresión analítica. Saber calcular el producto mixto, su interpretación geométrica y expresión analítica. Conocer las ecuaciones de la recta y el plano en todas sus formas. Posición relativa entre rectas y planos. Haz de planos. Resolver problemas de ángulos entre rectas y planos. Calcular áreas de paralelogramos y triángulos. Calcular volúmenes de paralelepípedos y tetraedros. Resolver problemas de distancias entre puntos, rectas y planos. BLOQUE TEMÁTICO III ANÁLISIS 4.- CÁLCULO DIFERENCIAL Concepto de límite de una función. Cálculo del límite de una función en un punto y en el infinito. Límites laterales. Interpretación gráfica de los distintos casos. Continuidad de una función en un punto y en un intervalo. Tipos de discontinuidad. Interpretación gráfica. Interpretación geométrica y física del concepto de derivada de una función en un punto. Obtención de la recta tangente a una curva en un punto. Función derivada. Cálculo de derivadas. Derivación logarítmica. Aplicación de la derivada al estudio de las propiedades locales de una función: crecimiento, curvatura, extremos y puntos de inflexión. Resolución de problemas de optimización. Utilización de la derivada para el cálculo de límites y la resolución de indeterminaciones: Regla de L Hôpital. Determinación de las asíntotas de una función y de la posición de la función respecto a ellas. Representación de funciones: dominio, cortes, periodicidad, simetría, crecimiento y extremos, curvatura, asíntotas. Definir límites laterales y límite de una función en un punto. Saber que no siempre existe el límite en un punto, bien porque los límites laterales no existen o porque, existiendo, no coinciden. Utilizar correctamente las propiedades de los límites. Hallar las asíntotas horizontales y oblicuas de funciones. Saber el significado de la continuidad en un punto. Calcular dominios de continuidad. Analizar la continuidad de funciones definidas a trozos. Distinguir entre distintos tipos de discontinuidades. Determinar las asíntotas verticales de funciones racionales. Saber que la continuidad es un requisito previo a la derivabilidad. Estudiar si una función definida a trozos es derivable en un punto singular. Saber las interpretaciones de la derivada como pendiente o velocidad instantánea. Derivadas de funciones elementales. Propiedades y reglas de derivación. Definir los extremos relativos y puntos críticos. Relacionar el signo de la derivada con el crecimiento. Distinguir los dos tipos de concavidad y relacionarlos con la segunda derivada. Saber que tanto el crecimiento como la concavidad pueden cambiar al pasar por un punto en que la función no está definida (asíntotas verticales). Traducir en términos de funciones problemas sencillos de optimización. La regla de L'Hópital. Aplicaciones. 5.- CÁLCULO INTEGRAL Primitiva de una función. Integral indefinida. Propiedades. Técnicas elementales para el cálculo de primitivas: inmediatas, cambio de variable, por partes, descomposición en fracciones simples (denominador con raíces reales simples). Introducción al concepto de integral definida a partir del cálculo de áreas encerradas bajo una curva. Aplicación al cálculo de áreas de regiones planas utilizando la regla de Barrow. Relación inversa entre la derivada y la integral. Definir integral indefinida y primitiva de una función. Hallar primitivas sencillas usando la tabla de derivadas inmediatas y las técnicas de integración por partes, por cambio de variable o descomposición en fracciones simples. Interpretar la integral definida entre a y b. de una función positiva como el área de la región acotada por su gráfica entre los puntos de abscisas a y b. Calcular áreas limitadas por gráficas de funciones sencillas aplicando la regla de Barrow. 2º BCT Matemáticas II 2

3 CRITERIOS DE EVALUACIÓN Los criterios de evaluación establecen el tipo y el grado de aprendizaje que se espera que alcancen los alumnos y las alumnas en relación con las capacidades indicadas en los objetivos. El nivel de cumplimiento será medido con flexibilidad y no de forma mecánica. También servirán al profesorado para evaluar no sólo los aprendizajes del alumnado, sino todo el proceso de enseñanza y de aprendizaje del grupo. 1. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices y determinantes como instrumento para representar e interpretar datos y relaciones y, en general, para resolver situaciones diversas. 2. Transcribir situaciones de la geometría a un lenguaje vectorial en tres dimensiones y utilizar las operaciones con vectores para resolver los problemas extraídos de ellas, dando una interpretación de las soluciones. 3. Transcribir problemas reales a un lenguaje gráfico o algebraico, utilizar conceptos, propiedades y técnicas matemáticas específicas en cada caso para resolverlos y dar una interpretación de las soluciones obtenidas ajustada al contexto. 4. Utilizar los conceptos, propiedades y procedimientos adecuados para encontrar e interpretar características destacadas de funciones expresadas algebraicamente en forma explícita. 5. Aplicar el concepto y el cálculo de límites y derivadas al estudio de fenómenos naturales y tecnológicos y a la resolución de problemas de optimización. 6. Aplicar el cálculo de integrales en la medida de áreas de regiones planas limitadas por rectas y curvas sencillas que sean fácilmente representables. 7. Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones, seleccionar, comparar y valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia, eligiendo las herramientas matemáticas adecuadas en cada caso, tomando decisiones en el grupo de trabajo y debatiendo en entornos de respeto las ideas que sustentan la investigación. 8. Utilizar recursos diversos tanto para la obtención de la información necesaria como para la realización de cálculos y gráficos, para establecer conjeturas, en la búsqueda de soluciones, sirviendo de apoyo en argumentaciones y en la exposición de conclusiones en las situaciones que lo requieran. 9. Realizar trabajos en equipo, asumiendo las tareas con responsabilidad, exponiendo sus propias ideas, valorando las ajenas y aceptando el trabajo desarrollado por los demás miembros del grupo. 10. Valorar positivamente los principios de justicia e igualdad y rechazar situaciones que coarten los derechos individuales y sociales, así como cualquier forma de discriminación por razones de sexo, origen, creencia o cualquier otra circunstancia social o personal. PROCEDIMIENTOS DE EVALUACIÓN La asignatura está programada en un bloque de contenidos comunes y tres bloques temáticos: Álgebra lineal, Geometría y Análisis. La temporalización no coincidirá necesariamente con los periodos de evaluación. Por tanto la calificación de las evaluaciones será provisional y reflejará el trabajo realizado hasta ese momento. Para valorar el rendimiento de los alumnos realizaremos en cada bloque como mínimo una prueba global y un examen de recuperación para aquellos alumnos que no hayan alcanzado un 5, excepto en el último bloque, en el que no habrá examen de recuperación por que en Mayo se hará un examen global de mínimos de toda la materia. Esta prueba será obligatoria para todos los alumnos que no hayan aprobado todos los bloques. Los alumnos que hayan suspendido solamente uno o dos contestarán únicamente a las preguntas correspondientes a dichos bloques. En las pruebas de recuperación, no se especificará nota numérica alguna, sino simplemente si recupera o no recupera. A efectos de nota media, el concepto recupera, equivale a una nota de 5. En septiembre se realizará un examen elaborado conjuntamente por todos los miembros del departamento, que constará al menos de un 60% de contenidos mínimos. INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN Puesto que en Bachillerato no sólo deben evaluarse contenidos sino también el grado de madurez personal y académica, se utilizarán Instrumentos que permitan obtener la máxima información del alumnado. 1) Pruebas escritas y orales (éstas últimas en la medida de lo posible). 2) Realización de trabajos de investigación monográficos. 3) Observación directa en el aula, destacando su interés por la materia, aclaración de dudas, corrección de errores y colaboración en el normal desarrollo de la clase. CRITERIOS DE CALIFICACIÓN La nota correspondiente a cada Bloque se obtendrá de acuerdo a la siguiente baremación: i) La nota numérica de las pruebas escritas tendrá un peso del 90%. Para obtener dicha nota numérica se calculará la media ponderada de todas las pruebas escritas, atendiendo a su importancia relativa, que, lógicamente, es máxima en el caso de la prueba global. ii) El 10% restante se obtendrá teniendo en cuenta los apartados (2) y (3) de los instrumentos de evaluación. 2º BCT Matemáticas II 3

4 La calificación final será positiva para: i) Aquellos alumnos que hayan aprobado todos los bloques a lo largo del curso. ii) iii) Los que recuperen todos los bloques en el examen global de mínimos de toda la materia Los que alcancen al menos un 5 en el examen de Septiembre. SISTEMA EXTRAORDINARIO DE EVALUACIÓN Los alumnos que han perdido el derecho a ser evaluados de forma ordinaria por motivos justificados deberán realizar trabajos que se les irán entregando a lo largo del periodo de inasistencia. Estos trabajos deberán ser presentados en su totalidad antes de la evaluación y su calificación tendrá un peso del 50%. Además realizarán una prueba escrita que complementará la calificación anterior y también está valorada en un 50%. Los alumnos que han perdido el derecho a ser evaluados de forma ordinaria por motivos injustificados, deberán presentar el cuaderno y todos los trabajos que hayan sido realizados a lo largo de este periodo y además realizarán la prueba escrita correspondiente. La calificación será la descrita en la programación con los mismos criterios que para la evaluación ordinaria. BIBLIOGRAFÍA SOBRE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CALLEJO, M.L. (1994). Un club matemático para la diversidad. Narcea. Madrid CERO, Grupo (1984) De 12 a 16. Un proyecto de vitae de Matemáticas. Edición propia. Valencia. GUZMÁN, M. de (1991). Para pensar mejor. Labor. Barcelona. MASON, J.; BURTON, L. STACEY, K (1988). Pensar matemáticamente. Labor MEC. Barcelona WOOD, L.E. (1987). Estrategias de pensamiento. Labor. Barcelona. Literatura y matemáticas Selección de obras con fondo matemático, recomendadas a nuestros alumnos, para disfrutar de la lectura con las matemáticas. El misterio de las cifras, de Marc Alain Ouaknin. Hypatia. La mujer que amó la ciencia, de Pedro Gálvez Aventuras de un matemático, de Stanislaw M. Ulam. La incógnita de Newton, de Catherine Shaw. Alicia anotada, de Lewis Carroll. Una mente prodigiosa, de Silvia Nasar. Carnaval matemático, de Martín Gardner. El triunfo de los números, de I.B. Cohen. El teorema, de Adam Fawer. Los crímenes de Oxford, de Guillermo Martínez. El matemático del rey, de Juan Carlos Arce. El tío Petros y la conjetura de Goldbach, de Apóstolos Doxiadis. La cometa dorada, de Dezsö Kosztolányi. El escarabajo de oro, de Edgatr Allan Poe. El número de Dios, de José Luis Corral. Accidental, de Ali Smith. El código Cluny, de Jean Paul Lemonde. El jugador, de Fiódor Dostoieski. El curioso incidente del perro a medianoche, de Mark Haddon. 2º BCT Matemáticas II 4

5 DIRECCIONES DE INTERNET PARA BUSCAR INFORMACIÓN Historia de la Matemáticas. Apuntes y ejercicios de Matemáticas. Ejercicios resueltos PAU. Colección de problemas resueltos de selectividad. Todo sobre matemáticas de ESO y Bachillerato. El Paraíso de las Matemáticas. Noticias, exámenes, etc. Centro virtual de divulgación de las Matemáticas. Calculadora. Astronomía. Textos matemáticos. Página oficial de la olimpiada de matemáticas de España. Oferta, entre otros muchos contenidos matemáticos, apuntes de ESO, Bachiller y Carrera. Página del profesor Guzmán, trata sobre variados aspectos de las Matemáticas. Encontraremos reflexiones y trabajos sobre Resolución de problemas, Análisis, Geometría, Historia, Educación, Juegos, etc. Simulador de las Pruebas de Acceso y Admisión a la Universidad de Oviedo. Universidad de Oviedo. Departamento de matemáticas Universidad de Oviedo. 2º BCT Matemáticas II 5