FORMACIÓN ACADÉMICA TALLER AREA DE MATEMÀTICAS GRADO ONCE PERIODO 01 NOMBRE:

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1 1 FORMACIÓN ACADÉMICA TALLER PFA-01-R04 Versión 01 AREA DE MATEMÀTICAS GRADO ONCE PERIODO 01 NOMBRE: CAPACIDADES EJE Solución de problemas Razonamiento Comunicación Numérico - variacional TEMA Dominio y rango de una función Clases de funciones DESTREZAS Interpretar y plantear Procesar matemáticamente Plantear soluciones Analizar Contrastar Formular y comprobar hipótesis Codificar y decodificar Interpretar gráficas Expresar en lenguaje matemático UNIDAD TEMATICA Funciones SUBTEMA Definición y notación de funciones Función constante y lineal. Función inversa y cuadrática Funciones crecientes y decrecientes Traslación de gráficas Función exponencial. Función logarítmica. Propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas INDICADORES DE LOGRO: Interpreto el Dominio y rango de una función y lo expreso matemáticamente. Interpreto y analizo las clases de funciones y resuelvo adecuadamente ejercicios INTRODUCCIÓN:

2 2 MARCO TEÓRICO Concepto de función: Piense en una función como en una máquina, una máquina de calcular. Ésta toma un número (la entrada) y produce un resultado (la salida). A cada número en la entrada le corresponde un único número como salida, pero puede suceder que varios valores diferentes de entrada den el mismo valor de salida. Una definición de función más formal es la siguiente: Una función f definida de A en B, (f: A B) es una correspondencia que asigna a cada elemento xa, un único elemento yb El elemento yb es el valor de x al aplicarle f y se denota por f(x), que es la imagen de x El conjunto A es el dominio de la función y el conjunto B es el codominio de la función. El rango o recorrido de la función es un subconjunto de B formado por todos los y = f(x) Ejemplo: Halle el dominio y el rango de la función: f(x) = 1 x 1 Solución. El dominio lo determinamos identificando los valores que puede tomar la variable independiente x. El denominador tiene que ser diferente de 0 y x 1 debe ser mayor que cero. Entonces: Como x 1 > 0, implica que x > 1 Luego, el dominio de la función es: D f (x) = 1, x R / x 1 Para hallar el rango, despejamos x en la ecuación y = variable dependiente y. Como y = 1 x 1, entonces y 2 = 1 x 1 1 x 1 Despejamos x mediante procesos algebraicos y llegamos a x = y analizamos los valores que puede tomar la 1 y 2 y Como el denominador debe ser diferente de cero y además y no es negativo, entonces el rango de la función es: Rf ( x) 0, y R / y 0 Gráfica de funciones: Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una tabla. Las gráficas describen relaciones entre dos variables. Así, si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe pertenecer al dominio de definición de la función. Como el conjunto de puntos pertenecientes a la función es ilimitado, se disponen en una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con línea continua se obtiene la representación gráfica de la función. EJEMPLO: tenemos la siguiente tabla de valores y su representación en el plano cartesiano. 2 Grafo de una función: Grafo de una función es el conjunto de pares formados por los valores de la variable y sus imágenes correspondientes. G(f) = {x, f(x) /x D(f)} La variable que se representa en el eje horizontal se llama variable independiente o variable x. La que se representa en el eje vertical se llama variable dependiente o variable y. La variable y está en función de la variable x.

3 3 Una vez realizada la gráfica podemos estudiarla, analizarla y extraer conclusiones. Para interpretar una gráfica, hemos de observarla de izquierda a derecha, analizando cómo varía la variable dependiente, y, al aumentar la variable independiente, x. EJEMPLO En esa gráfica podemos observar que a medida que compramos más kilos de papas el precio se va incrementando. En esta gráfica observamos que la mayor parte de los alumnos obtienen una nota comprendida entre 4 y CLASIFICACIÓN: Función lineal: La función lineal es del tipo: y = mx Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. EJEMPLO: y = 2x Función identidad: La función afín es del tipo: y = mx + n, donde m es la pendiente. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. La letra n representa la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas. EJEMPLO:

4 4 Función constante: La función constante es del tipo:y = n.el criterio viene dado por un número real. La pendiente es 0. La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Gráficas y funciones: Ejercicios y problemas resueltos: 1 Representa las siguientes rectas: 1.) y = 2 2.) y = -2 3.) y = x

5 5 4.) y = 2x 1 5.) Representa las siguientes funciones, sabiendo que: Tiene pendiente -3 y ordenada en el origen -1. y = -3x -1 6.) En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establecer una función a fin que dé la altura de la planta en función del tiempo y representar gráficamente. Altura inicial = 2cm. Crecimiento semanal = = 0.5 y= 0.5 x + 2 Función inversa o recíproca: Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f 1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f 1 (b) = a. Podemos observar que: El dominio de f 1 es el recorrido de f. El recorrido de f 1 es el dominio de f. Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa. Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad. f o f -1 = f -1 o f = x. Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Hay que distinguir entre la función inversa, f 1 (x), y la inversa de una función,.

6 6 Cálculo de la función inversa: 1.) Se escribe la ecuación de la función en x e y. 2.) Se despeja la variable x en función de la variable y. 3.) Se intercambian las variables. EJEMPLO: Calcular la función inversa de: Vamos a comprobar el resultado para x = 2 Uno de los requisitos indispensables es elaborar en forma adecuada y puntual las actividades asignadas en cada clase, lo cual le permitirá adquirir conocimientos básicos sobre los temas, los cuales se explicarán y profundizarán en cada clase. A continuación se presentan varios talleres que deben desarrollar al concluir cada tema. Función cuadrática: Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola: f(x) = ax² + bx +c Representación gráfica de la parábola: Podemos construir una parábola a partir de estos puntos: a. Vértice: Por este punto pasa el eje de simetría de la parábola. La ecuación del eje de simetría es: b. Puntos de corte con el eje OX: En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax² + bx +c = 0 Resolviendo la ecuación podemos obtener: Dos puntos de corte: (x 1, 0) y (x 2, 0) si b² - 4ac > 0 Un punto de corte: (x 1, 0) si b² - 4ac = 0 Ningún punto de corte si b² - 4ac < 0 c. Punto de corte con el eje OY. En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a 0² + b 0 +c = c (0,c) EJEMPLO Representar la función f(x) = x² - 4x + 3 a. Vértice x v = - (-4) / 2 = 2 y v = 2² = -1 V(2, -1) b. Puntos de corte con el eje OX. x² - 4x + 3 = 0

7 7 (3, 0) (1, 0) c. Punto de corte con el eje OY. (0, 3) Traslaciones de parábolas: Construcción de parábolas a partir de y = x² Partimos de y = x² a. Traslación vertical y = x² + k Si K > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades. Si K < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades. El vértice de la parábola es: (0, k). El eje de simetría x = 0. y = x² +2 y = x² -2 b. Traslación horizontal y = (x + h)² Si h > 0, y = x² se desplaza hacia la izquierda h unidades. Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la derecha h unidades. El vértice de la parábola es: (-h, 0). El eje de simetría es x = -h. y = (x + 2)² y = (x - 2)² c. Traslación oblicua: y = (x + h)² + k El vértice de la parábola es: (-h, k). El eje de simetría es x = -h. y = (x - 2)² + 2 y = (x + 2)² 2 Función creciente y función decreciente: Sea f una función. Entonces: (1) Se dice que f es una función creciente si: x 1 < x 2 implica que f(x 1 ) < f(x 2 ) de donde x 1 y

8 8 x 2 son números cualesquiera del dominio de f. (2) Se dice que f es una función decreciente si: x 1 < x 2 implica que f(x 1 ) > f(x 2 ) de donde x 1 y x 2 son números cualesquiera del dominio de f. ILUSTRACIÓN Observa que parte de la gráfica se eleva, parte de la gráfica baja y parte de la gráfica es horizontal. En estos casos se dice que la gráfica crece, decrece o es constante. Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica: (x 1, f(x 1 ) ) y ( x 2, f(x 2 ) ) Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x 1, f(x 1 ) ) y ( x 2, f(x 2 ) ) Una función f se dice que es constante si al considerar dos puntos de su gráfica, (x 1, f(x 1 ) ) y ( x 2, f(x 2 ) ) con

9 9 Considera la siguiente gráfica: constante 2. FUNCIONES RACIONALES f ( x) g( x) Si f(x) y g(x) son funciones polinómicas, entonces h(x) =, g( x) 0 representa una función racional cuyo dominio son los números reales, excepto aquellos puntos donde g(x) se hace igual a cero. Ejemplo. Dada la función racional f(x) = a. Dominio, rango e interfectos b. Asíntotas, si existen c. Gráfica x 2, halle: x 4 Solución: a. Dominio: Para hallar el dominio analizamos los valores de x para los cuales la función está definida. En este caso x 4 0, es decir, x 4. Por tanto D(f(x)) = R - 4 Rango: Si y = x x 2 4, podemos despejar x de la siguiente manera: y (x 4) = x + 2; xy 4y = x + 2; xy 4y x = 2; xy x = 4y + 2; x ( y 1) = 4y + 2; 4y 2 y 1 x = ; y 1. Por tanto, R(f(x)) = R - 1 Intersectos: Si hacemos x = 0, encontramos los intersectos sobre el eje y. Entonces, si 1 x 2 x = 0, y = -. Si hacemos y = 0, entonces = 0, de donde x = x 4 1 Luego los puntos 0,, y, 2,0 son los intersectos sobre el eje y y el eje x respectivamente. 2 b. Asíntotas: Si tabulamos la función para valores cercanos a 4, obtenemos X 3,9 3,99 3,999 X 4,1 4,01 4,001 Y Y Observamos que cuando x se acerca a 4 por la izquierda, las imágenes se acercan a - y cuando x se acerca a 4 por la derecha, la función se acerca a. Por tanto podemos concluir que x = 4 es una asíntota vertical de la función.

10 Si tabulamos valores de x cada vez más grandes ( x se acerca a ) o cada vez más pequeños ( x se acerca a - ), vemos que las imágenes se van acercando a 1. Esto significa que la recta y = 1 es una asíntota horizontal. c. Gráfica: FUNCIONES TRASCENDENTES Llamamos funciones trascendentes, a las funciones: trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciales y logarítmicas Función Exponencial Si a es cualquier número real positivo diferente de 1, entonces f es una función exponencial de base a, si y x o f(x) = a x solo si: f: ( x, y) / y a, x R, La función exponencial natural, es aquella función que tiene como base el número irracional e = 2,71828 o sea la función denotada por: f(x) = e x Función logarítmica El logaritmo de un número positivo n, en la base a ; con a diferente de 1, es el exponente al que debemos elevar la base para obtener n. Simbólicamente, si n y a son números positivos y a 1, entonces log a n = x, si y solo si a x = n La función f: R + R, definida como f(x) = log a x, se llama función logarítmica. La función f: R + R, definida como f(x) = log e x = ln x, se llama función logarítmica natural Ejemplo: Observe las gráficas de las funciones: f(x) = e x ; y = x; f(x) = ln x La gráfica de la función exponencial f(x) = e x y la gráfica de la función logaritmo natural f(x) = ln x, son simétricas respecto a la recta y = x.

11 11 TALLER No. 1: Actividad de introducción Observa un recibo de servicios públicos, sobre él vas a responder: Cómo crees que realizan la tabulación para generar cada uno de los recibos, acaso será usuario por usuario? Halla una formula general que te permita calcular el valor a pagar? Observa la formula que hallaste y escribe que puede ser constante y que puede ser variable Puedes determinar alguna manera de pasar una fórmula a la notación de función, cómo y escribe la forma que quedaría? Qué conclusión matemática puedes extraer del ejercicio anterior? TALLER No. 2: Rango y dominio de funciones I. Encuentre los valores propuestos en cada una de las siguientes funciones: 1. Si f(x) = 3x 2 +5, halle f(-1), f(0), f(2), f(a), f(a+b) 2. Si h(x) = 3, halle h(-2), h(-1), h(-1/2), h(0), h(a) 3. Si m(x) = 3x 4 2x 1 x, halle m(-4/3), m(0), m(4/3), m(2), m(a 2 ) 4. Si W(x) = 2, halle W(2), W(18), W(11), W(0), W(a) 5. Si S(x) = Sen(x), halle Sen(π/6), Sen(π/4), Sen(π/3), Sen(-π/6), Sen(2π/3) II. Dadas las siguientes imágenes, encuentre los valores de x correspondientes al valor de la función dada. 1. f(x) = 2, con f(x) = 3x -2; 2. m(x) = 0, con m(x) = x 2 +10x S(x) = 2, con S(x) = x 2-6x G(x) = 5, con G(x) = x 3 5. C(x) = 3, con C(x) = Cos(x) 2 III. Determine el dominio y el rango de cada función. Trace la gráfica 1. h(x) = 3 2. g(x) = 5x f(x) = 3x 2 + 4x F(x) = x f(x) = -(x + 1) 2 TALLER No. 3: Aplicación de las funciones 1. El número Q de litros de agua que hay en un estanque, t minutos después de haber empezado a vaciarlo, está dado por: Q(t) = 200(30 t) 2 a. Halle Q cuando t = 0. Cómo se interpreta el valor? b. Al cabo de cuánto tiempo el estanque está vacío? c. Represente gráficamente la función Q 2. Una pista de una milla tiene lados paralelos y extremos semicirculares iguales. Encuentre una fórmula para el área encerrada por la pista, A(d), en términos del diámetro de los semicírculos d. Cuál es el dominio natural de esta función? 3. Un cilindro circular recto de radio r está inscrito en una esfera de radio 2r. Encuentre una fórmula para V(r), el volumen del cilindro, en términos de r. 4. El departamento de policía de una pequeña ciudad estudia la compra de un carro de patrulla más. Los analistas de la policía estiman que el costo del carro, completamente equipado, es de dólares. Han estimado un costo promedio de operaciones de 0.40 dólares por milla. a. Determine la función matemática que represente el costo total C de la obtención y operación del carro patrulla, en términos del número de millas x que recorra. b. Cuál es el costo proyectado si el carro recorre millas en su vida útil. c. Si recorre millas. 5. Una compañía de seguros cuenta con un método simplificado para determinar la prima anual de una póliza de un seguro de vida. Se cobra un cargo anual de $10 por todas las pólizas más 1.5 dólares por cada mil dólares del importe de la póliza. Por ejemplo, una póliza de dólares costará $10 por el

12 cargo fijo más $30, cantidad que corresponde al valor nominal de la póliza. Si p es la prima anual en dólares y x denota el valor nominal de la póliza (expresado en miles de dólares), determine la función que puede emplearse para calcular las primas anuales. Determine el importe de la prima anual si la póliza es de dólares. 12 TALLER No. 4 Prueba de evaluación: Resuelva con todo el proceso y / o justificando cada respuesta: 1. La regla que define la función es: a) f(x) = 2 2x b) f(x) = -2x c) f(x) = 2x 2 d) f(x) = 2 4x 2. Se tiene la función definida f(x) = 3x + 6. El dominio de esta función es: a) Todos los reales b) x / x 6 c) x / x 6 d) x / x 6 3. Para que la expresión (x-3) (x-5) sea real es necesario que: a) x 3 x b) x 3 x 5 c) x 5 d) x 5 4. La función correspondiente a la siguiente gráfica es: a) f(x) = x 2 b) f(x) = -4x c) f(x) = 4x +4 d) f(x) = x El valor máximo de la función definida como f(x) = x es: a) 4 b) 0 c) 4 d) No existe. 6. El valor mínimo de la función definida como f(x) = x es: a) 4 b) 0 c) 4 d) No tiene 7. Para que la expresión 3 x 3 sea real es necesario que: a) x sea un real b) x -3 c) x -3 d) x 3 8. La gráfica de la función: f(x) = 2x es: a) Una parábola b) Una elipse c) Una hipérbola c) Una recta 9. La función correspondiente a la siguiente gráfica es: a) Cuadrática b) Cúbica c) Racional d) Valor absoluto 10. Encuentre una ecuación de la forma y = a X 2 + b cuya gráfica pase por los puntos: (-1, 1) y (2, 7) a) y = 2x b) y = - 2x 2-1 c) y = - 2x d) y = 2x El rango de la función definida como f(x) = x es:

13 a) 4, b) 4, c) 4, d) 4, El dominio de la función definida como f(x) = x es: a) 4, b) 4, c) 4, d), 13. De acuerdo con la siguiente gráfica, si x = 0, entonces f(x) es igual a: a) 0 b) 3 c) {-3, 2, 6} d) De acuerdo con la figura, la función correspondiente a la gráfica es: a) F(x) = (x + 1) 2-2 b) F(x) = (x - 1) 2-2 c) F(x) = (x + 1) d) F(x) = - (x - 1) 2-2 Razonamiento matemático 15. Si un ladrillo se equilibra con tres cuartos de ladrillo más una pesa de tres cuartos de kilo, cuánto pesa un ladrillo? a) Tres kilos y medio b) Un cuarto de kilo c) Tres kilos d) Kilo y medio TALLER No. 5 Prueba de autoevaluación: Resuelva con todo el proceso y / o justificando cada respuesta: 1º Sea f(x) = x 2 2x I. f(x) = 0 solo si x = -2 II. f(x+1) = f(x) + f( ). Considere las siguientes afirmaciones: 1 2 III. f(3x) = 3f(x) IV. Si f(x) = 1, entonces x = 2 De las anteriores afirmaciones son verdaderas a. I y III b. II y IV c. II y III d. I y IV 2º Si f(x) = 20 + x x 2 y f(a) = 8, entonces a es igual a: a. -4 ó 3 b. -3 ó4 c. 2 ó 5 d. -2 ó -5

14 3º Las funciones f y g están definidas por f(x) = x 2 4, g(x) = x 4 18x Los valores de x para los cuales no f g está definida la función (x) son: a. 3 y 2 b. 3 y -1 c. 3 y -3 d. 2 y -2 4º Sea f(x) = 2 x x 6 x 2. Considere las siguientes afirmaciones: I. El dominio de la función son los reales diferentes de -2 II. El rango de la función son los reales diferentes de -5 III. y = -5 es una asíntota horizontal IV. x = -2 es una asíntota vertical 14 De las anteriores afirmaciones, son verdaderas: a. I y II b. III y IV c. I y III d. II y IV 1 5º Un tanque puede llenarse en 4 horas por dos llaves y en 6 por la primera de las dos llaves. Si abrimos 2 únicamente la segunda llave, podemos afirmar que el tanque se llenaría en: a. 10 horas 15 minutos b. 10 horas 24 minutos c. 10 horas 30 minutos d. 10 horas 45 minutos 6º Dos estudiantes gastan, el uno los 7 3 de sus ahorros, el otro 3 1 de sus ahorros. La suma de lo que les queda es $ y la diferencia de sus gastos es $ Si x representa los ahorros del primer estudiante y y los ahorros del segundo estudiante; para saber cuánto tenía ahorrado cada uno de los dos estudiantes, se debe resolver el siguiente sistema: 12x 14y x 7y a. c. 4 2 x y y x b. d. 4 2 y x x y x 14y x 9y º Dos botes viajan en ángulo recto después de partir de un mismo muelle y a la misma hora. Después de 1 hora, los botes se encuentran separados 13 millas. Si uno viaja 7 millas más rápido que el otro, podemos afirmar que el bote más rápido viaja a: a. 13 millas por hora b. 12 millas por hora c. 11 millas por hora d. 10 millas por hora Con base en las funciones f(x) = x y g(x) = x 2 4, responda las preguntas 8 a 10 8º El dominio de f g(x) a. ( -4, 4 ) b. (- 2, 2 ) es el intervalo: 9º El rango de la función f g (x) es el intervalo: a. ( -4, 4 ) b.,0 c.,0 d. 0, 10º El rango de la función f(x) es el intervalo: a. ( -4, 4 ) b.,0 c. 0, d.,0 c., 2 2, d., 2 2, Respuestas: 1º d 2º b 3º c 4º a 5º b 6º a 7º b 8º c 9º d 10º b Justifique cada una.

15 15 GLOSARIO Cálculo: Rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniería, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua. Función: Término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán Peter Dirichlet. Dirichlet entendió la función como una variable y, llamada variable dependiente, cuyos valores son fijados o determinados de una forma definida según los valores que se asignen a la variable independiente x, o a varias variables independientes x1, x2,..., xk. Función lineal: es del tipo y = mx Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. Función identidad: La función afín es del tipo: y = mx + n, donde m es la pendiente. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. La letra n representa la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas. Función constante: Es del tipo y = n.el criterio viene dado por un número real. La pendiente es 0. La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Función inversa o recíproca: Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f 1 que cumple: Si f(a) = b, entonces f 1 (b) = a. Función cuadrática: Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. f(x) = ax² + bx +c Función creciente: Sea f una función. Entonces, Se dice que f es una función creciente si: x 1 < x 2 implica que f(x 1 ) < f(x 2 ) de donde x 1 y x 2 son números cualesquiera del dominio de f. Función decreciente: Se dice que f es una función decreciente si: x 1 < x 2 implica que f(x 1 ) > f(x 2 ) de donde x 1 y x 2 son números cualesquiera del dominio de f. BIBLIOGRAFÍA: Aprendo a superar las matemáticas de 3º de BUP Matemáticas Tecnología 1º Bachiller J.R. Vizmanos y M. Anzola. Diccionario enciclopédico Larousse. Diccionario enciclopédico Vox. Microsoft Encarta Enciclopedia Planeta Multimedia.

16 16 AREA DE MATEMÁTICAS GEOMETRÌA GRADO ONCE PERIODO 01 NOMBRE: CAPACIDADES EJE Solución de problemas Razonamiento Comunicación Geométrico - métrico TEMA Superficies regladas INDICADORES DE LOGRO: Interpreto y analizo las superficies regladas Determino propiedades y magnitudes determinables DESTREZAS Interpretar y plantear Procesar matemáticamente Plantear soluciones Analizar Contrastar Formular y comprobar hipótesis Codificar y decodificar Interpretar gráficas Expresar en lenguaje matemático UNIDAD TEMATICA Ángulos y medidas angulares SUBTEMA Poliedros Poliedros regulares Pirámides Prismas Poliedros: Un poliedro es un sólido de caras planas (la palabra viene del griego, poli- significa "muchas" y -edro significa "cara"). Cada cara plana (simplemente "cara") es un polígono. Así que para ser un poliedro no tiene que haber ninguna superficie curva. Ejemplos de poliedros: Prisma triangular Cubo Dodecaedro Poliedros comunes Sólidos platónicos Prismas Pirámides

17 17 Contar caras, vértices y aristas: Si cuentas el número de caras (las superficies planas), los vértices (las esquinas) y las aristas de un poliedro, descubrirás algo interesante: El número de caras más el número de vértices menos el número de aristas es igual a 2 Esto se puede escribir limpiamente con una ecuación: F + V - E = 2 Se la llama "fórmula del poliedro" o "fórmula de Euler", y viene bien para saber si has contado correctamente Vamos a probar con algunos ejemplos: Este cubo tiene: 6 caras 8 vértices 12 aristas F + V - E = = 2 Este prisma tiene: 5 caras 6 vértices 9 aristas F + V - E = = 2 Ortoedros, prismas rectangulares y cubos Un ortoedro o cuboide es un objeto con forma de caja. Tiene seis caras planas y todos sus ángulos son ángulos rectos, y todas sus caras son rectángulos. También es un prisma porque todas sus secciones a lo largo de una dirección son iguales. De hecho es un prisma rectangular. Si al menos dos de las longitudes son iguales entonces también se lo puede llamar prisma cuadrado. Si las tres longitudes son iguales también se llama cubo (o hexaedro) y cada cara es un cuadrado. Un cubo también es un prisma y el cubo es uno de los sólidos platónicos. Así que un cubo es sólo un tipo especial de prisma cuadrado, y un prisma cuadrado es sólo un tipo de prisma rectangular y todos ellos son ortoedros. Nota: el nombre "cuboide" viene de "cubo" y -oide (que significa "similar, que se parece a") e indica que "se parece a un cubo". El nombre "ortoedro" viene de orto-, que significa "recto", y - edro, que significa "cara". Otro uso de -oide es cuando decimos que la Tierra es un esferoide (no es exactamente una esfera, pero casi).

18 18 Volumen y área superficial El volumen de un ortoedro es simplemente: Volumen = longitud profundidad altura Y lo podemos escribir como: V = lpa Y el área de su superficie es: A = 2lp + 2pa + 2al Ejemplo de cálculo Encuentra el volumen y el área superficial de este ortoedro. V = = 200 A = = = 220 Ejemplos de ortoedros Los ortoedros son muy comunes en nuestro mundo, desde cajas a edificios, los vemos en todas partes. Hasta puedes poner ortoedros dentro de otros ortoedros! Una caja con una ranura a modo de asa Ortoedros en una habitación con forma de ortoedro Cajas de maquetas de trenes Pirámides Cuando pensamos en pirámides siempre nos acordamos de las Grandes Pirámides de Egipto. Son pirámides cuadradas, porque sus bases son cuadrados.

19 19 Partes de una pirámide Una pirámide se hace conectando una base con un ápice Tipos de pirámides Hay muchos tipos de pirámides, sus nombres dependen de la forma de la base. Pirámide Base Triangular Pirámide: Cuadrado Pirámide: Pentagonal Pirámide: Área y volumen El volumen de una pirámide 1 / 3 [Área base] altura El área de la superficie de una pirámide 1 / 2 Perímetro [Longitud cara] + [Área base] Explicación del área de la superficie: El área de la superficie tiene dos partes: el área de los lados (el área lateral) y el área de la base (el área de la base). El área de la base depende de la forma, hay distintas fórmulas para triángulos, cuadrados, etc. Lee Área para ver las fórmulas, o nuestra Herramienta para calcular áreas. Pero el área lateral es muy sencilla de calcular. Sólo hay que multiplicar el perímetro por la longitud de una cara y dividir entre 2. Esto es porque los lados siempre son triángulos y el área de un triángulo es base por altura entre 2

20 20 Pirámides rectas y oblicuas: El nombre te dice dónde está la punta (ápice) de la pirámide. Si el ápice está directamente sobre el centro de la base, es una pirámide recta, si no es una pirámide oblicua. Pirámide recta Pirámide oblicua Pirámides regulares e irregulares: Esto depende de la forma de la base. Si la base es un polígono regular, entonces es una pirámide regular, si no es una pirámide irregular. Pirámide regular Pirámide irregular La base es regular La base es irregular TALLER No. 1 POLIEDROS 1. Teniendo en cuenta los ángulos poliedros, resuelve con todo el proceso: a. Se puede construir un triedro con caras que midan 80º, 35º y 40º cada una? Y si miden 110º, 200º y 60º? Justificar la respuesta. b. Dos caras de un triedro miden 89º y 131º. Entre qué valores puede oscilar la tercera? c. Averiguar si es posible construir un ángulo poliedro convexo con las siguientes caras: una es un ángulo de un triángulo equilátero, dos son ángulos de un cuadrado, y la cuarta es de un hexágono regular. 2. Teniendo en cuenta los poliedros regulares, resuelve con todo el proceso: a. La arista de un dodecaedro regular mide 10 cm. Cuánto vale la suma de todas sus aristas? b. La diagonal de un ortoedro regular mide 3 m, calcula la longitud de su arista. 3. Consulta la siguiente página y desarrolla el proceso para la elaboración de poliedros, elaborando alguno de ellos: TALLER No. 2 PIRÁMIDES Resuelva con todo el proceso: 1. Determinar la altura de un tetraedro regular cuya área vale 300 m Hallar las aristas (lateral y de la base) de una pirámide hexagonal regular, sabiendo que la suma de sus doce aristas es de 54 m y que la altura de la pirámide vale 4 m.

21 3. Una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base, a la distancia indicada en la figura. Qué relación hay entre las áreas de la sección y la base de la pirámide? Y entre los volúmenes de la pirámide inicial y la que queda después del corte? La base de una pirámide regular es un hexágono regular de 10 cm de lado. Calcular su altura, sabiendo que su superficie lateral es el doble de la de la base. 5. Hallar el volumen de una pirámide regular de base cuadrada, sabiendo que el lado de la base mide 1m y que el área lateral es el triple del área de la base. 6. En un libro de 1970 encontramos el siguiente problema: Qué altura alcanzará una pirámide cuadrangular de 12 m de lado en la base, construida con todo el oro extraído hasta ahora, admitiendo que se eleve a millones de pesetas? La densidad del oro es de 19'26 y su valor de 34'44 pesetas el gramo. 7. Una bombilla dista 5 m de una pared. Un cartón cuadrado de 15 cm de lado se coloca entre los dos, de forma paralela a la pared y a 3 m de ésta. Hallar el área de la sombra. Y si está a x metros de la pared? 8. Calcular el volumen de una pirámide regular cuya arista lateral vale 25 cm y cuya base es un cuadrado de 25 cm2 de área. 9. Calcular el volumen del tetraedro que resulta al cortar el cubo de 1dm de arista. 10. Qué profundidad tiene una zanja, con forma de tronco de pirámide cuadrangular regular cuya abertura mide 1'15 m de lado y el fondo 0'7 m y el volumen de tierra extraído 4'55 m 3? 11. A qué altura se ha de cortar por un plano paralelo a la base una pirámide regular de base cuadrada de lado 3 m y altura 3 m para obtener dos piezas de igual volumen? 12. Un tetraedro regular de 1 m de arista tiene 3 m 3 de volumen, cuál es el volumen de los tetraedros de arista 2 m y 3 m respectivamente? 13. Un tronco de pirámide regular de 4m de altura tiene las bases cuadradas con lados de 3m y 5m. Qué longitud corresponde a las aristas laterales de la pirámide total? Y a la altura de los cuatro trapecios? TALLER No. 3 PRISMAS Resuelva con todo el proceso: 1. Una fuente tiene una altura de 1 m y su base es un hexágono regular de 2 m de lado. Calcular su volumen. 2. Con una lámina de latón de 2 m 2 se desea construir un cubo. Qué longitud tendrá su arista? Cuál será su volumen? 3. Las dimensiones de un ortoedro son tres números consecutivos que suman 42. Calcula su superficie.

22 4. Calcular las dimensiones de un ortoedro, sabiendo que sus aristas son directamente proporcionales a 2, 3 y 7 y que su área total es de 3'28 m En un paralepípedo recto cuyas bases son dos rombos, el área total es de 140. La suma de las diagonales del rombo vale 16, y la razón entre las áreas lateral y total es 4/7. Hallar las diagonales del rombo y del paralepípedo. 6. Alberto decide pintar las paredes exteriores de su casa. Para ellos, utiliza pintura de rendimiento 10 litros por cada 4 m a. a. Cuánta pintura necesitará? b. Si la pintura viene en latas de 10 litros cuántas debe comprar? 7. Carlos ha construido una estantería de libros y ahora quiere barnizarla. a. Calcula el área total a barnizar en m 2. b. Si una lata de barniz cubre 2 m 2 cuántas las serán necesarias? 8. La altura de un prisma recto mide 10 cm; su base es un rectángulo, en el que uno de sus lados es el doble del otro. Si el área total es de 136 cm 2, calcular la longitud de una de las diagonales del prisma. 9. Hallar el volumen de un paralelepípedo recto de base cuadrada, sabiendo que la suma de todas sus aristas es 3'6 m y que la altura tiene 30 cm más que la longitud del lado de la base. Si está hecho de aluminio, cuya densidad es de 2'5, cuánto pesa? 10. Un ortoedro tiene un volumen de 315 cm 3, y de las tres aristas que concurren en un vértice, una mide 7 cm, y entre las otras suman 14 cm. Hallar el área total del ortoedro.

23 23 GLOSARIO: Polígono: Porción de plano limitada por una línea poligonal cerrada. Un polígono queda determinado por sus lados, que son los segmentos de la poligonal, y por sus ángulos, que son los que forman cada dos lados consecutivos. Perímetro: De un polígono es la suma de las longitudes de todos sus lados. Área: De una figura es el número que indica la porción de plano que ocupa, es decir la medida de lo que se encuentra internamente en una figura plana. Se expresa en unidades de superficie o unidades cuadradas. Figuras planas: Son todas aquellas figuras que carecen de grosor o espesor. Paralelogramo: cuadrilátero cuyos dos pares de lados opuestos son iguales entre sí. Cuadrados: Sus cuatro lados son iguales y sus cuatro ángulos son rectos. Rectángulos: Sus cuatro ángulos son rectos. Rombos: Sus cuatro lados son iguales. Romboides: Sus cuatro lados no son iguales y no tienen ningún ángulo recto. Triángulo: polígono de tres lados. Se clasifica según la longitud de sus lados y según la medida de sus ángulos. Triángulos equiláteros: si sus tres lados son iguales. Triángulos isósceles: si tienen dos lados iguales. Triángulos escalenos: si los tres lados son distintos. Triángulos acutángulos: Tienes sus tres ángulos son agudos Triángulos obtusángulos: si el mayor de sus ángulos es obtuso. Triángulos rectángulos: Si tiene una ángulo recto BIBLIOGRAFÍA: Aprendo a superar las matemáticas de 3º de BUP Matemáticas Tecnología 1º Bachiller J.R. Vizmanos y M. Anzola. Diccionario enciclopédico Larousse. Diccionario enciclopédico Vox. Microsoft Encarta Enciclopedia Planeta Multimedia.

24 24 AREA DE MATEMÁTICAS ESTADÍSTICA GRADO ONCE PERIODO 01 NOMBRE: CAPACIDADES EJE Solución de problemas Razonamiento Comunicación Aleatorio TEMA Conceptos básicos de estadística DESTREZAS Interpretar y plantear Procesar matemáticamente Plantear soluciones Analizar Contrastar Formular y comprobar hipótesis Codificar y decodificar Interpretar gráficas Expresar en lenguaje matemático UNIDAD TEMATICA Estadística SUBTEMA Población: Muestra Variable Datos Gráficos estadísticos Gráficos estadísticos Análisis de gráficos INDICADORES DE LOGRO: Interpreto conceptos básicos de estadística y codifica resultados para expresarlos en lenguaje matemático INTRODUCCIÓN: ESTADÍSTICA: Rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de experimentos y la toma de decisiones. HISTORIA: Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o cosas. Hacia el año 3000 a.c. los babilonios usaban pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola y sobre los géneros vendidos o cambiados mediante

25 trueque. En el siglo XXXI a.c., mucho antes de construir las pirámides, los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país. Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a.c. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a.c. para cobrar impuestos. El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente. Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encargó la realización de un censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de defunción en Londres). Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales. En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos o físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de interpretación de esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: La estadística descriptiva analiza, estudia y describe a la totalidad de individuos de una población. Su finalidad es obtener información, analizarla, elaborarla y simplificarla lo necesario para que pueda ser interpretada cómoda y rápidamente y, por tanto, pueda utilizarse eficazmente para el fin que se desee. El proceso que sigue la estadística descriptiva para el estudio de una cierta población consta de los siguientes pasos: Selección de caracteres dignos de ser estudiados. Mediante encuesta o medición, obtención del valor de cada individuo en los caracteres seleccionados. Elaboración de tablas de frecuencias, mediante la adecuada clasificación de los individuos dentro de cada carácter. Representación gráfica de los resultados (elaboración de gráficas estadísticas). Obtención de parámetros estadísticos, números que sintetizan los aspectos más relevantes de una distribución estadística. 25 ESTADÍSTICA INFERENCIAL: La estadística descriptiva trabaja con todos los individuos de la población. La estadística inferencial, sin embargo, trabaja con muestras, subconjuntos formados por algunos individuos de la población. A partir del estudio de la muestra se pretende inferir aspectos relevantes de toda la población. Cómo se selecciona la muestra, cómo se realiza la inferencia, y qué grado de confianza se puede tener en ella son aspectos fundamentales de la estadística inferencial, para cuyo estudio se requiere un alto nivel de conocimientos de estadística, probabilidad y matemáticas. ETAPAS DE DESARROLLO DE LA ESTADÍSTICA La historia de la estadística está resumida en tres grandes etapas o fases. 1.- Primera Fase: Los Censos: Desde el momento en que se constituye una autoridad política, la idea de inventariar de una forma más o menos regular la población y las riquezas existentes en el territorio está ligada a la conciencia de soberanía y a los primeros esfuerzos administrativos. 2.- Segunda Fase: De la Descripción de los Conjuntos a la Aritmética Política: Las ideas mercantilistas extrañan una intensificación de este tipo de investigación. Encuestas sobre artículos manufacturados, el comercio y la población.

26 26 La primera propuesta de un impuesto sobre los ingresos La escuela inglesa proporciona y publica en 1801 el primer censo general de población, Desarrolla los estudios industriales, de las producciones y los cambios, haciéndose sistemáticos durante las dos terceras partes del siglo XIX. 3.- Tercera Fase: Estadística y Cálculo de Probabilidades: El cálculo de probabilidades se incorpora rápidamente como un instrumento de análisis extremadamente poderoso para el estudio de los fenómenos. A partir de 1950 comienza la época moderna de la Estadística Algunos aspectos diferenciales respecto a los periodos anteriores son: La aparición del computador va a revolucionar la metodología estadística y permitirá la construcción de modelos más complejos. El cambio de énfasis en la metodología estadística La influencia de Neyman y Pearson entre otros concentran la investigación teórica en la búsqueda de procedimientos óptimos de estimación y contraste de hipótesis. La creciente importancia del análisis multi-variable que solo puede tratarse mediante programas de computador adecuados. Las técnicas emergentes de clasificación, simulación y descripción de datos que solo son posibles debido a la creciente potencia de los computadores. CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA: POBLACIÓN: Se define como el conjunto de todas las mediciones que es posible obtener a partir de observar una cierta característica en cada uno de los elementos de la población de estudio; es decir el lugar donde se aplica la encuesta. MUESTRA: Es cualquier subconjunto no vacío de la población. Una muestra básica, es la llamada muestra aleatoria, la cual se selecciona al azar, partiendo de una población. Cuando la muestra es tomada de una población que cumple con ciertas características especiales (por ejemplo ser mujer o ser mayor de 30 años, entre otras) recibe el nombre de muestra sesgada. VARIABLE: Al hablar en estadística de una variable, nos referimos a un atributo observable - en los elementos de la muestra o de una población de estudio -, que no asume el mismo valor para todos los elementos, es decir, toma dos o más valores. Los valores que utiliza la estadística son de cualquiera de estos tres tipos: Variables cualitativas o atributos: no se pueden medir numéricamente (por ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo, color de ojos, estado civil, entre otras). Variables cuantitativas: tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ingresos anuales) y pueden ser: Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: número de hermanos (puede ser 1, 2, 3..., entre otras, pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45). Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la velocidad de un vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h...entre otras. Las variables también se pueden clasificar en: Variables unidimensionales: sólo recogen información sobre una característica (por ejemplo: edad de los alumnos de una clase). Variables bidimensionales: recogen información sobre dos características de la población (por ejemplo: edad y altura de los alumnos de una clase). Variables pluridimensionales: recogen información sobre tres o más características (por ejemplo: edad, altura y peso de los alumnos de una clase). Variables categóricas: Si sus posibles valores son categorías (colores, partidos políticos entre otras). DATOS: Son las respuestas obtenidas al aplicar una encuesta y son la base para elaborar tablas de frecuencias y gráficas estadísticas. Los datos pueden ser: Datos no agrupados: Es cuando se hace el conteo de las personas que dieron una misma respuesta, también se conoce como frecuencia Datos agrupados: Se fija un intervalo y dentro de éste se ubican varios de los datos obtenidos. Ejemplo: En la Institución educativa Ricaurte se encuestan 120 estudiantes para determinar su equipo de fútbol favorito, obteniendo los siguientes resultados: 50 millitos, 40 Nacional y 30 Santa fé.

27 27 Población: Institución Educativa Ricaurte Muestra: 120 Estudiantes Clase de muestra: Aleatoria Variable: Cuál es su equipo de fútbol favorito? Clase de variable: Categórica y cuantitativa discreta Datos: 50 millitos, 40 Nacional y 30 Santa fé. Clase de datos: No agrupados GRÁFICOS ESTADÍSTICOS: Son representaciones gráficas de los resultados que se muestran en una tabla estadística. Pueden ser de formas muy diversas, pero con cada tipo de gráfica se cumple un propósito. Por ejemplo, en los medios de comunicación, libros de divulgación y revistas especializadas se encuentran multitud de gráficas estadísticas en las que, con notable expresividad, se ponen de manifiesto los rasgos de la distribución que se pretende destacar. Los diagramas de barras, los diagramas de sectores, los histogramas y los polígonos de frecuencias son algunas de ellas. En síntesis las representaciones gráficas deben conseguir que un simple análisis visual ofrezca la mayor información posible. Según el tipo del carácter que estemos estudiando, usaremos una representación gráfica u otra. a) Diagramas de barras: Es un gráfico sobre ejes cartesianos en el que distribuimos en el eje X o eje de abscisa: Las modalidades si el carácter es cualitativo Los valores si la variable es no agrupada Sobre ellos se levantan barras o rectángulos de igual base (que no se solapen) cuya altura sea proporcional a sus frecuencias. También se suelen utilizar para series cronológicas y pueden, asimismo, representarse horizontalmente, intercambiando los ejes. Realicemos los diagramas de barras asociados a los siguientes ejemplos: Ejemplo 1. Un estudio hecho en un conjunto de 25 varones con objeto de determinar su grupo sanguíneo ha conducido a los siguientes resultados: A, B, A, A, A, AB, O, A, A, A, O, B, O, A, B, O, B, O, A, B, B, A, A, O, B. Modalidad Frecuencia Frecuencia absoluta relativa Porcentajes A 11 11/25 44% B 7 7/25 28% O 6 6/25 24% AB 1 1/25 4% % Ejemplo 2. En la siguiente tabla se han recogido los datos sobre la entrada de turistas, en millones, en España durante los distintos meses de E F M A M J J A S O N D

28 28 b) Histogramas: Se utiliza con variables agrupadas en intervalos, representando en el eje X los intervalos de clase y levantando rectángulos contiguos de base la longitud de los distintos intervalos y de altura tal que el área sea proporcional a las frecuencias representadas. Si son frecuencias acumuladas, serán proporcionales a las alturas aunque los intervalos sean de distinta amplitud. En el ejemplo 3 hemos agrupado los datos en intervalos. Por tanto, podemos realizar los histogramas utilizando las frecuencias absolutas y las frecuencias absolutas acumuladas. Ejemplo: El número de personas que viven en cada uno de los portales de una gran barriada es: 63, 69, 83, 85, 93, 73, 80, 94, 104, 125, 141, 152, 115, 120, 127, 139, 105, 114, 123, 121, 128, 90, 75, 137, 131, 73, 62, 100, 109, 117, 124, 103, 133, 138, 143, 110, 61, 91, 87, 156, 147, 134, 129, 96, 99, 74, 104, 97, 84, 98, 78, 71, 133, 63, 69, 76, 86, 88, 77, 124, 116, 119, 102, 107, 106, 111, 119, 107, 100, 109, 83, 85, 93, 93, 118, 116, 117, 133, 155, 143. Cómo resumirías los datos en una tabla? Intervalos de clase (60,76] (76,92] (92,108] (108,124] (124,140] (140,156] Marca de clase Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 12/80 13/80 18/80 18/80 12/80 7/80 Porcentajes 15% 16 25% 22 5% 22 5% 15% 8 75% % Frecuencia absoluta acumulada Frecuencia relativa acumulada 12/80 25/80 43/80 61/80 73/80 1 En este caso, todos los intervalos son de la misma longitud, por lo que la altura de cada rectángulo coincide con la frecuencia. Cuando se realizan representaciones correspondientes a edades de población, cambiamos el eje Y por el eje X para obtener las llamadas pirámides de población, que no son más que 2 histogramas a izquierda y derecha, para hombres y mujeres. Veamos un ejemplo:

29 c) Polígonos de frecuencias: Son gráficos lineales que se utilizan en el caso de una variable cuantitativa. Para realizar estos polígonos unimos los puntos medios de las bases superiores del diagrama de barras o del histograma según la variable sea agrupada o no agrupada. Vamos a realizar los polígonos de frecuencia asociados a los siguientes ejemplos: Ejemplo 1. Observa el siguiente gráfico en el que se expresan las calificaciones obtenidas en un ejercicio: 29 Cómo resumirías esta información en una tabla? Valores Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 1/20 2/20 1/20 2/20 3/20 4/20 3/20 1/20 2/20 1/20 Porcentajes 5% 10% 5% 10% 15% 20% 15% 5% 10% 5% % Frecuencia absoluta acumulada Frecuencia relativa acumulada 1/20 3/20 4/20 6/20 9/20 13/20 16/20 17/20 19/20 1 Ejemplo 2. El número de personas que viven en cada uno de los portales de una gran barriada es: 63, 69, 83, 85, 93, 73, 80, 94, 104, 125, 141, 152, 115, 120, 127, 139, 105, 114, 123, 121, 128, 90, 75, 137, 131, 73, 62, 100, 109, 117, 124, 103, 133, 138, 143, 110, 61, 91, 87, 156, 147, 134, 129, 96, 99, 74, 104, 97, 84, 98, 78, 71, 133, 63, 69, 76, 86, 88, 77, 124, 116, 119, 102, 107, 106, 111, 119, 107, 100, 109, 83, 85, 93, 93, 118, 116, 117, 133, 155, 143. Cómo resumirías los datos en una tabla? Intervalos de clase (60,76] (76,92] (92,108] (108,124] (124,140] (140,156] Marca de clase Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 12/80 13/80 18/80 18/80 12/80 7/80 Porcentajes 15% 16 25% 22 5% 22 5% 15% 8 75% Frecuencia absoluta acumulada Frecuencia relativa acumulada 12/80 25/80 43/80 61/80 73/ % Un caso particular de aplicación de los histogramas y los polígonos de frecuencias es el climograma, que representa la marcha anual de las temperaturas y de las lluvias medias, sobre un mismo sistema de coordenadas. Veamos un ejemplo:

30 30 En el caso de representar las frecuencias acumuladas se unen los puntos medios de las bases superiores del diagrama de barras, si la variable es no agrupada, y los vértices superiores derechos de los rectángulos si se trata de una variable agrupada. d) Diagrama de sectores: Son gráficos en los que a cada valor o modalidad se reasigna un sector circular de área proporcional a la frecuencia que representan. Se utilizan si el carácter es cualitativo o cuantitativo discreto no agrupado. Ejemplo: Un estudio hecho en un conjunto de 25 varones con objeto de determinar su grupo sanguíneo ha conducido a los siguientes resultados: A, B, A, A, A, AB, O, A, A, A, O, B, O, A, B, O, B, O, A, B, B, A, A, O, B. e) Pictogramas: Son gráficos con dibujos alusivos al carácter que se está estudiando y cuyo tamaño es proporcional a la frecuencia que representan; dicha frecuencia se suele representar. En el siguiente ejemplo hemos representado el número de partidos ganados, perdidos o empatados de un equipo. f) Cartogramas: Son gráficos realizados sobre mapas, en los que aparecen indicados sobre las distintas zonas cantidades o colores de acuerdo con el carácter que representan. En el siguiente cartograma observamos la urbanización en el mundo atendiendo a la industrialización. g) Otros gráficos: Otras representaciones gráficas que nos podemos encontrar son análogas al diagrama de barras, en las que en lugar de levantar rectángulos se asocian a cada valor pirámides, cilindros, entre otras. h) Análisis de la información: Cuando nos encontramos con información basada en gráficos estadísticos hemos de tener en cuenta: La escala de los ejes coordenados cuando los hay. Si no existen ejes, la información numérica debe aparecer en el gráfico y guardar la correspondiente proporción con el dato numérico. Supóngase que Pedro obtiene 32 puntos en una prueba de lectura. La calificación por sí misma tiene muy poco significado a menos que usted conozca cuál es el total de puntos que obtiene una persona promedio al participar en esa prueba, cuál es la calificación menor y mayor que se obtiene, y cuán variadas son esas

31 calificaciones. Es decir que para que una calificación tenga significado hay que contar con elementos de referencia generalmente relacionados con ciertos criterios estadísticos. Las medidas de tendencia central (media, mediana, moda, media geométrica y media armónica) sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba. Digamos por ejemplo que la calificación promedio en la prueba que hizo Pedro fue de 20 puntos. De ser así podemos decir que la calificación de Pedro se ubica notablemente sobre el promedio. Pero si la calificación promedio fue de 60 puntos, entonces la conclusión sería muy diferente, dado que se ubicaría muy por debajo del promedio de la clase. En resumen, el propósito de las medidas de tendencia central son: Mostrar en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo. Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier puntaje en relación con el puntaje central o típico. Sirve como un método para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones. Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o más grupos. 31 TALLER No. 1 ESTADISTAS FAMOSOS: En el siguiente listado se nombran varios estadistas famosos, quince de ellos los debes encontrarlos en la sopa de letras, e investigar una breve biografía de cada uno de ellos. ESTADÍSTAS FAMOSOS: Thomas Bayes Pafnuti Chebyshov George Dantzig René Descartes W. Edwards Deming Sir Ronald Fisher Sir Francis Galton Carl Friedrich Gauss William Sealy Gosset Andréi Kolmogórov Abraham De Moivre Sir Isaac Newton Jerzy Neyman Blaise Pascal George Box Karl Pearson Adolphe Quetelet Walter Shewhart Charles Spearman John Tukey TALLER No. 2 CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA: 1. Elaborar un folleto a mano sobre la historia de la estadística. 2. De la siguiente encuesta determine: población, muestra, clase de muestra, variable, tipo de variable y datos: En la Institución Educativa Ricaurte se encuestan a 108 estudiantes, para determinar la música favorita, obteniendo los siguientes resultados: 35 Rock 47 Salsa 26 Baladas

32 3. Responde las preguntas: 32 a. A cada resultado que se obtiene al realizar una investigación, se le llama: encuesta?, población?, muestra?, dato? Justifica tu respuesta. b. La muestra estadística: Tiene menos elementos que la población? Tiene más elementos que la población? Tiene infinito número de elementos? Tiene igual número de elementos que la población? c. Si investigamos un problema x entre 500 personas de una región de 2000 habitantes: La población tiene elementos La muestra tiene elementos La muestra es el % de la población d. En un examen visual realizado a los estudiantes de una Institución Educativa, se encontró que 12 de cada 125 estudiantes sufren de miopía. Si la Institución tiene 1575 estudiantes Cuántos de ellos probablemente sufren de miopía en toda la Institución? e. Al realizar una encuesta entre 500 personas de un barrio de 3750 habitantes, se investigó que 75 de ellas prefieren hacer sus compras en un supermercado Cuántas personas, probablemente prefieren lo mismo? f. El rector de una escuela secundaria toma al azar 50 solicitudes de estudiantes para ingresar a determinada electiva y se encuentra lo siguiente: 17 estudiantes quieren ingresar a danzas 8 estudiantes quieren ingresar al coro 13 estudiantes quieren ingresar a teatro 5 estudiantes quieren ingresar a ajedrez 7 estudiantes quieren ingresar a música Si la escuela tiene 727 estudiantes Cómo podrá saber el rector cuántos maestros necesita para cada electiva, si cada maestro va a tener a 40 estudiantes o menos? TALLER No. 3. ANÁLISIS DE GRÁFICOS: I. El siguiente gráfico fue tomado la de revista portafolio; revista que informa sobre economía, del mes de febrero del 2011, según las datos que se muestra en el gráfico con su respectiva encuesta, Qué puede interpretar, analizar y concluir de esta información? Indicadores Casas de cambio (promedio) Compra: $1.890,00 Venta: $1.930,00 Precio en la calle (promedio) Compra: $1.850,00 Venta: $1.910,00 El Mercado de Acciones opera entre las 9am y la 1pm

33 II. Lee atentamente y responde las preguntas que aparecen a continuación, justificando tu respuesta: 33 QUIÉNES SOMOS Y CÓMO ESTAMOS El departamento nacional de Estadística DANE, es el organismo encargado de la información estadística demográfica y económica del país, cuya misión consiste en garantizar la disponibilidad, la calidad y la imparcialidad de la información que recolecta y organiza. En relación con la información demográfica, el DANE cuenta con estadísticas respecto a la composición de la población colombiana por edades, por género (cuántos hombre y cuántas mujeres) y por actividad económica u ocupación. Esta información ha sido recolectada a través de los llamados censos de población y vivienda. Veamos algunas de estas estadísticas del DANE:

34 34 El censo de población del 1993, registro un total de habitantes en Colombia. Actualmente en nuestro país habitan más de de personas, una cifra alarmante en relación con los datos de población de mitad de siglo XX. Por ello es más cómodo imaginar que habitamos un país conformado solamente por 100 personas (una pequeña aldea llamada Colombia) y que conservamos los porcentajes de distribución que vemos en los cuadros anteriores. Por ejemplo, en esa pequeña aldea de 100 personas según el cuadro No. 1 de población: A. Hay 51 mujeres y 49 hombres B. De las 100 personas que habitan la aldea hay 15 que viven en una sola casa, llamada Bogotá. Pensar el país como una aldea. O pensar el planeta completo como una aldea, nos proporciona una imagen más comprensible de algunos problemas de la humanidad y de sus posibles soluciones, sobre todo cuando estos se expresan en cifras numéricas. 1. Si en Colombia éramos millones de habitantes en 1993, de los cuales vivían en Bogotá, el fraccionario que mejor representa la relación entre los habitantes de fuera de la capital con respecto a los de Colombia es: A. 4/33 B. 5/33 C. 5/28 D. 29/4 2. Según la imagen de aldea que has leído de Colombia con sus 100 habitantes, para calcular la cantidad de personas de la casa llamada Bogotá, se saca el entero más cercano al resultado de la siguiente operación: A / 100 x B x (100/ ) C x ( / 100) D. 100 x ( / ) 3. El 87,77% de las personas del país que están entre los 5 y los 11 años va a la escuela. Eso quiere decir que si la cantidad de niños de estas edades fuera x, entonces para calcular cuántos no van a la escuela se debe realizar la siguiente operación: A. (100 87,77) x / 100 B. 87,77x / 100 C. (87,77 x / 100) x D. (x / ,77) El porcentaje medio de personas entre 12 y 15 años, asistentes a la escuela entre las tres regiones es: A. 67,12% B. 80% C. 240% D. 90,11% 5. Al observar en el cuadro de empleo la cantidad de personas que viven en las once ciudades más pobladas ( personas), podemos afirmar que: A. Colombia es un país cuya población está concentrada en las ciudades grandes B. Colombia es un país con la población repartida equitativamente entre las ciudades grandes y el resto del territorio. C. En Colombia la mayoría de sus habitantes no viven en las ciudades grandes. D. Las ciudades tienen muy pocos habitantes con respecto a la población del país. 6. El promedio de personas que habitan en las once ciudades principales es un número: A. Más cercano a la población de Bogotá B. Más cercano a la población de Montería. C. Más cercano a D. Más cercano a un millón 7. La ciudad con mayor cantidad de habitantes, tiene tantos como: A. Pereira, Cúcuta, Ibagué y Montería juntas. B. Bucaramanga, Manizales y Pasto juntas. C. Medellín y Cali juntas D. Medellín, Cali y Bucaramanga juntas. 8. La población económicamente activa (P.E.A) es el conjunto de personas en edad legal de trabajar (18 a 60 años). Incluye las personas que tienen un empleo (personas ocupadas), y las que no teniéndolo, lo buscan (personas desempleadas o desocupadas). La tasa de desempleo de una ciudad se puede calcular hallando el porcentaje de: A. Personas desocupadas con respecto a la población total. B. Personas desocupadas con respecto a las ocupadas C. Personas desocupadas con relación a la P.E.A

35 D. Personas desocupadas con respecto a la P.E.I En la ciudad de Pasto, el porcentaje de personas ocupadas en relación con el número de habitantes en edad de trabajar, es de aproximadamente: A. 53,4% B. 60% C. 25,3% D. 10% 10. La ciudad con mayor tasa de desempleo es: A. Montería B. Cali C. Bogotá D. Manizales GLOSARIO DATOS: Son los valores cualitativos o cuantitativos mediante los cuales se miden las características de los objetos, sucesos o fenómenos a estudiar. ENCUESTA: Son métodos de recolección de datos, la entrevista es una serie de preguntas realizadas personalmente y la encuesta es llevada a cabo generalmente a través de algún formulario que la persona debe llenar. ESTADÍSTICA: Rama de la matemáticas que se ocupa e reunir, organizar, y analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de experimentos y la toma de decisiones. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: Rama de la estadística que proporciona a los investigadores las mediciones resumidas para los datos en las muestras. ESTADÍSTICA INFERENCIAL: Rama de la estadística que proporciona a los investigadores hacer juicios de la población con base en los resultados generados por las muestras. ESTADÍSTICO: Unidad de medida referente a la muestra. Se le llama estadístico también a la persona que trabaja con la estadística. HISTOGRAMA: Es una serie de rectángulos con bases iguales al rango de los intervalos y con área proporcional a sus frecuencias. INFERIR: Es emitir juicios o conclusiones basados en algún conocimiento o experiencia sobre un evento o suceso. INFERENCIA ESTADÍSTICA: Es aplicar resultados de estudios de una muestra a la poblaciones y emitir juicios o conclusiones sobre esa población en general. (Estadística) MUESTRA: colección de algunos elementos pero no de todos de la población bajo estudio POBLACIÓN Y MUESTRA: Grupo entero al cual se le recogen datos, TAMAÑO DE LA MUESTRA: Es la cantidad de datos que serán extraídos de la población para formar parte de la muestra. VARIABLE: es la cualidad o cantidad medible que se estudia de las unidades de análisis y que varían de una unidad a otra. Por ejemplo: edad, ingreso de un individuo, sexo, cantidad de lluvia caída, entre otras. DATOS AGRUPADOS: Se fija un intervalo y allí se incluyen varios datos obtenidos en una encuesta BIBLIOGRAFÍA: Baldor Aurelio. Aritmética. Ed. Cultural colombiana. Impreso en España Baldor Aurelio. Álgebra. Ed. Cultural centroamericana S.A. Madrid 1980 Calderón Cristina. Inteligencia lógico matemática 9. Ed. Voluntad. Bogotá 2003 Olmos Alfredo. Matemática práctica 8. Ed. Voluntad. Bogotá 1990 Enciclopedia Microsoft Encarta 2005.

36 36 El siguiente cuestionario consta de 30 preguntas, debe ser desarrollado completamente CON TODO EL PROCESO O ARGUMENTANDO SU RESPUESTA. NO USAR NI CALCULADORA, NI CELULAR 1. Escriba una breve historia de caja unos de los conjuntos numéricos que conforman los números reales (R) y dar ejemplos de cada uno. Recuerda que son los números naturales (N), los números enteros (Ζ), los números racionales (Q) y los números irracionales (I), conforman los números reales (R) 2. Desarrolle cada uno de los siguientes ejercicios: a. (+3) x (-2) - (-7) - (+2) b c ( ) 2 d. 2 - ( ) + 8 e. 3-7 [ (-3 x 1,01) - 5] f [(-13 20,8 + 8) - 4] - [-2, ( )] 3. Utilizando los números naturales (N) y sus operaciones, resuelva los siguientes problemas: a. Si ganara US$ 56 (Cincuenta y seis dólares) menos al mes, podría gastar US$ 35 en arriendo, US$ 40 en manutención, US$ 18 en colegio para mis hijos, US$ 59 en otros gastos y podría ahorra US$ 32 al mes. Cuánto gano al mes? b. Ana tiene 15 años; Betty tiene 2 años más que Ana; Carolina tiene 5 años menos que Ana y Betty juntas; y Daniela tiene 9 años menos que las tres anteriores juntas. Cuál es la suma de las cuatro edades? c. William compró 115 caballos a 70 (Setenta Euros); 15 se murieron y el resto los vendió a 80 cada caballo. Cuánto ganó o perdió William? d. Enrique compró cierto número de vacas por 2120; a 40 cada uno. Vendió 40 caballos por Cuántos caballos le quedan y cuánto ganó en cada uno de los que vendió? 4. Utilizando los números enteros (Ζ) y sus operaciones, resuelva los siguientes problemas: a. Un termómetro marca a partir de 6º bajo cero los siguientes cambios de temperatura: disminuye 1º, aumenta 8º,aumenta 2º, disminuye 5º, aumenta 3º, disminuye 8º y aumenta 2º. Cuál es la temperatura final marcada por el termómetro? b. Un hombre nervioso se pasea a lo largo del pasillo de un consultorio dental, así: dos pasos a la derecha de la puerta del consultorio, regresa 5, se devuelve 3 y regresa nuevamente 6 pasos. A qué distancia está de la puerta del consultorio cuando le dicen que pase? c. Un ascensor se encuentra en el piso 15.Desde allí sube 2 pisos, baja 7 y luego 2 más. Enseguida sube 3 pisos. En qué piso se encuentra al final? d. William juega canicas con sus amigos y amigas. Empieza con 5, gana 6, pierde 2, pierde 3, gana 2 y pierde 7 canicas. Cuántas canicas tiene William al finalizar el juego? e.. Cuántos años transcurrieron desde la muerte de Julio Cesar, año 44 antes de Cristo, hasta la caída del imperio romano de occidente, año 395 después de Cristo? f. Qué distancia hay entre el suelo del pozo de una mina situado a 518 m de profundidad y el tejado de una casa de 36 m de altura? g. En Ávila, un día a las 6 de la mañana el termómetro marcaba 6º C, a las 12 horas de la mañana la temperatura fue de 4º C. Cuál fue en grados la variación de la temperatura? h. Represente en la recta numérica el siguiente cuadro de relaciones entre alturas y profundidades en metros respecto al nivel del mar (use una escala donde cada partición sea de 1000 metros). Mar Muerto m. Monte Everest 8840 m. Bogotá 2640 m. Valle de la muerte -86 m. Monte Aconcagua 6958 m. Fosa de Chile m. Fosa de Cabo Verde m. 5. Resuelva los siguientes problemas con números fraccionarios: a. Si tengo $7/8 Cuánto me falta para tener 1? b. Tenía 50 (cincuenta euros); pagué 16 con 2/9 que debía; gasté 5 con 3/7 y después recibí 42 con 1/6 Cuánto tengo ahora? Si sabe que un Euro ( ) equivale en pesos colombianos a $ ,75 dar su respuesta en pesos colombianos. c. En un colegio hay 324 estudiantes y el número de niñas es los 7/18 del total. Cuántos niños hay en el colegio?

37 d. Diez obreros pueden hacer 14 con 2/11 metros de una obra en una hora. Cuántos metros hace cada obrero en ese tiempo? e. La distancia entre dos ciudades es de 140 Kms. Cuántas horas debe andar un hombre que recorre los 3/14 de dicha distancia en una hora, para ir de una ciudad a otra? f. Cuánto pierdo cuando vendo por los 3/7 lo que me ha costado $84.000? g. Con US$ 65 (Sesenta y cinco dólares), que tenía compré libros por US$ 15 y gasté en un vestido los 7/10 del resto. Cuánto me queda? Resuelva los siguientes problemas con números decimales: a. Se adquiere un libro por 4,50; un par de zapatos por 2 menos que el libro; un esfero por la mitad de los que costó el libro y los zapatos. Cuánto sobrará después de hacer estos pagos si tenía 15, 83? b. El agua contenida en cuatro estanques pesa 879,002 Kgs. El primer depósito contiene 18,132 Kgs. menos que el segundo; el segundo tiene 43,016 Kgs. más que el tercero; y el tercero 78,15 Kgs. más que el cuarto. Hallar el peso del agua contenida en cada estanque. c. Un estanque puede llenarse por dos llaves. La primera vierte 25,23 litros en tres minutos y la segunda 31, 3 litros en cinco minutos. Cuánto tiempo tardará en llenarse el estanque, si estando vacío se abren al tiempo las llaves, sabiendo que su capacidad es de 425, 43 litros? 7. Explique la potenciación, la radicación y la logaritmación con sus partes y dé ejemplos. 8. Explique cada una de las propiedades de la potenciación, la radicación y la logaritmación dar ejemplos de cada una. 9. Resuelva los siguientes ejercicios, aplicando la potenciación, la radicación o la logaritmación, según corresponda: a = b = c. (5 3 ) 4 = d. ( 3) 2 ( 3) 3 ( 3) 4 = e. (2/3) 2. (2/3) - 3 = f. Log 3 de 27 Lo g 56 d e 1= 10. Resuelva los siguientes problemas, aplicando la potenciación, la radicación o la logaritmación, según corresponda: a. La suma de los cuadrados de dos números es 1186 y el número menor es 15. Hallar el número mayor. b. Una mesa cuadrada tiene 225 dm 2 de superficie o área, hallar las dimensiones. c. Cuáles son las dimensiones de un terreno rectangular de 722 m 2 ; si su longitud es el doble del ancho? d. Una caja de forma cúbica tiene cm 3 de volumen. Cuál es la medida de su arista? e. Cristina recibió un mail que decía: Cadena de la buena suerte. Reenvía este a 3 personas y pronto recibirás una sorpresa. En realidad Cristina no lo creyó pero, por las dudas, envío sus 3 mails. Si nadie interrumpió la cadena Cuántas personas recibieron este mensaje después de cinco envíos? 11. Un tren gasta 50 litros de combustible cada 100 kilómetros recorridos. Elabora una tabla que relacione los kilómetros recorridos y el consumo. Busca una fórmula que relacione ambas variables y realice el gráfico correspondiente. 12. Dada la función f(x) = x 2 4x + 3, con x entre el intervalo 2 y 2. Realice la tabulación y el gráfico correspondiente. 13. Realice la tabulación y gráfico de las siguientes funciones: a. f(x) = 4 x con x entre -2 y 2 b. f(x) = Log. 4 de x con x = 1/16, ¼, 1, 4 y Hallar la diagonal, el p erím etro y el área del cuadrado: 15. Hallar la diagonal, el perímetro y el área del rectángulo: 16. Hallar el perímetro y el área del pentágono regular :

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