Matemáticas V: Cálculo Diferencial e Integral

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1 013 Matemáticas V: Cálculo Diferencial e Integral Material elaborado, recopilado y organizado por Rita Ochoa Cruz Escuela de Bachilleres de la Universidad Autónoma de Querétaro

2 Contenido ESCUELA DE BACHILLERES UAQ Unidad I: De qué trata el cálculo diferencial e integral?... 3 Unidad II: Funciones... 4 Funciones y relaciones... 4 Evaluación de funciones... 5 Dominio y contradominio algebraico... 8 Gráfica de una función Modelo de funciones... 1 Operaciones con funciones Funciones logarítmicas y exponenciales Límites y continuidad... 6 Límites... 6 Limites en los que interviene el infinito Continuidad Ejercicios de repaso Unidad IV: La derivada y sus aplicaciones Definición de la derivada Derivadas por formulas Derivadas de las funciones trigonométricas REGLA DE LA CADENA Aplicaciones... 5 Rectas normales y tangentes... 5 Velocidad instantánea Puntos críticos, máximos y mínimos, puntos de inflexión, Criterios de la primera y la segunda derivada.. 58 Problemas de optimización Integrales Integrales definidas y Área bajo la curva CÁLCULO DE ÁREAS Bibliografía... 73

3 Unidad I: De qué trata el cálculo diferencial e integral? En esta unidad el profesor debe mostrar al estudiante ejemplos para introducir la problemática del Cálculo Diferencial e Integral: Cálculo de velocidades y razón de cambio, tangentes a una curva; de máximos y mínimos; de áreas y volúmenes, etc., enfatizando las situaciones y problemas que permitan: El planteo y estudio del comportamiento de funciones; El conocimiento de problemas diversos, algebraicos y geométricos, utilizando ideas anteriores a las del cálculo, permitirá al alumno introducirse en la problemática de esta materia y darse cuenta del apoyo que brinda a diversas disciplinas; Al mismo tiempo es conveniente hablar de aspectos históricos del cálculo. 3

4 Unidad II: Funciones Se recordarán los conceptos básicos de funciones como regla de correspondencia entre dos conjuntos, dominio y contradominio. Se estudia la diferencia entre relación y función. Se habla de funciones reales de variable real, del dominio natural de una regla de correspondencia para ver la función como modelación matemática a través de ejemplos. Se calculan dominios de funciones algebraicas. Se verán clasificaciones de algunas funciones reales de variable real en algebraicas, trigonométricas, trascendentes y funciones seccionadas. Se debe revisar las distintas maneras de representación de una función y sus conversiones entre ellas (forma verbal, forma geométrica, forma tabular y forma algebraica) así como la interpretación de gráficos. Se incluye en este estudio las propiedades de los logaritmos y las exponenciales. Finalmente se realizarán operaciones con funciones (suma, resta, producto, cociente y composición). En cuanto a las prácticas de laboratorio para esta unidad se maneja el programa de Graphmatica por su facilidad de manejo y su gran aporte didáctico para visualizar los temas descritos, las primeras cinco prácticas del Manual de Prácticas de Laboratorio para Cálculo Diferencial e integral corresponden a los temas vistos en esta unidad, el docente deberá calendarizar cada una de ellas de tal forma que los temas vistos en clase correspondan a lo que se haga en el laboratorio. Funciones y relaciones Escriba y defina los elementos que participan en el concepto de función. Escriba la definición de función. Escriba la diferencia entre función y relación Escriba las cuatro formas de representar una función. Diga si son funciones o relaciones las siguientes graficas, justifique. En caso de tener funciones encuentre su dominio y su contradominio geométricamente. 4

5 a) y b) y x x /acc y a) y t x x Evaluación de funciones Qué es evaluar una función? Lea de la gráfica el valor de la evaluación de las siguientes funciones. a) y 1. f(-4)=. f(0)= 5. f(-7)= 6. f(-5)= x 3. f(1)= 4. f(-3) = 7. f() = 8. f(4) 5

6 1. f(-5) F(3). f(-3) 3. f(-1) 4. f(0) 5. f(1) f x x 3x 4, encuentra: Si f 0 f f f x f x 1 f x f 1 f x f x, encuentra: x3x1 f 0 Si x 4 f f f 5 f 3 f 1 Encuentra f x h y f x x x f x h f x h donde h 0 : f x x x 1 6

7 Si f x 1, encuentra y simplifica: x 1 f 0 ESCUELA DE BACHILLERES UAQ f f f 5 f 3 f 1 Si a y h son números reales positivos y f x 1 x 1, encuentra y simplifica: f a f a f a f h f a h f a f a h f a h, si x Si f(x) x, si - x 1 encuentra y simplifica el valor buscado. -x, si 1 x 4 f f f.1 f 1.9 f 1 f 0 f 5 f f f 5 f

8 Dominio y contradominio algebraico Clasifique la función y calcule el dominio de las funciones: 1. f(x) 3x. i(x) x 5x 3. j(x) 5x 4 x 6 4. x - 3 g(x) 4x 5. g( x ) x x x h(x) - x x f(x) f(x) x(x 3)(x 5) 9. 3 f ( x ) 10 x 3x² x 5 f ( x ) x x² x 5 f ( x ) x x² 1. x 5 f ( x ) x²

9 16. g(x) x 1 i(x) x i(x) 18. x x 7 x f(x) b) y (x 3) x 3 3. x 1 1 a) y 33. x 9 9

10 34. b) y x 35. a) y x 36. x b) y 3x a) y x x b) g x 1 x y x Gráfica de una función Asocia a cada gráfica su ecuación: 1 a) y 3x 5 3x a) y 5 4 b) y x 3x b) y c) y c) x y x 4 d) y 4x 8 d) y x I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. 10

11 Halla la expresión analítica de las siguientes gráficas y encuentra su dominio y su contradominio: y x -0.5 b) y b) y x x 11

12 Use papel cuadriculado y representa las funciones definidas a trozos y encuentra su dominio y contradominio 1. Ht 0 si t 0 1 si t 0 3. x 1 si x 1 y x si x 1. f x 4. x si x 0 x 1 si x x si x 1 y x 1 si x 1, si x f(x) x, si - x 1 - x, si 1 x y 8. x 1 si x 3 si x x 1, si x 3 f(x) - x 1, si - 3 x 0 3, si 0 x 10. Modelo de funciones 1. Con 00 metros de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared. Llama x a uno de los lados de la valla. Cuánto valen los otros dos lados? Construye la función que nos da el área del recinto. Encuentre su dominio.. El perímetro de un rectángulo es de 30 cm. Obtén la función que nos dé el área del rectángulo en función de la longitud de la base. Encuentre su dominio. 1

13 3. El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefónica es de 0,1 euros. Si hablamos durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 euros en total. Halla la función que nos da el precio total de la llamada según los minutos que estemos hablando. 4. Un rectángulo tiene un perímetro de 0 m. Exprese el área del rectángulo como función de la longitud de uno de sus lados Una caja rectangular abierta, con volumen de m, tiene una base cuadrada. Exprese el área superficial de la caja como función de la longitud de uno de los lados de la base. 6. Una ventana normada tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es x x r de la misma. de 30 pies. Exprese el área A de ella como función de ancho 13

14 7. Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartón que tiene las dimensiones de 1 pulg. por 0 pulg., recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y, a continuación, doblando. Exprese el volumen V de la caja como función de x. 8. Un fabricante de cajas de cartón desea hacer cajas abiertas de piezas de cartón de 1 pulgadas por 1 pulgadas, cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados. Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible. 14

15 10. Una fábrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas. Por cada turno trabajado, hay un costo fijo de $ 000 (luz, calefacción, impuestos, etc.). El costo variable por unidad es de $. a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno. b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio. Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operación indicada. 1. Si f(x) = 7x 4 y g(x) = x + 9, encontrar (a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (f/g)(x) (d) (f g)(x). Si f(x) = x x 5 (a) (f g)(x) y g(x) = x + 4, encontrar (b) (g f)(x) (c) g (x) (d) (f g)(x) 15

16 3. Si g(x) = 4 y h(x) = x-8, encontrar (a) (h g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x) 4. Si v(x) = x 3x + y w(x) = 5x +1, encontrar (a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (v/w) (x) (d) (v w) (x) x Si f(x) = 4 (a) (f+g)(x) y g(x) = 4x +5, encontrar (b) (fg)(x) (c) (f/g)(x) (d) (f g)(x) 7. Si h(x) = x 6 y g(x) = 7x +, encontrar (a) (h g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x) 16

17 8. Dadas las funciones: Calcular 9. Dadas las funciones calcular: 10. Escriba la función v(x) = x 4 como la composición de dos funciones. 11. Escriba la función w(x) = x + 4x + 4 como la composición de dos funciones. 1. Escriba 17

18 F x la función 5 x 9 como la composición de dos funciones. ESCUELA DE BACHILLERES UAQ 13. Escriba la función px 4 3 x como la composición de dos funciones. 14. Escriba la función x 6 y como la composición de dos funciones. x Escriba la función h(x) 5 x 5 como la composición de dos funciones 18

19 Funciones logarítmicas y exponenciales Escriba la definición de logaritmo. ESCUELA DE BACHILLERES UAQ Escribe las propiedades de los logaritmos. Qué relación existe entre la función exponencial y la función logarítmica? Calcula el valor de x aplicando la definición de logaritmo y las propiedades del mismo: 1 ) log 8 ) log ) log 4 4 ) log ) log 5 0, 6 ) log 0,5 7 ) log 0,5 16 = 8 ) log 0, ) log log 3 10 ) log 5 5 log ) log log ) log 0,1 log 0,01 19

20 13 ) log 5 + log 0 14 ) log log 0, 15 ) log 3 / log 16 ) log 3 / log 81 = 17 ) log 3 log ) log 9 5 log 3 5 Determinar el valor de x : log 4 64 = ( x 1 ) / 3 log 16 = x 3 / log x = 3 log 7 x = 3 log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = log 8 [ ( x ) ] = 0

21 log x 15 = 3 log x 5 = ESCUELA DE BACHILLERES UAQ log x = log 4x = 3log + 4log 3 log (x-4) = 4log (3 - x) = -1 log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log - log (x + ) og (x + 15) = log (x + 3) + log x log (x + 5) = log (x + 7) 1

22 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales x 3 x ESCUELA DE BACHILLERES UAQ 3 x x x x 3 4 x x1 4 x 1 x1 x x1 x Diga si es Verdadero o falso. Justifique. log + log 3 = log 5 log + log 3 =log 6 log 15 log 5 = log 10 log 15 log 5 = log 3 log 3 = (log ) 3 log 3 = 3 log

23 Calcule el dominio de ESCUELA DE BACHILLERES UAQ F(x) = log (x-4) log (3 - x) x g ( x) log h ( x) log x 4 p ( x) log x logx 1 t ( x) log 1 x 1 3

24 Graficas de una función Esta tarea se puede trabajar, primero en el laboratorio se revisa las translaciones y las multiplicaciones de la función por una constante y pasar al salón de clases para resolver estos ejercicios. 1. A partir de la gráfica de y = x bosqueja las siguientes gráficas: i) y = x ii) y = x iii) y = 4 1 x. En cada una de las siguientes funciones determinen cuál es la función básica y describan el efecto que le producen cada uno de los parámetros. Luego bosquejen las gráfica correspondiente. i) y = 3x ii) y 1 ( x 3) 1 iii) y 1 x 3 1 x iv) y e 3 vi) y 4 ln( x 3) 4 3. Sabiendo que la gráfica de la figura corresponde a la función y = f(x), bosqueja la gráfica de cada una de las siguientes funciones: i) y = 1 f(x) ii) y =f(x) 5 iii) y =f(x-) iv) y =10 - f(x) 4. Las gráficas siguientes corresponden a funciones de la forma y = a f(x-b) + c donde f es una de las funciones básicas. Determina, en cada caso, cuál es dicha función y el valor de cada uno de los parámetros. 4

25 5. Las gráficas que aparecen a continuación son el registro del comportamiento de las funciones f(x), g(x), h(x) y v(x). Sabiendo esto, contesten las siguientes preguntas: Cuál es el valor de cada una de las funciones cuando x = 0? Para qué valores de x, y = 0 en cada función? Para qué valores de x, la función es positiva en cada caso? En qué caso los valores de g(x) se van acercando a 3? Cómo son los valores de v(x) cuando x>0?, y cuándo x<0? Estos cinco primeros problemas deben haberte permitido precisar el efecto que sobre una función cualesquiera y = f(x), tienen los parámetros a, b y c (constantes) que aparecen en funciones de la forma y = a f ( x b ) + c. Describe a manera de conclusión el cambio que hace cada uno de los parámetros a, b y c a la gráfica de la función. 5

26 Límites y continuidad Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad, como una función cuya gráfica no se rompe. Se considera que el concepto de límite es aún muy abstracto para el bachiller por lo que se abordará problematizando a través de los casos de discontinuidad en una función, a saber: discontinuidad evitable, discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito. La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto gráfica como analíticamente aquí se calculan los límites donde la función no está definida a través de la factorización o la racionalización. La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento, la función Heaviside, etc. Específicamente calcular los límites por aproximación introduciendo el concepto de límites laterales. La discontinuidad al infinito se analizará básicamente de forma gráfica, relacionando la existencia de asíntotas verticales y horizontales: lim f x ó lim f x a xa x El uso del laboratorio permitirá en este tema proporcionar al alumno una visión más general sobre le lectura de gráficas y la interpretación del concepto de límites, el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las gráficas es una de las competencias que se buscan dentro de este curso, se recomienda el uso del programa Graphmatica para llevar a buen término estos temas. Límites Para cada una de las siguientes gráficas de funciones, determine si existe o no el límite para x tendiendo a. Justifique la respuesta. En caso de existir, halle el valor. Calcule el dominio, el contradominio y la continuidad de la función (intuitivamente), clasifíquela. a) b) 6

27 c) d) Dada la función f : R R / f(x) las discontinuidades: grafique, determine el dominio el contradominio y 7

28 Para cada una de las siguientes gráficas de funciones, determine si existe o no el límite para los valores raros. Justifique la respuesta. En caso de existir, halle el valor. Calcule el dominio, el contradominio y la continuidad de la función, clasifíquela. 8

29 Calcule el valor de los siguientes límites ESCUELA DE BACHILLERES UAQ 1. lim x4 3 x 5 x 1 x 3. 3 x lim x x 4 3x 3. lim x1 x 3x 1 x 5. x x lim x3 x x1 x1 lim x4 x x x 9 lim x3 x lim x1 x 1 x x 3x. 9

30 9.a 3 x - x lim x0 5 x 3x 9. b x 3x 10 lim x x x 4 9.c x lim x3 x 6 x 9 3x 9 d) lim x x 3x 1 5x

31 lim x 3 6x 5x 3 x x 1 x1 4 x 8. lim 3 x 5x 7x 3x 9 15x 9 x3 3 x x x x lim x 3 x 4x 11x 31

32 10. lim x 4 4x x 4 3 x 4x 4 3 5x 4x 4 x 11. lim x 4 6x x 8x 3 x 1 x1 4 3 x 1. lim 3 x 1 x 4 x lim x5 x 5 x lim x 6 3 x3 x 3 x1 x lim x10 x 8x lim x 1 x 1 x lim cos x x - 5 x 4x lim 0.. lim x 5 x 3 5 x5 x 5x 4 x lim x0 x 3 8 3

33 . x lim x x 4 3. x 4 lim x x x 1 4. lim x1 x lim x x x 7. lim x4 5 x 1 x 4 Limites en los que interviene el infinito Continuidad 1. n 3n 5 lím n 3n 5n n 7n 1 lím n 3 8n 6n 3n 3. lím 3 4n 5n n 3 n 3 7n 3n 8 33

34 4. 6n 7n 10 lím n 3 5n n 4n n 5n 4n lím n 4 3 7n 6n n n 6n 5n 4 lím n 3 1 n 3n 5n 7. lím n n 3 n 1 n 8. lím n 4 n 9. lím n 9 n n n 1) Observe la siguiente gráfica, responda y analice su continuidad: a) f(- 4) b) c) e) f() d) f) g) Conclusión: h) 34

35 ) Estudie la continuidad de la función. Si presenta discontinuidades indique de qué tipo y en qué puntos. 3) a) Halle el valor de k de modo que la función f(t) = resulte continua. b) Halle el valor de a de modo que la función f(x) = resulte continua. 4) Dada la función f (x)= grafíquela y analice su continuidad. 35

36 PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1) Una fábrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas. Por cada turno trabajado, hay un costo fijo de $ 000 (luz, calefacción, impuestos, etc.). El costo variable por unidad es de $. a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno. b) Analice su continuidad. ) El costo de transportar una casa móvil depende de la distancia x, en kilómetros, que se transporta la casa. Sea c(x) el costo de mover una casa x kilómetros. Una empresa cobra: Costo por km (en $) Distancia (en km) si 0 < x <=150 1,50 si 150 < x <= 400 1,5 si x > 400 a) Escriba analíticamente la función costo. b) Grafique. c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados. d) Para qué valores de x es discontinua? 3) La población (en miles) de una colonia de bacterias t minutos después de introducir una toxina, está dada por f (t) =. a) Cuál es la población a los tres minutos de ser introducida la toxina? b) Y a los ocho minutos? c) En qué momento morirá la colonia? d) Grafique. e) Estudie la continuidad. 36

37 4) Para niveles de producción menores o iguales a 1000 unidades, la función costo de una compañía es c(x) = x, donde x es el nivel de producción. Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva línea de montaje y la función costo es c(x) = x. a) Escriba la ley que define a la función. b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades. c) Analice su continuidad. 37

38 Ejercicios de repaso 1) Determine si son verdaderos o falsos los siguientes enunciados. Justifique. a) Si entonces f es continua en x = x 0 b) Si f es continua en el intervalo (a, b) entonces f es continua en [a, b]. c) Si f es continua en [a, b], f(a) = 0 y f(b)= 0, entonces f(x) = 0 tiene al menos una solución en [a, b]. d) Si g es continua en [a, b], entonces es continua en [a, b]. ) Analice la continuidad de las siguientes funciones. Si resultan discontinuas, establezca el tipo de discontinuidad y, si es posible, redefínalas para que resulten continuas a) b) c) d) e) f) g) h) i) 38

39 3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus gráficas. ESCUELA DE BACHILLERES UAQ a) b) c) d) 4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones: a) b) c) d) 5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas. a) b) c) 6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus gráficas. En caso de que existan puntos de discontinuidad, indíquelos. a) b) 39

40 Unidad IV: La derivada y sus aplicaciones Para la presentación del concepto de derivada se sugiere ligar el problema físico de la velocidad y el problema geométrico de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto con el límite que define a la derivada y con la noción de razón instantánea de cambio de una función, exhibiendo su aplicabilidad en la física, la economía, la biología y otras disciplinas. Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivación, que conozca la regla de la cadena, derivadas sucesivas, así como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas. Se sugiere la investigación de las características de una función con respecto a su carácter creciente, decreciente, concavidades, extremos y puntos de inflexión empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales como el criterio de la primera y de la segunda derivada.se recomienda que los estudiantes apliquen los conocimientos anteriores en la optimización de procesos a fin de determinar el máximo beneficio, el mínimo costo, la mayor cantidad de producto, etc., en problemas aplicados a sus áreas de interés. En esta unidad se debe aprovechar al máximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan. Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geométrica y simplificar las operaciones algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemáticas las prácticas a realizar son de la 7 a la 11 y esto servirá para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemáticos en sus cursos posteriores. Definición de la derivada Escribe la definición de derivada. Escriba la interpretación geométrica de la primer derivada. Mencione la interpretación física. Calcula, mediante la definición de derivada, la derivada de las funciones en los puntos que se indican: f(x) = 3x en x =. f(x) = x + 4x 5 en x = 1 40

41 en x = -5. en x = en x = 3 en x = En cada gráfico determinar los puntos donde la función no es derivable. Explicar por qué. Interpretar su dominio y su contradominio. 41

42 4

43 Derivadas por formulas Deriva las siguientes funciones ESCUELA DE BACHILLERES UAQ

44

45 Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego aplíquela para calcular las siguientes derivadas Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego aplíquela para calcular las siguientes derivadas

46 Derivadas de las funciones trigonométricas 1. f x x 3sin x. sin f x x x 3. y sin x cos x 4. y cos x tan x 46

47 5. g t 4sect tan t 6. 3 cos ESCUELA DE BACHILLERES UAQ g t t t 7. tan x y 8. x sin x y 1 cos x REGLA DE LA CADENA f x 3x 1 4. y x 3 5. f x x 3x g w 8w 3 w w

48 s t 4t 3t t ESCUELA DE BACHILLERES UAQ N x x x 9. g z z 6 1 z G s s s

49 y = ln (3x) 4. y = ln (5x 3 + 3x - 4) 49

50 5. f(x) = ln (x + 6) 6. f(x) = ln (x + 4) y = e x y = x 3 e x 30. Miscelánea. Encuentra la derivada de: ( x) 3x 16x 5x 5 f. 5 f ( x) 16x 5x 8 50

51 4 3x f ( x) 4. x f ( x) x 3 5x x 1 5. ( ) (3x f x sen 8) 6. f ( x) x cos x 7. f ( x) 3 x senx tan x 8. f ( x) tan( sen( x 1)) 9. f ( x) (3x 5) x 1cos( x ) 51

52 Aplicaciones ESCUELA DE BACHILLERES UAQ Rectas normales y tangentes 3 1. Encuentra la ecuación de la recta que es tangente a la curva y 5x 6x 5x en el origen.. Si f ( x) 3x 5x encuentra f '() y úsela para hallar la ecuación de la recta tangente a la función en el punto (,) 5

53 3. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = x - 3x + 1, que es paralela a x + 3y - 1 = 0, en x =. 4. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f (x) = 4x 3 - x + 1 que son paralelas a y = 10x +, en x = Halla la ecuaciónde la recta tangente a la curv a y x 3x 6 en x0. 6. x Obtén la ecuaciónde la recta tangente a la curv a y x 1 enelpunto de corte con el eje de abscisas. 53

54 7. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x + x 1 en el punto de abscisa x = Halla los puntos de tangente horizontal de f x x 3 6x 15x 9. Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = x 3 -x en el punto de abscisa x =. 10. Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican. a) f (x) = x² 4 en x = 0 54

55 b) f (x) = x² x 0 en x = 3 c) f (x) = x 3 + x² + 3 en x = 1 Velocidad instantánea 1. Una partícula se mueve en línea recta y su posición está dada por la función s = f (t) = t 3 6t + 9t donde t>0 se mide en segundos y s en metros. A) Calcular la velocidad de la partícula en cualquier instante t y en t = s. B) Cuándo la partícula está en reposo? C) Cuándo la partícula se mueve hacia la derecha? D) Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5 s. E) Calcular la aceleración en cualquier instante t y después de 3 s. F) Cuándo la aceleración de la partícula es nula? 55

56 . Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 30 pies/s, entonces su distancia h arriba del suelo está dada por h(t) = - 16t + 30t. Encuentre la velocidad instantánea y la aceleración después de tres segundos. 3. En un movimiento rectilíneo, la posición de una partícula a los t segundos es la velocidad instantánea a las horas. 7 s f t 50t Km. Encontrar t 1 4. Un caracol baja por una pared. Su posición a las t horas está dada por s f t 1 0. t metros. Calcular su velocidad instantánea para t = 4 h. 56

57 5. Un helicóptero se está elevando verticalmente desde el suelo. La distancia del helicóptero al suelo t segundos después del despegue es s f t t t metros. a. En qué instante se encuentra el helicóptero a 0 m? Determinar la velocidad instantánea del helicóptero cuando éste se encuentra a 0 m. Un recordatorio para encontrar puntos críticos. 57

58 Puntos críticos, máximos y mínimos, puntos de inflexión, Criterios de la primera y la segunda derivada Estudia dónde crece y dónde decrece la función. Encuentra sus puntos críticos y clasifícalos. Grafica la función f x 3 1x 3x Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente función: f x 3 x x 1 58

59 Considera la función: f (x) = x 3 + 9x + 1x + 1. a) Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos. b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión. Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función: f (x) = (x -) (x + 1). Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa. 59

60 Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente función. Halla sus máximos, mínimos y puntos de inflexión: 4 3 x x f x x x f x Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función: x x 1 60

61 Para cada una de las siguientes funciones encuentra, utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada: Los intervalos en donde la función es creciente. Los intervalos en donde la función es decreciente. Los puntos extremos (máximos y/o mínimos). Los puntos de inflexión. Los intervalos en donde la función es cóncava. Los intervalos en donde la función es convexa. Haz una gráfica aproximada de cada una de las siguientes funciones, sin tabular. a ) f (x) = x 3 + 3x² 4x b ) f (x) = x 3 3x² 4x 61

62 c ) f (x) = x 3 + x² + 3x d) f (x) = (x + 3) (x ) 6

63 Estudia los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función: f 4x 1 ( x ) x f x x 1 Estudia y representa la función: 4 x 63

64 Estudia y representa la siguiente función: f x x x 4 Problemas de optimización 1) Encuentra dos números positivos cuya suma sea 100 y su producto sea máximo. ) Encuentra dos números cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea mínima 3) El ingreso mensual por concepto de la venta de x unidades de cierto artículo esta dado por R (x) = 1x 0.01x² pesos. Encuentra el número de unidades que deben venderse cada mes con el propósito de maximizar los ingresos. cuál es ese ingreso máximo? 4) En una fábrica de conservas necesitan botes cilíndricos con una capacidad de un litro. Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construcción entre la menor cantidad de material posible. 5) Se requiere construir un rectángulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectángulo e la mayor área posible. Cuáles deben ser las dimensiones de los lados? 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3. si el costo de la base y de la tapa es de $ 6.00 por cada cm² y el costo de los lados es de $.00 por cada cm². Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo mínimo. 64

65 8) Una compañía de bienes raíces es dueña de 180 departamentos que se ocupan en su totalidad cuando la renta es de $ 3, mensuales. La compañía calcula que por cada $ de aumento en la renta se desocupan 5 departamentos. Cuál debe ser la renta mensual para que la compañía obtenga el máximo ingreso? 10) Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad inicial de 11 m/s. Si se sabe que la ley del movimiento es de S = 11t 4.9 t², en donde S es la distancia al punto de partida, calcula: a) La velocidad y la aceleración en los instantes t = 3 y t = 4. b) La máxima altura alcanzada c) El tiempo que tarda en llegar a una altura de 96 m. d) La aceleración en cualquier instante 11) Encuentra dos números reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea máximo. 1) Encuentra dos números cuyo producto sea 16 y cuya suma sea mínima 13) De entre todas las latas cilíndricas de hojalata con capacidad de 100 cm3 cuál es la que requiere menos metal? (Encuentra r y h ). 15) Un alambre de 60 cm. De largo se parte en dos pedazos. Con una de las partes formará un círculo y con la otra se formará un triangulo equilátero. Cuál debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima? y para que sea mínima? 16) De una pieza cuadrada de cartón se va a formar una caja abierta en su parte superior, y para ello se recorta un pequeño cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes. El cartón mide 40 cm. Por cada lado. Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen máximo. 17) Desde un tejado de 11 m de altura, se lanza verticalmente hacia arriba una pelota que, finalmente, regresa al suelo. Si se sabe que el espacio S recorrido desde el tejado es S = 96t 16 t² (m), calcula: a) La posición de la pelota, su velocidad y el sentido del movimiento en el instante t =. b) Su velocidad al llegar al suelo. 18) Una huerta tiene actualmente 4 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima? Cuál será esa producción? R. Se deben plantar 8 árboles. Así, habrá un total de 19) Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para litros, qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible? 65

66 Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Cálculo Integral que no se reduzca a la solución de integrales sino que muestre al alumno que mientras el Cálculo Diferencial tiene por interés el cambio instantáneo de una magnitud, el Cálculo Integral se ocupa de la determinación de resultados totales de los procesos de cambio. Para ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinación de una función a partir de su razón de cambio. Se dará la definición de la antiderivada para que con base en dicha definición se llegue a los teoremas más comunes de antiderivación. Se introduce la definición de integral definida poniendo énfasis en el aspecto geométrico de las aproximaciones al área bajo una curva. Se expondrá el Teorema Fundamental del Cálculo como herramienta para calcular integrales definidas, apoyándose en las técnicas de antiderivación. El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los jóvenes maduren los conceptos vistos en clase. Las últimas dos prácticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicación e interpretación del teorema fundamental del cálculo. Las integrales que proponemos en esta página son inmediatas o por descomposición se convierten en inmediatas. x x 3x 4x x dx