a) PAR: Una función es simétrica con respecto al eje Y cuando se verifica:

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "a) PAR: Una función es simétrica con respecto al eje Y cuando se verifica:"

Transcripción

1 TEMA 10: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES DOMINIO. El dominio de definición de una función y = f{) (valores para los cuales eiste la función) es, en principio, todo ir, salvo que haya operaciones imposibles o que, epresamente, se nos limite: Recordemos las principales imposibilidades: Si hay denominadores, la función no está definida donde éstos se anulan. Si hay ráíces cuadradas, no está definida cuando lo que hay dentro de la raíz es negativo. Ellogaritmo sólo está definido para valores positivos. Cuando hay una función definida a trozos y epresamente no aparece algún punto SIMETRÍAS. a) PAR: Una función es simétrica con respecto al eje Y cuando se verifica: f{) = f(-). b) IMPAR: Una función es simétrica con respecto al oriqen de coordenadas si verifica: f{)=-f(-) PERIODICIDAD. Saber que una función es periódica facilita mucho su representación. Las únicas funciones periódicas que hasta ahora estudiamos son las, trigonométricas. Para hallar el periodo habrá que tener en cuenta cómo son los periodos de las funciones seno y coseno. y Ejemplo: f{)=sen2. Buscamos T tal que f{)=f(+t), es decir: sen2=sen2(+t). El seno tiene un periodo de 2íT, luego 2 + 2Jr = 2( + T). Despejando: 2 + 2íT = 2 + 2T ~ 0= 2T + 2kíT~T = ít En este caso el periodo es ít. 1/5

2 10.4. ASÍNTOTAS y RAMAS INFINITAS. Habrá que buscar las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas que tenga la función como ya hemos eplicado en el tema 7: ~ Verticales: Cuando el límite en un punto es infinito o menos infinito, ( lim f() = ±oo) gráficamente estamos hablando de una asíntota vertical en el punto = a. --+a ~ Horizontales: Cuando hacemos ~ +00 o ~ -00, si el resultado es un número real entonces tendremos una asíntota horizontal. ~ Oblicuas~ Para calcular una asíntota oblicua se busca una recta y = m + n a la que la función se aproime. Para ello se procede como sigue: 1er Paso: Calcular lim f() = ±oo --+±oo 20 Paso: m = lim f() --+±oo si m eiste y es un número real (no es infinito): 3er Paso: n = lim [f() - m] si n eiste y es un número real, entonces ya tendremos --+±oo la asíntota oblicua MONOTONÍA. EXTREMOS. A partir del signo de la primera derivada se estudiarán los intervalos de crecimiento, de decrecimiento y se obtendrán los etremos como ya hemos eplicado en el tema 9: Sea f una función dos veces derivable en los puntos del intervalo abierto 1: Si J'( o) > O para todo Xo del intervalo, entonces J es estrictamente creciente en I. Si 1'(o) < O para todo Xo del intervalo, entonces f es estrictamente decreciente en I. SI f(o)=o~. I {Si Si f"(o) J"(o) < > O ~ Xo es un máimo. mínimo CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN. A partir del signo de la segunda derivada se estudiarán los intervalos de concavidad, de conveidad y se obtendrán los puntos de infleión como ya hemos eplicado en el tema 9: Sea f una función dos veces derivable en los puntos del intervalo abierto 1: Si J"(o) > O para todo Xo del intervalo, entonces la función es convea. Si J"(o) < O para todo Xo del intervalo, entonces la función es cóncava. Si J" (o) = O Y J'" (o) =1:- O ~ Xo es un punto de irifleión. 2/5

3 10.7. CORTES CON LOS EJES. a) Cortes con el eje Y: Se hace = O Y se calculan los valores de y. Obtendremos puntos de la forma (O,b). b) Cortes con el eje X: se iguala la función a O, y = O, Y se calculan los valores de. Obtendremos puntos de la forma (a,o) REPRESENTACION DE LA FUNCIÓN. Para representar la función se recomienda seguir los siguientes pasos: 1) Subrayar y señalar todos los resultados de los pasos anteriores, para no omitir ningún dato. 2) Dibujar los puntos clave: cortes con los ejes, máimos, mínimos y puntos de infleión. 3) Dibujar todas las asíntotas. 4) Ir dibujando a mano alzada la curva teniendo en cuenta los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y conveidad. 5) Comprobar que los datos no se contradicen entre sí, en ese caso habría algún error en algún apartado. 6) En el caso de función par o impar dibujarla sólo en el eje positivo de las X y luego copiar de forma simétrica (con respecto al eje Yo con respecto al origen de coordenadas) en el otro eje FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. En estos casos hay que tener en cuenta dónde está definida cada parte de la función, es decir, calcular dominios por separado. En general no habrá ni simetría ni periodicidad, pero si habrá que estudiar las asíntotas, la monotonía, la concavidad y conveidad en cada uno de los intervalos. Los cortes con el eje Y sólo afectarán a un intervalo, sin embargo los cortes con el eje X hay que calcularlos en todos. ~ Ejemplo: f() = {2X-1 1. O -1 si ~ O -- SI > Por un lado Dom(2-l)= 91, luego donde está definida ((-00,0]) no hay problemas y por otro Dom(-l-) -l = 91- {l}, en (0,+00) tendremos una asíntota vertical en = 1. 3/5

4 2 BACH(CN} FUNCIONES EN VALOR ABSOLUTO. Cuando una función está epresada en valor absoluto (toda la función, no una parte), se dibujará sin tener en cuenta este hecho y luego se proyectará simétricamente la parte negativa sobre el semi plano positivo. También podemos redefinirlas teniendo en cuenta la definición del valor absoluto: lal = {a- a. si SI a a ~ < O O Es decir, If( ~ = {- f() si si f() ~ < OO ~ Ejemplo: y = IX-31 Y = I - 31 = - {X ( -3) SI SI. -3~O -3<O La condición - 3 ~ O y la - 3 < O son inecuaciones sencillas de resolver, ~ 3 y < 3, respectivamente, con lo que nos queda la función definida a trozos: Y = I - 31 = {X_ ( - _ 33) si ~ < 3 Además, se nos pueden presentar otros casos: a)y-f+g}j::::::>y- _ () I ( ~ - {f() f () + - g() g() X si SI. g()~ () X < O ~ Ejemplo: y=+l-31 y=+-3::::::>y= ::::::>y= I I {X+(X-3) - ( - 3) si -3~O - 3 < O {2X-33 si si < ~3 3 f() + g() si f() ~ O Y g() ~ O b) y= If( Jj+gJj::::::>Y=, ~ I ( ~ J f() - g() si f() ~ O Y g() < O - f() + g() si f() < O Y g() ~ O - f() - g() si f() < O Y g() < O Las condiciones que tenemos ahora (f() ~ O Y g() ~ O,... ) son sistemas de inecuaciones muy sencillas de resolver, y que puede que alguna de ellas no tenga solución (no tend rá sentido). ~ Ejemplo: y=l-31+l+21 (-3)+(+2) si -3~O y +2~O y=-3++2::::::>y=, I I I I J (-3)-(+2) si -3~O y +2<O -(-3)+(+2) si -3<O y +2~O -(-3)-(+2) si -3<O y +2<O 4/5

5 Operando: y = I I + 21 = 2 -] si 2. 3 Y ] si 2. 3 Y <-2 5 si < 3 Y ] si < 3 Y <-2 La segunda línea no tiene sentido, cómo es posible que al sumar dos valores absolutos el resultado sea negativo? Además, qué números son a la vez más grandes que 3 y más pequeños que - 2? Con todo esto la función nos quedaría: y = I I + 21 = 5 si {-2-] +] si 2. 3 Y < 3 Y 2.-2 si < 3 Y <-2 ~ Ejercicio: Representar las siguientes funciones: a) f() = ln( + 3) b) f() = -2 c) f() = j;2;1 d) f() = cos( + 7r) 2 f) f() = ( JX-7 +! 2 SI :S-1 g)f()=~_3 3 4 si-l < S 4 si < 4 i) f()= /5

6 t.rea... el c.t os s3 i Dihuja la gráfica de una función de la que se, conocen las siguientes propiedades: R?/2.~S.cf\JTACIOt\:J ::t= U AJ ea oan5"s r c;ye, lím /() = -co, lím fe) = +co ~ -7 _00 X ~ +00 ;l'() = O si = -2, = O, = 3, = 4 Ife-2) = 2; fco) = O; f(3) = 5; f(4) = 4 11 Representa las siguientes funciones, estudiando: - Dominio de definición, asíntotas y posición de la curva respecto de estas. 5 : Estudia y representa las siguientes funciones: 4 9 e) )J = - _ e)y='i-5'",., 5'l- d)y = 64 f) y = ( - 1)3-3 7! En las siguientes funciones, estudia su dominio, 1 a) y = 2 _ 1 c) y = 2 _ 1-1 b)y = 2 + 1, asíntotas y posición de la curva respecto de esi tas, y represéntalas a partir de los resultados obtenidos: ---) e)y (1) y = f) Y = i Representa estas nmciones estudiando previamente su dominio, asíntotas, posición y etremos relativos: 8 a)v=2+-, -" c) y = 2 _ 4 9 Representa esta función: l lfe) = ) -- -,. ; { - _2- - 2?y + +? 2 SI si b)y=~ (!)y= <O ~O Indica sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento y SllS etremos relativos, Tiene algún punto de int1eión? Crecimiento y etremos relativos a)y= (-2)2 b)y= e-2)2 e) y = (- l)(- 3) -2 e) y = " g).1'= Dy= +2 ) - ci) y = 9 _ 2 ) - f) y = ( _ 3)2 4 h).1' = 2 _ 4 j) y = (- 2)2 -l s 12 1 a) Halla las asíntotas de la gráfica de la función definida para > O por fe) = --- b) Halla las regiones de crecimiento y de decl-ecimiento de f indicando sus máimos y mínimos locales y globales, si los hay, c) Esboza la gráfica de.f +l s 13! Dada la función fe) = ~' se pide: a) Dominio de definición, asíntotas y posición de la curva respecto de estas. b) Máimos y mínimos relativos, e intervalos de crecimiento y de decrecimiento. c) Dibuja la gráfica de.r s 14 i Representa gráficamente la función:, pe) 1. 2) = 'l + (4/3).-' Cuántas raíces reales tiene este polinomio p ()? 10 i Representa la siguiente función:!!{() = i {X3-3X+1 si <O r e - 1)2 si ~ O i Estudia sus intervalos de crecimiento y de decrei cimiento, sus etremos relativos y su curvatura. 515 Dadas las siguientes funciones, halla sus asíntotas, es'tudia el crecimiento y la eistencia de máimos y mínimos, Dibuja SLl gráfica: ex a) y = 2 _ 3 4 c) y = + ( _ 1)2 b)y = 3 d) Y =.,,

7 18 Representa las siguientes funciones: b. In Inb)y=-- f) y = 2e- h)y = In(2-1) el) y = ( - 1)é' 20 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones: 526 i Considera la función: i " i.i~x) = i si si < O ;:O: O En el intervalo (-00, O], estudia la eistencia de puntos de corte con los ejes, si la función crece o decrece, la eistencia de puntos de infleión y si tiene asíntotas. Dibuja la gráfica en todo IR. 21 a) y = + I + 21 c) y = Il + I - 31 Representa gráficamente: 1 a)y = Il- 2 b) Y = 2 -I - 31 d)y = i -11 b). y = /2/ -) '. 8 ;Dada la función {() = a + h + -, calcula a ' y b para que la gráfica de f pase por el punto (-2, -6) y tenga, en ese punto, tangente hori zontal. Para esos valores de a y b, representa lb función. 522 Una partícula se mueve a lo largo de la gráfica 2 de la curva de ecuación y = ---? para > l :Halla los valores de a, h y c para los cuales la. a2 + h + c función e) = 2 _ 4 tiene como asíntota horizontal la recta y = -1 Y un mínimo en (O, 1). En el punto p( 2, - :) la deja y se desplaza a lo largo de la recta tangente a dicha curva. a) Halla la ecuación de la tangente. b) Si se desplaza de derecha a izquierda, halla el punto en el que la partícula encuentra a la asíntota vertical más próima al punto P. c) Si el desplazamiento es de izquierda a derecha, halla el punto en el que la partícula encuentra el eje O. 523 i Considera la función f() = 21-31: a) Halla los puntos donde f no es derivable, b) Calcula sus máimos y mínimos. c) Represéntala gráficamente. 524 i La recta y = es una asíntota oblicua de , la función f() = k. Halla el valor de le y representa la función así obtenida, 536 i Da un ejemplo de una función que tenga un mínimo en = 1 Y que no sea derivable en ese punto. Represéntala. 537 i Da un ejemplo de una función que sea derivable en = 1 con f'( 1) = O Y que no tenga máimo ni mínimo en ese punto, 538! Si es posible, dibuja una fuq\ión continua en el intervalo [O, 4] que tenga, al' i11enos, un máimo relativo en el punto (2, 3) Y un mínimo relativo en el punto (3, 4), Si la función fuera polinómiea, cuál habría de ser, como mínimo, su grado? 545 : Las siguientes gráficas corresponden a las funciones f() = sen (n); 8 () = 2 sell (n); h() = 2 cos(n) en el intervalo [-2, 2J. Relaciona, de forma razonada, cada gráfica con su correspondiente función. a) h) 525 Considera I la función: -2 í}() =. l.. {sen 2-2 si E [-2n, [O, 3] O) Determina los puntos de corte con los ejes y sus etremos relativos. Dibuja su gráfica. c)~. -V t \)-

x - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas.

x - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas. f ( ) + +. Dominio D (f ) R 4. Recorrido Im( f ) [, ). Puntos de corte - Con el eje y, donde 0 y + + y P (0,) - Con el eje, donde y 0 No hay punto de corte con el eje 4. Asíntotas - Horizontales lim +

Más detalles

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11 1. y = x + 11 x + 5 a) ESTUDIO DE f: 1) Dominio: Como es un cociente del dominio habrá que excluir los valores que anulen el denominador. Por tanto: x + 5 = 0 x = 5 ) Simetría: A simple vista, como el

Más detalles

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 94 TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1. Representación de funciones 1.1. Dominio 1.. Puntos de corte con los ejes 1..1. Con el eje 1... Con el eje y 1.. Signo de la función 1.4. Periodicidad y simetría

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

Análisis de funciones y representación de curvas

Análisis de funciones y representación de curvas 12 Análisis de funciones y representación de curvas 1. Análisis gráfico de una función Aplica la teoría 1. Dada la siguiente gráfica, analiza todas sus características, es decir, completa el formulario

Más detalles

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim

DERIVADAS. * Definición de derivada. Se llama derivada de la función f en el punto x=a al siguiente límite, si es que existe: lim DERIVADAS. CONTENIDOS. Recta tangente a una curva en un punto. Idea intuitiva del concepto de derivada de una función en un punto. Función derivada. sucesivas. Reglas de derivación Aplicación de la derivada

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(

Más detalles

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa

Más detalles

Aplicaciones de las derivadas

Aplicaciones de las derivadas I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas Matemáticas de º de Bachillerato Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Por Javier Carroquino CaZas Catedrático de matemáticas del

Más detalles

SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 1

SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA 1 MATEMÁTICAS:º BACHILLERATO SOLUCIONES HOJA 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA.- Calcular los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f ( ) D(f) (Por ser polinómica) ; Posibles máimos o mínimos 6

Más detalles

representación gráfica de funciones

representación gráfica de funciones representación gráfica de funciones Esta Unidad pretende ser una aplicación práctica de todo lo aprendido hasta ahora en el bloque de Análisis. En ella nos centraremos en las funciones polinómicas y racionales.

Más detalles

Ejercicios de representación de funciones

Ejercicios de representación de funciones Ejercicios de representación de funciones 1.- Representar las siguientes funciones, estudiando su: Dominio. Simetría. Puntos de corte con los ejes. Asíntotas y ramas parabólicas. Crecimiento y decrecimiento.

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones

Estudio Gráfico de Funciones Esquema 1 2 Esquema 1 2 Definición es una correspondencia entre dos conjuntos A B tal que a cada elemento del conjunto A le corresponde un único valor solo uno del conjunto B. La gráfica de la función

Más detalles

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad

1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele

Más detalles

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) = T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría

11 Aplicaciones. de las derivadas. 1. Máximos, mínimos y monotonía. Piensa y calcula. Aplica la teoría Aplicaciones de las derivadas. Máimos, mínimos y monotonía Piensa y calcula Dada la gráfica de la función f representada en el margen, halla los máimos y los mínimos relativos y los intervalos de crecimiento

Más detalles

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL-II. Estudia si crecen o decrecen las siguientes funciones en los puntos indicados: π a) f() cos en 0 b) f() ln ( arc tg ) en 0 π c) f() arc sen en 0 d) f() ln en 0

Más detalles

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones

Unidad 6 Estudio gráfico de funciones Unidad 6 Estudio gráfico de funciones PÁGINA 96 SOLUCIONES Representar puntos en un eje de coordenadas. 178 Evaluar un polinomio. a) b) c) d) e) Escribir intervalos. a) b) c) 179 PÁGINA 98 SOLUCIONES 1.a)

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Tema 4: Representación de funciones Índice:. Información obtenida de la función... Dominio de la función.. Simetrías..3. Periodicidad.4. Puntos de corte con los ejes..5. Ramas

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

4.2 CÓMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES

4.2 CÓMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES Tema 4 Funciones. Características - Matemáticas B 4º E.S.O. 1 TEMA 4 FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS 4.1 CONCEPTOS BÁSICOS 3º 4.1.1 DEFINICIONES 3º Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente,

Más detalles

9 Funciones elementales

9 Funciones elementales Solucionario 9 Funciones elementales ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios. a) P() 4 b) Q() 3 6 a) Se resuelve la ecuación 4 0. Las raíces son 6 y, y P() ( 6)(

Más detalles

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES UNIDAD : DERIVADAS Y APLICACIONES ÍNDICE DE LA UNIDAD - INTRODUCCIÓN 6 - DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 7 - INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA 8 4- CONTINUIDAD

Más detalles

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS INTRODUCCIÓN La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV, cuando empiezan a preocuparse de medir y representar las variaciones de ciertas

Más detalles

BLOQUE III Funciones

BLOQUE III Funciones BLOQUE III Funciones 8. Funciones 9. Continuidad, límites y asíntotas 0. Cálculo de derivadas. Aplicaciones de las derivadas. Integrales 8 Funciones. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica

Más detalles

7 Aplicaciones de las derivadas

7 Aplicaciones de las derivadas Solucionario 7 Aplicaciones de las derivadas ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Calcula el volumen del cilindro que está inscrito en el cono de la figura: cm 8 cm Aplicando el Teorema de Pitágoras, se calcula

Más detalles

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0 ANÁLISIS. (Junio 994) a) Encontrar las asíntotas de la curva f () = 2 3 2 4 b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. 2. (Junio

Más detalles

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO EJERCICIO : Halla la tasa de variación

Más detalles

8 Representación de funciones

8 Representación de funciones 8 Representación de unciones ACTIVIDADES INICIALES 8I Escribe los siguientes cocientes menor que el grado de Q(): a) + + a) + + P() ( + ) P( ) Por tanto: + Q( ) + P ( ) Q ( ) como R ( ) C ( ) + con C()

Más detalles

Representación gráfica de funciones

Representación gráfica de funciones Gráfica de una fución Representación gráfica de funciones La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos (x, y) para todos los valores de x pertenecientes al Dominio de la función gráfica

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS.

FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS. FUNCIÓN REAL, LIMITES Y FUNCIONES CONTINUAS. FUNCIÓN. Es toda aplicación entre dos conjuntos A y B formados ambos por números. f A --------> B Al conjunto A se le llama campo de existencia de la función

Más detalles

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS) x +

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS) x + EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ANÁLISIS).- La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la epresión: Tt t

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. MONOTONÍA (CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO) Si una función es derivable en un punto = a, podemos determinar su crecimiento o decrecimiento en ese punto a partir del signo de

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

Concepto de función y funciones elementales

Concepto de función y funciones elementales Concepto de unción unciones elementales Matemáticas I - º Bachillerato Las unciones describen enómenos cotidianos, económicos, psicológicos, cientíicos Tales unciones se obtienen eperimentalmente, mediante

Más detalles

Para la oblicua hacemos lo mismo, calculamos el límite en el menos infinito : = lim. 1 ( ) = = lim

Para la oblicua hacemos lo mismo, calculamos el límite en el menos infinito : = lim. 1 ( ) = = lim ) Sea la función: f(x) = ln( x ): a) Dar su Dominio y encontrar sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos, los

Más detalles

9 Estudio de funciones

9 Estudio de funciones Solucionario 9 Estudio de funciones ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Resuelve las siguientes inecuaciones. a) 0 0 b) 4 0 c) 0 d) 0 7 9 a) (, ) b) (, 4] c) (, ] [0, ] d) (, ) (4, ) 9.II. Halla el valor en radianes

Más detalles

M a t e m á t i c a s I I 1

M a t e m á t i c a s I I 1 Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA CNVCATRIA JUNI 009 SLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCES AUTR: José Luis Pérez Sanz pción A Ejercicio En este límite nos encontramos ante la indeterminación. Agrupemos la

Más detalles

Examen funciones 4º ESO 12/04/13

Examen funciones 4º ESO 12/04/13 Examen funciones 4º ESO 12/04/13 1) Calcula el dominio de las siguientes funciones: a. b. c. d. Calculamos las raíces del numerador y del denominador: Construimos la tabla para ver los signos: - - 0 +

Más detalles

Polinomios de Taylor.

Polinomios de Taylor. Tema 7 Polinomios de Taylor. 7.1 Polinomios de Taylor. Definición 7.1 Recibe el nombre de polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, denotado por P n,a, el polinomio: P n,a (x) = f(a)

Más detalles

Examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Marzo 2013) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos

Examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Marzo 2013) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Eamen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Marzo 2013) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Problema 1 (3 puntos)dado el sistema a+ y+ 3z = 0 + ay+ 2z = 1 + ay+ 3z = 1 a) (2 puntos). Discutir

Más detalles

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f)

Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de x para los que f(x) existe. El dominio se denota como Dom(f) MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES FUNCIONES A. Introducción teórica A.1. Definición de función A.. Dominio y recorrido de una función, f() A.. Crecimiento y decrecimiento de una función en

Más detalles

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder

Más detalles

MURCIA JUNIO 2004. + = 95, y lo transformamos 2

MURCIA JUNIO 2004. + = 95, y lo transformamos 2 MURCIA JUNIO 4 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a una sola de las dos cuestiones de cada uno de los bloques. La puntuación de las dos

Más detalles

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Capítulo : Aplicaciones de la derivada 1 Capítulo : APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de conseguir los valores máimos y mínimos

Más detalles

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009

Estudio Gráfico de Funciones. Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Estudio Gráfico de Funciones Departamento de Matemáticas. IES Rosario de Acuña. Gijón 2009 Índice 1. Función 2 1.1. Definición............................. 2 1.2. Clasificación............................

Más detalles

RELACIÓN DE FUNCIONES. 1. Obtener, de forma razonada, el dominio de definición de las siguientes funciones:

RELACIÓN DE FUNCIONES. 1. Obtener, de forma razonada, el dominio de definición de las siguientes funciones: RELACIÓN DE FUNCIONES 1. Obtener, de forma razonada, el dominio de definición de las siguientes funciones: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Dibuja las siguientes funciones a trozos: ( ) { ( ) { ( )

Más detalles

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones 1. Indica las características de la siguiente función: Dominio:, 1 1,1 1, 1,1 Imagen o recorrido:,0 1, Monotonía: - Creciente:, 1 1,0 - Decreciente: 0,11, - Máimos relativos:

Más detalles

Gráfica de una función

Gráfica de una función CAPÍTULO 9 Gráfica de una función 9. Bosquejo de la gráfica de una función Para gráficar una función es necesario:. Hallar su dominio sus raíces.. Decidir si es par o impar, o bien ninguna de las dos cosas..

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas.

UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA Departamento de Matemáticas. PROBLEMAS DE CÁLCULO INFORMÁTICA DE SISTEMAS . Cálculo diferencial. Probar que a si y sólo si a a, siendo a >. Utilizar estas desigualdades

Más detalles

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES. FUNCIÓN CÚBICA.

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES. FUNCIÓN CÚBICA. FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES. FUNCIÓN CÚBICA. La ecuación de dichas funciones es de la forma f(x) = y = ax 3 +bx 2 +cx +d, donde a,b,c y d PRIMERAS CARACTERÍSTICAS: 1.- DOMINIO: por ser polinómicas

Más detalles

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

TEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños

Más detalles

RELACIÓN DE EJERCICIOS ANÁLISIS

RELACIÓN DE EJERCICIOS ANÁLISIS . Determina los dominios de las siguientes funciones: El dominio de una función y f ( ) es el conjunto de valores que puede tomar para que la función eista o tenga sentido. El dominio de las funciones

Más detalles

Límites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim

Límites. 1. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 2 2 2 a) lim b) lim c) lim d) lim Límites CIT_H. Calcula los límites de las siguientes funciones en los puntos que se indican: ( ) + + + a) lim b) lim c) lim d) lim + + + + + e) lim f) lim g) lim h) lim + 0 + + 9 + j) lim k) lim l) lim

Más detalles

Ejercicios para aprender a derivar

Ejercicios para aprender a derivar Ejercicios para aprender a derivar Derivación de polinomios y series de potencias Reglas de derivación: f ( ) k f '( ) 0 f ( ) a f '( ) a n n f ( ) a f '( ) an f ( ) u( ) + v( ) f '( ) u' + v' Ejemplos:

Más detalles

Departamento de Matematicas UNIANDES Cálculo Diferencial. Parcial 2

Departamento de Matematicas UNIANDES Cálculo Diferencial. Parcial 2 Departamento de Matematicas UNIANDES Cálculo Diferencial Parcial Estudiante: Fecha: Sea g() = ( + 3). Entonces f (7) = 00. Verificarlo a partir de la derivada como limite. (La derivada obviamente es pero

Más detalles

Cálculo diferencial: Concepto y propiedades de una función. Representación gráfica.

Cálculo diferencial: Concepto y propiedades de una función. Representación gráfica. Tema 1 Cálculo diferencial: Concepto y propiedades de una función. Representación gráfica. 1.1. Un esbozo de qué es el Cálculo: paradojas y principales problemas planteados. Los orígenes del Cálculo se

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700. (1) Considere la función h : R R definida por. h(x) = x2 3

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700. (1) Considere la función h : R R definida por. h(x) = x2 3 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0700 (1) Considere la función h : R R definida por h() = 3 3 Halle el dominio y las raíces de la función Las asíntotas verticales y las horizontales

Más detalles

Gráficas de funciones

Gráficas de funciones Apuntes Tema 1 Gráficas de funciones 1.1 Gráficas de funciones a) Función constante: f(x) = k b) Recta vertical: x = k c) Función lineal: f(x) = mx Todas pasan por el origen O(0, 0). 2 d) Función afín:

Más detalles

4.1 MONOTONÍA 4.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS 4.3 CONCAVIDAD 4.4 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS 4.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA

4.1 MONOTONÍA 4.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS 4.3 CONCAVIDAD 4.4 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS 4.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA Cáp. Temas Adicionales de la derivada. MONOTONÍA. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. CONCAVIDAD. ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS.6 TEOREMA DE ROLLE.7 TEOREMA DE CAUCHY.8 TEOREMA

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

f(x) f(x 0 ) = L IR h 0 = 0 = f (x 0 ); con lo que f (x) = 0 para todo x IR. (x x = lím x + x 0 = 2x 0 = f (x 0 ), y f (x) = 2x en IR.

f(x) f(x 0 ) = L IR h 0 = 0 = f (x 0 ); con lo que f (x) = 0 para todo x IR. (x x = lím x + x 0 = 2x 0 = f (x 0 ), y f (x) = 2x en IR. Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema Funciones derivables. Derivada de una función en un punto Definición 4.- Se dice que f: (a, b IR es derivable en el punto (a, b si f( f( = L IR es decir,

Más detalles

TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable

TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable TEMA 1: Cálculo Diferencial de una variable Cálculo para los Grados en Ingeniería EPIG - UNIOVI Curso 2010-2011 Los números Naturales I Los números Naturales N = f1, 2, 3, g I Principio de inducción Supongamos

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles

ASIMOV MATEMÁTICA PARA EL CBC, Parte 2

ASIMOV MATEMÁTICA PARA EL CBC, Parte 2 MATEMÁTICA PARA EL CBC, Parte Matemática para el CBC, Parte - da. edición. Buenos Aires: Editorial Asimov, 0 6 p.; 7 cm. ISBN: 978-987-54-4-5 Matemática para el CBC, Parte - da ed. - Buenos Aires : Asimov,

Más detalles

, o más abreviadamente: f ( x)

, o más abreviadamente: f ( x) TEMA 5: 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad del mismo. La factura

Más detalles

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: F. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1.- Encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones: (a) f(x) =x 3 /3+3x 2 /2 10x. Resp.: Crece en (, 5) y en (2, ); decrece en ( 5, 2). (b) f(x) =x 3

Más detalles

Toda regla de correspondencia como los ejemplos anteriores es llamada relación.

Toda regla de correspondencia como los ejemplos anteriores es llamada relación. . Funciones.1. Definición de función Toda regla de correspondencia como los ejemplos anteriores es llamada relación. Ciertos tipos especiales de reglas de correspondencia se llaman funciones. La definición

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS OPCIÓN A

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS OPCIÓN A Eamen Parcial. Anális. Matemáticas II. Curso 009-010 I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Curso 009-010 1-XI-009 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 010 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES 0 FUNCIONES ELEMENTALES Página 5 REFLEIONA RESUELVE Asocia a cada una de las siguientes gráficas una ecuación de las de abajo: A B C D 80 (, π) 50 0 5 E F G H 0 (5, ) 50 0 50 0 (, ) 5 I J K L LINEALES

Más detalles

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í

Continuidad y ramas infinitas. El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A = 2. lm í Unidad. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas Resuelve Página 7 A través de una lupa AUMENTO DISTANCIA (dm) El aumento A producido por cierta lupa viene dado por la siguiente ecuación: A

Más detalles

Hoja de Actividades. Nombre: Fecha:

Hoja de Actividades. Nombre: Fecha: Hoja de Actividades Nombre: Fecha: PASO A PASO 1. Dada la función: y = cos () Es continua? Es periódica? Es simétrica respecto del eje Y? Solución: a) Haz clic en Ventana D b) Selecciona en la barra de

Más detalles

12. f(x) = 1 x-1 2 13. f(x) = x+2. x 15. f(x) = 2x+1. x 24. f(x) = x 2 +x+1 2 25. f(x) = x 2 -x-2. 1 21. f(x) = x 2 +x. x-1 27.

12. f(x) = 1 x-1 2 13. f(x) = x+2. x 15. f(x) = 2x+1. x 24. f(x) = x 2 +x+1 2 25. f(x) = x 2 -x-2. 1 21. f(x) = x 2 +x. x-1 27. . Determina el dominio de la función:. f() = -. f() =. f() = 4. f() = -6. f() = 6. f() = + 7. f() = - 8. f() = e 9. f() = + 0. f() = -. f() = -. f() = -. f() = + 4. f() = +. f() = + 6. f() = - + 7. f()

Más detalles

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas BLOQUE IV Funciones 0. Funciones. Rectas y parábolas. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Límites y derivadas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo

Más detalles

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 2013

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 2013 IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Modelo Específico o Colisión) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 m Sea g la función definida por g() para n. ( - n)

Más detalles

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial

(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E700 1) x 5 > 1. A) Primer parcial ) Sean las funciones ft) t +,gy) y 4&hw) w. Encontrar f/h, g f, f g y sus dominios. ) Graficar la función x + six

Más detalles

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1

Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 Tema 4 Funciones elementales Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 TEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES 4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto

Más detalles

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula: 1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el

Más detalles

Calculadora ClassPad

Calculadora ClassPad Calculadora ClassPad Tema: Ejercicios varios sobre Análisis de funciones y optimización. Nivel: 1º y º de Bachiller Comentario: La siguiente actividad que propongo es para la evaluación de los conceptos

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 011 (Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD SEPTIEMBRE 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Más detalles

n la presente Unidad estudiamos los fundamentos de las funciones. Veremos las dos

n la presente Unidad estudiamos los fundamentos de las funciones. Veremos las dos UNIDAD Funciones n la presente Unidad estudiamos los fundamentos de las funciones. Veremos las dos E notaciones eistentes para familiarizarnos con los términos usados en Matemáticas, y así poder introducir

Más detalles

1. JUNIO 2014. OPCIÓN A. La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un

1. JUNIO 2014. OPCIÓN A. La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un Selectividad Andalucía Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales Bloque Funciones EJERCICIOS DE EXÁMENES DE SELECTIVIDAD ANDALUCÍABLOQUE FUNCIONES 1 JUNIO 014 OPCIÓN A La función de beneficios f en

Más detalles

5 Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones empleando la definición de

5 Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones empleando la definición de Hallar el dominio de las siguientes funciones: x 3 a) x +ln(x ) b) ln x + 6 x + c) x x d) ln x x + e) cos x + ln(x 5π) + 8π x Graficar la función sen(x π ). Hallar para que valores de x es 3 Hallar las

Más detalles

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad

MATEMÁTICAS. TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS TEMA 5 Límites y Continuidad MATEMÁTICAS º BACHILLERATO CCSS. TEMA 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD ÍNDICE. Introducción. Concepto de función. 3. Dominio e imagen de una función. 4. Gráfica de algunas

Más detalles

EJERCITARIO GENERAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL

EJERCITARIO GENERAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI EJERCITARIO GENERAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL AÑO 014 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014 CAPÍTULO 1: FUNCIONES

Más detalles

Bloque II. Actividades de síntesis: Análisis. Solucionario OPCIÓN A

Bloque II. Actividades de síntesis: Análisis. Solucionario OPCIÓN A Bloque II Actividades de síntes: Anális Solucionario OPCIÓN A A.. a) Escribe la función f(x) x 4 x como una función a trozos y dibuja su gráfica. b) Para cuántos valores de x es f(x) 0? c) Para qué números

Más detalles

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 3: CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Valor Absoluto Trabajaremos en el campo de los números reales, R. Para el estudio de las propiedades de las funciones necesitamos el concepto de valor absoluto de un número

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Específico Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Específico Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Específico Modelo 1) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 específico Sea la función f: (0,+) R definida por f(x) 1/x + ln(x) donde

Más detalles

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas:

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: 1 1. DERIVACIÓN 1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: b) f(x) x (x 1) en el intervalo [, ] y en su dominio. DOMINIO. D R. CORTES CON LOS EJES. Cortes con el

Más detalles

3. Operaciones con funciones.

3. Operaciones con funciones. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente

Más detalles

Precálculo 2130034 Prof.: Gerardo Varela

Precálculo 2130034 Prof.: Gerardo Varela Definición de función Una función con dominio D es un conjunto W de pares ordenados tales que, para cada en D, ha eactamente un par ordenado (, ) en W que tiene a en la primera posición. Terminología Definición

Más detalles

Bloque 4. Cálculo Tema 4 Aplicaciones de la derivada Ejercicios resueltos

Bloque 4. Cálculo Tema 4 Aplicaciones de la derivada Ejercicios resueltos Bloque 4. Cálculo Tema 4 Aplicaciones de la derivada Ejercicios resueltos 4.4- Resolver los siguientes límites aplicando la regla de L Hôpital: ; a) sen e e lim ; b) lim ; c) lim e d) lim 0 0 sen 0 e)

Más detalles