Estrategias de Enseñanza de la Matemática. Carpeta de trabajo

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1 Estrategias de Enseñanza de la Matemática Graciela Chemello (Coordinadora) Mónica Agrasar Gustavo Barallobres Ana Lía Crippa Lilian Gysin Mirta Hanfling Valeria Machiunas Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 1 /28

2 Estudio didáctico de la noción de función 5.1. Introducción En este capítulo, abordaremos el concepto de función, desde la perspectiva del análisis didáctico. Consideraremos, en primer lugar, cómo ha evolucionado el concepto de función a lo largo de la historia, cuáles han sido las necesidades que han conducido hacia esa evolución, qué concepciones se han configurado históricamente como obstáculos epistemológicos y qué elementos de este análisis histórico pueden servir como recursos para el desarrollo de situaciones de aprendizaje. También intentaremos establecer criterios para identificar las concepciones de la noción de función que se pueden inferir de los programas actuales, de los contenidos básicos para EGB y para la educación polimodal y de algunos textos escolares, así como de los presupuestos didácticos que sustentan tales propuestas. Por último, teniendo en cuenta que la resolución de problemas es un proceso fundamental en el aprendizaje, analizaremos un conjunto de situaciones que permiten el abordaje de aspectos relevantes del concepto de función. Si bien los problemas que presentaremos pueden ser trabajados en el aula, no pretendemos proporcionar una "secuencia de aprendizaje", sino que constituyen un elemento de análisis que permite poner en evidencia algunos aspectos teóricos que fundamentan la propuesta de este curso La noción de función a través del tiempo El concepto de función, tal y como es definido actualmente en Matemática, ha ido evolucionando a lo largo de más de 2000 años. En ese período de tiempo, el concepto ha sido objeto de numerosas precisiones y generalizaciones así como también ha sido influenciado por concepciones que históricamente se han configurado como resistentes a su evolución (obstáculos epistemológicos). Luisa Ruiz Higueras en su Tesis de Doctorado "La noción de función: análisis epistemológico y didáctico", organizó el análisis histórico y posterior mente identificó las concepciones predominantes en distintos períodos de la evolución de esta noción. Ellas son: La función como variación Matemáticos y astrónomos babilónicos, en su intento por aritmetizar las observaciones que eran difícilmente medibles, profundizaron métodos cuantitativos tabulando datos, interpolando y extrapolando, en busca de regularidades. Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 2 /28

3 Universidad Virtual de Quilmes Establecieron relaciones sistemáticas entre las variaciones de las causas y los efectos: los fenómenos sujetos al cambio, tales como el calor, la luz, la distancia, la velocidad, etc., pueden poseer distintos grados de intensidad y cambiar continuamente entre ciertos límites dados. Estas magnitudes variables encierran la presencia potencial de medidas. Varios investigadores consideran que los matemáticos babilonios poseyeron un verdadero instinto de funcionalidad, dado que en las tablas de cálculo que construyeron está presente una relación general por la que se asocian elementos de dos conjuntos. Sin embargo,... existe una distancia muy grande entre "instinto de funcionalidad" y la noción de función (Ruiz Higueras, 1998, p.107). La función como variación es la concepción predominante en este período, concepción que perdura por largo tiempo. La función como proporción Si bien las ideas de cambio y de cantidad variable estaban presentes en el pensamiento griego, se situaba al cambio y al movimiento como algo externo a la matemática. El considerar los entes matemáticos como algo estático llevó a los matemáticos de esta época a expresarse en términos de inecuaciones y proporciones más que en términos de variables. La búsqueda de proporcionalidad era la relación privilegiada entre magnitudes variables, es decir, la variabilidad atada a las magnitudes físicas, las cuales se consideran diferentes a las matemáticas. Dado el significado geométrico que tenían para los griegos las magnitudes variables, sólo establecían en forma homogénea sus proporciones: comparaban longitudes con longitudes, áreas con áreas, volúmenes con volúmenes. "... la homogeneidad que conducía a comparar siempre magnitudes de la misma naturaleza pudo ser un obstáculo al desarrollo de la noción de función puesto que impedía encontrar de forma significativa, dependencias entre variables de diferentes magnitudes, germen de toda relación funcional". (Rene de Cotret, 1985) Este período está marcado por el predominio de una concepción estática: la función como proporción, concepción que se ha mantenido en matemáticos tales como Oresme o Galileo. Galileo ( ) estudió el movimiento y contribuyó a buscar resultados y relaciones que provienen de la experiencia más que de la abstracción. En esto reside la diferencia con Oresme, centrado en la teoría y sobre el que volveremos a continuación. La función como gráfica El cambio más significativo ocurrido durante la Edad Media estuvo dado por el acercamiento entre la matemática y las ciencias de la naturaleza, y los principales núcleos de desarrollo fueron las escuelas de Oxford y París. El principal representante de la escuela francesa es Nicolás Oresme, quien ya en el siglo XIV utiliza el grafismo para representar los cambios y así Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 3 /28

4 describirlos y compararlos. Se vale de segmentos para representar las intensidades de una cualidad de una determinada magnitud continua que depende de otra magnitud continua. Estas gráficas representaban las relaciones desde lo cualitativo más que desde lo cuantitativo, pues los gráficos se consideraban como modelos geométricos de las relaciones y no necesitaban representar fielmente dichas relaciones. Oresme traza un segmento horizontal cuyos puntos representan los sucesivos instantes y para cada instante traza una segmento perpendicular cuya longitud representa la velocidad en ese instante. La dependencia se representaba globalmente por toda la figura, predominando entonces la concepción de función como gráfica (visión sintética). Durante el período que abarca los siglos XV - XVI se distinguen dos direcciones fundamentales de desarrollo de la matemática: un perfeccionamiento del simbolismo algebraico y la formación de la trigonometría como una rama particular. Si bien no se produjeron grandes transformaciones científicas, estos adelantos favorecieron el desarrollo del concepto de función. La función como curva A principios del S.XVII, Fermat y Descartes descubren el mundo de la representación analítica al conectar los problemas de dos ramas de la matemática: la Geometría y el Álgebra. Comienza a formarse la geometría analítica como un método de expresión de la relaciones numéricas establecidas entre determinadas propiedades de objetos geométricos, utilizando esencialmente el método de las coordenadas. Se sostiene por primera vez la idea de que una ecuación en x e y es un medio para introducir la dependencia entre dos cantidades variables. Citamos a Descartes: "Cuando una ecuación contiene dos cantidades desconocidas, hay un lugar correspondiente, y el punto extremo de una de estas cantidades describe una línea recta o una línea curva". La concepción dominante, la función como curva, hace que surja el segundo obstáculo en la evolución de la noción de función, cuando se asocia la gráfica con la trayectoria de puntos en movimiento y no con conjuntos de puntos que satisfacen condiciones en una relación funcional. La función como expresión analítica Esta concepción de función como expresión analítica nace en el siglo XVII y continúa con Euler y Lagrange en el siglo XVIII. Se pensaba que las únicas Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 4 /28

5 Universidad Virtual de Quilmes funciones dignas de estudio eran las que podían ser descriptas por medio de expresiones algebraicas. Se intentó resolver problemas de la Física. Permanece aún la idea de asignar la variación a las "cantidades". Aparece la idea de función no-continua. Leibniz habla de "función f(x)". Euler generaliza como expresión analítica: f(x) = a + a 1 z a n z n +..., donde z, en términos generales era complejo. En la definición que propone Euler del concepto de función, reemplaza el término cantidad utilizado hasta ese momento por el de expresión analítica: "Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier forma que sea, de esta cantidad y de números o cantidades constante". (Euler, citado por D 'Hombres, citado por Ruiz Higueras, 1998) Posteriormente, Lagrange amplía la noción de función a toda expresión de cálculo. Esta concepción se constituye en obstáculo para la evolución de la noción de función en relación con sus ideas de dependencia y variabilidad. El punto de vista que predominó fue el aspecto puramente formal más que de relación entre variables; se entiende que una función es una combinación de operaciones dada por una expresión analítica. La función como correspondencia arbitraria: aplicación. Esta concepción de función como aplicación aparece con los últimos trabajos de Euler sobre "funciones arbitrarias", siglo xviii, continuando en el siglo xix con los de Fourier sobre series trigonométricas y los de Cauchy, Dedekind y otros sobre números reales. A partir del problema de la cuerda vibrante de Euler, surge la noción de correspondencia general: se dice que "una cantidad es función de otra u otras", aunque no se conozca por qué operaciones atravesar para llegar de una a la otra. Más tarde, Euler se ve en la necesidad de considerar funciones más generales que las funciones analíticas: las funciones arbitrarias en las cuales si x designa una cantidad variable, entonces todas las otras cantidades que dependen de x, no importa de qué manera, son llamadas funciones de x (Euler, citado por Ruiz Higueras, 1998, p.129) El término función se corresponde con la expresión f(x), y más tarde se representará como f: X -> Y, o x -> f(x). Continúa el uso de los ejes cartesianos y aparece una nueva representación: los diagramas de Venn. La función como terna A finales del siglo XIX y principios del siglo XX se llama función a la terna f = (A, B, G) en donde A, B, G son conjuntos con las siguientes condiciones G AxB, x A, y B tal que (x,y) G. Las representaciones utilizadas son las de la teoría conjuntista y se concibe que: una relación funcional está formada por pares de elementos así como un conjunto está formado por elementos individuales. En esta descripción, Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 5 /28

6 clara, precisa y estática ya no hay la menor sugerencia a las cantidades que fluyen engendrando magnitudes variables, ni la menor referencia a puntos moviéndose sobre curvas, ni aparece la vieja y sugestiva idea de variabilidad. La concepción dominante es entonces la de función como terna, que es considerada como un obstáculo ya que, en la intención de lograr mayor precisión y rigor matemático, se pone de relieve una concepción estática: una función es una colección de pares ordenados que pertenecen a una relación. Se oculta el carácter dinámico de la asignación entre variables. Luisa Ruiz Higueras manifiesta que la constante evolución hacia definiciones cada vez más abstractas evidencia una transformación progresiva de esta noción, tanto en la forma (las diferentes definiciones) como en el fondo (los conceptos y elementos a los que modeliza). En cuanto a la forma, es interesante constatar que en las primeras definiciones del concepto de función las nociones centrales eran la variación y la dependencia; la correspondencia estaba presente pero de forma implícita. Después, cuando nos aproximamos a las definiciones modernas, vemos cómo desaparece gradualmente la variación, y después la dependencia, conduciéndonos finalmente a una pura correspondencia. Veamos como ejemplo la siguiente definición: Sean X e Y dos conjuntos no vacíos. Una función f definida en un conjunto X y con valores en Y es una ley mediante la cual se hace corresponder a cada elemento de X un elemento de Y. Se dice también que X es una aplicación de X en Y. En cuanto al fondo, es evidente también que existen diferencias significativas entre las definiciones surgidas, pues no todas permiten resolver la misma clase de problemas. Las primeras concepciones de función surgieron de una visión cualitativa de problemas relacionados con el movimiento de los cuerpos y todos tenían como variable independiente el tiempo. Más tarde estos mismos problemas se estudiaron de forma cuantitativa y tomaron un status más significativo con el cálculo diferencial. Luego aparece la noción de función como expresión analítica y los problemas que se presentan están vinculados con la posibilidad de expresar todo tipo de funciones por medio de desarrollos en series. Vemos que los problemas han pasado de un plano ligado a fenómenos de la realidad, a un plano estrictamente matemático, sin permanecer necesariamente dentro de éste. El análisis desarrollado nos permite ver que detrás de la definición conjuntista, se "oculta" todo un proceso que se torna un elemento de análisis importante para la didáctica. El objetivo de realizar el análisis anterior es comprender las formas bajo las cuales este concepto se ha manifestado y los mecanismos de producción de este saber, así como acceder a las diferentes significaciones que fue adquiriendo en relación con los problemas que permitía resolver. Asimismo, este análisis permite comprender algo que muchos hemos escuchado reiteradamente: la matemática se ha construido como respuesta a preguntas que han sido traducidas en otros tantos problemas; la actividad de resolución de problemas ha estado en el corazón mismo de la elaboración de Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 6 /28

7 Universidad Virtual de Quilmes esta ciencia. Para que una teoría alcance un estado acabado, ha sido necesario que haya previamente funcionado como tal en la resolución de problemas. 5.3.La noción de función en ios contenidos curriculares y los libros de texto El análisis de los contenidos curriculares y de los libros de texto nos permite identificar las concepciones del concepto de función que subyace y que, de alguna manera, contribuyen a la formación de las concepciones de los alumnos. Tanto los libros de texto como los programas oficiales adaptan los objetos matemáticos a ciertas exigencias que precisa todo saber que se desea incluir en el sistema de enseñanza, las que le provocan transformaciones. Algunas de las exigencias a las que nos referimos son las siguientes (Ruiz Higueras, 1998): dividirlo en campos de saber delimitados, dando lugar a un fraccionamiento y autonomización de los saberes parciales; definir una progresión ordenada en el tiempo, lo que implica una programación de los aprendizajes; verificar la conformidad entre la progresión y los conocimientos de los alumnos, lo que se expresa en objetivos o expectativas de logro y que implica la necesidad de evaluación; la explicitación de algunas nociones matemáticas que se emplearán como herramientas para resolver problemas, lo que implica su introducción como objetos de estudio. En varios libros de texto, el concepto de función aparece como caso particular del concepto de relación y éste es definido a partir de algunos conceptos elementales de la teoría de conjuntos. Para los impulsores de esta ideología conjuntista el verdadero problema de la enseñanza de la matemática es el del rigor y la formalización. Así, en muchos de los libros de texto el concepto de función aparece como un objeto estático y acabado. Vemos también que, en muchos casos, primero se formaliza el conocimiento a enseñar y luego se lo aplica en la resolución de ejercicios que, en general, están construidos exclusivamente para la aplicación directa del concepto aprendido, sin ningún tipo de transformación. En la mayoría de los libros de texto de fines del siglo XIX y comienzos De siglo XX, las definiciones de función que aparecen mencionan la "cantidad de una magnitud" identificada con la variable independiente. Esta noción de función, en la que se presentan cantidades variables de ciertas magnitudes que dependen entre sí desaparece de los textos del nivel secundario con la influencia de la llamada Matemática Moderna y se propone la definición de función de variable real como subconjunto de R x R. "Se presenta ya una definición en la que no existe la menor sugerencia a la dependencia entre magnitudes, ni aparece la vieja y sugestiva idea de variabilidad. Es evidente que la noción de función Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 7 /28

8 presentada por los textos anteriores a esta "introducción moderna" era mucho más intuitiva, la actual tiene un alto grado de formalización que la hace más abstracta". (Ruiz Higueras, op. cit. p. 169) Íntimamente ligado al concepto de función de variable real, encontramos, tanto en algunos programas como en textos escolares actuales, las definiciones formales de dominio e imagen de una función, seguidas de una serie de ejercicios para determinar dominio e imagen. No obstante, por el tipo de actividad que se propone parece ignorarse porqué y para qué es necesario calcular el dominio y la imagen de una función. Las funciones con las que los alumnos trabajan para determinar su dominio se representan en muy pocas ocasiones y la representación gráfica de la función aparece como un fin en sí misma y no como una herramienta del trabajo matemático del alumno. Se representan en principio, funciones afines, cuadráticas y a trozos. La justificación de las representaciones gráficas a trozos aparece ligada a la necesidad de dar, en el futuro, un cierto grado de significación a conceptos matemáticos tales como límites laterales, continuidad, crecimiento o derivabilidad. El gráfico se constituye por lo tanto en una herramienta ostensiva del docente, para salvar la distancia entre rigor e intuición dar significación a objetos matemáticos definidos formalmente y de forma totalmente descontextualizada. Posteriormente, aparecen trabajos vinculados con operaciones entre funciones, apoyados en general sobre diagramas de Venn, como un intento de dar "algo" de significación a estas nociones, pero la distancia entre los ejemplos y los ejercicios a los que posteriormente el alumno se ve enfrentado, es muy grande. Quedan fuera de esta línea de trabajo los diferentes significados del concepto de función, el campo de problemas que permite poner en juego esos significados y el potencial modelizador de esta noción. Uno de los conceptos constitutivos de la noción de función entendida como herramienta apta para modelizar fenómenos de cambio es, como ya dijimos, la noción de dependencia. La noción de dependencia implica la existencia de un vínculo entre cantidades y conlleva la dea de que un cambio en una de las cantidades tendrá efecto sobre las otras. Pero la noción de dependencia es difícilmente identificable sin otra noción que constituye, desde nuestro punto de vista, el verdadero punto de partida del concepto de función: la variabilidad. En efecto, el único medio de percibir que una cosa depende de otra es hacer variar cada una por vez y constatar el efecto de la variación. Los principales elementos que integran la noción de función son, entonces, la variación, la dependencia, la correspondencia, la simbolización y expresión de la dependencia y las distintas formas de representación, sea ella algebraica, gráfica u otra. Veamos cómo aparece el concepto de función en los contenidos básicos para la EGB y para la educación polimodal. De la síntesis explicativa correspondiente al bloque 3 "Lenguaje gráfico y algebraico" se desprende una concepción un tanto diferente a las propuestas por las currículas anteriores: aparecen resaltados elementos ligados a la noción de función tales como los de variable, dependencia y cambio, fundamentales para Contenidos Básicos Comunes para la Educación General Básica. Ministerio de Cultura y Educación, Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 8 /28

9 Universidad Virtual de Quilmes la adquisición de significaciones de dicho concepto. Las funciones son, en esta instancia, "herramientas que permiten modelizar fenómenos de la realidad". En los contenidos básicos para la educación polimodal, la noción de función, sus diferentes representaciones y el estudio detallado del comportamiento de las funciones más utilizadas, adquieren mayor relevancia. Del análisis de los CBC para Polimodal se desprende que se pretende que los alumnos continúen el estudio de las funciones, correspondiendo a este nivel un tratamiento más sistemático y profundo de las nociones de variable, parámetro y dependencia; las variables discretas y continuas; las distintas formas de representación de funciones (coloquial, gráfica, analítica, por tablas, etc.); la caracterización de los dominios o conjuntos de definiciones; el uso de este concepto y sus limitaciones en la modelización de situaciones provenientes de la matemática y de otras áreas de conocimiento. Creemos que los diferentes elementos constitutivos del concepto que se mencionan en el párrafo anterior, así como algunas caracterizaciones, deberían aparecer en esta etapa de la escolaridad como recursos que permiten acceder a una mejor conceptualización de la noción de función, la que jugará el papel de instrumento para resolver problemas. Un deslizamiento del objeto de estudio hacia la algoritmización oculta el sentido de dependencia, de variación y de cambio que se tornan significativos en la resolución de problemas. Es en la resolución de problemas donde las fórmulas y los gráficos resultan realmente funcionales. = 1. En el Capítulo 2 del Libro Estudiar Matemática, El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje de Chevallard, Gascón y Bosch, se aborda la enseñanza de la matemática desde la perspectiva del curriculum. Teniendo en cuenta los componentes de toda obra matemática a que hacen mención los autores del texto, describa las características de la "reconstrucción de la obra matemática función" que aparece plasmada en los CBC para el nivel Polimodai. 5.4 Concepciones de los alumnos respecto de la noción de función Ruiz Higueras, L. La noción de función: Análisis epistemológico y didáctico, Editorial de la Universidad de Jaén, España, 1998 Varios especialistas han realizado investigaciones con el propósito de identificar distintas concepciones relativas a la noción de función. Luisa Ruiz Higueras llevó a cabo una investigación para la cual aplicó un cuestionario a una muestra de alumnos de entre 14 y 18 años. En el mismo, se incluyeron situaciones de distinta naturaleza: algunas destinadas a que los alumnos propongan una descripción personal de la noción de función; otras relacionadas con representaciones simbólicas, gráficas y algebraicas; y otras que requieren de una modelización funcional. Entre las conclusiones de su investigación esta autora destaca que algunos aspectos de las concepciones locales de los alumnos pueden identificarse con concepciones asociadas a la evolución histórica de esta noción. La mayoría de las definiciones de función dadas por los encuestados incluye términos algebraicos: es una fórmula, es una ecuación, es una expresión con números y letras, etc. 124 Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 9 /28

10 En el resto de las definiciones aparecen, fuertemente, términos que remiten a lo numérico o gráfico: es dar valores a una ecuación, es una operación entre números, es una tabla que podemos representar en un gráfico, etc. Es decir, las definiciones que desarrollaron los alumnos describen los usos que han hecho y muestran que conciben la función como un cierto procedimiento. En sus conclusiones sobre las definiciones Ruiz Higueras expresa: "Nuestros alumnos de secundaría manifiestan en general una concepción de la noción de función como un procedimiento algorítmico de cálculo... Podemos decir que sus definiciones no determinan el objeto función, sino las relaciones que han mantenido con él." En muy pocos casos los alumnos consideran la función como transformación de magnitudes variables. Sin embargo, las situaciones de variación que consideran los alumnos en tales casos corresponden al contexto geométrico, en el que las transformaciones o cambios de forma se aprecian de modo intuitivo. En el trabajo con los problemas que se les propusieron, en ningún caso, los alumnos hicieron mención a la necesidad de controlar el campo de variabilidad de las variables, aún cuando la relación establecida carece de sentido sin ese control. No hubo ningún alumno de los 244 consultados que admitiese que sólo controlando los valores de las variables se puede evitar el absurdo de algunos resultados. Los alumnos, al resolver los problemas intentan determinar cómo varía una situación sin analizar ni precisar qué varía en esa situación. Por qué los alumnos no tienen en cuenta la importancia del dominio para otorgar significación a las expresiones algebraicas obtenidas, aún cuando han dedicado múltiples cálculos a la determinación de dominios? En este sentido, Freudenthal (1983) afirma: "el verdadero origen de las ideas puede quedar atascado por los automatismos" Ruiz Higueras (1998) concluye: "... tanto se ha descompuesto el objeto función en segmentos para su enseñanza que el alumno no logra unificarlos dándoles una significación global. El alumno ha visto muchos objetos allí donde sólo debía existir uno." Al proponer a los alumnos un problema en un contexto de proporcionalidad, la investigadora pudo comprobar que estos privilegiaron el uso de estrategias tales como la regla de tres, lo que no implica un pensamiento funcional, sino proporcional. "La proporción se puede considerar como un obstáculo para el desarrollo de la noción de función, el aspecto funcional queda oculto por el carácter escalar de la proporción". (Ruiz Higueras, op. cit.) Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 10 /28

11 Universidad Virtual de Quilmes Las fórmulas algebraicas son visualizadas como conjunto de técnicas eficaces para encontrar el valor de las incógnitas, esta concepción elimina el sentido de variabilidad, movilizando incógnitas en lugar de variables. Teniendo en cuenta el análisis de las respuestas de los alumnos al conjunto de situaciones propuesta, la autora ha identificado distintos tipos de obstáculos, como por ejemplo: Las técnicas algebraicas desarrolladas para traducir "en ecuación" los da tos de determinados problemas a través de la movilización de "incógnitas" pueden constituir un obstáculo para el desarrollo de las nociones de variable y de variabilidad, elementos imprescindibles para el pensamiento funcional. El tratamiento dado a fórmulas geométricas o físicas, tales como S = b. h, o bien e = v. t sólo se centra en su aspecto mostrativo (cómo se relacionan las variables) mientras no consideran el análisis del dominio de variabilidad (qué cambia). Las técnicas asociadas a la proporcionalidad se pueden constituir en obstáculo para desarrollar el pensamiento funcional. La economía que ofrecen los números naturales o enteros en el cálculo se puede constituir en obstáculo para el conocimiento de las funciones de variable real, restringiendo la noción de función exclusivamente a la de sucesión. Otras. Ruiz Higueras concluye: "...existe en nuestros alumnos una diversidad de concepciones respecto de la noción de función... Algunas de estas concepciones tienen invariantes y representaciones análogas a diferentes concepciones identificadas en la génesis histórica de la noción de función, aunque sus situaciones de empleo no son coincidentes, ya que las concernientes a los alumnos están condicionadas por la epistemología escolar El sistema de enseñanza en el que se encuentran nuestros alumnos no promueve el estudio y análisis de la variabilidad de fenómenos sujetos a cambio, donde las funciones encontrarían una especial significación estrechamente ligada a sus orígenes epistemológicos. Las situaciones ligadas a las diferentes concepciones de los alumnos se refieren al uso de rutinas y procedimientos algorítmicos: construir tablas, calcular dominios, representar funciones, etc. Todo lo anterior nos conduce a confirmar la hipótesis formulada en la investigación ya que el tratamiento dado por el sistema de enseñanza a la noción de función da lugar a la formación de concepciones muy limitadas, que no generan una concepción más completa de la noción de función... El conocimiento de las restricciones que impone el sistema didáctico a propósito del caso del objeto función es pertinente para poder identificar el dominio de las modificaciones que didácticamente son posibles de llevar a cabo para optimizar el aprendizaje de los alumnos..." (Ruiz Higueras, op.cit., pp ). Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 11 /28

12 S 2. Lea las situaciones descriptas por Annie Berté (Situaciones 1 y 2) del texto Matemática de EGB 3 al Polimodal. Identifique en cada una de ellas: a) Qué aspectos vinculados con la noción de función se abordaron? b) Qué relación encuentra entre la manera en que han sido presentadas las situaciones y las intervenciones de los alumnos? c) Qué relación encuentra entre las intervenciones de la docente y las apariciones de los errores? d) Qué concepciones evidenciadas se relacionan con las concepciones de la noción de función que acompañaron la evolución del concepto? 5.5. Algunas actividades para la enseñanza de la noción de función Para nosotros, uno de los objetivos esenciales de la enseñanza de la matemática es, precisamente, que lo que se enseña esté cargado de significado y tenga sentido para el alumno. Pensamos que para generar condiciones que permitan la construcción del sentido de los conocimientos, tenemos que proponer a los alumnos situaciones en las cuales los conocimientos aparezcan como soluciones óptimas. Los conocimientos tendrán sentido para los alumnos en la medida en que esos conocimientos aparezcan como el producto de su actividad ante problemas de los que han podido apropiarse. Sabemos que la matemática es una herramienta útil para interpretar y analizar fenómenos de diversa naturaleza. Este trabajo de modelización exige seleccionar las variables a estudiar, utilizar el lenguaje de la matemática para expresar relaciones entre las mismas, y elegir las formas apropiadas de representación. En el caso de la noción de función el gráfico es uno de los recursos esenciales que permitirá acceder a sus diferentes significaciones. Presentamos a continuación el relato de la construcción y puesta en aula de algunas actividades que permiten poner en juego aspectos relevantes del concepto de función Construcción de actividades de enseñanza - Variación del área de un rectángulo El trabajo que se relata a continuación es parte de un proyecto experimental del Grupo "Lycée" del I.R.E.M. sobre cómo construir, a partir de un problema, una actividad introductoria de la noción de función destinada a alumnos de años que ya han utilizado algunos aspectos de esta noción como instrumentos o de forma aislada en cursos anteriores. Compartir esa experiencia nos parece interesante, ya que como señalan los autores de la misma: Grupo "Lycée" del I.R.E.M.: las siglas corresponden a Instit de Recherche pour l'enseignement des Mathématiques. Hay uno en cada distrito universitario francés. "... construir una actividad introductoria para un concepto no depende sólo de la intuición o del sentido común, es algo que también puede aprenderse y formar parte de las competencias específicas Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 12 /28

13 Universidad Virtual de Quilmes del profesor..." (Asociación de Profesores de Matemática de la Enseñanza Pública de Francia) Transcribimos algunas reflexiones surgidas del grupo de profesores que participaron de la experiencia previas a la elección de la actividad: Cuál es el modo más clásico de introducción de un concepto?: la exposición de definiciones y propiedades, seguidos de ejercicios. En este escenario el alumno es perfectamente capaz de considerar que un objeto explicado reviste interés para resolver determinada actividad, pero existe el riesgo de que la relación de interés se invierta, es decir, que la situación revista interés para el objeto. Así, las situaciones aparecerían sujetas al hecho de que el objeto figura en el programa; en este modelo la existencia del objeto se da a priori y no responde, como en su génesis histórica, a una necesidad o a su utilidad. Muchas situaciones que evocan de alguna manera la noción de función se pueden resolver sin hacer referencia a ese concepto. No se estaría satisfaciendo, en ese caso, el criterio de necesidad y por tanto ese tipo de problemas no introducen necesariamente el concepto. Problema seleccionado Tenemos un círculo cuyo radio AB es de 6 cm y un punto M que se desplaza sobre AB. Se construye un rectángulo AMDE como se indica en la figura. Estudiar las variaciones del área de ese rectángulo y analizar si el área tiene un valor máximo para una posición de M. Se buscó introducir la idea de variación de una función sobre en un intervalo de variación. Los alumnos debían hallar un máximo aproximado. Se buscaba que ciertas propiedades o técnicas aparecieran como necesidades o herramientas. Los conocimientos previos que los alumnos debían tener disponibles eran: área del rectángulo y Pitágoras; representación gráfica a partir de puntos y uso de tablas. Primera versión del texto entregado a los alumnos: Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 13 /28

14 LECTURA 30 - DIDÁCTICA III AB = AC = 6 D perteneciente al arco de circunferencia BC M es un punto del segmento AB que se desplaza desde A hacia B. Vamos a estudiar las variaciones del área de los rectángulos AMDE que podemos formar a partir de cada uno de los puntos M. Existe un punto M a partir del cual el área obtenida sea mayor que el resto? 1) Para diferentes valores de la distancia AM, calcular el área del rectángulo y presentar los resultados en un gráfico. Ordenar los diferentes valores de AM en orden creciente: 2) Representar dentro del plano los puntos cuyas coordenadas sean los valores descrlptos. (abscisa: AM; ordenada: área) 3) Si AM = x, el área que varía en función de x se designa por f(x). Si queremos utilizar una calculadora para afinar y completar el gráfico utilizando otros puntos, qué secuencia de cálculo será necesario efectuar? 4) Calcular f(x) para x = 4; x = 4,1; x = 4,2;... x = 5 y representar los puntos de las coordenadas (x, f(x)) 5) Hallar un Intervalo del valor x para el que f(x) sea máximo y construir dicho rectángulo para un valor de x dentro de ese intervalo. 6) Les sugiere este estudio una respuesta a la pregunta del principio? Justificar por un método geométrico. Resultado de la primera experiencia: Al comenzar a trabajar con la primera pregunta los alumnos se precipitaron a hacer cálculos sin apropiarse verdaderamente del problema dentro del marco geométrico. Se elaboró un nuevo enunciado y se llevó a cabo en otro curso. Segunda propuesta: Se distribuyó una hoja con el siguiente enunciado: Dada la siguiente figura: AB = AC = 6 CAB = 90 2 M es un punto que se desplaza sobre el segmento AB. Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 14 /28

15 Universidad Virtual de Quilmes c) Existe una posición de este punto M para la cuál el área del rectángulo AMDE sea un máximo? d) Organización de la clase Se alternó trabajo individual y grupal con puestas en común. Se pasó de una fase a otra por la necesidad o la utilidad de introducir un nuevo instrumento. Etapa 1: Una vez distribuido el enunciado, el trabajo de los alumnos consistió en construir las figuras y formular una serie de conjeturas. La puesta en común de las tentativas de respuesta (esta puesta en común es un elemento importante dentro del dispositivo de la actividad), llevó a la formulación de las siguientes conjeturas: Para todo M, el área es la misma: si una dimensión aumenta, la otra disminuye. Si M está en el medio de AB, el área es el máximo, cuanto más se aproxima M de A o de B, más disminuye el área. Se otorgó tiempo suficiente para que los alumnos puedan formular de for-. ma efectiva sus conjeturas y que comiencen a tomar algunas medidas, dándose cuenta de esta manera que el área varía. Surgió en esta etapa el interés de estudiar estas variaciones. Etapa 2: Se enuncian las distintas conjeturas y algunas son incorrectas. Es así como aparece la necesidad de estudiar las variaciones del área para decidir entre las diferentes propuestas. Algunos trazan distintos rectángulos y calculan los áreas correspondientes. Es en este momento cuando el profesor propuso establecer una tabla de valores. Para la tabla se previeron ocho columnas para obligar a los alumnos a incluir valores no enteros para la distancia AM. Una vez más, el profesor suscitó una puesta en común en la que aparecieron resultados como éste: Para AM = 4, el área es 18,4; 18; 17,2 Probablemente influidos por lo que se hizo en la primera parte, han medido los lados del rectángulo, lo que explicaría estas imprecisiones. Los alumnos demuestran no estar satisfechos con estos resultados. Aparece entonces como una obligación para eliminar estas imprecisiones debidas a las medidas, la necesidad de expresar el área del rectángulo por medio de una fórmula. Comienza a funcionar como necesidad la búsqueda de una expresión algebraica que aparece como una alternativa a un procedimiento que resulta insuficiente en ese caso. Etapa 3: Los alumnos consiguen encontrar, sin demasiadas dificultades, la expresión de f(x). El uso del teorema de Pitágoras no se da en todos los alumnos pero la idea de su utilización circula rápidamente entre ellos. Se vuelve a efectuar el gráfico. En esta fase, el uso de calculadoras para calcular f(x) por medio de diferentes valores de x aparece de forma "natural". Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 15 /28

16 El trabajo realizado en esta etapa hizo que el problema evolucione significativamente. Aparecieron las siguientes afirmaciones: El área del rectángulo crece cuando x varía desde 0 hasta un número que está entre 4 y 5 y después disminuye. Si representamos la variación tenemos una curva. El valor máximo lo podemos encontrar en el gráfico de la variación. Muchos alumnos tuvieron dificultad para aceptar que el problema ha sido resuelto aún cuando no se encuentre un "valor exacto", por lo que el concepto de "solución aproximada" o "tendencia" como respuesta matemáticamente correcta aparece como una cuestión que debería ser trabajada. Algunas conclusiones: Se buscó pues una situación que pudiera hacer surgir la necesidad de: Estudiar la función que asocia AM con el área del rectángulo. Buscar una formulación algebraica para representar la función. En el trabajo con el problema se puso en juego la articulación entre varíos marcos y distintos registros de expresión. A propósito de esto, recordamos una recomendación surgida del COPREM en 1978: "Una función no es ni una estadística de valores ni una representación gráfica ni un conjunto de cálculos ni una fórmula, sino todo ello al mismo tiempo". Funcionaron en la solución del problema, junto a la noción de función, distintas formas de representación: Las tablas de valores con las que los alumnos están familiarizados: las han utilizado durante la educación primaria y en los primeros años de educación media. (11-15 años). Las fórmulas y reglas de cálculo. Las representaciones gráficas en los puntos dados: los alumnos también las conocen. En la elección del problema se tuvo en cuenta que el mismo estuviera formulado dentro de un marco que le resulte familiar a los alumnos, el marco geométrico, en el que se incluyeron conocimientos con los que el alumno ya está familiarizado. Al buscar la solución, resultó necesario un cambio de marco, pasar del marco geométrico al algebraico. En cambio la tabla de valores y las gráficas resultan útiles pero no necesarias para avanzar en la solución. Un marco que resulta familiar puede servir de control de lo que hacemos. Por ejemplo: un cálculo o una operación dentro de un marco simbólico puede controlarse pasando al marco geométrico. Podemos debatir sobre la pertinencia de determinada actividad para introducir la noción de función, pero este debate es parte de otro más importante sobre cuál es el sentido que los alumnos van a atribuir a las funciones. Esta cuestión del sentido no se limita a las actividades de introducción Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 16 /28

17 Universidad Virtual de Quilmes dado que se construye, en la relación mantenida entre los alumnos, la noción y el conjunto de las situaciones en que la noción funciona como respuesta científica apropiada. Vemos en este relato que para caracterizar una actividad no basta con el enunciado sino que es necesario analizar cómo se organiza la dinámica de la actividad en la clase, en qué momento el docente interviene con consignas o con pistas, cuáles son las nociones y los procedimientos que se deberían poner en juego y cuáles son las respuestas de los alumnos que es posible anticipar Análisis de registros de clases - El costo de las llamadas telefónicas A continuación presentamos los registros tomados de tres clases diferentes en las que se trabajó a partir de una misma situación pero focalizando sobre diferentes aspectos vinculados con el concepto de función. En su lectura podrán identificarse algunas diferencias en la presentación del problema y en la gestión de la clase que serán abordadas en las actividades que proponemos. Clase 1: Problema presentado: "Un fin de semana cinco personas realizan llamadas telefónicas a varios lugares del país. El costo de sus llamadas y la duración del tiempo de las mismas está reflejado en el gráfico: Sobre la organización de la clase En la clase que se describe a continuación (7 9 de EGB), se trabajó en una primera etapa en forma individual, de manera que cada alumno pudiera Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 17 /28

18 interiorizarse del problema que se plantea e intentar formarse una idea de posibles respuestas. Luego se formaron grupos pequeños de 2 ó 3 alumnos, para resolver el problema. El período inicial de trabajo individual permitió a los alumnos llegar al grupo con alguna propuesta o con dudas que después se discutieron. Creemos que algunas discusiones no hubieran aparecido si se hubiera trabajado directamente en grupo. Lo producido por cada grupo fue debatido por toda la clase lo que exigió de cada grupo que busquen una forma de comunicar y justificar sus procedimientos ante sus compañeros. Análisis de la clase En esta clase que relatamos, los alumnos ya trabajaron con sistemas de referencia (en particular coordenadas cartesianas) y han tenido un acercamiento a la lectura e interpretación de gráficos. Para responder a las preguntas, los alumnos debían establecer relaciones de dependencia entre las variables tiempo y costo, valiéndose de expresiones del tipo "más que", "menos que" o "tantos como", y a la vez, determinar cómo influyen ambas variables en la variación de una tercera: la distancia. De esta manera, la resolución de la actividad permitiría a los alumnos aproximarse a las ideas de variación y dependencia. Muchos de los alumnos respondieron correctamente las dos primeras preguntas estableciendo dependencias del tipo: "Dina y Jorge hablaron el mismo tiempo, pero como Jorge pagó más deducimos que Jorge habló a un lugar más lejos que al que habló Dina". "Como Dina y Matías pagaron lo mismo pero Matías habló más tiempo, entonces Matías habló a un lugar más cercano". Como vemos, la información que los alumnos extrajeron del problema no surge de una lectura directa, ya que hacen intervenir una tercera variable que no figura en el mismo. Esto da cuenta de la riqueza de la situación planteada. Por otro lado, al tener que hacer explícitas las condiciones que se tienen en cuenta para dar las respuestas, aparecieron planteos muy interesantes como por ejemplo: "A lo mejor Dina y Jorge llamaron al mismo lugar pero en horarios diferentes, con tarifas diferentes. A la noche se paga menos! Cómo puedo saber esto?" En este caso, y dado que se trata de un problema que apela al aspecto modelizador de la matemática, los alumnos estuvieron debatiendo sobre las condiciones bajo las cuales se elabora un modelo que represente la situación. En este sentido, tanto las respuestas dadas al principio como esta última observación son correctas, pero bajo condiciones diferentes. En el primer caso puede suponerse que tanto Dina como Jorge hablaron dentro de una franja horaria en la que el costo de la llamada no varía a causa del horario. Si no se establecieran condiciones, las preguntas no podrían responderse. Pensamos que si estas discusiones no surgen de parte de los alumnos Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 18 /28

19 Universidad Virtual de Quilmea al responder al problema, el docente debería plantearlas para favorecer el despliegue de un aspecto relevante de la actividad matemática. En relación con la tercera pregunta, a los alumnos les resulta complejo determinar bajo qué condiciones es posible dar una respuesta, a pesar de que implícitamente está presente el tema de la proporcionalidad; el problema esencial es que aparecen dos variables independientes (tiempo y distancia). Algunos de los argumentos que presentan son: Condiciones: "A mayor distancia, mayor costo" "Cada minuto se cobra x$" Los alumnos perciben que estas dos condiciones no se vinculan, planteando: "si el precio fuera el indicado, no estoy teniendo en cuenta en él la distancia" Analicemos otras de las propuestas de los alumnos: "El minuto es más caro si la llamada es más lejana Los estudiantes argumentaban que está implícito en esta expresión que las llamadas se cobran por minuto. Pero a partir de una discusión se concluyó que no es así y que es necesario agregar otra condición: "Cuanto más tiempo se habla, más se paga" En la clase, al llegar a esta instancia, todos los alumnos coincidían en que con estas dos condiciones era posible responder a la pregunta c). Se hizo entonces necesaria la intervención del docente: "A ver si entiendo lo que ustedes quieren decir: es posible que uno hable a un lugar 10 minutos y pague $2 y que luego hable al mismo lugar 30 minutos y pague $3". " No!" - dijeron los alumnos - "tiene que pagar $6". El docente remitió a los alumnos a la segunda condición argumentando que su propuesta cumple con la misma: hablé más tiempo y pagué más. " Pero debe ser proporcionan" - dijeron casi todos. La discusión continuó hasta precisar las condiciones requeridas. Al finalizar la clase el docente destacó las características del problema e identificó, a partir de las afirmaciones surgidas, aquellas que deseaba que los alumnos retengan para reutilizarlas en otras situaciones. Por último, propuso reflexionar sobre otras dos cuestiones: a) Tiene sentido unir de alguna manera los cinco puntos representados? b) Dónde situarías una llamada efectuada al mismo lugar que la llamada de Matías pero de duración doble que ésta? La discusión sobre la cuestión puede hacer emerger la concepción de que siempre los puntos de un gráfico se deben unir. En este caso la unión de los 5 puntos ni siquiera tiene sentido, pero para responder a la segunda pregunta se debe unir el origen con el punto que representa la llamada de Matías. Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 19 /28

20 Clase 2: Registro de observación de una clase: Curso: 8 a año de la EGB Organización de la clase En un primer momento los alumnos trabajan en grupos de tres, intentando llegar a un acuerdo en el interior de cada grupo. Posteriormente el docente propone que se debata en forma general Tiempo: 1:20 hs. Materiales: Hoja de papel con el enunciado del problema Problema Un fin de semana cinco personas realizan llamadas telefónicas a varios lugares del país. 1 costo de sus llamadas y la duración del tiempo de las mismas está reflejado en el graneo: a) Quién hizo la llamada a la ciudad más lejana? Por qué? b) Quién hizo la llamada a la ciudad más cercana? Por qué? c) Puede ser que alguien haya realizado una llamada local? En ese ca so: quién o quiénes podrían ser? d) Copia la gráfica y marca otros puntos que representen llamadas lo cales de diversa duración e) Cómo representarías todas las posibles llamadas locales realizadas durante un fin de semana? Primer momento: Los grupos leen el problema e inmediatamente surge la cuestión de las condiciones: Un grupo de alumnos manifiesta que no es posible responder pues se desconoce si el cobro es por el sistema de pulsos. El docente propone entonces discutir las suposiciones necesarias para responder al problema. Una alumna (María) propone: - Imaginemos que el precio es proporcional a la duración de la llamada. Se acepta trabajar bajo esa condición. Didáctica III Matemática Pof. C. Ochoviet E. Rodríguez 20 /28

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