PROCEDIMIENTOS MODELO TABLEROS MATRICES DE RIGIDEZ DE BARRAS

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1 E.14/2007 E el texto siguiete se describe brevemete los procedimietos iteros que emplea ECO e sus fucioes pricipales. Se icluye las referecias para que el usuario pueda profudizar e los temas que le iterese. MODELO E ECO se puede modelar edificios co diafragmas rígidos o si ellos. Al ser el modelo tridimesioal, cada udo tiee seis grados de libertad, que puede ser los seis idepedietes o tres idepedietes y tres depedietes, segú esté ligados o o a u diafragma rígido. Los diafragmas rígidos so defiidos por el usuario al emplear tableros. Todos los tableros que tiee al meos u udo e comú, forma u diafragma rígido. Los udos que está e el diafragma tiee tres grados de libertad idepedietes (desplazamieto vertical y rotacioes alrededor de los ejes horizotales) y tres depedietes desplazamietos horizotales y rotació alrededor del eje vertical). Los desplazamietos e las libertades depedietes so valuados por ECO e fució de los desplazamietos del udo maestro del diafragma. El udo maestro de cada diafragma es establecido automáticamete por ECO, haciedo las trasformacioes apropiadas e las matrices de rigidez de los elemetos. Los udos que o está ligados a u diafragma, tiee sus seis grados de libertad idepedietes. ECO o tiee límites preestablecidos e cuato a catidad de udos, miembros, etc. El programa puede direccioar u máximo de 2GB de memoria RAM. El límite se establece desde u puto de vista práctico e cuato a la dimesió del modelo que pueda ser maejado de forma iteractiva. TABLEROS Los tableros e ECO cumple dos fucioes pricipales. La primera es permitir al usuario defiir diafragmas rígidos. La seguda es permitir cargar los miembros e el borde segú sus áreas tributarias. Los tableros que tiee tres o cuatro lados, ECO los cosidera cargables. Es decir que puede cargar las trabes que lo limita, e fució de la carga sobre el tablero. Cada lado puede estar costituido por varios miembros co la codició de que sea colieales. El área tributaria de cada lado lo determia ubicado las líeas que bisecta cada esquia y determiado sus putos de cruce. MATRICES DE RIGIDEZ DE BARRAS Las matrices de rigidez de las barras las geera ECO teiedo e cueta la zoa ifiitamete rígida de los extremos, segú el factor de zoa rígida defiido por el usuario. Las matrices icluye las deformacioes por cortate. Las matrices so calculadas al mometo de ser requeridas y se almacea e memoria pricipal. Co el objeto de ecoomizar memoria RAM, ECO tiee e cueta la igualdad etre barras para almacear sólo las que so diferetes. 1

2 MATRICES DE RIGIDEZ DE PANELES Segú los grados de libertad asigados a los udos de cada pael ECO geera su matriz de rigidez. E todos los casos la matriz de rigidez la obtiee por itegració umérica (Bathe, Wilso 1976). Para el elemeto co dos grados de libertad por udo, emplea el elemeto cuadrilátero isoparamétrico e esfuerzos plaos descrito e la referecia citada. Para el elemeto co tres grados de libertad por udo, emplea u elemeto que tiee rigidez e las direccioes 1-2 de su plao además de la rigidez al giro alrededor de la direcció 3 (Ibrahimbegovic y col. 1990). Para el elemeto co seis grados de libertad por udo, emplea u elemeto geerado utilizado el de tres grados de libertad por udo y el elemeto de placas e flexió (Ziekiewicz 1971). MASAS Para los valores de la matriz diagoal de masas ECO sigue el siguiete procedimieto: Crea los vectores de carga que aparece e la combiació para masas especificada por el usuario y los combia. Del vector de cargas obteido toma los valores que correspode a desplazamieto e direcció Z. Estos valores, divididos etre g, los cosidera como la masa adherida al udo correspodiete. Obtiee la masa total y e cetro de masas de los udos que perteece al mismo diafragma. La masa así obteida, la asiga a la masa traslacioal e direcció X y direcció Y para el diafragma. La masa rotacioal la obtiee calculado el mometo polar de iercia del diafragma y cosiderado la masa traslacioal uiformemete repartida sobre el diafragma. Los udos que o perteece a u diafragma los cosidera solo co masa traslacioal adherida, si masa rotacioal. ANÁLISIS El procedimieto de aálisis empleado es el método matricial de rigideces. De la matriz de rigidez de la estructura se almacea e memoria sólo el perfil de la misma. Para la solució del sistema de ecuacioes se emplea el método de Gauss adaptado para trabajar la matriz perfilada. Si o hay suficiete memoria sigue u procedimieto de solució por bloques. ANÁLISIS MODAL Para la obteció de los valores característicos de la matriz geerada para el aálisis modal, emplea el método de iteració del subespacio (Bathe y Wilso 1972). La modelizació de las masas se hace de la forma ateriormete descrita. La ormalizació t de modos la hace de tal maera que Z m Z = 1, dode Z es el vector modal del modo y m es la matriz diagoal de masas. 2

3 ANÁLISIS P-DELTA El aálisis P-delta se realiza obteiedo la matriz de rigidez geométrica y adicioádosela a la matriz de rigidez elástica del miembro (Wilso 1998). Para determiar la carga P que iterviee e la matriz geométrica de cada miembro sigue u procedimieto iterativo. E la primera iteració cosidera todas las cargas P=0. Co las fuerzas axiales obteidas, modifica las matrices de rigidez de cada miembro y recalcula, hasta que llega a la covergecia cuado la diferecia máxima de cargas P etre dos iteracioes es meor que u valor máximo preestablecido. Las matrices de rigidez de los miembros modificadas co la matriz de rigidez geométrica, so empleadas al realizar el aálisis estático o el aálisis modal. ANÁLISIS SÍSMICO DINÁMICO El aálisis sísmico diámico que realiza ECO es u aálisis de respuesta a espectro. Ua vez hecho el aálisis modal, calcula lo siguietes valores: Zm J C = t Z m Z C J m Z coeficiete de participació del modo vector co uos e la direcció que iteresa y ceros e las demás matriz diagoal de masas vector modal para el modo a X = 2 ω g Q C Z X a g Q ω vector de desplazamietos ordeada del espectro de diseño para el modo aceleració de la gravedad factor de reducció por ductilidad del modo frecuecia circular del modo F = m ω F 2 X vector de fuerzas sísmicas equivaletes para el modo Co estos valores, determiados para cada modo e cada direcció de aálisis, hace lo siguiete: Si se seleccioa Combiació de respuestas - Fuerzas equivaletes e Parámetros de aálisis sísmico, obtiee las fuerzas respuesta realizado la combiació modal de los vectores de fuerzas sísmicas equivaletes empleado el método CQC. Las fuerzas obteidas las aplica sobre los diafragmas cosiderado la excetricidad estática co respecto a sus cetros de masa y geera los estados de carga SIFx1, SIFx2, SIFy1 y SIFy2. La excetricidad diámica la determia dividiedo la respuesta de torsió M z e el ivel etre la fuerza sísmica calculada. 3

4 Si se seleccioa Combiació de respuestas Cortates equivaletes e Parámetros de aálisis sísmico, sigue u procedimieto similar al descrito ateriormete, sólo que la combiació de respuestas modales la hace a ivel de cortates, o de fuerzas. Ua vez obteida la combiació de cortates, regresa a fuerzas y geera los estados de carga que se describe e el párrafo aterior. Si se seleccioa Combiació de respuestas Elemetos mecáicos e Parámetros de aálisis sísmico, o geera fuerzas sísmicas equivaletes, sio que para cada vector de desplazamietos modales calcula los elemetos mecáicos e cada secció itermedia de cada miembro. Posteriormete realiza la combiació modal, empleado el método CQC, de los valores obteidos para cada modo. Para teer e cueta la torsió accidetal especificada por el reglameto e particular que se esté utilizado, geera los estados de carga de torsió estática accidetal pura SIMx y SIMy. Si los estados de carga SIMx o SIMy iterviee e ua combiació de diseño, ECO combia los valores calculados modalmete, que se obtiee si sigo, co los valores de estados de carga estáticos, asigádoles el sigo segú el sigo co el que participa e cada combiació que itervega. ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO Para realizar el aálisis sísmico estático ECO sigue el siguiete procedimieto: Para poder realizar e ECO u aálisis sísmico estático debe existir e cada ivel al meos u diafragma cuya masa traslacioal sea al meos el 90% de la masa total e el ivel. Obtiee fuerzas sísmicas estáticas. Reduce las fuerzas sísmicas, si se capturó el período e cada direcció al defiir datos sísmicos. Obtiee el cetro de torsió. La defiició de cetro de torsió que se cosidera es la siguiete: cetro de torsió es el puto por el que debe pasar la líea de acció de la fuerza cortate sísmica para que el movimieto relativo etre dos iveles cosecutivos que limita el etrepiso sea exclusivamete de traslació (Bazá y Meli 1985). Co las excetricidades calculadas y excetricidades accidetales, obtiee la posició de las fuerzas sísmicas e el diafragma y geera los estados de carga SIFx1, SIFx2, SIFy1 y SIFy2. Adicioalmete a estos estados de carga, ECO geera los estados de carga NGx y NGy, co el procedimieto que se detalla a cotiuació. Estos estados de carga tiee las fuerzas sísmicas aplicadas e los diafragmas e ua posició tal que o exista giro. Para determiar el cetro de torsió sigue el siguiete procedimieto: Aaliza el edificio para los vectores de fuerzas sísmicas estáticas reducidas Fx y Fy aplicadas e el cetro de masa, obteiedo los giros que se produce e cada ivel y los almacea e los vectores Gx y Gy, que correspode a los giros producidos por las fuerzas aplicadas e direcció X y Y respectivamete. 4

5 Obtiee ua matriz de flexibilidades F. Para cada ivel aplica u mometo uitario e el ivel y determia los giros e cada ivel del edificio, obteiedo el regló de la matriz de flexibilidades F. Obtiee la matriz de rigideces K ivirtiedo la matriz de flexibilidades F. Multiplica K * Gx y K * Gy, obteiedo los vectores Mgx y Mgy, que so los mometos que se debe aplicar co las fuerzas sísmicas para evitar el giro. Co los mometos Mgx, Mgy y las fuerzas Fx, Fy obtiee el puto dode se debe aplicar las fuerzas para que o exista giro. Obtiee el cetro de torsió e cada ivel, que viee siedo la posició de la cortate cuado las fuerzas sísmicas e cada direcció se ecuetra e ua posició tal que o produce giro del edificio. DISEÑO A FLEXOCOMPRESIÓN BIAXIAL ECO puede realizar el diseño de elemeto a flexocompresió biaxial cosiderado que el elemeto esta reforzado co cero tubular o cocetrado. Para las seccioes trasversales que se diseña a flexocompresió e que se escoge acero tubular utiliza las formulas de Bresler (Bresler 1960). 1 P M M x y = + y + = 1 Px Py P o M xo M yo α β ECO emplea la primera formula si se seleccioa Bresler e los parámetros de diseño a flexocompresió. Si se seleccioa Gouwes, ECO emplea la seguda, siguiedo para este caso el procedimieto propuesto por Gouwes (Gouwes 1975) para determiar los expoetes α y β. Para las seccioes trasversales que se diseña a flexocompresió e que se escoge acero cocetrado, ECO obtiee la superficie del diagrama de iteracció de maera exacta para la distribució de armado idicada por el usuario. Para realizar esto sigue u procedimieto similar al propuesto por Davister (Davister 1986). 5

6 REFERENCIAS K.J. BATHE y E.WILSON. Numerical Methods i fiite elemet aalysis. PRENTICE-HALL, E. BAZAN y R. MELI. Maual de diseño sísmico de edificios. LIMUSA, B. BRESLER. Desig criteria for reiforced cocrete colums uder axial load ad biaxial bedig, Joural ACI, Vol. 57, ov.1960, R. D. COOK. Cocepts ad applicatios of fiite elemet aalysis. JOHN WILEY & SONS M.D. DAVISTER, Aalysis of reiforced cocrete colums of arbitrary geometry subjected to axial load ad biaxial bedig Cocrete Iteratioal. Julio GOUWENS. Biaxial bedig simplified. ACI Publicació especial SP IBRAHIMBEGOVIC, R.L. TAYLOR y E.L. WILSON. A robust quadrilateral membrae fiite elemet with drillig degrees of freedom. Iteratioal Joural for umerical Methods i Egieerig, Vol. 30, , H. NAEIM. The seismic desig hadbook. VAN NOSTRAND REINHOLD E. L. WILSON, Tree dimesioal static ad dyamic aalysis of structures, Computers ad Structures, Ic. Julio O. C. ZIENKIEWICZ. The fiite elemet method i egieerig sciece. McGraw-HIL,

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************************************************************************ * 1.- Ua barra de secció circular, de 5 mm de diámetro, está sometida a ua fuerza de tracció de 5 kg, que se supoe distribuida uiformemete e la secció. partir de la defiició de vector tesió, determiar sus

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