UTILIZAMOS LA TRIGONOMETRÍA.

Transcripción

1 UTILIZAMOS LA TRIGONOMETRÍA. RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Determina las demás razones trigonométricas a través de un dato. Aplica las definiciones de razones trigonométricas en la solución de ejercicios y problemas. COMUNICACIÓN MATEMÁTICA Identifica las razones trigonométricas a través de un triángulo rectángulo Reconoce los triángulos notables por simple inspección RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Resuelve problemas que involucran razones trigonométricas de ángulos agudos o notables. Resuelve problemas de su entorno usando ángulos de elevación y depresión MATERIAL TRABAJADO EL 09; 16; 23 DE AGOSTO Y O6 DE SEPTIEMBRE 2011 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver un triángulo es encontrar la medida de todos sus elementos, es decir sus tres lados y sus tres ángulos. Si el triángulo es rectángulo es suficiente tener como datos las medidas de dos de sus elementos, de los cuales uno debe ser necesariamente un lado. RECORDEMOS: Razones trigonométricas respecto a un ángulo agudo de un triángulo Observamos la figura: Ángulo agudo B, cateto opuesto lado b, cateto adyacente lado c, hipotenusa lado a Ángulo agudo C, cateto opuesto lado, cateto adyacente lado.., hipotenusa lado.. Si ABC es un triángulo rectángulo, recto en A, las razones trigonométricas del ángulo B son:

2 Seno I.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti. Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen B. Coseno Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B. Tangente Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo. Se denota por tg B. Cosecante Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B. Se denota por cosec B. Secante Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B. Se denota por sec B. Cotangente Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B. Se denota por cotg B.

3 RESUMIENDO PODEMOS DECIR (OBSERVA FIGURA 4): AHORA TÚ: Cuáles son las razones trigonométricas del otro ángulo agudo del triángulo ACB en la figura 4? Seno Coseno Tangente Cosecante Secante Cotangente IMPORTANTE: No olvides que es importante para solucionar triángulos rectángulos, también utilizas teorema de Pitágoras, según sea el caso. EJEMPLO: 1. Hallar las 6 razones trigonométricas del ángulo C de un triángulo rectángulo ABC, recto en B. Sabiendo que: a= 5, b=13

4 2. Hallar 3. Dada la figura; hallar 4Cos 1 4 x θ 4. Si Hallar M

5 APLICO LO QUE APRENDÍ 1. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos en los siguientes triángulos: a) b) c) 1. Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos: 2. En la figura, calcular tgθ. x θ 3. Calcular x (x es agudo): Si ( )

6 4. En el triangulo rectángulo ABC, recto en C ; si Hallar el valor de tg B. A 13 5 C B x 5. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, si, hallar el valor de A X 3 C B 5 6. En el triángulo rectángulo ABC, recto en C, se sabe, Hallar el valor de 7. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se sabe que, ( ) Hallar el valor de : ( ) 8. En el triángulo rectángulo ACB, recto en C se sabe ( ) 9. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B se sabe Hallar Sen C

7 IMPORTANTE: ANGULOS NOTABLES K 2K K K K Valores de los ángulos de 8 0 y 82 0 (aproximadamente) C 1 A B EJEMPLO: 1. Calcular E sabiendo que:

8 2. Calcula el área de un triángulo rectángulo, en el cuál un ángulo mide 30º y la hipotenusa mide Del gráfico mostrado, calcule Tg si se tiene que: Tg = 8/15 B 34 A 42 C

9 IMPORTANTE: ÁnGULO DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN EJEMPLO: 1. Cuán larga es la sombra que proyecta un mástil de 11m de altura cuando el sol tiene un ángulo de elevación de 30º? 2. Calcula la altura a la que se encuentra un barrilete si el ángulo que forma el hilo, de 35 m de longitud con la horizontal, es de 30º y la mano del niño que sostiene el hilo está a 80 cm del suelo

10 3. Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre bajo un ángulo de 60º. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80º. Halla la altura de la torre. 4. Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura: a Calcula la altura del árbol. b A qué distancia está Pablo del árbol? Un poquito más: I. Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura: II. Halla el valor de c y la longitud del cable. Halla los valores de x, y, h en el siguiente triángulo: III. Desde el suelo vemos el punto más alto de un edificio con un ángulo de 60º. Nos alejamos 6 metros en línea recta y este ángulo es de 50º. Cuál es la altura del edificio?

11 AHORA YA PUEDES RESOLVER TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS, ASÍ: 1) En un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa a= 5 m. y un cateto b=4 m. Calcula los demás elementos 2) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22. Resolver el triángulo. 3) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo

12 APLICO LO QUE APRENDÍ 1) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo. 2) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo. 3) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22. Resolver el triángulo. 4) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo. 5) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = Resolver el triángulo. 6) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = Resolver el triángulo. 7) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo. 8) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo. 9) Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento. 10) Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12. A qué distancia del pueblo se halla? 11) Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de ) Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de ) Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30 y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de ) La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita. 15) Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49 centímetros de radio. 16) Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120. Cuánto distan A y B?

13 PRACTICAMOS 01. Siendo un ángulo agudo, para el cual se tiene que: Cos = 3/4; calcule el valor de: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 E = 7 Tg + 2Sec 02. Los lados de un triángulo rectángulo son: x; 2x+1; 2x-1; determinar la tangente del mayor ángulo agudo. A) 3/4 B) 15/8 C) 4/3 D) 12/5 E) 5/7 03. En un triángulo rectángulo un cateto mide 20 y los otros dos lados se diferencian en 8. Si es el menor ángulo agudo, calcular: P = Sec + Tg A) 5/3 B) 2 C) 7/3 D) 8/3 E) Calcular x en: 12 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) x 05. Si es agudo y además: Tg = Csc30 - Cos60, Calcular: 13 (Sen + Cos ) A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) De la figura mostrada, calcule Tg, si se tiene que Tg = 3/10 37 A) 1 B) 1/2 C) 1/3 D) 3/5 E) 2/5