PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE GALICIA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

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1 IES CSTELR DJOZ Mnguino PRUE DE CCESO (LOGSE) UNIVERSIDD DE GLICI SEPTIEMRE - (RESUELTOS por ntonio Mnguino) MTEMÁTICS II Timpo máimo: hors minutos El lumno db rspondr solmnt los jrcicios d un d ls opcions OPCIÓN º) ) Clcul sgún los vlors d α l rngo d l mtri Pr α clcul l dtrminnt d l mtri t b ) S Clcul pr qu s cumpl qu - t ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ; ; Rngo Pr Rngo Pr Rngo Pr

2 Rngo Pr Rngo Pr Pr α s t Pr hllr t tnmos n cunt ls siguints propidds d ls mtrics los dtrminnts: - El dtrminnt d un mtri s igul qu l dtrminnt d su mtri trspust - - El producto d un mtri por un númro s l mtri qu rsult d multiplicr todos cd uno d los lmntos d l mtri por s númro - Si s multiplicn o dividn los lmntos d un lín d un mtri por un númro l vlor d su dtrminnt qud multiplicdo o dividido por dicho númro - El dtrminnt d un producto d mtrics s igul qu l producto d los dtrminnts d ls mtrics 8 t t D otr form mucho más trbjos: ( ) dj T t

3 ( ) t ( ) t b ) t ( ) dj T t **********

4 º) Ddo l plno π ) Clcul l ár dl triángulo d vértics los puntos d cort dl plno π con los js d coordnds b ) Clcul l cución gnrl dl plno γ qu s prpndiculr l plno π prllo l rct r qu ps por los puntos ( ) C( -) ps por l orign d coordnds c ) Clcul l punto simétrico con rspcto l plno π dl orign d coordnds ) Sn C los puntos d cort dl plno π con los js d coordnds X Y Z rspctivmnt π OX ( ) π OY ( ) π OZ C ( ) Los puntos C dtrminn los siguints vctors: ( ) ( ) ( ) u ( ) ( ) ( ) v C C El ár dl triángulo s l mitd dl ár dl prllogrmo qu dtrminn los vctors u v C Db sbrs qu l ár dl prllogrmo s igul qu l módulo dl producto vctoril d los vctors qu lo dtrminn por lo tnto: i j k S C k ( u v ) i 8k i i j k i j ( ) ( ) u S C

5 b ) Un vctor norml dl plno π s ( ) n Los puntos ( ) C( - dtrminn l vctor: ( ) ( ) ( ) C C w L cución gnrl dl plno γ s l siguint: ( ) ; w n O γ γ c ) L cución d l rct r qu ps por l orign d coordnds s prpndiculr l plno π s dd por uns cucions prmétrics l siguint: r El punto Q d cort d l rct r con l plno π s l solución dl sistm d cucions qu formn: Q r π Pr qu P s l punto simétrico d O con rspcto π tin qu cumplirs qu: Q P O Q QP OQ ( ) ( ) ; ; π O( ) P( ) Q r

6 8 8 P **********

7 º) ) Clcul ls síntots los intrvlos d crciminto dcrciminto d l función ( ) ( ) f b ) Clcul ( ) d ) Ls síntots son ls siguints: Horiontls: son los vlors finitos qu tom cundo tind vlr infinito; son d l form k ( ) lím lím k f ( ) L rct s síntot horiontl d l función Vrticls: son los vlors d qu nuln l dnomindor R f() no tin síntots vrticls Oblicus: Pr qu un función tng síntots oblicus s condición ncsri qu l función rcionl tng un grdo mor l numrdor qu l dnomindor Por otr prt ls síntots horiontls oblicus son incomptibls n un función f() no tin síntots oblicus Pr dtrminr los intrvlos d crciminto dcrciminto rcurrimos l drivd; sgún qu s positiv o ngtiv l función s crcint o dcrcint rspctivmnt f ' ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( f ' ( ) ( ) ( ( ) f ' Por sr f() continu n R ls rícs qu nuln l primr drivd dividn l dominio n trs intrvlos qu son ltrntivmnt crcints o dcrcints Sindo f () - < los priodos d crciminto dcrciminto son:

8 ( ) ( ) ( ) > : ' o Crcimint f ( ) ( ) : ' < nto Dcrcimi f b ) ( ) d d d d [ ] t t dt d t d d d d [ ] ( ) [ ] ( ) L L L L Lt dt t **********

9 º) ) D un función drivbl f() sbmos qu ps por l punto ( ) qu su drivd s f '( ) Clcul f() l rct tngnt l gráfic d f() n l punto corrspondint b ) Enunci l torm fundmntl dl cálculo intgrl ) f ( ) f '( ) d d plicndo l método d intgrción por prts: f u du d d dv v ( ) d f ( ) d d C ( ) C f ( ) Pr dtrminr l vlor d C tnmos n cunt qu l función ps por l punto ( ): f ( ) ( ) C C C f [ ] ( ) ( ) ( ) L pndint d l tngnt un función n un punto s l vlor d su drivd n s punto f ' ( ) f '( ) m (S trt d un rct horiontl) Como l función ps por l punto ( ) l tngnt pdid s b ) El nuncido dl torm fundmntl dl cálculo intgrl pr funcions continus s l siguint: Si f() s continu n l intrvlo [α b] su función intgrl so- b s - cid F() s drivbl n dicho intrvlo sindo su drivd f() [ ] prs d l form ( ) f ( ) F d **********

10 OPCIÓN º) ) Discut sgún los vlors d m l sistm b ) Rsuélvlo si s posibl pr m m m ) Ls mtrics d coficints mplid son: m M m M ' m El rngo d l mtri d mplid M n función d m s l siguint: M ' m m m m m m m ± ± ± m m m Pr m Rngo m M Rngo M ' nº incóg Comptibl dt r min do Pr m Rngo m M :: Rngo M ' Incomptibl b ) Pr m l sistm s qu s comptibl dtrmindo Dsprcindo un d ls incógnits (trcr) rsolvindo por Crmr: **********

11 º) ) Estudi l posición rltiv d los plnos π π Si s cortn n un rct scrib sus cucions prmétrics b ) Clcul l cución dl plno π qu ps por l orign d coordnds s prpndiculr π π Clcul l intrscción d π π π ) Un punto dos vctors dl plno π son ( ) ( ) u ( ) v L prsión gnrl dl plno π s l siguint: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; ; v u π ( ) ( ) ( ) π Los vctors normls d los plnos π π son rspctivmnt ( ) n ( ) n qu son linlmnt indpndints por lo cul: Los plnos π π son scnts Los plnos π π s cortn n l rct r L prsión d r por uns cucions prmétrics s l siguint: r 8 r

12 b ) El vctor norml dl plno π s culquir qu s linlmnt dpndint dl vctor dirctor d l rct r qu s ( ) r v L cución gnrl dl plno π s: π L intrscción d los plnos π π π s l punto qu tin como coordnds ls solucions dl sistm qu formn los plnos: 8 El punto d cort d los trs plnos s ( -) **********

13 º) ) Enuncido intrprtción gométric dl torm d Roll b ) Si c > clcul los vlors d α b c pr qu l función f ( ) cumpl ls hipótsis dl torm d Roll n l intrvlo [ c] b si si < ) El torm d Roll s pud nuncir dicindo: Si f() s un función continu n l intrvlo [α b] drivbl n (α b) si s cumpl qu f(α) f(b) ist l mnos un punto c ( b) tl qu f () L intrprtción gométric dl torm d Roll s l qu s indic n l gráfico siguint Y f() f() O α b f(b) X Eist l mnos un vlor comprndido ntr α b pr l cul l tngnt l curv s horiontl Pro pr qu sto s sí s imprscindibl qu l función s drivbl n todos los puntos dl intrvlo D form sncill pud dcirs qu si un función continu drivbl llg l mism ltur pr dos vlors distintos d n lgún punto ntr los dos vlors tndrá tngnt horiontl b ) L función f() s continu drivbl n R cpto pr cu continuidd drivbilidd vmos condicionr sgún los vlors d α b Pr qu l función s drivbl pr s condición ncsri qu s continu pr st vlor s dcir: qu los límits ltrls pr st vlor tinn qu sr iguls igul l vlor d l función:

14 lím ( ) ( b) b b (*) lím lím f ( ) ( ) f ( ) f lím b Un función s drivbl n un punto cundo s continu n s punto sus drivds ltrls son iguls: f ' si si < si si < ( ) f '( ) Sustitundo l vlor obtnido d α n (*): b b b L función rsult sr ( ) si < f si f ( ) pr c > s f ( c) c Como tin qu sr f ( ) f ( c) c c : L rprsntción gráfic d l situción clr l rsolución dl jrcicio Y f() f() f() m s l vlor qu hc f (m) O m X **********

15 º) Dibuj clcul l ár d l rgión limitd por l prábol l rct tngnt n l punto dond l prábol tin un trmo l tngnt l prábol n l punto n qu l tngnt s prll l rct (Not: pr l dibujo d ls gráfics indicr los puntos d cort con los js l vértic d l prábol l concvidd convidd) El trmo d l prábol por tnr ngtivo l coficint d s un máimo bsoluto qu s obtin igulndo cro su drivd: ' S Y ( ) V ( ) L rct tin d pndint V L pndint d l tngnt un función n un punto s l vlor d su drivd n s punto: ' T - O X ( ) ( ) ( ) T ( ) Los puntos d cort con los js d l prábol son los siguints: L cución d l rct tngnt n l punto T(- ) s l siguint: ( ) t Ej X ± ± ± ± ( ) ( ) T ( ) Ej Y ( ) Como s h indicdo l prábol s cóncv ( ) lo cul s justific tnindo n cunt qu '' < pr culquir vlor rl d L suprfici pdid qu s dduc d l rprsntción gráfic s l siguint:

16 ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) d d d d S ( ) ( ) u S **********

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