Tema 3: El Método Simplex. Algoritmo de las Dos Fases.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Tema 3: El Método Simplex. Algoritmo de las Dos Fases."

Transcripción

1 Tema 3: El Método Simplex Algoritmo de las Dos Fases 31 Motivación Gráfica del método Simplex 32 El método Simplex 33 El método Simplex en Formato Tabla 34 Casos especiales en la aplicación del algoritmo 341 Degeneración 342 Óptimos alternativos 343 Problema no acotado 344 Problema Imposible 35 El Algoritmo de las dos Fases 351 Problema imposible 352 Problema posible 1

2 31 Motivación Gráfica del Método Simplex Región de soluciones posibles acotada Existe al menos una solución óptima, que es un vértice

3 Región de soluciones posibles no acotada Problema no acotado z = + c, dirección de mejora

4 Problema Acotado Existe una solución óptima única

5 Problema acotado Infinitas soluciones óptimas (Segmento) c, dirección de mejora

6 Problema acotado Infinitas soluciones óptimas (Semirrecta) c, dirección de mejora

7 31 Motivación Gráfica del Método Simplex 1 Si el PPL tiene una única solución óptima, será necesariamente un vértice de S 2 Si el PPL tiene más de una solución óptima y S es acotado, al menos dos de ellas son vértices adyacentes de S Si S es no acotada, solo podemos garantizar que al menos una de las soluciones óptimas es un vértice 3 Existe un número finito de vértices en S 4 Si un vértice proporciona un valor objetivo mejor o igual que el resto de vértices adyacentes entonces proporciona un valor objetivo mejor o igual que cualquier otra solución posible del problema, luego es una solución óptima para el problema 2

8 E + D + H 1 = 10 E + D + H 2 = 1 D + H 3 = 4 Si hacemos H 1 = H 2 = 0, nos queda: E + D = 10 E + D = 1 D + H 3 = 4 cuya solución es: E = 9/2, D = 11/2, H 3 = 3/2 No puede ser solución del PPL incumple la restricción de no negatividad 3

9 ( E, D, H 1, H 2, H 3 ) (0,0) Solución posible (0,10) no es solución posible (0,1) Solución posible (0,4) no es solución posible (10,0) Solución posible? 0?? 0 Sistema Incompatible (-1,0) no es solución posible 9/2 11/ /2 (9/2,11/2) no es solución posible (6,4) Solución posible (3,4) Solución posible 4

10 Cómo obtener los vértices del conjunto de soluciones de un PPL Para un problema cuya forma estándar incluya un sistema de m ecuaciones linealmente independientes y n incógnitas, los vértices del poliedro se obtienen resolviendo los sistemas de m ecuaciones con m incógnitas que resultan al igualar a cero subconjuntos de n m variables Solo serán soluciones posibles (vértices) aquéllos puntos cuyas variables, tanto de holgura como originales sean no negativas 5

11 32 El Método Simplex Desarrollado por George Dantzig en 1947 Primera aplicación importante: J Laderman resolvió un problema de elaboración de una dieta en la que había 9 restricciones de igualdad y 27 variables Necesitó él trabajo de 120 días-hombre Dado un PPL expresado en forma estándar con m ecuaciones y n incógnitas, m n, podemos dividir las variables en dos grupos: 1 n m variables a las cuáles les damos el valor 0, y que denominaremos variables no básicas 2 m variables cuyo valor se determinará resolviendo el sistema de m ecuaciones y m incógnitas resultante de igualar a cero el resto de variables Si dicho sistema tiene una única solución, diremos que las m variables son variables básicas Solución del sistema solución básica Si además las variables 0 solución posible básica 6

12 Formalización algebráica PPL Min z = c t x sa: Ax = b x 0 n B := {columnas de A de coeficientes de las variables básicas} N := A \ B := { columnas de A coeficientes de las variables no básicas} A = (B, N), x = x B, c = c B x N Min z sa: z c t Bx B c t N x N = 0 Bx B + Nx N = b x B 0, x N 0 c N 7

13 B 1 (Bx B + Nx N ) = B 1 b (B 1 B)x B + (B 1 N)x N = B 1 b x B + (B 1 N)x N = B 1 b b1 b := B 1 b = bi, y j := B 1 a j bm bi := valor de la variable básica asociada a la ecuación i-ésima y ij := coeficiente de la variable no básica j-ésima en la ecuación i-ésima 8

14 z = c t B x B + c t N x N x B = B 1 b (B 1 N)x N z = c t B (B 1 b (B 1 N)x N ) + c t N x N z = c t B(B 1 b) }{{} valor objetivo (c t BB 1 N c N ) x N }{{} costes reducidos 9

15 En cualquier iteración del Simplex el problema está expresado como: Min z = c t B (B 1 b) (c t B B 1 N c N )x N x B + B 1 Nx N = B 1 b x B 0 x N 0 Y tiene asociada la siguiente Solución Posible Básica: x = x B = B 1 b x N 0 Cuyo valor objetivo es: z = c t B(B 1 b) 10

16 Costes Reducidos: coeficientes de las variables en la expresión de la función objetivo dada en una iteración del Simplex Variable Básica: 0 Variable No Básica: z j c j := c t B B 1 a j c j Importancia: Criterio de Optimalidad: una solución es óptima sii z j c j 0 j Criterio para Elegir la Nueva Variable Básica: aquélla que tiene el mayor coste reducido z nuevo := z actual (z j c j )x j Si x j > 0 y z j c j > 0 z nuevo < z actual Si x j > 0 y z j c j < 0 z nuevo > z actual 11

17 Algoritmo del Simplex Consideremos el Problema de Programación Lineal: en donde, S Inicialización PL Min z = c t x sa: x S Escríbase el Problema de Programación Lineal en forma estándar Sea PL Min z = c t x sa: Ax = b x 0 n el problema resultante En donde, A es una matriz m n, b IR m, c IR n, rango(a, b) = rango(a) = m (es decir, sistema compatible, tiene solución) 12

18 Obtener una Solución Posible Básica Inicial (SPB) Si en S todas las restricciones eran del tipo y el rhs 0, al añadir las variables de holgura se obtiene automáticamente una SPB tomando las variables originales como no básicas y las variables de holgura como básicas en otro caso aplicaremos el algoritmo de las dos fases Sea B la submatriz de A formada por las columnas asociadas a las variables básicas y N el conjunto de índices de las variables no básicas x B := B 1 b 0 m x N := 0 n m 13

19 Iteración Paso 1: Sea, x B = B 1 b, y x N = 0 n m, la SPB actual Hacer, b = B 1 b, y z = c t B x B Ir al Paso 2 Paso 2: Calcular los costes reducidos de las variables no básicas z j c j = c t BB 1 a j c j, j N siendo a j la columna asociada a la variable x j en A a) Si z j c j 0, j N, Stop x B := B 1 b y x N := 0 n m z = c t B B 1 b b) En otro caso, elegir x k como nueva variable básica entrante, siendo k el índice para el que se alcanza el máximo de los costes reducidos, Ir al Paso 3 z k c k = máx j N {z j c j } 14

20 Paso 3: Obtener la columna asociada a la variable que se hace básica en el sistema actual Sea y k := B 1 a k a) Si y k 0 m, Stop Podemos incrementar el valor de x k tanto como queramos sin que se haga cero ninguna variable básica ie, sin alcanzar ningún otro vértice del poliedro adyacente al actual El problema es No Acotado y el valor óptimo es z = b) En otro caso Ir al Paso 4 Paso 4: Elegir la variable que deja de ser básica (Criterio de la razón mínima) br y rk = mín { b i : y ik > 0} 1 i m y ik B := B \ {a r } {a k }, N := N \ {k} {r} Ir al Paso 1 15

21 33 El Método Simplex en Formato Tabla Dado el PPL, Min z = c t x Min z sa: sa: z c t x = 0 Ax = b Ax = b x 0 n x 0 n Si lo escribimos en términos de una SPB asociada a una base B: Min z sa: z c t B x B c t N x N = 0 Bx B + Nx N = b x B 0 m, x N 0 n m 16

22 x B = B 1 b B 1 Nx N, z+ 0x B + (c t B B 1 N c t N )x N = c t B B 1 b x B + B 1 Nx N = B 1 b x B x N RHS z 1 0 c t BB 1 N c t N (z j c j = c t BB 1 a j c j ) c t BB 1 b Fila 0 z = c t BB 1 b x B 0 I m B 1 N, (y k = B 1 a k ) B 1 b, ( b i ) Fila 1-m x B = B 1 b 17

23 18 Tabla antes de pivotar x B1 x Br x Bm x j x k RHS z z j c j z k c k c B b x B y 1j y 1k b1 x Br y rj y rk br x Bm y mj y mk bm Variable de entrada, z k c k = máx j N {z j c j } x k Variable de salida, br y rk = mín { b i : y ik > 0} x Br 1 i m y ik

24 19 Tabla después de pivotar x B1 x Br x Bm x j x k RHS z 0 c k z k y rk 0 (z j c j ) - y rj y rk (z k c k ) 0 c B b (zk c k ) b r y rk x B1 1 y 1k y rk 0 y 1j y rj y rk y 1k 0 b1 y 1k y rk br x k 0 1 y rk 0 y rj y rk 1 br y rk x Bm 0 y mk y rk 1 y mj y rj y rk y mk 0 bm y mk y rk br Nueva Base B = B \ {a r } {a k }

25 34 Casos especiales en la aplicación del algoritmo Ejemplo: Óptimo Único Dada, B = {a 1, a 4 } = Min 3x 1 + x 2 sa: x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 1 + x 2 + x 4 = 1 x i 0, i = 1, 2, 3, 4 B 1 b = 4 5 x t = (4, 0, 0, 5) c t B = ( 3, 0) z j c j = c t B B 1 a j c j = z 2 c 2 = ( 3, 0) z 3 c 3 = ( 3, 0) = 7 0 = 3 20

26 Ejemplo: Óptimos Alternativos Dada, B = {a 1, a 4 } = c t B = ( 2, 0) z j c j = c t B B 1 a j c j = Min 2x 1 4x 2 Óptimos: [ (4, 0, 0, 5), ( 2 3, 5 3, 0, 0)], z = 8 sa: x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 1 + x 2 + x 4 = 1 x i 0, i = 1, 2, 3, 4 B 1 b = 4 5 z 2 c 2 = ( 2, 0) z 3 c 3 = ( 2, 0) x t = (4, 0, 0, 5) ( 4) = 0 0 = 2 21

27 Ejemplo: No Acotación Min x 1 3x 2 sa: x 1 2x 2 4 x 1 + x 2 3 x 1 0, x 2 0 Dada, B = (a 2, a 3 ), B 1 = B 1 b = 3 10 x t = (0, 3, 10, 0) z j c j == z 1 c 1 = ( 3, 0) z 4 c 4 = ( 3, 0) ( 1) = 4> = 3 22

28 x 1 podría entrar en la base Sin embargo, como y 1 = B 1 a 1 = Ninguna variable cumple el criterio de salida c t y 1 e 1 = ( 1, 3, 0, 0) < 0 Criterio de No Acotación El problema es No acotado a lo largo de la semirrecta: x 1, x 1 0, lím 10 1 z = 9 4x 1 = x

29 35 El Algoritmo de las Dos Fases Escríbase el PPL en forma estándar: Min sa: z = c t x x S Min sa: z = c t x Ax = b x 0 n En donde A es una matriz m n de rango completo por filas Si A contiene una submatriz identidad m m y b 0 m B = I m y N = A \ B permiten definir una SPB inicial para aplicar el algoritmo del Simplex: x B = B 1 b y x N = 0 n m En otro caso, A se completa con tantas columnas (variables artificiales) como sea necesario para conseguir dicha situación, y se aplica el algoritmo de las 2 fases 24

30 Fase 1: Construir el problema auxiliar resultante de añadir las variables artificiales: Min z = c t x Min z = 1 t x a sa: Ax = b sa: Ax + x a = b x 0 x, x a 0 Resolver el problema auxiliar con el algoritmo del Simplex Sea (x, x a) la solución óptima Si x a = 0 Ir a la Fase 2 Si x a 0 Problema original Imposible 25

31 Fase 2: Utilizar la SPB obtenida al final de la Fase 1 para resolver el problema inicial Sean x B las variables básicas en dicha solución Consideremos la tabla óptima al final de la Fase 1 Si en x B no hay variables artificiales: eliminando las columnas asociadas a las variables artificiales y actualizando convenientemente la fila asociada a la función objetivo obtenemos la tabla inicial para resolver el problema original con el algoritmo Simplex Si en x B hay variables artificiales: tratamos de obtener una SPB sin variables artificiales 26

32 Cómo? 1 Eliminar de la tabla las columnas asociadas a las variables artificiales no básicas 2 Actualizar la fila asociada a la función objetivo considerando que los coeficientes en la función objetivo de las variables artificiales en el problema original son 0 3 Eliminar secuencialmente variables artificiales básicas pivotando sobre elementos de la tabla y ij 0, en donde: i := fila asociada a la variable básica artificial j := columna asociada a la variable no artificial Si y ij = 0, j i la ecuación i-ésima es redundante Eliminar la ecuación y la variable artificial 27

33 Óptimo 3x 1 + x 2 = 3 Fase1 4x 1 + 3x 2 6 x 1 + 2x 2 4

El método simplex 1. 1 Forma estándar y cambios en el modelo. 2 Definiciones. 3 Puntos extremos y soluciones factibles básicas. 4 El método simplex.

El método simplex 1. 1 Forma estándar y cambios en el modelo. 2 Definiciones. 3 Puntos extremos y soluciones factibles básicas. 4 El método simplex. El método simplex Forma estándar y cambios en el modelo. Definiciones. Puntos extremos y soluciones factibles básicas. 4 El método simplex. Definiciones y notación. Teoremas. Solución factible básica inicial.

Más detalles

Algebra lineal y conjuntos convexos

Algebra lineal y conjuntos convexos Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar

Más detalles

Repaso del algoritmo SIMPLEX

Repaso del algoritmo SIMPLEX Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Industrial IN70K: Clase Auxiliar Repaso del algoritmo SIMPLEX Marcel Goic F. 1 1 Esta es una versión bastante

Más detalles

Tema 3 Optimización lineal. Algoritmo del simplex

Tema 3 Optimización lineal. Algoritmo del simplex Tema 3 Optimización lineal. Algoritmo del simplex José R. Berrendero Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid Contenidos del tema 3 Teorema fundamental de la programación lineal. Algoritmo

Más detalles

Optimización de Problemas de Producción

Optimización de Problemas de Producción Optimización de Problemas de Producción Pedro Piñeyro - Luis Stábile Colaboran: Héctor Cancela - Antonio Mauttone - Carlos Testuri Depto. Investigación Operativa. Instituto de Computación. Facultad de

Más detalles

Programación lineal: Algoritmo del simplex

Programación lineal: Algoritmo del simplex Programación lineal: Algoritmo del simplex Se considera la formulación estándar de un problema de programación lineal siguiendo la notación utilizada en las clases teóricas: Minimizar c t x sa: Ax = b

Más detalles

Tema 5: Análisis de Sensibilidad y Paramétrico

Tema 5: Análisis de Sensibilidad y Paramétrico Tema 5: Análisis de Sensibilidad y Paramétrico 5.1 Introducción 5.2 Cambios en los coeficientes de la función objetivo 5.3 Cambios en el rhs 5.4 Análisis de Sensibilidad y Dualidad 5.4.1 Cambios en el

Más detalles

INGENIERÍA DE SISTEMAS INVESTIGACIÓN OPERATIVA

INGENIERÍA DE SISTEMAS INVESTIGACIÓN OPERATIVA INGENIERÍA DE SISTEMAS INVESTIGACIÓN OPERATIVA Sesión 4 Objetivos: Aplicar el método simplex a la solución de problemas reales. Contenido: Introducción al método Simplex Requerimiento del método Simplex

Más detalles

Con miras a conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX, tenemos a continiacion un ejemplo:

Con miras a conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX, tenemos a continiacion un ejemplo: Método Simplex. Este método fue creado en el año 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el objetivo de crear un algoritmo capaz de crear soluciones

Más detalles

84 Tema 3. Dualidad. todas las restricciones son del tipo, todas las variables son no negativas.

84 Tema 3. Dualidad. todas las restricciones son del tipo, todas las variables son no negativas. Tema 3 Dualidad En el desarrollo de la programación lineal la teoria de la dualidad es importante, tanto desde el punto de vista teórico como desde el punto de vista práctico. Para cada modelo lineal se

Más detalles

Soluciones básicas factibles y vértices Introducción al método símplex. Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12

Soluciones básicas factibles y vértices Introducción al método símplex. Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12 Soluciones básicas factibles y vértices Introducción al método símplex Prof. José Niño Mora Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12 Esquema PLs en formato estándar Vértices y soluciones

Más detalles

La lección de hoy de febrero de Notación. Solución factible básica

La lección de hoy de febrero de Notación. Solución factible básica 1.3 1 de febrero de La lección de hoy Método simplex (continuación) Entregas: material de clase Nota: el diseño de esta presentación incluye animaciones que permiten verla en forma de diapositivas. Repaso

Más detalles

Tema 4: Teoría de dualidad. Algoritmo Dual del Simplex 1

Tema 4: Teoría de dualidad. Algoritmo Dual del Simplex 1 Tema 4: Teoría de dualidad. Algoritmo Dual del Simplex 1 4.1 Introducción 4.2 Definición del Problema Dual 4.3 Relaciones Primal-Dual 4.4 Condiciones de Holgura Complementaria 4.5 Interpretación Económica

Más detalles

Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua UNAN-Managua Curso de Investigación de Operaciones

Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua UNAN-Managua Curso de Investigación de Operaciones Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua UNAN-Managua Curso de Investigación de Operaciones Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés. Estudiantes: FAREM-Carazo Unidad III Metodologías para la Solución

Más detalles

Un sistema de ecuaciones diferenciales son aquellas que tienen varias posibilidades para su solución. Estas son:

Un sistema de ecuaciones diferenciales son aquellas que tienen varias posibilidades para su solución. Estas son: Unidad X: Programación lineal (continuación) Objetivo específico: Entender ampliamente el fenómeno del comportamiento de los modelos matemáticos para la resolución de problemas enfocados a las ecuaciones

Más detalles

PASO 1: Poner el problema en forma estandar.

PASO 1: Poner el problema en forma estandar. MÉTODO DEL SIMPLEX PASO Poner el problema en forma estandar: La función objetivo se minimiza y las restricciones son de igualdad PASO 2 Encontrar una solución básica factible SBF PASO 3 Testar la optimalidad

Más detalles

Formulación del problema de la ruta más corta en programación lineal

Formulación del problema de la ruta más corta en programación lineal Formulación del problema de la ruta más corta en programación lineal En esta sección se describen dos formulaciones de programación lineal para el problema de la ruta más corta. Las formulaciones son generales,

Más detalles

Contenido: Solución algebraica a los problemas de programación lineal con el método simplex.

Contenido: Solución algebraica a los problemas de programación lineal con el método simplex. Tema II: Programación Lineal Contenido: Solución algebraica a los problemas de programación lineal con el método simplex. Introducción El método simplex resuelve cualquier problema de PL con un conjunto

Más detalles

1.Restricciones de Desigualdad 2.Procedimiento algebraico

1.Restricciones de Desigualdad 2.Procedimiento algebraico Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín 1. Restricciones de Desigualdad Clase # 6 EL MÉTODO M SIMPLEX El método m simplex es un procedimiento algebraico: las soluciones se obtienen al resolver un

Más detalles

BASES MATEMÁTICAS DEL MÉTODO SIMPLEX (Parte 3)

BASES MATEMÁTICAS DEL MÉTODO SIMPLEX (Parte 3) 4 de Julio de 26 ASES MATEMÁTICAS DEL MÉTODO SIMPLEX (Parte 3) Postgrado de Investigación de Operaciones Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela 4 de Julio de 26 MÉTODO SIMPLEX REVISADO

Más detalles

EJERCICIO 1. Max Z = 6 x x 2 s.r. (1) 4 x x 2 12 (2) 2 x x 2 16 (3) 2 x 1 6 x 1, x 2 0

EJERCICIO 1. Max Z = 6 x x 2 s.r. (1) 4 x x 2 12 (2) 2 x x 2 16 (3) 2 x 1 6 x 1, x 2 0 Considere el Programa Lineal siguiente: EJERCICIO Max Z 6 x + 9 x 2 s.r. () 4 x + 6 x 2 2 (2) 2 x + 8 x 2 6 (3) 2 x 6 x, x 2 0 (.a) 3 2 0 2 3 4 5 6 7 8 El Problema tiene una Región Factible delimitada

Más detalles

Programación Lineal Continua

Programación Lineal Continua Elisenda Molina Universidad Carlos III de Madrid elisenda.molina@uc3m.es 8 de octubre de 2008 Esquema 1 Formulación y Ejemplos 2 3 Ejemplo: Producción de carbón Una empresa minera produce lignito y antracita.

Más detalles

Degeneración y ciclaje. Método de las dos fases CO-3411 (S08) 30/03/

Degeneración y ciclaje. Método de las dos fases CO-3411 (S08) 30/03/ CO-3411 (S08 30/03/2008 98 Degeneración y ciclaje En el caso de problemas generales, una solución será degenerada cuando alguna de las variables básicas se encuentra en una de sus cotas (comparar con el

Más detalles

Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales

Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Llamaremos M m n (K) al conjunto de las matrices A = (a ij ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) donde los elementos a ij pertenecen a un cuerpo K. Las matrices,

Más detalles

Programación Lineal. El método simplex

Programación Lineal. El método simplex Programación Lineal El método simplex El método simplex es una herramienta algebraica que permite localizar de manera eficiente el óptimo entre los puntos extremos de una solución a un problema de programación

Más detalles

RESOLUCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN ENTERA MÉTODOS DE CORTE CORTES DE GOMORY

RESOLUCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN ENTERA MÉTODOS DE CORTE CORTES DE GOMORY 25 de Junio de 2012 RESOLUCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN ENTERA MÉTODOS DE CORTE CORTES DE GOMORY Postgrado de Investigación de Operaciones Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Programación

Más detalles

Tema V: Optimización Lineal

Tema V: Optimización Lineal Tema V: Optimización Lineal Omar J. Casas López Diciembre 2003 1 Algoritmo Simplex El objetivo del Algoritmo Simplex consiste en que partiendo de una Solución Factible Básica inicial, encontrar otra que

Más detalles

7. PROGRAMACION LINEAL

7. PROGRAMACION LINEAL 7. PROGRAMACION LINEAL 7.1. INTRODUCCION A LA PROGRMACION LINEAL 7.2. FORMULACION DE UN PROBLEMA LINEAL 7.3. SOLUCION GRAFICA DE UN PROBLEMA LINEAL 7.4. CASOS ESPECIALES DE PROBLEMAS LINEALES 7.4.1. Problemas

Más detalles

Tema 2: Optimización lineal. Ezequiel López Rubio Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación Universidad de Málaga

Tema 2: Optimización lineal. Ezequiel López Rubio Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación Universidad de Málaga Tema 2: Optimización lineal Ezequiel López Rubio Departamento de Lenguajes y Ciencias de la Computación Universidad de Málaga Sumario El modelo de programación lineal Formulación de modelos Método gráfico

Más detalles

0. En la solución inicial estos ratios son 30; 155

0. En la solución inicial estos ratios son 30; 155 PASO 7. Regla de entrada. Se introduce en la base la variable con mayor coste reducido, en este caso, la variable. PASO 8. Regla de salida. A continuación debemos determinar qué variable sale de la base.

Más detalles

Si el objetivo es maximizar, entonces se tiene la forma estándar de maximización y, si el objetivo es minimizar, la forma estándar de minimización.

Si el objetivo es maximizar, entonces se tiene la forma estándar de maximización y, si el objetivo es minimizar, la forma estándar de minimización. Tema El método simplex Los modelos lineales con dos o tres variables se pueden resolver gráficamente. En el Tema hemos visto la solución gráfica de modelos lineales de dos variables. Sin embargo, este

Más detalles

Universidad Tec Milenio: Profesional HG04002 Análisis de Decisiones I

Universidad Tec Milenio: Profesional HG04002 Análisis de Decisiones I Tema # 10 El método de las M s como solución de problemas de programación lineal 1 Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Resolver modelos de programación lineal mediante

Más detalles

IN Guía de Problemas Resueltos de Geometría de Programación Lineal v1.0

IN Guía de Problemas Resueltos de Geometría de Programación Lineal v1.0 IN3701 - Guía de Problemas Resueltos de Geometría de Programación Lineal v1.0 Acá va una pequeña guía con problemas resueltos de Geometría en Programación Lineal con problemas básicamente extraídos del

Más detalles

Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales

Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales 1. Introducción Los sistemas de ecuaciones resuelven problemas relacionados con situaciones de la vida cotidiana que tiene que ver con las Ciencias Sociales. Nos

Más detalles

1 ÁLGEBRA DE MATRICES

1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa

Más detalles

Conjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales

Conjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales 1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución

Más detalles

PAIEP. Sistemas de Ecuaciones Lineales

PAIEP. Sistemas de Ecuaciones Lineales Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Sistemas de Ecuaciones Lineales Consideremos el sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas x + y = 2 2x

Más detalles

Modelos de Programación Lineal: Resolución gráfica y Teorema fundamental. Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12

Modelos de Programación Lineal: Resolución gráfica y Teorema fundamental. Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12 Modelos de Programación Lineal: Resolución gráfica y Teorema fundamental Prof. José Niño Mora Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12 Esquema Resolución gráfica de problemas de

Más detalles

Colección de Problemas II. mín Z = 8x 1 + 9x 2 + 7x 3 s. a: x 1 + x 2 + x x 1 + 3x 2 + x x 1 + x 2 x 3 30

Colección de Problemas II. mín Z = 8x 1 + 9x 2 + 7x 3 s. a: x 1 + x 2 + x x 1 + 3x 2 + x x 1 + x 2 x 3 30 1.- Dado el siguiente problema mín Z = 8x 1 + 9x + 7x 3 s. a: x 1 + x + x 3 40 x 1 + 3x + x 3 10 x 1 + x x 3 30 x 1 0, x 0, x 3 0 A) Plantear el problema dual y escribir las condiciones de la holgura complementaria

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales ALBERTO VIGNERON TENORIO Dpto. de Matemáticas Universidad de Cádiz Índice general 1. Sistemas de ecuaciones lineales 1 1.1. Sistemas de ecuaciones lineales. Definiciones..........

Más detalles

Programación lineal y diccionarios. C. González Martín G. Herrera Rodríguez. XX y marca el comienzo de la expansión de un nuevo

Programación lineal y diccionarios. C. González Martín G. Herrera Rodríguez. XX y marca el comienzo de la expansión de un nuevo 39 Programación lineal y diccionarios febrero 2002, pp. 27-32 C. González Martín G. Herrera Rodríguez ARTÍCULOS Por la importancia que tiene, por las aplicaciones prácticas y por su sencillez, dentro de

Más detalles

Análisis de Sensibilidad de los Resultados

Análisis de Sensibilidad de los Resultados Pontificia Universidad Católica Escuela de Ingeniería Departamento de Ingeniería Industrial y de Sistemas Clase 22 Análisis de Sensibilidad de los Resultados ICS 02 Optimización Profesor : Claudio Seebach

Más detalles

PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL RESUELTO POR MÉTODO SIMPLEX

PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL RESUELTO POR MÉTODO SIMPLEX Prof.: MSc. Julio Rito Vargas Avilés Planteamiento del problema: PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL RESUELTO POR MÉTODO SIMPLEX Una compañía de manufactura se dedica a la fabricación de tres productos: A,

Más detalles

Lo rojo sería la diagonal principal.

Lo rojo sería la diagonal principal. MATRICES. Son listas o tablas de elementos y que tienen m filas y n columnas. La dimensión de la matriz es el número se filas y de columnas y se escribe así: mxn (siendo m el nº de filas y n el de columnas).

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una

Más detalles

PLs no acotados El método símplex en dos fases PLs no factibles. Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12

PLs no acotados El método símplex en dos fases PLs no factibles. Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12 PLs no acotados El método símplex en dos fases PLs no factibles Prof. José Niño Mora Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12 Esquema PLs no acotados Necesidad de obtener un vértice

Más detalles

Tema 3. El metodo del Simplex.

Tema 3. El metodo del Simplex. Tema 3. El metodo del Simplex. M a Luisa Carpente Rodrguez Departamento de Matematicas.L. Carpente (Departamento de Matematicas) El metodo del Simplex 2008 1 / 28 Objetivos 1 Conocer el funcionamiento

Más detalles

EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO. M. En C. Eduardo Bustos Farías

EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO. M. En C. Eduardo Bustos Farías EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO M. En C. Eduardo Bustos Farías 1 EL METODO SIMPLEX Es un procedimiento general para resolver problemas de programación lineal. Fue desarrollado en el año de 1947 por George

Más detalles

Figura 1: Esquema de las tablas simplex de inicio y general.

Figura 1: Esquema de las tablas simplex de inicio y general. RELACIONES PRIMAL-DUAL Los cambios que se hacen en el modelo original de programación lineal afectan a los elementos de la tabla óptima actual el que se tenga en el momento, que a su vez puede afectar

Más detalles

Tema 7: Problemas clásicos de Programación Lineal

Tema 7: Problemas clásicos de Programación Lineal Tema 7: Problemas clásicos de Programación Lineal 1.- Características generales de un problema de transporte y asignación Surgen con frecuencia en diferentes contextos de la vida real. Requieren un número

Más detalles

Pasos en el Método Simplex

Pasos en el Método Simplex Pontificia Universidad Católica Escuela de Ingeniería Departamento de Ingeniería Industrial y de Sistemas Clase 20 El Método Simplex ICS 1102 Optimización Profesor : Claudio Seebach 16 de octubre de 2006

Más detalles

Lo que se hace entonces es introducir variables artificiales ADAPTACIÓN A OTRAS FORMAS DEL MODELO.

Lo que se hace entonces es introducir variables artificiales ADAPTACIÓN A OTRAS FORMAS DEL MODELO. Clase # 8 Hasta el momento sólo se han estudiado problemas en la forma estándar ADAPTACIÓN A OTRAS FORMAS DEL MODELO. Maximizar Z. Restricciones de la forma. Todas las variables no negativas. b i 0 para

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SOCIALES CAPÍTULO 2 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad

Más detalles

Sistem as de ecuaciones lineales

Sistem as de ecuaciones lineales Sistem as de ecuaciones lineales. Concepto, clasificación y notación Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo: a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n = b a

Más detalles

2.2 PROGRAMACION LINEAL: METODOS DE SOLUCION

2.2 PROGRAMACION LINEAL: METODOS DE SOLUCION 2.2 PROGRAMACION LINEAL: METODOS DE SOLUCION 1. METODO GRAFICO 2. METODO SIMPLEX - ALGEBRAICO 3. METODO SIMPLEX - TABULAR 4. METODO SIMPLEX - MATRICIAL 1 2.2.1 METODO GRAFICO (modelos con 2 variables)

Más detalles

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ). INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.

Más detalles

Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Primero vamos a estudiar algunas propiedades de los determinantes.

Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Primero vamos a estudiar algunas propiedades de los determinantes. Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Ejemplos: Tarea: realizar al menos tres ejercicios de cálculo de determinantes de matrices de 2x2 y otros tres de 3x3. PARA DETERMINANTES DE MATRICES

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente

Más detalles

1. Utilizar el método de Gauss para clasificar y resolver cuando sea posible los siguientes sistemas: x 3y + 7z = 10 5x y + z = 8 x + 4y 10z = 11

1. Utilizar el método de Gauss para clasificar y resolver cuando sea posible los siguientes sistemas: x 3y + 7z = 10 5x y + z = 8 x + 4y 10z = 11 Teorema de Rouché Frobenius: Si A es la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y AM la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales. Si r(a = r(am = número de incógnitas =

Más detalles

MÉTODO SIMPLEX. PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO

MÉTODO SIMPLEX. PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO MÉTODO SIMPLEX PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO Liliana.delgado@correounivalle.edu.co 2. Relación Entre Método Gráfico y Enumeración De Método Gráfico Sujeto a: x 1 = 4 2x 2 = 12 3x 1 + 2x 2 = 18 Restricciones

Más detalles

Vectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos

Vectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I Virginia Mazzone Contenidos Vectores y Matrices Bases y Ortonormailizaciòn Norma de Vectores Ecuaciones Lineales Algenraicas Ejercicios Vectores y Matrices Los

Más detalles

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES Contenido 1 Métodos de Solución Contenido Métodos de Solución 1 Métodos de Solución Desarrollamos el algoritmo de sustitución regresiva, con el que podremos resolver un sistema de ecuaciones lineales cuya

Más detalles

Tema 3: Espacios vectoriales

Tema 3: Espacios vectoriales Tema 3: Espacios vectoriales K denotará un cuerpo. Definición. Se dice que un conjunto no vacio V es un espacio vectorial sobre K o que es un K-espacio vectorial si: 1. En V está definida una operación

Más detalles

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 0 REFLEXION Y RESUELVE Resolución de sistemas Ò mediante determinantes y Resuelve, aplicando x x e y, los siguientes sistemas de ecuaciones: 3x 5y 73 a

Más detalles

Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas

Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas tiene la siguiente forma Ax + By + C = 0 A x + B y + C (1) = 0 Ya sabemos que una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas

Más detalles

Tema 2 Conjuntos convexos

Tema 2 Conjuntos convexos Tema 2 Conjuntos convexos José R. Berrendero Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid Contenidos del tema 2 Conjuntos convexos. Propiedades básicas y ejemplos. Cierre e interior de un

Más detalles

Es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas. Por ejemplo, son ecuaciones lineales: 2x 3y 4z

Es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas. Por ejemplo, son ecuaciones lineales: 2x 3y 4z 1. Ecuación lineal Es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas. Por ejemplo, son ecuaciones lineales: x y 4z 8 x 6y z 5 7y z 1. Sin embargo, no son, ecuaciones lineales: x y z 1,

Más detalles

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x

Más detalles

Capítulo 4 Método Algebraico

Capítulo 4 Método Algebraico Capítulo 4 Método Algebraico Introducción En la necesidad de desarrollar un método para resolver problemas de programación lineal de más de dos variables, los matemáticos implementaron el método algebraico,

Más detalles

315 M/R Versión 1 Integral 1/13 2009/1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO ÁREA INGENIERÍA

315 M/R Versión 1 Integral 1/13 2009/1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO ÁREA INGENIERÍA 35 M/R Versión Integral /3 29/ UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO ÁREA INGENIERÍA MODELO DE RESPUESTA (VERSION.2) ASIGNATURA: Investigación de Operaciones I CÓDIGO: 35 MOMENTO: Prueba

Más detalles

Matriz sobre K = R o C de dimensión m n

Matriz sobre K = R o C de dimensión m n 2 Matrices y Determinantes 21 Matrices Matriz sobre K = R o C de dimensión m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Tipos de matrices: Cuadrada: n n = (a ij) i=1,,m j=1,,n Nula: (0) i,j 1 0

Más detalles

Programación Lineal I

Programación Lineal I Programación Lineal I P.M. Mateo y D. Lahoz 27 de mayo de 2009 En este tema se realiza la introducción de los modelos de programación lineal y de los elementos necesarios para concluir con el algorítmo

Más detalles

INVESTIGACION DE OPERACIONES:

INVESTIGACION DE OPERACIONES: METODO SIMPLEX El algoritmo símplex fue descubierto por el matemático norteamericano George Bernard Dantzig en 1947, es una técnica para dar soluciones numéricas a problema de programación lineal Un problema

Más detalles

Determinantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5

Determinantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5 DETERMINANTES Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno

Más detalles

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes

Más detalles

MATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ).

MATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ). 1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden

Más detalles

Dualidad. Dpto. Ingeniería Industrial, Universidad de Chile. 22 de abril de IN3701, Optimización

Dualidad. Dpto. Ingeniería Industrial, Universidad de Chile. 22 de abril de IN3701, Optimización Contenidos Motivación y Representación de Poliedros IN3701, Optimización 22 de abril de 2009 Contenidos Motivación y Representación de Poliedros Contenidos 1 Motivación 2 y Representación de Poliedros

Más detalles

(2.c) RESOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES. ALGORITMO DEL SIMPLEX

(2.c) RESOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES. ALGORITMO DEL SIMPLEX (2.c) RESOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES. ALGORITMO DEL SIMPLEX FORMA CANÓNICA DE UN SISTEMA Ax = b Forma Standard y Base factible (repaso). Expresión de las v. básicas en función de las no básicas. Forma

Más detalles

ECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA

ECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones ECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Las ecuaciones polinómicas son aquellas equivalentes a una ecuación cuyo primer

Más detalles

3- Sistemas de Ecuaciones Lineales

3- Sistemas de Ecuaciones Lineales Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 3- Sistemas de Ecuaciones Lineales 1. Introducción Consideremos el siguiente sistema, en él tenemos k ecuaciones y n incógnitas. Los coeficientes a ij son números reales

Más detalles

MÉTODO DEL DUAL (TEORIA DE DUALIDAD)

MÉTODO DEL DUAL (TEORIA DE DUALIDAD) MÉTODO DEL DUAL (TEORIA DE DUALIDAD) Todo problema de programación lineal tiene asociado con él otro problema de programación lineal llamado DUAL. El problema inicial es llamado PRIMO y el problema asociado

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Profesores Omar Darío Saldarriaga Ortíz Ivan Darío Gómez Hernán Giraldo 2009 Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números reales en m filas y n a 11 a 1n columnas

Más detalles

El Método Simplex. H. R. Alvarez A., Ph. D. 1

El Método Simplex. H. R. Alvarez A., Ph. D. 1 El Método Simplex H. R. Alvarez A., Ph. D. 1 El Método Simplex Desarrollado en 1947 por George Dantzig como parte de un proyecto para el Departamento de Defensa Se basa en la propiedad de la solución esquina

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Leandro Marín Octubre 2010 Índice Definición y Ejemplos Paramétricas vs. Impĺıcitas Bases y Coordenadas Para definir un espacio vectorial tenemos que empezar determinando un cuerpo sobre el que esté definido

Más detalles

Definición de problemas de programación lineal. Método gráfico. Método del SIMPLEX. Método de las dos fases. Análisis de sensibilidad y problema dual

Definición de problemas de programación lineal. Método gráfico. Método del SIMPLEX. Método de las dos fases. Análisis de sensibilidad y problema dual 7. Programación lineal y SIMPLEX Definición de problemas de programación lineal. Método gráfico. Método del SIMPLEX. Método de las dos fases. Análisis de sensibilidad y problema dual Programación Lineal

Más detalles

Jesús Getán y Eva Boj. Marzo de 2014

Jesús Getán y Eva Boj. Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj 1 / 18 Jesús Getán y Eva Boj 2 / 18 Un Programa lineal consta de: Función objetivo. Modeliza

Más detalles

1.- ECUACIONES LINEALES CON 2 Y 3 INCÓGNITAS ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNO. Infinitas soluciones) Infinitas soluciones)

1.- ECUACIONES LINEALES CON 2 Y 3 INCÓGNITAS ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNO. Infinitas soluciones) Infinitas soluciones) TEMA 2.- SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- ECUACIONES LINEALES CON 2 Y 3 INCÓGNITAS La ecuación 2x 3 5 tiene un término en x (el término 2x), otro en y (el término -3y) y un término independiente (el 5) Este

Más detalles

A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones. x + 3y +z = 1 -x + y +2z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas.

A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones. x + 3y +z = 1 -x + y +2z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas. A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones x + 3y +z = 1 -x + y +z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas. Para que el sistema tenga, al menos, dos soluciones distintas

Más detalles

Fundamentos de la programación lineal. Función Objetivo (F.O.): Para seleccionar qué función objetivo debe elegirse se toma en cuenta lo siguiente:

Fundamentos de la programación lineal. Función Objetivo (F.O.): Para seleccionar qué función objetivo debe elegirse se toma en cuenta lo siguiente: Fundamentos de la programación lineal Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que pretenden resolver la situación siguiente: Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo,

Más detalles

POST-OPTIMIZACIÓN Y SENSIBILIDAD EN PROBLEMAS LINEALES.

POST-OPTIMIZACIÓN Y SENSIBILIDAD EN PROBLEMAS LINEALES. POST-OPTIMIZACIÓN Y SENSIBILIDAD EN PROBLEMAS LINEALES. Una de las hipótesis básicas de los problemas lineales es la constancia de los coeficientes que aparecen en el problema. Esta hipótesis solamente

Más detalles

PROPUESTA A. 3A. a) Despeja X en la ecuación matricial X A B = 2X donde A, B y X son matrices cuadradas

PROPUESTA A. 3A. a) Despeja X en la ecuación matricial X A B = 2X donde A, B y X son matrices cuadradas PROPUESTA A 1A a) Calcula el valor de a R, a > 0, para que la función sea continua en x = 0. b) Calcula el límite 2A. Calcula las siguientes integrales (1 25 puntos por cada integral) Observación: El cambio

Más detalles

Sistemas Lineales y Matrices

Sistemas Lineales y Matrices Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Instituto de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Ejemplo Solución de sistemas de ecuaciones lineales, usaremos este

Más detalles

Determinantes. Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por A o por det (A).

Determinantes. Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno a 11 = a 11 5 = 5 Determinante

Más detalles

TEMA 1. Álgebra matricial y programación lineal

TEMA 1. Álgebra matricial y programación lineal TEMA 1 Álgebra matricial y programación lineal Muchos problemas en las matemáticas y sus aplicaciones conducen a sistemas de ecuaciones lineales, del tipo: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1

Más detalles

Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales

Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales Tema 0 Matrices y determinantes Sistemas de ecuaciones lineales 01 Introducción Definición 011 Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en filas y columnas, formando un rectángulo

Más detalles

Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales. Juan-Miguel Gracia

Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales. Juan-Miguel Gracia Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales Juan-Miguel Gracia Índice Sistemas lineales 2 Búsqueda de una solución especial 3 Aplicación a sistemas 4 Problema de condiciones iniciales 2 / 2 Sistemas

Más detalles

Matemática II Tema 3: resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Matemática II Tema 3: resolución de sistemas de ecuaciones lineales Matemática II Tema 3: resolución de sistemas de ecuaciones lineales 2012 2013 Índice Sistemas de ecuaciones lineales 1 Interpretación geométrica y definición 1 Método de eliminación 4 Resolución de sistemas

Más detalles

Clase 8 Matrices Álgebra Lineal

Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Matrices Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados entradas

Más detalles

Programación Lineal II. Teoría de la dualidad

Programación Lineal II. Teoría de la dualidad Programación Lineal II. Teoría de la dualidad P.M. Mateo y David Lahoz 27 de mayo de 2009 Este tema continúa el desarrollo iniciado en el tema 1. En el se define el problema dual asociado a un problema

Más detalles

Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes

Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Lección 1. Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes

Más detalles