Tema 3: El Método Simplex. Algoritmo de las Dos Fases.

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1 Tema 3: El Método Simplex Algoritmo de las Dos Fases 31 Motivación Gráfica del método Simplex 32 El método Simplex 33 El método Simplex en Formato Tabla 34 Casos especiales en la aplicación del algoritmo 341 Degeneración 342 Óptimos alternativos 343 Problema no acotado 344 Problema Imposible 35 El Algoritmo de las dos Fases 351 Problema imposible 352 Problema posible 1

2 31 Motivación Gráfica del Método Simplex Región de soluciones posibles acotada Existe al menos una solución óptima, que es un vértice

3 Región de soluciones posibles no acotada Problema no acotado z = + c, dirección de mejora

4 Problema Acotado Existe una solución óptima única

5 Problema acotado Infinitas soluciones óptimas (Segmento) c, dirección de mejora

6 Problema acotado Infinitas soluciones óptimas (Semirrecta) c, dirección de mejora

7 31 Motivación Gráfica del Método Simplex 1 Si el PPL tiene una única solución óptima, será necesariamente un vértice de S 2 Si el PPL tiene más de una solución óptima y S es acotado, al menos dos de ellas son vértices adyacentes de S Si S es no acotada, solo podemos garantizar que al menos una de las soluciones óptimas es un vértice 3 Existe un número finito de vértices en S 4 Si un vértice proporciona un valor objetivo mejor o igual que el resto de vértices adyacentes entonces proporciona un valor objetivo mejor o igual que cualquier otra solución posible del problema, luego es una solución óptima para el problema 2

8 E + D + H 1 = 10 E + D + H 2 = 1 D + H 3 = 4 Si hacemos H 1 = H 2 = 0, nos queda: E + D = 10 E + D = 1 D + H 3 = 4 cuya solución es: E = 9/2, D = 11/2, H 3 = 3/2 No puede ser solución del PPL incumple la restricción de no negatividad 3

9 ( E, D, H 1, H 2, H 3 ) (0,0) Solución posible (0,10) no es solución posible (0,1) Solución posible (0,4) no es solución posible (10,0) Solución posible? 0?? 0 Sistema Incompatible (-1,0) no es solución posible 9/2 11/ /2 (9/2,11/2) no es solución posible (6,4) Solución posible (3,4) Solución posible 4

10 Cómo obtener los vértices del conjunto de soluciones de un PPL Para un problema cuya forma estándar incluya un sistema de m ecuaciones linealmente independientes y n incógnitas, los vértices del poliedro se obtienen resolviendo los sistemas de m ecuaciones con m incógnitas que resultan al igualar a cero subconjuntos de n m variables Solo serán soluciones posibles (vértices) aquéllos puntos cuyas variables, tanto de holgura como originales sean no negativas 5

11 32 El Método Simplex Desarrollado por George Dantzig en 1947 Primera aplicación importante: J Laderman resolvió un problema de elaboración de una dieta en la que había 9 restricciones de igualdad y 27 variables Necesitó él trabajo de 120 días-hombre Dado un PPL expresado en forma estándar con m ecuaciones y n incógnitas, m n, podemos dividir las variables en dos grupos: 1 n m variables a las cuáles les damos el valor 0, y que denominaremos variables no básicas 2 m variables cuyo valor se determinará resolviendo el sistema de m ecuaciones y m incógnitas resultante de igualar a cero el resto de variables Si dicho sistema tiene una única solución, diremos que las m variables son variables básicas Solución del sistema solución básica Si además las variables 0 solución posible básica 6

12 Formalización algebráica PPL Min z = c t x sa: Ax = b x 0 n B := {columnas de A de coeficientes de las variables básicas} N := A \ B := { columnas de A coeficientes de las variables no básicas} A = (B, N), x = x B, c = c B x N Min z sa: z c t Bx B c t N x N = 0 Bx B + Nx N = b x B 0, x N 0 c N 7

13 B 1 (Bx B + Nx N ) = B 1 b (B 1 B)x B + (B 1 N)x N = B 1 b x B + (B 1 N)x N = B 1 b b1 b := B 1 b = bi, y j := B 1 a j bm bi := valor de la variable básica asociada a la ecuación i-ésima y ij := coeficiente de la variable no básica j-ésima en la ecuación i-ésima 8

14 z = c t B x B + c t N x N x B = B 1 b (B 1 N)x N z = c t B (B 1 b (B 1 N)x N ) + c t N x N z = c t B(B 1 b) }{{} valor objetivo (c t BB 1 N c N ) x N }{{} costes reducidos 9

15 En cualquier iteración del Simplex el problema está expresado como: Min z = c t B (B 1 b) (c t B B 1 N c N )x N x B + B 1 Nx N = B 1 b x B 0 x N 0 Y tiene asociada la siguiente Solución Posible Básica: x = x B = B 1 b x N 0 Cuyo valor objetivo es: z = c t B(B 1 b) 10

16 Costes Reducidos: coeficientes de las variables en la expresión de la función objetivo dada en una iteración del Simplex Variable Básica: 0 Variable No Básica: z j c j := c t B B 1 a j c j Importancia: Criterio de Optimalidad: una solución es óptima sii z j c j 0 j Criterio para Elegir la Nueva Variable Básica: aquélla que tiene el mayor coste reducido z nuevo := z actual (z j c j )x j Si x j > 0 y z j c j > 0 z nuevo < z actual Si x j > 0 y z j c j < 0 z nuevo > z actual 11

17 Algoritmo del Simplex Consideremos el Problema de Programación Lineal: en donde, S Inicialización PL Min z = c t x sa: x S Escríbase el Problema de Programación Lineal en forma estándar Sea PL Min z = c t x sa: Ax = b x 0 n el problema resultante En donde, A es una matriz m n, b IR m, c IR n, rango(a, b) = rango(a) = m (es decir, sistema compatible, tiene solución) 12

18 Obtener una Solución Posible Básica Inicial (SPB) Si en S todas las restricciones eran del tipo y el rhs 0, al añadir las variables de holgura se obtiene automáticamente una SPB tomando las variables originales como no básicas y las variables de holgura como básicas en otro caso aplicaremos el algoritmo de las dos fases Sea B la submatriz de A formada por las columnas asociadas a las variables básicas y N el conjunto de índices de las variables no básicas x B := B 1 b 0 m x N := 0 n m 13

19 Iteración Paso 1: Sea, x B = B 1 b, y x N = 0 n m, la SPB actual Hacer, b = B 1 b, y z = c t B x B Ir al Paso 2 Paso 2: Calcular los costes reducidos de las variables no básicas z j c j = c t BB 1 a j c j, j N siendo a j la columna asociada a la variable x j en A a) Si z j c j 0, j N, Stop x B := B 1 b y x N := 0 n m z = c t B B 1 b b) En otro caso, elegir x k como nueva variable básica entrante, siendo k el índice para el que se alcanza el máximo de los costes reducidos, Ir al Paso 3 z k c k = máx j N {z j c j } 14

20 Paso 3: Obtener la columna asociada a la variable que se hace básica en el sistema actual Sea y k := B 1 a k a) Si y k 0 m, Stop Podemos incrementar el valor de x k tanto como queramos sin que se haga cero ninguna variable básica ie, sin alcanzar ningún otro vértice del poliedro adyacente al actual El problema es No Acotado y el valor óptimo es z = b) En otro caso Ir al Paso 4 Paso 4: Elegir la variable que deja de ser básica (Criterio de la razón mínima) br y rk = mín { b i : y ik > 0} 1 i m y ik B := B \ {a r } {a k }, N := N \ {k} {r} Ir al Paso 1 15

21 33 El Método Simplex en Formato Tabla Dado el PPL, Min z = c t x Min z sa: sa: z c t x = 0 Ax = b Ax = b x 0 n x 0 n Si lo escribimos en términos de una SPB asociada a una base B: Min z sa: z c t B x B c t N x N = 0 Bx B + Nx N = b x B 0 m, x N 0 n m 16

22 x B = B 1 b B 1 Nx N, z+ 0x B + (c t B B 1 N c t N )x N = c t B B 1 b x B + B 1 Nx N = B 1 b x B x N RHS z 1 0 c t BB 1 N c t N (z j c j = c t BB 1 a j c j ) c t BB 1 b Fila 0 z = c t BB 1 b x B 0 I m B 1 N, (y k = B 1 a k ) B 1 b, ( b i ) Fila 1-m x B = B 1 b 17

23 18 Tabla antes de pivotar x B1 x Br x Bm x j x k RHS z z j c j z k c k c B b x B y 1j y 1k b1 x Br y rj y rk br x Bm y mj y mk bm Variable de entrada, z k c k = máx j N {z j c j } x k Variable de salida, br y rk = mín { b i : y ik > 0} x Br 1 i m y ik

24 19 Tabla después de pivotar x B1 x Br x Bm x j x k RHS z 0 c k z k y rk 0 (z j c j ) - y rj y rk (z k c k ) 0 c B b (zk c k ) b r y rk x B1 1 y 1k y rk 0 y 1j y rj y rk y 1k 0 b1 y 1k y rk br x k 0 1 y rk 0 y rj y rk 1 br y rk x Bm 0 y mk y rk 1 y mj y rj y rk y mk 0 bm y mk y rk br Nueva Base B = B \ {a r } {a k }

25 34 Casos especiales en la aplicación del algoritmo Ejemplo: Óptimo Único Dada, B = {a 1, a 4 } = Min 3x 1 + x 2 sa: x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 1 + x 2 + x 4 = 1 x i 0, i = 1, 2, 3, 4 B 1 b = 4 5 x t = (4, 0, 0, 5) c t B = ( 3, 0) z j c j = c t B B 1 a j c j = z 2 c 2 = ( 3, 0) z 3 c 3 = ( 3, 0) = 7 0 = 3 20

26 Ejemplo: Óptimos Alternativos Dada, B = {a 1, a 4 } = c t B = ( 2, 0) z j c j = c t B B 1 a j c j = Min 2x 1 4x 2 Óptimos: [ (4, 0, 0, 5), ( 2 3, 5 3, 0, 0)], z = 8 sa: x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 1 + x 2 + x 4 = 1 x i 0, i = 1, 2, 3, 4 B 1 b = 4 5 z 2 c 2 = ( 2, 0) z 3 c 3 = ( 2, 0) x t = (4, 0, 0, 5) ( 4) = 0 0 = 2 21

27 Ejemplo: No Acotación Min x 1 3x 2 sa: x 1 2x 2 4 x 1 + x 2 3 x 1 0, x 2 0 Dada, B = (a 2, a 3 ), B 1 = B 1 b = 3 10 x t = (0, 3, 10, 0) z j c j == z 1 c 1 = ( 3, 0) z 4 c 4 = ( 3, 0) ( 1) = 4> = 3 22

28 x 1 podría entrar en la base Sin embargo, como y 1 = B 1 a 1 = Ninguna variable cumple el criterio de salida c t y 1 e 1 = ( 1, 3, 0, 0) < 0 Criterio de No Acotación El problema es No acotado a lo largo de la semirrecta: x 1, x 1 0, lím 10 1 z = 9 4x 1 = x

29 35 El Algoritmo de las Dos Fases Escríbase el PPL en forma estándar: Min sa: z = c t x x S Min sa: z = c t x Ax = b x 0 n En donde A es una matriz m n de rango completo por filas Si A contiene una submatriz identidad m m y b 0 m B = I m y N = A \ B permiten definir una SPB inicial para aplicar el algoritmo del Simplex: x B = B 1 b y x N = 0 n m En otro caso, A se completa con tantas columnas (variables artificiales) como sea necesario para conseguir dicha situación, y se aplica el algoritmo de las 2 fases 24

30 Fase 1: Construir el problema auxiliar resultante de añadir las variables artificiales: Min z = c t x Min z = 1 t x a sa: Ax = b sa: Ax + x a = b x 0 x, x a 0 Resolver el problema auxiliar con el algoritmo del Simplex Sea (x, x a) la solución óptima Si x a = 0 Ir a la Fase 2 Si x a 0 Problema original Imposible 25

31 Fase 2: Utilizar la SPB obtenida al final de la Fase 1 para resolver el problema inicial Sean x B las variables básicas en dicha solución Consideremos la tabla óptima al final de la Fase 1 Si en x B no hay variables artificiales: eliminando las columnas asociadas a las variables artificiales y actualizando convenientemente la fila asociada a la función objetivo obtenemos la tabla inicial para resolver el problema original con el algoritmo Simplex Si en x B hay variables artificiales: tratamos de obtener una SPB sin variables artificiales 26

32 Cómo? 1 Eliminar de la tabla las columnas asociadas a las variables artificiales no básicas 2 Actualizar la fila asociada a la función objetivo considerando que los coeficientes en la función objetivo de las variables artificiales en el problema original son 0 3 Eliminar secuencialmente variables artificiales básicas pivotando sobre elementos de la tabla y ij 0, en donde: i := fila asociada a la variable básica artificial j := columna asociada a la variable no artificial Si y ij = 0, j i la ecuación i-ésima es redundante Eliminar la ecuación y la variable artificial 27

33 Óptimo 3x 1 + x 2 = 3 Fase1 4x 1 + 3x 2 6 x 1 + 2x 2 4

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