Universidad de Managua Curso de Programación Lineal

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1 Universidad de Managua Curso de Programación Lineal Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés. Objetivos y Temáticas del Curso Estudiantes: Facultad de CE y A Año académico: III Cuatrimestre 2014

2 ORIENTACIONES GENERALES SITIOS WEB: jrvargas.wordpress.com juliovargas.udem.edu.ni Libro básico: PRÁCTAS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES CON POM-QM. Software: POM-QM

3 OBJETIVOS DEL CURSO Decidir los algoritmos que aplicará a los problemas planteados, emplearlos en los mismos y analizar críticamente los resultados para producir informes tendientes a la toma de decisiones. Aplicar los conceptos de optimización de redes en la formulación de modelos, y principalmente en la formulación de proyectos. Aplicar las técnicas fundamentales de modelos de optimización para la solución de problemas de optimización. Determinar a través de los modelos de transporte y asignación las acciones adecuadas que deben ser tomadas por las empresas. Realizar de análisis de sensibilidad a modelos lineales.

4 TEMAS DEL CURSO DE PROGRAMACIÓN LINEAL 1. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL - MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER PPL - REGIÓN FACTIBLE, FUNCIÓN OBJETIVO, RESTRICCIONES. 2. MÉTODO SIMPLEX PARA RESOLVER PPL ESTRUCTURA DE LA TABLA DEL SIMPLEX PROBLEMAS 3. ANALISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD A PPL - CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES, CAMBIOS EN LAS VARIABLES, CAMBIOS EN LOS RECURSOS, CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES TECNOLOGICOS, ETC. 4. PROBLEMAS DE TRANSPORTE, TRANSBORDO Y ASIGNACIÓN. - MÉTODOS DE SOLUCIÓN. PROBLEMAS 5. PLANIFICACIÓN CON PERT-CPM

5 Universidad de Managua Curso de Programación Lineal Metodologías para la Solución de Problemas de Programación Lineal.

6 METODOLOGÍA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PL 1. Definición del problema Esto incluye: 1. determinar los objetivos apropiados 2. las restricciones sobre lo que se puede hacer 3. las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización 4. los diferentes cursos de acción posibles 5. los límites de tiempo para tomar una decisión, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya que afectará en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio.

7 2. Formulación de un modelo matemático La forma convencional en que PROGRAMACIÓN LINEAL realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema. Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución.

8 3. Obtención de una solución a partir del modelo. Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema. La selección del método de solución depende de las características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos: a) analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática; b) numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error; c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo.

9 4. Prueba del modelo Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se puedan presentar 5. Validación del modelo Es importante que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de entrada y/o de las variables de decisión, y comprobando que los resultados de modelo se comporten de una manera factible.

10 6. Análisis de Sensibilidad Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema. Es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo. Usualmente esto se conoce como ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.

11 7. Implantación de la solución El paso final se inicia con el proceso de vender" los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones.

12 Introducción a la Programación lineal El problema general es asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (óptima). Este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas

13 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo.

14 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL La programación lineal es un método eficiente para determinar una decisión óptima entre un gran número de decisiones posibles Es impresionante el número y la diversidad de problemas en los que se puede aplicar.

15 Características de la problemas de programación lineal Proporcionalidad: las variables y la función objetivo deben ser lineales Aditividad: Es necesario que cada variable sea aditiva respecto a la variable objetivo

16 Características de la problemas de programación lineal Divisibilidad: las soluciones no deben ser necesariamente números enteros Optimalidad: La solución óptima (máximo o mínimo) debe ocurrir en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles

17 MODELO GENERAL DE PL Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajo consideración. Z = valor de la medida global de efectividad Xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n) Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m) aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j

18 Estructura de un modelo de PL 1. Función objetivo. Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema, la función objetivo se maximizar o minimiza. 2. Variables de decisión. Son las incógnitas del problema. La definición de las variables es el punto clave y básicamente consiste en los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.

19 Estructura de un Modelo de pl 3. Restricciones Estructurales. Diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, etc. 4. Condición técnica. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos.

20 Modelo general de PL Optimizar Z = n j 1 c j x j Sujeta a: n j 1 a ij x j b i i 1,2,..., m x 0 j 1,2,..., j n

21 Conjunto factible: Región del plano Cerrada (polígono) Abierta Cuál es la región factible x 0 y 0 del sistema x 5 x y 0 x 5 x 0 y 0 x y = 0 x y 0 x = 5

22 Solución óptima Si la región factible es cerrada la solución óptima está en un vértice del polígono (cuando es única) o todo un lado del polígono (infinitas soluciones) Si la región factible es abierta, puede haber solución única (en un vértice), infinitas soluciones (todo un lado) o no tener solución

23 Número de soluciones de un problema de programación lineal Para un problema de minimización Solución única Solución de arista: infinitas soluciones No hay mínimo

24 Para un problema de maximización Solución única Solución de arista: infinitas soluciones No hay máximo

25 Un problema de máximos de programación lineal Problema 1: Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 Kg.. de chocolate, 100 Kg.. de almendras y 85 Kg.. de frutas. Produce dos tipos de cajas: las de tipo A contienen 3 Kg. de chocolote, 1 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas; la de tipo B contiene 2 Kg. de chocolate, 1,5 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 13 y 13.50, respectivamente. Cuántas cajas de cada tipo debe fabricar para maximizar sus venta? La siguiente tabla resume los datos del problema Designando por x = nº de cajas de tipo A y = nº de cajas de tipo B Función objetivo z = f (x, y) = 13x y Con las restricciones: Caja tipo A Caja tip B Disponibles Chocolate Almendras Frutas Precio en euros que hay que maximizar 3x + 2y 500 (por el chocolate almacenado) x + 1.5y 100 (por la almendra almacenada) x + y 85 (por la fruta almacenada) x 0 y 0

26 En un primer paso representamos la región factible. En un segundo paso obtenemos los vértices de la región factible. R(0, 100/1.5) Finalmente evaluamos la función objetivo z = 13x + 13,50y en cada vértice, para obtener el máximo z(p) = = 1105 z(q) = = 1120 z(r) = /1.5 = 900 Q(55, 30) P(85, 0)

27 Un problema de mínimos de programación lineal Problema2: Un grupo local posee dos emisoras de radio, una de FM y otra de AM. La emisora de FM emite diariamente 12 horas de música rock, 6 horas de música clásica y 5 horas de información general. La emisora de AM emite diariamente 5 horas de música rock, 8 horas de música clásica y 10 horas de información general. Cada día que emite la emisora de FM le cuesta al grupo 5000, y cada día que emite la emisora de AM le cuesta al grupo Sabiendo que tiene enlatado para emitir 120 horas de música rock, 180 horas de música clásica y 100 horas de información general, cuántos días deberá emitir con ese material cada una de la emisoras para que el coste sea mínimo, teniendo en cuenta que entre las dos emisoras han de emitir al menos una semana? La siguiente tabla resume los datos del problema Emisora FM Emisora AM Disponibles Música rock Designando por Música clásica Información general x = nº de días de AM y = nº de días de FM Coste en euros Función objetivo z = f (x, y) = 5000x y que hemos de minimizar Con las restricciones: 12x + 5y 120 (por la música rock) 6x + 8y 180 (por la música clásica) 5x + 10y 100 (por la información general) x + y 7 (emitir al menos una semana) x 0 y 0

28 En un primer paso representamos la región factible. En un segundo paso obtenemos los vértices de la región factible. Finalmente evaluamos la función objetivo z = 5000x y en cada vértice, para obtener el mínimo. R(0, 10) S(0, 7) Q(7.37, 6.32) z(p) = = z(q) = = z(r) = = z(s) = = z(t) = = T(7, 0) P(10, 0)

29 Resumen Función objetivo Optimizar (maximizar o minimizar) z = a x + by sujeta a las siguientes restricciones a 1x + b 1 y d 1 a 2 x + b 2 y d a n x + b n y d n Solución posible: cualquier par de valores (x 1, y 1 ) que cumpla todas la restricciones. Al conjunto de soluciones posibles de un problema lineal se le llama región factible. Solución óptima: un par de valores (x 1, y 1 ), si existe, que hace máxima o mínima la función objetivo Un problema de programación lineal puede: Tener solución única Tener infinitas soluciones No tener solución

30 FIN INVESTIGACION DE OPERACIONES I JRVA

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