Probabilidad 3/1/2010. EVSC 5020: Bioestadística. Qué es probabilidad? Prof. Rafael R. Canales-Pastrana. EVSC 5020: Bioestadística

Transcripción

1 Probabilidad Prof. Rafael R. Canales-Pastrana 2 Qué es probabilidad? 3 1

2 Definiciones de Probabilidad La medida del grado de confianza que uno tiene, en que ocurra el acontecimiento. Método axiomático: El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso, como un número comprendido entre cero y uno. Este concepto tiene que ver directamente con la noción de frecuencia relativa, donde: 0 p 1. Método clásico: Considera la probabilidad como el cociente de dividir los casos favorables, que pueden ocurrir en un suceso, por el total de casos posibles. número de formas como puede suceder P ( suceso) número posible de resultados 4 Definiciones Evento: Algún resultado en particular. Suceso: El resultado particular que se espera. Frecuencia: La cantidad de veces que se repite el acontecimiento o evento. Experimento: Es la actividad que representa una situación que puede ocurrir en más de una forma. Resultados: Son las maneras en que puede acontecer la situación. 5 Ejemplo-1 En el lanzamiento de una moneda hay dos posibles combinaciones: Cara H Cruz T Por lo tanto la probabilidad de que se obtenga cara es: número P ( suceso) de formas como puede suceder número posible de resultados 1 P( Cara) % 2 6 2

3 Diagrama de Árbol Es una alternativa a la lista de resultados en serie. Este tipo de diagrama muestra una rama para cada resultado posible. 100% (0.50) 50% H (0.50) 50% T 7 Probabilidad Excluyente 1. Si dos o más sucesos son tales que solamente uno de ellos puede ocurrir, se dice que son mutuamente excluyentes. Se denomina probabilidad aditiva y será igual a la suma de las probabilidades de cada suceso. P P 1 P 2 P 3... P n 8 Probabilidad Complementaria 1. Si el evento A ocurre el evento B no ocurre, se conoce como el complemento, por lo tanto Pr(B) 1 Pr (A) 9 3

4 Probabilidad Dependiente 1. Se dice que dos o más sucesos son independientes, si la probabilidad de alguno de ellos no influyen la presentación del otro. En caso contrario, se dice que son dependientes. En otras palabras, si el resultado de un suceso no afecta al otro, se dice que son independientes, por lo tanto se efectuará la multiplicación de las probabilidades para cada suceso. P P 1 x P 2 x P 3... x P n (Independiente) P P 1 x P 2 x P 3... x P n (Dependiente) 10 Ejemplo-2 En el lanzamiento de dos monedas hay cuatro posibles combinaciones: H H T T T H (2) Por lo tanto la probabilidad de que se obtenga cara cara es: número P ( suceso) de formas como puede suceder número posible de resultados 1 P( H, H ) % 4 11 Diagrama de Árbol Dos monedas 100% 100% (0.50) 50% (0.50) 50% (0.50) 50% (0.50) 50% H T H T 12 4

5 Diagrama de Árbol Una moneda dos tiradas 100% (0.50) 50% (0.50) 50% H T (0.25) 25% (0.25) 25% (0.25) 25% (0.25) 25% H T H T 13 Posibilidades El número de casos posibles en los ejemplos anteriores se obtiene: n casos posibles en una moneda n número de lanzamientos Con un dado sería: 6 n casos posibles en un dado Trabajo grupal Espacio muestral 5

6 Ejemplo: Prueba de Dependencia Suponga que dos médicos A y B, prueban sus pacientes para diagnosticar sífilis. El A 10%, B 17%, como positivo a sífilis en sus respectivos pacientes. Ambos diagnosticaron como positivo al 8% de la muestra. Pr( A ) 0.10,Pr( B ) 0.17,Pr( A B ) 0.08 Pr( A B ) Pr( A )*Pr( B ){ Dependiente}? * Por lo tanto los eventos son dependientes 16 Ley Aditiva de Probabilidad Si A y B son eventos cualesquiera, entonces Pr( A B) Pr( A) Pr( B) Pr( A B) Considere el caso anterior, Cuál es la probabilidad de que un paciente que haya sido diagnosticado positivo por el médico A o B, se le realice una segunda prueba? Pr( A ) 0.10,Pr( B ) 0.17,Pr( A B ) 0.08 Pr( A B ) Ley Aditiva de Probabilidad para Eventos Independientes Si dos eventos A y B son independientes, entonces Pr( A B) Pr( A) Pr( B) ( Pr( A)*Pr( B) ) Pr( A B) Pr( A) Pr( B)* 1 Pr( A) [ ] 18 6

7 Probabilidad Condicional Es la probabilidad de que ocurra un evento luego de haber ocurrido un primer evento. Pr( A B) Pr( A) Esta ecuación se lee como la probabilidad de que ocurra B en A. 1. Si A y B son eventos independientes, entonces Pr( B) 2. Si A y B son eventos dependientes, entonces Pr( B) Pr( A B) Pr( A)* Pr( B) 19 Riesgo Relativo RR Si los eventos son independientes, RR1 Asuma que 20 de 100,000 mujeres que se realizaron mamografías y obtuvieron resultados negativos, serán diagnosticadas con cáncer de ceno en los próximos 2 años Además 1 de cada 10 que obtuvieron resultados positivos serán diagnosticadas con cáncer de ceno RR Regla de Probabilidad Total Para cada evento A y B Pr( B ) *Pr( A) *Pr( A) Continuemos con la definición A y B según establecido en el problema anterior. Suponga que el 7% de la población total de las mujeres tendrán un resultado positivo en la mamografía. Cuál es la probabilidad de desarrollar cáncer en los próximos 2 años? Pr( B ) Pr( cáncer de ceno) Pr( B) Pr( cáncer mam )*Pr( mam ) Pr( cáncer mam )*Pr( mam ) Pr( B) 0.10* * ,

8 Valores Predictivos Valor predictivo positivo(pv ): es la probabilidad de que una persona tenga la condición y la prueba la detecte. PV Pr(condición prueba ) PV Pr( cáncer mam ) 0.10 Valor predictivo negativo(pv - ): es la probabilidad de que una persona tenga la condición y la prueba NO la detecte. PV - Pr(condición prueba - ) PV Pr( no cáncer mam ) PV 1 Pr( cáncer mam ) Definiciones Sensibilidad: es la probabilidad de que el síntoma esté presente y la persona tenga la condición. Especificidad: es la probabilidad de que el síntoma No esté presente y la persona No tenga la condición. Falso negativo: es definido como la detección negativa en la prueba, cuando la persona tiene la condición. Falso positivo: es definido como la detección positiva en la prueba, cuando la persona No tiene la condición. 23 Análisis Combinatorio 8

9 Análisis Combinatorio El análisis combinatorio es un sistema que permite agrupar y ordenar, en diversas formas, los elementos de un conjunto. Los tres principales tipos de análisis combinatorio son: Permutaciones Variaciones Combinaciones 25 Permutaciones Se denominan permutaciones de h elementos, los diferentes grupos que se pueden hacer, tomándolos todos cada vez. Las permutaciones implican orden. Cada conjunto ordenado de h elementos se denominará una permutación de los n elementos diferentes. La formula es Pn n!, donde Pn corresponde al número de permutaciones posibles. 26 Ejemplo-1:Permutaciones Determine el número de permutaciones posibles de las letras A, B, C, D. P4 4! 4 x 3 x 2 x 1 24 Representémoslas: 27 9

10 Permutaciones con Repetición Las permutaciones con repetición r, son un caso particular de las variaciones y no existe una ley sencilla para su formación. Dado lo complicado del sistema, sólo, se presenta la fórmula que logra el número de esta clase de permutaciones. La formula será: n! 1 2 P n ( r: r, r ) r! r! Ejemplo-2: Permutaciones con Repetición Sean los elementos aa - bbb - cc - d, para permutar con repetición, tendremos 8 elementos repartidos así: dos del primero, tres del segundo, dos del tercero y uno del cuarto, entonces las permutaciones se presentarán así: P 8 ( r:2,3,2,1 ) y la fórmula respectiva será: 8! 8x7x6x 5x4x3 x2x1 P ( r:2,3,2,1 ) 8 2!3!2! P ( r : 2,3,2,1 ) ( 2x1 )( 3x2x1 )( 2x1 ) 29 Cálculos con la TI-Nspire-CAS 30 10

11 Ejemplo-3: Permutaciones con Repetición De cuántas maneras distribuiríamos 3 monedas de 5 y 4 monedas de 10 en una misma línea? La fórmula respectiva será: 7! 7x6x5x 4x3x2 x1 P ( r:3,4 ) 7 3!4! 3x2x1 4x3x2 x1 P ( r : 3,4) 35 7 ( )( ) 31 Variaciones Las variaciones corresponden a aquellas permutaciones donde los elementos no se toman en su totalidad.dado un conjunto de n elementos diferentes, se denominará permutación parcial o variaciones, de subconjunto de r elementos (r<n) pertenecientes al conjunto dado. La formula será: V n r n! ( n r)! 32 Ejemplo-4: Variaciones Determine el número de variaciones posibles de las letras A, B, C, D; donde las cuatro letras o elementos (n) vamos a permutar de cada 2 (r). La fórmula respectiva será: V 4! 4x3x2 x1 2! 2x1 4 2 ( 4 )

12 Ejemplo-5: Variaciones Cuántas cifras diferentes de 4 dígitos se pueden formar con los dígitos del 0 al 9, usándolos una vez? V La fórmula respectiva será: 4 V 10 10! ( 10 4)! 10! 10x9 x8x7 x6x5 x4x3x 2x1 4! 6x5x4 x3x2 x ( 10 ) 5, Combinaciones Son aquellas en las que no interesa el orden de la aparición de elementos del conjunto. Será lo mismo AB que BA. Cuando se toma la totalidad de elementos, solamente se puede hacer una combinación. La fórmula será: n n! n C r r r!( n r)! Se lee de la siguiente manera, la combinación de n elementos tomados de r en r. 35 Ejemplo 6: Combinaciones En la combinación de estas 4 letras tomadas de 2 en 2 será: n n! n C r r r!( n r)! 4 4 C 2 4! 2! 2! ( 4 )

13 Cálculos con la TI-Nspire-CAS 37 Distribuciones Discretas Binomial Se utiliza: En situaciones independientes y que la variable tenga como resultado dos alternativas. Cuando el número de muestras es fijo y la probabilidad de éxito no es muy pequeña. P ( X ) n! X!( n 1)! n X X n X X n X p (1 p ) p (1 p ) X es el evento, n la muestras, p la probabilidad de éxito del evento X

14 Ejemplo de distribuciones Binomiales Gotelli & Ellison, Poisson La distribución de Poisson describe eventos dependientes del tiempo. X λ λ P( X ) e X! X es el evento, λ es el valor promedio del número de eventos en cada muestra en función del tiempo. 41 Ejemplo de distribuciones Poisson Gotelli & Ellison,

15 Resumen de distribuciones discretas Gotelli & Ellison, Distribuciones Continuas Tiene: Forma de campana Como asíntota el eje de x Área bajo ella 1 Normal Y i e σ 2π 2 ( X ) 1 i µ 2 2σ 45 15

16 Ejemplo de distribución normal Gotelli & Ellison, Ejemplo de distribución normal Gotelli & Ellison, Reconocimiento Parte del material aquí mostrado ha sido tomado y/o modificado libremente de: Gotelli NJ, Ellison AM, 2004, A Primer of Ecological Statistics,SINAUER. Módulo 4: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN de la SERIE APRENDER A INVESTIGAR Creada por: INSTITUTO COLOMBIANO PARA EL FOMENTO DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR 48 16