Capítulo 1. Definición : Es la figura geométrica determinada por la reunión de dos rayos no alineados que tienen el mismo origen.

Transcripción

1 pítulo 1 ÁNGULS finiión : Es l figur gométri trmin por l runión os ryos no linos qu tinn l mismo orign. Elmntos 1. Vérti :. Los : y Notión : * Ángulo : ), Ô * i l ángulo : m ) =. gión Intrior un ángulo gión Extrior un ángulo lsifiión los Ángulos por su i : * Ángulo guo * Ángulo to * Ángulo tuso istriz un ángulo : 0 < < 90 = < < 180 N istriz L istriz

2 Ángulos ynts : Ángulos onsutivos : srvions : = = 60 Ángulos omplmntrios Ángulos Suplmntrios + = 90 + = 180 Ángulos ynts Suplmntrios : Los ángulos y tmién s ls nomin pr linl. Ls istris too pr linl son prpniulrs.

3 Ángulos pustos por l vérti srvions : Es nsrio rorr los siguints ángulos omprnios ntr rts prlls. * ltrnos Intrnos * orrsponints * onjugos = = + = 180 * Si : L 1 // L * Si : L 1 // L L 1 L 1 x L L = ++ x = +

4 Tst prnizj prliminr 01. Si: s istriz l ángulo, lul "x". 04. lul "x", si : L // L 1. x L x+40 x L 0. lul "x". 05. Si : L // L 1, lul "x". 4x+0 x+50 4x 80 L 1 x 60 L 0. lul :. 06. Si : L // L 1, lul "x". 10 x x 60 L 1 x L

5 07. En l gráfio, ls mis los ángulos y son suplmntrios y l m ) = 80. lul l m ). 10. lul "x". 100 x x 80 rtiqumos : 08. Si : L 1 // L, lul :. 11. S tinn los ángulos y onsutivos y min 0 y 0 rsptivmnt. lul l mi l ángulo qu formn sus istris. 100 L 1 L 1. El ol l omplmnto l mi un ángulo s 10. uánto mi l ángulo? 09. Si : L // L 1, lul "x". x 60 L 1 1. Si un ángulo s l ol su suplmnto, uánto mi l ángulo? 100 L

6 14. L ifrni l mi os ángulos onsutivos y s 80. lul l m ), si : s istriz l ángulo. 19. S tin los ángulos onsutivos ; y, tl qu : m ) = 148 y m ) = 6. lul l mi l ángulo formo por ls istris los ángulos y. 15. uánto mi l ángulo formo por ls istris os ángulos ynts y omplmntrios? 0. S trzn los ryos oplnrs y onsutivos,, y, trminános los ángulos onsutivos,, y qu min 90, 7, 10 y 100. lul l omplmnto. 16. Si l omplmnto un ángulo s l isminuy 10, ést rsult sr l suplmnto l tripl l ángulo. lul l omplmnto l mit l ángulo. rolms propustos 1. Si : L 1 // L, lul "x". 17. S tinn los ángulos onsutivos, y, tl qu los ángulos y son omplmntrios; m ) + m ) = 10. lul l m ). x+ 40 x L 1 L ) 18 ) 16 ) 15 ) 10 ) El ol l mi un ángulo s myor qu otro n 0. Si los ángulos son onjugos intrnos omprnios ntr rts prlls, En uánto s ifrnin ls mis stos ángulos?. Si : L // L 1, lul L 1 10 ) 10 ) 15 ) 5 ) 0 ) 0 L

7 . Si l sxt prt l suplmnto l omplmnto un ángulo s igul 1/ 9 mnos qu su omplmnto, lul l mi l ángulo. ) ) 16 ) 48 ) 4 ) 0 4. Un ángulo mi los / un ángulo rto y otro ángulo los 4/5 un ángulo rto, lul l omplmnto su ifrni. ) 0 ) 78 ) 18 ) 48 ) lul : "x", si : L 1 // L. x x L 1 8. Si : L // L 1, lul "x". x 5 4 ) 154 ) 115 ) 10 ) 144 ) En l gráfio, lul "x", sino : L // L 1. L 1 L x ) 80 ) 18 ) 70 ) 0 ) Si : L // L 1, lul "x". L x 4x x ) 5 ) 0 ) 0 ) 45 ) 7 L 1 L x L 1 L 0. lul "x", si : L 1 // L. x x L 1 L ) 90 ) 70 ) 60 ) 40 ) 0 7. Si : L // L 1, lul "x". ) 18 ) 9 ) 7 ) 0 ) 0 1. Si : L // L 1, lul "x". 6x 10 L 1 x L x L x ) 10 ) 0 ) 5 ) 0 ) 45 ) 15 ) 10 ) 1,5 ) ) 0'

8 . Si : L // L 1, lul : Si : L // L 1, lul l máximo vlor ntro "x", sino l ángulo guo. L 1 L 1 x L x L ) 180 ) 50 ) 480 ) 60 ) 70. Si : L // L 1, lul "x". 4 L 1 ) 18 ) 17 ) 16 ) 15 ) 1 8. os los ryos onsutivos : 1,,,... n, ontnios n un mismo plno, on "n" ángulos onsutivos y l sum ángulos onsutivos s simpr guo. lul l mnor vlor ntro qu pu tnr "n"? x ) 6 ) 7 ) 8 )9 ) ) 4 ) 48 ) 8 ) 98 ) 49 L 9. Si : //, m ) Q m ) Q m ) Q = 100, lul l omplmnto l ángulo Q. y 4. El ol l omplmnto un ángulo sumo on l suplmnto otro ángulo s igul l suplmnto l primr ángulo. lul l sum ls mis ihos ángulos. Q ) 100 ) 45 ) 90 ) 180 ) El ol l omplmnto un ángulo umnto n l tripl l suplmnto l ol iho ángulo nos 480. lul l suplmnto l mi iho ángulo. ) 0 ) 60 ) 10 ) 150 ) L ifrni ls mis os ángulos s 40 y l tripl l suplmnto l ángulo ol l primro s igul l uplo l omplmnto l suplmnto l ángulo tripl l sguno. lul l mi ihos ángulos. ) 60 y 60 ) 0 y 90 ) 45 y 75 ) 70 y 50 ) 40 y 80 ) 0 ) 60 ) 50 ) 70 ) lul "x", sino : L // L 1. x ) 60 ) 75 ) 105 ) 15 ) 140 L 1 L

9 41. lul "x", si : + = 50 y L // L 1. L 1 10 x En l gráfio : 78 y L 1 // L, lul "x". x L 1 L ) 40 ) 50 ) 70 ) 60 ) En l gráfio, l ryo s isriz l ángulo, sino : m ) - m ) = 0. lul m ) - m ). ) 76 ) 78 ) 70 ) 90 ) En l gráfio, lul l mínimo vlor ntro "x". L x ) ) 40 ) 5 ) 10 ) 0 4. En l gráfio, lul l máximo vlor ntro "y". ) 46 ) 48 ) 54 ) 56 ) Si : L 1 // L, lul "x". L 1 x- y y+ x x ) 50 ) 5 ) 41 ) 40 ) 5 L 44. Si : L // L 1 y n //m, lul "x". ) 14 ) 17 ) 150 ) 15 ) 165 4x 54 n L Si : L 1 // L, lul "x". Si : 0. L 1 x 9 ) 0 ) 0 ) ) 5 ) 40 m L x ) 10 ) 0 ) 0 ) 40 ) 50 L

10 49. Si : L 1 // L y 110, lul "x". ) ) 8 ) 6 ) 6 ) 75 x L l gráfio, lul l máximo vlor ntro impr "x", si " " s l mi un ángulo guo. x L ) 5 ) 45 ) 40 ) 0 ) lul l rzón ritméti l máximo y mínimo vlor ntro qu pu tomr "x", si " " s l mi un ángulo guo, n l gráfio L 1 // L. x ) 100 ) 10 ) 10 ) 1 ) l gráfio, lul l vlor " " uno "x" tom su mínimo vlor ntro pr. Si : L 1 // L. x- L 1 L 1 x x x L 8 L ) 90 ) 85 ) 87 ) 88 ) l gráfio, lul l vlor l rzón ritméti ntr x y, uno "x" tom su mínimo vlor ntro. ) 4 ) ) 8 ) 9 ) Sgún l gráfio, lul "x", si : L 1 // L. 44 L 1 5x x-y y+x x ) 8 ) ) 4 ) 5 ) 6 5. Si un ángulo mi 180 s iviio n "n" ángulos onsutivos y ongrunts : 1,,,... n, lul l mi l ángulo qu formn ls istris 5 y 8, sino qu ls istris y n son prpniulrs. ) 44 ) 45 ) 48 ) 5 ) 54 L 11 ) 66 ) 85 ) 77 ) 70 ) lul "x", si : L 1 // L // L y - = 6. L 1 5. Sn :,,, E y EF ángulos onsutivos tls qu : m ) F = 154 y m ) = m ) E = m ) F. lul l m ), si l mi l ángulo formo por l istriz l ángulo y l ryo E s igul 54. x ) 54 ) 7 ) 6 ) 6 ) 5 L L

11 58. Si l suplmnto l omplmnto l mit l myor ángulo qu formn l istriz l ángulo ynt un ángulo " " y l lo no omún s 140, lul " ". ) 10 ) 1 ) 15 ) 0 ) En l gráfio : L 1 // L, L // L 4, L 5 // L 6, lul : x+y. L 60. En l gráfio, lul ( ), uno "x" s máximo. x Sino : x (6 ). ) 0 ) 9 ) 5 ) 6 ) 0 x x L L 5 L 4 L 6 y L ) 170 ) 180 ) 10 ) 5 ) 45

12 lvs lvs

13 pítulo TIÁNGULS finiión : F Elmntos 1. Vértis :,,. Los :, y. Ángulos Intriors : <), <), <) Extriors : <) E, <) F, <) H E H Notión :, T, t. srvions : * S nomin rgión tringulr l runión los puntos intriors on l onjunto puntos sus los. ropis ásis = = 60 1

14 . 5. y x = + y = + z = + x z x 4. x = < < + Líns Notls n l Triángulo 1. in : min. istriz I : istriz intrior L L : istriz xtrior I

15 . ltur H : ltur F : ltur H F 4. itriz L L : mitriz * vin F : vin intrior E : s vin xtrior F E lions ngulrs 1. x 90 x. x 90 x

16 . x x 4. x x H I H : ltur I : istriz

17 Tst prnizj prliminr 01. En l gráfio, l triángulo s quilátro, lul "x". 04. En l gráfio, lul ( ) x 0. En l gráfio, lul "x". 05. En l gráfio, lul "x", si : = Q = QF = F. x-10 Q 10 4x F x 0. En l gráfio, lul "x". 06. En l gráfio, lul "x". 100 x 150 x

18 07. En l gráfio, =, lul " ". 10. lul l m ) En l gráfio mostro, uál los sgmntos s l mnor longitu? rtiqumos : 11. lul l ángulo qu formn ls prpniulrs trzs s l vérti un triángulo ls istris intriors los ángulos y, si : m ) = F 60 E 1. Ls mis los ángulos intrnos un triángulo stán n progrsión ritméti uy rzón s 10. lul l mi ángulo. 09. lul "x". x En un triángulo (m ) >90 ), s s qu : = m y = 5 m. lul l vlor o vlors ntros qu pu optr.

19 14. En un triángulo utángulo, os sus los sumn 0u. lul l myor vlor ntro qu pu tomr l ltur rltiv l trr lo. 19. En un triángulo, l sum ls mis los ángulos y s 105. Si l mi l ángulo x l mi l ángulo n 4. lul l mi l ángulo. 15. Los los un triángulo isósls min 5 u y 1 u. lul su prímtro. 0. En l gráfio, N = N y s istriz l ángulo N. lul l m ). N En un triángulo, m ) = (m ) ), l istriz intrior prolong intrst n "E" l istriz xtrior l ángulo. Si : E = 8u. lul E. 17. En un triángulo, l mi l ángulo formo por l istriz intrior l ángulo, y l istriz xtrior l ángulo s sit vs l mi l ángulo. lul l mi l ángulo. rolms propustos 1. Ls mis los ángulos intrnos un triángulo son proporionls los númros, 4 y 5. lul l mi ángulo. ) 60, 80 y 100 ) 40, 60 y 80 ) 0, 40 y 50 ) 45, 60 y 75 ) 6, 48 y Los ttos un triángulo rtángulo, min : = 16 u, = 0 u, s trz l ltur H y ls istris, y Q los ángulos H y H rsptivmnt. lul Q.. lul l mi l ángulo formo por l ltur y l istriz qu prtn l vérti un triángulo. Sino qu : m ) + (m ) ) = 100. ) 0 ) 0 ) 40 ) 50 ) 60. Los ttos un triángulo rtángulo min = 8 u; = 15 u. S trz l ltur H y ls istris y Q los ángulos H y H rsptivmnt. lul Q. ) u ) 4 u ) 5 u ) 6 u ) u

20 4. En l gráfio, lul "x", si : y son istris los ángulos y rsptivmnt. 0. lul "x". x x 0 ) 10 ) 100 ) 10 ) 70 ) lul l mi los ángulos un triángulo, si: (m ) ) = (m ) ) y (m ) ) = 7(m ) ). ) 15 ) 0 ) 5 ) 0 ) En l gráfio, lul "x". ) 0, 0, 10 ) 45, 0, 105 ) 48,, 100 ) 51, 4, 195 ) 60, 40, 80 x x 6. o l triángulo ; si por l vérti s trz H prpniulr y tmién l istriz xtrior l ángulo y l ifrni ls mis los ángulos y s 6. lul l mi l ángulo qu form l istriz y l prpniulr. ) 110 ) 1 ) 10 ) 77 ) En l triángulo, s l ltur orrsponint l lo y E s l istriz l ángulo, ls uls s ortn n F. Si : m ) = 64 y m ) = 4. lul l mi l ángulo F. ) 17 ) 150 ) 170 ) 1 ) lul "x ". 80 ) 1 ) 18 ) 4 ) 6 ) 60. En un triángulo, m ) = m ), = 4 u. lul l máximo y mínimo vlor ntro qu pu tomr l lo. ) 8 u y 7 u ) 5 u y 4 u ) 5 u y u ) 7u y 6 u ) 5 u y u. Si os los un triángulo son 15 u y 18 u, l trr lo pu sr : ) 1 u ) u ) 1 u ) 5 u ) u 4. El ángulo s igul trs vs l ángulo y l ángulo s myor l ángulo. El myor lo l triángulo s : x ) 140 ) 10 ) 10 ) 110 ) Sor l lo un triángulo, s ui l punto "", tl qu l mi l ángulo s igul l smisum los ángulos intriors y. lul, si más : = 1 u y = 16 u. ) 14 u ) 10 u ) 8 u ) 4 u ) 6 u ) ) ) ) u sr o pnino l form l triángulo. ) No s pu trminr los tos.

21 5. lul " ". 9. En l gráfio, lul l sum ls mis los ángulos sñlos ) 110 ) 110 ) 90 ) 55 ) lul :. 70 ) 405 ) 180 ) 90 ) 450 ) En un triángulo, s trz l vin T, si : = T, =. lul l máximo vlor ntro l m ) T. ) 6 ) 5 ) 0 ) 45 ) En l gráfio, l triángulo s quilátro. lul "x". x ) 70 ) 100 ) 110 ) 140 ) En l triángulo, m ) = 80, m ) = 60. Si : N y son lturs, lul : "x". 70 ) 10 ) 45 ) 6 ) 7 ) 0 4. En l gráfio, =, E y l ángulo E mi 5. lul " ". N x E ) 40 ) 140 ) 10 ) 50 ) lul l númro triángulos slnos qu tinn toos los los ntros y prímtro m. ) 5 ) 6 ) 4 ) 7 ) 8 ) 0' ) 0 0' ) 7 0' ) 0 15' ) 0 5' 4. S l triángulo n l ul s umpl qu : m ) = 64, m ) = 7 y y istris los ángulo y rsptivmnt; ihs istris s intrstn n l punto I (inntro). más, s trz l ltur H. lul l mi los ángulos I y H. ) 11 y 16 ) 10 y 1 ) 11 y 14 ) 110 y 1 ) 11 y 14

22 44. En l gráfio, H s ltur l triángulo y s istriz l ángulo. lul "x". 48. En l gráfio, lul "x". x x H x ) ) ) / ) / ) / 45. En l gráfio, lul l máximo vlor ntro. Si : x + y + z > 00. ) 60 ) 45 ) 6 ) 7 ) En l gráfio, lul "x". Si : 50. x y z ) ) ) 4 ) 5 ) En l gráfio, ls mis los ángulos intriors l triángulo stán s n gros sxgsimls. lul l mnor vlor ntro (n gros sxgsimls) qu pu tomr "". x ) 6 ) 66 ) 6 ) 64 ) En l gráfio : x+y+z = 40 y ++ = 170. lul :. - x + - ) 45 ) 46 ) 40 ) 5 ) lul "x". x 4x y ) 60 ) 80 ) 100 ) 140 ) L istriz uno los ángulos un triángulo slno, form on l lo opusto os ángulos qu son ntr sí omo 7 s 1. lul l mnor los ángulos l triángulo sumino qu l mi qu l mi n gros uno los trs ángulos s un númro ntro mnor qu 80. ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 z ) 18 ) 0 ) ) 5 ) 0

23 5. lul "x", si ; = N. 56. En l gráfio, lul "x", =, EF = F. F x N 80 x E ) 40 ) 60 ) 80 ) 90 ) En l gráfio, lul "x ". ) 0 ) 15 ) 0 ) 18 ) En l gráfio : = u y - = u. lul Q. x Q ) 45 ) 60 ) 0 ) 90 ) En l gráfio, lul "x". 40 ) 115 ) 15 ) 15 ) 14 ) o un triángulo quilátro, s ui l punto xtrior l triángulo, tl qu l sgmnto intrst l lo. Si m ) > 90, = 8u y = 15u. lul l mnor prímtro ntro l triángulo. ) 5 u ) 4 u ) u ) 46 u ) 48 u x ) 6 u ) 5 u ) 4 u ) u ) 7 u 58. En un triángulo, s trz l istriz intrior, si : m ) =, m ) y l mi l ángulo xtrior l ángulo s " ", on : = 8u, =u. lul. ) 10 u ) 11 u ) 1 u ) 1 u ) 14 u 59. En un triángulo s trz l vin, si : =. m ) = 10, m ) =. m ) =. lul " ". ) 5 ) 8 ) 9 ) 10 ) En un triángulo, s trz l vin T, si : = T y m ) = 60 - x ; m ) T = x, m ) = x. lul l m ) T. ) 5 ) 8 ) 10 ) 1 ) 15

24 lvs lvs

25 pítulo NGUENI E TIÁNGULS finiión : ropi l istriz os sgmntos, os ángulos o os figurs gométris n gnrl, srán ongrunts si tin l mism form y l mismo tmño. r l ongruni os triángulos, s postuln los siguints sos : F ostulo (LL) E H ostulo (L) EF F ropi l itriz EH H ostulo (LLL) = ostulo (LL) El s isósls. Torm l s i N : s mi N // N N

26 Torm l no r in n l Triángulo tángulo * 45 y 45 * 7 y En l Triángulo Isósls 5 5k * k Si : = 4k 7 H = EF + EG * 5 F H G n * E n 5/ Si : = * 7 Q H = Q - S l H l 7/ * 15 y 75 S TIÁNGULS NTLES h h 4 * 0 y * 0 y 75 0 h h 75 0

27 Tst prnizj prliminr 01. En l gráfio, lul, si : = 15 u. 04. En l gráfio, lul "x". = x 0. En l gráfio, lul "x". 05. En l gráfio, s mitriz. lul. Si : = 8 m. 10 u 7 x En l gráfio, E = 1u. lul. 06. En un triángulo, s uin los puntos mios y N y rsptivmnt. El sgmnto qu un los puntos mios y N mi u. lul. E 0 15

28 07. En l gráfio, lul QN, si : = 10 u y Q = 4u, =, N = N. 10. En l gráfio, lul Q, si : = 6 u y = 8 u, Q = Q. Q N Q 08. En l gráfio, lul H, si : H = 6 u. ( = ) y ( = ). rtiqumos : 11. En l gráfio : = 16 m. lul. ( = ). H lul "x". x 1. En l gráfio : =, = 1 u, lul. 5 u 5 u 6 u 45

29 1. En l gráfio, lul : "x", si los triángulos y son quilátros. 16. En un triángulo, l mi l ) s igul 18. Ls mitris y ortn n los puntos y S, rsptivmnt. Lugo, l sum ls mis los ángulos y S s : x 17. En l gráfio, =. lul "x". x En l gráfio, lul l prímtro l triángulo En l gráfio, lul "x". = y =. Q x 18 u 15. En l gráfio, lul N, si : H = 5 u, H = 1 u. N 19. En l gráfio : H = u y H = 8 u. lul. H H

30 0. En l gráfio, y N son istris xtriors l y, = 6 u, = 1 u, = 16 u. lul N.. En l gráfio, = 18 u, = 6 u y "" s l punto mio. lul Q. N Q ) 10 u ) 1 u ) 1 u ) 14 u ) 15 u 4. En l gráfio, lul, si : H = 6 u. H rolms propustos os 1. lul, si : = 8 u. ) 9 u ) 1 u ) 15 u ) 18 u ) 4 u 5. En l gráfio, =. lul Q, si : Q = 8 u; = u. ) 8 u ) 4 u ) 16 u ) u ) 1 u. En l gráfio, =. lul. ) 4 u ) 8 u ) u ) 6 u ) 1 u 6. En l gráfio, lul l m ). Si : =. Q 45 ) 10 ) 1 ) 5 ) 15 ) ) 7 ) 5 ) 45 ) 60 ) 90

31 7. S un triángulo slno. L mitriz ort n "F" y s umpl qu: = F = F. lul l m ). ) 5 ) 15 ) 0 ) 7 ) En l gráfio, lul "x", si : =. x. En l gráfio, lul "x", si : =. x ) 10 ) 1 ) 15 ) 0 ) 0. En l gráfio, lul "x", si : = +. x ) 0 ) 5 ) 0 ) 45 ) 7 9. En l gráfio, lul " " x x ) 10 ) 1 ) 15 ) 18 ) 6 4. En un triángulo s trz l vin, tl qu : y stá n l lo. más : m ) = 60 y m ) = 0. lul l m ). ) 15 ) 0 ) 5 ) 0' ) 0 ) 9 ) 10 ) 15 ),5 ) 0 0. S ui un punto n l intrior un triángulo, tl qu : = =, si : m ) = 0, m ) = 10. lul l m ). ) 0 ) 40 ) 0 ) 10 ) En l gráfio, lul : "x", si : =. 5. En l gráfio, lul E. Si : = 6 u y E = 4 u. =. ) 61 u ) 6 u ) 64 u ) 66 u ) 60 u E x x En l gráfio, T = 5 u, = 10 u. Si : =. lul T. ) 15 ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 L T

32 ) 11 u ) 1 u ) 1 u ) 14 u ) 15 u 7. En l gráfio mostro, =. lul : "x". 41. En l gráfio, lul : "x". Si : =. x x x 90+x x ) 9 ) 1 ) 18 0' ) 14 ) 1 0' ) 0' ) 0 0' ) 18 0' ) 18 0' ) 0 18' 4. En l gráfio mostro : E = 18 u, F = 4 u, G = 16 u. lul N, si : y N puntos mios EF y G, rsptivmnt. 8. En l gráfio, lul : " ". = Q y Q = Q. 6 Q ) 10 ) 18 ) 0 ) 0 ) En l gráfio, s un triángulo isósls ( = ). Q // ; E = u; F = 5u y NQ = 7 u. lul Q. E N G F 5 ) 16 u ) 15 u ) 1 u ) 17 u ) 18 u 4. En l gráfio, lul "x". Si : = = y =. E ) 1 u ) 1 u ) 14 u ) 15 u ) 16 u F N Q x x ) 5 ) 10 ) 1 ) 15 ) En l gráfio, lul "x", si : =. 40. En l gráfio mostro, =. lul "x". x 90-x x 0 x x ) 8 ) 10 ) 1 ) 15 ) 18 ) 0 ) 10 ) 15 ) 18 ) 0

33 45. En l gráfio, lul "x". Si : = y =. 49. En l gráfio mostro, =. lul " ". x 90-4 ) 90 ) 60 ) 45 ) 10 ) En l gráfio, lul " ". ) 10 ) 1 ) 15 ) 0 ) En un triángulo, s trz l vin F, si : = F, m ) = 0, m ) F = 45. lul m ). ) 1 ) 15 ) 0 ) 0 ) 0' ) 8 ) 10 ) 15 ) 18 ) En l gráfio mostro, lul "x" En l gráfio, lul " ". 0 x 5 10 ) 5 ) 8 ) 10 ) 1 ) En l gráfio, lul "x", si : =. 6x ) 9 ) 1 ) 10 ) 15 ) En l gráfio, lul "x", si : =. x x x ) 10 ) 1 ) 0 ) 15 ) En l gráfio, lul "x", si : =. 0 x ) 9 ) 10 ) 1 ) 15 ) 18 0+x 0 ) 1 ) 15 ) 10 ) 18 ) 0

34 54. En l gráfio : =, lul " ". 58. lul "x", n funión : " ". Si : =. x 0 ) 10 ) 1 ) 15 ) 18 ) En l gráfio, lul "x", si : =. x 60+x ) 10 ) 15 ) 0 ) 45 / ) 15 / 56. En l gráfio, lul "x". Si : Q = Q =. x ) ) ) 15 ) 0 ) En l gráfio, lul "x", si : =. 48 x 18 ) 10 ) 1 ) 15 ) 18 ) En l gráfio, lul : "x", si : =. x x Q x 0 ) 5 ) 6 ) 9 ) 10 ) 1 1 ) 10 ) 15 ) 18 ) 0 ) 0' 57. Si :, N y puntos mios, y rsptivmnt. lul "x", si más : E = u y = 4u. x E N ) 0 ) 5 ) 1 ) 6 ) 7

35 lvs lvs

36

37 pítulo 4 LÍGNS finiión : Sn 1,,,... n un susión "n" puntos istintos un plno on n. Los sgmntos 1,, 4,... n 1 n, n 1 ; son tls qu ningún pr sgmntos on un xtrmo omún sn olinls y no xist un pr sgmntos qu s intrstn n puntos istintos sus xtrmos. Entons, l runión los "n" sgmntos s nomin olígono. * tógono 8 " * Enágono 9 " o nonágono * ágono 10 " * Enágono 11 " * oágono 1 " * ntágono 15 " * Ioságono 0 ". or sus los y ángulos * olígono onvxo 4 1 n 5 6 * olígono no onvxo Elmntos : 1. Vértis : 1,,,.... Los : 1,,.... Ángulos : * Intrnos : ) 1, ),... * Extrnos :, igonl : 5, 4 6,... * olígono Equilátro Los olígonos s lsifin n : 1. or l númro los : * olígono Equiángulo * Triángulo los * urilátro 4 " * ntágono 5 " * Exágono 6 " (o hxágono) * Hptágono 7 "

38 * olígono gulr IV. En too polígono onvxo, l sum ls mis los ángulos xtnos s 60. G H F I E J * olígono Irrgulr Sx = 60 V. En l polígono quiángulo. IEES i i i I. áximo númro igonls trzs s 1 vérti. i i m ) Extrior 60 n (n-) igonls m ) Intrior 180 (n n ) VI. En l polígono rgulr. II. Númro totl igonls. i i N n(n ) i i : mi l ángulo ntrl. III. En los polígonos onvxos, l sum ls mis los ángulos intrnos s : S = S n i 180 (n ) n S i 180 (n )

39 Tst prnizj prliminr 01. En l otógono rgulr, lul " ". 04. En l polígono mostro : = = = E =,, E. lul l prímtro l polígono mostro. E 0. lul l sum ls mis los ángulos intriors n l gráfio. 05. El gráfio mustr un polígono rgulr. lul : x - y. x y 0. E s un polígono rgulr. lul "x". x E 06. En un polígono, l sum ls mis sus ángulos intrnos s 540, l númro los iho polígono s :

40 07. En un polígono, l ifrni l sum los ángulos intrnos y l sum ángulos xtrnos s igul 70. lul l númro igonls iho polígono. rtiqumos : 11. lul l númro los un polígono onvxo, si s utro vértis onsutivos s pu trzr 45 igonls. 08. En un polígono quiángulo, l rlión ntr ls mis un ángulo intrior y otro xtrior s omo 5 1. lul l númro igonls l polígono. 1. En un hxágono EF : = 4u, = u, = 6u, E = 5u. lul l prímtro l hxágono quiángulo mniono. 09. L mi l ángulo intrior un polígono rgulr s igul l mi su ángulo ntrl. El polígono s un : 1. S tin un otógono quiángulo EFGH n l ul : = m; = m; = m. lul. 10. En l gráfio, s prsnt prt un polígono rgulr "n" los. lul "n". 164 E 14. lo un polígono rgulr mi 6 m y l prímtro quivl l númro qu xprs l totl igonls n m. lul l mi un ángulo ntrl. F G 15. s 7 vértis onsutivos un polígono s hn trzo 55 igonls. lul l númro igonls totls l polígono.

41 16. En un hxágono onvxo EF : m ) = 140, m ) E = 150, m ) + m ) = 0. lul l mi l ángulo qu formn ls rts y FE l intrstrs. rolms propustos 1. lul l sum ls mis los ángulos intrnos un polígono, sino qu si s umnt n trs l númro los, l númro igonls umnt n 7. ) 160 ) 160 ) 1560 ) 1460 ) En un polígono quiángulo EF... ls istris los ángulos y EF son prpniulrs. lul l númro igonls iho polígono.. En un polígono rgulr l ifrni un ángulo intrno y un ángulo xtrno stá omprni ntr 0 y 40. lul l númro los iho polígono. ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 10. S tin un otágono rgulr -EFGH. lul l mi l ángulo formo por ls igonls E y H. 18. Si un polígono s l inrmnt l númro los n, ángulo intrno umnt n 15. El polígono s : ) 0 ) 45 ) 60 ) 90 ) Si un polígono rgulr tin "n" los y s sumn l vlor l sum sus ángulos intrnos, xtrnos y ntrls s otin (00n). lul l númro igonls qu tin iho polígono. ) 119 ) 15 ) 104 ) 15 ) Si l númro los un polígono rgulr umnt n 10, su ángulo intrior umnt n. lul l númro los l polígono originl. 5. Los ángulos intrnos, y un polígono onvxo min 170, 160 y 150 rsptivmnt. lul l mi l mnor ángulo formo por los los y E. ) 50 ) 60 ) 70 ) 80 ) E s un pntágono rgulr y Q s un uro intrior l pntágono. lul l m ). 0. En un polígono rgulr, s umpl qu l sum ls mis un ángulo ntrl, un ángulo xtrior y un ángulo intrior s 10. lul l númro totl igonls. ) 6 ) 8 ) 9 ) 10 ) 1 7. lulr l númro los un polígono quiángulo EF..., si ls mitris y EF formn un ángulo uy mi s 6. ) 10 ) 0 ) 0 ) 40 ) lul l númro los l polígono rgulr uyo ángulo intrno s (p+15) vs l ángulo xtrior, y más s s qu l númro igonls s 15p. ) 80 ) 85 ) 90 ) 95 ) 100

42 9. s ls siguints proposiions : I. ángulo intrior un hxágono rgulr mi 10. II. III. En l ágono, s pun trzr 6 igonls. El polígono rgulr uyos ángulos xtriors min 6 s un ágono. Son vrrs : ) Sólo I y III ) Sólo II ) Sólo I y II ) Sólo III ) Sólo II y III 0. lul l númro igonls qu s pu trzr n un polígono rgulr vértis 1,,,... n, sino qu ls mitris 1 y 4 formn un ángulo qu mi 0. ) 189 ) 0 ) 170 ) 75 ) 5 6. Si un polígono s l umnt los, l númro igonls umnt n 15. lul l mit l mi l ángulo xtrno iho polígono. ) 45 ) 60 ) 40 ) 10 ) En irto sistm mi, l sum ls mis los ángulos intrnos un triángulo 4 K. lul l sum ls mis los ángulos intrnos n un ágono onvxo. ) 6 K ) 5 K ) 7 K ) 10 K ) 8 K 8. En l gráfio E y FE son rgulrs, G = 10u. lul l istni G. 1. os númros onsutivos, rprsntn los númros vértis os polígonos onvxos. Si l ifrni los númros igonls totls s. El polígono myor s : G F ) Ioságono ) Nonágono ) ntágono ) Eptágono ) Enágono. S tin un polígono rgulr uyo smiprímtro s "p" y l númro qu xprs su númro igonls s igul l prímtro. más su ángulo intrior s "p" vs su ángulo xtrior. lul l longitu l lo l polígono rgulr. ) 1/ ) 1/5 1/4 ) 1 ) 1/. El polígono, n l qu su númro los s igul su númro igonls s : ) ntágono ) Hxágono ) oágono ) Nonágono ) tógono 4. Si l sum ls mis los ángulos intrnos os polígonos onvxos ifirn n 70 y sus ángulos ntrls ifirn n 7,5. Inir si l oint myor qu l uni los los los os polígonos onvxos s igul : ) 1,5 ) 1, ) 1,1 ) 1,4 ) 1, 5. Si un polígono s l umnt un lo, su númro igonls umnt n 6. Si s l isminuy un lo, l númro igonls isminuy n : ) 6 ) ) 5 ) ) 4 ) u ) 4 u ) 8 u ) 6 u ) 5 u 9. S insri un rtángulo n un uro, tl qu sus los sn prllos ls igonls l uro. lul l rlión ntr los prímtros l uro y l rtángulo. ) ) ) ) ) lul l númro los un polígono quiángulo EF...; si ls mitris y EF formn un ángulo 6. ) 15 ) 10 ) 0 ) 40 ) 10 ó En un polígono quiángulo s (n-7) los onsutivos s pun trzr (n-1) igonls mis. lul l mi un ángulo intrior. ) 10 ) 1 ) 14 ) 15 ) lul l númro polígonos quiángulos onvxos xistn moo qu l mi su ángulo intrno n gros sxgsimls stá rprsnto por un númro ntro. ) 4 ) ) 18 ) 0 ) 1 E

43 4. En un polígono onvxo "n" los. lul l sum ls mis los ángulos formos l prolongr los los l polígono. ) 180 n ) 60 n ) 90 (n-) ) 180 (n-4) ) 60 (n-) 44. El mnor ángulo un polígono mi 19, y ls mis los otros ángulos formn, on l l primro, un progrsión ritméti rzón. lul l númro los l polígono. 50. En irto polígono onvxo, l mnor ángulo intrno mi 15 y los más ángulos intrnos stán n progrsión ritméti rzón. lul l númro los. ) 1 ) 1 ) 14 ) 15 ) En l nonágono rgulr... HI, ls igonls y F min "" y "" unis rsptivmnt. lul l istni l vérti E, l igonl H. ) 10 ) 9 ) 1 ) 15 ) lul l myor númro los un polígono quilátro EF... ; si ls mitris y EF formn un ángulo uy mi s 6. ) ) ) - ) ) ) 10 ) 1 ) 0 ) 14 ) En un polígono onvxo "n" los, s (n-4) vértis onsutivos s trzn (4n+) igonls. lul l sum ls mis los ángulos intriors l polígono. ) 1040 ) 1140 ) 140 ) 140 ) En un hxágono rgulr EF, uyo prímtro s igul 7u, s trz l istriz intrior F n l triángulo F y sor F s tom l punto Q, tl qu: F = FQ y Q F = {}. lul Q. ) 4 u ) 8 u ) 10 u ) 1 u ) 16 u 48. lul "x", si E s un pntágono rgulr. (E = ). 5. Ls mis los ángulos intriors un trpzoi formn un progrsión ritméti. Si l mi l urto ángulo s nuv vs l l sguno, lul l mi l trr ángulo intrior. ) 81 ) 54 ) 71 ) 7 ) s un urilátro on l ángulo s rto, m ) = m ) = 60 y - = 6 u. lul. ) 6 u ) 6 u ) u ) u ) u 54. l isminuir n 6 l mi ángulo intrno un polígono rgulr, rsult otro polígono rgulr uyo númro igonls s los /5 l númro igonls l polígono originl. lul l númro los l polígono originl. ) 9 ) 10 ) 1 ) 15 ) En un pntágono E : m ) = m ) = 90 y los ángulos rstnts ongrunts. lul l istni l vérti l lo E, si : = 4 m y = 10 m, = 4 m. E x ) m ) 7 m ) 6 m ) 8 m ) 5 m ) 4 ) 45 ) 48 ) 54 ) uno los vértis un polígono onvxo, s pu trzr (x - ) igonls, ntons l sum ls mis sus ángulos intriors quivl... ángulos rtos. ) x ) x - 4 ) x + 4 ) x + 8 ) x 56. En un pntágono onvxo E : = y = E ( > ); si : = K y m ) = m ) = 90. lul l istni l punto mio E. ) K ) K ) ) K ) K K

44 57. o l polígono quiángulo QST... tl qu ls prolongions Q y TS s ortn n. Si l ángulo S s guo, lul l máximo númro los l polígono. ) 1 ) 1 ) 14 ) 10 ) Los los un polígono rgulr "n" los, n > 4, s prolongn pr formr un strll. El númro gros n vérti l strll, s : 59. El númro igonls un polígono onvxo x n 16 l ifrni ntr l númro ángulos rtos qu quivl l sum sus ángulos intriors y l númro vértis l polígono. El polígono s : ) tógono. ) ágono. ) ntágono. ) Exágono. ) N Si l mi ángulo intrior un polígono rgulr "n" los s isminuy n 5, su númro igonls isminuy n (5n-). lul "n". ) ) ) 60 n (n 180 n )180 n ) (n ) 180 4)180 n 90 n ) 18 ) 4 ) 0 ) 6 ) 4

45 lvs lvs

46 pítulo 5 UILÁTES finiión : Son qulls figurs trmins l trzr utro rts snts y oplnrs, qu s intrstn os os. Los sgmntos qu s trminn son sus los y los puntos intrsión son sus vértis. onvxo x No onvxo +++ = 60 x = + + lsifiió n I. Trpzois Trpzoi simétrio Trpzoi Simétrio II. Trpios // ss T. Eslno T. Isósls T. tángulo

47 III. rllogrm os // // = 90 omoi omo tángulo uro ropis ásis I. En l Trpio * * N N : s mi N // ss N = + Q Q // ss Q = - II. En l rllogrmo * = = * m n + = n+m

48 III. En too urilátro Q S QS s un prllogrmo

49 Tst prnizj prliminr 01. En l prolongión l lo un rtángulo, s ui l punto E, tl qu : m ) = m ) E, = 4 u y E = u. lul E. 04. lul " " n l gráfio, si : s un uro y "" y "N" son puntos mios. N 0. En l gráfio, lul l m ) E, si : s un uro y F = (F). E F 05. En un uro, s prolong hst "". Lugo s trz l prpniulr Q hi qu ort n. lul l m ). 06. Ls igonls un romo min 0 m y 48 m. lul l prímtro l romo. 0. En l gráfio, lul "x", si s un uro. 07. l gráfio, lul "x". x x x x x

50 08. En l gráfio, si : s un romoi, lul F, sino qu : = 7 u y = 5 u. F rtiqumos : 11. En los los y l uro, s uin los puntos y, rsptivmnt, tl qu : = y m ) = 90. lul l m ). 1. En l gráfio, si : s un prllogrmo, Q = 1u, EF = 17 u. lul : EL. L 09. En l gráfio, si : s un romoi, = 8 u; = 5u. lul N. E Q F N 1. En l gráfio un trpio ( // ). lul l m ). 10. En l gráfio, s mustrn los uros, y. lul: 4u rímtro + rímtro rímtro 8u 6u 14u 14. Ls igonls un trpio min 1 m y 18 m. lul l máximo vlor ntro qu pu tomr l longitu l min iho trpio.

51 15. En un trpio rtángulo. m ) = m ) = 90, m ) = 75 ; = (). lul l mi l ángulo. 0. L sum ls longitus ls igonls un trpzoi s 0. lul l prímtro l urilátro qu rsult l unir onsutivmnt los puntos mios los los l trpzoi. 16. Los los, y un trpio son igul longitu. Si s prll y tin l ol l longitu, l igonl mi : 17. En l gráfio, si : // y, s un trpio isósls. lul :, E = 5 m. rolms propustos 1. En l gráfio s mustr un trpio, ss y, s trzn ls istris los ángulos y qu s ortn n, y ls istris los ángulos y qu s ortn n S. lul S, si : = 4 u, = 1 u, = 7 u y = 9 u. E 0 0 ) 0 ) 8 u ) 19/ u ) 1/ u ) / u. En un urilátro onvxo, l ángulo m ) = 9 y m ) = 4. lul l mi l ángulo formo por ls istris los ángulos y. 18. En un trpio, l sum ntr l min y l sgmnto qu un los puntos mios ls igonls s m. lul l longitu l s myor. ) 6 0' ) 7 0' ) 7 55' ) 9 00' ) 1 00'. En l gráfio, los los y son prllos. Si : = 5 u y = 1 u, lul :. 19. Ls igonls un trpio son prpniulrs y min 6u y 8u. lul l longitu l min. ) 15 u ) 16 u ) 18 u ) 17 u ) 10 u

52 4. En l gráfio : = y =. lul "x". x ) 5 ) 0 ) 60 ) 45 ) 7 5. En l gráfio, lul " ". Si : L = L = N. L ) 1 m ) 1,5 m ) m ) m ) 4 m 8. En un trpio, l s mnor s igul l ltur H ; si : m ) = 15 y l ) = 150. lul l prímtro l trpio, si : = H = 0 m. ) 195,90 m ) 00 m ) 18,90 m ) 16,90 m ) 170,500 m 9. En l gráfio, s mustr un romoi. Si ls istnis, y l rt son,4m;,6m; 7,9m, rsptivmnt, lul l istni l rt L. L 45- N ) 0 ) 10 ) 1 ) 0 ) En l gráfio, lul " ", si s un romo. H = 1 u, y ist u. H ) 6 0' ) 15 ) 18 ) 0 ) En gráfio mostro, N s un trpio, si : S punto mio U y S // QU. Sino : QU = 1 m, lul T. ) 1 m ) 1,5 m ) 1,9 m ) m ),5 m 0. o un uro, l unir los puntos mios sus los s otin otro uro. Si s ftú st proiminto utro vs más s tnrá un uro. lul l rzón ntr ls longitus los los l uro iniil y l último qu s otuvo. ) ) 4 ) ) 5 ) 1. En l gráfio, s un prllogrmo y X = Y. Si l prímtro l triángulo E s : +, l prímtro l triángulo X s : -, y l prímtro l triángulo FY s p. lul : F p 6. X N E S T U Q Y ) ) ) ) ) 9 9

53 . El gráfio 1 s un uro lo 4m, tomno los puntos mios los los y s onstruy l gráfio. En l sguno pso, tomno los puntos mios los sgmntos 1, 1Q1, Q11 y 1 s onstruy l gráfio. Si s ftú st proiminto 10 vs, lul l longitu l "slr" qu s otin. 1 Q En l gráfio, Q = 1 u y Q 8 u, lul : S + S. S 10 Q fig. 1 fig. ) 60 u ) 6 u ) 64 u ) 65 u ) 66 u 6. En l gráfio, s un trpio // ; F = 18 m y F = 1 m. lul EF. fig. ) 4 m ) 10 m ) 40 m E F ) 4 10 m ) 8 m. En l gráfio mostro, s tin un rtángulo, n l ul : = (), y on : m ) = m ). Si : N y Q s intrstn n, moo qu : = m, Q = 4 m y = 5 m, lul N. ) 8 m ) 10 m ) 7 m ) 9 m ) 6 m Q 4. En l gráfio : s un uro, y = 0. lul : " ". ) 10 ) 105 ) 115 ) 100 ) 110 N ) 6 m ) 4 m ) 10 m ) 8 m ) 5 m 7. En un trpio, l s myor s. l trzrs ls istris l ángulo y l ángulo xtrior, intrstn l s y su prolongión n y Q rsptivmnt. Si : + = 4 m y + = 0 m, lul l longitu l sgmnto qu un los puntos mios y Q. ) 1 m ) m ) m ) 4 m ) 5 m 8. S tin un prllogrmo. S onstruyn xtriormnt los triángulos quilátros y N. or s trz l prpniulr H N, lul l mi l ángulo H, si l ángulo N mi 46. ) 16 ) 14 ) 18 ) 11 ) 0 9. En un trpio ( // ). Si : = 8m; = 6m; = 10m y = 18m; ls istris los ángulos y s intrstn n l punto y ls istris los ángulos y s intrstn n l punto N. lul N. ) 4 m ) 5 m ) 6 m ) 4,5 m ) 5,5 m

54 40. ls siguints proposiions, ls vrrs (V) o flss (F) son : I. Si l trpio tin sus igonls ongrunts; ntons, s nsrimnt insriptil un irunfrni. II. En un trpio slno, un igonl pu sr tmién ltur. III. Si un polígono quiángulo stá srito n un irunfrni s nsrimnt un polígono rgulr. ) VVF ) FVF ) VFV ) FFF ) VVV 41. En un romoi, on <, s trzn ls istris intriors sus utro ángulos. ihs istris l intrstrs, formn un : ) omo. ) uro. ) tángulo. ) Trpio. ) tros urilátros. 4. En un romo, s punto mio y l igonl ort n punto. Si : = 5u y m ) = 5, lul. ) 18 u ) 5 u ) 0 u ) 6 u ) 40 u 4. En l rtángulo l figur, l longitu los sgmntos y F son rsptivmnt m y 4 m. Si los sgmntos E y E son iguls, lul l prímtro l rtángulo. F 45. En un uro, sor l rt, s uin los puntos y Q, tl qu :,, y Q stán n s orn. lul l mi l ángulo formo ntr y Q, sino l punto mio punto mio Q y m ) Q = 90. ) 75 ) 60 ) 6,5 ) 5,5 ) 67,5 46. En un urilátro : m ) = m ) = 90, m ) = 45, lugo s trzn, Q. lul, si : = 4 m, Q = 0 m. ) 16 m ) 4 m ) 0 m ) 40 m ) 50 m 47. Es un uro, por s trz un rt qu intrs n N. Si l proyión ortogonl y sor ih rt son los puntos y Q rsptivmnt, lul l rzón ntr Q y l istni l ntro l uro ih rt. ) 1 ) 1/ ) ) ) 48. En un trpio isósls ( // y <); s onstruyn xtriormnt los triángulos quilátros E y F; más: E y F s intrstn n. lu, si: = u; E = 4u y F = 5u. ) 1 u ),5 u ) u ),5 u ) 4 u 49. En l gráfio, los puntos, N y son puntos mios los los, y. Si : ' + ' + NN' = 5 u, lul : '. ) 48 ) 0 ) 6 ) 4 ) En un trpio rtángulo, rto n y ; l s mnor mi 4 y l min E l trpio mi 6 ( n ) s ui sor l punto, tl qu : = y m ) = 90. lul. ) 1 ) 1,5 ) ),5 ) E ' ) 0 u ) u ) u ) 4 u ) 5 u ' ' N N'

55 50. En un prllogrmo, s tin qu (<) y = 6u. S onstruy xtriormnt l triángulo quilátro ; n uyo intrior s ui l punto F, tl qu l triángulo F s quilátro. lul l longitu l sgmnto qu un los puntos mios F y. ) u ) u ) u ) 6 u ) 6 u 51. o un uro ; s ui punto mio y s trz N (N ). lul : N/Q; si : Q s l intrsión N on. ) 1 ) ) ) 5 ) 4 5. En un trpio N ( N // ) ; N = 4u, = 6u, m ) = 0 y m ) = 10. lul N. ) 10 u ) 1 u ) 14 u ) 7 u ) 9 u 5. En un trpzoi N : m ) = m ) = 90. S trzn N y L prpniulrs. Si L - N = (). lul l m ). ) 10 ) 1 ) 18,5 ),5 ) En l lo un uro, s ui l punto, tl qu : m ) = 75. lul l m ) Q, sino Q punto mio. ) 5 ) 45 ) 75 ) 60 ) En un trpio ( // ) ; s s qu : - = () y m ) = 4m ). lul l m ). ) 160 ) 17 ) 14 ) 150 ) En l gráfio, s un rtángulo. ( : intrsión ls igonls). FE : s un uro. Si : =. lul EL. ) ) ) ) 4 E L ) 58. En l gráfio, y EF son un prllogrmo y un uro, u, E = 1u. ( : intrsión ls igonls l prllogrmo). lul l m ) F. 45 F E ) 5 / ) 60 ) 7 ) 0 ) 7 / 59. S tin un prllogrmo, por s trz l prpniulr, l ul intrst n E l prolongión. Si: = 8 u y m ) = (m ) E), lul E. ) 16 u ) 8 u ) u ) 4 u ) u 60. l gráfio mostro, s un uro. Si : H = u, N = u y N = 11u. lul "x". F 56. En un prllogrmo, s ui l punto "F" n, moo qu : m ) F = m ) F; F =. lul l longitu l sgmnto qu tin por xtrmos los puntos mios F y F, si : F = 1u. ) 4 u ) 8 u ) 9 u ) 1 u ) 6 u x ) 16 ) 0 ) 7 / ) 6 0' ) 15 H N

56 lvs lvs

57 pítulo 6 IUNFEENI finiión : Es l lugr gométrio toos los puntos l plno qu quiistn otro punto su plno nomino ntro. L istni mnion ri l nomr rio. o siions rltivs o s irunfrnis oplnrs * irunfrnis Extriors Elmntos l irunfrni E Q F > + r L 1 * irunfrnis Tngnts Extriors * ntro : * io : * iámtro : * ur : EF * ro : E * Flh o sgit : Q * Snt : L1 * Tngnt : L T * unto Tngni : T * rímtro : L = Longitu l irunfrni. r rio phi L = r L r L =, r = + r * irunfrnis Snts r - r < < + r * irunfrnis rtogonls r r

58 * irunfrnis Tngnts Intrio rs ropis Funmntls 1. r r < - r * irunfrnis Intrio rs * punto tngni * L r L. r < - r * irunfrnis onéntris = r. Si : = ro 4. r Est rgión s nomin oron o nillo irulr. E F srvión : "" istni ntr los ntros. Si : EF // E F

59 5. Torm Stinr Si : 6. - = - S Q * Q y F puntos tngni p smi-prímtro l triángulo. E T F p Q F p EF y ST Q Q Torm onlt p F r r : inrio + = + r Torm itot r + = + * Est torm s válio pr too polígono irunsrito uyo númro los s un númro pr.

60 Tst prnizj prliminr 01. En l gráfio, lul, si : y son puntos tngni. 04. lul "x", si "T" s punto tngni. = = = 1 u. x +x T x+6 x 0. En l gráfio : = 7 m, = 7,5 m y = 4 m. lul. 05. lul l prímtro l triángulo. 10u r 4u 1u 0. En l trpio isósls : = = 8 m. lul l longitu l min l trpio. ( // ). 06. lul "x", si "" s ntro. (T : punto tngni). T 4x x

61 07. L istni ntr los ntros os irunfrnis oplnrs s 5 m. Si sus rios min,5 m y 1,5 m, ls irunfrnis son : rtiqumos : 11. Un irunfrni stá insrit n un trpio isósls ( // ). Si : = 1 m. lul l longitu l min iho trpio. 08. Si : = E. lul : " ". E 1. En qué rlión stán ls longitus los rios ls irunfrnis insrit y irunsrit un triángulo quilátro? 09. o l romoi on: m ) =64, los ntros ls irunfrnis insrits los triángulos y son y 1 rsptivmnt. lul l m< En un irunfrni ntro "", s ui l ur 80 u longitu. Si l rio l irunfrni mi 41 u, lul l istni "" hi l ur. 10. Sino :, Q y T puntos tngni. lul "x". 14. En l gráfio, lul : x. ( y T son puntos tngni). Q x T 1 x T

62 15. En un triángulo, s s qu : = 8 u, = 10 u y = 1 u, l irunfrni insrit trmin sor l punto "". lul. 16. El punto tngni l irunfrni insrit n un trpio rtángulo ivi l myor los los no prllos n sgmntos qu min 1 u y 9 u. lul l longitu l min l trpio. 19. rr vrro (V) o flso (F), n ls siguints proposiions : I. L rt qu ontin los ntros os irunfrnis snts s prpniulr l rt qu ontin los puntos omuns ls os irunfrnis. II. El ángulo ntrl un irunfrni mi 0 (ro gros). III. L mitriz to ur ontin l ntro l írulo. IV. Ángulo insrito s qul uyo vérti stá sor l irunfrni. 17. En un triángulo utángulo, l irunfrnin insrit s tngnt n N y l irunfrni x- insrit rltiv s tngnt l prolongión n. ul. Si : N =,5 u y = 4,5 u. 0. Ls longitus os irunfrnis oplnrs stán n rlión 7 y su sum s igul 0. Si l istni ntr sus ntros s os vs l ifrni ls longitus sus rios, pomos ir qu ls irunfrnis son : rolms propustos 18. S tin un otógono EFGH irunsrito un irunfrni, on : = 1 u, = 1 u, = 1,5 u; E = 0,5 u; EF = u, FG =,7 u; H = 0,8 u. lul GH. 1. Los iámtros os irunfrnis situs n l mismo plno min 14 m y 6 m. Si l istni ntr sus ntros s 10m. Ls irunfrnis son : ) Extriors. ) Intriors. ) Tngnts. ) Snts. ) onéntris.. L prolongión un triángulo intrst l irunfrni xinsrit rltiv n l punto. Sino : = 0 u, lul l prímtro l rgión tringulr. ) 0 u ) 40 u ) 0 u ) 60 u ) 50 u

63 . lul l longitu l lo l triángulo quilátro insrito n un irunfrni 8 m iámtro. 8. lul. Si los inrios los triángulos rtángulos yminr 1 y r. ) 4 m ) 8 m ) m ) 8 m ) 8 m 4. Si l rio l irunfrni s umnt n 1 u, lul l rzón l longitu l nuv irunfrni l iámtro s : ) ) 1 ) ) 1 5. lul l mi l ro ST, si : ) 1 57, si : S, y T son puntos tngni. ) r r ) r 1 1. r ) r 1 +r ) ) r1.r r1 r r1 r S ) 77 ) 80 ) 10 ) 75 ) En l gráfio :, y son puntos tngni. lul : "x". T 9 9. En l gráfio :, Q, y N son puntos tngni. + Q = 1 u, N = 6 u. lul l inrio l triángulo. ),5 u ),5 u ) 4,5 u ) 1,5 u ) 5,5 u 0. El prímtro un triángulo rtángulo s 4 m y su hipotnus mi 10 m. lul l rio l irunfrni insrit. N Q x ) 1 m ) m ) m ) 4 m ) 5 m ) 0 ) 7 ) 6 ) 54 ) En l gráfio mostro : = 1 m, = 8 m y E = 10 m. lul : ( ). F 1. En l gráfio, l triángulo quilátro QT, insrito n un irunfrni. lul SN, n funión l rio. Si : S = ST. Q E S T ) 4/ ) 5/ ) /5 ) / ) 4/7 F ) / ) / ) /4 ) ) N

64 . En l gráfio, s un trpio rtángulo. = 10 m, = 8 m. lul l ltur l trpio. ) 4,8 m ) 9,6 m ) 4 m ) 8 m ) 10 m. Si uno los ttos un triángulo rtángulo mi 15 m y l istni l rintro l ortontro s 5/ m. L ltur rltiv l hipotnus n m mi : ) 1 m ) 14 m ) 16 m ) 1 m ) 15 m 4. Los iámtros os irunfrnis oplnrs y ls istnis ntr sus ntros, stán n l rlión 1 : 10: 1. Estos irunfrnis son : ) Snts. ) Tngnts intriors. ) Intriors. ) Extriors. ) onéntrios. 7. El rio l irunfrni y l prímtro un triángulo rtángulo irunsrito ih irunfrni min m y 50 m rsptivmnt. Entons, l rio l irunfrni irunsrit l triángulo rtángulo mi : ) 44 m ) m ) 11 m ) 1 m ) 1 m 8. Sn y ' los ntros os irunfrnis tngnts xtriormnt uyos iámtros son u y 6 u rsptivmnt. lul l ángulo guo formo por l rt qu un los ntros y l tngnt omún ls irunfrnis. ) 60 ) 45 ) 0 ) 15 ) En un triángulo rtángulo, uy hipotnus mi 48 m, s insri un irunfrni longitu 4 m. uál s l prímtro iho triángulo? ) 10 m ) 144 m ) 96 m ) 7 m ) 60 m 40. l gráfio, lul "". 6u 5. En l gráfio : = u y = 1 u. lul. 7 15u 5u ) u ) 4 u ) 5 u ) 6 u ) 8 u 41. lul "", si : = 9 u y = 1 u. (, Q y T : puntos tngni). ) 16 u ) 18 u ) 19 u ) 1 u ) u 6. En os irunfrnis ortogonls rios y r rsptivmnt, s umpl qu l istni ntr sus ntros s : Q ) 4( r) r ) r ) ( r) / ( r)/ ) ) r r ) 15 u ) 16 u ) 18 u ) 0 u ) u T

65 4. En l gráfio, lul : + r, si : = 15 u y = 8 u. ) u ) 11,5 u ) 10,5 u ) 1,5 u ) 14 u 4. En l gráfio : = u y r = 1 u. lul E. E r r 46. lul T. y T : puntos tngni. 1u H T 6u ) 15 u ) 17 u ) 19 u ) 1 u ) u 47. En un urto irunfrni ntro "" y rios, ; s tom l punto "E" y lugo : H E ; E (H y sor E ). lul E, si : H = 15 u y = 8 u. ) 1 u ) u ) u ) 4 u ) 5 u 48. lul, sino : r = 4u. ) u ) 4 u ) 5 u ) 6 u ) 7 u 44. En l gráfio, lul, si : = 6 m. r E ) 6 m ) 8 m ) 10 m ) 1 m ) 9 m ) 8 u ) 4 u ) 4 u ) 8 u ) u 49. En l figur : = = JF = F. lul "x", si : s iámtro. J 45. lul "r", si : = 5 u y = 1 u. (T, y Q son puntos tngni). x F r Q ) u ) u ) 4 u ) 5 u ) 10 u T ) 15 ) 0 ) 45 ) 60 ) Los iámtros os irunfrnis situs n l mismo plno stán n l rlión 10 6 y l istni ntr sus ntros s omo 5. Tls irunfrnis son: ) Tngnts intriormnt ) Extriors ) Intriors ) Tngnts xtriormnt ) Snts

66 51. En l gráfio, lul "x", si : = 6 u, = 1 u y E = u. ("" ntro). 55. En l figur : //, m = m; = y =. lul l istni ntr los puntos mios ls flhs y. E x ) 45 ) 5 ) 55 ) 60 ) 6 0' 5. En un triángulo rtángulo, lul l longitu l hipotnus, si l rio l irunfrni insrit mi 5 m y l rio l irunfrni xinsrit rltiv l hipotnus mi 14 m. ) 5 m ) 7 m ) 6 m ) 8 m ) 9 m 5. En l gráfio, lul. ) ) 4 4 ) ) 4 ) En un lín rt, s uin los puntos onsutivos, y ( > ); un mismo lo ih rt s trzn ls smiirunfrnis iámtros y rsptivmnt y por s trz l tngnt T un lls. lulr l mi l ángulo formo por T y l istriz l ángulo T. ) 45 ) 0 ) 60 ) 15 ) En l gráfio : = 4u; N = 11u y N = 5u. lul "x". E x F ) + - ) + - ).. ) + + ) 54. En l gráfio : p : smiprímtro l triángulo. lul : (p )(p. E.F ) N ) 60 ) 11 / ) 90 ) 70 ) s un uro y "T" s punto tngni. lul "x ". F x T ) ) 1 ) 1/ ) / ) 4/ E ) 6 ) 8 ) 1 ) 16 ) 18

67 59. S tin un triángulo rtángulo irunrito un irunfrni ntro I; ih irunfrni s tngnt los ttos y n y Q rsptivmnt. Ls prolongions I y QI ort n y L. Ls irunfrnis insrits n los triángulos y LQ son tngnts n y N rsptivmnt. lul N, si los rios ls irunfrnis mnors min u y u. ) 1 u ),5 u ) 4 u ) 5 u ) 6 u 60. En l gráfio : y Q son puntos tngni. lul : m + n. n m 10 Q ) 90 ) 100 ) 110 ) 10 ) 10

68 lvs lvs

69 pítulo 7 ÁNGULS EN L IUNFEENI * Ángulo ntrl * Ángulo Intrior = m * Ángulo Insrito = m+m * Ángulo Extrior = m x * Ángulo Sminsrito E F H = mefh x = m - m * Ángulo Exinsrito x x = m - m = m

70 Sgun oniión : Si : = s un urilátro insriptil + = 180 olígono Insrito srvions : * Si un urilátro umpl on un ls os oniions, ntons s umplirán ls os l vz. * Si un urilátro s insriptil, ntons l mi un ángulo intrior s igul l mi l ángulo xtrior opusto. irunfrni : irunsrit io : irunrio olígono irunsrito insriptil r * o un triángulo l trzr os lturs, s osrv qu s trmin un urilátro insriptil. irunfrni : insrit io : inrio UILÁTE INSITILE E F Es qul urilátro qu pt qu s l sri un irunfrni por sus utro vértis. r qu sto su s nsrio y sufiint qu l urilátro umpl on un ls os oniions siguints : EF : insriptil rimr oniión : Q Si : + =180 s un urilátro insriptil Q : insriptil

71 Tst prnizj prliminr 01. En l gráfio, T = 4 u y = 6 u, lul : mtl, sino "T" punto tngni. T L 04. l gráfio, lul "x". Si :, Q,, F, S y T, son puntos tngni. 40 Q T x F S 0. En l gráfio, s un triángulo quilátro. lul " " En l gráfio : 1 y son ntros ls irunfrnis. Q y T son puntos tngni. lul mq T 44 Q 0. En l gráfio, s ntro y H = 4 u. lul. H 06. S tinn irunfrnis mnr qu l istni ntr sus ntros y los rios un ls irunfrnis stán n l rlión, 4 y 1 rsptivmnt. or tnto, ls irunfrnis srín :

72 07. En l gráfio un romoi. lul "x ", y son puntos tngni. 10. En l gráfio, lul " ". Si : F = E. F x 15 H E 08. En l gráfio, lul : "x ". rtiqumos : x En l irunfrni ntro "", lul " " En l gráfio : =, m ) = 60, lul "x". N x 1. l gráfio, lul " ". 5x N

73 1. l gráfio, lul "x". ( s punto tngni). 16. S tin un trpio insrito n un irunfrni ( // ). lul l m ), si : m + m = 100. x 14. Si :, y son puntos tngni. lul "x". 17. S tin un triángulo y s trz l istriz intrior, lugo s trz un irunfrni qu ps por l vérti y s tngnt n l punto, más ort los los y n los puntos E y F, lul l mi l ángulo, si : me = x 18. En l gráfio, y Q puntos tngni, l m ) = 10 y m =. lul l mqs. 15. En l gráfio, "T" s punto tngni // N y l m ) = 0. lul l m ) TF. T N F Q S

74 19. En l gráfio, lul " ", si "N" s punto tngni. N rolms propustos 1. En l gráfio, lul l mt, si : () = (). T ) 7 ) 5 ) 0 ) 60 ) 6. l gráfio mostro, lul "x". x 0. En un triángulo isósls : ( = ) m ) FE =, sino E y F los puntos tngni sor los los y trminos por l irunfrni insrit. lul l m ). 4x x ) 0 ) 0 ) 7 ),5 ) 18. En l gráfio, lul, si : = 4u y = 1u. E ) 6 u ) 7 u ) 8 u ) 10 u ) 5 u 4. En l gráfio s mustr os irunfrnis tngnts xtriormnt n T, y tngnts os los los l triángulo rtángulo, sino los puntos tngni,, S, Q y T. lul l mi l ángulo EN. E T N Q S ) 0 ) 7 ) 45 ) 5 ) 60

75 5. En l gráfio, m = 0, lul l m ) QS. 9. En l gráfio :,, y son puntos tngni, ETN s un romoi y m = (m ) L). lul l m ) N. E T ) 0 ) 40 ) 50 ) 5 ) 80 Q 6. En l gráfio, lul "x", si : m + m =80. on : y son puntos tngni. ) 50 ) 40 ) 5 ) 5 ) 0 x 7. En l gráfio, l punto "H" s l ntro los os ros irunfrni mostros. T y puntos tngni y l m ) H = 50, lul m ) T. S L 45 ) ) 45 ) 15 ) 7 ) 5 0. s un punto "" xtrior l irunfrni, s trzn ls tngnts y ; n stá l punto "E", tl qu: E = E; l tngnt EF trmin l ro F (mf = ). lul l m ) E y "" : ntro l irunfrni. ) 16 ) 4 ) ) 48 ) En l gráfio, lul "x", sino F punto mio tngni, m ) F = 0. N K 70 E T H x F ) 60 ) 0 ) 40 ) 50 ) 0 ) 50 ) 45 ) 0 ) 40 ) 5 8. En l gráfio, EF = F. lul l m. (F y E son puntos tngni). F. En l gráfio : m =100. lul l m ) Q. E E Q ) 15 ) 18 0' ) 0' ) 6 0' ) 0 ) 50 ) 60 ) 0 ) 45 ) 55

76 . S tin un triángulo insrito n un irunfrni; sor y s uin los puntos y Q, tl qu : m = mq. lul : m ) + m ) EQ, sino: {E} = Q. 8. En l gráfio, lul l mi l ángulo F, si los ros y EG min 80 y 100, rsptivmnt. ) 90 ) 100 ) 10 ) 180 ) 160 G 4. En l gráfio, lul l m ) EF, si : = 140, E y F son puntos tngni. más : E F EF //. F ) 0 ) 15 ) 0 ) 10 ) 5 9. En l gráfio, y son tngnts l irunfrni. Si : m ) = 7 y los ros, E y E son ongrunts, lul l mi l ángulo E. E ) 10 ) 140 ) 10 ) 150 ) En un triángulo isósls ( = ) s trzn ls vins y F, qu s formn n un punto "E", tl qu l m ) = 60. lul l m ) E, si l urilátro EF s insriptil. E ) 0 ) 60 ) 80 ) 0 ) 5 6. En l gráfio s mustr un ro irunfrni, on s l iámtro l ro irunfrni s umpl qu : m ) = 0, más : s prllo y s tngnt l ro. lul l m ). ) 8 ) 6 ) 40 ) 4 ) En l gráfio, l rt T s tngnt omún ls os irunfrnis snts. Si l ángulo mi 8. lul l mi l ángulo QN. Q 8 T ) 45 ) 55 ) 5 ) 65 ) 5 7. En l gráfio : 6, 68, 50. En l irunfrni insrit, trminos puntos tngni son E,F, G. lul ls mis los ángulos GEF, EFG y FGE rsptivmnt. E F ) 148 ) 14 ) 18 ) 15 ) l gráfio, lul m. N G ) 65, 59, 56 ) 60, 60, 60 ) 50, 6, 68 ) 68, 60, 6 ) 6, 68, ) 0 ) 5 ) 40

77 4. En l gráfio l m = 40. lul l m ) Q. Q 46. En l gráfio : m = y m =. Enuntr l rlión orrt : ) 10 ) 150 ) 140 ) 160 ) En l gráfio : m - m = 8. lul lm ), on :, y, son puntos tngni. ) ) ) 90 ) 180 ) En l gráfio : mn = mn; m = mn = 40. lul "x". N ) 8 ) 1 ) 14 ) 7 ) En l gráfio : m = 100. lul "x". (T s punto tngni). x ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 ) En l gráfio, lul " " m= 50; y son puntos tngni. x ) 5 ) 40 ) 45 ) 50 ) En l gráfio, si : H = 4 u y HE = 6 u. lul. E H F ) u ) u ) 4 u T ) 85 ) 110 ) 80 ) 100 ) En l gráfio, = 1 m y "" s ntro l irunfrni. lul H. ) 4 u ) 5 u ) u ) 6 u ) 1 u H F

78 50. En l gráfio, lul "x", si :,,,, E; son puntos tngni. 5. En l gráfio :,, y son puntos tngni. m = 10 y me = 110. lul "x". x E x E x ) 0 ) 15 ) 0' ) 0 ) En l gráfio, lul l m ), si :, Q, y T son puntos tngni y más : m ) T = m ). ) 50 ) 40 ) 0 ) 5 ) En l gráfio, m = 100. lul "x". Q x ) 0 ) 45 ) 50 ) 60 ) En l gráfio : // m + mn = 160. lul "x". Q y T ) 50 ) 40 ) 60 ) 70 ) En l gráfio, lul l m ) SL. Si : m = 100, m = 0; (, S y T son puntos tngni) y L 1 // L. L 1 S N x L L T ) 80 ) 100 ) 50 ) 65 ) 70 ) 60 ) 70 ) 80 ) 85 ) 90

79 56. l gráfio, lul "x". 59. En l gráfio, T y son puntos tngni. lul "x". x T x 100 ) 0 ) 45 ) 60 ) 5 ) En l gráfio, lul "x", sino y puntos tngni. ) 0 ) 10 ) 15 ) 40 ) En l gráfio, lul "x".,,, y E son puntos tngni. E x x F x E ) 50 ) 70 ) 60 ) 65 ) En l gráfio :, y son puntos tngni. lull l m. ) 0 ) 45 ) 60 ) 90 ) 50 ) ) 90 ) 90 ) )

80 lvs lvs

81 pítulo 8 UNTS NTLES Son los puntos onurrni ls líns notls un triángulo. I. IENT : Es l punto intrsión ls mins un triángulo. ropi : El rintro trmin n min os sgmntos qu stán n l rlión s 1. Q G G rintro l G = GN N G N ; GN 1 N II. INENT : Es l punto intrsión ls istris i intriors un triángulo. r I r "I" Inntro l r ropis : rimr : El inntro s l ntro l irunfrni insrit. Sgun : El inntro quiist los los l triángulo. (un istni r) inrio. III. TENT : Es l punto onurrni ls trs lturs un triángulo. 1. En un triángulo utángulo, l ortontro s nuntr n l rgión tringulr.. En un triángulo otusángulo, l ortontro s xtrior l triángulo.. En un triángulo rtángulo, l ortontro s nuntr n l vérti l ángulo rto.

82 1.. ortontro ortontro utángulo tusángulo. ortontro H tángulo IV. IUNENT : Es l punto intrsión ls mitris, s los los un triángulo. "" irunntro l

83 ropis : 1r. : El irunntro s l ntro l irunfrni irunsrit.. : El irunntro quiist los vértis l triángulo. (Un istni ). irunrio. V. EXENT : Es l punto intrsión os istris xtriors y un istriz intrior. Not : Too triángulo tin trs xntros. E Exntro rltivo l lo E ropis : 1r. ropi : El xntro s l ntro l irunfrni xinsrit.. ropi : El xntro quiist un lo y ls prolongions los otros os los, (un istni Exrio rltivo. )

84 TIÁNGULS TIULES 1. TIÁNGUL EIN : Es l triángulo qu s trmin l unir los puntos mios los los un triángulo. NQ mino o omplmntrio l ropi : G N G rintro l rintro l NQ Q. TIÁNGUL EX-INENTL : Es l triángulo qu s trmin l unir los trs xntros. E F EFH x-inntrl l ropi : H rtontro l EFH Inntro l. TIÁNGUL ÓTI EL : Es l triángulo qu s trmin l unir los pis ls lturs un triángulo. F H EFH s l órtio l E ropis : 1r. ropi : rtontro l Inntro l EFH. ropi : Sino : Ê, Fˆ y Ĥ los ángulos intrnos EFG. mĥ 180 (mâ) mê mfˆ (mˆ) (mĉ)

85 r. ropi :, y son xntros l EFH. IEES IINLES 1. Sino : H rtontro irunntro H =. L istni l ortontro un vérti s l ol l istni l irunntro l lo opusto l vérti onsiro. H rtontro irunntro H H =. El ortontro, rintro y irunntro s nuntrn n un mism rt; llm l t Eulr. H H G rtontro rintro irunntro H G t Eulr G t Eulr * utángulo * tusángulo

86 Tst prnizj prliminr 01. En l gráfio : y son mins l triángulo rtángulo, y = 0 u. lul "x" "y" n mtros. 05. En un urilátro ; m ) = 10 ; m ) = 110, m ) = 60 y m ) = 40. lul l mi l ángulo qu formn sus igonls. y x 06. L istni ntr l ntro l irunfrni irunsrit un triángulo rtángulo y l punto intrsión sus trs lturs s igul : 0. Un triángulo s trzn ls lturs E y F qu s intrstn n "". Si l ángulo mi 15. lul l m ) E. 07. En un triángulo utángulo l m ) = 7. lul l m ), sino "" su irunntro. 0. En un triángulo, rintro G, m ) G = 90, m ) G = 0 ; G = m. lul G. 08. En un triángulo s trz l vin intrior, tomno omo iámtro s trz l smiirunfrni qu intrst n "". lul l m ), si "" s l irunntro l triángulo. 04. En l ro un smiirunfrni iámtro, s ui l punto"", tl qu "E" s l xntro l triángulo rltivo, E intrs l ro n ""; tl qu = u. lul E. 09. En un triángulo irunntro "K" y xntro rltivo "E". lul l m ) K, sino l m ) E = 60.

87 10. S tin un triángulo ortontro "" y irunntro "K", m ) = 60 n l ul s trz l ltur H. lul l m ) KH, si : m ) H = En un triángulo inntro "I" y xntro "E" rltivo l lo, l ifrni ntr l xrio rltivo y l inrio s os vs l istni l vérti EI, y más l m ) = 0. lul l m ). rtiqumos : 11. En l gráfio, lul x, si "E" s l xntro l triángulo. 15. En l gráfio, lul "x", si : y N son puntos mios H y H rsptivmnt. x 40 5 E N 60 H x 1. En un triángulo utángulo, s umpl qu : m ) H = m ) K, on "H" s l ortontro y "K" l s irunntro l triángulo. lul l m ). 16. lul "x", si : I, I 1, I son inntros los triángulos, H y H rsptivmnt. I x I I 1 H 1. En un triángulo utángulo, s ui l ortontro "H" y s trz l uro HGL, G prtn. lul l m ) HG, si: m ) = 54.

88 17. En l gráfio : Q //, "H" y "" son ortontro y irunntro l triángulo, rsptivmnt. lul "x". 19. S onsir l triángulo ortontro H. lul " ". Q H H x 18. En l gráfio, "G" s l rintro l rgión tringulr, lul, si : G = 1 u y = 16 u. ("G" s punto tngni). 0. En l gráfio, "" s l irunntro l triángulo. lul "x". x G H T

89 rolms propustos 1. En l gráfio mostro, "I" s inntro l triángulo, = N y I = u. lul : Q. 6. En l gráfio : "H" s l ortontro l triángulo, "" s l irunntro y H lul l sum ls mis los ángulos H y H N I ) u ) 8 u ) 6 u ) 6 u ) u. S tin un triángulo rtángulo, rto n, inntro I, s trz IH. lul H si su xrio rltivo mi 4 m. ) m ) 4 m ) 4 m ) m ) 4 m. En l prolongión lo un urilátro s mr l punto E, tl qu : m ) E = 48, m ) = 78, m ) = 0, m ) = 54. lul l m ). ) 9 ) 18 ) 6 ) 0 ) S tin un triángulo isósls s, ortontro "H" y irunntro "". m ) H = m ). lul l m ). ) 15 ) 18 ) 18 0' ) 0' ) 6 0' 5. S tin un triángulo utángulo, ortontro "H" y irunntro "". lul l m ) H, si : m ) - m ) = 40. ) 0 ) 0 ) 40 ) 50 ) 60 4 Q ) 0 ) 7 ) 45 ) 5 ) En un triángulo utángulo ortontro "", l rt Eulr ort n l punto "F" l lo. lul l m ) F. Si F = F =. ("" s irunntro l triángulo ). ) 5 / ) 7 / ) 45 ) 0 ) En un triángulo, s uin los puntos intriors "H" (ortontro) y "" (irunntro), m ) = 60. lul l mi l ángulo qu formn ls rts y H. ) 0 ) 45 ) 60 ) 90 ) En un triángulo utángulo ortontro "H", l rt Eulr intrs los los y n los puntos y Q rsptivmnt, tl qu : = Q. lul l istni. Si : H + H = 18 u. ) 9 u ) 10 u ) 6 u ) 4,5 u ) u 0. En un triángulo, s tin qu : H =, m ) H = m ) H. lul l m ) H, sino "H" l ortontro y "" su irunntro. ) 9 ) 5 ) 10 ) 8 ) 6 1. r trminr n un plno l posiión un punto quiistnt puntos, y (qu no prtnn un lín rt), s us l intrsión : ) Ls istris los ángulos y. ) Ls mitris y. ) L istriz y l mitriz. ) L mitriz y l istriz l ángulo. ) L ltur y l mitriz y.

90 . S un triángulo insrito n un irunfrni y sn los puntos ', ' y ' los puntos mios los ros, y rsptivmnt. Qué punto notl s l inntro l triángulo pr l '''? 7. En l gráfio :, Q y T puntos tngni, Qué punto notl s "" pr l triángulo? ) rtontro. ) Inntro. ) irunntro. ) rintro. ) Exntro.. En un uro n los los y s uin los puntos mios y N, tl qu N {}. Qué punto notl s l ntro l uro rspto l triángulo N? ) rtontro. ) Ex-ntro. ) rintro. ) Inntro. ) irunntro. ) rtontro. ) rintro. ) Inntro. ) irunntro. ) Jrk. Q T 4. Ls prolongions ls lturs n un triángulo utángulo intrstn l irunfrni irunsrit n los puntos, N y. Qué punto notl s l ortontro l triángulo rspto l triángulo N? ) rtontro. ) Exntro. ) rintro. ) Inntro. ) irunntro. 5. En l gráfio, = Q = Q. Qué punto notl s "K" rspto l triángulo? Sor los los y un rtángulo s tomn los puntos y rsptivmnt, tl qu : s un uro ntro, si : { } {Q}, = Q. lul l m ). ) 15 ) 6 0' ) 0' ) 18 0' ) 0 9. Qué punto notl s l vérti un ángulo otuso un triángulo otusángulo pr su rsptivo triángulo pl? ) rintro. ) irunntro. ) Inntro. ) rtontro. ) unto Grgonn. K Q 40. En un triángulo intriormnt s ui l punto "" y sor los los y los puntos y Q rsptivmnt, tl qu los triángulos y Q son quilátros, más m ) Q = 90. ir qué punto notl s "" l triángulo. ) Inntro. ) irunntro. ) rtontro. ) rintro. ) Exntro. 6. En l gráfio mostro, qué punto notl s "", pr l triángulo? (,, puntos tngni). ' ) Inntro. ) rintro. ) rtontro. ) irunntro. ) Exntro. ) rtontro. ) Inntro. ) rintro. ) irunntro. ) ulquir punto. 41. En un triángulo isósls, l : m ) = 10. lul l m ) IEK, sino : I : inntro y E : xntro rltivo l lo y K = irunntro. ) 15 ) 0 ) 0 ) 5 ) 5 4. En un triángulo, s s qu : m ) = m ) = 0 y = 9 6 m. lul l istni l irunntro l xntro l triángulo rltivo. ) 9 m ) 1 m ) 18 m ) 1 m ) 7 m

91 4. En un triángulo utángulo por y s trzn prpniulrs qu intrst l rt Eulr n y N rsptivmnt. lul l longitu l irunrio. Si : = u, N = 4 u y H = ; on "H" s l ortontro y "" s l irunntro l triángulo. 49. En l gráfio, lul x, sino "I" l inntro l triángulo y más : m Q + m S = 60. x ) u ) u ) 4 u ) 5 u ) 6 u I 44. Los los, y un triángulo min 7 m; 8 m y 10 m rsptivmnt. or l inntro, s trzn prlls los los. lul l sum los prímtros triángulos ntr l trro formo por ihs prlls qu tinn n omún l inntro. ) 17 m ) m ) 5/ m ) 17/7 m ) / m Q ) 60 ) 40 ) 100 ) 90 ) l gráfio s tngnt, tl qu : y son iámtros. lul "x". S 45. En un triángulo utángulo por y s trzn ls prpniulrs qu intrst l rt Eulr n y N rsptivmnt. lul. Si : =, N = y H =, on : "H" s l ortontro y "" s l irunntro l triángulo. ) ) ) + ) (+) ) 46. S tin un triángulo : = 48 u y l istni l inntro l xntro rltivo s 50u. lul l m ). ) 16 ) ) 64 ) 74 ) En un triángulo, xntro "E" rltivo. lul l mi l ángulo formo por ls istris los ángulos E y E. Si : m ) = 6. ) 9 ) 18 ) 7 ) 6 ) En un triángulo tuángulo : m ) =. lul un ls mis los ángulos intrnos su triángulo pl. ) 90 ) 90 ) 180 ) 180 ) 0 ) 60 ) 15 ) 7 ) l gráfio, lul : x x ) 10 ) 15 ) 0 ) 5 ) 0 5. l gráfio, lul "x ", sino : H : ortontro, K : irunntro y 6. H x K x ) 90 ) 18 ) 4 ) 5 ) 7 ) 6

92 5. En un triángulo isósls : l m ) = 10 y = u. lul l istni l irunntro l xntro rltivo. 57. En l gráfio, "I" s inntro. lul I, si : = 10 u y m ) = 60. ) u ) u ) u ) u ) 1,5 u 54. En un triángulo, l m ) = 4, m ) = 0 ; s trz l vin F, tl qu = F. lul l m ) F. ) 60 ) 75 ) 7 ) 84 ) En un triángulo utángulo, l ortontro s "H" y l irunntro s "". Si l istni "" s 4 m y H //. lul l longitu l ltur rltiv l triángulo. ) 10 m ) 8 m ) 6 m ) 14 m ) 1 m 56. En l gráfio, lul "x", si : = 80 y, N y son puntos tngni. I N x ) 10 ) 0 ) 0 ) 40 ) 50 I ) 5 u ) 10 u ) 0 u ) 15 u ) 10 u 58. S tin un rgión tringulr rintro G, on ntro n y rio G s trz un ro qu intrs y n y N, rsptivmnt, tl form qu N G. lul, si l rio l ro s 4u. ) 8 u ) 4 7 u ) 7 u ) 6 5 u ) 10 u 59. S tin l triángulo insrito n un irunfrni, sor l ro s tom l punto, tl qu : = 4 u. lul l istni ntr los ortontros los triángulos y. ) u ) 4 u ) 6 u ) u ) 4 u 60. Si l irunfrni insrit l triángulo s tngnt los los, y n, Q y, rsptivmnt, ls líns, Q,, son onurrnt. El punto onurrni s llmo. ) Inntro. ) rtontro. ) rintro. ) irunntro. ) unto Gorgonn.

93 lvs lvs

94

95 pítulo 9 INLI Y SEEJNZ TEE E THLES Si trs o más rts prlls, son intrss por os rts snts ls prlls; ntons, s trminn ntr ls rts prlls, sgmntos proporionls. m n L 1 L L Si : * L 1 // L // L * m y n snts ropi : x z Si : L // x y z w L N y w Torm Thls n un triángulo. ropi l istriz En un triángulo, los los qu formn l vérti on s trz l istriz son proporionls los sgmntos trminos por ih istriz n l lo opusto o su prolongión. * istriz Intrior * istriz Extrior m n m n m n m n E

96 TEE EL INENT El inntro trmin n istriz os sgmntos qu son proporionls l sum los los qu formn l vérti on prt l istriz y l tr lo. "I" inntro I I I TEE E ENEL Si s trz un rt trnsvrsl los los un triángulo, s trminn sor ihos los 6 sgmntos, on l prouto llos no onsutivos s igul l prouto los otros rstnts. L E x n L snt m.n.q = x.y.z m y F q z TEE E EV Si n un triángulo s trzn vins intriors onurrnts, s trminn sor los los 6 sgmntos, on l prouto llos no onsutivos s igul l prouto los otros rstnts. m x F n y *, E y F vins * "" vntro m.n.q = x.y.z z E q SE EJNZ finión : os figurs son smjnts s tinn l mism form, y tmños istintos. Ejm. : * * 4u u l l l l l l

97 SEEJNZ E TIÁNGULS os triángulos son smjnts si tinn sus ángulos rsptivmnt ongrunts y sus los homólogos rsptivmnt proporionls. Los Homólogos : S nomin sí qullos los qu s oponn ángulos ongrunts n triángulos smjnts rimr so : os triángulos srán smjnts si tinn ángulos intrnos rsptivmnt igul mi. Sguno so : os triángulos srán smjnts si tinn os los rsptivmnt proporionls y l ángulo omprnio ntr ihos los ongrunts. k Trr so : os triángulos srán smjnts, si sus trs los son rsptivmnt proporionls. k k k k srvions : En os triángulos smjnts, sus los homólogos, sí omo sus lmntos homólogos : (lturs, istris, mins, inrios, irunrios, t.), son rsptivmnt proporionls. E h r f H r 1 F S umpl : f r r 1 h H... k

98 Tst prnizj prliminr 01. "" s ntro l smiirunfrni. = 8 u; = u; = 8u. lul. 04. En l gráfio, = 15 u. lul, si : G s rintro l triángulo y L s prll. G L 0. lul l lo l uro, mostro n l figur, n funión l s "" l triángulo sor l ul sns y l ltur "h" rltiv ih s. h 05. l gráfio, lul Q, si : = 5 u y T = 4T. y T : puntos tngni. Q T 0. Sgún l gráfio : // lul. Si : = 4u. y =. 06. En l gráfio, lul l rio l iunfrni myor on : = 5 m, = 4 m.

99 07. En l gráfio, s tin un rtángulo n l ul : =, y on : m ) = m ). Si : N y Q s intrstn n, moo qu : = m, Q = 4 m y = 5 m. lul N. Q N 10., Q y T son puntos tngni, y son los rios ls smiirunfrnis. trminr l istni T l rt Q. Q T ' 08. lul l mi l hipotnus l triángulo. Si : x y 0 u ; l 8 u. rtiqumos : 11. En un triángulo, s ui l inntro "I" sor l istriz, tl mnr qu : I =. lul, si : + = 4 u. l x l y 09. S = 10 u, ES = 5 u, VE = u. lul ST. 1. En un triángulo, s trzn ls vins intriors, N y L onurrnts n, tl mnr qu: 5L = y 9 = 5. lul : ( ). N S V E T 1. En un triángulo, s trz l istriz intrior F, lugo por F s trz FQ // (Q n ), l istriz l ángulo FQ intrst n. Si : F = y =. lul F.

100 14. l punto mio l tto un triángulo, rto n, s trz l prpniulr H l hipotnus. tl mnr qu : H = 6 u y H = 9 u. lul. 19. En un triángulo, s trzn ls lturs y N, moo qu : = 5 u, N = u y = 6 u. lul. 15. lul l longitu l ltur un trpio rtángulo, uys igonls son prpniulrs ntr sí y ls ss min 6 y 1 unis. 0. S tin un triángulo, =, = y = ; on l mi l ángulo "" s os vs l mi l ángulo "". Si : = 4 y = 5. lul :. 16. Los los y un triángulo min 8 m y 10 m. Si l istni l inntro l xntro rltivo s "x" y l istni l inntro l vérti s 5 m. lul "x". rolms propustos 1. En un triángulo, s trzn ls lturs H y N ; tl mnr qu : N = 1 u, N = 4 u y H = 9 u. lul H. ) 15 u ) 1, 8 u ) 14 u ) 1, u ) 1, u 17. En un triángulo rtángulo, rto n, s insri un uro LN, moo qu l lo N sns sor l hipotnus. lul, si : L = 1 u y - N = 10 u.. Ls longitus los los un triángulo son 4, 7 y 10 m. Si otro triángulo smjnt l primro, tin un prímtro 147 m. lul l longitu su lo mnor. ) 8 m ) 4 m ) m ) 0 m ) 48 m 18. S tin un triángulo, sor los los y s onstruyn xtriormnt los uros Q y N. lul l mi l mnor ángulo qu trminn N y Q.. Los los un triángulo min : = 6 u, = 8 u, = 4u, rsptivmnt. or un punto s trz l prll N l lo. lul l longitu, moo qu l prímtro l triángulo N s igul l prímtro l trpio N. ),5 u ),0 u ) 1,5 u ),5 u ),0 u 4. En un romo, 1 m lo, s tom l punto mio. ort n G y n H. lul GH. ) 4 m ) 6 m ) m ) m ) m

101 5. En un triángulo rtángulo, l istriz l ángulo rto ivi l hipotnus n os sgmntos uys longitus son y 1, rsptivmnt. El mnor sus ángulos mi : ) 0 ) 45 ) 18 ) 60 ) En un triángulo, s umpl qu : m ) = m ) ; = 6 u y = 8 u. lul. ) 1 u ) 1 u ) 1 u ) 14 u ) 14 u 7. En l figur mostr, l punto "" s l ortontro l triángulo ; N = u, = u. lul. + = 10u. N 0. En l figur, s un uro y E = u. lul N. 45 ) u ) u ) u E ) u ) u 1. En un triángulo rtángulo rto n, s trzn ls istris intriors y N, tl mnr qu : 1 N 1 N 5. lul l longitu l rio l irunfrni insri n l triángulo. ) 5 u ) 1 u ) u ) u ) 5 1 u ) ) u ) 8 u ) u 7 8 u ) u 8 8. Si los rios os irunfrnis min y 1 m. L mínim istni ntr los ntros s 10 m, ntons l istni ntr l punto intrsión ls tngnts intriors y l punto intrsión ls tngnts xtriors omuns ls os irunfrnis s : ) 14 m ) 7,5 m ) 7 m ) 1, m ) 6,5 m 9. or l rintro G, un triángulo s trz un rt qu ort n E y n F. lul F. Si : E =, E = y F =.. En l figur, y son puntos tngni. Si : N. Q = 4 u. lul :.. N Q ) 4 u ) 8 u ) 4 u ) 8 u ) 6 u. En l figur mostr, lul l rlión los prímtros los triángulos y rsptivmnt. ) ) ( ) ( ) ) ) ( ) ( ) ) ( ) ) 1 ) ) 1/ ) 1/ ) /4

102 4. En un triángulo, = u, = 1u. lul l longitu l istriz intrior, si : m ) = 10. ) u ),4 u ) 4 u ) 5 u ) 6 u 5. S tin un triángulo rtángulo rto n. Si n s uin los puntos y Q, tl qu : m ) = m ) Q = m ) Q; = y Q =. lul Q. ) ( ) ) ( ) ) ) ( ) ( ) ) ( ) 6. En l gráfio : EF = u, FG = u. lul GH, si : "T" s punto tngni. 9. En un triángulo, s trzn vins onurrnts, N y ; l prolongión intrst l prolongión n Q. Si : N = y N =. lul Q. ) ) ( ( ) ) ) ) ( ) ( ) ) ( ) 40. En l figur :, Q, T son puntos tngni. Si : S =. lul. Q S T ) ) ) T ) ) 0,75. E F G H 41. l gráfio, lul "x", n funión " ". ) 1 u ) u ) u ) 4 u ),5 u 7. S tin un triángulo utángulo on = 1 m. En su intrior, s un punto "F", s trzn ls prpniulrs F y FE los los y rsptivmnt. Si : E = 4 y F = 6. lul l irunrio l triángulo. ) 10 m ) 9 m ) 1 m ) 15 m ) 0 m 8. S un triángulo, on : + = 18 m y l sgmnto qu un l inntro on l rintro s prllo l lo. lul. x ) ) ) ) 90 - ) Si :, T y son puntos tngni n l figur. lul "x". ) 6 m ) 8 m ) 9 m ) 1 m ) 16 m 40 x T ) 0 ) 0 ) 40 ) 50 ) 60

103 4. En un prllogrmo, n l prolongión s ui l punto E, E intrs y n y N rsptivmnt. lul E, si : N = 9 u y N = 15 u. ) 0 u ) 16 u ) 40 u ) 5 u ) 1 u 44. En l figur mostr, l triángulo s isósls, "" s l ntro l smiirunfrni N s tngnt l irunfrni. Si : = y N =. lul. N 48. En un triángulo ; s trz l min y sor ll s ui l punto, l ul s trzn ls prpniulrs Q y y rsptivmnt. lul, si : Q = u, = 9 u y = 1 u. ) 9 u ) 9/ u ) 9/4 u ) 9/5 u ) u 49. o un uriltéro insriptil, s prolongn los los y, (s ortn n E) y y (s ortn n F). Ls istris, los ángulos F y E s ortn n "" y y N son los puntos mios y rsptivmnt. lul l m ) N. ) 165 ) 160 ) 15 ) 150 ) 180 ) ) ) ) ) 45. En un triángulo, s trz l istriz E qu intrs l lo n "". Lugo, s los vértis, s trzn ls prpniulrs H, E ih istriz. Si: H = 1 u y E = u. lul H. ) 5 u ) 4 u ) u ) u ) 1 u 46. En un triángulo, s uin los puntos, E y F n, y E rsptivmnt, tl qu : E = EF, E F ; E, por s trz un rt qu intrst prpniulrmnt l prolongión E n H y l prolongión n G. Si : EH u y = = 10 u. lul E. ) 7 u ) u ) u 50. En un triángulo, s trzn ls vins y F, tl qu : m ) F m ) = m ) F =. Si : = u, F = u y F = 10 u. lul l m ) F. ) 45 ) 15 ) ) 45/ ) 7/ 51. En un trpio rtángulo, s tin qu : m ) = 60, m ) = m ) = 90 y =. En s ui l punto F y s trz F y FN. lul : FN, si : F = 4u. ) u ) u ) 4 u ) 4 u ) 8 u 5. En l figur mostr, lul N, si :, N y son puntos tngni. H = u y = 18 u. ) 10 u ) 4 u 47. En un prllogrmo, por l vérti s trz l rt snt l igonl n, l lo n N y l prolongión n Q. Si : = y N =, lul NQ. H N ) ) ) ) 4 u ) 5 u ) 6 u ) 8 u ) 9 u ) )

104 5. L irunfrni insrit l triángulo s tngnt l lo n "Q", un rt snt l triángulo s tngnt l irunfrni n, intrs los los y n y N rsptivmnt. ( Q) {F}, = 4 u, Q = 8 u y F = 10 u. lul F. ) u ) 4 u ) 5 u ) 6 u ) 8 u 54. En un triángulo (rto n ); l m ) = 5, s un punto l rgión intrior iho triángulo, tl qu : = 15 u, = 1u y = 0 u. lul. 4 ) 11 u ) 5 5 ) ) u u ) 55. En l gráfio : = 7u, = 9 u y = 8 u. lul : EI ET. 5 u 5 6 u 57. En un trpio ( // y ), por s trz un prll, qu intrst n y por s trz un prll qu intrs n N. lul l longitu l sgmnto N, sino qu: = u, = 6u y = 4 u. ) 1,40 u ) 1,50 u ) 1,0 u ) 1,5 u ) 1,5 u 58. Si "I" s l inntro l triángulo, y : (H) = 4(Q) = 6(T) = 6(T) = 1 u. lul H. I J N H T Q ) 1 u ) u ) u ) 4 u ) 4/7 u 59. En l gráfio mostro : E = 4 m, EF = m, = 5 m y N = 1 m. lul l ifrni ntr F y N. T E F H I E ) /5 ) /4 ) /5 ) / ) 5/6 56. l figur, lul : Q., si : ST. LK = 7 u. N S L Q T K ) 5 u ) 5/ u ) 7 u ) 7/ u ) 9 u ) 1 m ) m ),5 m ) m ) 4 m 60. En l gráfio, "I" s l inntro l triángulo y s un min. Si : lulr EF. I I I E N, E = 6 m y F = 4 m. ) 1 m ) 1,5 m ) m ),5 m ) m F

105 lvs lvs

106

107 pítulo 10 ELINES ÉTIS EN UN TIÁNGUL ETÁNGUL * YEINES TGNLES SE UN ET L ' ' ' ' ' ' ' roy. sor L '' proyión sor L ** m : proyión sor h n : proyión sor H H m H n I. Un tto s mi proporionl ntr l hipotnus y su proyión sor ih hipotnus. m.m II. III. n.n L ltur rltiv l hipotnus s mi proporionl ntr ls proyions los ttos sor ih hipotnus. h n h m.n m h L sum los uros los ttos s igul l uro l hipotnus. IV. El prouto los ttos s igul l prouto l hipotnus on l ltur rltiv l hipotnus.. =. h

108 V. L sum los uros ls invrss los ttos s igul l uro l invrs l ltur rltiv l hipotnus h IEES 1. r. r. "r", "" y "x" inrios los triángulos H, H y rsptivmnt. r H x x r

109 Tst prnizj prliminr 01. lul "h". 04. Los rios los smiírulos min,5 m y m. lul H. (T : punto tngni). 15 h 0 H T 0. En l gráfio, s punto tngni. F = 6 m y = 18 m. lul "r". 05. lul "r", si : T = 9 m: TN = m. m ) = 90. ("T" s punto tngni). r r F T N 0. L ltur un triángulo rtángulo trmin, n l hipotnus, sgmntos 18u y u. lul los ttos. 06. lul, si : Q = 4,5 m y Q = 8 m. Q

110 07. y T son puntos tngni. r = 5 u y T = 9 u. lul "x". 10. lul "N", si : N =. N x r T H 08. En un triángulo otusángulo otuso n "", por l punto mio "" s trz prpniulr. lul, si: = 6 u; = u y = 7 u. rtiqumos : 1. Los los un tringulo min 8, 15 y 16 m. uánto s quitr lo pr qu rsult un triángulo rtángulo? 09. En l gráfio : = 6 m y = 8 m. lul l istni "". 1. L sum los uros los los un triángulo rtángulo s 00 m. lul l longitu l hipotnus. 14. lul l longitu l ltur rltiv l hipotnus, si los ttos l triángulo rtángulo min 6 y 8 m.

111 15. En un triángulo rtángulo, los ttos min 4 u y 18 u. lul l longitu l ltur iho triángulo. 19. Los los un triángulo min 4 u, 5 u y 6 u. uánto hy qu isminuir lo pr qu l nuvo triángulo s triángulo rtángulo? 16. lul, si : = 8 m y = 10 m. 0. El rio l irunfrni insrit n un trpio isósls ss "" y "" s : E rolms propustos 17. lul l longitu l inrio un triángulo isósls; si su prímtro s igul 98 m y su s s igul 40 m. 1. En un triángulo Q (m ) Q = 90 ), los ttos Q y Q min 0 m y 0 m rsptivmnt. lul l istni l vérti Q l min. ) 8 m ) 9 m ) 10 m ) 11 m ) 1 m 18. En l figur, s un uro lo qu mi 16, sino "" punto mio. lul l longitu l rio l irunfrni.. En un irunfrni 5 m rio, s trz un ur y sor ést s ui un punto, moo qu : = m y = 5 m. lul qué istni stá l ntro. ) 10 m ) 11 m ) 1 m ) 15 m ) m. lul "x", si : = 16 u y r = 4 u. x r ) 16/9 u ) 15/8 u ) u ) / u ) 8/ u

112 4. El lo un uro, insrito n un irunfrni, mi 4 u. "" s un punto l ro, moo qu : = 5 u. lul. 0. Un irunfrni s tngnt os los ynts un uro y ivi uno los otros los n os sgmntos uys longitus son m y m. lul l longitu l rio l irunfrni. ) 6 u ) 5 u ) u ) 7 u ) u 5. o un rtángulo, = 0 m y = 5 m, lul l rio l irunfrni tngnt y qu ontin y. ) 16 m ) 17 m ) 18 m ) 0 m ) 1 m 6. En un triángulo rtángulo l figur, l sum ls longitus y s igul l sum ls longitus y. Si : = x, = h y =. lul "x". ) 15 m ) 16 m ) 17 m ) 14 m ) 19 m 1. Ls mins un triángulo rtángulo trzs prtir los vértis los ángulos guos tinn longitus 5 m y 40 m. lul l longitu l hipotnus. x h ) - h ) ) ) h h h ) h h ) 15,0 m ) 1,58 m ) 1,60 m ) 10,1 m ) 7,1 m. En un triángulo rtángulo, rto n, s trz l ltur H ; tl mnr qu : H = 5 u y H = 7 u. lul ls longitus los ttos. ) 1 u y 15 u ) 15 u y 1 u ) 7 u y 5 u ) 5 u y 7 u ) 7 u y 5 u 7. S tin un uro uyo lo tin un longitu igul "L". S trz un irunfrni qu, psno por los vértis y, s tngnt l lo. lul l longitu l rio l irunfrni. ) 4L/7 ) 5L/8 ) L/5 ) L/ ) 8L/10 8. En un pntágono E, los los E y E min 16 u y 8 u rsptivmnt y : m ) +m ) +m ) +m ) = 480. lul l istni l vérti E l igonl. ) 4 u ) 8 u ) 10 u ) 1 u ) u 9. S un triángulo rtángulo uyos ttos min: = 40 u y = 0 u. S trz l ltur rltiv l hiptnus. lul l ifrni ntr los prímtros los triángulos y. ) 4 u ) 0 u ) 48 u ) 0 u ) 6 u. En un triángulo rtángulo, ls proyions los os ttos stán n rlión 4 5. lul l rlión ihos ttos. ) 5 ) ) 5 ) ) 5. En un romoi, si : = 8 u, = 5 u y = 10 u. lul l proyión sor. ) 1,9 u ),9 u ),9 u ) 4,9 u ) 5,9 u 4. S un triángulo rtángulo rto n, uys mins y N son prpniulrs ntr sí. lul l vlor, si : = 6. ) m ) m ) 6 m ) 6 m ) 8 m

113 5. En un trpio, //, = 5 u, = 6 u, = 7 u y = 10 u. lul :. ) 19 u ) 19 u ) 194 u ) 195 u ) 196 u 6. lul l longitu l hipotnus un triángulo rtángulo, sino qu : = m, = 7 m. m ) = m ) y qu prtn. ) 4,5 m ) 6,5 m ) 4 m ) 10 m ) 1 m 7. lul, si : H = m y H = 6 m. ) m ) 4 m ) 8 m ) 10 m ) 1 m 8. En l gráfio, E = 80 u y FN = 18 u. lul. E H N F 40. En l gráfio, lul. Si : = 5 u, = 1 u, Q = Q. ( : punto tngni). Q ) 4 u ) 5 u ) 6 u ) 7 u ) 8 u 41. lul "" n l gráfio mostro. ( : punto tngni) ) 15 u ) 16 u ) 17 u ) 18 u ) 0 u 4. El sgmnto prpniulr un iámtro s un punto l irunfrni mi 1 pulgs. Si uno los sgmntos qu s trmin, n l iámtro, mi 4 pulgs. lul l longitu l rio l irunfrni. ) 5 pulg ) 0 pulg ) 10 pulg ) 15 pulg ) 5 pulg 4. o l uro lo qu mi "", uál sr l vlor E, pr qu l triángulo EF s quilátro? F ) 100 u ) 18 6 u ) 9 u F ) 15 u ) 8 u 9. y son os urs prlls qu s nuntrn n un irunfrni rio "r"; moo qu, l istni ntr ihs urs, s igul 7 u. lul "r", si : = 48 u y = 0 u. ) 6 u ) 4 u ) u ) 5 u ) 8 u E ) ( ) u ) ( 1) u 1 ) ( 1) u ) u ) ( ) u

114 44. S tin un triángulo on l mi l ángulo s os vs l mi l ángulo. Si : = 4 u y = 5 u. lul : ) ) ) 6 5 ) 6. ) os irunfrnis ntros y s intrstn n los puntos y. L tngnt l irunfrni ntro trz por l punto ps por l punto y l tngnt trz por l punto l irunfrni ntro ps por l punto. Si los iámtros ls irunfrnis tinn ls longitus 6 5 m y 1 5 m. lul. 48. En un triángulo rtángulo, rto n, s trz l ltur H ; tl mnr qu: H = u y H =. lul. ) 5 u ) 6(4 5) u ) 6 u ) +1u ) 5 u 49. S tin l trpio rtángulo, m ) = m ) = 90, = 60 u, = 6 u y = 7 u. lul. ) 61 u ) 6 u ) 65 u ) 68 u ) 75 u 50. Ls igonls y un trpio min 5 u y 7u, rsptivmnt. lulr l longitu l min, si:. ) 11 m ) 1 m ) 1 m ) 14 m ) 15 m ) u ) 74 u ) 4 u 46. En l gráfio : E = 8 u, = 5 u y = 18 u. E //. lul. ) 45 u ) 5 u 51. En l gráfio, lul T. (T punto tngni). E u T ) 1 u ) 1 u ) 9 u ) 11 u ) 15 u 47. lul "x" n l gráfio : 48 m ) 5 m ) 48 m ) 47 m ) 46 m ) 45 m x ) 6 u ) ) 5 17 u ) 6,5 u 1 1 u ) 9 u 7 5. S un uro 16 m lo. on ntros n y sri irunfrnis ongrunts y rio. Lugo, l rio l irunfrni tngnt xtriormnt ésts y l lo mi : ) 1 m ) m ) m ) 4 m ) 5 m

115 5. s un rtángulo. H = u, H = 8 u. lul "x". 57. En l gráfio mostro, s un uro. lul, si : T = m. ( y T punto tngni). H x T ) 0 ) 5 / ) 7 / ) 5 ) En l gráfio, lul T. (T, Q y son puntos tngni). ) m ) 4 m ) 5 m ) 5 m ) m 58. lul, si : = y l prouto rios s m. Q u T r 5u 7u ) 8 u ) 6 u ) 9 u ) 65 u ) 10 u ) 6 m ) 4 m ) 9 m ) 8 m ) 7 m 59. En l gráfio, s un romoi, = 10 u y = 8u. lulr l longitu l igonl. 55. S tin un trpio isósls, un sus igonls mi 79 unis y l prouto ls longitus sus ss s igul 16 u. lul l longitu uno los los no prllos. ) 79 u ) 1 u ) 6 u ) 10 u ) 4 5 u 56. En l gráfio : = 8 u. lul. ( = ) ) 1 u ) 8 u ) 15 u ) 4 6 u ) 6 7 u 60. En l gráfio mostro, lul : n m 1 ) 1 u ) 6 5 u ) 5 u 5 ) 5 u ) 1 5 u ) 1 ) ) ) 4 ) 5 m n

116 lvs lvs

117 pítulo 11 ELINES ÉTIS EN ULQUIE TIÁNGUL I. TEE E EULIES II. TEE E STEWT rimr so ( 90 ) x m n m x..n.m mn m III. TEE E L EIN Sguno so ( 90 ) m m m m srvions : quí, s u l importnt rlión nomin "Ly osnos", qu s váli pr too triángulo. IV. ÁLUL E L ISETIZ * Intrior x m n.os x. m.n

118 * Extrior * En l rtángulo y m n ulquir punto t m n y t.. VI. TEE E LEN EULE V. ÁLUL E L LTU (Torm Hrón) h Smiprímtro : p p * Válio pr too urilátro. Q : sgmnto qu un los puntos mios ls igonls. Q h. p(p )(p )(p ) srvions * En too triángulo m m m m m m 4

119 Tst prnizj prliminr 01. lul H. 04. lul H, si : = 17 u, = 5 u y = 1 u. 1u 16u H 0u H 0. lul H. 05. lul l min. Si : = 8 u, = 1 u y = 6 u. 0u 15 u H 10 u 0. lul H, si : = 7 u, = 15 u y = 44 u. 06. Si : =, lul. 6 u 1u H 8 u

120 07. lul H. 10. lul E, si : = 4 u, = u y = u. 1u 15u H 14u E 08. lul. rtiqumos : 11. En l gráfio, lul. 8u 1u 10u 5u 7u 6u 09. lul, si : = 4 u, = 6 u y = 5 u. 1. En l gráfio, lul E. 7u 6u 5u E

121 1. En l gráfio, lul F, si : = 5 u, = 7 u, F = 4 u y F = u. 17. r qué vlors ntros "x", l triángulo mostro s otusángulo? 4 F x 14. lul l lo un romo, sino qu l punto mio un lo, ist los xtrmos l lo opusto 9 m y 1 m. 18. lul l prímtro un romo, si : = 9u, = 1 u y s punto mio. 19. En un triángulo. =, = y =. 15. En un triángulo los : = 1 u, = 15 u y = 14 u, s trz l istriz intrior l ángulo. lul l m ). lul H, sino H l prpniulr trz ih istriz. 16. lul "x". 0. Los los, y min 1 u, 14 u y 15 u rsptivmnt. lul l istni l punto mio l lo. 7 x

122 ) 5 u ) u rolms propustos 6. lul, si : //. = 4 u, = 5 u y N = u. 1. En un triángulo los 9 u, 10 u y 1 u. lul l vlor ntro un ls mins. ) 8 u ) 9,0 u ) 1 u ) 10 u ) 7,0 u N. Los los, y un triángulo min 8 u, 10 u y 1 u rsptivmnt. or "" s trz un vin E qu ivi l lo n os sgmntos, E = 9 u y E = u. lul E. ) 4 u ) 5 u ) 6 u ) 7 u ) 8 u. Los los un triángulo rtángulo min = 6 m, = 48 m y = 60 m, s trz l ltur H y l istriz qu ort l ltur n "Q". lul Q. ) 14 m ) 16 m ) 18 m ) 0 m ) m 4. En l gráfio : 1 7 u y l rio l irunfrni pquñ mi u. lul l rio l urnt. 1 ) u ) 5 u ) 5 u ) 6 u ) 5 u 5. lul, si : = y =. ( = ). ) 9 u ) 5,8 u ) 4 u ) 6 u ) 4 u 7. lul l longitu l sgmnto qu un los puntos mios ls ss un trpio, sino qu los los ltrls min 5 m y 7 m y ls ss s ifrnin n 6 m. ) 5 m ) 7 m ) 5 m ) 7 m ) 11 m 8. En un triángulo, s trzn l istriz intrior y l min, tl qu : =. lul, si:. = 144 m. ) 18 m ) 0 m ) 4 m ) 8 m ) 0 m 9. lul l ltur un trpio ss = 5u y = 6 u y uyos los no prllos min 1 u y 0 u. ) 8 u ) 10 u ) 1 u ) 6 u ) 6 u 0. S ui un punto "" l irunfrni insrit n un uro 4 m lo. lul :. ) 40 m ) 6 m ) 48 m ) 60 m ) 70 m 1. En l gráfio, lul "r", si : = 4 u, r 1 u. 45 r r 1 ) ) ) - ) ) ) 1 u ) / u ) / u ) u ) 1/ u. En un rtángulo, s ui un punto xtrior rltivo l lo, "", si : = 7 u, = 5 u, = 6 u. lul. ) u ) u ) u

123 ) 0 u ) 10 u. En un triángulo, xtriormnt rltivo, s ui "", tl qu : m ) = 90 y m ) = m ), si : = 5 u. lul : -, sino : 0 ) 7 u ) 15 u ) 10 u ) 0 u ) u 4. En l gráfio, lul E. u 8. Sor l lo un romo s ui l punto mio, tl mnr qu : () () 40 u. lul l prímtro l rgión roml. ) 40 u ) u ) 8 u ) 0 u ) 16 u 9. En un triángulo, s trz un prll por. L istriz intrior l ángulo ort ih prll n E. lul E, si : = 5 u, = 4 u y = 7 u. ) 4 5 u ) 5 u ) 5 u E 8u ) 5 5 u ) 5 u 40. Si s s qu ls longitus los los un triángulo, stisfn l siguint rlión :. =. lul l m ), si l m ) = 6. ) 6 u ) u ) 5 u ) 4 u ) 4 u 5. S tin l triángulo : m ) = m ), = 1 u y = 8 u. lul. ) 6 ) 7 ) 58 ) 49 ) En l gráfio, = 1 m y = 5 m. lul Q. ) 10 u ) 8 u ) 4 15 u ) 1 u ) 4 10 u 6. En l gráfio, lul "r". Q 5u r u 5 ) 1 15 ) 6 1 m ) 9 0 m ) m ) 6 16 m m ) u ) ) u ) 6 u u ) 5 u En l gráfio, s tin l triángulo quilátro, = 1 u y = 5 u. lul N, sino N punto mio. 7. En un triángulo, sor s mrn y N, tl qu : = N = N. Si : = 7 u, = 8 u y = 9u. lul : N. N ) 77 u ) 66 u ) 44 u ) 88 u ) 55 u ) 87 u ) 6 u ) 8 u

124 4. En un triángulo, otuso n "" : =, = y =. lul l m ), sino qu : ( ) ) 10 ) 150 ) 115 ) 105 ) En l gráfio, lul l longitu l sgmnto, si : s l iámtro l smiirunfrni. = u, = 8 u, Q = 4 u y = 6 u. 44. En un triángulo, os los min 7 m y m, ls mins rltivs ihos los son prpniulrs ntr sí. lul l istni l rintro l vérti omún ihos los. Q ) m ) m ) 5 m 4 ) m ) 6 m 45. En l gráfio, = 8 m, lul "x". (, N y Q son puntos tngni). 1 ) 876 u ) ) 10 u ) 984 u u ) 95 u N x Q 49. S un urilátro on Ĉ s rto, = 1 m, = 0 m, = 10 m, = 17 m. lul l longitu l proyión sor l rt qu ontin l sgmnto ) m m ) m ) 4 ) m ) m ) m m ) m 46. S un romoi on : = () y s punto mio. lul, si: = 9 m y = 6 m. ) m ) m ) 4 m ) 4 m ) 6 m 47. lul l longitu l hipotnus, sino qu : =11 u, = 7 u, = 8 u. ) 16 u ) 17,8 u ) 97 u ) 95 u ) 19,5 u ) 1 0 ) m 1 m En un triángulo, los los stán rprsntos por trs númros ntros onsutivos y l ángulo myor s ol l mnor. lul los los l triángulo. ) u, u y 4u ) 7u, 8u y 9u ) 6u, 7u y 8u ) 5u, 6u y 7u ) 4u, 5u y 6u 51. En l tirángulo rtángulo, rto n, los puntos 1,, y 4, ivin l hipotnus n ino prts iguls u y u. uánto mi l hipotnus? ) 1 u ) 15 u ) 18 u ) 1 u ) 5 u 5. S un triángulo los = y = u. Si l istriz l ángulo ort l lo opusto n y = 1 u; ntons, los ángulos y min : ) 60, 60 ) 90, 45 ) 100, 40 ) 10, 0 ) 150, 15

125 5. En un triángulo, s umpl qu : m ) = m ) ; = 6 u y = 8 u. lul. 58. En l gráfio, lul l lo l uro. Si : = y L =. ( y T son puntos tngni). ) 1 u ) 1 u ) 1 u ) 14 u ) 14 u L 54. En un trpio, ls ss min 6 u y 16 u, los otros os los min 7 u y 9 u. lul l longitu l sgmnto qu un los puntos mios ls ss. T ) 6 u ) 10 u ) 7 u ) 5 u ) 11 u 55. lul "x", si l longitu l lo l uro s 18 m. x ) ) ) ) ) ( )( ) ) 1 m ) m ) m ) 4 m ) 6 m 56. lul l longitu l irunrio un triángulo uyos los min 6 m, 8 m y 0 m. 60. Si s un uro lo qu mi 40u. lul Q. ( y Q : puntos tngni). Q ) 16,15 m ) 16,5 m ) 16,89 m ) 18 m ) 0 m 57. En l gráfio, lul "x", si : () ()() ) 61u ) 6 u ) 65u ) 69 u ) 77 u 6 x H ) 4 ) 17 ) ) 6 ) 8

126 lvs lvs

127 pítulo 1 ELINES ÉTIS EN L IUNFEENI I. TEE E UES III. TEE E L TNGENTE m x n. = m.m x. II. TEE E LS SENTES IV. UILÁTE INSIT F E. = F.E y x xy = + tolomo x y Vitt

128 Tst prnizj prliminr 01. Si : Q = Q; EQ = 4 u y QF = 9 u. lul :. E Q F 04. En l figur, lul. Si : = 4 u, = 16 u y = 10 u. 0. Si : Q = Q; EQ = 1 u y QF = 7 u. lul :. 05. l gráfio : =. lulr Q. Sino : = 4 u, = 5 u y Q = u. E Q F Q 0. En l figur, lul, si : = u, = 8 u y = 5 u. 06. Si : = u; = EF; = u; E = 10 u. lul : FG. G E F

129 07. Si :, y Q son vlors ntros onsutivos. lul Q. Q punto tngni. 10. Sino y puntos tngni. lul, si : = 4 u y = u. Q 08. Si : = =. lul, si : = 9 u y r = 7 u. rtiqumos : r 11. Si : = E = u. lul. E r 09. En l figur, lul, si : H = 8 u, H = 6 u y H = u. 1. Si Q s punto tngni. N = 9 u; F = 16 u y 4E = EF. lul : Q. H N F Q E

130 1. or un punto intrior un irunfrni rio 10u, s trzn ls urs umpliénos qu l prouto los 4 sgmntos trminos s 65. lul l istni ntr l punto mniono hi l ntro l irunfrni. 16. En l gráfio, = 9 u, Q = 4 u. lul. Q 14. S tin un irunfrni iámtro = 6 m, s trz un ur qu ort l iámtro n E y form un ángulo 0 on ést. Si l istni E l ntro s m. uánto mi? 17. En un irunfrni s trzn y EF os urs snts n Q, moo qu EF is. Si EQ y EQ min 8 u y 18 u n s orn. lulr l vlor. E 18. Sor l ro un irunfrni irunsrit un triángulo quilátro, s ui un punto, tl qu : = u y = 5 u. lul : lul, si : = u y = 1 u. "" s punto tngni. 19. En un triángulo utángulo s trzn ls lturs H y E, tl qu : E = u, H = u y H = 5 u. lul E.

131 0. S tin l trpio ( // ) isósls, tl qu : 4 5 u. lul l prouto ls ss.. En un triángulo m ) = 60, uyo inntro s "I" y + = 1 u. lul. ( irunntro l triángulo I). ) 6 u ) 6 u ) 1 u ) 4 u ) 4 u 4. En l figur, lul, si : = u y Q = 1 u. ( s ntro y punto tngni). rolms propustos Q 1. E y F son puntos tngni. rr l rlión orrt : F ) u ) 4 u ) 5 u ) 6 u ) 8 u E 5. En l gráfio : = 8 u, = 1u y m ) = 90. lul T. ) E F ) E F T ) E. F ) E.F E F ) E.F E F ) 4 u ) u ),5 u ) u ) u. En l figur, s punto tngni. F = =. lul, si : FL = 1 u, LG = 8 u. 6. Inir l vlor vr ls siguints rlions, ( Q). G L F I. Q ) u ) u ) 4 u ) 5 u ) 6 u II. 4 III. ) FFF ) VVF ) VVV ) FVV ) FFV

132 7. En l gráfio : = 1 u y Q = 8 u y = 45. lul. 1. S un urilátro insrito n un irunfrni (omo n l gráfio), on igonls qu s intrstn n. lul l vlor :.. Q ) 6 u ) u ) 4 u ) 5 u ) 4,5 u 8. En l gráfio, s punto tngni, = 1 u, = 6 u y = 5 u. lul : ( ) (). ) 1/4 ) 1 ) 1/ ) 1/ ). Sgún l gráfio : = 15 m, = 8 m. lul. ) 40 u ) 6 u ) 4 u ) 46 u ) 0 u 9. En l gráfio N s iámtro, = u y Q.S=60 u. lulr l longitu l rio l irunfrni. Q S N ) 7 u ) 6 u ) 4 u ) 8 u ) 5 u T ) 11 m ) 1 m ) 15 m ) 17 m ) 19 m. En l gráfio, = 5 m, = 4 m. lul. r 0. En l gráfio, s punto tngni, E = 4 u y F = u. lul FG. F ) m ) 4 m ) 5 m ) 6 m ) 7 m ) u ) 4 u ) 5 u ) 6 u ) 8 u E G

133 4. En l figur y son puntos tngni. Si : E = 8 u, E = 4 u. lul. 8. Grfir un smiirunfrni iámtro. Trzr ls urs F y E qu s intrstn n "Q". lul l vlor F, sino qu : Q = 8 m, QF = 4 m, QE = 6 m. 60 ) 1 u ) u ) u ) 4 u ) 5 u 5. En l gráfio, lul QN. ("T" punto tngni), T = 9 u, EN = u. T E ) 6 4 ) 10 4 ) 11 ) 16 4 ) 7 9. Los ntros l irunfrni insrit y irunsrit un triángulo son I y n s orn. L prolongión I ort l insrit n y l irunsrit n, l prolongr I ort l insrit n Q y l irunsrit n N. lul l vlor l inrio, si : = y QN =. ) ) ) N E ) ) Q ) u ),5 u ) 4 u ) 4,5 u ) 5 u 6. En l gráfio, s punto tngni. = 6u y = 4u. lul Q. 40. lul : Q. Si : = S = Q. S Q Q 1 ) 4 u ) 5 u ) 6 u ) 8 u ) 9 u 7. En l siguint figur s mustr un smiirunfrni ntro y rio. Sino l lo un polígono insrito 18 los. N = =. = 5u. lul N n funión. N ) 5 5 ) ( 1) ) ) ( 1) 41. lul : T, si : m ) H = m ) y = 8. (T s punto tngni). ) ( 1) ) ) 5 5 ) 5 ) 5 ) 5 ) 4 u ) 6 u ) 8 u ) 1 u ) 16 u H T

134 4. En l gráfio : y Q son puntos tngni. Si : = 6 u, Q = u, = u, lul E. 46. l gráfio: = ; = u; G= 4 u y F = 1u. lul E. E Q F G E ) 0,5 u ) 1 u ) 1,5 u ) u ) 1, u 4. En l gráfio, lul, si : L = 5 u y L = 4 u. ( y son puntos tngni). ) 18 u ) 0 u ) 5 u ) 0 u ) 5 u 44. En un irunfrni s trzn los iámtros L prpniulrs y qu s ortn n, lugo s trzn ls urs E y F, ls uls s intrstn on y n y N rsptivmnt. Si l rio l irunfrni mi 1 u. lul : ()(E (F)(N) ) 1 u ) u ) u ) 4 u ) u 45. Si : = 8 u, = 6 u y s iámtro. lul N. ) u ),4 u ),5 u ),5 u ) u 47. En un irunfrni 16 m iámtro s trz un ur T 1 m y por T un tngnt T l irunfrni, sino un snt qu ps por l ntro l irunfrni. L istni l irunfrni srá n m. ) 5 m ) 54 m ) 56 m ) 58 m ) 50 m 48. En l gráfio : L 1 // L, = 10 u y = 8 u. lul Q. L 1 L Q ) 10 u ) 1 u ) 11 u ) 16 u ) 18 u 49. Grfiqu l urilátro insriptil, moo qu : =, m ) = 10, = 6 u y = 4 u. lul. ) 11 u ) 1 u ) 15 u ) 17 u ) 19 u N ) 4 u ) 5 u ) 7/ u ) 10/ u ) 14/ u H

135 50. En l gráfio, y T son puntos tngni. Si : = y =, lul l vlor. 54. y son puntos tngni. Si : E = 6 u y EF = 4 u. lul FG. G F T E ) ) ) ) ( ) ) 51. En un triángulo insrito n un irunfrni, ls sgits orrsponints lo mi 1 u, u y u. lul l mi l mnor lo l triángulo. ) 5 u ) 6 u ) 7 u ) 8 u ) 9 u 5. En un triángulo rtángulo rto n, s trz l vin = 6u. Si los inrios los triángulos y son iguls, lulr l prouto los xrios rltivos los ttos. ) 15 ) 0 u ) 18 u ) 6 u ) 4 u u 5. Sgún l gráfio, lulr "r" n funión "x" "y". Si : "x" "y" tinn vlors máximos. ) 1 u ) 16 u ) 18 u ) 0 u ) u 55. En l gráfio : N = 10 u, N = 15 u, = = 7 u. lul T, si T s un punto tngni. T N F ) 5 u ) 10 u ) 1 u ) 15 u ) 16 u 56. l figur, = ; = 1u; Q = u. (, N y T, puntos tngni). lul : Q. Q. E y x r T ) xy ) x y ) xy N Q ) xy ) x y ) ( 1) u ) ( 1) u ) 4( 1) u ) ( ) u ) 5( 1) u

136 57. Un ur qu mi m prtn un irunfrni ntro. ih ur s ivii n mi y xtrm rzón por un punto. lul l rio l irunfrni, sino qu l punto ist 1 m l ntro. ( 5 1) ) m ) ) ( 5 1) m ) ( 5 1) m ) m 58. En l gráfio : H = 1 u, H = 4 u y N = 6 u. lul N m 59. lul, si : E = 6 u y () = (). ) 1 u ) u ) u ) 6 u ) 4 u 60. En l gráfio: y son puntos tngni. Si : = y E =. E E F E H N ) 5 u ) 5 u ) 6 u ) 4 u ) 5 u ) ) ) ) )

137 lvs lvs

138

139 pítulo 1 LÍGNS EGULES LÍGNS EGULES l n l n H * olígono rgulr..., n los * ntro : * irunrio : * ro o ) ntrl : 60 n * Lo l polígono insrito : l n * potm: H * Elmnto rprsnttivo : ÁLUL EL L E LÍGNS EGULES ÁS USULES I. Triángulo Equilátro II. uro =10 =90 l 4 l l 60 0 l 4 l 4 60 En l : = m = 10 l 4 En l : = m = 90 III. IV. Hxágono gulr = 60 E tógono gulr 45 l 8 F 60 l 6 En l l8 l8 l 8 ÁLUL L EL TE (p) potm l n l n : En l = m = 60 l 6 = m = 45 En l p p p : l 1 4 : os45 n l n 4 l n IVISIÓN E UN SEGENT EN EI Y EXTE- ZÓN x (>) l or finiión : x x l( l l( 5 1) x) ntons, l soluión s : * (o s "x") s l sión áur. * ( 5 1) s l nomin númro áuro.

140 LÍGNS EGULES Triángulo ro o < ) ntrl Lo 10 l uro 90 l 4 Hxágono 60 l 6 ntágono 7 l tógono 45 l 8 ágono 6 l 10 ( 5 1)/ oágono gulr 0 l 1 l Si x s l sión áur. x x l ( 5 1) / : irunrio

141 Tst prnizj prliminr 01. Si: "": ntro, "T": punto tngni. lulr: "x". l 6 x T 04. Si: l ; l 6 ; l4 Entons, s: 0. l gráfio, lulr : "x". 05. Si: l ; l 10. Entons, x mi: l 6 x l x 0. lulr "x". 06. Si : = 6, l, ntons, mi : l 8 l 5 x

142 07. lulr: x, si : l 4 ; l. x 10. l gráfio, l 4 4 irunfrni., lulr l rio l l En l figur mostr s umpl: //, m ) E 14 y s l lo l pntágono rgulr insrito n l irunfrni. Hllr m ) E. rtiqumos : 11. uál s l polígono rgulr uyo lo s l ol su potm? E 1. lulr l rlión ntr l inrio y irunrio un triángulo quilátro. 09. Hllr : m ). l l 4 1. En un pntágono rgulr E, s trz E y qu s intrstn n "F". Si: EF 7, lulr l lo l pntágono.

143 14. En un irunfrni rio, s tin un ur qu mi. qué polígono rgulr l sgmnto s un lo? 19. lulr l longitu un ls igonls un pntágono rgulr uyo lo mi. 15. Un triángulo quilátro stá insrito n un irunfrni rio 6. Hllr l lo l hxágono rgulr insrito n l triángulo. 0. Si l lo un pntágono rgulr mi ( 5 1) mtros, hllr l sum ls longitus tos sus igonls. 16. ig uánto mi l lo un hxágono rgulr irunsrito un irunfrni rio igul 4. rolms propustos 1. En un triángulo insrito n un irunfrni, s tin qu : = l ; = l 4. lulr l mi l lo, si l mi l rio l irunfrni s. 17. Un uro y un hxágono rgulr s insrin n un mism irunfrni; l rzón sus potms s: ) ) 6 ) 6 ) ). S tin un otógono rgulr insrito n un irunfrni rio igul. Hllr l prímtro qul polígono qu s otin l unir onsutivmnt los puntos mios sus los. ) 1 ) 18 ) 0 ) 4 ) En un mism irunfrni, l oint l prímtro l hxágono rgulr irunsrito ntr l prímtro l hxágono rgulr insrito, s :. o un oágono rgulr insrito n un irunfrni rio 4 m. Hllr l prímtro l polígono qu s otin l unir los puntos mios sus los. ) 1 m ) 18 m ) 4 m ) 0 m ) 6 m 4. o un uro lo "L", prtir vérti y sor lo s tom un sgmnto "x", tl mnr qu l rtirrlos y unir los xtrmos lirs s form un otágono rgulr. Hllr "x". L ) ( ) L ) ( 1) L ) ( 1) L ) ( 1) L ) ( )

144 5. En un hxágono rgulr EF lo 1, ls prolongions l igonl y l lo EF s ortn n "". Hllr. ) 10 ) 11 ) 1 ) 1 ) 6,5 6. En un polígono rgulr EF... s umpl qu 7(m ) ) = m ), = 5. lulr l rio l irunfrni irunsrit iho polígono. ) Ln 4 L n ) L n 4 L n ) L n L n. Un vntn ur lo 60 m tin l form l isño o. Ls urvs son ros irunfrni. Entons, l longitu firro uso n l onstruión l vntn, s: ) 10 5 ) ) 5 1 ) 5 1 ) Un triángulo quilátro stá insrito n un irunfrni rio m. lulr l sum ls lturs l triángulo. ) 6 m ) 6 m ) 9 m ) 9 m ) 8 m 8. En un triángulo rtángulo rto n, s trz l vin F, tl qu : = F, m ) F = 60 ; y m. Hllr l longitu F. ) 1 m ) m ) m ) m ) m 9. Hllr l lo un polígono rgulr insrito n un irunfrni rio 5m, si s s qu su potm s l ifrni l lo l polígono on l rio l irunfrni irunsrit. ) 10(1 ) m ) 10( ) m ) 40(1 ) m ) 40( ) m ) 10( ) m. En l figur, l triángulo s quilátro, s punto mio l lo y s punto mio l ro. Si x y rprsntn ls longitus los sgmntos y E rsptivmnt, hllr x/y. ) 7 m ) 8 m ) 9 m ) 6 m ) 5 m 0. S tin un uro lo 8. Si prtir vérti s isminuy un irt longitu "x" s formrán n squin triángulos rtángulo isósls. Eliminánolos qurá un polígono 8 los. Hllr "x" pr qu l polígono rsultnt s rgulr. ) 8( ) ) 8( 1) ) 8( ) ) 8( 1) ) 8( 1) 1. Un polígono rgulr n los, uyo lo mi L n stá insrito n un irunfrni uyo rio mi. lulr l longitu l lo l polígono rgulr ol númro los qu l ntrior (L n ), insrito n l mism irunfrni. ) Ln 4 L n ) 5/ ) ) 4 ) 8/ ) 7/ E 4. Los los y un triángulo min m y ( 5 1)m, rsptivmnt. lulr l m ), si : m ) =18. ) 0 ) 45 ) 15 ) 0 ) 7 5. Si l lo l oágono rgulr EFGHIJKL mi 6 m, hllr l longitu E. ) 1 m ) m ) m ) 4 m ) 5 m ) Ln 4 L n 4

145 6. Si l prímtro l rtángulo NELY s 180 m, inir l prímtro l rgión somr. E L 4. s un uro lo m,, y son ntros. lulr l vlor Q. N Y Q ) 5 m ) 6 m ) 9 m ) 8 m ) 7 m 7. Hllr l longitu l lo un oágono rgulr sino qu l rio l irunfrni insrit n él mi 1m. ) ( ) m ) ( ) m ) ( ) m ) ( ) m ) ( ) m 8. En l figur "", ivi l iámtro n mi y xtrm rzón. lulr T, si: 5. T ) m ) m ) m ) m ) ( 5 1 ) m 4. El tto mnor un triángulo rtángulo mi :, y s igul l longitu l istriz intrn rltiv l hipotnus. Hllr l longitu l hipotnus. ) 1 m ) m ) m ) 4 m ) 6 m ) 0,5 ) 1 ) 1,5 44. s un uro uyo lo mi 4. lulr l istni "F" l punto mio "E" l F. F ) ) 5 E 9. En un polígono rgulr EFG, si: lulr ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 ) ) ) 6 ) 4 ) En unnágono rgulr EFGHI sumplqu: + = 14m. lulr G. ) m ) 7 m ) 11 m ) 14 m ) 1 m 41. Enunpolígonorgulr 1losEFGHIJK. =, E=. lulr J. ) + ) ) ) ) 45. En un triángulo, on : m ) = 45 y m ) = 15, s trzn ls lturs H y Q. Hllr: QH, si: = 0 m. ) 10 m ) 5 m ) ( 5 1) m ) 5 m ) 10 m 46. o un triángulo otuso n "", tl mnr:, 5 1 y l m ) 18. trminr l m ). ) 18 ) 9 ) 7 ) 54 ) 6

146 47. lulr l lo l polígono rgulr 16 los irunsrito un irunfrni rio. ) 4 ) ) ) ) 48. En un otógono rgulr EFGH insrito n un irunfrni n l ro, s ui l punto "" mnr qu: y F min "m" y n. Hllr: "H". ) n + m ) m + n ) m - n ) mn m n ) n - m 49. En l figur, lulr, si : = 5 5. (, punto tngni). 51. lulr l flh orrsponint un ur qu sutin un ro 144 n un irunfrni 8 unis iámtro. ) ( 1) ) 5 5 ) ) 5 1 ) 5. S tin un polígono rgulr insrito n un irunfrni rio, uyo potm mi "" unis. lulr l potm otro polígono rgulr l ol númro los qu l ntrior, si uyos prímtros son iguls. ) ) ) ) ) 5. L sión áur l sgmnto s, l sión s, l sión áur s F. Si : = 4, lulr F. ) ( 5 1) ) ( 5 1) ) 4( 5 ) ) 5 1 ) ( 5 1) 54. En un oágono rgulr EFGHIJKL, E y F s intrstn n. lulr E, si : =. 18 ) 1 ) ) ) 5 1 ) 5 1 ) ( 5 1) ) 5( 5 1) ) ( 5 1) 50. En l figur, E s un pntágono rgulr. lulr E, si : N =. ) ) En un romoi, s umpl qu =, hllr:, si: m ) = 0 y 5 m. ) m ) m ) m ) 1 m ) 6 m 56. En un triángulo rtángulo, l ángulo "" mi 11 15' y l hipotnus s igul Hllr l mnor ltur l triángulo. 4 m. N ) 1 m ) m ) m ) m ) m E 57. Si s un uro uyo lo mi 180 m, hllr l prímtro l rgión somr. ) ( 5 ) ) ( 5 1) ) 4( 5 1) ) 8( 5 ) ) 4( 5 1)

147 ) 5 m ) 55 m ) 56 m ) 57 m ) 58 m 60. En l figur,. lulr. 58. S tin un otógono rgulr EFGH insrito n un irunfrni rio. Hllr l istni l punto mio E. ) 10 ) 11 15' ) ) 8 ) 59. En un triángulo, s trzn ls vins F y E umpliénos qu: m ) F m ) E 15 y, m ) 10. lulr EF, si : =. ) ) ) ) 4 ) ) ) ) ) )

148 lvs lvs

149 pítulo ÁES E LS EGINES 14 LIGNLES Y ELINES E ÁES ÁE E L EGIÓN TINGUL * Form ási ÁE EN FUNIÓN E LS IS * on l Inrio Válio pr too polígono irunsrito. h = p. r r p : smiprímtro h * on l irunrio.. 4.h * Form Trigonométri * on los Exrios.. Sn * Fórmul Hrón r r r p : Smiprímtro (p (p (p )r )r )r 1 r 1 r r.r.r. r 1 r 1 r p(p )(p )(p ) r : Inrio l triángulo.

150 SS TIUL ES * Trpio * Triángulo Equilátro l l l 4 h ( ).h l * Triángulo tángulo * ulquir urilátro =. y longitus ls igonls = m.n..sn m ÁE E L EGIÓN UNGUL n ELINES E ÁES rim r lión F F = F F * rllogrmo F h onsunis : =. h * * S S 5 n 5n * urilátro Insrito * * S S S S S S S S p : Smiprímtro srvions : (p )(p )(p )(p )

151 Sgun lión srvions : m 1 En l trpio, s umpl qu: * Si : ó n. m. n =. Trr lión * Q ~ h 1 h = Si : ~ Q Q h h 1 * Válio pr too pr polígonos smjnts. k * x y x = y urt lión En too urilátro onvxo * y. = x.y Q = Q x En too urilátro x x =

152 Tst prnizj prliminr 01. En l figur, l triángulo s quilátro y N //. Hllr l ár l rgión tringulr N, si: = 1 y = s un trpio uy ár su rgión s igul (7 ) m. Hllr l sis l vérti. Y N (;) X 0. Hllr l ár l rgión tringulr N, si : = 0 y = En l figur, l ár l rgión l tringulr s igul los 5/16 l ár l trpio isósls. Ls oorns l punto mio l sgmnto son: N Y X 0. En l figur s tinn un uro uyo lo mi, si y N son puntos mios. Hllr l ár l rgión somr. (T : punto tngni). N T 06. Hllr l ár l rgión l triángulo, si : = 1, = 5 y l triángulo s quilátro.

153 07. L siguint figur stá form por os uros lo "". Si l ár l triángulo = 10 m. 7 lulr l ár l rgión somr. 10. En l figur, si l triángulo tin s "" y ltur "h", ntons, l ár l rgión l rtángulo insrito s: / h x 08. En l siguint figur,, N,, Q; son los puntos mios los los l uro. Si l lo l uro s 5 m, lulr l ár l rgión somr. rtiqumos : 11. lulr l ár l rgión un triángulo quilátro, sino qu l rio l irunfrni insrit mi. Q N 1. S tin un triángulo isósls uyos los igul longitu min m. r otnr un triángulo on l myor ár posil, l trr lo tnr un longitu : 09. Hllr l ár l rgión tringulr Q, si s un uro y (Q)()=0. Q 1. El triángulo, qu pu sr insrito n un smiirunfrni rio "r", tin un rgión uy ár s máxim y su vlor s:

154 14. En un triángulo rtángulo hipotnus 50u y, on l tto s l ol l otro, lulr l ár l rgión l triángulo. 19. En un triángulo, isósls on, l ltur qu prt mi 8 m y l prímtro m. El ár l rgión tringulr s: 15. Hllr l rzón ntr ls árs un rgión tringulr quilátr y un rgión ur, si sts rgions son isoprimétris. 0. Si n un triángulo ls lturs min 1m, 15m y 0m, ntons, l ár su rgión n m s: 16. El ár l rgión un uro s 100 m ; stá insrito n un irunfrni. uál s l ár l rgión l uro qu s pu insriir n l mit l mism irunfrni? rolms propustos 1. Los rios ls irunfrnis xinsrits rltivs los ttos un triángulo rtángulo min 4 y 8. Hllr l ár l rgión l triángulo. ) 100 ) 1 ) ) 80 ) S tinn irunfrnis tngnts xtriormnt os os. Hllr l ár l rgión l triángulo qu s form l unir sus ntros, si s s qu l prouto susrioss8 m y l sum sus rios s 6m.. En un triángulo, sus xrios vln u, u y 6u. Hllr l ár l rgión tringulr. ) 1 ) 16 u ) u ) 8 u ) 6 u. Trs los un urilátro onvxo vln u, 4u y u. uál los siguints vlors pu sr l ár l rgión urngulr? u ) 1 ) 18 u ) 14 u ) 6 u ) 15 u u 18. lulr l ár l rgión un triángulo quilátro qu tin por ltur l rio l irunfrni irunsrit otro triángulo quilátro 18 m ár su rgión. 4. En un smiírulo, s nuntr insrito un uro "S" 10 m ár. trminr l ár l rgión l uro insrito n too l írulo. S ) 40 m ) 00 m ) 600 m ) 0 m ) 150 m

155 5. En un triángulo s trz l irunfrni xinsrit rltivo l lo, tngnt n y ls prolongions los los y rsptivmnt, sino "" ntro ih irunfrni. Si : = 10, = 17 y = 1. Hllr l ár l rgión tringulr. ) 47,6 ) 57,6 ) 67,6 ) 77,6 ) 71, 6. En un triángulo, s s qu = 8, = 9. r qué vlor l ár l rgión tringulr srá máxim? ) 16 ) 17 ) 145 ) 15 ) En un triángulo isósls, l s mi 15 y l ltur rltiv uno los los iguls mi 1. lulr l ár l rgión tringulr. ) 50 ) 75 ) 90 ) 100 ) Los los un triángulo min 6, 18 y 0. lulr l ár st rgión tringulr. ) 6 ) 9 ) 1 ) 15 ) L longitu l lo un uro s 6 m. S onstruy xtriormnt l triángulo quilátro E y s trz E. lulr l ár l rgión tringulr E. ) 6m ) 9 m ) 1 m ) 8 m ) 10 m 0. L s un triángulo isósls s. Si ls mins trzs hi los los ongrunts s ortn prpniulrmnt, ntons, l ár l rgión tringulr s : ) ) ) 1,5 ),5 ),5 1. En un triángulo, s ono qu l ltur H y l min trisn l ángulo. lulr l ár l rgión tringulr, si: H = 1m. ) m ) 4 m ) m ) 4 m ) 8 m. Ls lturs un triángulo min 6u, 8u y 1u. Hllr l ár l rgión tringulr. ) 4 5 u ) 5 u 16 ) 5 u 5 ) 455 u ) u 5. En un hxágono rgulr lo L, s unn los puntos mios utro los opustos os os. Lugo, s unn los puntos mios los los l rtángulo qu s formó, otniénos un urilátro. Hllr l ár l rgión limit por st urilátro. ) ( / 8)L ) ( / 4)L ) ( / 8)L ) ( / 4)L ) ( / )L 4. s l vérti uno los ángulos guos un romo s trzn prpniulrs m longitu hi ls prolongions los los opustos. Si l istni ntr los pis ihs prpniulrs s m. Hllr l ár l rgión limit por l romo. ) ) ) ) ) El árlrgióntringulr s150m. más, s s qu l sgmnto qu un l punto intrsión ls mins on l punto intrsión ls istris s prllo uno los ttos. lulr los ttos. ) 60 m y 5 m ) 5 m y 1 m ) 15 m y 0 m ) 0 m y 10 m ) 50 m y 6 m 6. s un uro. E stá n y F stá n l prolongión, moo qu E F. Si l ár l rgión s 56 y l ár l rgión tringulr EF s 00, trminr F. ) 5 / ) 9 ) 0 / ) 1 ) 17 / 7. toos los rtángulos prímtro 4 y imnsions ntrs, ls imnsions l rtángulo ár máxim: ) Son 5 y 7. ) Son 8 y 4. ) Son 9 y. ) No pun trminrs. ) 6 y Sor los ttos un triángulo rtángulo, longitus 5 y 7 rsptivmnt, onstruimos os triángulos rtángulos isósls y E, tomno y por hipotnuss. lulr l ár l rgión l polígono rsultnt. ) 0 ) 6 ) 8 ) 6 ) 45

156 9. En un triángulo rtángulo, uyos ttos tinn un longitu 50 m y 10 m, s insri un rtángulo qu tin os sus los ontnios por los ttos y uno sus vértis stá n l hipotnus. trminr l ár máxim ih rgión rtngulr. 44. Sino un uro lo ""; hllr l ár l rgión somr, si y son ntros los ros. ) 100 m ) 1500 m ) 1750 m ) 000 m ) 500 m 40. Sor los los un uro, lo igul "L" s lolizn, igul istni los vértis, los puntos, Q, y S, qu l unirs trminn l urilátro QS tl omo s mustr n l figur. Entons, los vlors x qu hn qu l rgión QS tng ár mínim y máxim, son rsptivmnt. Q x x L x S x ) L/, L/ ) L/, L/4 ) 0, L/ ) L/5, L ) L/, Hllr l ár l rgión un polígono rgulr insrito n un irunfrni rio, sino qu l ol su prímtro s igul l prímtro l polígono rgulr l mismo númro los, pro irunsrito l irunfrni. ) ) 4 ) ) ) En l gráfio, hllr l ár l rgión somr, si: = 16. (Q,, punto tngni). ) ) ) ) ) Sgún l gráfio, lulr l ár l rgión somr; si T =. ("T" s punto tngni). T 75 0 ) / ) /4 ) ) ) S un triángulo rtángulo isósls ( m ) 90 ). Extriormnt, onstruy l uro E. E y ortn n los puntos "" y "N" n s orn. Si l ár l rgión tringulr N s "S" m. lulr l ár l rgión ur E. ) 6.S m ) 8.S m ) 10.S m ) 1.S m ) 4.S m ) 56 ) 15 ) 18 ) 144 ) Sor uno los los un triángulo quilátro s onstruyn xtriormnt uros, uyos prímtros son iguls 16 unis. lulr l ár l rgión tringulr uyos vértis son los ntros los uros. Q 47. En un irunfrni, ntro "" y iámtro, s ui l punto "", tl qu: = ; s trzn ls urs S y y qu intrsn n los puntos y N, s trz H prpniulr, si : = 4; NH = y H =1. más: m ) S = 90. lulr l ár l rgión tringulr N. ) 5 11 u ) 6 1 u ) 11 u ) 16 ) ( ) ) 4( ) ) 171 u ) 17 u ) 8( ) ) 4( )

157 48. S tin un uro, sor y s uin los puntos y N rsptivmnt. Si : = u; N = u, lulr l ár l rgión tringulr N, si l m ) N Si los rios los írulos son y 4, hllr l ár l rgión somr. ) 4 u ) 1 u ) 6 u ) 15 u ) 5 u 49. Ls árs ls rgions l otágono rgulr y l oágono rgulr insritos n un mism irunfrni stán n l rlión : ) / ) / ) / ) / 4 ) / Un triángulo, s nuntr insrito n un irunfrni rio ; s trz l ltur H y lugo ls prpniulrs H y HQ y hi los los y (n s orn). Si : Q =, lulr l ár l rgión tringulr. ) ) ) (+) ) ( ) 4 ) 51. En l figur, = 7 y = 6 y = 11. lulr l ár l rgión somr, si "I" s inntro l triángulo. (T, y, puntos tngni). ) 6 10 ) 8 6 ) 10 5 ) 1 ) 4 5. l gráfio, si I 1 I son los inntros los triángulos H y H, rsptivmnt, hllr l ár l rgión "Sx" n funión S 1 y S. I T ) 50 ) 51,1 ) 5,6 ) 56,9 ) 56,4 54. Extriormnt los los l triángulo s onstruyn los triángulo rtángulo, Q y L, tl qu :, Q y L. Hllr l ár l rgión tringulr si l ár los rgions tringulrs, Q y L son 1, y u, rsptivmnt. ) 7 u ) 1 u ) 7 u ) 14 u ) El ár l rgión tringulr s 5m ; s tin un rt xtrior l triángulo l ul s trzr ls prpniulrs, Q y. Hllr l ár l rgión tringulr qu s form l unir los puntos mios :, Q y. ) 10 ) m ) m ),5 u m ),5 m m 56. Si l ltur un trpio rtángulo s 6 y sus igonls son prpniulrs, hllr l ár mínim l rgión limit por l trpio. ) 1 ) 7 ) 6 ) 4 ) En l figur mostr, lulr l ár l rgión somr, sino: m y =. E S S 1 x S I 1 I H ) 15 6 m ) ( 1) m ) m ) S 1 +S ) S1 S ) S 1 S ) ( 6 1) m ) m ) S 1 S ) S 1 S S1 S

158 58. En l figur, si s un uro, =, lulr l ár l rgión somr, sino: = 4m. (T : punto tngni). T 60. En un triángulo insrito n un irunfrni ntro "", s trzn los iámtros, F y E, ls árs ls rgions tringulrs, F y E min 5, y 4m rsptivmnt. lulr l ár l rgión tringulr. ) 10 m ) 1 m ) 14 m ) 18 m ) 15 m Q ) m ) 4 m ) 5 m ) 6 m ) 7 m 59. l gráfio mostro, hllr l ár l rgión somr, si : E =, E =, + + = 5. : uro. E ) 5 ) 5/ ) 5/ ) 5 ) 5

159 lvs lvs

160 ELIÓN EÁES E EGINES LIGNLES 01. Si l ár l triángulo s 90 m, lulr l ár l rgión somr. 04. Si l ár l prllogrmo s 4m, lulr l ár l rgión somr. n n Q 0. El ár l rgión somr s 1m. lulr l ár l rgión tringulr. 05. El ár l rgión urngulr s 48 m. lulr l ár l rgión somr. 0. Qué frión l ár l rgión l tringulr, rprsnt l ár l rgión somr? 06. Si l ár l rgión l triángulo s 6 u, lulr l ár l rgión somr.

161 07. lulr l ár l rgión l trpio mostro En l figur, s un prllogrmo. lulr S x. S 16 S 1 S x 08. El ár l rgión tringulr s 4 m. lulr l ár l rgión somr. rtiqumos : 11. En un trpio uys ss min m y 1m, s trz un prll ls ss pr iviirlo n os figurs quivlnts. uál s l longitu ih prll? Q 1. En un urilátro onvxo, s tom l punto mio l igonl. lulr l ár l rgión tringulr, sino qu ls árs l rgión los triángulos y min 40 y 60 m, rsptivmnt. 09. Si l ár l rgión l triángulo s 40 u, lulr l ár l rgión somr. 1. S un urilátro ; los puntos mios sus los trminn l prllogrmo QS; los puntos mios los los ést trminn otro prllogrmo NLT. Si los puntos mios st último trminn un romo qu limit un rgión 7m, ntons, l ár l rgión l urilátro, s :

162 14. En un triángulo, s trz l sgmnto on sor l lo. Tmién trzmos l sgmnto E on E sor l lo. Si smos qu: 1 6 y 1 Ár( ), hllr :. E 5 Ár( E) 18. Hllr l ár ls rgión un triángulo isósls, sino qu : = = 0 m, y qu l prpniulr n su punto mio, ort n E y qu : E 1 E o un triángulo quilátro uy ár su rgión s 9 u. S trz os rts prlls l s, qu ivin l triángulo n trs rgions quivlnts. uál s l longitu l prll más rn l s? 19. Ls igonls un trpio ivin ést n utro triángulos. Hllr l ár l trpio, si ls árs los triángulos ynts ls ss son iguls 1,69 m y 1,1 m. 16. o un triángulo, uy ár su rgión s 18 m, s trz l ltur H. Si l mitriz intrs n N, lulr l ár l rgión urngulr NH. 0. S tin un urilátro, sino "" punto l intrsión sus igonls. Sino qu : = x, = x, = 8x, = 5x, y qu l ár l rgión tringulr s igul 48 m ; l ár l rgión l urilátro, n m, srá : 17. En un triángulo, s trzn ls lturs H y. lulr l rzón ntr l ár l rgión tringulr H y l ár l rgión urngulr H, si más : m ) = 5.

163 rolms propustos ) ( 18 4 )m ) 4 7 ( ) 8 m 1. En l figur, = = = E y ls rts horizontls son prlls. S : x = ár l rgión tringulr H y s: z = ár l urilátro FGE. Lugo, x s: z H G 1 7 ) ( ) m ) ( ) m ) ( ) m 4 5. El ár l rgión l triángulo s "S". Si : = y E = EF = F, hllr l ár l rgión somr. F E ) 1/16 ) 5/7 ) 1/14 ) 1/ ) /. L figur s un uro lo "". El vérti s un on los puntos mios los los y ; lugo s trz l sgmnto qu un los puntos mios y. Hllr l ár l rgión tringulr Q. ) /9 ) /8 ) /4 ) /6 ) /1. S tin un triángulo insrito n un irunfrni. L tngnt n, l irunfrni, ort n l prolongión ; si:. =. y l ár l rgión tringulr s "k" unis urs. Hllr l ár l rgión tringulr. ) K u K ) 5 K ) 5 u ) 4 K u S Q T N u K ) 7 u 4. os irunfrnis s nuntrn sprs y l istni ntr sus ntros, y s 8 m, sino sus iámtros 4 y 10 m, rsptivmnt., s trz un snt qu ort n y S l otr irunfrni, on S = 6 m. Si s l proyión sor, lulr l ár l rgión tringulr. S ) 0 ) 8 S E ) S 0 7S ) 0 F ) 10 S 6. o un uro sor los los y s tomn los puntos y N rsptivmnt tl qu: m ) N 45 ; intrs y N n los puntos y Q rsptivmnt. Si : { N} {Q} F ; si l prolongión F ort N n "k", tl qu: F=10 y FK=. Hllr l ár l rgión tringulr N. ) 1 ) 4 ) 0 ) 40 ) 4 7. l gráfio : m ) TQ 60, mt=m, N = NQ. lulr l ár l rgión somr n funión. ) 7 ) 8 ) 5 7 ) 5 ) T Q N

164 8. En un triángulo, s trzn y Q prpniulrs ls istris xtriors los ángulos y rsptivmnt. Lugo, s trz I prpniulr (I: inntro l triángulo ). lulr l ár l rgión tringulr, si l ár l rgión IQ 64 u. ) 64 u ) u ) 16 u ) 18 u ) 4 u 9. Grfir l urilátro y uir y N puntos mios y rsptivmnt. En N, uir l punto. Si ls árs ls rgions tringulrs,, ysons 1, S, S y S 4 rsptivmnt, hllr l rlión qu umpln S 1, S, S y S 4. ) S1.S S. S4 ) S 1 S S S4 ) S.S S. S4 ) S S S1 S4 ) S1 S S S 4 0. L figur mustr l uro on Q. Inir l rlión orrt ntr ls árs ls rgions somrs.. En l figur,, y rprsntn ls árs ls rgions somrs. trminr l rlión orrt ntr ihs rgions. ) ) = + ) ) =4 ) = -. Si s un uro, nontrr l rlión ntr, y. ) + = ) + = ) + = ) + = ) + = 4. Si s romoi, hllr l rlión ls árs : S 1, S, S y S 4 ; si : //. ) = - 1 ) ) 1 1 ) ) ( ) ()(1) En l figur: 5T= T. lulr l rzón ls árs ls rgions tringulrs F y E. (T, E y F puntos tngni). T F Q S 1 S S S 4 ) S 1 + S = S + S 4 ) S 1 + S 4 = S + S ) S 1 + S = S + S 4 ) S 1. S = S. S 4 ) S 1. S = S. S 4 5. Si "G" s l rintro l triángulo y más (Q) +() +(Q) =, hllr l sum ls árs ls rgions los uros mostros. S G Q T E N ) /5 ) 1/ ) 1/ ) 9/5 ) 5/8 ) 1 ) ) ) 4 ) 5