EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL

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1 EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL 1.- Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L 1 y L 2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L 1 y de 30 minutos para el L 2 ; y un trabajo de máquina de 20 minutos para L 1 y de 10 minutos para L 2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L 1 y L 2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. 2.- Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7, respectivamente. Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio? 3.- En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30. Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? 4.- Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 y la pequeña de 1. Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo? 5.- Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 ; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

2 Ejercicio 1 DESARROLLO 1Elección de las incógnitas. x = nº de lámparas L 1 y = nº de lámparas L 2 2Función objetivo f(x, y) = 15x + 10y 3Restricciones Pasamos los tiempos a horas 20 min = 1/3 h 30 min = 1/2 h 10 min = 1/6 h Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: L1 L2 Tiempo Manual 1/3 1/2 100 Máquina 1/3 1/6 80 1/3x + 1/2y 100 1/3x + 1/6y 80 Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x 0 y 0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

3 Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0). 1/ / / / La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles. 5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. éstos son las soluciones a los sistemas: 1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200) 1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)

4 6 Calcular el valor de la función objetivo En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices. f(x, y) = 15x + 10y f(0, 200) = = f(240, 0 ) = = f(210, 60) = = Máximo La solución óptima es fabricar 210 del modelo L 1 y 60 del modelo L 1 para obtener un beneficio de Ejercicio 2 1Elección de las incógnitas. x = P 1 y = P 2 2Función objetivo f(x, y) = 6.5x + 7y 3Restricciones P1 P2 Disponibles Cuadernos Carpetas Bolígrafos x + 3y 600 x + y 500 2x + y 400 x 0 y 0

5 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles 5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. 6 Calcular el valor de la función objetivo f(x,y)= = 1300 f(x,y)= = f(x,y)= = Máximo La solución óptima son 150 P 1 y 100 P 2 con la que se obtienen 1 675

6 Ejercicio 3 1Elección de las incógnitas. x = X y = Y 2Función objetivo f(x,y) = 10x + 30y 3Restricciones X Y Mínimo A B x + 5y 15 5x + y 15 x 0 y 0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

7 5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. 6 Calcular el valor de la función objetivo f(0, 15) = = 450 f(15, 0) = = 150 f(5/2, 5/2) = 10 5/ /2 = 100 Mínimo El coste mínimo son 100 para X = 5/2 e Y = 5/2.

8 Ejercicio 4 1Elección de las incógnitas. x = Pastillas grandes y = Pastillas pequeñas 2Función objetivo f(x, y) = 2x + y 3Restricciones 40x + 30y 600 x 3 y 2x x 0 y 0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles 5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

9 6 Calcular el valor de la función objetivo f(x, y)= = 22 f(x, y)= = 12 f(x, y)= = 24 Máximo El máximo beneficio es de 24, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas.

10 Ejercicio 5 1Elección de las incógnitas. x = nº de lotes de A y = nº de lotes de B 2Función objetivo f(x, y) = 30x + 50y 3Restricciones A B Mínimo Camisas Pantalones x + 3y 200 x + y 100 x 20 y 10 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles 5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

11 6 Calcular el valor de la función objetivo f(x, y) = = 1100 f(x, y) = = 3200 f(x, y) = = 3600 f(x, y) = = 4000 Máximo Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4000.

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