Teorema del valor medio

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1 Tema 10 Teorema del valor medio Podría decirse que hasta ahora sólo hemos sentado las bases para el estudio del cálculo diferencial en varias variables. Hemos introducido el concepto general o abstracto de función diferenciable y comprobado algunas propiedades básicas, como su carácter local o su relación con la continuidad. También hemos visto cómo se concreta dicho concepto en los tres casos particulares que más nos interesan, vector derivada, vector gradiente y matriz jacobiana, viendo al mismo tiempo diversas interpretaciones geométricas y físicas. Por último disponemos de algunos métodos para estudiar la diferenciabilidad de una función y calcular su diferencial, entre los que destaca la regla de la cadena. Ha llegado ya el momento de estudiar los teoremas fundamentales del cálculo diferencial, empezando como es lógico por intentar generalizar el teorema del valor medio, que es sin duda el resultado más importante del cálculo diferencial en una variable. Obtendremos fácilmente una versión del teorema para funciones que parten de un espacio normado arbitrario y toman valores reales, que en particular se aplica a los campos escalares en R N. Para funciones con valores vectoriales las cosas se complican, la versión literal del teorema es falsa, incluso para funciones de una variable real con valores en R 2. Sin embargo, probaremos una versión más débil, que sí es cierta a plena generalidad y permite deducir algunas consecuencias interesantes. Completamos este tema con una consecuencia del teorema del valor medio para funciones reales de una variable real, útil para comprobar la diferenciabilidad de ciertos campos escalares en R N Preliminares La hipótesis de que una función sea diferenciable solamente en un punto, no es suficiente para deducir ningún resultado relevante. Al estudiar los teoremas fundamentales del cálculo diferencial, trabajaremos casi siempre con funciones diferenciables en todos los puntos de un conjunto abierto, verificando incluso condiciones más exigentes, así que conviene disponer de una nomenclatura adecuada a esta situación. De entrada, si X e Y son espacios normados, y Ω es un subconjunto abierto no vacío de X, diremos simplemente que una función f : Ω Y es diferenciable, cuando f sea diferenciable en todo punto de Ω. 115

2 10. Teorema del valor medio 116 A cada punto x Ω podemos entonces asociar la diferencial D f (x) L(X,Y ), que es una aplicación lineal y continua de X en Y. Obtenemos así una función D f : Ω L(X,Y ) que será la función diferencial de f. Obsérvese que D f está en una situación similar, pero no exactamente la misma, que la función de partida f. Ambas son funciones definidas en Ω y con valores en un espacio normado pero, mientras f toma valores en Y, los valores de D f pertenecen al espacio normado L(X,Y ). Tiene perfecto sentido decir, por ejemplo, que D f está acotada en un conjunto A Ω, cuando existe M R tal que D f (a) M para todo a A, o decir que D f es continua en un punto a Ω, lo que significa que ε > 0 δ > 0 : x Ω, x a < δ = D f (x) D f (a) < ε Pues bien, se dice que f es una función de clase C 1 en Ω cuando f es diferenciable y D f es continua en todo punto de Ω. Se denota por C 1 (Ω,Y ) al conjunto de todas las funciones de clase C 1 de Ω en Y. En el caso Y = R abreviamos escribiendo C 1 (Ω) en lugar de C 1 (Ω,R) Caso escalar Recordemos el teorema del valor medio para funciones reales de variable real, enunciado de una forma adecuada para pensar en su posible generalización. Si f : J R es una función derivable en un intervalo abierto J R, entonces, para cualesquiera a, b J se tiene f (b) f (a) = f (c)(b a) (1) donde c es un punto intermedio entre a y b. Multiplicar por f (c) es tanto como aplicar a b a la diferencial D f (c). Por tanto, si sustituimos J por un abierto Ω de un espacio normado X, cabría esperar la igualdad análoga a (1), que sería f (b) f (a) = D f (c)(b a) donde el punto c debería estar en el segmento de extremos a y b, que supondremos contenido en Ω. Usaremos para los segmentos una notación intuitiva: si X es un espacio normado y a,b X, el conjunto [a,b] = { (1 t)a + t b : t [0,1]} es precisamente el segmento de extremos a y b. Probamos ya el teorema, exactamente en la forma que hemos conjeturado: Teorema del valor medio escalar. Sea Ω un subconjunto abierto de un espacio normado X y f : Ω R una función diferenciable. Para a,b X con [a,b] Ω se tiene: (i) Existe c [a,b] tal que f (b) f (a) = D f (c)(b a) (ii) Como consecuencia, si M R + 0 verifica que D f (x) M para todo x [a,b], se tendrá: f (b) f (a) M b a

3 10. Teorema del valor medio 117 Demostración. La función ϕ : [0,1] R, definida por ϕ(t) = f ( (1 t)a + t b ) para todo t [0,1], es continua en [0,1] y, por la regla de la cadena, derivable en ]0,1[ con ϕ (t) = D f ( (1 t)a + t b ) (b a) El teorema del valor medio para funciones reales de variable real nos da un t 0 ]0,1[ tal que f (b) f (a) = ϕ(1) ϕ(0) = ϕ (t 0 ) = D f ( (1 t 0 )a + t 0 b ) (b a) Tomando c = (1 t 0 )a + t 0 b [a,b], obtenemos (i). Para deducir (ii) basta usar la definición de la norma en L(X,R): f (b) f (a) = D f (c)(b a) D f (c) b a M b a En el caso particular de un campo escalar en R N, usando la desigualdad de Cauchy-Schwartz obtenemos: Sea Ω un abierto de R N y f : Ω R un campo escalar diferenciable. Para a,b R N con [a,b] Ω se tiene: (i) Existe c [a,b] tal que f (b) f (a) = ( f (c) ) b a (ii) Como consecuencia, considerando en R N la norma euclídea, si M R + 0 verifica que f (x) M para todo x [a,b], se tendrá: f (b) f (a) M b a Como se habrá podido observar, la demostración del teorema del valor medio escalar ha consistido en una aplicación muy inmediata del ya conocido para funciones de una variable. De hecho, como sólo se trabaja con la función f en un segmento [a,b], en esencia tenemos una función de una variable. Los resultados anteriores, generalizan formalmente el teorema del valor medio que ya conocíamos, pero en realidad sólo consisten en darse cuenta de que dicho teorema puede aplicarse fácilmente en situaciones más generales. Tendrá mayor interés generalizar el teorema, de forma que pueda aplicarse a campos vectoriales, o incluso a una función entre espacios normados arbitrarios, como enseguida vamos a intentar Caso general Observamos inmediatamente que la primera afirmación del teorema del valor medio escalar no es cierta para funciones con valores en R 2, incluso aunque sean funciones de una variable real. Concretamente, basta considerar la función f : R R 2 dada por f (t) = (cos t,sen t) para todo t R, que claramente es derivable en todo punto de R con f (t) = ( sent, cost ) (0,0) t R Tomando a R arbitrario y b = a+2π se tiene f (b) = f (a). Si existiese c [a,b] verificando que f (b) f (a) = D f (c)(b a) = 2π f (c), se tendría f (c) = (0,0), lo cual es imposible. Sin embargo, probaremos a plena generalidad la segunda de las afirmaciones del teorema del valor medio escalar. Ciertamente es más débil que la primera, pero será suficiente para deducir interesantes consecuencias.

4 10. Teorema del valor medio 118 Debe pues quedar claro que, al hablar de una versión general del teorema del valor medio, no nos referimos a una generalización literal de dicho teorema, sino de una versión más débil. La dificultad para probarlo se concentra en el caso de funciones de una variable real, que es el que resolvemos previamente. Lema. Sea Y un espacio normado y sean g : [0,1] Y y α : [0,1] R dos funciones continuas en [ 0, 1] y derivables en ] 0, 1[, verificando que Se tiene entonces la siguiente desigualdad: g (t) α (t) t ]0,1[ (2) g(1) g(0) α(1) α(0) (3) Demostración. Fijado ε > 0, consideramos el conjunto Λ = { t [0,1] : g(t) g(0) α(t) α(0) + ε t + ε } y a poco que se piense, la demostración estará casi concluida si probamos que 1 Λ. Por ser g y α continuas, la función ϕ : [0,1] R definida por ϕ(t) = g(t) g(0) ( α(t) α(0) ) ε t t [0,1] también es continua, de lo que deduciremos dos consecuencias: En primer lugar, como ϕ(0) = 0, la continuidad de ϕ en 0 nos permite encontrar η ]0,1[ tal que, para t [0,η] se tenga ϕ(t) < ε, con lo que [0,η] Λ. Por otra parte, como Λ = {t [0,1] : ϕ(t) ε}, de ser ϕ continua deducimos también que Λ es un subconjunto cerrado de [0,1], luego es compacto, y en particular tiene máximo. Sea pues t 0 = máx Λ y anotemos que t 0 η > 0. Nuestro objetivo es probar que t 0 = 1, así que supondremos que t 0 < 1 para llegar a una contradicción. Al ser 0 < t 0 < 1, tenemos que g y α son derivables en t 0, luego existe δ > 0 tal que, para t [0,1] con t t 0 δ, se tiene g(t) g(t 0 ) g (t 0 )(t t 0 ) ε 2 t t 0 y también α(t) α(t 0 ) α (t 0 )(t t 0 ) ε 2 t t 0 Obviamente podemos suponer que t 0 + δ < 1, para tomar t = t 0 + δ, obteniendo g(t 0 + δ) g(t 0 ) δg (t 0 ) ε 2 δ así como α(t 0 + δ) α(t 0 ) δα (t 0 ) ε (4) 2 δ Llegaremos a contradicción viendo que t 0 + δ Λ. Para ello, usando la primera desigualdad de (4), la hipótesis (2) con t = t 0, y el hecho de que t 0 Λ, tenemos: g(t 0 + δ) g(0) g(t 0 + δ) g(t 0 ) δg (t 0 ) + δ g (t 0 ) + g(t 0 ) g(0) ε 2 δ + δα (t 0 ) + α(t 0 ) α(0) + εt 0 + ε (5)

5 10. Teorema del valor medio 119 Por otra parte, usando la segunda desigualdad de (4) tenemos también δα (t 0 ) + α(t 0 ) = α(t 0 + δ) ( α(t 0 + δ) α(t 0 ) δα (t 0 ) ) α(t 0 + δ) + ε 2 δ (6) De (5) y (6) deducimos claramente que g(t 0 + δ) g(0) ε 2 δ + α(t 0 + δ) + ε 2 δ α(0) + εt 0 + ε = α(t 0 + δ) α(0) + ε(t 0 + δ) + ε es decir, que t 0 +δ Λ. Esto es una clara contradicción, ya que t 0 +δ > t 0 = máx Λ. Así pues hemos comprobado que t 0 = 1 y en particular 1 Λ, es decir g(1) g(0) α(1) α(0) + 2ε Como esto es válido para todo ε R +, tenemos (3), como queríamos. En el caso Y = R 2, aunque también se podría hacer en general, el resultado anterior tiene una interpretación física que lo hace muy plausible. Pensemos que g describe un movimiento curvilíneo en el plano y α un movimiento rectilíneo, durante el mismo intervalo de tiempo. La hipótesis (2) significa que la celeridad del primer móvil nunca supera a la del segundo. Entonces g(1) g(0) es la distancia entre las posiciones inicial y final del móvil más lento, que será menor o igual que la longitud de la trayectoria recorrida, pero esta longitud ha de ser a su vez menor o igual que α(1) α(0), que es la distancia recorrida por el móvil más rápido. Teorema del valor medio. Sean X e Y espacios normados, Ω un subconjunto abierto de X y f : Ω Y una función diferenciable. Dados a,b X tales que [a,b] Ω, supongamos que existe M R + 0 tal que D f (x) M para todo x [a,b]. Se tiene entonces: f (b) f (a) M b a Demostración. Basta aplicar el lema anterior a las funciones g : [0,1] Y y α : [0,1] R definidas, para todo t [0,1], por g(t) = f ( (1 t)a + t b ) y α(t) = M b a t Es claro que g y α son continuas en [0,1] y derivables en ]0,1[ con g (t) = D f ( (1 t)a + t b ) (b a) D f ( (1 t)a + t b ) (b a) M b a = α (t) t ]0,1[ Aplicando pues el lema anterior, obtenemos la desigualdad buscada: f (b) f (a) = g(1) g(0) α(1) α(0) = M b a Como primera aplicación de este teorema, es natural ponerse en una situación que permita aplicarlo a cualquier par de puntos a,b Ω, lo cual es bien fácil:

6 10. Teorema del valor medio 120 Corolario 1. Sean X e Y espacios normados, Ω un subconjunto abierto y convexo de X y f : Ω Y una función diferenciable. Supongamos que existe M R + 0 tal que D f (x) M para todo x Ω. Entonces f es lipschitziana, o más concretamente: f (b) f (a) M b a a,b Ω Obsérvese que, en caso de que podamos tomar M = 0, esto es, cuando la función diferencial D f es idénticamente nula, obtenemos que f (b) = f (a) para cualesquiera a,b Ω, es decir, que f es constante. Pero podemos conseguir el mismo resultado con una hipótesis más débil que la convexidad de Ω: Corolario 2. Sean X e Y espacios normados, Ω un subconjunto abierto y conexo de X y f : Ω Y una función diferenciable tal que D f (x) = 0 para todo x Ω. Entonces f es constante. Demostración. Fijado a Ω, consideramos el conjunto A = {x Ω : f (x) = f (a)} y se trata de probar que A = Ω. Por ser f continua, A es un subconjunto cerrado de Ω, pero vamos a comprobar que también es abierto. Dado x A, como Ω es abierto, existe r R + tal que B(x,r) Ω. Podemos entonces aplicar el corolario anterior, a la restricción de f al abierto convexo B(x, r), cuya función diferencial es idénticamente nula, obteniendo que f es constante en B(x,r). Por tanto tenemos que f (y) = f (x) = f (a) para todo y B(x,r), es decir, B(x, r) A. Como x A era arbitrario, hemos probado que A es abierto. Puesto que Ω es conexo y A /0, porque a A, concluimos que A = Ω como se quería. Destacamos una consecuencia obvia: con las mismas hipótesis sobre Ω, si f y g son dos funciones diferenciables en Ω tales que D f = Dg, entonces f g es constante. Dicho de otra forma, una función diferenciable en un subconjunto abierto y conexo de un espacio normado, queda determinada por su función diferencial, salvo adición de una constante Una condición suficiente para la diferenciabilidad Completamos este tema con una útil aplicación del teorema del valor medio, pero no de las versiones aquí probadas, sino de la que ya conocíamos para funciones reales de variable real. Se trata de un resultado que permite probar la diferenciabilidad de un campo escalar, trabajando solamente con sus derivadas parciales. Deduciremos una cómoda caracterización de los campos escalares de clase C 1. Estos resultados también son útiles para campos vectoriales, sin más que aplicarlos a sus componentes, que son campos escalares. Sea pues Ω un abierto de R N y supongamos que queremos estudiar la diferenciabilidad de un campo escalar f : Ω R en un punto a Ω. Sabemos que ello equivale a comprobar que f es parcialmente derivable en el punto a y que f (x) f (a) ( f (a) x a ) lím = 0 (7) x a x a La idea es evitar el cálculo de este límite, que puede ser laborioso, pero a cambio debemos trabajar un poco más con las derivadas parciales.

7 10. Teorema del valor medio 121 En la práctica f suele ser parcialmente derivable, no sólo en el punto a, sino en todo un entorno abierto de a. En tal caso, por el carácter local de la diferenciabilidad, podemos sustituir f por su restricción a dicho entorno, así que no perdemos generalidad suponiendo que f es parcialmente derivable en todo punto de Ω. Entonces, en vez de comprobar la igualdad (7), puede ser más fácil comprobar la continuidad en el punto a de las derivadas parciales, es decir, comprobar que lím (x) = (a) j I N (8) x a x j x j Pues bien, vamos a probar que (7) es consecuencia de (8), y de hecho, que una condición ligeramente más débil que (8) ya es suficiente para deducir (7). Concretamente, fijado k I N, podemos suponer solamente la existencia de la derivada parcial de f con respecto a la k-ésima variable en el punto a, mientras que las demás derivadas parciales sí se suponen definidas en todo punto de Ω y continuas en a. Esta hipótesis, obviamente más débil que (8), es ya suficiente para la diferenciabilidad de f en a: Sea Ω un abierto de R N, f : Ω R un campo escalar, a Ω y k I N. Supongamos que se verifican las dos condiciones siguientes: (i) f es parcialmente derivable con respecto a la k-ésima variable en el punto a (ii) Para j I N \ {k}, f es parcialmente derivable con respecto a la j-ésima variable en todo punto x Ω y la función derivada parcial : Ω R es continua en a. x j Entonces f es diferenciable en el punto a. Para que se comprenda mejor, hacemos la demostración en el caso N = 2, y comentaremos después los cambios necesarios para cubrir el caso general, que es enteramente análogo. En el caso N = 2, salvo intercambio de las variables, que obviamente no afecta a la diferenciabilidad de f, podemos suponer sin perder generalidad que k = 2. Por tanto, escribiendo a = (x 0,y 0 ) la hipótesis (i) nos dice que existe la derivada parcial y (x 0,y 0 ), mientras en (ii) estamos suponiendo la existencia de (x,y) para todo (x,y) Ω y que la función derivada parcial x x : Ω R es continua en (x 0,y 0 ). Usando en R 2 la norma del máximo, tomamos r R + de forma que la bola abierta de centro (x 0,y 0 ) y radio r, que denotaremos simplemente por B, esté contenida en Ω, y se trata de probar (7) en nuestro caso. Para abreviar, escribimos R(x,y) = f (x,y) f (x 0,y 0 ) ( f (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) ) (x,y) B Fijado ε > 0 debemos encontrar δ ]0,r [ verificando que, para x,y R con x x 0 < δ y y y 0 < δ, se tenga R(x,y) ε (x,y) (x 0,y 0 ) (9)

8 10. Teorema del valor medio 122 Observamos que, para (x,y) B, se tiene R(x,y) = R 1 (x,y) + R 2 (y) donde R 1 (x,y) = f (x,y) f (x 0,y) (x x 0 ) x (x 0,y 0 ) (x,y) B R 2 (y) = f (x 0,y) f ((x 0,y 0 ) (y y 0 ) y (x 0,y 0 ) y ]y 0 r, y 0 + r [ así que trabajaremos por separado con los dos sumandos que han aparecido. Por definición de derivada parcial, podemos tomar δ ]0,r [ de forma que, para y R con y y 0 < δ, se tenga f (x 0,y) f (x 0,y 0 ) (y y 0 ) y (x 0,y 0 ) ε 2 y y 0 (10) Además, la continuidad de / x en (x 0,y 0 ) permite conseguir que el mismo δ verifique también que, para u,v R con u x 0 < δ y v y 0 < δ, se tenga: x (u,v) x (x 0,y 0 ) ε (11) 2 Para comprobar (9) y concluir así la demostración, fijamos x,y R con x x 0 < δ y y y 0 < δ. Es importante tener presente que, en todo lo que sigue, x e y están fijos. En virtud de (10) tenemos directamente R 2 (y) ε 2 y y 0 ε 2 (x,y) (x 0,y 0 ) (12) Para conseguir la misma desigualdad con R 1, consideramos la función ψ : J R donde J =]x 0 δ, x 0 + δ[ y ψ(z) = f (z,y) z J Para todo z J, que f sea derivable con respecto a la primera variable en el punto (z,y) Ω, significa precisamente que ψ es derivable en el punto z con ψ (z) = (z,y). Aplicamos a x ψ el teorema del valor medio obteniendo un punto u J tal que f (x,y) f (x 0,y) = ψ(x) ψ(x 0 ) = (x x 0 )ψ (u) = (x x 0 ) x (u,y) ( de donde deducimos que R 1 (x,y) = (x x 0 ) x (u,y) ) x (x 0,y 0 ). Por ser u x 0 < δ y y y 0 < δ, podemos usar (11) con v = y obteniendo: R 1 (x,y) ε 2 x x 0 ε 2 (x,y) (x 0,y 0 ) (13) De las desigualdades (12) y (13), deducimos directamente (9): R(x,y) R 1 (x,y) + R 2 (y) ε (x,y) (x 0,y 0 )

9 10. Teorema del valor medio 123 Para entender la forma de tratar el caso N > 2, conviene resaltar la diferente naturaleza de los sumandos R 1 y R 2, pues R 2 sólo es función de la variable y, mientras R 1 depende también de la variable x. Ello hace que la acotación de R 2 pueda deducirse directamente de la definición de la derivada parcial de f respecto de y en el punto (x 0,y 0 ). En cambio, para R 1 hemos tenido que usar la existencia de la derivada parcial de f con respecto a x en todos los puntos de un segmento, para poder aplicar el teorema del valor medio, y después la acotación de R 1 se ha deducido de la continuidad de dicha derivada parcial en el punto (x 0,y 0 ). En el caso general, se supone de nuevo sin perder generalidad que k = N, es decir, que la derivada parcial de la que sólo se sabe su existencia en el punto a, es la última. La definición de la bola B y de la función R : B R son análogas al caso N = 2: R(x) = f (x) f (a) ( f (x) ) x a x B pero R se descompone ahora en N sumandos. Concretamente, en vez de la igualdad f (x,y) f (x 0,y 0 ) = ( f (x,y) f (x 0,y) ) + ( f (x 0,y) f (x 0,y 0 ) ) usada en el caso N = 2, si ahora x = (x 1,x 2,...,x N ) y a = (a 1,a 2,...,a N ), tendremos la igualdad f (x) f (a) = ( f (x) f (a 1,x 2,...,x N ) ) + ( f (a 1,x 2,...,x N ) f (a 1,a 2,x 3,...,x N ) ) ( f (a 1,...,a N 1,x N ) f (a) ) = y descomponemos R en la forma N ( f (a1,...,a j 1,x j,...,x N ) f (a 1,...,a j x j+1,...,x N ) ) j=1 R(x) = donde, para cada j I N estamos escribiendo N R j (x j,x j+1,... x N ) j=1 x B R j (x j,x j+1,...,x N ) = f (a 1,...,a j 1, x j,...,x N ) f (a 1,...,a j, x j+1,...,x N ) (x j a j ) x j (a) siempre que x i ]a i r, a i + r [ para i = j, j + 1,...,N. Vemos que R N sólo es función de la variable x N y puede estimarse usando solamente la existencia de la derivada parcial de f con respecto a x N en el punto a, como hemos hecho con R 2 en el caso N = 2. Para j I N 1 la función R j depende de N j + 1 variables y se maneja como se ha hecho con R 1 en el caso N = 2. Primero se usa la existencia de la derivada parcial de f con respecto a x j en todos los puntos de un segmento, para poder aplicar el teorema del valor medio. Entonces la estimación de R j se consigue usando la continuidad de dicha derivada parcial en el punto a. El principal interés del resultado anterior estriba en que nos proporciona una caracterización de los campos escalares de clase C 1 en términos de sus derivadas parciales:

10 10. Teorema del valor medio 124 Si Ω es un abierto de R N y f : Ω R un campo escalar, las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) f C 1 (Ω) (ii) f es parcialmente derivable en todo punto x Ω y, para todo j I N, la función derivada parcial / x j es continua en Ω. (i) (ii). De entrada, f es diferenciable, luego parcialmente derivable, en todo punto de Ω. Además, la función diferencial D f : Ω L(R N,R) es continua. Pero recordemos que, usando en R N la norma euclídea, el espacio normado L(R N,R) se identifica totalmente con R N. Además, mediante dicha identificación, D f (x) L(R N,R) se convierte en f (x) para todo x Ω. Por tanto, la continuidad de la función diferencial D f : Ω R N equivale a la de la función gradiente f : Ω R N, que a cada x Ω asocia el vector gradiente f (x). Basta ahora observar que f es un campo vectorial cuyas componentes son las N funciones derivadas parciales de f. En resumen, tenemos D f continua f continua x j continua j I N (ii) (i). Del resultado anterior deducimos que f es diferenciable en todo punto de Ω y la equivalencia recién comentada nos dice que D f es continua en Ω, luego f C 1 (Ω). Tomemos por ejemplo Ω = R R y sea f : Ω R la función dada por f (x,y) = x y (x,y) Ω Es claro que f es parcialmente derivable en todo punto (x,y) Ω con x (x,y) = 1 y y y (x,y) = x y 2 luego ambas funciones derivadas parciales son continuas en Ω y deducimos que f C 1 (Ω). Probar directamente que f es diferenciable en todo punto de Ω, usando la definición de función diferenciable, es bastante laborioso. Se pone así de manifiesto la utilidad práctica de la condición suficiente para la diferenciabilidad de campos escalares que hemos obtenido.