1 NOCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS. SÍMBOLOS.

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1 UNIDAD 1.- CONCEPTOS REQUERIDOS CONJUNTOS. AXIOMAS DE PERTENENCIA, PARALELISMO, ORDEN Y PARTICIÓN. 1 NOCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS. SÍMBOLOS. 1.1 Determinaciones de un conjunto. Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se nombran todos sus elementos. H = {0, 1, 2, 3} Un conjunto queda determinado por comprensión, cuando se indican las propiedades que caracterizan a sus elementos. K = {x / x N x < 3 } Notación: igual por notación a y (conjunción) = n y 1.2 Igualdad A = B ( x A x B) ( x B x A) Considerando el ejemplo anterior H = K Notación: = n para todo 1.3 Inclusión Inclusión amplia: A B ( x A x B) También se dice que A está incluido en forma amplia en B, que A está contenido en forma amplia en B o que A es un subconjunto de B. Inclusión estricta: A B ( x A x B) ( y / y B x A) También diremos que A está incluido estrictamente en B, que A está contenido estrictamente en B o que A es un subconjunto estricto de B. Observación: A = B A B B A 1.4 Operaciones con conjuntos Unión A B = {x / x A x B } Intersección A B = {x / x A x B } Diferencia A B = {x / x A x B } 2 - CONCEPTOS PRIMITIVOS. Consideramos que el conjunto universal de la Geometría Métrica es un conjunto llamado ESPACIO (E) cuyos elementos se denominan PUNTOS, que escribiremos con letras mayúsculas de nuestro alfabeto (A, B, C,... P,...) En E, encontramos subconjuntos llamados PLANOS que designaremos con letras del alfabeto griego (α, β, γ, δ, ϕ, π,... ω,...), y en cada plano subconjuntos llamados RECTAS que se nombrarán con letras minúsculas de nuestro alfabeto (a, b, c,... r...). Los conceptos primitivos de la Geometría Métrica son: ESPACIO, PUNTO, PLANO y RECTA.

2 3 RELACIONES DE PERTENENCIA. 3.1 AXIOMAS DE PERTENENCIA. AXIOMA 1 Existe un conjunto infinito ( E ) llamado espacio, cuyos elementos se llaman puntos. AXIOMA 2 En E existen subconjuntos estrictos, llamados planos, cada uno de los cuales tiene infinitos puntos. AXIOMA 3 En cada plano existen subconjuntos estrictos, llamados rectas, cada uno de los cuales tiene infinitos puntos. AXIOMA 4 DETERMINACIÓN DE UNA RECTA. Dados dos puntos distintos, existe y es única la recta a la cual pertenecen. AXIOMA 5 PRIMERA DETERMINACIÓN DE UN PLANO. Dados tres puntos distintos no alineados, existe y es único el plano al cual pertenecen. AXIOMA 6 Si dos puntos distintos de una recta pertenecen a un plano, la recta está contenida en él. DEFINICIONES. Familia de rectas, es el conjunto de todas las rectas del espacio, R. Familia de rectas de π, es el conjunto de todas las rectas contenidas en el plano π, R π. Rectas coplanares: Dos rectas contenidas en un plano, se llaman coplanares. 3.2 SEGUNDA DETERMINACIÓN DEL PLANO Una recta y un punto que no pertenece a ella, determinan un plano que los contiene. ( H ) P r ( T ) α / P α r α. α es único Por el axioma 3, en ( r ) existen infinitos puntos, consideremos dos: A y B. P r y A, B r entonces A, B y P no están alineados, por el axioma 5 determinan un plano α tal que A, B, P α. A, B r r α (Por el axioma 6) A, B α Hemos probado que existe un plano α tal que P α y r α, para demostrar que es único, razonemos por el método de reducción al absurdo suponiendo que además de α en esas

3 condiciones, existe β α tal que P β y r β r β y A, B r A, B β por lo que A, B, P β (1) además A, B, P α (2) Dado que β α (1) y (2) contradicen el axioma 5. Llegamos a una contradicción por suponer que α no es único por lo que el teorema queda demostrado. 3.3 TERCERA DETERMINACIÓN DEL PLANO Dos rectas distintas que tienen un punto común, determinan un plano que los contiene. ( H ) r s = { O } ( T ) α / r α s α α es único Demostrar este teorema utilizando un procedimiento similar al de la justificación del item POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS TEOREMA Existen en E rectas no coplanares. x Q x P α r Dado el plano α de la figura, sea r una recta contenida en él, P un punto perteneciente a α pero no perteneciente a r y Q un punto no perteneciente a α. Demostrar que las rectas PQ y r son disjuntas y no coplanares. TEOREMA Dadas dos rectas, contenidas en un plano π, se cumple una y sólo una de las siguientes posibilidades: 1) son la misma recta. 2) su intersección es un conjunto unitario. 3) son rectas disjuntas. r, s R π P / P r P s Q / Q P Q r Q s r = s Q / Q P Q r Q s r s = { P } P / P r P s r s = φ

4 DEFINICIONES. RECTAS COINCIDENTES: Dos rectas son COINCIDENTES cuando todos sus puntos son comunes. RECTAS SECANTES: Dos rectas son SECANTES cuando tienen un sólo punto común. RECTAS QUE SE CRUZAN (ALABEADAS): Dos rectas se cruzan cuando no son coplanares. RECTAS PARALELAS: Dos rectas son PARALELAS si y sólo si, son coplanares y no son secantes. α / r α s α r s = φ Paralelas disjuntas r // s r = s Paralelas coincidentes OBSERVACIONES: 1) Dos rectas secantes, son coplanares. 2) Dos rectas que se cruzan, son disjuntas. 3) Si dos rectas coplanares no son secantes, son paralelas. 4) Si dos rectas son distintas, a lo sumo tienen un punto común. 5) Si dos rectas distintas tienen un punto común, son secantes. TEOREMAS: Para todo punto existen en un plano infinitas rectas a las que pertenece dicho punto. Para toda recta existen infinitos planos que pasan por dicha recta. CONSECUENCIA En el espacio existen infinitos planos y en cada plano, infinitas rectas. TEOREMA Si dos planos distintos tienen dos puntos comunes, su intersección es la recta que esos puntos determinan. 4 PARALELISMO. AXIOMA 7 - AXIOMA DE EUCLIDES. (Visitar la página: ) Para cada recta r y para cada punto P, existe y es única la paralela a la recta r por el punto P. TEOREMA - Relación paralelismo definida en R π. La relación Paralelismo es una relación de equivalencia en R π. 1) Propiedad REFLEXIVA o IDÉNTICA: r R π r // r

5 2) Propiedad SIMÉTRICA o RECÍPROCA: r, s R π r // s s // r r // s r = s s = r s // r r s = φ s r = φ s // r 3) Propiedad TRANSITIVA: r, s, t R π r // s y s // t r // t r, t R π Q r t r t = φ r // t Q r t por (H) r // s r = t r // t s // t Ax. 7 (Por Q existe una sola paralela a la recta s) DIRECCIONES DEL PLANO π Como el paralelismo es una relación de equivalencia en R π (familia de rectas del plano π ), determina en este conjunto una partición. DEFINICIÓN: Llamamos DIRECCIONES DEL PLANO π, a las clases de equivalencia que la relación PARALELISMO determina en R π. NOTACIÓN: La clase de equivalencia a la que pertenece una recta r se llama DIRECCIÓN de r y la notaremos δ r. Para representar una dirección consideramos una recta cualquiera perteneciente a la clase. Así que: Si a // b y c // a podemos anotar: b δ a, c δ a, b δ c. OBSERVACIONES: 1) Si dos rectas son paralelas decimos que tienen la misma dirección. 2) Por el axioma de Euclides diremos que por un punto existe y es única la recta de una dirección dada. HAZ DE RECTAS DE CENTRO P es el conjunto de todas las rectas de un plano a las que pertenece P. HAZ DE RECTAS PARALELAS es el conjunto de todas las rectas de un plano que pertenecen a la misma DIRECCIÓN. 5 ORDEN EN LAS RECTAS. AXIOMA 8 1 En toda recta está definida una relación de ORDEN TOTAL AMPLIO. 2 Una recta no tiene primer ni último punto. 3 Para todo par de puntos de una recta, existe otro punto de ella entre ambos

6 NOTACIÓN: A B se lee A precede o coincide con B DEFINICIÓN: A B A B A B El axioma 8, establece que: A B se lee A precede estrictamente a B 1 r R : r r cumple las propiedades: a) idéntica A r A A b) antisimétrica A B B A Α = Β c) transitiva A B B C A C d) de orden total A, B r A B B A 2 A r P r / P A A r Q r / A Q 3 A, B r A B P r / A P P B (P está entre A y B) A, B r B A P r / B P P A (P está entre A y B) RECTA ORIENTADA es toda recta provista de un orden. Indicamos que está orientada nombrando dos de sus puntos X en el orden considerado. X Y r Y Si leemos: recta orientada XY, se entiende que X Y. En virtud de este axioma, dados dos puntos X e Y, uno de ellos precede al otro en la recta orientada a la cual pertenecen. A B B A A B se lee A sigue a o coincide con B A B B A A B se lee A sigue estrictamente a B OBSERVACIONES: 1) La relación también es un orden total amplio en toda recta r. 2) El axioma de orden en la recta afirma que en toda recta hay dos órdenes o sentidos, uno opuesto del otro y ninguno de ellos está en situación privilegiada respecto del otro. DEFINICIÓN: SEMIRRECTA: Dados A y B tales que A B, AB = { X / X r X A } SEMIRRECTAS OPUESTAS. PUNTOS INTERIORES. RECTA SOPORTE o SOSTÉN. SEMIRRECTA ABIERTA. a) SEGMENTO AB. Extremos, puntos interiores. b) SEGMENTO NULO. Segmento abierto y semiabierto por la izquierda o por la derecha. FIGURA es todo subconjunto del espacio.

7 FIGURA CONVEXA es toda figura para la cual todo par de puntos pertenecientes a ella determinan un segmento incluido en ella. La intersección de dos figura convexas, es una figura convexa. ( H ) F y G son dos figuras convexas ( T ) F G es una figura convexa Consideremos dos puntos A y B cualesquiera, pertenecientes a F G A F A F G además B F G A G B F B G A F, B F y F es convexa el segmento AB está contenido en forma amplia en F A G, B G y G es convexa el segmento AB está contenido en forma amplia en G el segmento AB está contenido en forma amplia en F G. Hemos probado que si A y B son dos puntos cualesquiera, pertenecientes a F G, entonces el segmento AB está contenido en forma amplia en F G, por lo cual se cumple la tesis. 6 PARTICIÓN DEL PLANO. 7 PARTICIÓN DEL ESPACIO. AXIOMA 9: Para toda recta r R π, existen en el plano π dos únicos conjuntos ϕ y ϕ que cumplen: a) { r, ϕ, ϕ } es una partición del plano π. b) ϕ y ϕ son convexos. c) para todo punto de ϕ y para todo punto de ϕ, existe en el segmento que determinan un único punto que también pertenece a la recta r. OBSERVACIONES: 1) Se dice que r SEPARA a un par de puntos cuando uno de ellos pertenece a ϕ y el otro a ϕ. 2) Si r separa a un par de puntos A y B por el axioma 9 c, existe en el segmento AB un punto I que también pertenece a r, por lo que: A ϕ Β ϕ I r r ϕ = φ r ϕ = φ Ι A Ι B I es interior al segmento AB. AXIOMA 10: Para todo plano π, existen en el espacio E dos únicos conjuntos γ y γ que cumplen: a) {π, γ, γ } es una partición del espacio E. b) γ y γ son convexos. c) para todo punto de γ y para todo punto de γ, existe en el segmento que determinan un único punto que también pertenece al plano π. OBSERVACIONES: 1) Se dice que π SEPARA a un par de puntos cuando uno de ellos pertenece a γ y el otro a γ. 2) Si π separa a un par de puntos A y B por el axioma 10 c, existe en el segmento AB un punto I que también pertenece a π, por lo que:

8 SEMIPLANO ABIERTO DE BORDE r. Cada uno de los subconjuntos ϕ y ϕ mencionados en el axioma 9 se llaman semiplanos abiertos de borde r. SEMIPLANO DE BORDE r (SEMIPLANO CERRADO). Los conjuntos ϕ r y ϕ r se llaman semiplanos de borde r. NOTACIÓN: { r, ϕ, ϕ } es una partición del plano, P ϕ r ϕ = r, P se lee semiplano de borde r al que pertenece P. Los puntos pertenecientes a ϕ se llaman puntos interiores al semiplano r, P. Toda recta incluida en un plano π determina dos semiplanos. Se dice que cada uno es el semiplano opuesto al otro. TEOREMAS. Consecuencias del Axioma de partición del plano: 1) El segmento determinado por dos puntos de un mismo semiplano abierto, es disjunto con el borde del mismo. 2) Dada una recta r, si un segmento del plano es disjunto con ella, entonces sus extremos pertenecen a un mismo semiplano abierto con borde en r. 3) Dado un segmento, si uno y sólo uno de sus puntos interiores pertenece a una recta r, entonces sus extremos pertenecen a distintos semiplanos abiertos con borde r. SEMIESPACIO ABIERTO DE BORDE π. Cada uno de los subconjuntos γ y γ mencionados en el axioma 10 se llaman semiespacios abiertos de borde π. SEMIESPACIO DE BORDE π (SEMIESPACIO CERRADO).Los conjuntos γ π y γ π se llaman semiespacios de borde π. NOTACIÓN: {π, γ, γ } es una partición del espacio, P γ π γ = π, P se lee semiespacio de borde π al que pertenece P. Los puntos pertenecientes a γ se llaman puntos interiores al semiespacio π,p. Todo plano determina dos semiespacios. Se dice que cada uno es el semiespacio opuesto al otro. TEOREMAS. Consecuencias del Axioma de partición del espacio: 1) 2) 3) En el APÉNDICE II del ANEXO BIBLIOGRÁFICO podrá estudiar las demostraciones de los siguientes teoremas Si { r, ϕ, ϕ } es una partición del plano, P ϕ y S = { X / X r XP r = φ}, entonces S = r, P OTRA DEFINICIÓN DE SEMIPLANO: r,p = { X / X r XP r = φ} La caracterización de un semiplano es independiente del punto interior utilizado. OTRA DEFINICIÓN DE SEMIESPACIO:

9 ( H ) { r, ϕ, ϕ } es una partición del plano, A B, A,B ϕ ( T ) r, A = r, B Todo semiplano cerrado es una figura convexa. ( H ) { r, ϕ, ϕ } es una partición del plano ( T ) r ϕ es una figura convexa. TEOREMA DE PASCH: Dados en un plano una recta y tres puntos que no le pertenecen, si la recta es secante con uno de los tres segmentos que los puntos determinan, entonces también es secante con otro pero no lo es con el tercero. COROLARIO: Si en un plano una recta es disjunta con dos de los segmentos que tres puntos determinan, también es disjunta con el tercero. 8 ÁNGULOS. Ángulo convexo AOB: Si A, O y B son tres puntos no alineados, se llama ángulo convexo AOB a la intersección de los semiplanos OA,B y OB,A. Las semirrectas OA y OB se llaman lados y el punto O, vértice. Punto interior a un ángulo convexo: Es todo punto del ángulo convexo, no perteneciente a sus lados. TEOREMA DE PASCH: Dado un plano y tres puntos que no le pertenecen, si el plano es secante con uno de los tres segmentos que los puntos determinan, entonces también es secante con otro pero no lo es con el tercero. COROLARIO: Si un plano es disjunto con dos de los segmentos que tres puntos determinan, también es disjunto con el tercero. 9 ÁNGULOS DIEDROS. Ángulo diedro convexo αaβ: Si aα y aβ son dos semiplanos no opuestos ni coincidentes, se llama ángulo diedro convexo αaβ a la intersección de los semiespacios aα que contiene a aβ y aβ que contiene a aα. Los semiplanos aα y aβ se llaman caras y la recta a, arista. Punto interior a un ángulo diedro convexo: Es todo punto del ángulo diedro convexo, no perteneciente a sus caras. Rayo interior a un ángulo convexo: Es toda semirrecta con origen en el vértice y a la cual pertenece un punto interior. Angulo cóncavo AOB: Es el conjunto de los puntos del plano AOB, no interiores al ángulo convexo AOB. Angulo llano: Es cada uno de los semiplanos determinados por una semirrecta y su opuesta. Estas semirrectas son sus lados. Angulo diedro cóncavo αaβ: Es el conjunto de los puntos, no interiores al ángulo diedro convexo αaβ. Angulo diedro llano: Es cada uno de los semiespacios determinados por un semiplano y su opuesto. Estos semiplanos son sus caras.

10 Angulo nulo: Es una semirrecta, que es considerada como lados coincidentes del ángulo. Angulos consecutivos: Son los ángulos que tienen un lado común. Angulos adyacentes: Son los ángulos que tienen un lado común y los otros, son semirrectas opuestas. Angulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos tales que los lados de uno son las semirrectas opuestas de los lados del otro. TEOREMA DEL RAYO INTERIOR Todo rayo interior a un ángulo convexo, interseca en un punto a cualquier segmento cuyos extremos pertenezcan a lados distintos del ángulo. Ver la demostración en el APÉNDICE II del ANEXO BIBLIOGRÁFICO. Angulo diedro nulo: Es un semiplano, considerado como caras coincidentes del ángulo diedro. Angulos diedros consecutivos: Son los ángulos diedros que tienen una cara común. Angulos diedros adyacentes: Son los ángulos diedros que tienen una cara común y las otras, son semiplanos opuestos. Angulos diedros opuestos por el vértice: Son dos ángulos diedros tales que las caras de uno son los semiplanos opuestos de las caras del otro. Pase a la próxima página.

11 Copie las siguientes tablas en una página de word. Complete los lugares indicados con guiones y las celdas en blanco. Envíe el trabajo terminado a su Tutor, como un documento adjunto. 10 TRIÁNGULOS. Si A, B y C son tres puntos no alineados, se llama triángulo ABC a la _ de los semiplanos. A, B y C son los _ del triángulo. Los segmentos AB, BC y CA son los _. Puntos interiores, son los puntos del triángulo,. Puntos exteriores, son los puntos del plano, no _. Contorno del triángulo, es el conjunto de los puntos perteneciente a _. 11 ÁNGULOS TRIEDROS. Si Oa, Ob y Oc son tres semirrectas no coplanares, se llama triedro abc a la _ de los semiespacios. O se llama _ del triedro. Las semirrectas Oa, Ob y Oc son las _ y los ángulos aob, boc y coa son las _. Puntos interiores, son los puntos del triedro,. Puntos exteriores, son los puntos del plano, no _. ABC, BCA y CAB son los ángulos internos del triángulo. Los adyacentes a los internos se llaman ángulos del triángulo. Los diedros de caras a(b) y a(c); b(a) y b(c); c(a) y c(b) son los diedros internos del triedro. Los adyacentes a los internos se llaman diedros del triedro.

12 12 POLÍGONOS CONVEXOS. Dados n puntos A 1, A 2, A 3,..... A n ordenados del plano tales que tres consecutivos no estén alineados y las rectas determinadas por dos consecutivos dejen a los restantes en un mismo semiplano, se llama polígono convexo A 1 A 2 A 3... A n a la _ de estos semiplanos. Los puntos A 1, A 2, A 3,..... A n son los del polígono. Los segmentos determinados por vértices consecutivos se llaman. 13 ÁNGULOS POLIEDROS CONVEXOS. Dadas n semirrectas Oa 1, Oa 2, Oa 3,..... Oa n ordenadas tales que tres consecutivas no sean coplanares y los planos deter-minados por dos consecutivas dejen a las restantes en un mismo semiespacio, se llama ángulo políedro convexo a 1 a 2... a n a la _ de estos semiespacios. Las semirrectas Oa 1, Oa 2, Oa 3,..... Oa n son las _ del ángulo poliedro convexo. Los ángulos convexos determinados por aristas consecutivas se llaman _. Los segmentos determinados por dos vértices no consecutivos se llaman diagonales. Problema: Obtener una fómula que permita calcular el número de diagonales de un polígono convexo de n vértices. Puntos interiores, son los puntos Puntos exteriores, son los puntos del plano, no _. Contorno del polígono convexo, es el conjunto de los puntos perteneciente a. A n A 1 A 2, A 1 A 2 A 3, A 2 A 3 A 4,... son los ángulos internos del polígono convexo. Los adyacentes a los internos se llaman ángulos del polígono convexo. Se llaman polígonos regulares a los polígonos convexos que tienen.

13 14 SUPERFICIE POLIÉDRICA. POLIEDRO CONVEXO. Se llama superficie poliédrica a la unión de un número finito de polígonos, llamados caras de la superficie, que cumplen las siguientes condiciones: 1 Cada lado de una cara pertenece también a otra y sólo a otra. Ambas caras se llaman contiguas. 2 Dos caras contiguas están contenidas en planos distintos. La superficie poliédrica se llama convexa si cada cara deja a las restantes en un mismo semiespacio. Poliedro convexo es la intersección de todos estos semiespacios. Los vértices y lados de las caras se llaman vértices y aristas del poliedro. Se llaman poliedros regulares a los poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices concurren el mismo número de ellas. Teorema de Euler En todo poliedro convexo la suma del número c de caras más el número v de vértices excede en 2 al número a de aristas. c + v = a + 2.

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