Una introducción al concepto de VARIEDAD REAL DIFERENCIABLE Y GRUPO DE LIE

Transcripción

1 N NTRODCCÓN L CONCPETO DE VREDD REL DFERENCBLE Y GRPO DE LE CRLOS S. CHNE a trduccó al ccept de VREDD REL DFERENCBLE Y GRPO DE LE 0. Sbre tplgía y espac tplógc. 0. Separabldad. Espacs de Hausdr. 03. El mapead de u espac de Hausdr. 04. Varedad real derecable y ucó derecable. 05. Prduct de varedades reales derecables y grups de Le. DVLGCÓN DE L MTEMÁTC EN L RED. OCTBRE 00 0

2 N NTRODCCÓN L CONCPETO DE VREDD REL DFERENCBLE Y GRPO DE LE CRLOS S. CHNE 0. Sbre tplgía y espac tplógc: Dad u cut C ua amla T de subcuts de C se dce que es ua tplgía estructura tplógca e C s se verca las cdces de que:. Ls cuts φ (vací) y C perteece a T.. La terseccó de u úmer t de elemets de T es u elemet de T. 3. La uó de u úmer cualquera t t de elemets de T es u elemet de T. E realdad td cut C cualquera que sea admte algua tplgía: El par csttud pr el cut vací y el cut C T {φ C} es ua tplgía e el cut C que se llama tplgía dscreta e C. S es T P(C) cut de las partes de C es també ua tplgía e C que se da e llamar tplgía dscreta e C. cut cualquera pues admte varas tplgías. Se dce que la tplgía T es mas a que la tplgía T s T T. El cut de tdas las tplgías dedas sbre u cut C está e detva parcalmete rdead c ua tplgía máxma la tplgía dscreta- y ua tplgía míma -la tplgía dscreta. Espac Tplógc es u par (C T) dde C es u cut cut de ls puts del espac tplógc y T es ua tplgía e el cut C. Ls elemets de la amla T se dema aberts del espac tplógc (C T). cut de puts del espac tplógc será u cut cerrad s su cmplemetar es abert es decr s su cmplemetar es u elemet de la tplgía T del espac. E relacó c el ccept de cerrad e u espac tplógc (C T) se ecuetra el de clausura de u subcut M de C cm la terseccó de tds ls cerrads que ctee al cut M. El ccept de clausura es muy crrete e el camp de la tplgía. Es teresate també el ccept de base de ua tplgía. E u espac tplógc (C T) se dce que u cut B de partes de C es base de la tplgía T s td elemet de T es decr s td abert de la tplgía T es expresable cm uó de elemets de B. DVLGCÓN DE L MTEMÁTC EN L RED. OCTBRE 00

3 N NTRODCCÓN L CONCPETO DE VREDD REL DFERENCBLE Y GRPO DE LE CRLOS S. CHNE 0. Separabldad. Espacs de Hausdr: La separacó de puts cuts cerrads medate vecdades etrs detr de u espac tplógc (CT) se puede eucar de deretes maeras exsted espacs tplógcs que cumple uas cdces de separacó y tras. Veams alguas armaces sbre separacó de puts y cuts cerrads usad el ccept de vecdad etr: ) Dads ds puts dstts del espac exste al mes u etr de u de ells al que perteece el tr. ) Para ds puts dstts del espac cada u de ells admte u etr al que perteece el tr. 3) Para ds puts dstts del espac exste sempre respectvs etrs dsuts. 4) Para td cut cerrad y td put perteecete al msm exste u etr del cut cerrad y u etr del put que s dsuts. 5) Para ds cuts cerrads exste sempre respectvs ets que s dsuts. Es medat que e ls espacs tplógcs dde se cumple las cdces 5) y ) també se cumple las cdces 4) y ) l cual mplca que se cumple la cdcó 3) mplcad esta que se cumple la cdcó ) y ésta a su vez la cdcó ). Se dce que el espac tplógc (C T) es rmal s se cumple que: - Para ds puts dstts del espac exste sempre respectvs etrs dsuts. - Para ds cuts cerrads exste sempre respectvs ets que s dsuts. Se dce que el espac tplógc (C T) es regular s se cumple que: - Para ds puts dstts del espac exste sempre respectvs etrs dsuts. - Para td cut cerrad y td put perteecete al msm exste u etr del cuut cerrad y u etr del put que s dsuts. Espacs tplógcs de Hausdr: Se dce que el espac tplógc (C T) es Hausdr se cumple que: - Para ds puts dstts del espac exste sempre respectvs etrs dsuts. De l aterr resulta medat que td espac tplógc rmal es també espac tplógc regular y també que td espac regular es u espac tplógc de Hausdr. DVLGCÓN DE L MTEMÁTC EN L RED. OCTBRE 00

4 N NTRODCCÓN L CONCPETO DE VREDD REL DFERENCBLE Y GRPO DE LE CRLOS S. CHNE 03. El mapead de u espac de Hausdr: S es (XT) u espac de Hausdr y es (R T ) el espac de las -plas de úmers reales (x x... x ) dtad de la tplga usual T de las blas abertas e R se puede der u mapead de (X T) e (R T ) medate el ccept de hmmrsm Mapas y atlas: Llamams -mapa lcal e X -carta lcal e X a td par () dde es u abert de T y es u hmmrsm de e u abert V de T. ( ) mapa e X T : V T E realdad teems que u -mapa es smplemete ua represetacó de u abert del espac de Hausdr e el espac (R T ) de las -plas de úmers reales de rma que a cada put x T del -mapa le crrespde ua -pla ( x) V de úmers reales que se dema crdeadas lcales del put x T e el -mapa (). x T ( x) ( x x... x ) V T -atlas e u espac de Hausdr (XT) es ua cleccó de -mapas lcales: que verca e (XT) la cdcó {( )} X DVLGCÓN DE L MTEMÁTC EN L RED. OCTBRE 00 3

5 N NTRODCCÓN L CONCPETO DE VREDD REL DFERENCBLE Y GRPO DE LE CRLOS S. CHNE 03.. Mapas y atlas de clase r: Ds -mapas ( ) y ( ) alguas de estas ds cdces: b) s es derec Φ c r se dce relacads e clase c r s se verca a) : ( Φ ) R ( ) R -atlas es de clase c r e el espac (X T) s ds -mapas cualesquera del msm está relacads e clase c r tlas maxmales de clase r: -atlas de clase r e el espac (XT) se dce maxmal s está cted e gú tr atlas de clase r del espac (X T). La ucdad de u -atlas maxmal para cada u de ls -atlas del espac de Hausdr dad es el udametal ccept que permte der las varedades reales derecables. Est l pdems hacer medate la sguete prpscó. Terema: Dad u -atlas cualquera de clase c r exste u úc -atlas maxmal que l ctee. E eect: ) Csderems e prmer lugar la varedad real derecable (X ) y la amla de ls -mapas {( )} del espac X que esta relacads e clase r c tds DVLGCÓN DE L MTEMÁTC EN L RED. OCTBRE 00 4

6 N NTRODCCÓN L CONCPETO DE VREDD REL DFERENCBLE Y GRPO DE LE CRLOS S. CHNE DVLGCÓN DE L MTEMÁTC EN L RED. OCTBRE 00 5 ls -mapas de. Est mplcaría que está cted e y pr csguete que el espac X está recubert pr ls -mapas de la amla. Est es que X ) Veams e segud lugar que la amla es u atlas de clase r e el espac X. Para ell hems de prbar que para td par de -mapas de ( ) ( ) se verca que ) ( ) ( : Pr la decó de sabems que td mapa de está relacad c cada u de ls mapas de pr l que es: ( ) ( ) r clase de es : / ) ( ) ( y sed evdetemete pdems restrgr la ucó aterr al cut que está cted: ( ) ( ) r clase de es : algamete se tee que ( ) ( ) r clase de es : Cmped ambas uces: ( ) ( ) r clase de es : y e detva al ser ( ) u etr abert de cualquer put q de la mage ( ) se puede armar que es de clase r e u etr abert de cada u de ls puts de ( ) l que dca que es u -atlas de clase r.

7 N NTRODCCÓN L CONCPETO DE VREDD REL DFERENCBLE Y GRPO DE LE CRLOS S. CHNE 04. Varedad real derecable y ucó derecable: 04.. Varedad real derecable: Se llama varedad derecable real de clase r y dmesó al par (X ) rmad pr u espac tplógc de Hausdr y u -atlas maxmal de clase r e X. Cuad r0 la varedad derecable real se dema varedad tplógca be espac lcalmete euclda. E detva y e vrtud del terema aterr para dar ua varedad derecable real (X ) sbre u espac de Hausdr X bastará dar u -atlas cualquera tal que sea el -atlas maxmal y úc que ctee a. eempl de varedad real derecable l teems e la esera de rad r: Sea X la esera de rad r: X { x y z x } y z r r ( ) / + + Y sea ls -mapas ( ) ( ) berts de X r : Hmmrsms: dde s: {( x y z) X / z } {( x y z) X } r r / z x z x ( x y z) + z : V R ( x y z) : V R y z R y R + z E realdad ambs hmmrsms s las pryecces esterescópcas e el pla R desde ls pls de la esera. DVLGCÓN DE L MTEMÁTC EN L RED. OCTBRE 00 6

8 N NTRODCCÓN L CONCPETO DE VREDD REL DFERENCBLE Y GRPO DE LE CRLOS S. CHNE 04.. Fucó derecable: Dadas (X ) y (Y B) ds varedades reales derecables de clase r y de dmeses m y respectvas sea la ucó ϕ : X Y drems que esta ucó es derecable de clase td m-mapa h r e el put p X s para ( ) al que perteezca p y para td -mapa V g) B perteezca ϕ (p) se verca que la ucó cmpuesta clase h e u etr de ϕ (p). g ( al que ϕ es derecable de Se dce que ϕ es derecable de clase h s es derecable e td put de la varedad X. a aplcacó deda desde el espac X e el espac Y se dce que es u demrsm de clase h s es byectva y tat cm su versa - s derecables de clase h. Trvalmete se prueba que es demrsm la detdad assmsm se prueba que s las uces : X Y : Y Z s demrsms també resulta ser a demrsm la ucó cmpuesta b b a : X Z pr l que se puede establecer que es de equvaleca la relacó de demrsm etre varedades reales derecables de clase r. DVLGCÓN DE L MTEMÁTC EN L RED. OCTBRE 00 7

9 N NTRODCCÓN L CONCPETO DE VREDD REL DFERENCBLE Y GRPO DE LE CRLOS S. CHNE 05. Prduct de varedades reales derecables y grups de Le: 05.. Prduct de varedades: Pdems der el prduct de varedades reales derecables csderad el prduct tplógc de ls espacs de Hausdr sbre ls que esté dedas. sí sea las varedades reales derecables de clases m y respectvamete dadas pr ( X ) ( X ) y csderems el espac tplógc prduct X X xx dada pr T T xt també espac de Hausdr. mbs atlas s: m-atlas {( )} -atlas {( )} crrespdetes s c tplgía prduct y ls hmmrsms m : R : R deds pr: x y El (m+)-atlas prduct sería: ( x) ( y) ( x x... x m ) R ( y y... y ) R {( W )} {( x )} xj xj x estad cada u de ls hmmrsms m + : x R dad pr m ( y)) R ( x y) x ( x y) ( ( x) Es medat e detva que també ( xx ) x m+ X es ua varedad real derecable de dmesó suma de las dmeses de ambas varedades reales Ls grups de Le: Dad u espac tplógc de Hausdr X y e él ua peracó tera * que le cere estructura de grup se dce que (X *) es u grup de Le s y sl s exste u -atlas tal que (X ) es ua varedad real derecable y además la ucó L : X X X tal que ( x y) X X L( x y) x y es derecable. DVLGCÓN DE L MTEMÁTC EN L RED. OCTBRE 00 8