Hl = {P = (x, y) 1 d(p, Fl) - d(p, 4) = -2a} 4.2 NOTACION Y PROPIEDADES

Transcripción

1 4.1 DEFINICION. Un hipérol es el conjunto de todos los puntos del plno euclideno R~ tles que que l diferenci de sus distncis dos puntos fijos es en vlor soluto un constnte. Así, si F, y F, son dos puntos fijos de R' y es un rel positivo, se tiene = {P = (x, y) l d(p, F,) - d(p, F2) = ~ 2} Un hipérol se compone de dos rms H1 y Hz definids por Hl = {P = (x, y) 1 d(p, Fl) - d(p, 4) = -2} H, = {P = (x, y) 1 d(~, F,) - d(p, ~ 2 = ) 2} \ D X 4.2 NOTACION Y PROPIEDADES 1. Los puntos Fl y F2 se llmn focos de l hipdrol El punto medio F, = (Fl + F2 ) del segmento F,F, se llm centro de l hipi?rol.

2 3. L hipérol M cort l rect X' que ps por los focos en exctmente dos puntos Vl y V. que se llmn vértices de l hiperol. Se cumple d(vl, F,) = d(v2, F, t ) El segmento V1V2 se llm eje trnsversl y posee longitud Si c=d(f,, Fo)=d(F2, F,) entonces c> Hgmos = c - y designemos por Y' l rect que ps por F, y es perpendiculr X'. Sen B, y B2 los puntos de Y' que distn de F,. Se tiene d(b,, Fo)=d(B,,Fo)= El segmento BlB2 se llm eje conjugdo y tiene longitud Los números y se denominn semieje trnsversl y conjugdo, respectivmente. C El número e = - se llm excentricidd de l hipérol. Oservemos que e > 1 6. Decimos que un hipérol es equiláter si =, es decir si los semiejes trnsversl y conjugdo son igules. Emplendo l relción c =.\l2 + 2, es fácil de ver que un hipérol es equilter si y solmente si e = ECUACION DE LA HIPERBOLA CON EJE TRANSVERSAL PARALELO A UN EJE DE COORDENADAS CARTESIANAS TEOREMA. 1) L ecución de un hipérol cuyo eje trnsversl es prlelo l eje X es centro de l hipérol: (h, k) Y donde se tiene que vértices de l hipérol: (h, k) y (h +, k) focos de l hipérol: (h - c, k) y (h t c, k); c = ~/m

3 2) L ecución de un hipérol cuyo eje trnsversl es prlelo l eje Y es [centro de l hipérol: (h, k) Y donde se tiene que vértices de l hipérol: (h, k - ) y (h, k + ) 1 [focosdelhipérol: (h,k-c) y (h,k+c); c=dm Asíntots de l Hipérol (x- h)2 (y- k)2 1. Se llmn síntots de l hipérol ls rects í L2: Y = k--(x-h) que se otienen igulndo cero el segundo miemro de l ecución de l hipérol. Así, los puntos de ls síntots son quellos que stisfcen l ecución Ls síntots L, y L2 son dos rects que psn por el centro de l hipérol y formn con el eje trnsversl de ést un ángulo con tg = I /. Propiedd de ls Asíntots. Si P(x, y) es un punto de l hipérol, entonces l distnci de P l sintot m& próxim tiende hci cero medid que 1x1 crece indefinidmente (ver prolem resuelto NqO). (y k12 (x h)l 2. De igul modo se llmn stntots de l hipérol ls rects L,: y=k+-(x-h) L2: Y = k--(x-h) que se otienen igulndo cero el segundo miemro de l ecución de l hipérol.

4 Hipérol con eje trnsversl prlelo l eje X 4.4 HIPERBOLAS CONJUGADAS Decimos que dos hipérols son conjugds si tienen los ejes trnsversles y conjugdos intercmidos. En form explícit, ls hipérols H y H' son conjugds si se cumple V,V, = eje trnsversl de H = eje conjugdo de H' Y B,B2 = eje conjugdo de H = eje trnsversl de H' Por ejemplo,, ls hipérols son conjugds. Dos hipérols conjugds tienen ls misms síntots. Hipérols conjugds 4.5 PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA 1. Hllr l ecución de l hipérol cuyos focos son los vértices de l elipse 25x2 + gy2 = 255 y cuyos vértices son los focos de l elipse.

5 L Hipérol 93 X2 y2 SOLUCION. De l ecución de l elipse - + = otenemos -25, 2=9 y c =16. Por lo tnto, vértices de l elipse: (0,- 5), (0,5); focos de l elipse: (o,- 4), (o, 4) ; Luego se tiene focos de l hipérol: (0, - 5), (0,5); vértices de l hipérol: (0, - 4), (0,4) ; centro de l hipérol: (0,O). L ecución tiene l form donde A=4,C=5 y B =. / m =. / m = 3 y2 2 X Se sigue entonces que = 1 es l ecución requerid. y2 x 2 RESPUESTA = 1 PROBLEMA 2. El costo de producción de un rtículo es $12 menos por unidd en un punto A que en un punto B. Si l distnci de A B es de 100 Kms., l rut de entreg está lo lrgo de un líne rect y el trnsporte cuest $0.20 por unidd por Km; cul es l curv en culquier punto de l cul cueste lo mismo un rtículo trnsportdo desde A o B? SOLUCION. Trcemos un sistem rectngulr de coordends como se muesr en l figur Designemos los siguientes costos por unidd de rtículo p = costo de producción en B CA = costo en P de mercncí proveniente de A CB = costo en P de mercncí proveniente de B Desde que costo totl = costo de producción + costo de trnsporte

6 se tiene C, = ( p - 12) d(a, P) Ahor ien si P = (x, y) es un punto en el cul C, = C, entonces se tendrá que (p - 12) d(a, P) = p d(b, P) Luego P se encuentr en l rm derech de l hipérol con focos en A = (-50,O) y B = (50,O) y cuy ecución es RESPUESTA. Rm derech de l hipérol 16x2 - gy2 = PROBLEMA 3. Hllr un ecución del conjunto de todos los puntos P = (x, y) tles que l distnci de P (1,2) es 3/2 de l distnci de P l rect y = -1. SOLUCION. Sen Fo = (12) y L: y = -l. Si P = (x, y) cumple d(p, Fo) = 2 d(p, L) entonces se tiene,/m = +(y+l) Y completndo cudrdos otenemos

7 (Y++)2 (X-I)~ RESPUESTA. Un ecución es --= que represent un hipérol con centro en (1,-y), eje trnsversl prlelo l eje Y y semiejes trnsversl y conjugdo $ y 9, respectivmente. PROBLEMA 4. Se k +. O. Pror que l ecución xy = k es l ecución de un hipér- Sol equilter efectundo l rotción de 45" del sistem de coordends XY dd por: SOLUCION. Sustituyendo ls expresiones de x, y, dds por ls ecuciones de cmio de coordends en xy = k, otenemos que represent un hipérol equiláter con eje trnsversl X' o Y' según se k > O o k < O. PROBLEMA 5. tiene F. Sen e un número rel > 1, F un punto fijo y L un rect que no con- 1) Pror que los puntos P del plno cuy distnci del punto F es e veces l distnci de l rect L, formn un hipérol. 2) Si y son los semiejes trnsversl y conjugdo de l hipérol y si c =Jn, pror que c=e. Not. Llmmos foco l punto F, excentricidd l número e y directriz l rect L. SOLUCION. 1) Consideremos un sistem de coordends crtesins XY con origen en el punto F tl que el eje X se perpendiculr l rect L y orientmos X positivmente en el sentido de l rect L l punto F. Se tiene sí donde F=(O,O), L: x=-d, d =d(f, L). Designemos con P = (x, y) un punto tl que d(p, F) = ed(p, L).

8 Se tiene entonces complendo cdos (1 - [. e2d2 y dividiendo entre 7 se otiene 1-e 71 2 e2d2 - + y = e 1-e El primer denomindor es >O, y el segundo es <O, pues e > 1 implic e > 1 y 2 1-e <O. Por lo tnto, l ecución represent un hipérol con centro en [q 1-e, O) y eje trnsversl prlelo l eje x 2 2) Si y son los semiejes trnsversl y conjugdo de l hipérol respectivmente, de cuerdo lo que se c de estlecer, se dee cumplir que Luego Por lo tnto c=e. PROBLEMA 6. Hllr l ecución de l hipérol cuys sintots son y = k*(x - 1) + 2, y que ps por el punto (5, - 912)

9 L Hipérol 97 SOLUCION. Puesto que ls síntots son y-2=q(x-1), y-2=-- i(x- 1)> multiplicndo miemro miemro, se otiene Luego l ecución de l hipérol es de l form donde k dee determinrse emplendo l condición de que l hipérol ps por el punto (5, - f). Hciendo x = 5, y = -q, otenemos (Y q2 (x- 1) 2 RESPUESTA. - - = PROBLEMA 7. tricidd e = s. Hllr l ecución de l hipérol con focos en (0,O) y (6,O) y excen- SOLUCION. El centro de l hipérol es (3,O) y l ecución de l hipérol tiene l form Se tiene demás e=3 2 2c = distnci entre los focos = d[(0, O), (6, O)] = c = + c=e De (11, (2) y (4): 3=+.> = yde (3)y(5) : =c -2=3-2 =5 (x - 3Y Y 2 RESPUESTA =

10 PROBLEMA 8. Pror que el producto de ls distncis de un punto culquier de un hipérol sus síntots es constnte. SOLUCION. Consideremos l hipérol x -- y2 = 1 2 con síntots L,: y=-x o y--x=o L2: y=--x o y+-=o Se P = (x, y) un punto culquier de l hipérol. Se tiene d, = d(p, L,) = 2 Luego teniendo en cuent que Así, hemos demostrdo que = 1, pues P es un punto de l hipérol. 22 d,d2 = - - constnte PROBLEMA 9. Sen A y B dos puntos fijos cuy distnci es d. Pror que el conjunto de los puntos P tles que el dngulo PAB es dos veces el &ngulo ABP, es un hip6rol con excentricidd SOLUCION. Supongmos que Se P =(%,y) un punto tl que ápab = 2 U P y hgmos = U P Y 2 tg Se tiene - = tg 2 = x 1-tg2 A = (O, O) 't

11 L Hipérol 99 Y Sustituyendo tg en l primer ecución - = 2 X (d:%) y completndo cudrdos Y2-3~2+4d+=d2, 2 7d2 que es l ecución de un hipérol con = -, 2=- 7d2 ; y clculndo l excen tricidd e: c2 = +2= -d2, 9 PROBLEMA 10. Se H un hipérol con centro C. Si P es punto culquier de H y L es l síntot más próxim P, demostrr que l distnci d(p, L) tiende cero si d(p, C) crece indefinidmente; es decir que se cumple d(p,l,)+o cundo d(p, C) + +m SOLUCION. Por simplicidd vmos suponer que C = (0.0) y que l ecución de l hipérol es Ls ecuciones de ls sintots son: L, : y - - x = O, L2 : y + - x = 0. Se P = (x, y) un punto de l hipérol. De (1) se tiene que Y = &A,/= (2) Supongmos que P = (x, y) se encuentr en l prte superior de l rm derech de l hipérol, es decir que se cumple x 2, y 20. Demostrremos que d (~, L,) tiende O cundo d(p,o) = Jm = x 1+- tiende m, i o'

12 esto es cundo x -, +OO. Clculmos d(p, L, ) sustituyendo (2) en y rcionlizndo Luego, si x -+ +m', entonces el denomindor-+ +m, el segundo miemro -P O, y por lo tnto, d(p, L,) + O. De modo similr se pruen los csos en que P se encuentr en l prte inferior de l rm derech o en ls prtes superior o inferior de l rm izquierd de l hipérol. + BX + cy2 PROBLEMA 11. Si h2 síntots y = mx + se otienen resolviendo ls ecuciones + DX + E y + F = O es l ecución de un hipérol, ls Encontrr ls síntots y el centro de l hipérol l0x~+l~~-6~~-82~-9~+262=0 SOLUCION. Utilizndo ls ecuciones (*) Ls rices de l ecución (1) son que sustituids en (2) dn Ls síntots son 10+llm-6m2 =O ll-12m-82-9m=o m = ll+ & 12-1y2 = { 4 L1: y=#x-+ L2: y=-+x+4

13 El centro de l hipérol es el punto de intersección de ls síntots. Resolviendo ls ecuciones (3) y (4) otenemos x=3 y= PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 1. Hllr los focos, vértices, excentricidd y síntots de l hipérol 25x2 - gy2 = 225 PROBLEMA2. Hllr l ecución de un hipérol cuys síntots son 5y + 12x - 39 = 0, 5y - 12x + 9 = O, y que ps por el punto (-8,3). Sugerenci. Usr l propiedd de que si P es un punto de l hipérol y d(p, L,) y d(p, L2) son ls distncis de P ls síntots, entonces d(p, L, ) x d(p, L2) = constnte = k (Ver prolem resuelto N%). PROBLEMA 3. Hllr l ecución de un hipérol con eje trnsversl prlelo l eje X, excentricidd 513, y que ps por los puntos (4, O), (-2,2) y (- 1 i/4,5) PROBLEMA 4. Hllr l ecución de un hipérol equiláter cuyo centro es el origen y que tiene sus focos sore l rect y = *x un distnci 5 del origen. PROBLEMA 5. Hllr l ecución de l hipérol con centro en (-1 O), sus focos en el eje X y que ps por los puntos (4, O) y (5fi - $12) PROBELMA 6. Si 4x2 + 5xy + + 3x + 2y - 7 = 0 es l ecución de un hiprol, hllr ls síntots y el centro de l hipérol. PROBLEMA 7. Pror que no existe ningun rect y = mx que cort l hipérol 2 2 x - y = 1 en exctmente un punto. PROBLEMA 8. Ls síntots de un hipérol formn un ángulo de 60' con el eje trnsversl. Hllr l excentricidd de l hipérol. PROBLEMA 9. Se llm ldo recto o cuerd foc1 de un hipérol l cuerd que ps por el foco y es perpendiculr l eje trnsversl. Pror que l longitud del ldo 22 recto es -, donde y son los ejes trnsversl y conjugdo, respectivmente. PROBLEMA 10. L hipérol H tiene ls síntots 2x - 3y + 12 = O y 2x + 3y = O. Si un vértice de H es (0,2), hllr l ecución de H.

14 PROBLEMA 11. Se l hipérol 4x2-3y2 = 36. Hllr l ecución de l cuerd cuyo punto medio es ($,3). RESPUESTAS. 1. focos: (-, O), (, O); vertices: (-3, O), (3, O); excentricidd: e = &/3 ; síntots: y = *$x. 6. Asíntots: 3x + 3y = -1, 12x + 3y = -5 ; Centro: (--$,+).