Álgebra y Trigonometría Clase 4 Inversas, exponenciales y logarítmicas

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1 Álgebra y Trigonometría Clase 4 Inversas, exponenciales y logarítmicas CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c Reproducción permitida bajo los términos de la licencia de documentación libre GNU.

2 1 Funciones inversas Funciones biunívocas Funciones monótonas Funciones inversas Gráfica de funciones inversas 2 Funciones exponenciales Definición de función exponencial Número e y gráfica de y = e x 3 Funciones Logarítmicas Definición de función logarítmica Propiedades de las funciones logarítmicas Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

3 Funciones biunívocas Definición 1.1 (Función biunívoca) Una función f : P Q es llamada biunívoca si cumple cualquiera de las siguientes condiciones: 1 Si a b para a, b P entonces f(a) f(b) en Q. 2 Si f(a) = f(b) en Q, entonces a = b en P Ejemplo: Probar que f(x) = 4x 3 es biunívoca.

4 Funciones biunívocas Definición 1.1 (Función biunívoca) Una función f : P Q es llamada biunívoca si cumple cualquiera de las siguientes condiciones: 1 Si a b para a, b P entonces f(a) f(b) en Q. 2 Si f(a) = f(b) en Q, entonces a = b en P Ejemplo: Probar que f(x) = 4x 3 es biunívoca. Supongamos que f(a) = f(b) y veamos que a = b. En efecto, si f(a) = f(b) entonces:

5 Funciones biunívocas Definición 1.1 (Función biunívoca) Una función f : P Q es llamada biunívoca si cumple cualquiera de las siguientes condiciones: 1 Si a b para a, b P entonces f(a) f(b) en Q. 2 Si f(a) = f(b) en Q, entonces a = b en P Ejemplo: Probar que f(x) = 4x 3 es biunívoca. Supongamos que f(a) = f(b) y veamos que a = b. En efecto, si f(a) = f(b) entonces: 4a 3 = 4b 3 definición de f(x)

6 Funciones biunívocas Definición 1.1 (Función biunívoca) Una función f : P Q es llamada biunívoca si cumple cualquiera de las siguientes condiciones: 1 Si a b para a, b P entonces f(a) f(b) en Q. 2 Si f(a) = f(b) en Q, entonces a = b en P Ejemplo: Probar que f(x) = 4x 3 es biunívoca. Supongamos que f(a) = f(b) y veamos que a = b. En efecto, si f(a) = f(b) entonces: 4a 3 = 4b 3 definición de f(x) 4a = 4b restando 3

7 Funciones biunívocas Definición 1.1 (Función biunívoca) Una función f : P Q es llamada biunívoca si cumple cualquiera de las siguientes condiciones: 1 Si a b para a, b P entonces f(a) f(b) en Q. 2 Si f(a) = f(b) en Q, entonces a = b en P Ejemplo: Probar que f(x) = 4x 3 es biunívoca. Supongamos que f(a) = f(b) y veamos que a = b. En efecto, si f(a) = f(b) entonces: 4a 3 = 4b 3 definición de f(x) 4a = 4b restando 3 a = b dividiendo por 4

8 Funciones biunívocas Definición 1.1 (Función biunívoca) Una función f : P Q es llamada biunívoca si cumple cualquiera de las siguientes condiciones: 1 Si a b para a, b P entonces f(a) f(b) en Q. 2 Si f(a) = f(b) en Q, entonces a = b en P Ejemplo: Probar que f(x) = 4x 3 es biunívoca. Supongamos que f(a) = f(b) y veamos que a = b. En efecto, si f(a) = f(b) entonces: 4a 3 = 4b 3 definición de f(x) 4a = 4b restando 3 a = b dividiendo por 4 luego, podemos afirmar que f(x) es biunívoca.

9 Funciones biunívocas Definición 1.1 (Función biunívoca) Una función f : P Q es llamada biunívoca si cumple cualquiera de las siguientes condiciones: 1 Si a b para a, b P entonces f(a) f(b) en Q. 2 Si f(a) = f(b) en Q, entonces a = b en P Ejemplo: Probar que f(x) = 4x 3 es biunívoca. Supongamos que f(a) = f(b) y veamos que a = b. En efecto, si f(a) = f(b) entonces: 4a 3 = 4b 3 definición de f(x) 4a = 4b restando 3 a = b dividiendo por 4 luego, podemos afirmar que f(x) es biunívoca.

10 Funciones biunívocas Definición 1.1 (Función biunívoca) Una función f : P Q es llamada biunívoca si cumple cualquiera de las siguientes condiciones: 1 Si a b para a, b P entonces f(a) f(b) en Q. 2 Si f(a) = f(b) en Q, entonces a = b en P Ejemplo: Probar que f(x) = 4x 3 es biunívoca. y Supongamos que f(a) = f(b) y veamos que a = b. En efecto, si f(a) = f(b) entonces: f(x) = 4x a 3 = 4b 3 definición de f(x) 4a = 4b restando 3 a = b dividiendo por 4 luego, podemos afirmar que f(x) es biunívoca x

11 Funciones biunívocas Ejemplo: Probar que h(x) = x 2 1 no es biunívoca.

12 Funciones biunívocas Ejemplo: Probar que h(x) = x 2 1 no es biunívoca. En este caso, es suficiente buscar dos números en el dominio de h(x) que cumplan que h(a) = h(b) pero a b. 3 2 y x 2 3

13 Funciones biunívocas Ejemplo: Probar que h(x) = x 2 1 no es biunívoca. En este caso, es suficiente buscar dos números en el dominio de h(x) que cumplan que h(a) = h(b) pero a b. f( 2) 3 2 y f(2) Basta tomar, por ejemplo, a x = 2 y a x = x 2 3

14 Funciones biunívocas Ejemplo: Probar que h(x) = x 2 1 no es biunívoca. En este caso, es suficiente buscar dos números en el dominio de h(x) que cumplan que h(a) = h(b) pero a b. f( 2) 3 2 y f(2) Basta tomar, por ejemplo, a x = 2 y a x = 2. 1 Note que: h( 2) = ( 2) 2 1 = 3, y h(2) = (2) 2 1 = 3. Así, h(x) no es biunívoca h(x) = x 2 1 x 3

15 Prueba de la recta horizontal Teorema 1.1 (funciones monótonas) Una función estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) en todo su dominio es biunívoca. Note que una función f es biunívoca sí y sólo sí toda recta horizontal corta la gráfica de f a lo más, en un punto, pues las funciones que son estrictamente crecientes (o estrictamente decrecientes) cumplen dicho criterio.

16 Prueba de la recta horizontal Teorema 1.1 (funciones monótonas) Una función estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) en todo su dominio es biunívoca. Note que una función f es biunívoca sí y sólo sí toda recta horizontal corta la gráfica de f a lo más, en un punto, pues las funciones que son estrictamente crecientes (o estrictamente decrecientes) cumplen dicho criterio.

17 Prueba de la recta horizontal Teorema 1.1 (funciones monótonas) Una función estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) en todo su dominio es biunívoca. Note que una función f es biunívoca sí y sólo sí toda recta horizontal corta la gráfica de f a lo más, en un punto, pues las funciones que son estrictamente crecientes (o estrictamente decrecientes) cumplen dicho criterio. y y y x f(x) x y = x

18 Prueba de la recta horizontal Teorema 1.1 (funciones monótonas) Una función estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) en todo su dominio es biunívoca. Note que una función f es biunívoca sí y sólo sí toda recta horizontal corta la gráfica de f a lo más, en un punto, pues las funciones que son estrictamente crecientes (o estrictamente decrecientes) cumplen dicho criterio. y y y Función decreciente x f(x) x y = x

19 Prueba de la recta horizontal Teorema 1.1 (funciones monótonas) Una función estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) en todo su dominio es biunívoca. Note que una función f es biunívoca sí y sólo sí toda recta horizontal corta la gráfica de f a lo más, en un punto, pues las funciones que son estrictamente crecientes (o estrictamente decrecientes) cumplen dicho criterio. y y y Función creciente Función decreciente x f(x) x y = x

20 Prueba de la recta horizontal Teorema 1.1 (funciones monótonas) Una función estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) en todo su dominio es biunívoca. Note que una función f es biunívoca sí y sólo sí toda recta horizontal corta la gráfica de f a lo más, en un punto, pues las funciones que son estrictamente crecientes (o estrictamente decrecientes) cumplen dicho criterio. y y y Función creciente Función decreciente f(a) f(b) x f(x) x y = a b x

21 Prueba de la recta horizontal Teorema 1.1 (funciones monótonas) Una función estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) en todo su dominio es biunívoca. Note que una función f es biunívoca sí y sólo sí toda recta horizontal corta la gráfica de f a lo más, en un punto, pues las funciones que son estrictamente crecientes (o estrictamente decrecientes) cumplen dicho criterio. y y y Función creciente Función decreciente f(a) f(b) x f(x) x y = a b x Función que no es monótona

22 Funciones Inversas Definición 1.2 (Función inversa) Sea f : P Q una función biunívoca. Una función g : Q P es llamada la función inversa de f si se cumple que: y = f(x) sí y sólo sí x = g(y) para todo x en P, y para todo y en Q.

23 Funciones Inversas Definición 1.2 (Función inversa) Sea f : P Q una función biunívoca. Una función g : Q P es llamada la función inversa de f si se cumple que: y = f(x) sí y sólo sí x = g(y) para todo x en P, y para todo y en Q. Notación: Cuando una función f : P Q es invertible, entonces la función inversa g suele denotarse como g = f 1. Así, la inversa de la función sería entonces la función f: P Q x y = f(x) f 1 : Q P y x = f 1 (y) P Q f x y=f(x) f 1 Note que: dom f = ran f 1, y dom f 1 = ran f

24 Funciones invertibles Teorema 1.2 Sea f : P Q una función biunívoca, entonces una función g : Q P es la función inversa de f si y sólo si, se cumple que: 1 g(f(x)) = x para todo x P (o sea, f 1 (f(x)) = x para toda x P =dom f) 2 f(g(y)) = y para todo y Q (o sea, f(f 1 (y)) = y para toda y Q =dom f 1 ) Los pasos a seguir para encontrar la inversa de una función y = f(x) son: i) Comprobar si f sea biunívoca ii) Despejar x en términos de y en la ecuación y = f(x) y así obtener una ecuación del tipo x = g(y) = f 1 (y) iii) Finalmente, comprobar que se cumplen las dos condiciones del teorema anterior, es decir: f 1 (f(x)) = x para toda x dom f f(f 1 (x)) = x para toda x dom f 1

25 Funciones invertibles: ejemplo Ejemplo: Encuentre la inversa de la función f(x) = 5x 2 Paso 1: f es biunívoca.

26 Funciones invertibles: ejemplo Ejemplo: Encuentre la inversa de la función f(x) = 5x 2 Paso 1: f es biunívoca. En efecto, si f(a) = f(b), entonces 5a 2 = 5b 2, o sea, 5a = 5b, es decir a = b. Paso 2: Despejemos a x.

27 Funciones invertibles: ejemplo Ejemplo: Encuentre la inversa de la función f(x) = 5x 2 Paso 1: f es biunívoca. En efecto, si f(a) = f(b), entonces 5a 2 = 5b 2, o sea, 5a = 5b, es decir a = b. Paso 2: Despejemos a x. Si y = 5x 2, entonces y + 2 = 5x, luego x = y + 2. Así, f 1 (y) = y + 2, finalmente, como el símbolo de la variable 5 5 no tiene importancia entonces escribimos f 1 (x) = x + 2 (cambiando a y 5 por x), donde x está en el dominio de f 1.

28 Funciones invertibles: ejemplo Ejemplo: Encuentre la inversa de la función f(x) = 5x 2 Paso 1: f es biunívoca. En efecto, si f(a) = f(b), entonces 5a 2 = 5b 2, o sea, 5a = 5b, es decir a = b. Paso 2: Despejemos a x. Si y = 5x 2, entonces y + 2 = 5x, luego x = y + 2. Así, f 1 (y) = y + 2, finalmente, como el símbolo de la variable 5 5 no tiene importancia entonces escribimos f 1 (x) = x + 2 (cambiando a y 5 por x), donde x está en el dominio de f 1. Paso 3: Comprobemos que f 1 (f(x)) = x para todo x dom f 1. En efecto, f 1 (f(x)) = f 1 (5x 2) = [5x 2] = 5x 5 = x

29 Funciones invertibles: ejemplo Ejemplo: Encuentre la inversa de la función f(x) = 5x 2 Paso 1: f es biunívoca. En efecto, si f(a) = f(b), entonces 5a 2 = 5b 2, o sea, 5a = 5b, es decir a = b. Paso 2: Despejemos a x. Si y = 5x 2, entonces y + 2 = 5x, luego x = y + 2. Así, f 1 (y) = y + 2, finalmente, como el símbolo de la variable 5 5 no tiene importancia entonces escribimos f 1 (x) = x + 2 (cambiando a y 5 por x), donde x está en el dominio de f 1. Paso 3: Comprobemos que f 1 (f(x)) = x para todo x dom f 1. En efecto, f 1 (f(x)) = f 1 (5x 2) = [5x 2] = 5x 5 = x De forma similar se prueba que f(f 1 (x)) = x para todo x dom f.

30 Funciones invertibles: ejemplo Ejemplo: Encuentre la inversa de la función f(x) = 5x 2 Paso 1: f es biunívoca. En efecto, si f(a) = f(b), entonces 5a 2 = 5b 2, o sea, 5a = 5b, es decir a = b. Paso 2: Despejemos a x. Si y = 5x 2, entonces y + 2 = 5x, luego x = y + 2. Así, f 1 (y) = y + 2, finalmente, como el símbolo de la variable 5 5 no tiene importancia entonces escribimos f 1 (x) = x + 2 (cambiando a y 5 por x), donde x está en el dominio de f 1. Paso 3: Comprobemos que f 1 (f(x)) = x para todo x dom f 1. En efecto, f 1 (f(x)) = f 1 (5x 2) = [5x 2] = 5x 5 = x De forma similar se prueba que f(f 1 (x)) = x para todo x dom f.

31 Gráfica de una función y su inversa Existe una relación muy interesante entre las gráficas de f y f 1, y es que dichas gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. y La siguiente figura muestra la simetría entre las funciones f y f 1 a partir de la recta y = x. Observación: En algunas acasiones, nos encontraremos con funciones que no son invertibles; sin embargo, si se les restringe el dominio entonces se les podrá encontrar la inversa. b a (a, b) f a recta y = x b (b, a) f 1 x

32 Gráfica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la función f(x) = 3x 2 + 2, para x 0. Grafica f y f 1. y = 3x con x 0

33 Gráfica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la función f(x) = 3x 2 + 2, para x 0. Grafica f y f 1. y = 3x con x 0 y 2 = 3x 2 restando 2

34 Gráfica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la función f(x) = 3x 2 + 2, para x 0. Grafica f y f 1. y = 3x con x 0 y 2 = 3x 2 restando 2 y 2 3 = x 2 dividiendo por 3

35 Gráfica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la función f(x) = 3x 2 + 2, para x 0. Grafica f y f 1. y = 3x con x 0 y 2 = 3x 2 restando 2 y 2 = x 2 dividiendo por 3 3 y 2 ± = x siempre que y 2 3

36 Gráfica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la función f(x) = 3x 2 + 2, para x 0. Grafica f y f 1. y = 3x con x 0 y 2 = 3x 2 restando 2 y 2 = x 2 dividiendo por 3 3 y 2 ± = x siempre que y 2 3 y 2 x = pues x 0 3

37 Gráfica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la función f(x) = 3x 2 + 2, para x 0. Grafica f y f 1. y = 3x con x 0 y 2 = 3x 2 restando 2 y 2 = x 2 dividiendo por 3 3 y 2 ± = x siempre que y 2 3 y 2 x = pues x 0 3 luego, f 1 (x) = x 2 3 para x 2.

38 Gráfica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la función f(x) = 3x 2 + 2, para x 0. Grafica f y f 1. y = 3x con x 0 y 2 = 3x 2 restando 2 y 2 = x 2 dividiendo por 3 3 y 2 ± = x siempre que y 2 3 y 2 x = pues x 0 3 luego, f 1 (x) = x 2 3 para x 2.

39 Gráfica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la función f(x) = 3x 2 + 2, para x 0. Grafica f y f 1. y y = 3x con x 0 6 y 2 = 3x 2 restando 2 y 2 = x 2 dividiendo por 3 3 y 2 ± = x siempre que y 2 3 y 2 x = pues x x 2 luego, f 1 (x) = para x x

40 Gráfica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la función f(x) = 3x 2 + 2, para x 0. Grafica f y f 1. y = 3x con x 0 y 2 = 3x 2 restando 2 y 2 = x 2 dividiendo por 3 3 y 2 ± = x siempre que y 2 3 y 2 x = pues x 0 3 luego, f 1 (x) = x 2 3 para x y f x

41 Gráfica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la función f(x) = 3x 2 + 2, para x 0. Grafica f y f 1. y = 3x con x 0 y 2 = 3x 2 restando 2 y 2 = x 2 dividiendo por 3 3 y 2 ± = x siempre que y 2 3 y 2 x = pues x 0 3 luego, f 1 (x) = x 2 3 para x y f f x

42 Gráfica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la función h(x) = 3 x, para x 3. Grafica h y h 1. y = 3 x con x 3 (y 0)

43 Gráfica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la función h(x) = 3 x, para x 3. Grafica h y h 1. y = 3 x con x 3 (y 0) y 2 = 3 x elevando al cuadrado

44 Gráfica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la función h(x) = 3 x, para x 3. Grafica h y h 1. y = 3 x con x 3 (y 0) y 2 = 3 x elevando al cuadrado x = 3 y 2 despejando x

45 Gráfica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la función h(x) = 3 x, para x 3. Grafica h y h 1. y = 3 x con x 3 (y 0) y 2 = 3 x elevando al cuadrado x = 3 y 2 despejando x luego, h 1 (x) = 3 x 2 para x 0.

46 Gráfica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la función h(x) = 3 x, para x 3. Grafica h y h 1. y = 3 x con x 3 (y 0) y 2 = 3 x elevando al cuadrado x = 3 y 2 despejando x luego, h 1 (x) = 3 x 2 para x 0.

47 Gráfica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la función h(x) = 3 x, para x 3. Grafica h y h 1. y y = 3 x con x 3 (y 0) y 2 = 3 x elevando al cuadrado x = 3 y 2 despejando x luego, h 1 (x) = 3 x 2 para x x 3

48 Gráfica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la función h(x) = 3 x, para x 3. Grafica h y h 1. y y = 3 x con x 3 (y 0) y 2 = 3 x elevando al cuadrado x = 3 y 2 despejando x h luego, h 1 (x) = 3 x 2 para x x 3

49 Gráfica de funciones inversas Ejemplo: Encuentre la inversa de la función h(x) = 3 x, para x 3. Grafica h y h 1. y y = 3 x con x 3 (y 0) y 2 = 3 x elevando al cuadrado x = 3 y 2 despejando x h luego, h 1 (x) = 3 x 2 para x h 1 x 3

50 Funciones exponenciales Definición 2.1 (Función exponencial) Una función exponencial es quella que tiene la forma f(x) = a x donde a es un número real positivo (a > 0), y a 1. El dominio de f es el conjunto de todos los reales. Sea f(x) = a x una función exponencial, entonces: El dominio de f es el conjunto de todos los reales. El rango de f es el conjunto de reales positivos. El eje x (y = 0) es una asíntota horizontal. Si a > 1 entonces la función es monótona creciente. Si 0 < a < 1, la función es monótona decreciente.

51 Funciones exponenciales Definición 2.1 (Función exponencial) Una función exponencial es quella que tiene la forma f(x) = a x donde a es un número real positivo (a > 0), y a 1. El dominio de f es el conjunto de todos los reales. Sea f(x) = a x una función exponencial, entonces: El dominio de f es el conjunto de todos los reales. El rango de f es el conjunto de reales positivos. El eje x (y = 0) es una asíntota horizontal. Si a > 1 entonces la función es monótona creciente. Si 0 < a < 1, la función es monótona decreciente.

52 Funciones exponenciales Ejemplo: Grafique la función exponencial f(x) = 2 x. x f(x) = 2 x = , = 1 8 = 0, = 1 4 = 0, = 1 2 = 0, = = = = = 1024

53 Funciones exponenciales Ejemplo: Grafique la función exponencial f(x) = 2 x. x f(x) = 2 x = , = 1 8 = 0, = 1 4 = 0, = 1 2 = 0, = = = = = 1024

54 Funciones exponenciales Ejemplo: Grafique la función exponencial f(x) = 2 x. x f(x) = 2 x = , = 1 8 = 0, = 1 4 = 0, = 1 2 = 0, = = = = = 1024 (-1,1/2) (0,1) (-3,1/8) (-2,1/4) y (1,2) (2,4) (3,8) x

55 Funciones exponenciales Ejemplo: Grafique la función exponencial h(x) = ( ) x 1 x h(x) = 2 ( ) 10 = ( -3 1 ) 3 = 8 2 ( -2 1 ) 2 = 4 2 ( -1 1 ) 1 = ( 1 ) 0 = 1 2 ( 1 ) 1 = 1 ( ) 2 = ( 1 ) 3 = ( 1 ) 10 = ( ) x 1. 2

56 Funciones exponenciales Ejemplo: Grafique la función exponencial h(x) = ( ) x 1 x h(x) = 2 ( ) 10 = ( -3 1 ) 3 = 8 2 ( -2 1 ) 2 = 4 2 ( -1 1 ) 1 = ( 1 ) 0 = 1 2 ( 1 ) 1 = 1 ( ) 2 = ( 1 ) 3 = ( 1 ) 10 = ( ) x 1. 2

57 Funciones exponenciales Ejemplo: Grafique la función exponencial h(x) = ( ) x 1 x h(x) = 2 ( ) 10 = ( -3 1 ) 3 = 8 2 ( -2 1 ) 2 = 4 2 ( -1 1 ) 1 = ( 1 ) 0 = 1 2 ( 1 ) 1 = 1 ( ) 2 = ( 1 ) 3 = ( 1 ) 10 = (-3,8) 3 (-2,4) 2 (-1,2) ( ) x 1. 2 y (0,1) (1,1/2) (2,1/4) (3,1/8) x

58 Número e Definición 2.2 (Número e) El número e se define como el valor al que se acerca la expresión ( ) n n cuando n tiende a infinito (n ). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del número e. 1 n ( ) n n n n

59 Número e Definición 2.2 (Número e) El número e se define como el valor al que se acerca la expresión ( ) n n cuando n tiende a infinito (n ). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del número e. 1 n ( ) n n n n

60 Número e Definición 2.2 (Número e) El número e se define como el valor al que se acerca la expresión ( ) n n cuando n tiende a infinito (n ). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del número e. 1 n ( ) n n n n

61 Número e Definición 2.2 (Número e) El número e se define como el valor al que se acerca la expresión ( ) n n cuando n tiende a infinito (n ). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del número e. 1 n ( ) n n n n

62 Número e Definición 2.2 (Número e) El número e se define como el valor al que se acerca la expresión ( ) n n cuando n tiende a infinito (n ). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del número e. 1 n ( ) n n n n

63 Número e Definición 2.2 (Número e) El número e se define como el valor al que se acerca la expresión ( ) n n cuando n tiende a infinito (n ). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del número e. 1 n ( ) n n n n

64 Número e Definición 2.2 (Número e) El número e se define como el valor al que se acerca la expresión ( ) n n cuando n tiende a infinito (n ). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del número e. 1 n ( ) n n n n

65 Número e Definición 2.2 (Número e) El número e se define como el valor al que se acerca la expresión ( ) n n cuando n tiende a infinito (n ). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del número e. 1 n ( ) n n n n

66 Número e Definición 2.2 (Número e) El número e se define como el valor al que se acerca la expresión ( ) n n cuando n tiende a infinito (n ). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del número e. 1 n ( ) n n n n

67 Número e Definición 2.2 (Número e) El número e se define como el valor al que se acerca la expresión ( ) n n cuando n tiende a infinito (n ). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del número e. 1 n ( ) n n n n Así, se tiene que e 2,71828

68 Número e Definición 2.2 (Número e) El número e se define como el valor al que se acerca la expresión ( ) n n cuando n tiende a infinito (n ). La siguiente tabla muestra el valor aproximado del número e. 1 n ( ) n n n n Así, se tiene que e 2,71828 f(x) = e x y 1 2 x

69 Definición de función logarítmica Definición 3.1 (Función logarítmica) La función logarítimica de base a, con a > 0, y a 1; denotada por y = log a x se define como y = log a x sí y solo sí x = a y Note que el dominio de la función logarítmica y = log a x es x > 0. Ejemplo: Encuentre el número (si existe)

70 Definición de función logarítmica Definición 3.1 (Función logarítmica) La función logarítimica de base a, con a > 0, y a 1; denotada por y = log a x se define como y = log a x sí y solo sí x = a y Note que el dominio de la función logarítmica y = log a x es x > 0. Ejemplo: Encuentre el número (si existe) 1 log2 8 =?

71 Definición de función logarítmica Definición 3.1 (Función logarítmica) La función logarítimica de base a, con a > 0, y a 1; denotada por y = log a x se define como y = log a x sí y solo sí x = a y Note que el dominio de la función logarítmica y = log a x es x > 0. Ejemplo: Encuentre el número (si existe) 1 log2 8 =? Sln: log 2 8 = 3 pues 2 3 = 8

72 Definición de función logarítmica Definición 3.1 (Función logarítmica) La función logarítimica de base a, con a > 0, y a 1; denotada por y = log a x se define como y = log a x sí y solo sí x = a y Note que el dominio de la función logarítmica y = log a x es x > 0. Ejemplo: Encuentre el número (si existe) 1 log2 8 =? Sln: log 2 8 = 3 pues 2 3 = 8 2 log6 1 =?

73 Definición de función logarítmica Definición 3.1 (Función logarítmica) La función logarítimica de base a, con a > 0, y a 1; denotada por y = log a x se define como y = log a x sí y solo sí x = a y Note que el dominio de la función logarítmica y = log a x es x > 0. Ejemplo: Encuentre el número (si existe) 1 log2 8 =? Sln: log 2 8 = 3 pues 2 3 = 8 2 log6 1 =? Sln: log 6 1 = 0 pues 6 0 = 1

74 Definición de función logarítmica Definición 3.1 (Función logarítmica) La función logarítimica de base a, con a > 0, y a 1; denotada por y = log a x se define como y = log a x sí y solo sí x = a y Note que el dominio de la función logarítmica y = log a x es x > 0. Ejemplo: Encuentre el número (si existe) 1 log2 8 =? Sln: log 2 8 = 3 pues 2 3 = 8 2 log6 1 =? Sln: log 6 1 = 0 pues 6 0 = 1 3 log9 3 =?

75 Definición de función logarítmica Definición 3.1 (Función logarítmica) La función logarítimica de base a, con a > 0, y a 1; denotada por y = log a x se define como y = log a x sí y solo sí x = a y Note que el dominio de la función logarítmica y = log a x es x > 0. Ejemplo: Encuentre el número (si existe) 1 log2 8 =? Sln: log 2 8 = 3 pues 2 3 = 8 2 log6 1 =? Sln: log 6 1 = 0 pues 6 0 = 1 3 log9 3 =? Sln: log 9 3 = /2 = 3 pues

76 Definición de función logarítmica Definición 3.1 (Función logarítmica) La función logarítimica de base a, con a > 0, y a 1; denotada por y = log a x se define como y = log a x sí y solo sí x = a y Note que el dominio de la función logarítmica y = log a x es x > 0. Ejemplo: Encuentre el número (si existe) 1 log2 8 =? Sln: log 2 8 = 3 pues 2 3 = 8 2 log6 1 =? Sln: log 6 1 = 0 pues 6 0 = 1 3 log9 3 =? Sln: log 9 3 = /2 = 3 pues

77 Definición de función logarítmica Definición 3.1 (Función logarítmica) La función logarítimica de base a, con a > 0, y a 1; denotada por y = log a x se define como y = log a x sí y solo sí x = a y Note que el dominio de la función logarítmica y = log a x es x > 0. Ejemplo: Encuentre el número (si existe) 1 log2 8 =? Sln: log 2 8 = 3 pues 2 3 = 8 2 log6 1 =? Sln: log 6 1 = 0 pues 6 0 = 1 3 log9 3 =? Sln: log 9 3 = /2 = 3 pues y y = a x y = log a x x

78 Propiedades de la función logarítmica Note que la función y = log a x es la inversa de la función y = a x. Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la función logarítmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 1, x > 0, x 1 > 0 y x 2 > 0; entonces: log a 1 = 0 (pues a 0 = 1)

79 Propiedades de la función logarítmica Note que la función y = log a x es la inversa de la función y = a x. Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la función logarítmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 1, x > 0, x 1 > 0 y x 2 > 0; entonces: log a 1 = 0 (pues a 0 = 1) log a a = 1 (pues a 1 = a)

80 Propiedades de la función logarítmica Note que la función y = log a x es la inversa de la función y = a x. Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la función logarítmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 1, x > 0, x 1 > 0 y x 2 > 0; entonces: log a 1 = 0 (pues a 0 = 1) log a a = 1 (pues a 1 = a) log a a x = x (pues f(f 1 (x) = x))

81 Propiedades de la función logarítmica Note que la función y = log a x es la inversa de la función y = a x. Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la función logarítmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 1, x > 0, x 1 > 0 y x 2 > 0; entonces: log a 1 = 0 (pues a 0 = 1) log a a = 1 (pues a 1 = a) log a a x = x (pues f(f 1 (x) = x)) a log a x = x (pues f 1 (f(x)) = x)

82 Propiedades de la función logarítmica Note que la función y = log a x es la inversa de la función y = a x. Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la función logarítmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 1, x > 0, x 1 > 0 y x 2 > 0; entonces: log a 1 = 0 (pues a 0 = 1) log a (x 1x 2) = log a x 1 + log a x 2 log a a = 1 (pues a 1 = a) log a a x = x (pues f(f 1 (x) = x)) a log a x = x (pues f 1 (f(x)) = x)

83 Propiedades de la función logarítmica Note que la función y = log a x es la inversa de la función y = a x. Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la función logarítmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 1, x > 0, x 1 > 0 y x 2 > 0; entonces: log a 1 = 0 (pues a 0 = 1) log a a = 1 (pues a 1 = a) log a a x = x (pues f(f 1 (x) = x)) a log a x = x (pues f 1 (f(x)) = x) log a (x 1x 2) = log a x 1 + log a x 2 log a x 1 x 2 = log a x 1 log a x 2

84 Propiedades de la función logarítmica Note que la función y = log a x es la inversa de la función y = a x. Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la función logarítmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 1, x > 0, x 1 > 0 y x 2 > 0; entonces: log a 1 = 0 (pues a 0 = 1) log a a = 1 (pues a 1 = a) log a a x = x (pues f(f 1 (x) = x)) a log a x = x (pues f 1 (f(x)) = x) log a (x 1x 2) = log a x 1 + log a x 2 log a x 1 x 2 = log a x 1 log a x 2 log a x b = b log a x

85 Propiedades de la función logarítmica Note que la función y = log a x es la inversa de la función y = a x. Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la función logarítmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 1, x > 0, x 1 > 0 y x 2 > 0; entonces: log a 1 = 0 (pues a 0 = 1) log a a = 1 (pues a 1 = a) log a a x = x (pues f(f 1 (x) = x)) a log a x = x (pues f 1 (f(x)) = x) log a (x 1x 2) = log a x 1 + log a x 2 log a x 1 x 2 = log a x 1 log a x 2 log a x b = b log a x log a x = log c x, con c > 0, log c a c 1

86 Propiedades de la función logarítmica Note que la función y = log a x es la inversa de la función y = a x. Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la función logarítmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 1, x > 0, x 1 > 0 y x 2 > 0; entonces: log a 1 = 0 (pues a 0 = 1) log a a = 1 (pues a 1 = a) log a a x = x (pues f(f 1 (x) = x)) a log a x = x (pues f 1 (f(x)) = x) log a (x 1x 2) = log a x 1 + log a x 2 log a x 1 x 2 = log a x 1 log a x 2 log a x b = b log a x log a x = log c x, con c > 0, log c a c 1 Importante: Dos casos particulares de uso frecuente para la función logarítmica, es cuando la base en 10, y cuando la base es e. y = log 10 x equivale a y = log x se lee: logaritmo en base 10 de x y = log e x equivale a y = ln x se lee: logaritmo natural de x

87 Propiedades de la función logarítmica Note que la función y = log a x es la inversa de la función y = a x. Apoyados en este hecho, se pueden enunciar las siguientes propiedades de la función logarítmica: Teorema 3.1 (Propiedades) sea a > 0, a 1, x > 0, x 1 > 0 y x 2 > 0; entonces: log a 1 = 0 (pues a 0 = 1) log a a = 1 (pues a 1 = a) log a a x = x (pues f(f 1 (x) = x)) a log a x = x (pues f 1 (f(x)) = x) log a (x 1x 2) = log a x 1 + log a x 2 log a x 1 x 2 = log a x 1 log a x 2 log a x b = b log a x log a x = log c x, con c > 0, log c a c 1 Importante: Dos casos particulares de uso frecuente para la función logarítmica, es cuando la base en 10, y cuando la base es e. y = log 10 x equivale a y = log x se lee: logaritmo en base 10 de x y = log e x equivale a y = ln x se lee: logaritmo natural de x

88 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4

89 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 3 x+1 = x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4

90 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 3 x+1 = 81 3 x+1 = x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4

91 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 3 x+1 = 81 3 x+1 = 3 4 x + 1 = 4 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4

92 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 3 x+1 = 81 3 x+1 = 3 4 x + 1 = 4 x = 3 6 log3 x + log 4 x = 4

93 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 2 x = x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4

94 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 2 x = 6 ln 2 x = ln x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4

95 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 2 x = 6 ln 2 x = ln 6 xln 2 = ln 6 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4

96 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 2 x = 6 ln 2 x = ln6 xln 2 = ln6 x = ln 6 ln 2 2, log3 x + log 4 x = 4

97 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 3 x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4

98 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 3 x+4 = 2 1 3x ln(3 x+4 ) = ln(2 1 3x ) 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4

99 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 3 x+4 = 2 1 3x ln(3 x+4 ) = ln(2 1 3x ) (x + 4)ln 3 = (1 3x) ln 2 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4

100 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 3 x+4 = 2 1 3x ln(3 x+4 ) = ln(2 1 3x ) (x + 4) ln 3 = (1 3x) ln 2 xln 3 + 3xln 2 = ln 2 4 ln 3 6 log3 x + log 4 x = 4

101 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4 3 x+4 = 2 1 3x ln(3 x+4 ) = ln(2 1 3x ) (x + 4) ln 3 = (1 3x) ln 2 xln 3 + 3xln 2 = ln 2 4 ln 3 x[ln 3 + 3ln 2] = ln 2 4 ln 3

102 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4 3 x+4 = 2 1 3x ln(3 x+4 ) = ln(2 1 3x ) (x + 4)ln 3 = (1 3x) ln 2 xln 3 + 3xln 2 = ln2 4 ln3 x[ln ln 2] = ln2 4 ln3 x = ln 2 4ln 3 3 ln 2 + ln 3 1,1646

103 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 x 2 x 12 = x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4

104 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 x 2 x 12 = 0 (2 2 ) x 2 x 12 = x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4

105 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 4 x 2 x 12 = 0 (2 2 ) x 2 x 12 = 0 (2 x ) 2 (2 x ) 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4

106 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 4 x 2 x 12 = 0 (2 2 ) x 2 x 12 = 0 (2 x ) 2 (2 x ) 12 = 0 (2 x 4)(2 x + 3) = 0 6 log3 x + log 4 x = 4

107 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4 luego, 4 x 2 x 12 = 0 (2 2 ) x 2 x 12 = 0 (2 x ) 2 (2 x ) 12 = 0 (2 x 4)(2 x + 3) = 0 2 x 4 = 0 o 2 x + 3 = 0,

108 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4 luego, es decir: 4 x 2 x 12 = 0 (2 2 ) x 2 x 12 = 0 (2 x ) 2 (2 x ) 12 = 0 (2 x 4)(2 x + 3) = 0 2 x 4 = 0 o 2 x + 3 = 0, 2 x = 4 o 2 x = 3

109 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4 luego, es decir: 4 x 2 x 12 = 0 (2 2 ) x 2 x 12 = 0 (2 x ) 2 (2 x ) 12 = 0 (2 x 4)(2 x + 3) = 0 2 x 4 = 0 o 2 x + 3 = 0, 2 x = 4 o 2 x = 3 pero como 2 x > 0, entonces la única solución posible es 2 x = 4, o sea: x = 2.

110 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x log x + log(x + 15) = x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4

111 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x log x + log(x + 15) = 2 log[x(x + 15)] = x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4

112 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 log x + log(x + 15) = 2 log[x(x + 15)] = 2 10 log[x(x+15)] = log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4

113 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 log x + log(x + 15) = 2 log[x(x + 15)] = 2 10 log[x(x+15)] = 10 2 x(x + 15) = log3 x + log 4 x = 4

114 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4 log x + log(x + 15) = 2 log[x(x + 15)] = 2 10 log[x(x+15)] = 10 2 x(x + 15) = 100 x x 100 = 0

115 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4 log x + log(x + 15) = 2 log[x(x + 15)] = 2 10 log[x(x+15)] = 10 2 x(x + 15) = 100 x x 100 = 0 (x + 20)(x 5) = 0

116 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4 log x + log(x + 15) = 2 log[x(x + 15)] = 2 10 log[x(x+15)] = 10 2 x(x + 15) = 100 x x 100 = 0 (x + 20)(x 5) = 0 Así, las soluciones son x = 20 o x = 5

117 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4 log x + log(x + 15) = 2 log[x(x + 15)] = 2 10 log[x(x+15)] = 10 2 x(x + 15) = 100 x x 100 = 0 (x + 20)(x 5) = 0 Así, las soluciones son x = 20 o x = 5 pero como en la ecuación inicial se tiene la expresión log x, entonces x > 0; luego, la única solución posible es x = 5.

118 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x log 3 x + log 4 x = x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4

119 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 log 3 x + log 4 x = 4 ln x ln 3 + ln x ln 4 = 4 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4

120 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 log 3 x + log 4 x = 4 ln x ln 3 + ln x = 4 [ ln 4 1 ln x ln ] = 4 ln 4 6 log3 x + log 4 x = 4

121 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4 log 3 x + log 4 x = 4 ln x ln 3 + ln x = 4 [ ln 4 1 ln x ln ] = 4 ln 4 ln x = [ 4 ] 2, ln ln 4

122 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4 log 3 x + log 4 x = 4 ln x ln 3 + ln x = 4 [ ln 4 1 ln x ln ] = 4 ln 4 ln x = [ 4 ] 2, ln ln 4 x = e 2,4516

123 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejemplo: Resuelva para x : 1 3 x+1 = x = x+4 = 2 1 3x 4 4 x 2 x 12 = 0 5 log x + log(x + 15) = 2 6 log3 x + log 4 x = 4 log 3 x + log 4 x = 4 ln x ln 3 + ln x = 4 [ ln 4 1 ln x ln ] = 4 ln 4 ln x = [ 4 ] 2, ln ln 4 x = e 2,4516 x 11,6069