FUNCIONES EXPONENCIALES y LOGARITMICAS FUNCIONES EXPONENCIALES

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1 Ingeniería en Sistemas de Información 01 FUNCIONES EXPONENCIALES LOGARITMICAS La función eponencial FUNCIONES EXPONENCIALES La función eponencial es de la forma, siendo a un número real positivo. El dominio son todos los reales la imagen son los reales positivos Es continua Si a >1 la función es creciente si 0<a<1 es decreciente Corta al eje en (0,1) El eje es asíntota La función es inectiva En la Fig. 1 se ve el trazado de la gráfica. f ( ;8) ( ;) (-1 ; 0,5) (- ; 0,5) Asíntota 0 (1,) (0,1) Fig. 1 Se grafica a continuación (ver Fig. ) el comportamiento de la función al variar el valor de a. Se observa que la gráficas de ( ) son simétricas respecto al eje. 1

2 Ingeniería en Sistemas de Información , , (0,1) (0,1) Asíntota 0 Asíntota 0 Fig. Fig. En la Fig. se puede ver como al multiplicar por una constante (0,k). en el eje es 0, Asíntota 0 Fig. En la Fig. 5 se observa que al sumar (o restar) una constante b, la gráfica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) b unidades la asíntota horizontal pasa a ser

3 Ingeniería en Sistemas de Información 01 Asíntota Crecimiento eponencial La función eponencial se presenta en una gran variedad de fenómenos de crecimiento animal, vegetal, económico, etc. En todos ellos la variable independiente es el tiempo. En el crecimiento eponencial cada valor de se obtiene multiplicando el valor anterior por una cantidad constante a. Donde k es el valor inicial (para que se multiplica en cada unidad de tiempo. Si 1 se trata de un decrecimiento eponencial. 0), t es el tiempo transcurrido a es el factor por el En un laboratorio tienen un cultivo bacteriano, si su peso se multiplica por cada día, cuál es su crecimiento si el peso inicial es gr.? (0,) (1, 6) (,1) 6 8 t Fig. 5 Peso inicial: gr. Crecimiento: por t (días) f(t) 0.1 = 1. = 6. = 1.8 =.16 = 8

4 Aplicaciones Análisis Matemático I Ingeniería en Sistemas de Información 01 La función eponencial describe cualquier proceso que evolucione de modo que el aumento (o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al comienzo del mismo. Por ejemplo: Crecimiento de poblaciones El crecimiento vegetativo de una población viene dado por la diferencia entre nacimientos defunciones. Si inicialmente partimos de una población, que tiene un índice de crecimiento i (considerando en tanto por 1), al cabo de t años se habrá convertido en Un pueblo tiene 600 habitantes su población crece anualmente un %, al cabo de 8 años se tendrán: 00 1,0 0 Desintegración radioactiva Las sustancias se desintegran con el paso del tiempo. La cantidad de una cierta sustancia residual a lo largo del tiempo viene dada por: donde es la masa inicial, 1 es una constante que depende de la sustancia de la unidad de tiempo que tomemos La rapidez de desintegración de las sustancias radiactivas se mide por el periodo de desintegración que es el tiempo en que tarda en reducirse a la mitad. Un gramo de estroncio-90 se reduce a la mitad en 8 años, si en el año 000 teníamos 0 gr. se toma como origen de tiempo dicho año La función es: Funciones logarítmicas La función de la eponencial 0 0, 0 0, En el año 05 quedará: Dada una función inectiva,, se llama función inversa de f a otra función, g, tal 0 0,, que g()=. En la figura adjunta se puede ver la inversa de la función eponencial.

5 Dada una función inectiva, que logaritmo. Para cada se obtiene Análisis Matemático I Ingeniería en Sistemas de Información 01 FUNCIONES LOGARÍTMICAS, se llama función inversa de f a otra función, g, tal. En la Fig. 6 se puede ver la función eponencial su inversa la función eponencial es la que cumple que g()=.. Al valor obtenido lo llamamos o f(). La función inversa de la Esta función se llama función logarítmica, como se puede observar, es simétrica de la función eponencial respecto a la bisectriz del primer tercer cuadrante. f f g (0,1) (1,0) g log Fig. 6 La función logarítmica Es la función inversa de la función eponencial se denota de la siguiente manera:, con a > 0 1 El dominio son los reales positivos la imagen son todos los reales Es continua Si a >1 la función es creciente si 0<a<1 es decreciente Intersección eje en (1,0) El eje es asíntota La función es inectiva 5

6 Ingeniería en Sistemas de Información 01 En la Fig. 7 se representa la gráfica de función eponencial. de forma similar a como se hizo la asíntota 0 (1;0) (;1) (0,5;-1) (0,5;-) (;) (8;) Fig. 7 f log Fig. 7 En las Fig. 8 9 se puede ver cómo cambia la gráfica al variar a. asíntota log 1,5 asíntota log log log 1, log, log 1, Fig. 8 Fig. 9 En las Fig se puede ver cómo al multiplicar por una constante cambia la rapidez con que la función crece (k>0) o decrece (k<0). Al sumar (o restar) una constante b la gráfica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) b unidades, cambiando el punto de corte con el eje de las abcisas. 6

7 Ingeniería en Sistemas de Información 01 asíntota asíntota, Fig. 10 Fig. 11 Los logaritmos Dados dos números reales positivos, a b ( ), llamamos logaritmo en base a de b al número al que ha que elevar a para obtener b. La definición anterior indica que: equivale a Sean: = Propiedades de los logaritmos Logaritmo del producto: Logaritmo del cociente: ( ) Logaritmo de una potencia: En cualquier base: a que 1 a que 7

8 Las bases más utilizadas son: 10, es el logaritmo decimal, es el logaritmo natural Cambio de base Análisis Matemático I Ingeniería en Sistemas de Información 01 Cuando se quieren calcular logaritmos en cualquier otra base tenemos que recurrir a la fórmula del cambio de base: 8

9 Ingeniería en Sistemas de Información 01 Ejercicios resueltos 1. Representa estudia las funciones a) Dominio=R Imagen= 0, ] Asíntota: =0 Intersección eje : (0,) f es Creciente (0,) Asíntota =0 b) 1 Dominio=R Imagen = 1, ] Asíntota: =1 Intersección eje : (0,) f es decreciente (0,) Asíntota =1. Indica si el gráfico corresponde a una función con crecimiento eponencial o con decrecimiento. Escribe la función 9

10 Ingeniería en Sistemas de Información 01 a) b) (0,) (0,1) Observa la gráfica , La función es: f es creciente Observa la gráfica La función es: ( ) f es decreciente. Representa estudia las funciones a) b) 1 10

11 Ingeniería en Sistemas de Información 01 a) Dominio= 0, Imagen =R Asíntota: =0 Intersección eje : (1,0) f es creciente b) Dominio= 0, Imagen =R Asíntota: =0 Intersección eje : (, 0) f es creciente. Calcula en cada caso aplicando la definición de logaritmo: ( ) 1 b) c) 1 1 d) 1 0 ( ) 1 11

12 Ingeniería en Sistemas de Información 01 Cuando la está en el eponente Resuelve la ecuación: 1 1, entonces Igualando los eponentes Calcula en 1 Tomando logaritmos: 1 1 luego, Resuelve las ecuaciones eponenciales: a) 1 b) c) d) 1 e) 1 6. Calcula el valor de : a) b) c),1, Ecuaciones con logaritmos Resuelve la ecuación:

13 Ingeniería en Sistemas de Información Aplicando las propiedades de los logaritmos resuelve las ecuaciones: a) 0 b) 1 c) d) 1

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