Algebra Lineal: Transformaciones Lineales. Departamento de Matemáticas. Intro. T. Matricial. T. Lineal. Rango

Transcripción

1 Algebra

2 ducción Des el punto vista l Algebra Lineal, las funciones más importantes son las que preservan las combinaciones lineales. Estas funciones se llamarán. Es esta presentación se tratan con los elementos básicos asociados a este tipo funciones.

3 Transformación Matricial Dada una matriz A m n no necesariamente cuadrada, finiremos la función T A que tiene como dominio a R n y como codominio a R m :es cir, la función va R n a R m la siguiente manera: T A : R n R m A Es cir, la función consiste en multiplicar el vector, que representa la entrada, por la matriz A. La función T A se conoce como la Transformación Matricial asociada a A. Diremos que una función F que va R n a R m es una transformación matricial si eiste una matriz A n m tal que F () A.

4 Ejemplo ( ) 2 Tomemos la matriz A. La transformación matricial asociada a A va R 2 (Porque la matriz tiene dos columnas) a R 2 (Porque la matriz tiene dos renglones) La lógica es simple: para que un vector columna se pueda multiplcar por A requiere tener dos componentes por que la matriz tiene dos columnas, así que su dominio es R 2 : Una vez multiplicado el vector por la matriz el vector resultante tiene dos componentes por que la matriz tiene dos renlones, así que el codominio es R 2. Calculemos T A [( 2 T A [( )] ( 2 )] ( 2 ) ( 2 ) ) ( ) 4 ) ( ( 2 )

5 T A [( 2 T A [( 2 T A [( )] )] )] ( 4 ), T A [( ( 2 ( 2 ) ( 2 ) ( )] ) ) ( 2 ( 5 ) ( 2 ) ) T A O O

6 Propiedas Si T A es una transformación matricial, entonces: Se distribuye sobre una suma: T A [ + y] T A [] + T A [y] y + y T A T A [y] T A [ + y] T A [] + T A [y] T A [] Preserva proporcionalidad y colinealidad: T A [c ] c T A [] c T A [c ] c T A [] T A T A []

7 Transformación Lineal Una función T R n en R m se dice función lineal ó transformación lineal ó simplemente lineal si cumple: la propiedad aditividad para funciones: T [ + y] T [] + T [y] la propiedad proporcionalidad para funciones: T [c ] c T [] Notas: De las finiciones y las propiedas comentadas para las transformaciones matriciales, las transformaciones matriciales son transformaciones lineales. Toda transformación lineal envia el vector cero en el vector cero: T [0] T [0 0] 0 T [0] 0

8 Demuestre que la tranformación T : R 2 R 2 finida por [( )] ( ) + 3 y T y + 2 y es lineal. Solución Sean u Entonces ( y T [u + v] T ) y v [( y ( 2 y 2 ). ) ( 2 + y 2 ( ( + 2 ) + 3 (y + y 2 ) ( + 2 ) + 2 (y + y 2 ) )] [( )] + T 2 y + y 2 ) ( ) ( ) + 3 y y y y 2 [( )] [( )] 2 T + T T [u] + T [v] y y 2

9 Por otro lado, para todo escalar c, T [c u] [( )] c T c y ( ) c + 3 c y c + 2 c y ( ) + 3 y c + 2y [( )] c T y c T [u] Como se cumplen las dos condiciones: T es lineal T [u + v] T [u] + T [v] T [c u] c T [u]

10 Demuestre que la transformación T : R 3 R 2 es lineal: T [(, y, z) ] ( + z, y z) Solución Sean u (, y, z ) y v ( 2, y 2, z 2 ). Entonces T [u + v] T [( + 2, y + y 2, z + z 2 ) ] (( + 2 ) + (z + z 2 ), (y + y 2 ) (z + z 2 )) ( + z, y z ) + ( 2 + z 2, y 2 z 2 ) T [u] + T [v] Por otro lado, para todo escalar c, T [c u] T [(c, c y, c z ) ] (c + c z, c y c z ) c ( + z, y z ) c T [(, y, z ) ] c T [u]

11 una Tranformación Lineal Sea T una transformación lineal R n en R m. El núcleo T es el subconjunto formado por todos los vectores en R n que se mapean a cero en R m : Ker(T ) {v R n T [v] 0 R m }

12 Indique cuáles opciones contienen un vector en el núcleo la transformación R 3 en R 3 finida como z T y z 23 5 y 8 z 5 3 y 3 z ntro las opciones:. v (0, 0, 0) 2. v 2 (2, 28, 8) 3. v 3 (, 2, ) 4. v 4 (3, 7, 2) 5. v 5 (2, 4, 4) 6. v 6 (9, 8, 5)

13 Antes pasar a la verificación, es conveniente observar que es posible encontrar una matriz A tal que T [] A. Es cir, aplicar T a un vector es equivalente a multiplicar por una cierta matriz A al vector. Empecemos con la dimensión A: como A se multiplica por la izquierda y R 3 entonces el número columnas A es 3. Por otro lado, como el resultado A es un vector R 3, entonces el número renglones A es 3. Si requerimos que z 23 5 y 8 z 5 3 y 3 z y z

14 No es difícil ver z 23 5 y 8 z 5 3 y 3 z es cir que A es la matriz que hace que T sea la transformación matricial asociada a A. y z

15 El vector v está en el núcleo T bido a que T [v ] A v El vector v 2 está en el núcleo T bido a que T [v 2 ] A v El vector v 3 no está en el núcleo T bido a que T [v 3 ] Av

16 El vector v 4 está en el núcleo T bido a que T [v 4 ] El vector v 5 no está en el núcleo T bido a que T [v 5 ] El vector v 6 no está en el núcleo T bido a que T [v 6 ]

17 Determine el núcleo la transformación R 3 en R 3 finida como z T y z 23 5 y 8 z 5 3 y 3 z Un vector v (a, b, c) pertenece al núcleo T si T (v) 0, es cir si: 2 a + 3 c T [(a, b, c) ] 23 a 5 b 8 c 0 ( en R 3 ) 5 a 3 b 3 c Por lo tanto, para pertenecer al núcleo be cumplirse 2 a + 3 c 0 23 a 5 b 8 c 0 5 a 3 b 3 c 0

18 Reduciendo tenemos: Es cir a b c a 3/2 c 0 b + 7/2 c 0 3/2 c 7/2 c c c 3/2 7/2, c libre Observe que el núcleo T en este caso es un espacio generado: 3/2 Ker(T ) Gen 7/2 Amás, la dimensión Ker(T ) es, lo cual coinci con el número columnas sin pivote en la reducida A (La matriz que fine a la transformación T ). Geométricamente en R 3 este generado correspon a la ĺınea que pasa por el origen y con vector dirección (3/2, 7/2, ) que es: 3/2 y 7/2 z

19 El una Transformación Lineal Sea T : R n R m una transformación lineal. El rango o imagen T es el conjunto todas las imágenes T en R m : R(T ) {w R m w T [v] para algún v R n } Es cir, el rango es el subconjunto R m formado por aquellos vectores que provienen algún vector R n.

20 Indique cuáles opciones contienen un vector en la imagen la transformación R 3 en R 3 finida como y + z T y z y + 6 z 4 2 y 4 z ntro las opciones:. v (0, 0, 0) 2. v 2 (2, 8, 4) 3. v 3 ( 23, 52, 6) 4. v 4 (5, 2, 2) 5. v 5 ( 3,, )

21 El vector v (0, 0, 0) R 3 está en la imagen T si eiste un vector (a, b, c) en R 3 tal que T [(a, b, c) ] v. Es cir, si es consistente el sistema 2 a + 5 b + c 0 8 a + 2 b + 6 c 0 4 a 2 b 4 c 0 Pero este sistema por ser homogéno es consistente. Por tanto el vector v sí está en la imagen T.

22 El vector v 2 (2, 8, 4) R 3 está en la imagen T si eiste un vector (a, b, c) en R 3 tal que T [(a, b, c) ] v 2. Es cir, si es consistente el sistema: 2 a + 5 b + c 2 8 a + 2 b + 6 c 8 4 a 2 b 4 c 4 Al reducir la matriz aumentada se obtiene: 0 9/8 0 / por ser consistente el sistema, el vector v 2 sí está en la imagen T.

23 El vector v 3 ( 23, 52, 6) R 3 está en la imagen T si eiste un vector (a, b, c) en R 3 tal que T [(a, b, c) ] v 3. Es cir, si es consistente el sistema: 2 a + 5 b + c 23 8 a + 2 b + 6 c 52 4 a 2 b 4 c 6 Al reducir la matriz aumentada se obtiene: 0 9/8 0 / por ser consistente el sistema, el vector v 3 sí está en la imagen T.

24 El vector v 4 (5, 2, 2) R 3 está en la imagen T si eiste un vector (a, b, c) en R 3 tal que T [(a, b, c) ] v 4 es cir si es consistente el sistema: 2 a + 5 b + c 5 8 a + 2 b + 6 c 2 4 a 2 b 4 c 2 Al reducir la matriz aumentada se obtiene: 0 9/8 0 0 / por ser consistente el sistema, el vector v 4 sí está en la imagen T.

25 El vector v 5 ( 3,, ) R 3 está en la imagen T si eiste un vector (a, b, c) en R 3 tal que T [(a, b, c) ] v 5 es cir si es consistente el sistema: 2 a + 5 b + c 3 8 a + 2 b + 6 c 4 a 2 b 4 c Al reducir la matriz aumentada se obtiene: 0 9/8 0 0 / por ser inconsistente el sistema, el vector v 5 no está en la imagen T

26 Determine la imagen la transformación lineal R 3 en R 3 finida como y + z T y z y + 6 z 4 2 y 4 z El vector v (a, b, c) R 3 está en la imagen T si eiste un vector (, y, z) en R 3 tal que T [(, y, z) ] v es cir si es consistente el sistema y + z a y + 6 z b 4 2 y 4 z c Al formar la matriz aumentada y escalonar se obtiene: 2 5 a a + b a + b + c

27 Por tanto, (a, b, c) está en la imagen T ssi el sistema anterior es consistente ssi 2 a + b + c 0. Esto ocurrirá si y sólo si a /2 b + /2 c. Es cir, (a, b, c) está en la imagen T si y sólo si a b c Por tanto, /2 b + /2 c b c R(T ) Gen b /2 0, /2 0 /2 0 + c /2 0 Geométricamente, R(T ) es el plano 2 a b c 0 (o 2 y z 0) en R 3

28 Notas La función traslación T po : R n R n finida como T [] + P o no es una transformación lineal. Por ello es que conviene finir las coornadas homogéneas: Todo punto (, y) R 2 se mapea en el punto (, y, ) R 3. Se dice que para k 0, los puntos (, y, ) y (k, k y, k) representan el mismo punto (, y) l plano. Con las coornadas homogéneas, la traslación es una transformación matricial: 0 c + c T y 0 c 2 y y + c 2 0 0

29 En coornadas homogéneas R 2 : Las rotaciones son: T y cos (θ) sen (θ) 0 sen (θ) cos (θ) Las homotecias que tienen factor amplificación k y punto fijo (c, c y ) tienen la forma: T y k 0 ( k) c 0 k ( k) c y 0 0 y y Referencia WEB (Ojo: en el producto la matriz la usan por la recha!)