PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 6 Aula + Laboratorio

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1 26 PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C) Práctica 6 Aula + Laboratorio 1. Los siguietes valores so medicioes del peso (e miles de toeladas) de grades taques de petróleo. 229, 232, 239, 232, 259, 361, 220, 260, 231, 229, 249, 254, 257, 214, 237, 253, 274, 230, 223, 253, 195, 269, 231, 268, 189, 290, 218, 313, 220, 270, 277, 375, 222, 290, 231, 258, 227, 269, 220, 224. a) Costruir u esquema de tallo-hoja, e el cual los tallos sea 18, 19, 20,... b) Costruir ua tabla de frecuecias que coste de 9 itervalos de igual logitud, siedo el primero [175, 200). d) Graficar el histograma correspodiete a la tabla hallada e (b) de maera que el área sea la frecuecia relativa. e) Se distribuye el cojuto de datos e forma de campaa o uiformemete? 2. Cosideremos x 1,..., x ua muestra de ua població cualquiera. Sea x y x la media y la mediaa muestral, respectivamete. a) Si se suma ua costate c a cada uo de los x i de la muestra, obteiédose y i = x i + c, cómo se relacioa x co ȳ y x co ỹ? b) Si cada x i es multiplicado por ua costate c, obteiédose y i = cx i, respoder a la preguta plateada e (a). 3. Sea s 2 X la variaza muestral correspodiete a la muestra x 1,..., x. Demostrar que: a) s 2 X = 1 i=1 x 2 1 i 1 x2. b) Si y i = x i + c, co c costate, etoces s 2 Y = s 2 X. c) Si y i = cx i, co c costate, etoces s 2 Y = c 2 s 2 X. 4. Sea x 1,..., x ua muestra de ua població co media µ y mediaa µ. (a) Para qué valores de c se miimiza i=1 (x i c) 2? (Sugerecia: derivar co respecto a c). (b) Usado (a) decidir cuál de estas dos catidades es más pequeña: 1 (x i x) 2 o i=1 1 (x i µ) 2. i=1 (c) Para qué valores de c se miimiza i=1 x i c? (Sugerecia: 1: Se puede usar la misma técica que e a)? 2: Para fijar ideas, comiece co ua muestra de tamaño = 3).

2 27 5. Dada ua muestra x 1,..., x, se defie la siguiete medida de dispersió: MAD (x 1,..., x ) = med 1 i x i x a) Sea c ua costate. Si defiimos y i = x i +c, cuál es la relació etre MAD (x 1,..., x ) y MAD (y 1,..., y )? b) Respoder (a) para y i = cx i. c) Calcular la MAD para los datos del Ejercicio A partir de ua muestra x 1,..., x se calcula la media y el desvío estádar muestrales, x y s X respectivamete. Si defiimos y i = (x i x) /s X, cuáto vale ȳ y s Y? Iterpretar este resultado. 7. Los siguietes valores represeta las gaacias, expresadas como porcetajes de vetas, de 22 firmas: a) Hallar la mediaa muestral y los cuartiles iferior y superior de estos datos. b) Costruir u box-plot e idetificar los putos extremos. 8. La siguiete tabla cotiee valores de població, e cietos de miles, de las 10 ciudades más pobladas de 4 países e el año Argetia EEUU Holada Japó Estos datos se ecuetra e la págia de la materia 1. a) Costruir u box-plot para los datos de cada país e idetificar los putos extremos e cada caso. b) Comparar los cetros de cada població, sus dispersioes y su simetría. Cuál es el país más homogéeamete habitado? 9. Los datos graficados e la última págia correspode a las máximas cocetracioes diarias (e partes por mil milloes) de dióxido de azufre e Bayoe desde oviembre de 1969 hasta octubre de 1972, agrupadas por mes. Los box-plots se realizaro e base a los 36 grupos (meses) de 30 medicioes cada uo. 1 http : // estadistica C/2004/1/datos/

3 28 a) Aumeta o dismiuye la cocetració media de dióxido de azufre a través del tiempo? b) Cómo evolucioa los cuartiles superiores a lo largo del tiempo? Compare co (a). c) Qué observa e los meses de iviero? (Recuerde que se trata del hemisferio Norte). d) Qué ocurre co la dispersió de los datos cuado el ivel geeral de cocetració es alto? (Fuete: Rice, J. (1988). Mathematical Statistics ad Data Aalysis. Ed. Wadsworth ad Brooks/Cole) 10. Dos métodos fuero usados para determiar la temperatura de fusió del hielo (Natrella, 1963). Los ivestigadores quería saber si los dos métodos difería o o. Los datos siguietes da el cambio e calor total (e calorías por gramo de masa) al pasar de hielo a -72 o C a agua a 0 o C. (Fuete: idem Ejercicio 9) Método A: 79.98, 80.04, 80.02, 80.04, 80.03, 80.03, 80.04, 79.97, 80.05, 80.03, 80.02, Método B: 80.02, 79.94, 79.98, 79.97, 79.97, 80.03, 79.95, Realice u box-plot para cada uo de los métodos e u mismo par de ejes cartesiaos (como el gráfico del Ejercicio 9). A partir de los box-plots obteidos, qué le diría a los ivestigadores? 11. Realice u qq-plot para los datos del Ejercicio 1. Qué coclusioes puede obteer sobre la distribució de los datos? 12. Este ejercicio es para familiarizarse co los qq-plots, para darse ua idea de cómo puede ser éstos cuado la distribució subyacete es ormal y cuado o lo es. (a) Geerar muestras de tamaño 25, 50 y 100 de ua distribució ormal. Costruir qq plots para cada ua de ellas. Repetir varias veces para darse ua idea de cómo se comporta los qq plots cuado la distribució subyacete es ormal. (b) Repetir a) para ua Γ(5, 1 2 ). (c) Repetir a) para Y = Z U dode Z N(0, 1) y U U(0, 1) idepedietes. (d) Repetir a) para ua distribució uiforme. (e) Repetir a) para ua distribució expoecial. (f) Puede distiguir etre la distribució ormal del ítem a) y las siguietes distribucioes que o so ormales? 13. Co el fi de determiar cuál sería u mejor suplemeto dietario, se realizó ua comparació de la reteció de dos formas de hierro: Fe2+ y Fe3+. Los ivestigadores dividiero aleatoriamete a 36 ratas e dos grupos de igual úmero. A u grupo se le sumiistró e forma oral ua cocetració de 1.2 millimolar de Fe2+ y al otro grupo

4 29 se le sumiistró la misma cocetració de Fe3+. Al cabo de cierto tiempo se realizó u coteo e cada rata para determiar el porcetaje de hierro reteido. El archivo de datos se ecuetra e la págia de la materia. (a) Realice los boxplots y los qq-plots de los porcetajes obteidos para cada grupo. E base a estos gráficos, le parece razoable supoer que cada uo de los cojutos de datos proviee de ua distribució ormal? Por qué? (b) E ua seguda etapa, los ivestigadores trasformaro los datos aplicado la fució logaritmo atural (l) a cada ua de las observacioes. Repita el aálisis aterior co los datos trasformados. E base a la iformació obteida, le parece razoable supoer que cada uo de los cojutos de datos trasformados se distribuye segú ua distribució ormal? Por qué? 14. El archivo CPU.txt, que se ecuetra e la págia de la materia cotiee tiempos de CPU (e segudos) correspodietes a 1000 tiempos de trabajos eviados por ua cosultora. Para este cojuto de datos: (a) Calcular la media muestral, la mediaa muestral y la media α-podada co α = 0.10 (10%). (b) Calcular el desvío estádar muestral, la distacia itercuartil y la MAD (c) Realizar u histograma y u boxplot. Cuáles so las características más sobresalietes? Hay outliers? (d) Qué medida de posició cree que es más apropiada para estos datos? (e) Qué distribució cree que tiee estos datos? (f) Cómo haría para verificar si su cojetura es razoable? (Sugerecia: Deje volar su imagiació)

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