Memòria justificativa de recerca de les beques predoctorals per a la formació de personal investigador (FI)

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1 Memòria justificativa de recerca de les beques predoctorals per a la formació de personal investigador (FI) La memòria justificativa consta de les dues parts que venen a continuació: 1.- Dades bàsiques i resums 2.- Memòria del treball (informe científic) Tots els camps són obligatoris 1.- Dades bàsiques i resums Títol del projecte ha de sintetitzar la temàtica científica del vostre document. Applications of Stochastic Analysis in Finance and Statistical Inference Dades de l'investigador (benficiari de l ajut) Nom Cognoms Gergely Farkas Correu electrònic Dades del director del projecte Nom Cognoms José Manuel Corcuera Valverde Correu electrònic Dades de la universitat / centre al que s està vinculat Departament de Probabilitat, Lògica i Estadística, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona Gran Via de les Corts Catalanes, 585, E Barcelona Telèfon: (34) , Fax: (34) Número d expedient Paraules clau: cal que esmenteu cinc conceptes que defineixin el contingut de la vostra memòria. Market microstructure, insider trading; stochastic control; Lévy and stable processes, power variation Data de presentació de la justificació

2 Resum en la llengua del projecte (màxim 300 paraules) There has been three line of research: First: A continuous-time version of Kyle's model (Kyle 1985), known as the Back's model (Back 1992), of asset pricing with asymmetric information, is studied. A larger class of price processes and of noise traders' processes are studied. The price process, as in Kyle's model, is allowed to depend on the path of the market order. The process of the noise traders' is an inhomogeneous Lévy process. Solutions are found by the Hamilton-Jacobi-Bellman equations. With the insider being risk-neutral, the price pressure is constant, and there is no equilibirium in the presence of jumps. If the insider is risk-averse, there is no equilibirium in the presence of either jumps or drifts. Also, it is analised when the release time is unknown. A general relation is established between the problem of finding an equilibrium and of enlargement of filtrations. Random announcement time is random is also considered. In such a case the market is not fully efficient and there exists equilibrium if the sensitivity of prices with respect to the global demand is time decreasing according with the distribution of the random time. Second: Power variations. it is considered, the asymptotic behavior of the power variation of processes of the form _integral_0^t u(s-)ds(s), where S_ is an alpha-stable process with index of stability 0<alpha<2 and the integral is an Itô integral. Stable convergence of corresponding fluctuations is established. These results provide statistical tools to infer the process u from discrete observations. Third: A bond market is studied where short rates r(t) evolve as an integral of g(t-s)sigma(s) with respect to W(ds), where g and sigma are deterministic and W is the stochastic Wiener measure. Processes of this type are particular cases of ambit processes. These processes are in general not of the semimartingale kind.

3 Resum en anglès(màxim 300 paraules) There has been three line of research: First: A continuous-time version of Kyle's model (Kyle 1985), known as the Back's model (Back 1992), of asset pricing with asymmetric information, is studied. A larger class of price processes and of noise traders' processes are studied. The price process, as in Kyle's model, is allowed to depend on the path of the market order. The process of the noise traders' is an inhomogeneous Lévy process. Solutions are found by the Hamilton-Jacobi-Bellman equations. With the insider being riskneutral, the price pressure is constant, and there is no equilibirium in the presence of jumps. If the insider is risk-averse, there is no equilibirium in the presence of either jumps or drifts. Also, it is analised when the release time is unknown. A general relation is established between the problem of finding an equilibrium and of enlargement of filtrations. Random announcement time is random is also considered. In such a case the market is not fully efficient and there exists equilibrium if the sensitivity of prices with respect to the global demand is time decreasing according with the distribution of the random time. Second: Power variations. it is considered, the asymptotic behavior of the power variation of processes of the form _integral_0^t u(s-)ds(s), where S_ is an alpha-stable process with index of stability 0<alpha<2 and the integral is an Itô integral. Stable convergence of corresponding fluctuations is established. These results provide statistical tools to infer the process u from discrete observations. Third: A bond market is studied where short rates r(t) evolve as an integral of g(t-s)sigma(s) with respect to W(ds), where g and sigma are deterministic and W is the stochastic Wiener measure. Processes of this type are particular cases of ambit processes. These processes are in general not of the semimartingale kind.

4 2.- Memòria del treball (informe científic sense limitació de paraules). Pot incloure altres fitxers de qualsevol mena, no més grans de 10 MB cadascun d ells. Hay tres líneas de trabajo. La primera: El trabajo versa sobre el estudio de modelos probabilísticos que tratan de describir el efecto de la información privilegiada en las estrategias de inversión y en los propios precios en los mercados financieros, y de modelos de completez que traten de describir mercado de bonos en el que el short rate esta conducido por un no homogéneo proceso de Lévy. Básicamente podemos dividir en dos bloques los tipos de modelos que modelan la información privilegiada. Aquellos en que la existencia de información privilegiada no afecta a la dinámica de los precios y aquellos en que se produce una influencia en la dinámica. En los primeros el objetivo es buscar las estrategias óptimas de inversión y si se llega a producir o no arbitraje (oportunidades de beneficio sin riesgo alguno) dependiendo del tipo de información que se posea. En los segundos modelos la dinámica de los precios se ve afectada por las inversiones de los operadores y aquí también se puede hacer distinciones entre dos tipos de modelos. Podemos considerar aquellos en que la inversión del operador privilegiado actúa como un factor del modelo de precios (estructura fijada de antemano). Por ejemplo la cartera del operador privilegiado puede tener una influencia directa en el rendimiento medio del valor de las acciones que compra. Y también podemos considerar que la propia dinámica de los precios se fija a través de la dinámica de oferta y demanda como resultado de un equilibrio entre los diferentes operadores. Es en este último marco en el que se ha desarrollado el trabajo inicialmente. Más concretamente el modelo estudiado consiste en suponer que tenemos tres tipos de operadores en el mercado: los operadores corrientes "noise traders", el operador con información privilegiada "insiders" or "informed traders" y los operadores expertos ("market makers"). En este mercado se supone que existe un horizonte finito T donde se actualizará el precio de un activo determinado (el insider conoce de antemano en qué consistirá tal actualización). Los precios de los activos evolucionan por un exceso de demanda o de oferta que los market makers se dedican a valorar y absorber ("clearing the market") de manera competitiva, es decir con las llamadas reglas de precio "racionales". Básicamente suponen que debido a la competencia entre los expertos el beneficio promedio es cero, o que el precio es la esperanza condicionada del valor final del activo con respecto a la información presente. Para el "market maker" la información es la demanda total. El "insider" por su parte trata de maximizar su riqueza y los "noise traders" tienen un comportamiento que fija el grueso de la demanda. Este modelo fue introducido originalmente por Kyle en 1985 y supuso un modelo a tiempo discreto. La versión continua fue desarrollada por Back en 1992 y en ella asume que la demanda de los operadores corrientes sigue un movimiento Browniano. En este marco Back demostró que existe un equilibrio de manera que son compatibles las acciones de los tres tipos de operadores. Desde entonces se ha trabajado en numerosas generalizaciones: varios insiders: Nöldeke and Tröger (1991); más de una señal sobre el precio final: Jain and Mirman (1999); no neutralidad de los operadores, en el sentido de que les preocupa la utilidad de la riqueza más que ella misma, como en Cho (2003); dependencia entre el precio final y la demanda del operador corriente (Øksendal et al. (2007)); un modelo de bonos con posibilidad de fallida (Cetin and Campi (2007)); diferentes definiciones de equilibrio (Kohatsu and Ortiz (2008)), Todos estos modelos han sido estudiados presentando todas sus características en un marco unificado y a su vez está desarrollando un modelo nuevo para la demanda de los operadores corrientes que incluya una volatilidad local y la presencia de saltos. En este contexto se ha demostrado la existencia de equilibrio y la estrategia óptima para el insider resolviendo las ecuaciones de Hamilton-Jacobi-Bellman asociadas al problema de optimización, y encontrando un equilibrio con la representación de Feynman-Kac. Tambien ha demonstrado en que circumstancias existe equilibrio y ha estudiado el caso cuando el insider está dispuesto a asumir riesgos financieros ( risk averse ).

5 Un articulo esperando a ser publicado es "Kyle-Back's model with Lévy noise" (back.pdf), en el que un modelo de versión continua de Kyle y Back es estudiado, en el case de que el proceso de la demanda de los "noise traders" es un proceso de Lévy, y el precio puede depender de toda la trayectoria de la demanda acumulada de los participantes del mercado, como en el modelo original de Kyle. La solución es encontrada con la ayuda de las ecuaciones Hamilton-Jacobi- Bellman. Se comprueba que en el caso cuando el "informed trader" es "risk-neutral", si el proceso de la demanda de los "noise traders" contiene saltos, no hay equilibrium, y en el caso cuando el "informed trader" es "risk-averse", si el proceso de la demanda los "noise traders" contiene "drift" o saltos, no hay equilibrium. Un otro método para encontrar equilibrium y describirla, es la perturbación: considerar la función de "total wealth" (W) con respecto a la estrategia elegida por el "informed trader" (X) y estudiar el caso de modificar un poco la estrategia W(X+e) con "e" pequeño, y estudiar que pasa en el alrededor de la estrategia optima. Un modelo así es estudiado en (Øksendal et al. (2007)). El modelo estudiado se puede mirar de un otro punto de vista: a partir del tiempo 0 el "insider" tiene una extra pieza de información sobre tiempo T, así durante todo el periodo, su filtración será la filtración original generado por los noise traders más el precio final. Estos modelos, cuando la filtración esta aumentada al tiempo 0 con una cierta pieza de información se llaman problemas de engrosamiento inicial de filtraciones. Varios tipos de posibles versiones son estudiados, con respeto a su significado en el mercado real, por ejemplo: el precio final de un stock, el precio máximo durante el periodo, el tiempo cuando el precio llega a su máximo, etc. Un otro articulo, "A general continuous auction model with insiders" (gen.pdf), en el que el equilibrium y sus propiedades son buscados con el método de perturbación y se describe la conexión entre el engrosamiento inicial de la filtración y el modelo de Kyle estudiado. Un modelo general ha sido encontrado, con el que se puede estudiar el modelo original de Kyle y Back, los modelos en los que el tiempo a partir de cuando el precio es publico (y no hay extra información) es aleatorio, y modelos de Caldentey and Stacchetti (2010) y Campi and Cetin (2007). La segunda: En los modelos de completez, en el contexto de derivados de tasas de interés, el modelo de short rate describe la evolución de las tasas de interés describiendo la evolución del short rate en el futuro. El short rate es la tasa de interés por cuanto uno puede prestar dinero por un periodo infinitesimalmente corto desde el tiempo t. Un mercado es completo, si todos y cada uno de los payoffs identificables se pueden replicar usando instrumentos disponibles en ese mercado. En este contexto la completez en sentido L2 y la existencia de hedging con procesos de power jump esta estudiado por un grupo en el que Gergely Farkas también participa. Un otro modelo de modelos short rate es cuando el short rate se desarrolla como un proceso ambit : la convolución de dos funciones deterministicas de ciertos tipos con respeto a una medida estocástica de Wiener. Se esta preparando un articulo con el titulo "A short rate model using ambit processes" (ambshort.pdf). La tercera: En el tema de Power variations, el articulo "Power variation for Itô integrals with respect to α-stable processes" (power_variation.pdf, Statistica Neerlandica (2010), Vol. 64) en el que se presentan resultados asimptotiocos de integrales de Itô de power variations con respecto a procesos α-stable. La pruebe de una versión de la ley de los números grandes y un central limit theorem para este caso y que el limite es estable se muestran en el papel. Estos resultados proporcionan herramientas estadísticas para inferir el proceso de observaciones discretas. Bibliografía. Karry Back. Insider trading in continuous time. The Review of Financial Studies, Vol. 5 No. 3:387_409, March, Luciano Campi and Umut Cetin. Insider trading in an equilibrium model with default: a

6 passage from reduced-form to structural modelling. Finance and Stochastics, Vol. 4:591_602, October, Kyung-Ha Cho. Continuous auctions and insider trading: uniqueness and risk aversion. Finance and Stochastics, Vol. 7:47_71, Neelam Jain and Leonard J. Mirman. Insider trading with correlated signals. Economics Letters, 65(1):105_113, October A. Kohatsu-Higa and S. Ortiz-Latorre. Insider trading and weak equilibrium. Preprint, May, Albert S. Kyle. Continuous auctions and insider trading. Econometria, Vol. 53 No. 6:1315_ 1335, November, Georg Nöldeke and Thomas Tröger. Existence of linear equilibria in the kyle model with multiple informed traders. Economics Letters, Vol. 72, No. 2:159_164, August, Bernt Oksendal Knut K. Aase, Terje Bjuland. Strategic insider trading equilibrium: A forward integration approach. NHH Dept. of Finance and Management Science Discussion Paper, 24, November, BJORK, T., KABANOV, Y., RUNGGALDIER, W. (1997) Bond market structure in the presence of marked point processes, Math. Finance 7(2), CORCUERA, J.M., GUERRA (2009) Dynamic complex hedging in additive markets. To appear in Quantitative Finance. CORCUERA, J.M., NUALART, D., SCHOUTENS, W. (2005) Completion of a Lévy Market by Power-Jump-Assets. Finance and Stochastics 9(1), EBERLEIN, E., JACOD, J. AND RAIBLE, S. (2005) Lévy term structure models: No-arbitrage and completeness, Finance and Stochastics, 9, HEATH, D, JARROW, R. AND MORTON, A. (1992) Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates, Econometrica, 60, Knut K. Aase, Terje Bjuland and Bernt Oksendal, Strategic Insider Trading Equilibrium: A Filter Theory Approach. Jakub Zwierz, Stefan Ankirchner: Initial Enlargement of Filtrations and Entropy of Poisson Compensators Aase, Knut K., Bjuland, Terje and Oksendal, Bernt. Strategic Insider Trading Equilibrium: A Forward Integration Approach Finance and Stochastics, NHH Dept. of Finance & Management Science Discussion Paper No. 2007/24. R. Caldentey and E. Stacchetti (2010). Insider trading with a random deadline. Econometrica, Vol. 78, No. 1, Corcuera, J. M. and Farkas, G. (2010), Power variation for Itô integrals with respect to α-stable processes. Statistica Neerlandica, 64: Aldous, D. J. and G. K. Eagleson (1978), On mixing and stability of limit theorems, The Annals of Probability 6, Barndorff-Nielsen, O. E. and N. Shephard (2003), Realized power variation and stochastic volatility models, Bernoulli 9,

7 Barndorff-Nielsen, O. E. andn. Shephard (2006), Power variation and time change, Theory of Probability and its Applications 50, Barndorff-Nielsen, O. E., J. M. Corcuera and M. Podolskij (2009a), Power variation for Gaussian processes with stationary increments, Stochastic Processes and their Applications 119, Corcuera, J. M., D. Nualart and J. H. C. Woerner (2006), Power variation of some integral fractional processes, Bernoulli 12, Corcuera, J. M.,D. Nualart J. H. C. Woerner (2007), A functional central limit theorem for the realized power variation of integrated stable processes, Stochastic Analysis and Applications 25, Dale E. Varberg, Convergence of Quadratic Forms in Independent Random Variables. Ann. Math. Statist. Volume 37, Number 3 (1966), Daniel Revuz, Marc Yor: Continuous martingales and Brownian motion. Springer-Verlag. NewYork, 1999 Di Nunno, G., A. Kohatsu-Higa, A., Meyer-Brandis, T., Oksendal, B., Proske, F. and Sulem, A. (2008) Anticipative Stochastic Control for Levy processes with Application to Insider Trading. Mathematical Modelling and Numerical Methods in Finance. Handbook of Numerical Analysis, Bensoussan and Zhang (eds.). North Holland. Imkeller, P., Pointier, M., Weisz, F. (2001) Free lunch an arbitrage possibilities in a financial market with an insider. Stochast. Proc. Appl. 92, Jacod, J. (1985) Grossiment initial, hyopth`ese (H ), et th eoreme de Girsanov. In: Grossiment de filtations: exemples et applications. T. Jeulin, M. Yor (eds.) Lect. Notes in Maths. 1118, Springer-Verlag. Berlin. Jeulin, Th. (1980) Semi-martingales et grossiment d une filtration, Lect. Notes in Maths Springer-Verlag. Berlin. Jeulin, Th. and Yor, M., editors. (1985) Grossiment de filtations: exemples et applications. Lect. Notes in Maths Springer-Verlag. Berlin. Karatzas, I. Pikovski, I. (1996) Anticipative portfolio optimization, Avd. Appl. Prob. 28, Kohatsu-Higa, A. (2007) Models for insider trading with finite utility. Paris-Princeton Lectures on Mathematical Finance Series: Lect. Notes in Maths, 1919, Springer-Verlag. Berlin.

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