CÁLCULO VECTORIAL I. B, es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si A ybson (LI), entonces el vector A. B se caracteriza por:

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1 PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES El producto vectorial de dos vectores A y, y escribimos A, es un nuevo vector que se define del siguiente modo: Si A yson (LI), entonces el vector A se caracteriza por: Módulo: A = A sen ( A, ) Dirección: Perpendicular a ambos: ( A A y( A Sentido: Depende del ángulo que forman los vectores A, a) Si ( A<, ) 80º hacia arriba b) Si ( A>, ) 80º hacia abajo (Recordemos que la medida del ángulo es en sentido positivo) Si A, son (LD), o sea alguno de ellos es el vector 0 o tienen la misma dirección, entonces el vector A es el vector cero, es decir A = 0 EXPRESIÓN ANALÍTICA DE A El producto vectorial de dos vectores A y, denotado por A, se define como sigue: Si A= a, a2, a y = b, b2, b son dos vectores de V, entonces: A = ab 2 ab 2, ab ab, ab 2 ab 2 Para ayudarnos a recordar la fórmula para el producto cruz, tengamos presente un tema, a saber, los determinantes En primer lugar, el valor de un determinante 2 x 2 es: a b = ad bc Entonces, el valor de un determinante x, tomando en cuenta los c d vectores A y es: iˆ ˆj a2 a a a ˆ a ˆ ˆ a2 A = a a2 a = i j + k (Nemotécnica) b2 b b b b b2 b b b 2 Observe que los componentes del vector A de la izquierda aparecen en el segundo renglón, mientras que los del vector de la derecha están en el tercer renglón Esto es importante, pues si intercambiamos las posiciones de A y, estamos cambiando el segundo y tercer renglones del determinante, lo cual cambia el signo de su valor 68

2 PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES PROPIEDADES ALGERAICAS Las reglas para el cálculo del producto cruz se resumen en los siguientes teoremas Si A, yc son vectores en el espacio tridimensional y k es un escalar, entonces: ) A = ( A) Son dos vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentidos opuestos 2) A ( + = ( A + ( A (Propiedad distributiva) ) k( A = ( ka) = A ( k 4) A 0 = 0 A= 0, A A= 0 5)( A C = A ( 6) A ( = ( A ( A C 7) El módulo del vector A es igual al área del paralelogramo definido por los vectores A y Área paralelogramo es igual a: A (coloreado amarillo) (área paralelogramo = base por altura) 8) ( A C A ( 9) A ( A = 0 = ( A (No asociativa) esto indica que A es perpendicular tanto a A como a 0) A = A senθ Los productos vectoriales de los vectores unitarios iˆ, ˆj, son los siguientes: iˆ iˆ = 0; ˆj ˆj = 0; = 0 iˆ ˆj = ; ˆj = iˆ; iˆ = ˆj ˆj iˆ = ; ˆj = iˆ; iˆ = ˆj Para recordar los productos cruz de los vectores unitarios, primero observe que el producto cruz de cualquiera de los vectores unitarios iˆ, ˆj, consigo mismo tiene como resultado el vector cero Los otros seis productos cruz pueden obtenerse de la siguiente manera: el producto cruz de dos vectores consecutivos, en el sentido del giro de las manecillas del reloj, es el siguiente vector; y el producto cruz de dos vectores consecutivos, en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj es el negativo del siguiente vector Los vectores son paralelos si y sólo si el ángulo entre ellos es 0 80 Dos vectores A y en el espacio tridimensional son paralelos si y solo si A = 0 69

3 Nota: Si A y son dos vectores de tres dimensiones, entonces el vector A es ortogonal tanto a A como a De acuerdo a esto, se puede concluir que si las representaciones de los vectores AyA, tienen el mismo punto inicial, entonces la representación de A es perpendicular al plano formado por las representaciones de Ay PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES PROPIEDADES Se define el producto mixto de tres vectores AC,, operarlos del siguiente modo: A ( al número que se obtiene al En las aplicaciones de vectores se presentan dos triples productos: ) El producto A (, denominado triple producto escalar de los vectores A, yc De hecho, los paréntesis no son necesarios ya que A Cpuede interpretarse sólo en una manera puesto que A es un escalar 2) El triple producto A ( se denomina triple producto vectorial Recuerde: si AyC, son tres vectores cualesquiera en R, entonces A C = A C A ( = ( A ( A C Nota: El producto mixto de tres vectores se obtiene como el valor del determinante de las coordenadas de los vectores INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO MIXTO A ( Es el volumen del paralelepípedo definido por los vectores A, C, Efectivamente si llamamos α al ángulo que forman los vectores: Ay( entonces se tiene que: A ( = A ( cos( α ) = ( A cos( α ) ( = área base del paralelepípedo ; A cos( α ) = altura del paralelepípedo ( ) ( ) ( volumen del paralelepípedo) V = V = ( A cos( α ) 70

4 MEDIDA DE ÁREAS Y VOLÚMENES El área de la base de un paralelepípedo es A unidades cuadradas Si h unidades es la longitud de la altura del paralelepípedo, y si V unidades cúbicas es el volumen de este paralelepípedo, entonces v= A h, en consecuencia, el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores A, yc es: ( A C o ( A C es decir: a a a v = A ( = b b2 b v = A C c c c Recordemos que el módulo del producto vectorial de dos vectores, nos da el área del paralelogramo determinado por ellos, y también, que el valor absoluto del producto mixto de tres vectores nos da el volumen del paralelepípedo determinado por ellos Pues bien, a partir de estos resultados tenemos que: ÁREA DE UN TRIÁNGULO DEL QUE SE CONOCEN LOS TRES VÉRTICES El área del triángulo de vértices A,, C se obtiene como la mitad del área del paralelogramo determinado por los vectores: A= AC y = A Es decir: Area( A = A 2 VOLUMEN DE UN TETRAEDRO DE VÉRTICES CONOCIDOS El volumen del tetraedro de vértices: A,, C, D (sombreado en verde) es una sexta parte del volumen del paralelepípedo determinado por los vectores A, AC, AD Efectivamente, ese paralelepípedo se descompone en seis tetraedros iguales Fíjate en la figura: El plano CFE lo divide en dos prismas triangulares iguales Cada uno de estos dos prismas triangulares se descompone en tres tetraedros iguales, así por ejemplo el prisma ACDEF se descompone en tres tetraedros que son: ) ACD; 2) CDE; ) DFEC Por tanto tenemos: Volúmen tetraedro = A, AC, AD 6 7

5 EJERCICIOS PROPUESTOS ) Sean A=, 2, 2 ; =, 2, 4 ; C = 7,, 4 Determine lo siguiente: a) A ; b) A ( + ; c) A ( 2) Si A=,,, = 2,, 0 y C = 2,,, Determine lo siguiente: a) A ; b) A ( + ; c) A ( ) Determine todos los vectores perpendiculares a los dos vectores A = iˆ+ 2ˆj+ 4) Determine todos los vectores perpendiculares a los dos vectores A = 2iˆ+ 5ˆj 2 y = iˆ 2ˆj+ 4 Encuentre en los ejercicios del 5 al 8 el producto cruz A y compruebe que es ortogonal a A y 5) A= 6,0, 2, = 0,8,0 6) A = iˆ+ ˆj 2, = iˆ+ 5 7) A = iˆ ˆj ; = iˆ+ ˆj+ 8) A = ( tt, 2, t ), = (,2 t,t 2 ) 2 2 Encuentre el vector, no con determinantes, sino usando propiedades de productos cruz 0) ( ˆj ) ( iˆ) 9) ( iˆ ˆj) ) Si A =, 2, y = 0,,, encuentre A y A 2) Diga si cada expresión es significativa Si no, explique porque En caso afirmativo, diga si es un vector o un escalar a) A ( ; b) A ( ; c) A ( ; d) ( A ) C; e) ( A ( C D) f) ( A ( C D) ) Demuestre que: ( A ( A+ = 2( A A C + C A + C A = 4) Demostrar que ( ) ( ) ( ) 0 5) Encuentre dos vectores unitarios ortogonales a,, y 0, 4, 4 6) Muestre que 0 A= 0= A 0 para cualquier vector A en V 7) Demuestre que A ( + = ( A + ( A U V + W = U V + U W 8) Demuestre la ley distributiva por la izquierda ( ) ( ) ( ) 9) Use el problema 8 y la ley anti conmutativa para demostrar la ley distributiva por la derecha 20) Si U V = 0 y U i V = 0, qué puede concluir acerca de U y V? 72

6 2) Calcule el área del paralelogramo con A = iˆ+ ˆj y = 4iˆ+ 2ˆj 4 como lados adyacentes 22) Calcule el área del paralelogramo con A = 2iˆ+ 2ˆj y = iˆ+ ˆj 4 como lados adyacentes, 2, 5 como vértices 2) Calcule el área del triángulo con (, 2, ),( 2, 4,6 ) y ( ) 24) Calcule el área del triángulo con (, 2, ), (,, 5 ) y ( ) 4,5,6 como vértices 25) Calcule el volumen del paralelepípedo con aristas 2,, 4, 0, 4, y 5,, 26) Calcule el volumen del paralelepípedo con aristas iˆ 4ˆj+ 2, iˆ+ 2ˆj+ y iˆ 2ˆj+ 5 27) Sea K el paralelepípedo determinado por U =,, 2, V =,, 2 y W =,, a) Calcule el volumen de K b) Calcule el área de la cara determinada por u y v c) Calcule el ángulo entre u y el plano que contiene a la cara determinada por v y w 28) La fórmula para el volumen de un paralelepípedo deducida no debe depender de la forma en que nombramos a los vectores como A, o C Use este resultado para Ai C = i A C = Ci A explicar por qué ( ) ( ) ( ) 29) Cuáles de las siguientes expresiones no tienen sentido? a) Ui ( V W) ; b) U + ( V W) ; c) ( Ai C; d) ( A + K A + C+ D U V W KU V f) ( ) ( ) ; g) ( ) ; h) ( ) ; e) ( Ai + K 0) Se sabe que el volumen de un tetraedro está dado (área de la base) (altura) Con base en esto, demuestre que el volumen del tetraedro con aristas ab, y c es ( ) 6 A C i ) Calcule el volumen del tetraedro con vértices (, 2, ),( 4,, 2 ),( 5,6,) y (,, 2) U V = U V U i V 2) Demuestre la identidad de Lagrange ( ) 2 ) Desarrollar una fórmula para el área del triángulo con vértices P( a,0,0 ), Q( 0, b,0) y R( 0,0, c ) 4) Demuestre que el triángulo con vértices ( x, y ),( x, y ) y ( x, y ) tiene área igual a la mitad del valor absoluto del determinante x y x2 y2 x y 2 2 7

7 5) Un Teorema de Pitágoras en el espacio tridimensional, sean PQR,, y O los vértices de un tetraedro (con un ángulo recto) y sean A, C, y D las áreas de las caras opuestas, respectivamente Muestre que A + + C = D 6) Sean A, y C vectores con su punto inicial común, de modo que determinen un tetraedro; sean M, N, P y Q vectores perpendiculares a las cuatro caras, apuntando hacia fuera y cuya longitud es igual al área de la cara correspondiente Muestre que M + N + P+ Q = 0 7) Sean A, ya las tres aristas de un triángulo con longitudes ab, y c, respectivamente Use la identidad de Lagrange y la fórmula 2Ai = A + A para demostrar la fórmula de Herón para el área A de un triángulo, A = s( s a)( s b)( s c) Donde s es el semiperímetro ( a+ b+ c ) 2 8) Demostrar directamente que sí u = ui ˆ ˆ + u2j+ uˆ k U V = u v u v iˆ+ u v uv ˆj+ uv u v ( ) ( ) ( ) y v = vi ˆ ˆ + v2j+ vˆ k, entonces 9) Encuentre U V y determine si U V está dirigido hacia la página o hacia afuera de esta 40) Encuentre el volumen del paralelepípedo determinado por los valores A, yc A= 6,, ; = 0,, 2 ; C = 4, 2,5 4) Halle el volumen del paralelepípedo con aristas adyacentes PQ, PR y PS P( 2,0, ), Q( 4,,0 ), R(,, ), S( 2, 2, 2) 42) Suponga que A 0 a) Si Ai= A i C, se deduce que = C? b) Si A = A C, se deduce que = C? c) Si Ai= Ai C y A = A C, se deduce que = C? 74

8 4) Un pedal de bicicleta es empujado por un pie con una fuerza de 60 N como se ilustra El eje del pedal es de 8 cm de largo Encuentre la magnitud del par de torsión respecto a P 44) Una llave de 0cm de largo yace a lo largo del eje y positivo y sujeta un perno en el origen Se aplica una fuerza en la dirección ( 0,, 4) y al final de la llave Encuentre la magnitud de la fuerza necesaria para suministrar 00 Nm de par de torsión al perno 45) a) Sea P un punto fuera de la línea L que pasa por los puntos Q y R Muestre que A la distancia d desde el punto P a la línea L es d = donde A = QR y = QP A b) Use la fórmula del inciso a) para hallar la distancia del punto P (,,) a la línea que pasa por Q ( 0,6,8) y R(, 4, 7) 46) Encuentre el área del paralelogramo con vértices A( 2, ); ( 0, 4 ); C( 4, 2 ); D( 2, ) 47) Determine los vectores unitarios perpendiculares al plano determinado por los tres,, 5,,, 2 4,0, puntos ( ) ( ) y ( ) 48) Determine los vectores unitarios perpendiculares al plano determinado por los tres,, 0, 5,, 2 4,, puntos ( ) ( ) y ( ) 49) Sean A y vectores no paralelos y sea C un vector cualquiera no nulo Demuestre que ( A C es un vector paralelo en el plano de A y 50) Muestre que si A, CyD, están todos en el mismo plano, entonces ( A ( C D) = 0 ( A ( C D) = 0 5) Use el producto escalar triple para verificar que los vectores ˆ ˆ ˆ u = i + 5j 2 k, v = iˆ ˆj y w= 5iˆ+ 9ˆj 4 son coplanares Encuentre un vector ortogonal no cero al plano que pasa por los puntos PQ, y R, y b) Determine el área del triángulo PQR 52) P(,0,0 ), Q( 0, 2,0 ), R( 0,0,) 5) P( 0, 2, 0 ), Q( 4,, 2 ), R( 5,,) 54) Para todos los vectores U y V, U V = V U 55) Si U es un múltiplo escalar de V, entonces U V = 0 56) El producto cruz de dos vectores unitarios es un vector unitario 75

9 57) Para cualesquiera vectores no nulos y no perpendiculares U y V con ángulo θ U V entre ellos = tanθ ( UiV) 58) Si U i V = 0 y U V = 0, entonces U o V es 0 59) El volumen del paralelepípedo determinado por 2,2 iˆ ˆj y ˆj iˆ es 4 60) Para todos los vectores UV, U V W = U V W yw, ( ) ( ) 6) Determina un vector de módulo 9 perpendicular a los vectores: u =, 2, 2 ; v =,, 4 62) Calcula el área del triángulo definido por los vectores: u =, 5, ; v = 4, 7, 6 ;0 6) Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por: u =, 2, ; v = 2,,0 ; w = u v Justifica porque el resultado es: u v 2 64) Determina el valor de k para que el volumen del paralelepípedo determinado por: u =, 5,; v = 2,, ; w=,4, k sea u 65) Calcula el volumen del tetraedro de vértices: A (,5,7 ); (,0, ); C( 7,,4) ; D(,4, 6) 66) Calcula el área del triángulo de vértices: A ( 5,2, ); (,7,5 ); C(,0,4 ) 76