05Chapter 5-1 1/31/09 11:07 AM Page 233

Transcripción

1 5Chpter 5- //9 :7 AM Pge 5 Integrles múltiples Cundo l ren está sec, se puede juntr pr formr montones cónicos. Cundo l ren está húmed, sus propieddes físics cmbin se puede usr pr crer cstillos de ren como el que se muestr en l fotogrfí. Por qué es l ren húmed estructurlmente estble? El volumen de un región sólid se puede hllr por medio de l sum de volúmenes de prisms rectngulres representtivos. A medid que el número de prisms rectngulres ument, l proimción tiende ser más ect. En este cpítulo, se ve cómo usr integrles múltiples pr hllr el volumen de un región sólid. Crl D. Jr, rtclevelnd.com, //, rtists: Crl D. Jr, Tom Morrison

2 5Chpter 5- //9 :7 AM Pge CAPÍTULO 5 Integrles múltiples Sección 5. Integrles iterds En el cpítulo nterior se vio cómo derivr funciones de vris vribles con respecto un vrible mnteniendo constntes ls demás vribles. Emplendo un procedimiento similr se pueden integrr funciones de vris vribles. Por ejemplo, dd l derivd prcil f, entonces, considerndo constnte, se puede integrr con respecto pr obtener f, f, d d d C C. Integrr con respecto. Mntener constnte. Scr como fctor constnte. Un primitiv (o ntiderivd) de es. C() es un función de. L constnte de integrción, C(), es un función de. En otrs plbrs, l integrr con respecto, se puede recobrr ƒ(, ) sólo prcilmente. Cómo recobrr totlmente un función de prtir de sus derivds prciles es un tem que se puede estudir en el péndice A. Por hor, lo que interes es etender ls integrles definids funciones de vris vribles. Por ejemplo, l considerr constnte, se puede plicr el teorem fundmentl del cálculo pr evlur d. es l vrible Sustituir por El resultdo de integrción los límites es un función es fij. de integrción. de. De mner similr se puede integrr con respecto, mnteniendo fij. Ambos procedimientos se resumen como sigue. h h f, d f, h h g g f, d f, g g fh, fh, f, g f, g Con respecto. Con respecto. Nótese que l vrible de integrción no puede precer en ninguno de los límites de integrción. Por ejemplo, no tiene ningún sentido escribir d.

3 5Chpter 5- //9 :8 AM Pge 5 SECCIÓN 5. Integrles iterds 5 EJEMPLO Integrr con respecto Evlur d. Solución Se consider constnte se integr con respecto, con lo que se obtiene d. Integrr con respecto. En el ejemplo nótese que l integrl define un función de que puede ser integrd ell mism, como se muestr en el ejemplo siguiente. EJEMPLO Evlur L integrl de un integrl d d. Solución Utilindo el resultdo del ejemplo, se tiene d d d Integrr con respecto.. R: = L región de integrción pr Figur 5. f, d d L integrl del ejemplo es un integrl iterd. Los corchetes usdos en el ejemplo normlmente no se escriben. Ls integrles iterds se escriben normlmente como b g g ( f, d d d c h h f, d d. Los límites interiores de integrción pueden ser vribles con respecto l vrible eterior de integrción. Sin embrgo, los límites eteriores de integrción deben ser constntes con respecto mbs vribles de integrción. Después de relir l integrción interior, se obtiene un integrl definid ordinri l segund integrción produce un número rel. Los límites de integrción de un integrl iterd definen dos intervlos pr ls vribles. Así, en el ejemplo, los límites eteriores indicn que está en el intervlo los límites interiores indicn que está en el intervlo. Juntos, estos dos intervlos determinn l región de integrción R de l integrl iterd, como se muestr en l figur 5.. Como un integrl iterd es simplemente un tipo especil de integrl definid, en el que el integrndo es tmbién un integrl, se pueden utilir ls propieddes de ls integrles definids pr evlur integrles iterds.

4 5Chpter 5- //9 :8 AM Pge 6 6 CAPÍTULO 5 Integrles múltiples L región está limitd o cotd por b g () g () R Áre = b g () d g () Región verticlmente simple Figur 5. d g g b Áre de un región pln En el resto de est sección se verá desde un perspectiv nuev un viejo problem, el de hllr el áre de un región pln. Considérese l región pln R cotd por b g g, como se muestr en l figur 5.. El áre de R está dd por l integrl definid b g g d. Áre de R. Usndo el teorem fundmentl del cálculo, se puede reescribir el integrndo g g como un integrl definid. Concretmente, si se consider fij se dej que vríe desde g hst g, se puede escribir g g d g g g. g Combinndo ests dos integrles, se puede epresr el áre de l región R medinte un integrl iterd b g g b g d d d g b g g d. Áre de R. d c L región está limitd o cotd por c d h () h () R Colocr un rectángulo representtivo en l región R ud determinr el orden los límites de integrción. Un rectángulo verticl implic el orden d d, donde los límites interiores corresponden los límites o cots superior e inferior del rectángulo, como se muestr en l figur 5.. Este tipo de región se llm verticlmente simple, porque los límites eteriores de integrción representn ls rects verticles b. De mner similr, un rectángulo horiontl implic el orden d d, donde los límites interiores están determindos por los límites o cots iquierd derech del rectángulo, como se muestr en l figur 5.. Este tipo de región se llm horiontlmente simple, porque los límites eteriores representn ls rects horiontles c d. Ls integrles iterds utilids en estos dos tipos de regiones simples se resumen como sigue. Áre de un región en el plno h Áre = c d h () d d h () Región horiontlmente simple Figur 5. h. Si R está definid por b g g, donde g g son continus en, b, R está dd por b A Figur 5. (verticlmente simple).. Si R está definid por c d h h, donde h h son continus en c, d, entonces el áre de R está dd por c d A g g h h d d. d d. Figur 5. (horiontlmente simple). NOTA H que observr que en ests dos integrles el orden de integrción es diferente; el orden d d corresponde un región verticlmente simple, el orden d d corresponde un región horiontlmente simple.

5 5Chpter 5- //9 :8 AM Pge 7 SECCIÓN 5. Integrles iterds 7 Si los cutro límites de integrción son constntes, l región de integrción es rectngulr, como ocurre en el ejemplo. EJEMPLO Áre de un región rectngulr d d c c Figur 5. Región rectngulr R b b Utilir un integrl iterd pr representr el áre del rectángulo que se muestr en l figur 5.. Solución L región de l figur 5. es verticlmente simple horiontlmente simple, por tnto se puede empler culquier orden de integrción. Eligiendo el orden d d, se obtiene lo siguiente. b c d b d d b d d c d c d d c b d cb Integrr con respecto. Integrr con respecto. Nótese que est respuest es consistente con los conocimientos de l geometrí. EJEMPLO Hllr el áre por medio de un integrl iterd Figur 5.5 R: Áre = 5 cos sen 5 / / sen cos = sen d d = cos Utilir un integrl iterd pr hllr el áre de l región limitd o cotd por ls gráfics de f sen g cos entre 5. L curv seno constitue el límite o cot superior. L curv coseno constitue el límite o cot inferior. Solución Como ƒ g se dn como funciones de, es conveniente un rectángulo representtivo verticl, se puede elegir d d como orden de integrción, como se muestr en l figur 5.5. Los límites eteriores de integrción son 5. Ddo que el rectángulo está limitdo o cotdo, superiormente por ƒ() sen e inferiormente por g cos, se tiene 5 Áre de R 5 5 cos sen 5. sen cos sen d cos d d sen cos d Integrr con respecto. Integrr con respecto. NOTA L región de integrción en un integrl iterd no necesrimente debe estr cotd por rects. Por ejemplo, l región de integrción que se muestr en l figur 5.5 es verticlmente simple un cundo no tiene rects verticles como fronters iquierd derech. Lo que hce que l región se verticlmente simple es que está limitd o cotd superiormente e inferiormente por gráfics de funciones de.

6 5Chpter 5- //9 :8 AM Pge 8 8 CAPÍTULO 5 Integrles múltiples Con frecuenci, uno de los órdenes de integrción hce que un problem de integrción resulte más sencillo de como result con el otro orden de integrción. Por ejemplo, hcer de nuevo el ejemplo con el orden d d; sorprenderá ver que l tre es formidble. Sin embrgo, si se lleg l resultdo, se verá que l respuest es l mism. En otrs plbrs, el orden de integrción fect l complejidd de l integrción, pero no el vlor de l integrl. EJEMPLO 5 Comprción de diferentes órdenes de integrción ) R: = (, ) Áre = d d Dibujr l región cu áre está representd por l integrl Después hllr otr integrl iterd que utilice el orden d d pr representr l mism áre mostrr que mbs integrles dn el mismo vlor. Solución d d. De cuerdo con los límites de integrción ddos, se sbe que Límites interiores de integrción. lo cul signific que l región R está limitd o cotd l iquierd por l prábol l derech por l rect. Además, como Áre = b) Figur 5.6 R: = d d (, ) Límites eteriores de integrción. se sbe que R está limitd o cotd inferiormente por el eje, como se muestr en l figur 5.6. El vlor de est integrl es d d Integrr con respecto. d Integrr con respecto. Pr cmbir el orden de integrción d d, se coloc un rectángulo verticl en l región, como se muestr en l figur 5.6b. Con esto se puede ver que los límites o cots constntes sirven como límites eteriores de integrción. Despejndo de l ecución, se conclue que los límites interiores son. Por tnto, el áre de l región tmbién se puede representr por Evlundo est integrl, se ve que tiene el mismo vlor que l integrl originl. d d d Integrr con respecto. d d. d d 6. 6 Integrr con respecto.

7 5Chpter 5- //9 :8 AM Pge 9 SECCIÓN 5. Integrles iterds 9 Alguns veces no es posible clculr el áre de un región con un sol integrl iterd. En estos csos se divide l región en subregiones de mner que el áre de cd subregión pued clculrse por medio de un integrl iterd. El áre totl es entonces l sum de ls integrles iterds. TECNOLOGÍA Algunos pquetes de softwre pueden efectur integrción simbólic de integrles como ls del ejemplo 6. Tles progrms se pueden utilir pr evlur ls integrles de los ejercicios ejemplos ddos en est sección. EJEMPLO 6 Un áre representd por dos integrles iterds Hllr el áre de l región R que se encuentr bjo l prábol L prábol form el límite o cot superior. sobre el eje, sobre l rect 6. L rect el eje formn el límite o cot inferior. Solución Pr emper se divide R en dos subregiones como se muestr en l figur 5.7. = + 6 R R = (, ) R R Áre = d d + 6 Figur d d En mbs regiones es conveniente usr rectángulos verticles; se tiene Áre d d 6 d d 6 d d El áre de l región es 5/ uniddes cudrds. Trtr de comprobr el resultdo usndo el procedimiento pr hllr el áre entre dos curvs, que se estudi en un curso de cálculo integrl en un vrible. NOTA En los ejemplos 6, h que observr l ventj de dibujr l región de integrción. Se recomiend desrrollr el hábito de hcer dibujos como ud pr determinr los límites de integrción de tods ls integrles iterds de este cpítulo. En este punto, uno se puede preguntr pr qué se necesitn ls integrles iterds. Después de todo, se sbe usr l integrción convencionl pr hllr el áre de un región en el plno. L necesidd de ls integrles iterds será más clr en l sección siguiente. En est sección, se prest especil tención los procedimientos pr determinr los límites de integrción de ls integrles iterds, el conjunto de ejercicios siguiente está diseñdo pr dquirir práctic en este procedimiento importnte.

8 5Chpter 5- //9 :8 AM Pge CAPÍTULO 5 Integrles múltiples Ejercicios 5. En los ejercicios, evlur l integrl.. d.. >. d, 5. d 6. ln 7. d, > 8. e 9. e d. En los ejercicios, evlur l integrl iterd cos sen cos En los ejercicios 5 8, evlur l integrl iterd impropi d d d d e d d d d 6 d d sen d d cos d d e d d d d 6 d d d d d d d d d d d d r dr d r dr d r sen dr d d cos d d d sen cos d En los ejercicios 9, utilir un integrl iterd pr hllr el áre de l región = 5.. = = + En los ejercicios 5, utilir un integrl iterd pr clculr el áre de l región limitd o cotd por ls gráfics de ls ecuciones. 5.,, 6., 7., 5, 8. 9,,, 9 9. b.,, En los ejercicios 8, dibujr l región R de integrción cmbir el orden de integrción.. f, d d. ln 6. f, d d. (8, ) 5. f, d d f, d d 8. 8 (, ) (, ) e cos = = f, d d (, ) (, ) f, d d f, d d f, d d

9 5Chpter 5- //9 :8 AM Pge SECCIÓN 5. Integrles iterds En los ejercicios 9 58, dibujr l región R cu áre está dd por l integrl iterd. Después cmbir el orden de integrción mostrr que mbos órdenes dn l mism áre. 9. d d d d d d d d d d d d 55. d d d d 58. Pr pensr En los ejercicios 59 6, dr un rgumento geométrico pr l iguldd. Verificr l iguldd nlíticmente (, 5 ) d d 5 d d = 5 5 (5, 5) = d d 9 d d d d d d d d En los ejercicios 65 68, utilir un sistem computcionl pr álgebr evlur l integrl iterd En los ejercicios 69 7, ) dibujr l región de integrción, b) cmbir el orden de integrción, c) usr un sistem computcionl pr álgebr mostrr que mbos órdenes dn el mismo vlor En los ejercicios 7 7, usr un sistem computcionl pr álgebr proimr l integrl iterd d d sen d d d d 6 d d cos sen d d d d e d d d d 6r cos dr d 5r dr d 6. sen d d = (, ) = sen d d Desrrollo de conceptos 75. Eplicr qué se quiere decir con un integrl iterd. Cómo se evlú? 76. Describir regiones que sen verticlmente simples regiones que sen horiontlmente simples. 77. Dr un descripción geométric de l región de integrción si los límites interiores eteriores de integrción son constntes. 78. Eplicr por qué lguns veces es un ventj cmbir el orden de integrción. En los ejercicios 6 6, evlur l integrl iterd. (Observr que es necesrio cmbir el orden de integrción.) 6. d d sen d d 6. e d d sen d d Verddero o flso? En los ejercicios 79 8, determinr si l declrción es verdder o fls. Si es fls, eplicr por qué o dr un ejemplo que demuestre que es fls b d c c d f, d d f, d d b f, d d f, d d

10 5Chpter 5- //9 : AM Pge CAPÍTULO 5 Integrles múltiples Sección 5. Integrles dobles volumen Superficie: = f(, ) Integrles dobles volumen de un región sólid Se sbe que un integrl definid sobre un intervlo utili un proceso de límite pr signr un medid cntiddes como el áre, el volumen, l longitud de rco l ms. En est sección, se usrá un proceso similr pr definir l integrl doble de un función de dos vribles sobre un región en el plno. Considérese un función continu f tl que f, pr todo, en un región R del plno. El objetivo es hllr el volumen de l región sólid comprendid entre l superficie dd por f, Superficie sobre el plno. Figur 5.8 R el plno, como se muestr en l figur 5.8. Pr emper se sobrepone un red o cudrícul rectngulr sobre l región, como se muestr en l figur 5.9. Los rectángulos que se encuentrn completmente dentro de R formn un prtición interior, cu norm está definid como l longitud de l digonl más lrg de los n rectángulos. Después, se elige un punto i, i en cd rectángulo se form el prism rectngulr cu ltur es f i, i, como se muestr en l figur 5.. Como el áre del i-ésimo rectángulo es A i Áre del rectángulo i-ésimo. se sigue que el volumen del prism i-ésimo es f i, i A i Volumen del prism i-ésimo. el volumen de l región sólid se puede proimr por l sum de Riemnn de los volúmenes de todos los n prisms, n f i, i A i i Sum de Riemnn. como se muestr en l figur 5.. Est proimción se puede mejorr tomndo redes o cudrículs con rectángulos más más pequeños, como se muestr en el ejemplo. Superficie: = f(, ) f( i, i ) R Los rectángulos que se encuentrn dentro de R formn un prtición interior de R Figur 5.9 Prism rectngulr cu bse tiene un áre de A i cu ltur es f i, i Figur 5. Volumen proimdo por prisms rectngulres Figur 5.

11 5Chpter 5- //9 : AM Pge SECCIÓN 5. Integrles dobles volumen EJEMPLO Aproimr el volumen de un sólido Aproimr el volumen del sólido comprendido entre el prboloide f, l región cudrd R dd por,. Utilir un prtición formd por los cudrdos cuos ldos tengn un longitud de. Solución Pr emper se form l prtición especificd de R. En est prtición, es conveniente elegir los centros de ls subregiones como los puntos en los que se evlú f,. 8, 8 8, 8 8, 5 8 8, 7 8 8, 8 8, 8 8, 5 8 8, , 8 5 8, 8 5 8, , , 8 7 8, 8 7 8, , 7 8 Superficie: f(, ) = Figur 5. Como el áre de cd cudrdo es A i 6, el volumen se puede proimr por l sum 6 f i i A i 6 i i i.67. i 6 Est proimción se muestr gráficmente en l figur 5.. El volumen ecto del sólido es (ver el ejemplo ). Se obtiene un mejor proimción si se us un prti- ción más fin. Por ejemplo, con un prtición con cudrdos con ldos de longitud, l proimción es.668. TECNOLOGÍA Alguns grficdors tridimensionles pueden representr figurs como l mostrd en l figur 5.. L gráfic mostrd en l figur 5. se dibujó con un progrm pr computdor. En est gráfic, obsérvese que cd uno de los prisms rectngulres está dentro de l región sólid. Figur 5. En el ejemplo, h que observr que usndo prticiones más fins, se obtienen mejores proimciones l volumen. Est observción sugiere que se podrí obtener el volumen ecto tomndo un límite. Es decir, Volumen El significdo ecto de este límite es que el límite es igul L si pr todo > eiste un > tl que lím n f i, i A i. i i L n f i, i A < i pr tod prtición de l región pln R (que stisfg < ) pr tod elección posible de i i en l región i-ésim. El uso del límite de un sum de Riemnn pr definir un volumen es un cso especil del uso del límite pr definir un integrl doble. Sin embrgo, el cso generl no requiere que l función se positiv o continu.

12 5Chpter 5- //9 : AM Pge CAPÍTULO 5 Integrles múltiples EXPLORACIÓN Ls cntiddes en l tbl representn l profundidd (en uniddes de rds) de l tierr en el centro de cd cudrdo de l figur Aproimr el número de rds cúbics de tierr en el primer octnte. (Est eplorción l sugirió Robert Vojck, Ridgewood High School, Ridgewood, NJ.) Definición de integrl doble Si ƒ está definid en un región cerrd cotd R del plno, entonces l integrl doble de ƒ sobre R está dd por R f, da lím n f i, i A i i siempre que el límite eist. Si eiste el límite, entonces ƒ es integrble sobre R. NOTA Un ve definids ls integrles dobles, se verá que un integrl definid ocsionlmente se le llm integrl simple. Pr que l integrl doble de ƒ en l región R eist es suficiente que R pued epresrse como l unión de un número finito de subregiones que no se sobrepongn (ver figur 5.) que sen verticl u horiontlmente simples, que ƒ se continu en l región R. Un integrl doble se puede usr pr hllr el volumen de un región sólid que se encuentr entre el plno l superficie dd por f,. Volumen de un región sólid Si ƒ es integrble sobre un región pln R f, pr todo, en R, entonces el volumen de l región sólid que se encuentr sobre R bjo l gráfic de ƒ se define como V R f, da. Propieddes de ls integrles dobles Ls integrles dobles tienen muchs de ls propieddes de ls integrles simples. R = R R TEOREMA 5. Propieddes de ls integrles dobles Sen ƒ g continus en un región cerrd cotd R del plno, se c un constnte.. R cf, da cr f, da R R. R f, ± g, da R f, da ± Rg, da Dos regiones no se sobreponen si su intersección es un conjunto de áre. En est figur, el áre del segmento de l rect común R R es Figur 5. R f, da,. si f,. R f, da Rg, da, si f, g, R f, da R f, da R 5. f, da, donde R es l unión de dos subregiones R R que no se sobreponen.

13 5Chpter 5- //9 : AM Pge 5 SECCIÓN 5. Integrles dobles volumen 5 Altur: = (,, ) Bse: = Volumen: Figur 5.5 = A d (,, ) Sección trnsversl tringulr = = Sección trnsversl tringulr Figur 5.6 Plno: = (,, ) Evlución de integrles dobles Normlmente, el primer pso pr evlur un integrl doble es reescribirl como un integrl iterd. Pr mostrr cómo se hce esto, se utili el modelo geométrico de un integrl doble, el volumen de un sólido. Considérese l región sólid cotd por el plno ƒ(, ) por los tres plnos coordendos, como se muestr en l figur 5.5. Cd sección trnsversl verticl prlel l plno es un región tringulr cu bse tiene un longitud ( )/ cu ltur es. Esto implic que pr un vlor fijo de, el áre de l sección trnsversl tringulr es A bseltur De cuerdo con l fórmul pr el volumen de un sólido de secciones trnsversles conocids, el volumen del sólido es b Volumen A d d. Este procedimiento funcion sin importr cómo se obteng A(). En prticulr, A() se puede hllr por integrción, como se muestr en l figur 5.6. Es decir, se consider constnte, se integr desde hst pr obtener A d.. Combinndo estos resultdos, se tiene l integrl iterd Volumen Rf, da d d. Pr comprender mejor este procedimiento, se puede imginr l integrción como dos brridos. En l integrción interior, un rect verticl brre el áre de un sección trnsversl. En l integrción eterior, l sección trnsversl tringulr brre el volumen, como se muestr en l figur 5.7. Integrr con respecto pr obtener el áre de l sección trnsversl Figur 5.7 Integrr con respecto pr obtener el volumen del sólido

14 5Chpter 5- //9 : AM Pge 6 6 CAPÍTULO 5 Integrles múltiples El teorem siguiente lo demostró el mtemático itlino Guido Fubini (879-9). El teorem estblece que si R es verticl u horiontlmente simple ƒ es continu en R, l integrl doble de ƒ en R es igul un integrl iterd. TEOREMA 5. Teorem de Fubini Se ƒ continu en un región pln R.. Si R está definid por b g g, donde g g son continus en, b, entonces b g Rf, da f, d d.. Si R está definid por c d h h, donde h h son continus en c, d, entonces d h Rf, da f, d d. c g h EJEMPLO Evlución de un integrl doble como integrl iterd Evlur R f(, ) da = R: f(, ) d d El volumen de l región sólid es. Figur 5.8 R da donde R es l región dd por,. Solución Como l región R es un cudrdo, es verticl horiontlmente simple se puede empler culquier orden de integrción. Se elige d d colocndo un rectángulo representtivo verticl en l región, como se muestr en l figur 5.8. Con esto se obtiene lo siguiente. R da 5 6 d d d d L integrl doble evlud en el ejemplo represent el volumen de l región sólid que fue proimdo en el ejemplo. Nótese que l proimción obtenid en el ejemplo es buen (.67 contr ) un cundo se empleó un prtición que constb sólo en 6 cudrdos. El error se debe que se usron los centros de ls subregiones cudrds como los puntos pr l proimción. Esto es comprble l proimción de un integrl simple con l regl del punto medio.

15 5Chpter 5- //9 : AM Pge 7 SECCIÓN 5. Integrles dobles volumen 7 EXPLORACIÓN El volumen de un sector de prboloide El sólido del ejemplo tiene un bse elíptic (no circulr). Considerr l región limitd o cotd por el prboloide circulr, > el plno. Cuánts mners de hllr el volumen de este sólido se conocen hor? Por ejemplo, se podrí usr el método del disco pr encontrr el volumen como un sólido de revolución. Todos los métodos emplen integrción? L dificultd pr evlur un integrl simple b f d depende normlmente de l función ƒ, no del intervlo [, b]. Ést es un diferenci importnte entre ls integrles simples ls integrles dobles. En el ejemplo siguiente se integr un función similr l de los ejemplos. Nótese que un vrición en l región R llev un problem de integrción mucho más difícil. EJEMPLO Hllr el volumen por medio de un integrl doble Hllr el volumen de l región sólid cotd por el prboloide plno. el Solución Hciendo, se ve que l bse de l región, en el plno, es l elipse, como se muestr en l figur 5.9. Est región pln es verticl horiontlmente simple, por tnto el orden d d es propido. Límites o cots vribles pr : Límites o cots constntes pr : El volumen está ddo por V d 6 cos d 6 cos d 8 6. d d d Ver figur 5.9b. sen θ. Superficie: f(, ) = Bse: ( )/ ( )/ V olumen: ( )/ ( )/ ( ) d d ) b) Figur 5.9

16 5Chpter 5- //9 : AM Pge 8 8 CAPÍTULO 5 Integrles múltiples En los ejemplos, los problems se podrín hber resuelto emplendo culquier de los órdenes de integrción porque ls regiones ern verticl horiontlmente simples. En cso de hber usdo el orden d d se hbrín obtenido integrles con dificultd mu precid. Sin embrgo, h lguns ocsiones en ls que uno de los órdenes de integrción es mucho más conveniente que otro. El ejemplo muestr uno de estos csos. EJEMPLO Comprción de diferentes órdenes de integrción Superficie: f, ) e ) = Hllr el volumen de l región sólid R cotd por l superficie f, e Superficie. los plnos,,, como se muestr en l figur 5.. = = L bse está cotd por Figur 5. =,, Solución L bse de R en el plno está cotd por ls rects,. Los dos posibles órdenes de integrción se muestrn en l figur 5.. R: (, ) R: (, ) (, ) (, ) e d d e d d Figur 5. Estbleciendo ls integrles iterds correspondientes, se ve que el orden d d requiere l primitiv (o ntiderivd) e d, l cul no es un función elementl. Por otro ldo, con el orden d d se obtiene l integrl e d d e d e d e e e e.6. NOTA Trtr de utilir un integrdor simbólico pr evlur l integrl del ejemplo.

17 5Chpter 5- //9 : AM Pge 9 SECCIÓN 5. Integrles dobles volumen 9 Prboloide: = Plno: = EJEMPLO 5 Volumen de un región cotd por dos superficies Hllr el volumen de l región sólid R cotd superiormente por el prboloide e inferiormente por el plno, como se muestr en l figur 5.. Figur 5. R : Solución Igulndo los vlores, se determin que l intersección de ls dos superficies se produce en el cilindro circulr recto ddo por Como el volumen de R es l diferenci entre el volumen bjo el prboloide el volumen bjo el plno, se tiene Volumen d d d d d d d cos cos d 66 d d.. d sen θ. Ejercicios 5. Aproimción En los ejercicios, proimr l integrl R f, da dividiendo el rectángulo R con vértices (, ), (, ), (, ) (, ) en ocho cudrdos igules hllndo l sum 8 f i, i A i i donde i, i es el centro del cudrdo i-ésimo. Evlur l integrl iterd comprrl con l proimción..... d d d d d d d d 5. Aproimción L tbl muestr vlores de un función ƒ sobre un región cudrd R. Dividir l región en 6 cudrdos igules elegir i, i como el punto más cercno l origen en el cudrdo i-ésimo. Comprr est proimción con l obtenid usndo el punto más lejno l origen en el cudrdo i-ésimo. f, d d

18 5Chpter 5- //9 : AM Pge 5 5 CAPÍTULO 5 Integrles múltiples 6. Aproimción L figur muestr ls curvs de nivel de un función ƒ en un región cudrd R. Aproimr l integrl emplendo cutro cudrdos tomndo el punto medio de cd cudrdo como i, i. En los ejercicios 7, dibujr l región R evlur l integrl iterd R f, da. 7. d d d d... 6 f, d d d d e d d En los ejercicios, dr un integrl pr cd orden de integrción utilir el orden más conveniente pr evlur l integrl en l región R. e d d 8 6 sen sin cos d d d d En los ejercicios, utilir un integrl doble pr hllr el volumen del sólido indicdo... =.. = = = = = 6 = = 6 = + + = R da R: rectángulo con vértices,,, 5,, 5,, Rsen sen da R: rectángulo con vértices,, R da R: triángulo cotdo por,, Re da R: triángulo cotdo por,, R ln da R: región cotd por, R da R: región cotd por,,,,,,, = = = = = 9. Integrl impropi. Integrl impropi = ( + ) ( + ) = = e ( + )/ 9.. R da R: el sector circulr en el primer cudrnte cotdo por 5,, R da R: semicírculo cotdo por, < < < <

19 5Chpter 5- //9 : AM Pge 5 SECCIÓN 5. Integrles dobles volumen 5 En los ejercicios, utilir un sistem computcionl pr álgebr hllr el volumen del sólido. En los ejercicios 5 56, hllr el vlor promedio de ƒ(, ) en l región R donde.. = + = Vlor promedio ARf, da donde A es el áre de R. En los ejercicios, dr un integrl doble pr hllr el volumen del sólido limitdo o cotdo por ls gráfics de ls ecuciones..,,,, primer octnte ,,,,, 5,,,,, r 7.,, primer octnte 8.,, primer octnte 9.,, primer octnte.,,, En los ejercicios, hllr el volumen del sólido limitdo o cotdo por ls gráfics de ls ecuciones..,,. sen,,, 5 En los ejercicios 6, utilir un sistem computcionl pr álgebr hllr el volumen del sólido limitdo o cotdo por ls gráfics de ls ecuciones.. 9,. 9, 9, primer octnte 5.,,,,.5 6. ln,,,, 7. Si f es un función continu tl que f, en un región R de áre, demostrr que R f, da. 8. Hllr el volumen del sólido que se encuentr en el primer octnte, cotdo por los plnos coordendos el plno b c, donde >, b > c >. En los ejercicios 9 5, evlur l integrl iterd (notr que es necesrio cmbir el orden de integrción). 9. e d d 5. rccos 5. sen sen d d 5. = ln e = d d ln cos d d 5. f, R: rectángulo con vértices,,,,,,, 5. f, R: rectángulo con vértices,,,,,,, 55. f, R: cudrdo con vértices,,,,,,, 56. f, e R: triángulo con vértices,,,,, Desrrollo de conceptos 57. Enuncir l definición de integrl doble. Dr l interpretción geométric de un integrl doble si el integrndo es un función distint de cero sobre l región de integrción. 58. Ls integrles iterds siguientes representn l solución del mismo problem. Cuál de ls integrles iterds es más fácil de evlur, por qué? sen d d 59. Se R un región en el plno cu áre es B. Si ƒ(, ) = k pr todo punto (, ) en R, cuál es el vlor de R f, da? Eplicr. 6. Se R un conddo en l prte norte de Estdos Unidos, se ƒ(, ) l precipitción nul de nieve en el punto (, ) de R. Interpretr cd uno de los siguientes. Rf, da ) Rf, da b) RdA sen d d 6. Producción promedio L función de producción Cobb-Dougls pr un fbricnte de utomóviles es f,.6. donde es el número de uniddes de trbjo es el número de uniddes de cpitl. Estimr el nivel promedio de producción si el número de uniddes de trbjo vrí entre 5 el número de uniddes de cpitl vrí entre Beneficio o gnnci promedio El beneficio o gnnci de un empres P que comercili dos productos es P , donde representn número de uniddes de cd uno de los dos productos. Usr un sistem computcionl pr álgebr evlur l integrl doble que d el beneficio promedio semnl si vrí entre 5 uniddes vrí entre 5 6 uniddes.

20 5Chpter 5- //9 : AM Pge 5 5 CAPÍTULO 5 Integrles múltiples Probbilidd Un función de densidd de probbilidd conjunt de ls vribles letoris continus es un función ƒ(, ) que stisfce ls propieddes siguientes. ) pr todo b) f,, f, da c) En los ejercicios 6 66, mostrr que l función es un función de densidd de probbilidd conjunt hllr l probbilidd requerid P[, R] R f, da f,, 5,, en culquier otro punto P, f,,,, en culquier otro punto P, f, 79,, P, 6 f, e,, P, 67. Aproimción En un fábric de cemento l bse de un montón de ren es rectngulr con dimensiones proimds de por metros. Si l bse se coloc en el plno con un vértice en el origen, ls coordends de l superficie del montón son (5, 5, ), (5, 5, 6), (5, 5, ), (5, 5, ), (5, 5, 7) (5, 5, ). Aproimr el volumen de l ren en el montón. 68. Progrmción Considerr un función continu f, sobre l región rectngulr R con vértices (, c), (b, c), (, d) (b, d) donde < b c < d. Dividir los intervlos, b c, d en m n subintervlos, de modo que los subintervlos en un dirección dd sen de igul longitud. Escribir un progrm pr que un grficdor clcule l sum n i m j donde i, j es el centro de un rectángulo representtivo en R. Aproimción En los ejercicios 69 7, ) utilir un sistem computcionl pr álgebr proimr l integrl iterd, b) utilir el progrm del ejercicio 68 pr proimr l integrl iterd con los vlores ddos de m n. 69. sen d d 7. m, n 8 6 b f i, j A i 7. cos d d 7. m, n 8, c d, 6 en culquier otro punto en culquier otro punto f, da m, n e 8 d d d d m 6, n Aproimción En los ejercicios 7 7, determinr qué vlor proim mejor el volumen del sólido entre el plno l función sobre l región. (Hcer l elección con bse en un dibujo del sólido sin relir ningún cálculo.) 7. f, R: cudrdo con vértices,,,,,,, ) b) 6 c) 5 d) 5 e) 7. f, R: círculo cotdo por 9 ) 5 b) 5 c) 5 d) 5 e) 5 Verddero o flso? En los ejercicios 75 76, determinr si l declrción es verdder o fls. Si es fls, eplicr por qué o dr un ejemplo que demuestre que es fls. 75. El volumen de l esfer está ddo por l integrl V Si f, g, pr todo, en R, ƒ g son continus en R, entonces R f, da Rg, da. 77. Se f e t dt. Hllr el vlor promedio de f en el intervlo,. 78. Hllr Sugerenci: Evlur e e d. e d. 79. Determinr l región R en el plno que mimi el vlor de R 9 da. 8. Determinr l región R en el plno que minimi el vlor de R da. 8. Hllr rctn rctn d. (Sugerenci: Convertir l integrl en un integrl doble.) 8. Utilir un rgumento geométrico pr mostrr que 9 d d. 9 d d 9. Preprción del emen Putnm b 8. Evlur e máb, d d, donde b son positivos. 8. Probr que si > no eiste un función rel u tl que, pr todo en el intervlo cerrdo, u u u d. Estos problems fueron preprdos por el Committee on the Putnm Prie Competition. The Mthemticl Assocition of Americ. Todos los derechos reservdos.

21 5Chpter 5- //9 :5 AM Pge 5 SECCIÓN 5. L integrl doble en coordends polres 5 Sección 5. L integrl doble en coordends polres Integrles dobles en coordends polres Alguns integrles dobles son mucho más fáciles de evlur en form polr que en form rectngulr. Esto es sí especilmente cundo se trt de regiones circulres, crdioides pétlos de un curv ros, de integrndos que contienen. En l sección., se vio que ls coordends polres r, de un punto están relcionds con ls coordends rectngulres (, ) del punto, de l mner siguiente. r cos sen r tn EJEMPLO Utilir coordends polres pr describir un región Utilir coordends polres pr describir cd un de ls regiones mostrds en l figur 5.. ) Figur 5. b) Solución ) L región R es un curto del círculo de rdio. Est región se describe en coordends polres como r R θ θ (r i, θ i ) R r, : r,. b) L región R const de todos los puntos comprendidos entre los círculos concéntricos de rdios. Est región se describe en coordends polres como θ r r R r, : r,. Ls regiones del ejemplo son csos especiles de sectores polres Sector polr Figur 5. R r, : r r r, Sector polr. como el mostrdo en l figur 5..

22 5Chpter 5- //9 :5 AM Pge 5 5 CAPÍTULO 5 Integrles múltiples (r i, θ i ) β α R i g θi r i g L red o cudrícul polr se sobrepone sobre l región R Figur 5.5 Pr definir un integrl doble de un función continu f, en coordends polres, considerr un región R limitd o cotd por ls gráfics de r g r g ls rects En lugr de hcer un prtición de R en rectángulos pequeños, se utili un prtición en sectores polres pequeños. A R se le superpone un red o cudrícul polr formd por ros o semirrects rdiles rcos circulres, como se muestr en l figur 5.5. Los sectores polres R que se encuentrn completmente dentro de R formn un prtición polr intern, cu norm es l longitud de l digonl más lrg en los n sectores polres. Considerr un sector polr específico R i, como se muestr en l figur 5.6. Se puede mostrr (ver ejercicio 6) que el áre de R i es A i r i r i i Áre de R i. donde r i r r i. Esto implic que el volumen del sólido de ltur f(r i cos i, r i sen i ) sobre es proimdmente R i. fr i cos i, r i sen ir i r i i se tiene R f, da n i fr i cos i, r i sen ir i r i i. L sum de l derech se puede interpretr como un sum de Riemnn pr fr cos, r sen r. L región R corresponde un región S horiontlmente simple en el plno rθ, como se muestr en l figur 5.7. Los sectores polres R i corresponden los rectángulos S el áre de S es r i i. i, A i i Por tnto, el ldo derecho de l ecución corresponde l integrl doble S fr cos, r sen r da. A prtir de esto, se puede plicr el teorem 5. pr escribir R f, da S fr cos, r sen r da g g fr cos, r sen r dr d. Esto sugiere el teorem siguiente, presentdo sin demostrción. θ θ β θ r = g ( θ) r = g ( θ) R i S i r r (r i, θ i ) α (r i, θ i ) r R i El sector polr es el conjunto de todos los puntos r, tl que r r r Figur 5.6 Región S horiontlmente simple Figur 5.7

23 5Chpter 5- //9 :5 AM Pge 55 SECCIÓN 5. L integrl doble en coordends polres 55 TEOREMA 5. Cmbio de vribles l form polr Se R un región pln que const de todos los puntos (, ) (r cos, r sen ) que stisfcen ls condiciones g r g,, donde ( ). Si son continus en, f es continu en R, entonces g g R f, da g g fr cos, r sen r dr d. EXPLORACIÓN Volumen de un sector prboloide En l eplorción del ejemplo de l sección 5. se pidió resumir los diferentes métodos hst hor estudidos pr clculr el volumen del sólido limitdo o cotdo por el prboloide, > el plno. Ahor se conoce un método más. Utilirlo pr encontrr el volumen del sólido. NOTA Si f, es no negtiv en R, entonces l integrl del teorem 5. puede interpretrse como el volumen de l región sólid entre l gráfic de ƒ l región R. L región R puede ser de dos tipos básicos, regiones r-simples regiones -simples, como se muestr en l figur 5.8. g g Región r-simple Figur 5.8 Límites o cots fijs pr θ : θ = β α θ β Límites o cots vribles pr r: g ( θ ) r g ( θ ) θ θ = α r = r h r Región θ-simple h r = r Límites o cots vribles pr θ : h (r) θ h (r) Límites o cots fijs pr r: r r r EJEMPLO Evlur un integrl polr doble R: r 5 θ Región r-simple Figur 5.9 R Se R l región nulr comprendid entre los dos círculos 5. Evlur l integrl R da. Solución Los límites o cots polres son r 5, como se muestr en l figur 5.9. Además, r cos r sen. Por tnto, se tiene R da 5 5 r cos r sen 5 6 cos cos r cos r sen r dr d r cos r sen dr d d sen d sen 55 cos sen d 6.

24 5Chpter 5- //9 :5 AM Pge CAPÍTULO 5 Integrles múltiples En el ejemplo, notr el fctor etr de r en el integrndo. Esto proviene de l fórmul pr el áre de un sector polr. En notción diferencil, se puede escribir da r dr d lo que indic que el áre de un sector polr ument l lejrse del origen. Superficie: = 6 EJEMPLO Cmbio de vribles coordends polres Utilir ls coordends polres pr hllr el volumen de l región sólid limitd superiormente por el hemisferio 6 Hemisferio que form l superficie superior. e inferiormente por l región circulr R dd por R: + Figur 5. como se muestr en l figur 5.. Solución Región circulr que form l superficie inferior. En l figur 5., se puede ver que R tiene como límites o cots, que 6. En coordends polres, ls cots son r con ltur 6 6 r. Por consiguiente, el volumen V está ddo por V R f, da 6 r r dr d 6 r 6 d d NOTA Pr ver l ventj de ls coordends polres en el ejemplo, h que trtr de evlur l integrl iterd rectngulr correspondiente 6 d d. TECNOLOGÍA Todo sistem computcionl pr álgebr que clcul integrles dobles en coordends rectngulres tmbién clcul integrles dobles en coordends polres. L rón es que un ve que se h formdo l integrl iterd, su vlor no cmbi l usr vribles diferentes. En otrs plbrs, si se us un sistem computcionl pr álgebr pr evlur 6 d d se deberá obtener el mismo vlor que se obtuvo en el ejemplo.

25 5Chpter 5- //9 :5 AM Pge 57 SECCIÓN 5. L integrl doble en coordends polres 57 Así como ocurre con coordends rectngulres, l integrl doble R da puede usrse pr clculr el áre de un región en el plno. EJEMPLO Hllr áres de regiones polres Utilir un integrl doble pr hllr el áre encerrd por l gráfic de r cos. r = cos θ R: 6 θ 6 r cos θ θ = 6 Solución Se R un pétlo de l curv mostrd en l figur 5.. Est región es r-simple los límites son los siguientes. 6 6 r cos Límites o cots fijs pr. Límites o cots vribles pr r. Figur 5. θ = 6 Por tnto, el áre de un pétlo es R A da 6 cos 6 6 r cos r dr d d cos d cos 6 d sen 66. Así, el áre totl es A 9. Como se ilustr en el ejemplo, el áre de un región en el plno puede representrse medinte A Si g, se obtiene A g g g r dr d. r dr d r g d lo cul concuerd con el teorem.7. Hst hor en est sección, todos los ejemplos de integrles iterds en form polr hn sido de l form g g fr cos, r sen r dr d en donde el orden de integrción es primero con respecto r. Alguns veces se puede simplificr el problem de integrción cmbindo el orden de integrción, como se ilustr en el ejemplo siguiente. g d

26 5Chpter 5- //9 :5 AM Pge CAPÍTULO 5 Integrles múltiples r = θ θ = θ = 6 EJEMPLO 5 Cmbio del orden de integrción Hllr el áre de l región cotd superiormente por l espirl r e inferiormente por el eje polr, entre r r. Región θ-simple Figur 5. R: θ r r Solución son L región se muestr en l figur 5.. Ls cots o límites polres de l región r r. Por tnto, el áre de l región puede evlurse como sigue. r A r d dr dr r r dr r Ejercicios 5. En los ejercicios, se muestr l región R pr l integrl R f, da. Decir si serín más convenientes coordends rectngulres o polres pr evlur l integrl..... En los ejercicios 5 8, utilir ls coordends polres pr describir l región mostrd R R 8 6 R R En los ejercicios 9, evlur l integrl doble dibujr l región R En los ejercicios 5, evlur l integrl iterd psndo coordends polres. 5. d d d d d d. En los ejercicios, combinr l sum de ls dos integrles iterds en un sol integrl iterd psndo coordends polres. Evlur l integrl iterd resultnte sen d d r sen dr d 9 r r dr d r dr d... 8 r 8 d d d d d d d d R fr, da,

27 5Chpter 5- //9 :5 AM Pge 59 SECCIÓN 5. L integrl doble en coordends polres d d 5 5 d d En los ejercicios 6, utilir coordends polres pr escribir evlur l integrl doble R f, da. En los ejercicios 7, utilir un integrl doble pr clculr el áre de l región sombred r = 6 cos θ r = r =.. 5. f,, R:,, f, e, R: 5, f, rctn R:,,, f, 9, R: 9,, Volumen En los ejercicios 7, utilir un integrl doble en coordends polres pr hllr el volumen del sólido limitdo o cotdo por ls gráfics de ls ecuciones. 7.,, first primer octnt octnte 8.,, 9.,, 5. ln,,,. Interior l hemisferio 6 e interior l cilindro. Interior l hemisferio 6 eterior l cilindro 9.. r = + cos θ.. r = sen θ r = cos θ r = + sen θ. Volumen Hllr tl que el volumen en el interior del hemisferio 6 en el eterior del cilindro se l mitd del volumen del hemisferio.. Volumen Utilir un integrl doble en coordends polres pr hllr el volumen de un esfer de rdio. 5. Volumen Determinr el diámetro de un orificio cvdo verticlmente trvés del centro del sólido limitdo o cotdo por ls gráfics de ls ecuciones 5e ( + ), si se elimin l décim prte del volumen del sólido. 6. Diseño industril Ls superficies de un lev se represent por ls desigulddes r cos donde tods ls medids se dn en pulgds. ) Utilir un sistem computcionl pr álgebr representr gráficmente l lev. b) Utilir un sistem computcionl pr álgebr proimr el perímetro de l curv polr r cos. 6 Ést es l distnci que recorre un pie en contcto con l lev durnte un giro completo de ést. c) Utilir un sistem computcionl pr álgebr hllr el volumen del cero en l lev. Desrrollo de conceptos. Describir l prtición de l región de integrción R en el plno cundo se utilin coordends polres pr evlur un integrl doble.. Eplicr cómo psr de coordends rectngulres coordends polres en un integrl doble. 5. Con sus propis plbrs, describir regiones r-simples regiones θ-simples. 6. Cd figur muestr un región de integrción pr l integrl doble R f, da. Pr cd región, decir si es más fácil obtener los límites de integrción con elementos representtivos horiontles, elementos representtivos verticles o con sectores polres. Eplicr el ronmiento. ) b) c) R R R

28 5Chpter 5- //9 :5 AM Pge 6 6 CAPÍTULO 5 Integrles múltiples 7. Pr pensr Considerr el progrm escrito en el ejercicio 68 de l sección 5. pr proimr integrles dobles en coordends rectngulres. Si el progrm se us pr proimr l integrl doble R fr, da en coordends polres, cómo h que modificr ƒ pr introducirl l progrm? Como los límites de integrción son constntes, describir l región pln de integrción. 8. Aproimción Ls secciones trnsversles horiontles de un bloque de hielo desprendido de un glcir tienen form de un curto de un círculo con rdio proimdo de 5 pies. L bse se divide en subregiones como se muestr en l figur. En el centro de cd subregión, se mide l ltur del hielo, dndo los puntos siguientes en coordends cilíndrics. ) Aproimr el volumen del sólido. b) El hielo pes proimdmente 57 librs por pie cúbico. Aproimr el peso del sólido. c) Aproimr el número de glones de gu en el sólido si h 7.8 glones de gu por pie cúbico. Aproimción En los ejercicios 9 5, utilir un sistem computcionl pr álgebr proimr l integrl iterd , 6, 7, 5, 6, 8, 5, 6,, 5, 6,, 5, 6, 9, 5, 6, 9, 5, 6,, 5, 6,, 5, 6, 5, 5, 6,, 5, , 9, 5, 6,, 5, 6, 5, 5, 6, 8, 5, 6,, 5, , 5, 5, 6, 8, 5, 6,, 5, 6, 6, 5, 6, re r dr d 8 r r sen dr d Aproimción En los ejercicios 5 5, determinr qué vlor se proim más l volumen del sólido entre el plno l función sobre l región. (Relir l elección l vist de un dibujo del sólido sin efectur cálculo lguno.) 5. ƒ(, ) 5 ; R: semicírculo: 6, ) b) c) d) e) 8 5. ƒ(, ) ; R: curto de círculo: 9,, ) 5 b) 8 c) d) 5 e) Verddero o flso? En los ejercicios 5 5, determinr si l declrción es verdder o fls. Si es fls, eplicr por qué o dr un ejemplo que demuestre que es fls. 5. Si R fr, da >, entonces fr, > pr todo r, en R. 5. Si fr, es un función constnte el áre de l región S es el doble del áre de l región R, entonces R fr, da S fr, da. 55. Probbilidd El vlor de l integrl I d se requiere en el desrrollo de l función de densidd de probbi- e lidd norml. ) Utilir coordends polres pr evlur l integrl impropi. I e d e d e da b) Utilir el resultdo del prtdo ) pr clculr I. PARA MAYOR INFORMACIÓN Pr más informción sobre este problem, ver el rtículo Integrting e Without Polr Coordintes de Willim Dunhm en Mthemtics Techer. 56. Utilir el resultdo del ejercicio 55 un cmbio de vribles pr evlur cd un de ls integrles siguientes. No se requiere hcer ningun integrción. ) b) e d e d 57. Poblción L densidd de poblción en un ciudd se proim medinte el modelo ƒ(, ) e ).(, 9, donde se miden en mills. Integrr l función de densidd sobre l región circulr indicd pr proimr l poblción de l ciudd. 58. Probbilidd Hllr k tl que l función f, ke,, se un función de densidd de probbilidd. 59. Pr pensr Considerr l región limitd o cotd por ls gráfics de,, l integrl doble R f da. Determinr los límites de integrción si l región R está dividid en ) elementos representtivos horiontles, b) elementos representtivos verticles c) sectores polres. 6. Repetir el ejercicio 59 con un región R limitd o cotd por l gráfic de l ecución. 6. Mostrr que el áre A del sector polr R (ver l figur) es A rr, donde r r r es el rdio promedio de R. θ r r R r, en el resto

29 5Chpter 5- //9 :7 AM Pge 6 SECCIÓN 5. Aplicciones geométrics físics de l integrl doble 6 Sección 5. Aplicciones geométrics físics de l integrl doble = = b Lámin de densidd constnte Figur 5. R g g Ms Un de ls plicciones de l integrl definid más conocid es clculr l ms de un lámin pln de densidd consttnte. Por ejemplo, si l lámin que corresponde l región R, que se muestr en l figur 5., tiene un densidd constnte, entonces l ms de l lámin está dd por Ms A RdA R da. Densidd constnte. Si no se especific otr cos, se supone que un lámin tiene densidd constnte. En est sección, se etiende l definición del término lámin pr brcr tmbién plcs delgds de densidd vrible. Ls integrles dobles pueden usrse pr clculr l ms de un lámin de densidd vrible, donde l densidd en (, ) está dd por l función de densidd. Definición de ms de un lámin pln de densidd vrible Si ρ es un función de densidd continu sobre l lámin que corresponde un región pln R, entonces l ms m de l lámin está dd por m R, da. Densidd vrible. NOTA L densidd se epres normlmente como ms por unidd de volumen. Sin embrgo, en un lámin pln l densidd es ms por unidd de áre de superficie. EJEMPLO Hllr l ms de un lámin pln (, ) = (, ) R = (, ) Lámin de densidd vrible, Figur 5. Hllr l ms de l lámin tringulr con vértices (, ), (, ) (, ), ddo que l densidd en, es,. Solución Como se muestr en l figur 5., l región R tiene como fronters, / (o /). Por consiguiente, l ms de l lámin es m R da d d d d 9 9. NOTA En l figur 5., nótese que l lámin pln está sombred; el sombredo más oscuro corresponde l prte más dens.

30 5Chpter 5- //9 :7 AM Pge 6 6 CAPÍTULO 5 Integrles múltiples EJEMPLO Hllr l ms emplendo coordends polres (, ) + = R Hllr l ms de l lámin correspondiente l porción en el primer cudrnte del círculo donde l densidd en el punto (, ) es proporcionl l distnci entre el punto el origen, como se muestr en l figur 5.5. Densidd en, :, k Figur 5.5 Solución En todo punto (, ), l densidd de l lámin es, k k. Como, l ms está dd por m Rk da k d d. Pr simplificr l integrción, se puede convertir coordends polres, utilindo los límites o cots r. Por tnto, l ms es m Rk da kr r dr d 8k 8k k. kr kr dr d d d TECNOLOGÍA En muchs ocsiones, en este teto, se hn menciondo ls ventjs de utilir progrms informáticos que relin integrción simbólic. Aun cundo se utilicen tles progrms con regulridd, h que recordr que sus mejores ventjs sólo son provechbles en mnos de un usurio conocedor. Por ejemplo, nótese l simplificción de l integrl del ejemplo cundo se convierte l form polr. Form rectngulr k d d Form polr kr dr d Si se tiene cceso progrms que relicen integrción simbólic, se recomiend utilirlos pr evlur mbs integrles. Algunos progrms no pueden mnejr l primer integrl, pero culquier progrm que clcule integrles dobles puede evlur l segund integrl.

31 5Chpter 5- //9 :7 AM Pge 6 SECCIÓN 5. Aplicciones geométrics físics de l integrl doble 6 Momentos centros de ms i R i ( i, i ) En lámins de densidd vrible, los momentos de ms se definen de mner similr l empled en el cso de densidd uniforme. Dd un prtición de un lámin, correspondiente un región pln R, considerr el rectángulo i-ésimo R i de áre A i, como se muestr en l figur 5.6. Suponer que l ms de R i se concentr en uno de sus puntos interiores i, i. El momento de ms de R i respecto l eje puede proimrse por medio de i Ms i i, i A i i. M (ms)( i ) M (ms)( i ) Figur 5.6 De mner similr, el momento de ms con respecto l eje puede proimrse por medio de Ms i i, i A i i. Formndo l sum de Riemnn de todos estos productos tomndo límites cundo l norm de se proim, se obtienen ls definiciones siguientes de momentos de ms con respecto los ejes. Momentos centro de ms de un lámin pln de densidd vrible Se un función de densidd continu sobre l lámin pln R. Los momentos de ms con respecto los ejes son M R, da M R(, da. Si m es l ms de l lámin, entonces el centro de ms es, M m, M m. Si R represent un región pln simple en lugr de un lámin, el punto, se llm el centroide de l región. En lguns lámins plns con densidd constnte, se puede determinr el centro de ms (o un de sus coordends) utilindo l simetrí en lugr de usr integrción. Por ejemplo, considerr ls lámins de densidd constnte mostrds en l figur 5.7. Utilindo l simetrí, se puede ver que en l primer lámin en l segund lámin. R: R: Lámin de densidd constnte simétric con respecto l eje Figur 5.7 Lámin de densidd constnte simétric con respecto l eje

32 5Chpter 5- //9 :7 AM Pge 6 6 CAPÍTULO 5 Integrles múltiples EJEMPLO Hllr el centro de ms Densidd vrible: ρ (, ) = k = (, ) Región prbólic de densidd vrible Figur 5.8 Hllr el centro de ms de l lámin que corresponde l región prbólic Región prbólic. donde l densidd en el punto, es proporcionl l distnci entre, el eje, como se muestr en l figur 5.8. Solución, k Como l lámin es simétric con respecto l eje el centro de ms está en el eje. Así,. Pr hllr, primero clculr l ms de l lámin. Ms k d d k d k k k 6 56k d 5 Después se hll el momento con respecto l eje. M k d d k k d d Densidd vrible: ρ (, ) = k R : Centro de ms: ( ), 6 7 Así, M m 96k5 56k5 6 7 k k el centro de ms es, 6 7. Figur 5.9 M M Aunque los momentos se pueden interpretr como un medid de l tendenci girr en torno los ejes o, el cálculo de los momentos normlmente es un pso intermedio hci un met más tngible. El uso de los momentos M M es encontrr el centro de ms. L determinción del centro de ms es útil en muchs plicciones, que permite trtr un lámin como si su ms se concentrr en un solo punto. Intuitivmente, se puede concebir el centro de ms como el punto de equilibrio de l lámin. Por ejemplo, l lámin del ejemplo se mntendrá en equilibrio sobre l punt de un lápi colocdo en, 6 como se muestr en l figur ,