INTEGRALES MÚLTIPLES
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- Rosa María Ortíz Martín
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1 APITULO VI I. INTEGALE OBLE INTOUION INTEGALE MÚLTIPLE En l stuio intgls oinis f l función f s fini n un intvlo co [ ] p l cso stuimos ls intgls cuvilíns G c l función s fini so l cuv ho stuimos los intgls ols l función f. fini so un gión l cul notmos po OBJETIVO f Estlc los funmntos ncsios p l intptción plicción l intgi ol l finli st cpítulo l lumno st n cpci utili l intgl ol n l cálculo ás volumn cnto ms tc. sí como tmién l cálculo n coons pols mpl los Jcoinos. INTEPETAIÓN GEOMÉTIA E LA INTEGAL OBLE i f : s un función intgl n l gión tin f ntoncs Vs = f A s l volumn sli jo l supfici Z = f qu tin como s l gión c. POPIEAE UNAMENTALE E LA INTEGAL OBLE º i l función f : s continu n l gión c ntoncs f s intgl n. º i l función f: s intgl n l gión c K ntoncs Kf s intgl n kf A = k f A º i ls funcions f g: son l intgl n l gión c ntoncs f g s intgls n f g A f.a g A 58
2 º Ls funcions f g: son intgls n l gión c f g ntoncs : f A g A 5º i f ntoncs: f A f A 6º i l función f : s continu n l gión c ntoncs: f A f A ALULO E INTEGALE OBLE PO MEIO E INTEGALE ITEAA onsimos ts csos p l cálculo ls intgls ols: º so.-i f : s un función continu so on = [ h c ] s un ctángulo. h f f f... c h f f f... c h ls intgls s llmn intgls its. c h c º so.-i f : s un función continu so on = [ ] s un gión c c [] son funcions cntinus n [] tl qu [ ] L intgl it f so s: f f. 59
3 º so.-i f : s un función continu so on = [ c ] s un gión c n [c] son funcions continus n [c] tl qu [ c ] L intgl it f so s: f f. Ejmplo.- lcul l intgl ol l olución on : l. l l l = o l o l = l o l = l ctg Ejmplo.- lcul l intgl ol olución. = on : = = 6 EXPEIÓN INTEGAL EL VOLUMEN E UN ILINO º onsimos l función f : continu so l gión c. El volumn l sli jo l supfici Z = f qu tin como s l gión s po l psión; V s = f A 6
4 º onsimos l función f : continu n l gión c tl qu f = ; = ntoncs l á l gión pln s o po: A = f A A Estuimos l fom ps l volumn un sólio po mio un intgl. upongmos qu s un cuv c simpl n l plno tl qu ningun pll los js l contmos os vcs. lim V A A on sign l sum toos los posils lmntos A nto A. psno l límit qu signmos. V = A ZA A f A Intgl ol f so A tnmos l volumn usco. AMBIO E OEN E INTEGAIÓN Pu ocui qu un intgl ol s pácticmnt imposil intg n l on o. En stos csos tnmos qu cmi l on intgción ilustmos l métoo un jmplo. onsimos l intgl I on: I = sg gún vin pimo h qu intg con spcto l fcto s tom como constnt. Al intnt solv l intgl s compu qu s convnint cmi l on intg pimo con spcto qu l pim intgción sá: Pomos otn los límits intgción cuno l on stá invtio. 6
5 Ejmplo.- lcul l intgl ol gión = Gficno l = Ejmplo.- Evlu l intgl olución V 5 = Gficno l gión 5 5 = TANOMAION POLA EN EL PLANO ls tnsfomcions un spcilmnt útil s l tnsfomción pol = P = p. Aquí lls cintos A son iénti J s igul p qu J stá o po: J = p p os p - -p Po lo tnto p f = p ~ + ~ = p f p pp 6
6 Osvcions.- P ps un intgl ol n coonos ctsinos un intgl ol n coons pols s tin l lción: f Ejmplo.- lcul l intgl ol f ciculo + qu s hll n l pim cunt. olución o on s l cut pt l = csc + = = = o o 6 JAOBIANO E UNA UNIÓN E VAIABLE f : un función continumnt ifncil o po uv = on = uv = uv El Jcoino s o po: Ejmplo L función : u Juv = uv u u v qu tnsfom coons pols n ctsins st o po n on = = n ntoncs Jcoico s: J =.N n n os 6
7 AMBIO E VAIABLE EN INTEGAO OBLE No pmit clcul intgls plicno n intgls cills s ci f fg g' t Ejmplos.- l gión tingul l plno limito po: = = + = ncont l vlo olución Tnsfommos l gión : = = + = po = = u v u v v u ; = = u v v u u v = [ uv v = -u. V = i; v = ] v = u finimos con un cución un función vctoil os vils: Esto finimos con un cución un función vctoil os vils: uv = ivi + uvj si uv Est cución s llm cución vctoil l plicción iv co puntos l vcto uv sci puntos f f uv uv J uv on l fcto J uv s l Jcoino l plicción uv ALULO EL ÁEA E UNA UPEIIE i l función = f sus ivs pcils : f f son continus n un gión c l plno XY ntoncs l á l supfici : = f so vin o po: 6
8 Á l supfici = A = s f on s l pocción l supfici po l plno XY. i l supfici stá fini po l cución = f ntoncs: f A = on s l pocción l supfici so l plno YZ. i l cución l supfici stá fini po = f ntoncs: A = on s l pocción l supfici so l plno XZ. Ejmplo.- lcul l á l pt supio l poloi = = cot po l cilino + =. olución L gión intgción s l cicunfnci + = situ n l plno YZ ho l l poloi s tin. = As =. Psno coons pols s tin: As = =
9 INTEGALE E UPEIIE onsimos pimo l cálculo ás supficis ls n spcio spués intgls n ls qu l cmpo intgción s un supfici. El á un supfici s uno los concptos mtmáti más ificult finicions stisfctois l mismo no s hn o hst 9. guimos quí l tto E LA VALLEE POUIN; uso nálisis infitsiml E. ov sin intnt justificlo. Un supfici n ts imnsions vin n función os pámtos u v po ts cucions l fom: = fuv = g uv = huv... Po jmplo = s n u v = u v = u son ls cucions pmétics l sf + + =. Usno sufijos p not ifncición; llmmos: E f U g u h u G f U g u h u f f g g h h... Entoncs finimos l lmnto á supfici l po: u v u v u v = EG v... Y l á l supfici l po = A EG uv... on A s l á cosponint l supfici n l plno uv tommos l solución positiv l í cu. on cits sticcions n ls funcions f g h st concpto nos un tto gnl convnint. En lo sucsivo nos ocupmos supficis qu pun vni s po un cución l fom = on p culqui p vlos cospon un solo vlo. Po jmplo = + s l cución l hmisfio io cnto l oign coons p l cul. Un cución st tipo sug cuno s posil sustitui n l cución = huv v po funcions. En l jmplo l sf = u = u O in = 66
10 on sult l cución =. En st cso tomn los vlos: =... [ 5 ] =... [ 6 ] A on A s l pocción n l plno s** ALULO E ÁEA E UPEIIE Al plic [6] s ncsio conoc A p l supfici pticul n custión; ntoncs l polm qu ucio hll un intgl ol oini. Vmos os jmplos: EJEMPLO.- Hálls l á l supfici l sf + + = n l octnt positivo. El á A s hll hcino = n l cución l sf po tnto A s l gión intio l cículo + = n l pim cunt como s pu v n l figu. Po s = - - l ifnci pcilmnt tnmos: = - = - Po lo tnto Z = Z = Po lo tnto: = sino positiv n l pt sf consi. Así A = A 67
11 INTEGALE TIPLE i s un función fini so un gión c n l spcio po jmplo l gión ocup po un ol sóli o un ms cill ntoncs l intgl so pu finis l siguint mn. uiviimos un gión ctngul qu contng n cls ctnguls po plnos pllos los plnos coonos. Ls cls qu s ncuntn nto n n cito on; un cl típic tnán ntoncs imnsions k po k po k volumn k. Escogmos un punto k k k n c cl fommos l sum n n k k k k vk. i s continu l supfici qu limit stá hch supficis suvs unis lo lgo cuvs continús ntoncs cuno k k k tinn co inpnintmnt ls sums n tnán un límit lím n n V. Llmmos st límit intgl tipl so. El límit tmién ist p lguns funcions iscontinus. POPIEAE E LA INTEGALE TIPLE. Ls intgls tipls tinn ls misms popis lgics qu ls intgls simpls ols. i = G=G son continus ntoncs. k V k V culqui númo k. G V V GV. v si so. V GV si G so. i l ominio un función continu s suivi po mio supficis suvs n númos finito cl sin tslps..n ntoncs 5. V V V... V. EJEMPLO. Estlc los límits intgción p vlu l intgl tipl un función so un tto con vétics. n 68
12 olución. Pso : L supfici supio qu limit s ncunt n l plno =. L supfici infio s ncunt n l plno =+. L font supio s l ct =-. L font infio s l ct =. Pso : Los límits intgción. L ct qu ps po un punto típico n pll l j nt n =+ sl n =. Pso : Los límits intgción. L ct L qu ps po pll l j nt n = sl n =-. Pso : Los límits intgción. onfom L tvés s l vlo ví = =. L intgl s. INTEGALE TIPLE EN OOENAA ILÍNIA Y EÉIA. OOENAA ILÍNIA. Ls coons cilínics son popis p scii cilinos cuos js coincin con l j plnos qu continn l j o in son ppniculs l. = = ilino io j l j Plno qu contin l j = Plno ppnicul l j El lmnto volumn p suivii un gión n l spcio con coons cilínics s V Ls intgls tipls n coons cilínics son ntoncs vlus como intgls its como l siguint jmplo. EJEMPLO. Encunt los límits intgción n coons cilínics p intg un función so l gión limit jo po l plno = ltlmnt po l cilino cicul i po l poloi. olución 69
13 Pso : L s tmién s l pocción l gión so l plno. L font s l cículo. u cución n coons pols s. Pso : Los límits intgción. Un ct M qu ps po un punto típico. n pll l j nt n = sl n Pso : Los límits intgción. Un o L qu ps po s l oign nt n = sl n. Pso : Los límits intgción. Al L tvés l ángulo qu fom con l j positivo ví. L intgl s f V f. OOENAA EÉIA. Ls coons sféics son popis p scii con cnto n l oign mios plnos ticulos lo lgo j conos simpls cuos vétics s ncuntn n l oign con js lo lgo l j. Ls supficis como éss tinn cucions vlo coono constnt: Esf io cnto n l ign. s l oign fom un ángulo p ins con l j positivo. Mio plno ticulo lo lgo l j qu fom un ángulo ins con l j positivo. El lmnto volumn n coons sféics s l volumn un cuñ sféic fini po los ifncils. L cuñ s poimmnt un cj n un lo un co cicul ctngul con un co cicul longitu longitu spso n oto lo. Po consiguint l lmnto volumn n coons sféics s V. 7
14 7 Y ls intgls tipls optn l fom. V EJEMPLO. Encunt l volumn l gión supio cot l sf sóli po l cono. olución El volumn s V qu s l intgl. so f Pso : Hcmos un coquis su pocción so l plno. Pso : Los límits intgción. iujmos un o M s l oign qu fom un ángulo con l j positivo. Tmién iujmos L o s l pocción M so l plno junto con l ángulo qu L fom con l j positivo. El o M nt n = sl n =. Pso : Los límits intgción. El cono fom un ángulo con l j positivo. P culqui l ángulo ví nt = =. Pso : Los límits intgción. El o L so cuno ví. El volumn s. 6 6 V LA INTEGAL TIPLE EN OOENAA ETANGULAE. llm intgl tipl un función f s so un cinto V l límit l cosponint sum tipl i j k j k i k i i V k j i s lim f má má má
15 El cálculo l intgl tipl s uc clcul sucsivmnt ts intgls oinis simpls o clcul un ol un simpl. EJEMPLO. lcul I V ; on l cinto V s tmin po ls siguls. OLUION. Tnmos: I AMBIO E VAIABLE EN LA INTEGAL TIPLE. i n l intgl tipl V f h qu ps ls vils ls vils uvw lcions con ls pims po ls iguls = uvw = uvw = uvw on ls funcions : son continus junto con sus ivs pcils on stlcn un cosponnci iunívoc continu n mos tios nt los puntos l cinto intgción. V l spcio OXYZ los puntos un cinto tmino V l spcio O UVW l tminnt funcionl jcoino sts funcions u v w I u v w u v w u v w consv invils su signo n l cinto V ntoncs sá válio l fómul 7
16 V f f [ u v w V ' I u v. u v w u v w w En pticul p ls coons cilínics h on = = = h Otnmos qu I = p ls coons sféics s l longitu; l ltitu l io vcto on = = = Tnmos I =. EJEMPLO. lcul l siguint intgl psánol ls coons sféics. V on V s un sf io. OLUIÓN. P l sf los límits vición ls coons sféics longitu ltitu io vcto sán:. Po sto tnmos: V. APLIAIONE E LA INTEGALE TIPLE. El volumn un cinto l spcio tiimnsionl OXYZ s igul V =. V L ms un cupo qu ocup l cinto V 7
17 M = V on s l nsi l cupo n l punto. Los momntos státi un cupo con spcto los plnos coonos son: M XY = V M YZ = V M ZX = V Ls coons l cnto gv M M YZ M M ZX M M XY. i l cupo s homogéno n ls fómuls p tmin ls coons l cnto gv s pu pon =. Los momntos inci con spcto los js coonos son: I X = ; V I Y = ; V I Z =. V Ponino n sts fómuls = otnmos los momntos gométi inci l cupo. lculo Volúmns: Vol v = V lculo Mss: Ms V = V δ nto ms: V δ M Momnto inci: I = V ² δ 7
18 Etnsión l tom uini gions gnls: V = Tom: mio vils: f: k Ì ³ continu G: *Ì ³ ³ G Î ¹ inctiv con G k* tl qu t G u v w " u v wî k*: ntoncs: k = k gu v w. t G u v w = v g. tg = v Os: l tom sigu sino vlio si t G u v w = so un conjunto puntos mi n k*. Aplicción: oons ilínics : X = θ Y = θ Z = G. θ. θ = ² + ² istnci l j v = k = k*. θ. θ... θ Métoo tjo: Ejmplo: lcul l volumn μ limito po ² + ² 75
19 Vol = θ = - ² θ = ²-³ θ = ³6 θ = π ³ Intgls upfici: n supfici mpl Z po su vlo n l supfici A s = A Ñ ; Φ flujo = A.Ñ Ejmplo: s: = ² + ² Limits: ² + ² = ² + ²- = ² + ² = ² + ² = - Ñ = ² + ² ² + ² - Ñ = A Ltl = A Ñ = A. = A = π ² A l ciculo Tom Guss o l ivgnci: Os: on st métoo s clcul l vcto noml tio l supfici. s = V Ñ. Ñ : ivgnci 76
20 T n l flujo un tmin función. limitn un supfici con plnos o supficis pin clcul l flujo tvés l supfici font. ivgnci: + + ivs ls componnts l función l flujo Os: i m qu l flujo nto ngtivo signific qu tin tio opusto l noml tio. Puntos: unt: oigin cmpo cmpo positivo. umio: ci cmpo. Psnt: Lo qu nt = lo qu sl. POBLEMA EUELTO E ÁEA. un gión á so l supfici = f. Po l contono ps un cilino vticl qu cot l plno O sgún l gión. ivi n sugions A ás A s l á l pocción Ai so. lig un punto Oi n c sugión s t n él l plno tngnt l supfici sino T l á l pocción A so st plno tngnt. El vlo T s un poimción l á. El ángulo fomo po l plno O l plno tngnt n P s igul l ángulo fomo po l j [ ] l noml f f A l supfici n P. s ci = Po tnto T i = Ai Ti = sc i. Ai Lugo un poimción s s n i Ti n i sc i. At lim n sc i. Ai n i sc.a A 77
21 78. Hll l á l poción l cono X + = situ po ncim l plno O intio l cilino + =. olución. L pocción l á pi so l plno O s l gión limit po l cículo + =. P l cono supfici unis A olución. L pocción l mit l á pi so l plno O s l gión limit po l ct = l páol = ; st cución s otin liminno n ls cucions ls os supficis. P l cono : 9 Lugo olución. Emplno coons cilínics n l olución hmos intg l función = lo lgo l gión limit po l cicunfnci =. Así pus supfici unis 8 6 A. Hll l á l poción l cilino + = 6 situ nto l cilino + = 6. En l figu s pt l octv pt l á pi su pocción so l plno O constitui po un cunt l cículo + = 6. P l cilino + = 6.
22 79 supfici unis : Lugo. Hll l á l poción l sf + + = 6 tio l poloi + + = 6. En l figu s pt l cut pt l á pi su pocción so l plno O constitui po l gión limit po l cicunfnci + = 6 los js l ct =. P l sf supfici 8 6 : unis A Lugo 5. Hll l á l poción l cilino + = 6 situ nto l sf + + = 6. En l figu s pt l cut pt l á pi su pocción so l plno O constitui po l gión limit po los js l páol + 6 = 6. Est últim cución sult limin n ls cucions ls os supficis. P l cilino Lugo supfici unis 6 6
23 6. Encunt l á l gión limit po ls gáfics + 8 = = 8. olución. l igul 7 tnmos A = A on s l gión qu pc n l figu. Vmos qu s l tipo T qu stá limit supiomnt po l gáfic = 8 infiomnt po l gáfic = 8 l iqui po l gáfic = - l ch po = 8. Entoncs: po lo tnto: A 8 8 sto s A A 7. lcul : olución T u v t u v u t - log o u v + = u = + = - u = - - = v = = v = - u u v u Y u v u v - 8
24 T u v t u v u v t log o t u v Á Á Y Tnsfommos: u u v u v u v Y v -u u v v Osvción: P uv pomos clcul P u uv más P v uv lugo un on intcmio inic o convnint. U v v V u v v v v V U V u v v v L mi p coons pols s tvés tnsfomcions. - T I. O jcoino f f g Y Ls coons pols son pticulmnt vntjoss p ominio limitos po cts qu ps po l oign o cicunfncis qu psn po l oign po cicunfncis cnts n l oign o p funcions intgs qu nvulvn l psión +. Y 8. sulv usno coons pols olución - - 8
25 lcul l ms un plc limit po l cicunfncis + = + = suponino qu l nsis c punto s ictmnt popocionl l istnci l punto oign. olución = k. k I +. X + = - + = X + = - + = X + = - = = = com X + = - = = = com k k k k k k M k. lcul l volumn sólio limito po ls supficis: + = 9 = = 5 Lín Intscción
26 En st cso l sólio poct un ciculo no plno O lugo ls coons pols s vn tnsfom n : T El sólio pu iviis n cuto pts iguls. V sulv usno coons finis po: v u T olución Est cmio ptnc vintmnt os tipos stuios. Vmos po tnto plic l toí gnl comn po clcul l jcoino l tnsfomción. v v u v u - t t Aplicno T - hcmos: v v p u u p ln 7.7..ln 6 ln u u u v v u v v
27 8 POBLEMA E ÁEA VOLÚMENE Y OOENAA POLAE. l ominio limito po l lín + = olución Psno coons pols s tin: = = A 8 5 A. El ominio limito po l lín + = + olución Psno coons pols s tin: A l ominio limito po l lín + = Lmnisct Bnoulli olución Psno coons pols s tin = = = - = =
28 85 A A. l ominio limito po l lín + 5 = situ n l pim cunt lo olución Psno coons pols s tin: X = = on 5 + = = = A 6 5. l ominio limito po l lín c 5 9 olución Psno coons pols s tin: = = on c c c A c c
29 86 c c A Po l sf + + = l poloi + = olución Psno coons pols = = = ntoncs + = = = = = más V o u V V
30 87 7. Po l sf + + = l poloi + olución Psno coons cilínics s tin: + = = = = Intsctno ms supficis s tin: = + = + = = = o u V V 8. Po l poloi = + l cono = olución: Z = = lugo O V V V 96 V u V
31 88 IVEGENIA Y OTAIONAL INTEGALE OBLE ONEPTO BÁIO L ivgnci otcionl son concptos plicls cmpos vctoils l tipo ; ; = ; ; ; ; ; ; ; ; Ls psions notcions son: iv = ot = ; ; k j i El pincipio vlii sostin qu si n un sólio s conoc l á tnsvsl un sólio nt os tmos st intgl p otn l volumn. Es posil jo conicions cus funcions cots continus po pts intg un función os vils so un ctángulo = [; ][c; ]. gún l tom uini sto s quivlnt hc un intgl it: c c f f A f ; ; ; un mn más gnl s posil intg un función os vils n culqui gión n qu sté cot nt os vlos numéi nt os funcions gión tipo ; o in n l cul sté nt os vlos numéi nt os funcions gión tipo ; o in n un gión qu s simultánmnt tipo tipo gión tipo. Tnmos sí ls siguints posiilis p intg n un gión : c f A f c f A f Tipo ; ; ; Tipo ; ; ; sino ms posils n un gión tipo n l cul qu hilito l cmio n l on intgción. POBLEMA:
32 89. ivgnci otcionl. un cmpo vctoil ifncil l vcto posición. most qu l ivgnci l cmpo vctoil s igul l poucto intno l otcionl. OLUIÓN : ; ; = ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; = ; ; Tnmos: QE ; ; ; ; ; ; k j i. Pincipio vlii. tmin po l pincipio vlii l volumn un too volución cctio po los ios. OLUIÓN Epso n téminos más psts un too s un goll qu s otin hcino ot un isco io lo un punto situo un istnci l cnto l isco. En l figu pcimos ls vists tnsvsl supio l too. i cotmos tnsvslmnt l too un cit ltu l scción sá un coon cicul los siguints ios mo mno: io mo: io mno: jmos l lumno most sto usno l tom Pitágos l hcho qu l io l isco qu otno gn l too s.
33 El á l coon cicul vná ntoncs po: A mo mno Y ést s l á tnsvsl qu s otin sccionno l too con un plno un ltu. Po l pincipio vlii p otn l volumn l too tnmos qu intg sts ás tnsvsls nt l mínimo l máimo los culs vlos s pu v n l figu qu son - : - + V tl. lcul on s l gión limit po l cuo. OLUIÓN sollno l psión p los cuto cunts sto s mplno los vlos solutos po - o - sgún cospon llgmos qu l gión intgción s l cuo l figu. Po lo tnto pomos ps l intgl l siguint mn: - = - + = - + = = 9
34 9 6. mio n l on intgción. lcul OLUIÓN El intgno no conoc un pimitiv cill fomulción sino qu l mism pss mint sis. P vit sto pomos intnt cmi l on intgción. Poponmos sí: = =
35 POBLEMA E INTEGALE TIPLE INTEGAL E UPEIIE un supfici sféic io intio tngnt ot supfici sféic io. tmin l vlo pomio l istnci l punto tngnci toos los puntos compnios nt ms supficis sféics. UGEENIA: UA OOENAA EÉIA. OLUIÓN Los puntos luios n l nuncio son los l gión n gis l B figu. Pusto qu l unción qu pomimos B sá l istnci l punto tngnci pc como A lógico qu st último s A sitú n l oign l sistm coons qu utilimos. Al us coons O sféics st istnci sá cillmnt. comos po ot pt l concpto vlo pomio un función n un ominio. Pomos pslo como l cocint nt l intgl s función so l ominio o l intgl l función n icho ominio. En nusto cso s tt cupos tiimnsionls po lo tnto ls intgls sán volumétics. Esto s: V f V V fv Nusto polm s uciá ps sts intgls n coons sféics lo cul n téminos pácti implic ncont los límits c un ls vils. l ángulo imutl viá nt nusto ominio c too l smispcio situo po ncim l plno. l ángulo cutoil viá nt ms sfs son cupos volución complt lo l j. Los úni tmos qu ofcn lgun ificult son los l istnci l oign. P tmin coctmnt su vición osvmos qu st últim s pnint l ángulo imutl. En fcto vmos n l figu qu p c vlo los vlos stán compnios n l ngo inico po l 9
36 lín más gus. El vlo mínimo sá l longitu l sgmnto OA l vlo máimo sá l longitu l sgmnto OB. Ams longitus ptimos son funcions. Po qué funcions? P tmin sto osvmos los ios os n los tos qu l sgmnto OA tin longitu l sgmnto OB tin longitu. Po oto lo comos gomtí lmntl qu un ángulo inscipto n un sf sto s l fomo unino un punto culqui l mism con los tmos culqui iámto qu no lo inclu s simp cto. Po lo tnto los ángulos OA A OB B son mos ctos. Entoncs los tiángulos OA A OB B son los os ctángulos pomos plic funcions tigonométics. Tnmos sí: OA = OA = OB = OB = Po n l vición vná po: Epsno ho ls intgls tipls n con sus cosponints tmos tnmos lo siguint on s l función pomi s l jcoino n sféics: Esto un istnci pomio poimmnt 57. En l pim figu st jcicio s h inico n lín puntos l lug gomético los puntos ui st istnci l oign. 9
37 Hll l momnto inci spcto l j un lm smicicul qu tin l fom + = si l nsi s f; = +. OLUIÓN tt un smicicunfnci cnt n l oign qu c l pimo l sguno cunts. L pmtición ntul p st cuv s: L función po oto lo tná os ls: un n l pim cunt on mos vlos son positivos ot n l sguno cunt on s ngtivo s positivo. Esto s: ; Ic f ; ; IIc mplno n s pu otn un psión p l función nsi ps n téminos l pámto : f ; Aho mos clcul l momnto inci l lm scito po l pmtición con un nsi pt po con spcto l j. comos qu l momnto inci s l intgl l ifncil ms po l cuo l istnci l j otción. En nusto cso l istnci l j s p culqui punto l plno pomos ps I como: I m f ; s f ; s f ; ' ' Es fácil compo qu l í cu n st últim intgl p l pmtición nusto polm. Po lo tnto: I on hmos spo l ominio n os intvlos pusto qu l l l función cmi uno oto. Ejcutno l intgl s otin: I = 8 9
38 lcul l cnto gv l supfici c compust po l poción poloi = + qu s ncunt jo l plno = l cosponint poción st plno. co qu ls coons l cnto gv son los vlos pomio so l supfici. OLUIÓN Po l simtí l polm ls componnts l cnto gv son. P l componnt pomos scii: L supfici stá constituí po un poción poloi un poción plno. Llmémosls spctivmnt. P intific los límits ms osvmos qu l intsctls otnmos + = lo cul pocto l plno signific un cicunfnci io cnt n l oign. Pomos tom como nusto ominio l cículo limito po l mism si usmos ls vils ctsins como pámtos. in mgo pc como vintmnt convnint un pmtición ms supficis s n coons pols. ; ; ; ; ; ; ; Tnmos ntoncs: mos ncont l móulo l poucto vctoil funmntl p sts os supficis lugo utililo p ls intgls. Tnmos: upfici : T T i j k i j k T T 95
39 on sto pomos vlu ls intgls so l supfici plicits n l cución : po pts 5 upfici : T T i j k i j k T T on sto pomos vlu ls intgls so l supfici plicits n l cución : mplno ho los sultos n tnmos:
40 POBLEMA E TEOEMA E GEEN ENUNIAO EL TEOEMA un cuv simpl c suv toos oint positivmnt s ; = P;Q un cmpo vctoil cus funcions coons tinn ivs pcils continus so un gión it qu contin l gión cot po. Q P Entoncs: A P Q POBLEMA EUELTO 5. Tnsfomción un intgl lín n un á. Evlu on s l cuv tingul qu un los puntos ; ; ; oint positivmnt. = - OLUIÓN: L gáfic inic l gión nc po l cuv. Tnmos: P ; P Q Q ; Po lo tnto: Q P A 6 6 Nóts qu si huiémos hcho l intgl lín hímos tnio qu hc intgls con ls cosponints pmticions. 6. tminción un á mint un intgl lín. tmin l á l gión limit po l hipocicloi qu tin l cución vctoil t = t i + t j t OLUIÓN: l pmtición l cuv tnmos:
41 = t = t = t = t umno mimo mimo tnmos: A Est cálculo jcuto como intgl á s mu complico. El tom Gn nos pmit tnsfom st intgl n un lín usno como tctoi l hipocicloi l nuncio finino un función popi p l intgción. Vmos: El á un gión vin po A A. Po lo tnto p plic Gn Q P ímos ncont funcions P Q. Un p funcions cills qu cumpln st conición son P = Q =. i comos l pmtición sciimos: = t = - t t t = t = t t t Lugo: A Q P A t t t P Q t t t t t tt 8 t t tt t t t t t t 8 t t t 8 t st mn contmos con un hmint más p otn l á l gión nc po un cuv c qu s sum l métoo n coons pols visto n Análisis II l cálculo po intgl á qu jcutmos cuno tnmos l psión ctsin l cuv. 7. Limitcions n l plicción l Tom Gn. o ;= P;Q = - i + j + lcul su intgl lín so l cículo + = Q P lcul A on s l gión nc po l cuv l punto. c iscuti si stos sultos stán cuo o no con l Tom Gn. OLUIÓN: 98
42 Pmticmos l cículo. t tt t tt t t P t; t t t Q t; t t tt P t tt Q t Intgno tnmos sí: P Q t tt Hcino los cálculos ictmnt n coons ctsins s: Q Q P Q P A P c Apntmnt stos sultos contiín l Tom Gn. in mgo st último no s plicl l gión n custión o qu ls funcions P Q no tinn ivs pcils continus n l punto ; qu stá contnio n l gión. 8. Aplicción l tom Gn un polm físico so un gión con gujos. tmin l momnto inci un nl homogén io intno io tno ms M spcto uno sus iámtos. tt tt OLUIÓN: tminmos l momnto inci spcto l iámto colinl con l j. ísic smos qu: I A on s l nsi supficil l nl supust constnt o qu s homogén. Est gión no s simplmnt con po como s vio n l toí s pu tn l tom Gn st tipo gions con gujos sino: Q P A P Q P Q 99
43 Po lo tnto pomos clcul l intgl ol l momnto inci como os intgls. P llo mos ncont funcions P Q tls qu: ; po jmplo : tommos ; P Q P Q Aplicno Gn con st función tnmos: A I Pmtino sts cuvs tnmos t t t t t t t t t t mplno con sto n tnmos: tt t t t t t t I M t t t t t t t t t 8 Ést s l mn stán ps un momnto inci: como l poucto un longitu o sum longitus l cuo po l ms l ígio. 9. Ejmplo.- Us l tom Gn p clcul l intgl líns c + + on s l cmino so l gáfic = so l gáfic =. olución.- Aplicno l tom Gn c M N
44 on s tin: M N M N =. Ejmplo.- Mints stá jo l cción l fu = - i + + j un ptícul vult l cicunfnci io qu s must n l figu us l tom Gn p hll l tjo lio po. olución W = = psno coons pols = W 8 = 8.
45 POBLEMA E TEOEMA E TOKE ENUNIAO EL TEOEMA E TOKE un supfici oint suv toos cot po un cuv suv toos c simpl cu ointción s positiv. un cmpo vctoil cus componnts tinn ivs pcils continus so un gión it n qu contin. Entoncs: ot POBLEMA EUELTO Vificción l Tom toks. Vific l tom toks p l cmpo vctoil ;; = i + j - 6k l pt l supfici poloil = uic so l plno oint hci i. OLUIÓN álculo como intgl lín: L cuv s n st cso un cicunfnci io cnt n l oign so l plno. Pomos pmtil como: 9 on st pmtición tnmos: = 9 i + j 8 k = i + j + k = álculo como intgl supfici: Pimo vlumos l otcionl.
46 i j k ot i 6j k 6 Aho pmtimos l supfici l poloi. P so osvmos qu su pocción so l plno s un cículo io con cnto n l oign. Pc lógico us un pmtición s n coons cilínics: ; 9 El poucto vctoil funmntl sá: i j k i j k Vmos qu l componnt st vcto s positiv. Po lo tnto l pmtición sci un supfici con ointción positiv. Usno ntoncs st pmtición tnmos: ot 7 ot 8 Llgmos l mismo vlo qu cuno lo hicimos como intgl lín vificno s mn l tom toks. Tnsfomción un intgl supfici n ot más cill usno l Tom toks. Utilic l tom toks p vlu l intgl l otcionl l cmpo vctoil ; ; = i + j + k so l ominio consistnt n l unión l pt supio ls cuto cs ltls po no l fono l cuo con vétics ; ; ointo hci fu. OLUIÓN L gomtí scit n l nuncio stá pt n l figu. qui clcul l flujo ot tvés tos ls cs l cuo mnos l jo. Osvmos qu s gión intgción stá limit po l cuv oint inic n l figu; llmémosl. L ointción s O
47 cospon con nomls con l componnt mo o igul qu qu s lo ncsio p qu ls nomls puntn hci l tio l cuo. El tom toks nos sgu qu: lo cul n sí no implic un simplificción msio significtiv o qu n lug tn qu pmti cinco supficis p vlu l intgl flujo mos pmti cuto sgmntos ct p clcul l intgl lín. in mgo notmos qu l cuv tmién limit l supfici l s l cuo l cul llmmos. Pusto qu l tom toks nos sgu qu l intgl l cmpo vctoil so un cuv c s igul l flujo su otcionl so culqui supfici limit po ll tnmos qu: ' con lo cul pomos intg l oto ictmnt so l supfici l s. Pmtino st últim tnmos pus: T; = ; ; ; ; ; = ; ; su poucto vctoil funmntl s: N T T i j k k Notmos qu st noml punt hci i qu s pcismnt l tio n qu punt cuo l gl l mno ch. Po oto lo l otcionl l cmpo scl vin o po: i j k i j k mp. po lpm. i j k Po lo tnto l intgl qu uscmos sá: N i j k k ' ' ' En st polm vmos qu l tom toks pmit no sólo tnsfom un intgl supfici n un lín sino tmién convtil n ot intgl supfici cálculo más cillo. L slcción un u ot sts opcions pná l polm pticul.
48 Aplicción l concpto ciculción un cmpo. lcul l ciculción l cmpo vlocis un fluio ;; = tn - ; ; tn lo lgo l intscción l sf + + = con l cilino + = con >. OLUIÓN: L ciculción un cmpo s su intgl lo lgo un lín c. comos qu l ón nt l ciculción l cmpo vlocis l á l supfici nc po l cuv tin un cito vlo mi qu l io l cuv tin ; si st vlo s nulo ntoncs l fluio s iotcionl un molinillo uico n s punto límit no otá. Pim fci vmos qu l cmpo vctoil tin un l stnt complj po lo qu s pu nticip qu l cálculo l ciculción como intgl lín pu sult s ngooso. Po lo tnto vl l pn clcul l otcionl v si sult un función mtmáticmnt más ttl. i j k ot i j k tg tg En fcto s simplificn nommnt los cálculos l sult l otcionl un función vctoil constnt. Po l tom toks pomos clcul l intgl lín so l cuv como l flujo l oto tvés l supfici gis. Pmtino st últim: ; Y hllno l poucto vctoil funmntl: i j k i j k Vmos qu st noml tin componnt positiv cosponino un supfici positivmnt oint. con sto pomos clcul ho: ot ot 5
49 Guí Pctics UNIONE VETOIALE. Hll l ominio ls siguints funcions vctoils. Ln t Ln t t ; Ln t t t G t t Ln t t. tmin scii gáficmnt l ngo o t c un ls siguints funcions: t t t t t Gt t t c f t tgt sc t g t 8t 6 t 6t 8 t H t t t f g t t t t t t g g t t t t t t 5 5. Evlu los siguints límits c t t t t lim t t t t t t t t t t 8 7 lim t t t t Ln t t t t lim t n t t t.pt: 6 t t t t t t t t t lim t t t t lim t t t t. pt: f 5 t t t Ln t Ln 5 lim t t t t t 9 7 6
50 g t t t lim t t 5 t. pt: t tn 5 t t t h lim t t t t 7t. Anli l continui ls siguints funcions ct t t t t t t t t pt: no s continu n t=. t Gt t t t t c t 5t 5 t 5 tsc 5 t - 5 t 5 Ht t 5 5 t 5 t 5 pt.- H s continu n t = Anli l continui l función n t = t t t t t t t pt.- L función s continu n t = 6. Anli l continui n su ominio t t t t t t 5t Gt t 5 pt.- L función s continu n too su ominio. 7. Hll l pim sgun ivs ls siguints funcions tminno su ominio: t t t t t t c t t t t t Lnt 7 t 5sc t 6 tg t f 8. lcul l longitu co ls siguints cuvs: t t t t t t t Ln t t t t t t : g t t t t [ ]. pt: L - : g t t t t t t on t c Un ptícul s muv n l plno XY sgún l cución t t. Hll l longitu l tctoi s t hst t t t 7
51 ETA Y PLANO UNAMENTALE UVATUA Y TOIÓN. l cuv scit po f t t t t.hll l cución l ct tngnt n t. pt: ct Tngnt L t t T. Hll los ts vctos plnos funmntls l cuv scit po f t t t t n t.. i s l cuv scit po l función los vctos Tt Nt Bt n l punto P.. Hll un punto l cuv scit po l función g t t t t hll 5 5 l cución los ts plnos funmntls G t t t t on l plno noml s pllo l plno P : Hll l cución los ts plnos funmntls l cuv scit po l función t t t t n l punto P 6.- l cuv scit po t t t t t []. Hll un punto l cuv on l ct tngnt s pll l plno 7.- Un ptícul s muv n l spcio ptino n l instnt t = s l punto - P. En c instnt t l vloci l ptícul s v t t t. En qu instnt l vcto vloci s pllo l vcto posición l ptícul? u l ptícul l plno n lgún instnt? 8. i s l cuv scit po l función t t t g t t t t hll los vctos T N B l cución l plno osculo l cuvtu l tosión n t =. 9. Hll los plnos: Noml ctificnt osculo cuvtu tosión l cuv : t t t t n t t. o : h t t t t clcul l uvtu Tosión n l punto on l plno noml s pllo l plno.. Hll l cución los plnos funmntls l cuvtu tosión l cuv f t t t t n l punto cuno t.. Hll l Tosión l cuv qu sult l intscción ls supficis 6 ; n l punto P..- Un cuv scit po l función vctoil g t t t t s cot con l plno XZ. tmin l plno osculo n l punto cot. 8
52 .- ls cucions ls supficis Hll l cución l plno noml l cuv E intscción ls supficis n l punto. Encunt l cuvtu l cuv E n l punto UNIONE E VAIA VAIABLE: EIVAA VALOE EXTEMO APLIAIONE. Hll l ominio ls siguints funcions osquj su gáfic: 7 9 c c f g. lcul los siguints límits si istn 5 Ln c lim 8 c lim ctn 6. Anli l istnci los siguints límits: lim c lim lim lim lim lim. tmin si ls siguints funcions son continus n l oign H G pt: ontinu n c 8 6 f. pt: No s continu n 9
53 T 5. ls siguints funcions 8 G + ctg - ctg H G G H ; Hll H po finición iv. 6.- l función si g si = tmin ls ivs pcils pim on Hll g; g si istn 7. P un ficnt cáms plículs l to totl pouci cáms ollos plícul stá o po 5 9. Ls funcions mn p ls cáms los ollos stán os po 9 s s on s s l pcio po cám po ollo plícul. Encont l ts cmio l to totl con spcto l pcio totl l cám cuno s 5. 8 Hll l cución l plno tngnt l supfici 9. pt: +-+6= 9. tmin l cución l plno tngnt l supfici 9 n l punto P f 6 n l punto. tmin l cución l plno tngnt l supfici Q. n l punto pt:. Hll l cución l plno tngnt l supfici 5 si st plno ps po los puntos P P s otogonl l plno.. En qué puntos l supfici pllos l plno XZ. pt: Los puntos son -- 6 son los plnos tngnts.
54 .- l cución un supfici. tmin l cución l plno tngnt n l punto - l ct tngnt qu ps po - s ppnicul l plno tngnt. Encont l cución l plno tngnt l supfici qu s pllo l plno qu ps po los puntos 9 P - P - s ppnicul l plno. 5. Hll l cución l plno tngnt l supfici : 7 66 qu s otogonl l ct tngnt l cuv intscción ls supficis : : n l punto P Hll l cución l plno tngnt l supfici n l punto P. pt: P : T. 7. u ; u hll los vlos ls constnts tl qu 8. i Ln hll 9. i s s t vific qu = vific qu. o qu u f t s u u u u on s s t t. Encont l gint ls siguints funcions: st son vils inpnints. c H + + G T Ln. Hll l iv iccionl l función. i. i punto P n l icción l vcto v i j k. pt: f 755 u H. lcul H tmin l vlo T T 5. lcul l iv iccionl l función f n l H + + n l punto P n l icción un vcto otogonl l supfici : n l punto P 6.
55 6. Hll l iv iccionl l función f n l punto P- n l icción l vcto c on. pt: f : fini n tin ls ivs iccionls: n l icción l punto ; n l icción l punto. tmin f 8.- Un función u stá fini po un cución l fom u f o qu u stisfc un cución n ivs pcils l fom tmin g u u g u 9.- i f u g v on u= + v = ms funcions f g son funcions itis most. u f ' u g v f ' spcto u.- L cución f s función g most qu g g g n.- i f on f qu n u s l iv f fin implícitmnt como un función s s un función iti most.-. Hll los vlos tmos ls siguints funcions: f pt: Máimo n - f-= Mínimo n 5 f5=- puntos sill n 5-. c f f 6 pt: Máimo n - f-=77 g f pt: Mínimo n f=. Punto sill n ½ ¼ f h g h i j k f 8 f h h h 6 5
56 .- l función g tmin: Los punto intios l tingulo vétics. El máimo mínimo n l tingulo. Hll los vlos tmos ls funcions n c uno los csos. h 5 con sticción p q f p q con l sticción c h sujto l sticción 9 f sujto h sujto l sticción 5.- Hll l istnci más cot l punto P - l sf tmin l punto l plno qu stá más cc l oign 7.- Encont l istnci mínim l punto P - l plno p P qué vlo 8.- i n qu tin mínimo ltivo n P? 9.- tmin l poucto máimo ts númos no ngtivos cu sum s 6..- must qu l sólio ctngul con volumn á mínim s l cuo s cito lo..- El poucto os númos positivos s 8. El pim númo s sum l cuo l sguno qué tn pquñ pu s st sum?.- Un gnjo s cc un poto ctngul lo lgo l oill un io. El á l poto s m no ncsit cc lo lgo l oill l io. Hll ls imnsions l poto qu igiá l mno cnti cco..- Tnmos un cj ctngul contni ctmnt nto l lipsoi 8 con c ist pll uno los js coons. Encont su máimo volumn..- L tmptu n gos cntígos n culqui punto l gión limit po ls cts ; stá po máim mínim tmptu n l gión. T tmin l 5. qui fic cjs ctnguls m volumn. i l mtil uso n los los cust ól l m l mtil uso n l fono l pt supio cust óls óls l m spctivmnt. uáls n s ls imnsions l cj más conómic?. pt: Lgo = ncho = ltu= 6. Un ficnt tmin qu l númo osciloscopios qu pu vn po smn s V 9 8 sus gstos smnls n mils óls po pulici
57 n piói tlvisión spctivmnt. L utili s $ 65 po vnt mnos l to pulici moo qu su utili stá o po 65 9 G 8. Encunt los vlos p los culs l utili s máimo hll l vlo máimo. 7. Un ficnt s constui un cj ctngul con tp 6 cm volumn. Hll ls imnsions l cj p minimi l to si l fono l tp custn l ol qu los los po 8. P l función poucción po cm. P on cntis tjo cpitl spctivmnt P s l cnti pouci. tmin los vlo qu mimin P. 9.- tmin ls imnsions l pllpípo volumn máimo qu tin 6 son ls s n los plnos coonos tin un vétic so l plno. 5. Un pntágono s fom con un ctángulo un tiángulo Isóscls. i l pntágono tin un pímto o P. Hll ls imnsions p qu l á s máim v figu L h 5. Un mps pouc os tipos co A B p los culs los tos pomio poucción son spctivmnt constnts $ $ po s ts mtos. Ls cntis n s A B qu pun vns c smn stán s po ls funcions mn conjunt t s 9 s t on s t son los pcios vnt n óls po A B spctivmnt. tmin los pcios vnt qu mimin ls utilis l mps si utili po s utili po s P A vnis A B vnis B mpl los tos. 5. L scción tnsvsl un t s un tpcio isóscls. i l t s constu olno los los un fnj mtl 8 pulgs ncho. Hll ls imnsions p qu l á l scción tnsvsl s máimo. Elgi h T como vils inpnints. T T l h
58 con plno 6 tmin un 5.- L intscción l poloi cuv n l pim octnt. Encont los puntos más ccnos los más ljnos.. lcul ls siguints intgls ols: Q INTEGALE OBLE Y U APLIAIONE Q pt: 6 Q c Q Q Q pt: Q pt: 8 Q pt: -. f un función fini n un ctángulo Q pt l conjunto coons f so Q clcul l intgl. si f n los más puntos Q f si n los más puntos Q. Intcmi l on intgción ls siguints intgls. f 9 f c f. lcul ls siguints intgls ols c A s l gión tingul limit po s l gión limit po s l gión cot po ls cuvs stá cot po f.. 5
59 5.- Evlu l intgl K on s l gión limit po l lips 6. Eps n un sol intgl it l sum ls intgls. f f f f 7. lcul ls siguints intgls cmino l on intgción. c c f 8. lcul si l gión stá limit po l cicunfnci pt: 9. tmin l vlo l intgl tom lo lgo l gión tingul nc po los js coonos l ct Ln. Hll A on s l gión pln cot po ls cuvs pt: 695. lcul so l gión limit po pim cunt.. lcul los js coonos. n l on s l tiángulo tmino po l ct.. lcul l intgl on s l cut pt situ n l pim cunt l nillo cicul limito po los cículos. lcul on s l tpcio vétics A 5. B. 6
60 5. lcul 9 on s l gión nul nt ls 6. lcul cicunfncis on s l gión pln limit po 6. pt: 8 7. lcul l intgl 8. lcul cuiláto vétics 6 on s l gión limit po l A B. on 9. Po mio l intgl ol ncont l á l gión cot po ls cuvs s: c. lcul l á l l gión ucl cot po l gáfic l cuv. lcul l á l gión pln cot po;. pt: u. Hll l á l gión pln limit po ls cuvs; pt: 8 u. Hll l á l gión cot po gáfic ls cuvs.- tmin l á l gión cot po l cuv lcul l á l gión n l cunt positivo l plno XY cot po ls cuvs: Encont l á l gión limit po ls cuvs: = 7.- tmin l á l gión pln limit supiomnt po infiomnt po 8. Hll l volumn l tto coto po los plnos = 9. Usno intgl ol tmin l volumn l sólio limito po ls cts = n l plno XY sus ists son plls l j Z l tp 7
61 s l plno.- Aplic l intgl ol p tmin l volumn l tto limito po los plnos coonos l plno 6 qu tin como s l gión tingul l plno XY limit po los js X Y l ct 6.- Usno intgl ol clcul l volumn l cupo limito po ls supficis.- Un lámin limit po ls cuvs. u nsi n c punto l lámin s. Hll l ms totl l lámin..- Un lámin tin l fom l gión. : 9 nsi n c punto l lámin s ms l lámin. su tmin l cnto INTEGALE TIPLE Y U APLIAIONE. lcul ls siguints intgls po los métoos ms cuos pt: 7-6 c 9 9 pt: 9 pt: 6 pt: 8 5 f 9 g h i 9 8. i s l gión limit po ; 8
62 clcul.. l gión limit po ls supficis clcul.. lcul on s l sólio limito po ls supficis clcul Q Q. 6. lcul on Q s l tto limito po los plnos VOLUMEN E ÓLIO MEIANTE INTEGALE TIPLE. Hll l volumn l sólio limito po l cono sino. pt: 5 u l sf. lcul l volumn l sólio compnio nt l plno XY ls supficis cilínics on.. lcul l volumn l sólio compnio los polois tmin l volumn l sólio limito po l cilino ls supficis 6 5. Hll l volumn l sólio limit po ls supficis 6. Hll l volumn tmino po ls supficis. 7. Usno coons cilínics hll l volumn l sólio ncim l plno XY cot po l sf l cono 8. Usno coons sféics clcul l volumn nco po l sf 9
63 9. Hll l volumn l sólio nt ls supficis 9. Encont l volumn l sólio limito po l supfici 6 pt: 6 u. lcul l volumn l sólio limito po l cono coto po l plno..- tmin l volumn l sólio coto po:.- Hll l volumn l sólio limito po.- tmin l volumn l sólio coto po: lcul ls intgls lín: INTEGALE E LÍNEA Y U APLIAIONE lo lgo l cuv : s l punto P hst P. sino l co l páol un los puntos P P. s on s l pim spi l lín hlicoil c. lcul cicloi cónic t t t t t. on s l font l cículo qu n s [ ] cuno s l co l t t t. Hll l intgl lín t 6 on s l sgmnto ct qu v l punto l punto lugo l punto l punto. pt:. lcul s on t t t t 5. lcul so l cicunfnci 6. Evlu n tio ntihoio. s un hélic t : coio s on λ s l font 5 7. lcul l intgl lín l cmpo vctoil
64 i j k punto P hst l punto P 8. lcul Ln Ln si 9. lcul. on: s l cuv intscción ls supficis lo lgo l sgmnto l ct l t t +t t L cuv s coi n l tio hoio mio s l oign s l intscción ls supficis tio nti hoio visto s ncim l plno XY.. lcul ls siguints intgls lín sgún l cso:. coi n l s on s l co l cuv P P. n l tio hoio lo lgo l cuto l lips n l pim cunt. on s l co l cuv t t c qu un los puntos P t t Q.. lcul l intgl lín l cmpo vctoil lo lgo l cmino inico. lo lgo t t t t t s P Q lo lgo l sgmnt ct.. lcul on s l font l pntágono vétics P P P P P. lo lgo l. lcul l intgl lín sgmnto qu un los puntos P P lcul l intgl lín sgmnto qu un los puntos - 5. lcul pmétics lo lgo l P P - 5. sino l lips cucions t ; t t on s l pt l ct 6. lcul s Qu s ncunt n l pim cunt. 7. lcul l intgl lín I s on s l cuv qu v l
65 punto P l punto Q hí co l smi-cicunfnci infio cnto io como s osv n l figu. Y - X 8. lcul on s l font l gión l pim cunt qu st limit po los gáfi 9. Hll [ ] lo lgo l cuv scit po l intscción los plnos l punto l punto 7 pt: - 8. lcul [ ] on s: L lips L cicunfnci.. lcul [ co ] lo :. lcul si :. lcul si s l contono l tiángulo vétics A B coio n tio ntihoio..- Hll l tjo lio po l fu APLIAIONE E LA INTEGAL E LÍNEA spl un ptícul n l plno XY lo lgo l cuv pt:.- Un ptícul s muv lo lgo l cuv l 9 l n tio ntihoio. : s l punto P P si l moviminto s l fu Hll l tjo totl lio. i j..- Un fu n l spcio vin po. lcul l tjo lio po l mov un ptícul coino un v l contono l tiángulo vétics P.- lcul l á l gión limit po Mint intgl lín. Mint intgls ols. 5.- Un ptícul s muv lo lgo un ct n io l fu P P -. ; qu un los puntos A Bc i j
66 Hll l tjo lio must qu no ví si s tom un tctoi ifnt qu un A B sin ps po l oign. 6.- Un ptícul un vult lo l cículo unitio contio l ls mncills l loj mints stá sujt l fu i ctntn j fu tmin l tjo lio po l APLIANO EL TEOEMA E GEEN EOLVE.- Vific l tom Gn vlu. c s l cuv c po ls gáfics A B. : cuv c po l gáfic nt los puntos A B.. lcul l intgl cuvilín lo lgo l ctángulo vétics P P P P. on l cuv s l contono l tiángulo. Hll con vétics n los puntos; n tio ntihoio. pt: lcul l intgl cuvilín lo lgo l ctángulo vétics P P P P. 5. lcul l intgl cuvilín 5 7 lo lgo l smicículo supio cnto l oign io. 6. Evlu l intgl on λ s l co l cicunfnci 7.- lcul l intgl + = compnio n los os pimos cunts. on s l cicunfnci [ ] coi n l tio contio l ls gujs l loj 8.- lcul l intgl [ ] : t tsin t t [ ] 9.- Evlu l intgl ctángulo.- Evlu l intgl Ln on s l 9 on s l font l gión sminul supio compnio nt ls cicunfncis 9
67 .- Evlu l intgl s l cículo on 6 AEA E UPEIIE INTEGALE E UPEIIE APLIAIONE E LO TEOEMA E TOKE Y E GAU. Encont l á l poción l poloi jo l plno.. Hll l á l supfici limit po los cilinos. Hll l á l supfici l sf octnt positivo. qu s ncunt n l pim. lcul l á l poción l supfici cónic situ nt los os plnos. 5.- tmin l á l pt l sf intio l cilino 6. Evlu suponino qu s l pt l cono cicul s ncunt nt los plnos 7. Evlu. qu on s l pt l plno 6 on s l pt l cilino 9 8. Evlu. nt 9. Evlu. on i j k s l pt l gión G cot po l cilino pólico.. l pt l gáfic 9 tl qu los plnos s i j k.lcul l flujo tvés.. tmin l flujo l cmpo vctoil i j k tvés l sf : 9. tmin l flujo l cmpo vctoil i j k tvés l lipsoi c. lcul l flujo l cmpo vctoil i j 5 k tvés : 6 con sus nomls puntno hci su tio..- l función vctoil i j k K s l poción l sf
68 6 qu s ncunt nto l cilino i l plno XY hll l ciculción so l ciclo l flujo tvés l supfici K. 5. Aplic l tom toks p clcul l flujo l cmpo vctoil i j k tvés l hmisfio 6. Vific l tom toks p l cmpo vctoil i j k l supfici : :. 7. l tiángulo ointo situo n l plno 6. Evlu. on i j k Aplic l tom toks 8. ompo l tom toks p i j k on s l supfici l poloi s l t. 9. l pt l poloi 9 p s s l t n l plno XY.Vific l tom toks p l cmpo vctoil i j k.. Un líquio stá molino n un pósito cicul io fom qu su moviminto vin scito po l cmpo vlocis.. Hll ot. N i j supfici supio l pósito cilínico.. Usno l tom Guss ivgnci clcul on sino l :.. Q l gión sóli limit po l sf. Hll l flujo tio l tio l cmpo vctoil l sf s ci clcul i j k tvés. N.- l función vctoil i j k K l supfici l sf con cnto io tmin l flujo hci fu K plicno tom l ivgnci..- Aplicno l tom l ivgnci clcul tvés l supfici K. s ci l flujo i j k K s l supfici l sólio compnio nt los cilinos nt los plnos 5
69 i 9 j k K s l supfici l cuo con vétics. 5.- Usno l tom toks tmin l ciculción l cmpo vctoil i j k l supfici po l contono qu s l intscción con l plno = Utilino l tom Guss. lcul l flujo l cmpo vctoil i j k limito po tvés l supfici tio l sólio. EJEIIO AIIONALE E MÁXIMO Y MÍNIMO f. Un pllpípo ctngul tin ts sus cs n los plnos coonos un vétic so l cuv intscción ls supficis: 5 8 M u v 8u u v5v u v T 8 7. En l plno : - = hll l punto tl qu l sum los cuos ls istncis qu min nt icho punto los puntos : 6
70 : 8 PEGUNTA TOMAO EN ALGUNO EXÁMENE.- lcul l vlo : on s l gión limit po: 9 ls cts: n l pim cunt..- lcul l á A: A: Acot po: si ; : si - -. lcul: on s l co l cuv: 9 5. lcul l intgl on s un spi l hélic cicul t t t cosponint l vición l pámto t s hst 5.- Hll l vlo : 7
71 6.- Hll l vlo : 7. lcul: 5 p q p q on 8.- lcul: s un co itio A - B lcul: t on l cuv s scit po: f t t t t son los ángulos los coos ictos l vcto tngnt unitio..- Hll l á limit po ls cuvs: s on n l pim cunt..- L intgl ; s tom tvés l volumn nco po l supfici: tomno l tnsfomción c T: u v c w convitiénos st intgl n ot tom tvés l sf uniti : Usno coons sféics pols clcul l vlo st intgl. 8
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