Práctica 5. Aproximar numéricamente la derivada de una función a partir de valores conocidos de la función. f a h f a h

Transcripción

1 PRÁCTICA DERIVACIÓN NUMÉRICA Prácticas Matlab Objetivos Práctica 5 Aproximar uméricamete la derivada de ua fució a partir de valores coocidos de la fució. Comados de Matlab eps Es el epsilo máquia, su valor es ^( 5), redodeado.e-6 Ejemplos resueltos Diferecia progresiva: a f a f a Aplicació: Vamos a elegir ua sucesió de putos de forma que 0 y aalizar qué ocurre co D f a f a f x Tomar x e, a y utilizamos 0 para desde asta 8. Geerar ua tabla que muestre los valores de y los valores de observa si es muy pequeño? D. Qué se Solució: Si los valores de fa y fa so muy próximos el valor que devuelve como aproximació es cero. Órdees Matlab =:8; =0.^(-); a=; x=a+; valorf=exp(x);

2 PÁGINA MATLAB: DERIVACIÓN NUMÉRICA umerador=valorf-exp(a); D=umerador./; format log disp([' Icremeto Numerador Aproximació']) disp([' umerador' D']) (a) La uidad de destello (flas) de ua cámara opera por el almaceamieto de carga e u capacitor y su liberació repetia al disparar la uidad. Los datos de la tabla describe la carga Q que queda e el capacitor (medida e microcoulombios) e el tiempo t (medido e segudos). Use los datos para dibujar la gráfica de esta fució y estime la pediete de la recta tagete e el puto dode t=0.04 T Q x (b) U modelo expoecial para la carga es Q e. La derivada Q (t) represeta la corriete eléctrica que fluye del capacitor acia el bulbo de la lámpara del destello. Calcula la corriete cuado t=0.04 seg. c) Comparar el resultado co el obteido e el apartado (a) y rellea la tabla para ver cuál es el porcetaje de error e cada caso: Valor aproximado valor aproximado Q'0.4 Q' Dif. Progresiva Dif. Regresiva Dif. Cetral Co qué diferecia se cosigue ua aproximació mejor? Solució:

3 MATLAB: PRÁCTICA 5 PÁGINA 3 a) Código Matlab t=[ ]; q=[ ]; plot(t,q) %Posició de istate a estudiar e el vector t um=3; um=um+; um=um-; %Diferecia progresiva disp('diferecia progresiva') difprogresiva=(q(um)-q(um))/(t(um)-t(um)) disp('diferecia regresiva') difregresiva=(q(um)-q(um))/(t(um)-t(um)) disp('diferecia cetral') difcetral=(q(um)-q(um))/(t(um)-t(um)) b) Código Matlab %Calculo de Q'(t) syms x derivada=subs(diff(exp( *x)),t(um)) Nota: Ajuste de datos %Ajuste a ua fució expoecial coeficietes=polyfit(t,log(q),) %coeficietes es u vector co los coeficietes de la recta %Si coeficietes=(m ) etoces la recta es log(q)=m*t+ ye=exp(coeficietes()*t+coeficietes()); plot(t,ye,'g') c) Código Matlab %Comparació diferecias=[difprogresiva difregresiva difcetral]; porcetaje=abs((diferecias-derivada)/derivada)*00; disp(' ') disp('comparació') titulos=['progresiva Regresiva Cetral'] disp([ diferecias ; porcetaje]) Ejercicios propuestos Para u circuito co voltaje E(t) e iductacia L, la primera ley de Kircoff expresa la relació di E L RI dt dode R es la resistecia del circuito, L la iductacia e I la itesidad de corriete. E u circuito e el cual R 0.4 y L 0.98H se a medido la

4 PÁGINA 4 MATLAB: DERIVACIÓN NUMÉRICA itesidad cada 0.0 segudos e el miuto.00 y el.0, obteiédose los valores t I Determiar uméricamete el valor aproximado de E(t). APÉNDICE Diferecia progresiva: a f a f a Para acotar el error que se comete e esta aproximació ay que teer e cueta la fórmula de Taylor de grado, Luego ' f a f a f a R Como R O a f a f a R, etoces el error de trucamieto f a f a Error f ' a O Ua cota del error podría obteerse cosiderado que f t co ta, a R!

5 MATLAB: PRÁCTICA 5 PÁGINA 5 Si M es ua cota de f t e aa, etoces ua cota del error es: Error R M! Diferecia regresiva: a f a f a Para acotar el error que se comete e esta aproximació ay que teer e cueta la fórmula de Taylor de grado, Luego ' f a f a f a R a Teiedo e cueta que R O f a f a R se tiee que f a f a f ' a O y, e cosecuecia, el error de trucamieto f a f a Error f ' a O Ua cota del error podría obteerse cosiderado que Si M es ua cota de f t e a, a f t! co ta, a R etoces ua cota del error es: Error R M! Diferecia cetral: a f a f a Para acotar el error que se comete e esta aproximació ay que teer e cueta la fórmula de Taylor de grado, y las expresioes a ' a f a fa O!! 3

6 PÁGINA 6 MATLAB: DERIVACIÓN NUMÉRICA Restado a ' a f a fa O!! 3 3 ' f a f a f a O es decir, a Luego, el error de trucamieto 3 O f a f a f a f a Error f ' a O