Elementos de Cálculo en Varias Variables

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1 Elementos de Cálculo en Varias Variables Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 5 de octubre de 009 Índice Introducción Derivada parcial El Jacobiano de una Función 5 Derivadas Superiores 5 5 Derivada Total 6 6 Derivada Direccional 6 7 El Gradiente de una Función 6 8 El Hessiano 7 9 Derivación de Funciones Compuestas 8 0El Teorema de Taylor: Requisitos 9 Introducción En esta lectura se dará una revisión rápida a algunos conceptos importantes en cálculo en varias variables que se requieren para el trabajo de optimización Dos sobre todo de mucha importancia: el concepto del Jacobiano de una función real y el de la matriz Hessiana de una función real El Jacobiano es la generalización del concepto de primera derivada ya visto en cálculo pero en una variable, mientras que el de matriz Hessiana corresponde a la generalización de la segunda derivada parcial también en una variable Al final de este resumen de conceptos viene un resultado teórico sobre el desarrollo de Taylor de una función en varias variables Derivada parcial La definición tradicional o formal de derivada y de derivada parcial se hace en base a límites; está definición es sólo como marco de referencia pues es poco operativa y no se puede llevar a cabo salvo en ejemplos muy simples Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n, y sea a =< a, a,,a n > un punto en el interior de D Suponga que se elije una de las variables x i ( i n) si existe el límite f(a + he i ) f(a) lím entonces se dice que f tiene derivada parcial respecto a x i en el punto a Ésta se representa por (a) El siguiente ejemplo sólo pretende ilustrar el uso de la definición en el cálculo de derivadas parciales

2 Sea la función f : R R definida por la fórmula f(< x, y, z >) =< x y, x + y z > y sea P =<,, > De acuerdo a la definición, determine (P) x Solución Como f(p) = f(<,, >) =<, >: y (P) z (P) f(< + h,, >) f(<,, >) x < ( + h), ( + h) + ( ) > <, > < h, h + h > <, + h > h 0 = < lím, lím + h > 0 = <, + 0 >=<, > En forma análoga, Nota (P) f(<,, + h >) f(<,, >) z <, + ( + h) > <, > < 0, h > < 0, > h 0 = < lím 0, lím > 0 = < 0, > La regla importante sobre límites en el caso de vectores dice que el límite de un vector es el vector con el límite de cada componentee: lím x =< lím x,, lím x n > () h h o h h o h h o Ejercicio Sea la función f : R R definida por la fórmula f(< x, y, z >) =< x z, x y, y + z > y sea P =<,, > De acuerdo a la definición, determine (P) x y (P) z Nota En lo siguiente, ya no utilizaremos la definición de derivada parcial sino que utilizaremos las siguientes reglas básicas de derivación parcial: La derivada parcial de un vector es el vector formado por las derivadas parciales de las componentes La derivada parcial de una expresión se calcula como una derivada tradicional de una función respecto a una variable considerando las variables restantes como constantes

3 Para calcular una derivada parcial en un punto, se obtiene la derivada parcial en cualquier punto y posteriormente se evalua en el punto dado Si f : R R y f((x, x, x ) ) = x x + x x Determine (x) para i =,, Solución Tenemos: (x) = ( x x x + x x ) = ( x x x ) + ( x x x ) = x (x) x = x ( x x + x x ) = x x + x (x) x = x ( x x + x x ) = x x Si f : R R y Determine las fórmulas de (x) Solución Tenemos: f(< x, x, x >) =< x x, x + x > para i =,, en cualquier punto (x) = < x x, x + x >=< (x x ), (x + x ) >=< x, 0 > (x) x = x < x x, x + x >=< x (x x ), x (x + x ) >=< x, > (x) x = x < x x, x + x >=< x (x x ), x (x + x ) >=< 0, x > Ejercicio Sea la función f : R R definida por la fórmula f(< x, y >) =< e x y cos(x + y ), log(x sen(πy)) > y sea P =<, > Determine las fórmulas para las derivadas parciales de f en cualquier punto y posteriormente calcule (P) x y (P) y Considere la función f : R R definida por Grafique las derivadas parciales de f en (, ) Ejercicio f(x, y) = ( ( 0x + 09y (07x + 08y) ) ) ( + (07x + 08y) + ( 0x + 09y ) ) Sea la función f : R R definida por la fórmula f(< x, y >) =< e x y cos(x + y ), log(x sen(πy)) > y sea P =<, > Grafique la función para 5 x 5 y 05 y 5 y posteriormente grafique las líneas en el espacio que corresponden a las rectas tangente referentes a las derivadas parciales en el punto Como sugerencia utilice Maple y los archivos de apoyo del curso

4 y x Figura : Gráfica de f(x, y) x y -0 Figura : Parcial de f(x, y) respecto a x y -05 x Figura : Parcial de f(x, y) respecto a y

5 El Jacobiano de una Función La generalización de la derivada de una variable a varias variables es la del Jacobiano: Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n, sea x un punto en el interior de D, y además suponga que f =< f, f,,f m > El jacobiano de f en x es la matriz J f (x) = (x) (x) m(x) (x) x (x) (x) x n (x) x n x m(x) x m(x) x n En la columna i de J f (x) aparece (x) 5 Si f : R R y f(< x, x, x >) =< x x, x + x > Determine J f (x) Solución Por los cálculos realizados en un ejemplo anterior, tenemos: [ x x J f (x) = 0 0 x Ejercicio Si f : R R y Determine el Jacobiano de f Derivadas Superiores f(< x, x, x >) =< x cos(x ), e x +x > Las derivadas parciales de orden superior así como derivadas cruzadas se definen similarmente al caso de funciones en una variable También la notación es similar: f(a) ó f xi x i (a), f(a) x j ] ó f xi x j (a) 6 Si f : R R y Determine f(x) y f x x x (x) Solución Directamente de la definición de f(x) x f(< x, x, x >) =< x x, x + x > = f(x) = x x = < x (x x ), x < x x, x + x > (x + x ) >=< x, 0 > 5

6 f(x) x x = x x f(x) = x x < x x, x + x > = < x x (x x ), x x (x + x ) >= = < x, 0 > 5 Derivada Total Sea f(x) una función real definida sobre D R n, donde x = (x, x,,x n ) Suponga que las variables x, x,,x n son funciones de t: x i = x i (t) Entonces, f es también una función de t La derivada ordinaria de f en este caso se llama la derivada total de f Esta derivada se puede calcular por la fórmula: df n dt = i= (x) dx i dt 7 Si f : R R y y x = x (t) = t cos(t) y x = x (t) = cos(t) + sin(t) Determine df dt f(< x, x >) = x x 6 Derivada Direccional Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n, sea x = (x, x,,x n ) un punto en el interior de D, y sea v un vector unitario en R n La derivada direccional de f en el punto x y en la dirección v se define, si existe el límite, como: f(x + hv) f(x) lím Por resultado matemático, la derivada direccional puede ser calculada como: Si f : R R y J f (x)v f(< x, x, x >) = ( x + x + x x x x + x Determine la derivada direccional de f en a =<,, > en la dirección v =<,, 0 > 7 El Gradiente de una Función El gradiente es el caso particular del Jacobiano cuando la función tiene una sola componente Sea f : D R una función definida en un dominio D R n Si las derivadas parciales de f existen en un punto interior x de D, el vector (/, / x,,/ x n ) ) 6

7 y x Figura : Gradiente de f(x, y) en (, ) y -0 x Figura 5: Curva de corte en la dirección del gradiente es llamado el gradiente de f en el punto x y es simbolizado por f(x) Note que el gradiente es un vector en R n ; no está precisamente en D, pero, por aquello de que los vectores son trasladables, es posible trasladarlo y visualizarlo en el punto x Si f : R R y f(< x, x >) = x x x + x Determine f(x) 8 El Hessiano La matriz Hessiana es la matriz de una función de una sola componente, es la matriz formada por las segundas parciales Sea f : D R una función definida en un dominio D R n Entonces, f : D R n La matriz Jacobiana 7

8 de f es llamada la matriz Hessiana de f y se simboliza por H f (x) Así, H f (x) = J f (x) y H f (x) = f(x) f(x) x f(x) x n f(x) x f(x) x x f(x) x n f(x) x n x f(x) x x n f(x) x n x n Si f : R R y Determine H f (x) Solución Como Por tanto: f(< x, x >) = x x x + x = x x x, f = x, x = x + x f x = x, [ ] x x H f (x) = x 6 x f x = 6x 9 Derivación de Funciones Compuestas Sea f : D R m una función definida en un dominio D R n Sea g : D R p una función definida en un dominio D R m Y sea x 0 un punto interior a D tal que f(x 0 ) es un punto interior de D Si existe la matriz jacobiana m n J f (x 0 ), y si existe la matriz jacobiana p m J g (f(x 0 )) entonces existe la matriz jacobiana p n J h (x 0 ) para la función compuesta h = g f y Si f : R R definida como y si g : R R definida como Determine J g f (x) Solución Tenemos que: y Por tanto J h (x 0 ) = J g [f(x 0 )]J f (x 0 ) f(< x, x >) = x x cos x x x x + x g(< ξ, ξ, ξ >) = ξ ξ + ξ J g ((ξ, ξ, ξ ) ) = [, ξ, ] J g (f(x, x, x )) = [, x x, ] J f ((x, x, x ) ) = x + x sin(x ) x cos(x ) x x x x J g f ((x, x, x ) ) = J g (f((x, x, x ) )) J f ((x, x, x ) ) 8

9 J g f ((x, x, x ) ) = [, x x, ] x + x sin(x ) x cos(x ) x x x x = [ x + x sin(x ) x x + x x cos(x ) x x + x ] T 0 El Teorema de Taylor: Requisitos Sea x = (x, x,,x n ), se define el operador diferencial de primer orden x como: x = n i= x i La aplicación del operador x a una función f(x) sería: (x )f(x) = n i= x i Por notación (x )f(x 0 ) representa (x )f(x) evaluando sólo las parciales en x 0 Si f : R R definida como Calcule (x )f(x) y (x )f(x 0 = (0,, ) ) Solución Como =, Tenemos: f((x, x, x ) ) = x x + x x = x, x = (x )f(x) = x () + x ( x ) + x () (x )f(x 0 ) = x () + x ( ) + x () = x x + x El operador x se define para órdenes superiores: (x ) m = ( m k,k,,k n k,k,,k n ) x k xk xkn n Donde la sumatoria corre sobre todas las posibles n-uplas para las cuales n k i = m y ( ) m = k, k,,k n La aplicación del operador x a f(x) resulta en: (x ) m f(x) = ( m k,k,,k n k,k,,k n i= m! k!k! k n! ) x k xk Por notación (x ) m f(x 0 ) representa (x ) m f(x) evaluando las parciales en x 0 xkn n m x k xk xkn n m f(x) x k xk xkn n 9

10 Importante El operador (x ) m f(x) sólo es aplicable a funciones f : D R n R Es decir a funciones de valor real Si f : R R definida como f((x, x, x ) ) = x x + x Aplique el operador (x ) y (x ) a f Solución Para (x ), las posibles tripletas (k, k, k ) ( variables) que cumplen k + k + k = son (, 0, 0), (,, 0), (, 0, ), (0,, 0), (0,, ) y (0, 0, ) Para determinar los términos de cada suma debemos calcular todas las derivadas de orden, Las derivadas de primer orden son: y todas las de segundo orden son: Por tanto, =, = x, = x x f = 0, f x = 0, f x x =, f x x = 0, f x x = 0 (x ) f(x) = k,k,k ( = ( 0,,0 k,k,k f x = 0, ) x k xk xk ) x 0 x x 0 ( ) = x Para (x ), las posibles tripletas (k, k, k ) ( variables) que cumplen k + k + k = f(x) x k xk xk son (, 0, 0), (,, 0), (, 0, ), (,, 0), (,, ),(, 0, ), (0,, 0), (0,, ), (0,, ), y (0, 0, ) Como todas las correspondientes parciales son cero, (x ) = 0 Teorema (Desarrollo de Taylor) Sea f : D R, donde D R y sea x 0 un punto en el interior de D Si f y todas las derivadas parciales de f de orden r existen y son continuas en una bola abierta con centro en x 0, entonces para cualquier punto x en dicha bola: r f(x) = f(x 0 ) + i= para algún z en el segmento que une x con x 0 [(x x 0 ) ] i f(x 0 ) i! + [(x x 0) ] r f(z) r! 0

11 Si f : R R definida como f((x, x ) ) = x x + x + e x cos x Desarrolle en x 0 = (0, 0) hasta el orden r = as parciales hasta orden son: Y las evaluaciones en (x = 0, x = 0) son Así: = x + x + e x cos x, x = x e x sinx f = x + e x cos x f x = e x sinx f x x = e x cos x, =, x = 0 f =, Por tanto desarrollada f(x) en x = 0 hasta orden : f x =, f x x = f(x 0 ) = x f(x 0 ) = x () + x (0) (x ) f(x 0 ) = x () + x x () + x ( ) f(x) + x () + x (0) + (x () + x x () + x ( )) f(x) + x + x + x x x