MATEMÁTICA FINANCIERA

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1 MATEMÁTICA FINANCIERA

2 Descuento El descuento es un tipo de financiamiento respaldado en título valores: letras de cambio y pagarés. Cualquier cliente de un banco que tiene letras por cobrar que no se han vencido, puede convertirlo en dinero en efectivo a través del descuento al obtener un importe menor a la suma de los valores nominales. El interés calculado y deducido con anticipación del valor nominal se denomina descuento y constituye la diferencia entre el valor nominal o monto de una deuda a su vencimiento y su respectivo importe recibido en el presente.

3 Descuento D D c S P d n Descuento que puede ser racional o bancario, que a su vez puede ser simple o compuesto. Descuento comercial. Valor nominal del título valor, valor futuro. Valor presente del título valor en el descuento racional. Valor líquido en el descuento bancario. Tasa anticipada nominal aplicable sobre S. d e Tasa anticipada efectiva aplicable sobre S.

4 Descuento i n PV PR Tasa de interés efectiva vencida aplicable sobre P. Número de periodos de tiempo comprendido entre la fecha de descuento y la fecha de vencimiento del título valor. Precio de venta en el descuento comercial. Precio rebajado en el descuento comercial. Z Número de subhorizontes.

5 Descuento Clases de descuento: SISTEMA BANCARIO SISTEMA NO BANCARIO DESCUENTO RACIONAL DESCUENTO BANCARIO DESCUENTO COMERCIAL SIMPLE COMPUESTO SIMPLE COMPUESTO UNITARIO SUCESIVO

6 Descuento Descuento racional: El descuento racional efectuado al valor nominal de un título valor que vence en el futuro, es su respectivo interés deducido por anticipado, calculado con la tasa de interés nominal vencida j o con la tasa de interés efectiva vencida i, sobre el importe que recibe el descontante. Este importe constituye el valor presente del título valor.

7 Descuento Descuento bancario: El descuento bancario efectuado al valor nominal de un título valor, que vence en el futuro, es el interés deducido por anticipado, calculado con la tasa anticipada de descuento d sobre el valor nominal del título valor; el resultado de restar el importe del descuento al valor nominal es el valor líquido. El valor líquido de un título valor es menor que su valor presente calculado a una tasa vencida i igual a la tasa adelantada d. Descuento bancario > Interés vencido

8 Descuento Es importante distinguir la diferencia entre la tasa vencida i que se utiliza en el descuento racional y la tasa anticipada d que se utiliza en el descuento bancario; la primera se aplica sobre el importe efectivamente financiado, mientras que la segunda se aplica al valor nominal del título valor. La condición de una operación de descuento, garantizada en un título valor, es que debe vencer en el futuro; por tanto n representa el número de períodos de tiempo que faltan para el vencimiento del título valor y se ubica en el presente, mientras que el momento 0 se ubica en el futuro (fecha de vencimiento). D=? S P=? n i, d 0 periodos de tiempo que faltan para el vencimiento del título valor

9 Descuento D = S - P La fórmula calcula el descuento y es válida para el descuento racional y para el descuento bancario, sean éstos simple o compuesto. P = S - D S = P + D

10 Descuento con tasa j constante El descuento racional simple calculado sobre el valor nominal de un título valor es el mismo que el interés simple calculado sobre su respectivo valor presente, y que se deduce de ese valor nominal en la fecha en que la entidad anticipa el pago de título valor. D = S jn La fórmula calcula el descuento racional simple cuando la tasa de descuento, que es una tasa vencida nominal o tasa de interés simple, no sufre variaciones durante el plazo del descuento.

11 Descuento con tasa j constante D = Sjn 1 + jn S = P[1+jn] 1 P = S 1 + jn Fórmulas del descuento racional simple, del valor nominal y del valor presente de un título valor con tasa nominal vencida constante.

12 Descuento con tasa j constante Ejemplo. Una letra de cambio que tiene un valor nominal de 5,000 se descontó en el Banco Continental cuando faltaba 90 días para su vencimiento. Se quiere conocer el importe del descuento racional simple sabiendo que el banco aplicó como tasa de descuento una TNM de 1,5% Solución: D=? S= 5,000 n= 90 TNM = 1.5% 0 Con los datos: S =5,000 j = n = 90/30 aplicamos la fórmula: D = 5,000 x x 90/30 = (0.015x90/30)

13 Descuento con tasa j constante Ejemplo. Una letra de cambio cuyo valor nominal es 4,800 y con fecha de vencimiento el 26 de agosto se descuenta en el Interbank el 18 de julio del mismo año a una TNA de 24%. Se quiere calcula el importe del descuento racional simple que se efectuó al valor nominal del documento. Solución: D=? S=4,800 18/7 j = 0.24% 26/8 Con los datos: S = 4,800 j = 0.24 n = 39/360 aplicamos la fórmula: D = 4,800 x 0.24 x 39/360 = (0.24x39/360)

14 Descuento con tasa j constante Ejemplo. Una letra de cambio cuyo valor nominal es 10,000 que fue girada el 1 de abril y descontada el 7 de abril por el Banco de Crédito, con una TNA de 18% tienen como fecha de vencimiento el 6 de julio del mismo año. Calcular: a) el importe del descuento racional simple; b) el importe que abonó el banco en la cuenta corriente del descontante; c) el interés simple que genera la operación. Solución: Con los datos: S = 10,000 j = 0.18 n = 90/360 a) cálculo del importe del descuento: D = 10,000 x 0.18 x 90/360 = (0.18x90/360) b) cálculo del valor presente: P = 10, = 9, c) cálculo del interés simple: I = 9, x 0.18 x 90/360 =

15 Descuento con tasa j constante Ejemplo. Porqué valor nominal deberá aceptarse un pagaré que vence el 26 de mayo?. El pagaré será descontado el 22 de marzo del mismo año, en un banco que aplica una TNA de 18% y el descontante requiere que le sea abonado un importe de 16,000 en la fecha del descuento. Solución: Con los datos: P = 16,000 j = 0.18 n = 65/360 Aplicamos la fórmula: S = 16,000 [1+(0.18 x 65/360)] = 16,520 S = P[1+jn]

16 Descuento con tasa j constante Ejemplo. El 13 de abril la empresa Estilos efectuó con el BCP un descuento racional simple de un pagaré con valor nominal de 9,000 y fecha de vencimiento el 12 de julio del mismo año. Calcular el importe que abonó el banco en la cuenta corriente de Estilos en esa fecha, con una TNA de 16% Solución: Con los datos: S = 9,000 j = 0.16 P = n = 90/360 Aplicamos la fórmula: P = 9,000 1 = 8, (0.16 x 90/360) S jn

17 Descuento con tasa j variable Cuando en una operación de descuento racional simple o compuesto: La magnitud o los plazos de la tasa de descuento (tasa vencida nominal o tasa vencida efectiva) son variables dentro del plazo de descuento. El plazo de descuento puede dividirse en z subhorizontes en cada uno de los cuales la tasa de descuento, así como su plazo se mantienen constantes. Dado: La tasa de descuento j k e i k aplicables al descuento simple y al descuento compuesto respectivamente, vigentes durante el k-ésimo subhorizonte; y n k el número de períodos de la tasa i k en el k-ésimo subhorizonte, pueden derivarse las fórmulas de descuento racional simple y compuesto cuando la tasa de descuento sufre variaciones durante el plazo de descuento.

18 Descuento con tasa j variable D = S 1 - z S = P [ 1+ Σ j k n k ] k=1 P = Fórmulas de descuento racional simple, valor nominal y valor presente de un título valor a interés simple cuando existen variaciones de la tasa nominal durante el plazo del descuento. 1 z 1+ Σ j k n k k=1 S z 1+ Σ j k n k k=1

19 Descuento con tasa j variable Ejemplo. Se quiere calcular el descuento racional simple que debe efectuarse a un pagaré con un valor nominal de 5,000 que vencerá el 30 de setiembre y se descontará por el Banco Continental el 2 de julio del mismo año. En la fecha de descuento la TNA fue de 24%, la cual cambiará a 22% a partir del 15 de julio y a 20% a partir del 16 de setiembre hasta el vencimiento del plazo del descuento. Solución: h 3 = 13 días h 2 = 63 días h 1 =14 días 2/7 F 3 =360 días 15/7 F 2 =360 días 16/9 F 1 =360 días 30/9 TNA 3 = 24% TNA 2 = 22% TNA 1 = 20% Con los datos: S = 5,000 j 1 =0.20 j 2 =0.22 j 3 =0.24 n 1 =14/360 n 2 =63/360 n 3 =13/360 D =5, = D = x14/ x63/ x13/360

20 Descuento con tasa j variable Ejemplo. Una empresa descontó el 26 de marzo un pagaré con valor nominal de 2,000 y con vencimiento dentro de 90 días en un banco que aplica una tasa vencida de interés nominal que cambiará conforme al siguiente cronograma: Se requiere calcular el descuento racional simple que se aplicará al pagaré Solución: Con los datos: S = 2,000 j 1 =0.021 j 2 =0.065 j 3 =0.24 n 1 =24/30 n 2 =31/90 n 3 =35/360 D =2, = D = x24/ x31/ x35/360

21 Descuento con tasa j variable Ejemplo. Un empresario solicitó al Banco Azteca un crédito de 10,000, el cual será otorgado con el descuento de un pagaré que estará sujeto a las siguientes tasas nominales: Solución: h 2 = 17 días Cuál será el valor nominal del pagaré si el descuento racional simple se realiza el 24 de junio, fecha en que se requiere disponer de 10,000 y el pagaré vencerá el 15 de agosto del mismo año?. h 1 =35 días 24/6 F 2 =360 días 11/7 F 1 =90 días 15/8 TNA 2 = 16% TNT 1 = 3.8% Con los datos: P = 10,000 j 1 =0.038 j 2 =0.16 n 1 =35/90 n 2 =17/360 S = 10,000 [ x 35/ x17/360] S = 10,223.33

22 Descuento con tasa j variable Ejemplo. La empresa Lotus requiere conocer el importe que le abonará el BCP por el descuento racional simple de un pagaré con valor nominal de 7,000 que se realizará el 3 de noviembre y vencerá el 9 de enero del próximo año. En el plazo se aplicarán las siguientes tasas nominales como descuento: tasa TNA 14.0% TNM 1.58% Solución: a partir del 03-Nov 16-Dic Cuál será el importe que le abonará el BCP a Lotus el 3 de noviembre? Con los datos: S = 7,000 j 1 = j 2 =0.14 n 1 =24/30 n 2 =43/360 P = 7,000 = x24/ x43/360 P = 6, TOMADO Y ADECUADO DE CARLOS ALIAGA: MATEMÁTICA FINANCIERA

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