Unidad Nº 3. Medidas de Dispersión

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1 Unidad Nº 3 Medidas de Dispersión 1.-Definición.- Las medidas de tendencia central nos enseñaban a localizar el centro de la información en una serie de observaciones o distribución, pero no a realizar un análisis o estudio de los datos que se han dispersado para uno u otro extremo del centro de la información. Dichos datos dispersados se los conoce como dispersión o variación. a) Si la dispersión es mayor, significa que existe poca uniformidad en la distribución. b) Si la dispersión es menor, significa que existe gran uniformidad. c) Si la dispersión es nula significa que la uniformidad es perfecta (datos idénticos). Entre las medidas de dispersión las más conocidas tenemos: 1.2 Rango o Recorrido de la Variable.- Es la medida mas sencilla de calcular y a su vez la mas limitada ya que al ser la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de un conjunto de datos, se omiten los valores intermedios con lo cuál la dispersión aparece distorsionada. Para tratar de corregir la deficiencia de este estadígrafo, se utilizan los siguientes indicadores: a) Recorrido Intercuartilico.- Es la diferencia entre el cuartil tercero y el primer cuartil con lo cuál se obtiene un medida mas exacta ya que al tener menor dispersión posee menor deformación. RQ = Q3 - Q1 b) Recorrido Interdecilico.- Es la diferencia entre el noveno y el primer decil. RD = D9 - D1 c) Recorrido Interpercentilico.- Es la diferencia entre el percentil 99 y el primer percentil. RP = P99 - P1

2 1.3 Desvío Medio.- Son medidas de dispersión utilizadas de la forma siguiente: a) Desviación Media.- Es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de las observaciones con respecto a la media aritmética. a.1) Desviación Media para Datos no Agrupados (Sencillos) Ejemplo.- Dados los valores 2,3,4,5 y 6 hallar la DY Y = 4 DY= yi-y = /2-4/+/3-4/+/4-4/+/5-4/+/6-4/ = 6/5 = 1.20 K 5 a.2) Desviación Media para Datos Agrupados Ejemplo.- DY= yi-y fi Y = N / /*4+/ /*3+/ /*2+/ /*3+ / /*3 = / = b) Desviación Mediana.- Es la media aritmética de los valores de las observaciones con respecto a la Mediana b.1) Desviación Mediana para Datos no Agrupados (Sencillos) Ejemplo.- Dados los valores 2,3,4,5,6,7 hallar la DY Me = 4.5 DMe= yi-me=/2-4.5/+/3-4.5/+/4-4.5/+/5-4.5/+/6-4.5/+7-4.5= 1.5 K 6

3 b.2) Desviación Mediana para Datos Agrupados DMe= yi-mefi Me = N / /*4+/ /*3+/ /*2+/ /*3+ / /*3 ==> / = Estas medidas poseen un gran defecto al no tomar en cuenta el signo de las desviaciones, convirtiéndose en una medida inadecuada para el tratamiento matemático. 1.4 Varianza.- Es la media aritmética de las desviaciones al cuadrado de los valores de las variables con respecto a su media aritmética. Se expresa en el cuadrado de la unidad de medida y es de vital importancia para el cálculo de la desviación Standard o desviación Típica. a) Varianza para Datos no Agrupados 2 = (yi-y) 2 = (2-4) 2 +(3-4) 2 +(4-4) 2 +(5-4) 2 +(6.-4) 2 10/5 = 2.00 K 5 b) Varianza para Datos Agrupados 2 = (yi-y) 2 fi=( ) 2 4+( ) 2 3+( ) ==> / = Propiedades de la Varianza 1º) La varianza de una variable mas o menos constante, es igual a la varianza de la variable original. 2 yi +/- K = 2 (yi) 2º) La varianza de una variable multiplicada o dividida por una constante es igual a la varianza de la variable por la constante al cuadrado. 2 yi x/% K = 2 x/% K 2

4 3º) La varianza de una constante es igual a cero. 2 K = Métodos Abreviados de Cálculo.- (Datos Agrupados). 1º)Método de Desviación por Amplitud de Intervalo.-La variable es expresada en términos de desvíos respecto de un origen de trabajo arbitrario con preferencia de una marca de clases. Ejemplo.- 2 = Σ(Z'i) 2 fi - ΣZ'ifi 2 Z'i = yi-ot N N 2 = (-34) 2 = (-2.27) 2 = ( ) 2º) Método de Desviación Unitaria.- Consiste en expresar las desviaciones de las unidades de intervalos entre la amplitud de intervalos siempre que esta sea constante. Ejemplo.- 2 = C 2 Σ(Z i) 2 fi - ΣZ'ifi 2 Z i = yi-ot N N C 2 = / (-2/) 2 = 289( ) = Componentes de la Varianza.- Si las observaciones son divididas en estratos o categorías, la varianza puede ser desglosada en dos partes a las cuales se las denomina intervarianza e intravarianza. La suma de ambas da como resultado el valor de la varianza general. 2 = 2 b + 2 w = a) Intervarianza.- Es la varianza entre las medias de los estratos y representa la variabilidad entre uno y otro estrato. 2 b = Σ ( yi-y ) 2 2 h = = N b) Intervarianza.- Es la media aritmética de las varianzas de los estratos y representa la variabilidad entre cada estado. 2 w = Σ 2 b- 2 h = = N

5 2.5 Desviación Típica o Standard.- Al definir la varianza se mencionó que era un instrumento para el cálculo de la desviación Típica,ya que esta representa la verdadera medida de dispersión. Como la varianza se expresa en el cuadrado de la unidad de medida y por lo tanto no es comparable con las unidades de la variable original, se utiliza la desviación Típica que representa las mismas unidades de la variable original. La desviación Típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza. = 2 = = Coeficiente de la Variabilidad.- Es el promedio del desvío porcentual que existe entre los valores de la serie y su media aritmética. El coeficiente de variación es útil cuando se desea comparar la variabilidad entre dos conjuntos de datos en relación con el nivel general de cada conjunto. Cv = * 100 = 25.5 * 100 = 50.76% Y FIN

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