UNIDAD 6. Estadística

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1 Matemática UNIDAD 6. Estadística 2 Medio GUÍA N 1 MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA DATOS NO AGRUPADOS ACTIVIDAD Consideremos los siguientes conjuntos de valores referidos a las edades de los jugadores de dos equipos de fútbol. Equipo 1: 24,25,26,23,26,21,27,24,23,26,25 Equipo 2: 36,18,28,17,37,15,14,44,27,21,13 1. Calcula la media de las edades en los dos equipos. 2. Qué puedes decir respecto de las edades del equipo 1 en relación a su media? 3. Qué puedes decir respecto de las edades del equipo 2 en relación a su media? En este caso, conformarnos solo con la media para informar sobre las edades de los jugadores es insuficiente. Tal como habrás observado, en el equipo 1 todos los jugadores tienen edades cercanas a los 24 años, y en cambio en el equipo 2 las edades son mucho más variables: varían entre los 13 y los 44 años. Necesitamos entonces algún indicador estadístico que nos indique cuánto se separan algunos valores de su media. Las medidas de tendencia central que ya estudiaste (media, moda y mediana) sólo nos dicen parte de la historia de un conjunto de datos. En general, no indican cómo están distribuidos los datos, es decir, si estos son muy variables o no. Las medidas de dispersión sí lo hacen. Las medidas de dispersión indican qué tanto se dispersa o distribuye, alrededor de su media, un conjunto de datos. También entregan información sobre la variabilidad de las observaciones. Si los datos no son muy variables (como en ejemplo 1), decimos que hay homogeneidad; en caso contrario se habla de heterogeneidad del conjunto de datos. Las medidas o estadígrafos de dispersión que estudiaremos son: rango, varianza y desviación estándar. 1. Rango o recorrido El rango de una variable es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de la distribución. Aunque no es una medida muy significativa, nos indica cuán dispersos se encuentran los datos entre los valores de los extremos. 1

2 ACTIVIDADES 1. En nuestro ejemplo, cuál es el rango en el equipo 1? Y en el equipo 2? 2. Qué equipo es más disperso, es decir más heterogéneo? Si los equipos no tuvieran la misma cantidad de jugadores podrías decir que equipo es más disperso? 3. Cómo interpretarías el valor del rango? 2. Varianza Si elevamos al cuadrado las desviaciones y luego calculamos el promedio obtenemos un número denominado varianza. ( ) n 2 xi -x Matemáticamente: i=1 s= n La varianza como medida de dispersión sólo tiene un inconveniente: Su valor está dado en unidades cuadradas. Para solucionar esto definimos un nuevo indicador estadístico, la desviación estándar. 3. Desviación estándar o típica La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, es decir σ s = ( xi -x) n 2 i=1 n. 2

3 ACTIVIDADES 1. Qué significado tiene un rango de notas 4,2 respecto de las notas de otro alumno cuyo rango es 2,4? Podemos decir que notas están más dispersas? Podemos decir cuáles son mejores? 2. Es posible que la desviación estándar sea negativa? Puede ser cero? En ambos casos explica tu respuesta. 3. Qué se puede decir de un conjunto de datos, si sólo sabemos que su media es 67 y que tanto su rango como su varianza son cero? 4. Camila obtuvo el primer semestre en matemática las siguientes notas : Mis notas Primer semestre: Matemática 3,6-5, ,7-6,2-6,2 4.1 Calcula el promedio de Camila el primer semestre en matemática. 4.2 Calcula la desviación estándar. 4.3 Consideras que el rendimiento académico en matemática de Camila fue parejo? Qué información te permite justificar tu respuesta? 5. En el cuarto medio A de un colegio de Temuco el promedio de las estaturas es de 183 cm y la desviación estándar 35 cm. En un colegio de Rancagua el cuarto medio B tiene un promedio de 174 cm y la desviación estándar es 5 cm. Son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justifica: 5.1 Los alumnos del cuarto B tienen una estatura más pareja que los alumnos del cuarto A. 5.2 De esta población, los alumnos más altos están en el cuarto A. 5.3 De esta población los alumnos más bajos están en el cuarto B. 3

4 6. Un profesor de matemática debe elegir entre sus dos mejores alumnos Andrés y Paula para una Olimpiada de matemática. Las notas de ambos son: Andrés 6,5 6,6 6,4 6,6 6,5 6,7 Paula 7,0 6,0 6,3 6,0 7,0 7,0 A cuál alumno le aconsejas que presente a la Olimpiada? Justifica. 7. A los dos segundos medios de un colegio se le aplica una misma prueba de matemática, obteniendo los siguientes resultados: II medio A II medio B Promedio 5,3 5,3 Desviación estandar 0,8 0,3 Juan Pablo, alumno del II medio A, obtuvo un 6,7 y Gabriel, alumno del II medio B, obtuvo un 6,6. Quién obtuvo un mejor rendimiento en la prueba en relación a su curso? 8. Observa los diagramas de barras adjuntos. a) Cuál es aproximadamente la media de los datos en cada caso? b) Qué gráfico representa a los datos con mayor desviación estándar? Cuál representa a los datos con menor desviación?

5 GUÍA N 2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA DATOS AGRUPADOS Cuando tenemos datos agrupados, el rango se calcula como la diferencia entre el mayor valor de la última clase menos el menor valor de la primera clase. Para calcular los otros parámetros estadísticos, varianza, y desviación estándar, a partir de datos agrupados, consideremos las marcas de clases como si fueran los valores verdaderos, es decir x i. Recuerda que la marca de clases corresponde al punto medio de una clase. Así: Desviación estándar: ( ) + ( ) + ( ) + + ( f i ) ( xi -x) f 1 x1 x f 2 x2 x f 3 x3 x... f n xn x σ s = = n n 2 i=1 n ACTIVIDADES 1. Determina rango, varianza y desviación estándar en la siguiente distribución x i f i Determina rango, varianza y desviación estándar en la siguiente distribución, completando la siguiente tabla. Notas x i f i ( x ) 2 i -x f i ( xi -x) [ 1,2 ) 1 [ 2,3 ) 2 [ 3,4 ) 2 [ 4,5 ) 5 [ 5,6 ) 3 [ 6,7 ] 5 Suma total = 2 5

6 3. Se ha aplicado un test a dos grupos de alumnos, obteniéndose las siguientes puntuaciones: Grupo 1 Grupo 2 15, [ ) [ 20,25 ) 8 6 [ 25,30 ) 13 9 [ 30,35 ) 7 9 [ 35,40 ) 6 6 [ 40,45 ) 3 4 [ 45,50 ) 1 3 Aplicando lo visto en esta guía, qué puedes decir de ambos grupos? 6

7 GUÍA N 3 LA MEDIDA Y LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR ACTIVIDADES 1. En un curso se anotan los pesos en kilos de los alumnos obteniéndose los siguientes valores: a) Ordena los datos de menor a mayor b) Calcula la media, la moda y la mediana. c) Calcula la desviación estándar. d) Calcula el porcentaje de alumnos con pesos en cada uno de los siguientes intervalos: ( x σ,x s + σs ) ; ( x 2 σ,x 2 s + σs ) ; ( x 3 σ,x 3 s + σ s ) En distribuciones con una sola moda y bastante simétricas se verifica que: Entre la media menos la desviación estándar y la media más la desviación estándar x σ,x + σ se encuentra el 68% de los datos. es decir en el intervalo ( s s ) Entre la media menos dos veces la desviación estándar y la media más dos veces la desviación estándar es decir en el intervalo ( x 2 σ s,x + 2σs ) se encuentra el 95% de los datos. Entre la media menos tres veces la desviación estándar y la media más tres veces la desviación estándar es decir en el intervalo ( x 3 σ s,x + 3σs ) se encuentra el 99% de los datos. 7

8 ACTIVIDADES 1. En una distribución unimodal y bastante simétrica, la media es 30 y la desviación estándar 5,5. Si la distribución consta de 500 datos, cuántas personas de los 500 encuestados están entre 24,5 y 35,5? 2. Un supermercado desea saber cuánto gasta una familia cuando realiza sus compras (en miles de pesos). Un día realiza una encuesta a 5000 de sus clientes. Este estudio nos aporta la siguiente tabla: Intervalos Frecuencias Cuál es el motivo por el que los datos se presentan en intervalos? 2.2. Halla los ingresos que en ese día tuvo el supermercado y el gasto medio de cada familia Si a todas las familias que gastan más de pesos, se les obsequia una cafetera, hallar el número de regalos que realiza el centro comercial, así como el porcentaje de clientes que se benefician de ellos El supermercado considera como clientes importantes a aquellos que están en el x 2 σ, x + 2σ. Qué nivel de gasto tienen estos clientes? intervalo [ ] 8

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