LECTURA 01: LA DISTRIBUCIÓN NORMAL GENERAL. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR (PARTE I). TEMA 1: LA DISTRIBUCION NORMAL GENERAL.

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1 LECTURA 1: LA DISTRIBUCIÓN NORMAL GENERAL LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR (PARTE I) TEMA 1: LA DISTRIBUCION NORMAL GENERAL PROPIEDADES 1 INTRODUCCION La distribución de probabilidad continua más importante en todo el campo de la estadística, es con toda seguridad la distribución normal, debido a que en la práctica muchos fenómenos, industriales, científicos, o de la vida diaria pueden describirse por esta distribución A la distribución normal frecuentemente se le llama distribución gaussiana La curva normal puede considerarse como modelo teórico para analizar situaciones reales FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD Una variable aleatoria continúa X, se dice que está distribución normalmente, con media u ( < µ < ) y varianza σ >, si su función de densidad de probabilidad está dado por: f (x) = σ 1 π e 1 x µ σ ; < x < Donde: π = y e = Elaborado por : Mg Carmen Barreto R

2 3 GRÁFICO - µ fig 1: La Distribución Normal La distribución normal se emplea tanto que ha menudo se emplea la siguiente notación abreviada: X n ( µ, σ ), para indicar que la variable aleatoria X se distribuye normalmente con media µ y varianza σ 4 PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION NORMAL a) La distribución normal es simétrica y tiene forma de campana, se extiende de a b) En la distribución normal la media está en la mitad y divide el área en dos mitades y la media, la mediana y la moda tienen el mismo valor c) El área total bajo la curva normal es el 1% d) Existe una distribución normal diferente para cada combinación de media y desviación estándar e) La probabilidad de que una variable aleatoria tenga un valor entre dos puntos es igual al área bajo la curva normal entre los dos puntos, tal como se muestra en la fig Elaborado por : Mg Carmen Barreto R

3 a µ b P(a x b) = Área bajo la curva normal entre a y b fig f) En la fig 3 muestra el área bajo la curva normal de 1, y 3 desviaciones estándar de la media µ 3σ µ σ µ 1σ µ 68% µ + 1σ µ + σ µ + 3σ 955% 997% fig 3 3 Elaborado por : Mg Carmen Barreto R

4 TEMA : DISTRIBUCION NORMAL ESTÁNDAR 1 INTRODUCCÓN Dado que existe una distribución normal diferente para una combinación de media y desviación estándar, sería inútil intentar elaborar las tablas suficientes para calcular probabilidades, además de la complejidad de la función de densidad (fórmula), existe sin embargo, una alternativa sencilla que evita estos problemas Para ello se puede convertir esta escala real a una relativa o estandarizada, mediante la variable normalizada En donde: FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD Una variable aleatoria continúa Z, se dice que está distribución normalmente, con media µ = y varianza σ = 1, si su función de densidad de probabilidad está dado por: 1 z 1 f (z) = e ; < z < π Donde: Z µ = x σ Además: X : Algunos valores de interés μ : Media σ : Desviación estándar La distribución de una variable normal con media cero y varianza 1, se denota: Z n(,1) y se lee: Distribución Normal con media cero y varianza 1 4 Elaborado por : Mg Carmen Barreto R

5 3 GRÁFICO: fig 4 4 CALCULO DIRECTO EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR MANEJO DE TABLAS ESTADÍSTICAS a) Uso de la Tabla I Z fig 5: Area bajo la curva normal que se muestra en la Tabla I Ejemplo 1: Obtener el área para Z < 135 P [Z < 135] =? En primer lugar se debe localizar al valor 13 en el lado izquierdo de la Tabla I y luego el 5 (5 es el último dígito) en su parte superior El área bajo la curva se puede leer en la información de la fila Z = 13 y la columna 5 El valor es Elaborado por : Mg Carmen Barreto R

6 Luego: P(Z < 135) = 9115 Observe la tabla: TABLA N 1 Área bajo una curva normal entre - y Z = 135 Z Ejemplo : Obtener el area para Z < -58 P[Z < 58] =? En primer lugar se debe localizar al valor -5 en el lado izquierdo de la Tabla I y luego el 8 (8 es el último dígito) en su parte superior El área bajo la curva se puede leer en la información de la fila Z = -5 y la columna 8 El valor es Elaborado por : Mg Carmen Barreto R

7 Luego: P(Z <-58) = 49 TABLA N 1 Área bajo una curva normal entre - y Z = -58 Z b) Uso de la Tabla N II -Z Z fig 6: Área bajo la curva normal que se muestra en la Tabla II 7 Elaborado por : Mg Carmen Barreto R

8 Ejemplo 3: Obtener el área para -196 Z 196 Cabe indicar que los puntos son simétricos En primer lugar se debe localizar al valor 19 en el lado izquierdo de la Tabla II y luego 6 (6 es el último dígito) en su parte superior El área bajo la curva se puede leer en la información de la fila Z = 19 y la columna 6 El valor es Luego: P [ 196 Z 196] = 95 TEMA 3: PROPIEDADES PARA EL CALCULO DE OTRAS AREAS BAJO LA CURVA NORMAL ESTÁNDAR En esta sesión daremos propiedades para el cálculo de áreas bajo la curva normal estándar para utilizarlas posteriormente en aplicaciones pertinentes de dicha distribución a) P [ Z Z ] = 1 P [ Z < Z ] O O P[Z Z ] Z 8 Elaborado por : Mg Carmen Barreto R

9 Ejemplo 1: Hallar P[ Z 3] Solución: P[ Z 3] = 1 P[ Z < 3] = = b) P [ Z Z ] = 1 P [ Z < Z ] P[Z -Z ] -Z o NOTA: También se obtiene directamente de la Tabla I Ejemplo : Hallar P[ Z 3] Solución: [ Z 3] = 1 P[ Z < 3] = P = -3 9 Elaborado por : Mg Carmen Barreto R

10 c) P [ Z Z ] = P [ Z Z ] = - Z o Z o Ejemplo 3: Hallar P[ Z 13] Solución: [ Z 13] = P[ Z 13] 93 P = = d) P [ Z Z Z ] = P [ Z Z ] P [ Z < Z ] Z o Z o 1 Elaborado por : Mg Carmen Barreto R

11 Ejemplo 4: Hallar P 5 < Z < 136 [ ] Solución: P 5 Z 136 [ ] = P[ Z 136] P[ Z < 5] P [ 5 Z 136] = 9131 P [ 5 Z 136] = Ejemplo 5: Hallar P 58 < Z < Solución: [ < Z < 349] = P[ Z < 349] P[ Z 58] P 58 [ 349] [ < Z < 349] P 58 = [ < Z < 349] = 47 P Elaborado por : Mg Carmen Barreto R