ESTADÌSTICA INFERENCIAL

Transcripción

1 DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD PROGRAMA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS ESTADÌSTICA INFERENCIAL MÓDULO EN REVISIÓN

2 DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD PROGRAMA A DISTANCIA DE ADMINITRACION DE EMPRESAS. ESTADÌSTICA INFERENCIAL COMPILADOR: REDISEÑO: EVER ANAYA COHEN ROBINSON MORALES MEDINA SINCELEJO 014

3 TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN JUSTIFICACIÓN FORMAS DE ABORDAR LA LECTURA DEL MODULO PROPÓSITOS DE FORMACIÓN REFERENTE TEÓRICO ESTRUCTURA DEL MODULO ESTADÌSTICA INFERENCIAL COMPETECIAS TRANSVERSALES A DESARROLLAR

4 SABERES 1 UNIDAD UNO: DISTRIBUCIONES FUNDAMENTALES DE MUESTREO 1.1 Dstrbucón muestral 1. Dstrbucón en el muestreo de la meda muestral.3 Dstrbucón en el muestreo de una proporcón muestral UNIDAD DOS: ESTIMACIONES POR INTERVALOS.1 Intervalos de confanza. Intervalos de confanza para la meda poblaconal.3 Intervalos de confanza para proporcones poblaconales.4 Intervalos de confanza para la meda de dos poblacones 3 UNIDAD TRES: CONTRASTE DE HIPÓTESIS 3.1 Concepto del contraste de hpótess. 3. Prueba de hpótess para la meda poblaconal 3.3 Prueba de hpótess para la proporcón poblaconal 3.4 Prueba de hpótess para la dferenca de dos medas poblaconales 4 UNIDAD CUATRO: REGRESIÓN LINEAL SIMPLE Y MULTIPLE 4.1 Interpretacón de la regresón, termnología y notacón 4. Estmacón por mínmos cuadrados 4.3 Verfcacón de hpótess, capacdad explcatva de una funcón de regresón lneal.

5 1. INTRODUCCIÓN Para el admnstrador de empresas es esencal la compresón de la Estadístca nferencal dado que los dversos métodos de estmacón, predccón y contraste de hpótess son las herramentas fundamentales en la toma de decsones en condcones de ncertdumbre. Generalmente las poblacones suelen ser demasado grandes para estudarlas en su totaldad, por tanto se hace necesaro la seleccón de una muestra representatva que tenga un tamaño más manejable, la cual se utlza para obtener conclusones generalzadas sobre la poblacón. Este tema se aborda en la prmera undad. Dada la utldad de los ntervalos de confanza en la toma de decsones sobre numerosas stuacones relaconadas con la empresa, en la undad se explca el modo de construrlos e nterpretarlos. La undad 3 desarrolla la forma como determnar la valdez de una hpótess o conjetura sobre una stuacón presentada en el ámbto empresaral. En esta undad se estudan los contrastes de hpótess para una o dos poblacones. El conocmento del tpo de funcón que lga a determnadas varables económcas permtrá descubrr la relacón que exste entre las msmas para ser utlzadas en la toma de decsones de polítca económca o polítca empresaral. Por ello es mportante determnar la forma analítca y concreta de esta relacón recurrendo al análss de regresón, y en especal al de regresón lneal, tema de la últma undad del módulo.

6 . JUSTIFICACIÓN La nferenca estadístca, como parte de la Estadístca que comprende los métodos y procedmentos para deducr propedades de una poblacón a partr del estudo de una parte de ésta, es esencal para el admnstrador de empresas, el contador y el economsta dado que los dversos métodos de estmacón, predccón y contraste de hpótess son las herramentas fundamentales en la toma de decsones en condcones de ncertdumbre, de tal manera que les permta r más allá de solo reportar y descrbr datos.

7 3. FORMAS DE ABORDAR LA LECTURA DEL MODULO Estmado(a) estudante: Formarse como profesonal en admnstracón de empresas en un programa a dstanca, requere dedcacón, responsabldad y de un buen método de estudo para cada uno de los módulos que conforman el pensum académco. Respondendo a los propóstos del nvel de Estadístca Inferencal, éste módulo ha sdo dseñado para el trabajo auto drgdo, de modo que Usted pueda responsablzarse de su propo aprendzaje y enfrentar con éxto la formacón Estadístca requerda por la carrera profesonal que ha elegdo. Un aprendzaje afectvo y duradero del Módulo exge, de su parte: Mantener una acttud de superacón para que con su esfuerzo personal logre el desarrollo concenzudo de cada una de las actvdades propuestas. Tener un conocmento profundo de su CIPAS, consguendo así que el trabajo de equpo adquera una ntencón sera y metódca, para compartr logros, amplar experencas, resolver dudas y afanzar aprendzajes adqurdos. Utlzacón adecuada de todos los apoyos nsttuconales, como el servco de tutoría, la bbloteca, los materales y medos audovsuales, así como la consulta en Internet,

8 Con tal propósto le recomendamos el sguente procedmento: 1. Realce una lectura atenta de cada una de las undades, señalando y anotando las deas centrales, los conceptos báscos y sus relacones.. Desarrolle cada actvdad, sguendo las orentacones que se le dan, sn omtr nnguna por elemental que le parezca. 3. Una vez termne el desarrollo de los talleres, compare las solucones con las obtendas por sus compañeros de grupo. 4. Anote las dudas e nquetudes para llevarlas al tutor y demás compañeros en la sesón presencal. 5. Complemente la actvdad con la consulta de textos, documentos, revstas, págnas web, ect. Para fortalecer sus conocmentos sobre los temas desarrollados en el módulo. Con la repetcón de éste procedmento se pretende que cada uno de Ustedes construya su propo método de estudo, tenendo claro el tempo que debe dedcarle, el lugar de estudo más adecuado, y la dscplna personal para cumplr con la dstrbucón que haga de su tempo y con los compromsos que demanda el hecho de ser estudante a dstanca.

9 4. PROPÓSITOS DE FORMACIÓN Al fnal del curso el alumno será capaz de utlzar los métodos y modelos estadístcos apropados para el tratamento de la nformacón numérca fundamental para la toma de decsones cuando exstan condcones de ncertdumbre, de formular y soluconar problemas propos de las cencas admnstratvas

10 5. REFERENTE TEÓRICO El Mnstero de Educacón Naconal en su documento sere lneamentos currculares (1998) en cumplmento del artículo 78 de la Ley 115 de 1994 consderan que las matemátcas en la escuela tenen un papel esencalmente nstrumental, que por una parte se refleja en el desarrollo de habldades y destrezas para resolver problemas de la vda práctca, para usar áglmente el lenguaje smbólco, los procedmentos y algortmos y, por otra, en el desarrollo del pensamento lógco-formal, así como el pensamento varaconal. José Chacón en su lbro, Una Introduccón a la Estadístca Inferencal concluye que ésta es necesara cuando queremos hacer alguna afrmacón sobre más elementos de los que vamos a medr. La estadístca nferencal hace que ese salto de la parte al todo se haga de una manera controlada. Aunque nunca nos ofrece rá segurdad absoluta, sí nos ofrecerá una respuesta probablístca. Esto es mport ante: la estadístca no decde; sólo ofrece elementos para que el nvestgador o el lector decdan. En muchos casos, dstntas personas percben dferentes conclus ones de los msmos datos. Cro Martnez B, en el lbro Estadístca y Muestreo, opna que la estadístca faclta una sere de nstrumentos o técncas que, al ser utlzadas correctamente, permten determnar el grado de valdez y confabldad, ya sea en las predccones o las conclusones obtendas a partr de la muestra. PAUL NEWBOLD en el lbro, Estadístca para los Negocos y la economía, realza un estudo completo sobre las dstrbucones muestrales, los ntervalos de confanza, las pruebas de hpótess y la regresón lneal; temas del presente modulo Mohammed A. Shayb, en el lbro, Appled Statstcs, aporta en otro doma un estudo completo sobre los temas tratados, así como algunos problemas de aplcacón.

11 6. ESTRUCTURA DEL MODULO DISTRIBUCIONES FUNDAMENTALES DE MUESTREO Dstrbucón en el muestreo de la meda muestral Dstrbucón en el muestreo de una proporcón muestral Intervalos de confanza para la meda poblaconal ESTIMACIONES POR INTERVALOS Intervalos de confanza para la proporcòn poblaconal ESTADÍSTICA INFERENCIAL Intervalos de confanza para la dferenca de meda de dos poblacones Prueba de hpòtess para la meda poblaconal CONTRASTE DE HIPÓTESIS Prueba de hpòtess para la proporcòn poblaconal Prueba de hpòtess para la dfrenca de meda de dos poblacoones Estmacòn por mìnmos cuadrados REGRESIÓN LINEAL SIMPLE Verfcacón de hpótess y capacdad explcatva de una funcón de regresón lneal.

12 7. COMPETECIAS TRANSVERSALES A DESARROLLAR Competencas del Saber Comprende las dstrbucones muéstrales de medas y proporcones. Interpreta ntervalos de confanza para le meda y para proporcones poblaconales. Comprende el contraste de hpótess para la meda y proporcón poblaconal. Comprende el método de los mínmos cuadrados para determnar la ecuacón de regresón lneal. Competencas del Saber Hacer Aplca las dstrbucones muéstrales de medas y proporcones en stuacones concretas de la Admnstracón, para el cálculo de probabldades Estma ntervalos de confanza para le meda y para proporcones poblaconales. Formula y contrasta hpótess en stuacones específcas de la Admnstracón, tanto para la meda muestral como para proporcones Utlzar el método de mínmos cuadrados ordnaros, para la estmacón de parámetros del modelo de regresón en dos varables y establecer nferencas a cerca de estos.

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14 PRESENTACION La rama de la estadístca dedcada a la nferenca trata báscamente con las generalzacones y predccones, por ejemplo, se puede estar nteresado en averguar acerca de la meda o varanza de la dstrbucón poblaconal de las rentas famlares en una cudad de la Costa Atlántca, o sobre la proporcón de famlas de esta cudad que tenen unos ngresos nferores a $ Para hacer este tpo de afrmacones las poblacones suelen ser demasado grandes para estudarlas en su totaldad, por lo tanto se hace necesaro elegr una muestra representatva que tenga un tamaño más manejable, sobre la base de la nformacón muestral; nuestro objetvo será hacer nferenca acerca de la poblacón de la que procede la muestra. PREGUNTA PROBLEMA Cómo se puede aplcar las dstrbucones muestrales en la solucón de stuacones concretas de una empresa? COMPETENCIAS ESPECÍFICAS 1. Defne que es una dstrbucón muestral.. Utlza nformacón para crear una dstrbucón muestral. 3. Aplca las dstrbucones muéstrales de medas y proporcones para el cálculo de probabldades en stuacones concretas de empresas SABERES Dstrbucón muestral Dstrbucón en el muestreo de la meda muestral Dstrbucón en el muestreo de una proporcón muestral

15 DINÁMICA PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO ACTIVIDAD PREVIA (Trabajo Indvdual) Supongamos una poblacón de 6 famlas cuyos gastos mensuales en educacón, en mles de pesos, son: 10, 100, 90, 95, 115, 110. Con base en esta nformacón responde: 1. Cuantas muestras dferentes de 3 famlas pueden obtenerse?. Cuantas muestras dferentes de 4 famlas pueden obtenerse? 3. La meda muestral del gasto es gual para cada muestra? 4. La meda de las medas muestrales es gual para las muestras de tres famlas que para las de cuatro? 5. La meda para la poblacón es gual a la meda de las medas muestrales para las muestras de tres famlas o para las de cuatro famla. 6. La desvacón estándar de la meda de medas es gual para cualquer tamaño de muestra? 7. La desvacón estándar de la meda de medas muestrales es gual a la de la poblacón? ACTIVIDAD GRUPAL 1 Socalce los resultados obtendos ndvdualmente y escrba sus conclusones al respecto. Justfque el uso del factor de correccón para poblacones fntas al calcular el error típco. 3 Haga un lstado de las dudas e nquetudes presentadas en la socalzacón de las actvdades anterores.

16 SABERES Y ACTIVIDADES 1 DISTRIBUCIONES MUESTRALES 1.1 DISTRIBUCION MUESTRAL Quenes toman decsones lo hacen con solo tomar una muestra.por ejemplo, consdérese un fabrcante que desea saber los tempos que requeren en promedo los trabajadores para termnar un trabajo dado, o la cantdad promedo de combustble necesaro para envar un camón a certa dstanca, o la edad promedo de quenes utlzan un producto, o la porcón de mercado para un producto, o el porcentaje de undades defectuosas en un lote de produccón o sobre la proporcón de personas que ven un determnado programa de televsón. En todos estos casos el estadístco está nteresado en saber algo sobre una poblacón estadístca. A falta de un censo, el conocmento deseado sobre parámetros como la meda de la poblacón ( ), la desvacón estándar de la poblacón ( ) o la proporcón de una poblacón ( ), sólo se puede adqurr s se saca una muestra representatva de la poblacón, se calcula los estadístcos como la meda muestral ( ), la desvacón estándar (S) o la proporcón muestral (P), y se hace nferenca sobre los parámetros a partr del ellos. El proceso de nferr los valores de parámetros desconocdos de una poblacón, a partr del estadístco de una muestra conocda se denomna estmacón. Para comprender la naturaleza de una estmacón estadístca es necesaro entender ben el concepto de la dstrbucón muestral, ésta proporcona un enlace mportante entre la muestra ndvdual que por lo general se toma y la poblacón sobre la cual se hace nferenca. Es mportante dstngur entre las característcas poblaconales y sus correspondentes cantdades muéstrales, por ejemplo la meda ( ), que es un atrbuto de la poblacón, es un número fjo desconocdo. Para hacer nferenca sobre tal atrbuto, se extrae una muestra de la poblacón y se calcula la

17 meda muestral. Dado que para cada muestra que se extraga se obtendrá,posblemente, un valor dferente de la meda, se puede pensar en esta cantdad como una varable aleatora con una certa dstrbucón de probabldad. La dstrbucón de probabldad de los posbles resultados proporconan una base para realzar nferenca sobre la poblacón. muéstrales Para lustrar el concepto consderemos que de una gran empresa que tene 300 empleados se desea tomar una muestra, por ejemplo de 5 empleados, y a partr de esta muestra calcular el salaro medo, y la proporcón P, de hombres que laboran en la empresa. Esta meda muestral srve después como estmacón de, meda artmétca del salaro de los 300 trabajadores. Como es posble extraer C 1,95x muestras dferentes de tamaño 5, para hacer más ddáctco el ejemplo, supóngase que se tene una poblacón de N=5 empleados cuyo salaro y sexo se muestran a contnuacón: TABLA 1.1 Poblacón hpotétca de salaros y sexo de empleados. EMPLEADO SALARIO MENSUAL ( Mles de peso) SEO Alejandro 400 M Berena 300 F Carlos 350 M Sandra 500 F Elecer 450 M

18 Con esta nformacón completa al alcance es fácl calcular las meddas de resumen de dcha poblacón como es el salaro mensual medo ( ), junto con su varanza ( ) y desvacón estándar ( ), así como la proporcón de hombres ( h ) en las flas de empleados. Meddas de resumen: a). Salaro. b) Sexo. 000 x h 0, 6 (Proporcón de hombres) N 5 5 ( x ) 5000, N ,71 Supóngase que no se dspone de esta nformacón tpo censo, por lo tanto se decde hacer la estmacón con una muestra aleatora de n = 3 empleados con el fn de estmar los parámetros desconocdos, entonces se elge al azar una de las muestras posbles, (véase tabla 1.), por ejemplo, la muestra conformada por los empleados: Berena, Sandra, Elecer. (B,S,E) con los cuales se tene que: = pesos, da una estmacón del salaro mensual medo de pesos y una proporcón de hombres en la empresa del 33.3%.

19 TABLA 1. Estmacones para cada una de las muestras selecconadas Número de la Undades en la Meda muestral ( ) Proporcon de muestra muestra (mles de pesos) hombres (P h ) 1 ABC 350 /3 ABS 400 1/3 3 ABE 383,333 /3 4 ACS 416,667 /3 5 ACE 400 3/3 6 ASE 450 /3 7 BCS 383,333 1/3 8 BCE 366,667 /3 9 BSE 416,667 1/3 10 CSE 433,333 /3 S se supone que la probabldad de elegr cualquer muestra es la msma, la probabldad de elegr una muestra que dé una de 350 ml es: ( ) 5C 3 Como = 400 ml, la probabldad de elegr al azar una muestra que de una estmacón exacta de es solamente de: ( ) 8 de las 10 muestra darán por resultado una cantdad errónea en el proceso de estmacón de. Esta cantdad se llama ERROR MUESTRAL, y es la dferenca entre y la meda muestral que se utlzó para estmarla. La dferenca se debe al azar; s el azar dcta que se extragan unas cuantas observacones muy grandes, la meda artmétca dará estmacones excesvas de, por ejemplo: S por azar sucede que se elja la muestra 9 en la tabla 1., la estmacón de sería

20 que es superor al valor de la meda artmétca en la poblacón, s por el contraro el azar hace que se extraga la muestra 1, la muestra dará una estmacón nsufcente de ( ) ERROR MUESTRAL: Es la dferenca entre el parámetro y el estadístco de la muestra utlzado para estmarlo. Es evdente que nunca se podrá calcular el tamaño real del error muestral, puesto que la meda poblaconal sgue sendo desconocda, pero hay que ser conscente de la probabldad de ncurrr en este error. Con una poblacón de N = 5 se puede lstar todas las medas muéstrales posbles, junto con su probabldad. Dcha lsta se llama DISTRIBUCIÓN MUSTRAL y se refleja en la tabla 1.3 TABLA 1.3 Dstrbucón muestral de la meda Meda Muestral Número de muestras que Poseen Probabldad , , , , /10 1/10 /10 /10 /10 1/10 1/10

21 Una posble nterpretacón de la tabla 1.3 es: S han de selecconarse, por ejemplo muestras aleatoras smples de tamaño n=3, de la poblacón de N = 5, podría esperarse calcular 100 veces un salaro medo de 350 ml pesos o 00 veces un salaro medo de 400 ml pesos. ESTADIGRAFOS Y DISTRBUCION MUESTRAL Supongamos que se ha extraído una muestra aleatora de una poblacón y que se desea hacer nferenca sobre certas característcas de la dstrbucón de la poblacón, esta nferenca está basada en algún estadígrafo, es decr, alguna funcón partcular de la nformacón muestral. La lsta de todos los valores posbles de un estadístco y la probabldad asocada a cada valor se denomna dstrbucón muestral. 1. DISTRIBUCION EN EL MUESTREO DE LA MEDIA MUESTRAL Supóngase que se ha extraído una muestra de n observacones de una poblacón con una meda µ y varanza, s se representan los elementos de la muestra por, antes de que la muestra haya sdo selecconada, habrá ncertdumbre sobre los resultados. Esta ncertdumbre es consecuenca del hecho de que cada uno de los membros de la muestra es una varable aleatora con meda y varanza x. S el nterés es hacer nferenca sobre la meda poblaconal, un punto de partda es el promedo de los valores muéstrales, es decr, el análss de la dstrbucón muestral de la varable aleatora.

22 En prmer lugar se determna la meda de esta dstrbucón. Como para varables aleatoras dscretas y contnuas, la esperanza matemátca de una suma es la suma de las esperanzas matemátcas, se tene que: ( ) ( ) ( ) ( )y como cada varable aleatora tene meda, entonces, ( ) Pero la meda muestral es la suma de los valores de la muestra multplcada por 1/n, por lo tanto, ( ) ( ) ( ) En consecuenca, la meda de la dstrbucón en el muestreo de la meda muestral es la meda poblaconal ( ) Esto quere decr, que la meda de las medas muéstrales, conocda como la meda general, es gual a la meda poblaconal., K numero de muestras ACTIVIDAD: Verfca estos valores con los datos de la tabla ERROR TIPICO DE LA DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS La dstrbucón muestral de las medas muéstrales tenen tambén una varanza. Esta varanza de la dstrbucón de todas las medas muéstrales mde la dspersón de las observacones ndvduales (medas muéstrales) en torno a su meda (meda general). Se calcula como cualquer otra varanza, es la meda artmétca de los cuadrados de las desvacones respecto a la meda. Es decr, s es la varanza

23 de la dstrbucón muestral de las medas muéstrales, entonces: ( ),Knúmero de muestras. Con los salaros de los 5 ejecutvos del ejemplo se tene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pesos al cuadrado. S se extrae la raíz cuadrada de la varanza de la dstrbucón de estas medas muéstrales se tene el error típco de la dstrbucón muestral. Error típco de la dstrbucón muestral en medas muéstrales. Para el ejemplo: pesos ERROR TIPICO: Es la medda de la varacón de las medas muéstrales en torno a la meda general. Por tanto, mde la tendenca a ncurrr en error de muestreo en el ntento de estmar el parámetro. S el tamaño de la poblacón es muy grande con respecto al tamaño muestral, entonces, una consecuenca del muestreo aleatoro smple es que la dstrbucón de cada uno de los valores de la muestra es ndependente de la de los otros, en tal caso la varanza de la suma es la suma de las varanzas y por tanto: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Como cada tene varanza, entonces: ( )

24 Luego ( ) ( ) ( ) Esto mplca que la varanza de la dstrbucón muestral de decrece a medda que aumenta el tamaño de la muestra. Así, cuantas más observacones tenga la muestra, más concentrada estará la dstrbucón muestral de la meda muestral alrededor de la meda poblaconal. En otras palabras cuanto mayor sea la muestra, más segura será nuestra nferenca acerca de la meda poblaconal. Se puede encontrar una aproxmacón sufcente de la varanza y del error típco con mucha más facldad medante las expresones:, Es evdente que estos formatos suponen conocer la varanza de la poblacón. 1.. ERROR TIPICO Y NORMALIDAD. S los datos de una poblacón sguen una dstrbucón normal, la dstrbucón muestral de las medas muéstrales tambén será normal, es decr, s de una poblacón que sgue una dstrbucón normal se toman todas las muestras posbles de tamaño determnado y después se calculan las medas de todas esas muestras, las medas muéstrales segurán una dstrbucón normal. Supóngase que se tenen los ngresos de varos mllares de estudantes que dan una meda de 500 ml pesos y que dchos ngresos sguen una dstrbucón normal. S se elgen todas las muestras de tamaño n de esa poblacón normal de ngreso de los estudantes, la dstrbucón muestral de las medas muéstrales tambén será normal.

25 Como el error típco de la meda muestral es, entonces, Esto quere decr que las están menos dspersas que los datos orgnales. De la expresón tambén se puede conclur que a medda que aumenta el tamaño de la muestra el error típco será menor. 1.3 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

26 Una dstrbucón de medas muéstrales sgue una dstrbucón normal s las muestras se toman de una poblacón normal, pero en muchos casos la poblacón no sgue una dstrbucón normal, entonces debemos recurrr al teorema central del límte. Esta proposcón esencal afrma que para cualquer poblacón sea normal o no, la dstrbucón de las medas muestralesse aproxmará a la normaldad s el tamaño de la nuestra es grande, (n 30) TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE: Para una poblacón con meda µ y desvacón típca a medda que el tamaño de la muestra n aumenta, la dstrbucón muestral de medas muéstrales se aproxma a una dstrbucón normal con 1. 4 FACTOR DE CORRECCION CON POBLACIONES FINITAS. El teorema central del límte y la hpótess de una dstrbucón normal de las medas muéstrales sólo se aplca s el muestreo se realza con remplazamento o la extraccón se hace de una poblacón nfnta. S la poblacón es fnta y el número n de membros de la muestra no es una fraccón muy pequeña del número N (supera el 10%) de la poblacón, no se puede asumr que los valores ndvduales de la muestra se dstrbuyan ndependentemente. S la extraccón se hace sn susttucón el proceso de muestreo queda alterado, la probabldad de elegr un elemento dado en cualquer extraccón depende de la seleccón preva realzada anterormente. S se quere compensar esta modfcacón de probabldades es precso utlzar el factor de correccón para poblacones fntas al calcular el error típco. En concreto,

27 se deduce que s la extraccón se hace sn susttucón de una poblacón fnta, la varanza es: * + * + * + [ ] EJEMPLO 1.1 La ofcna del DANE desea estmar el índce de nataldad por habtantes en las 100 localdades más grandes del país. Se sabe que la desvacón típca de los índces de nataldad de estos 100 centros urbanos es de 1 nacmentos por cada habtantes. a. Calcular la varanza y la desvacón típca de la dstrbucón muestral de n = 8 localdades. b. Calcular la varanza y la desvacón típca de la dstrbucón muestral de n= 15 localdades. SOLUCION: a. Como la fraccón se puede consderar pequeña, no se necesta el factor de correccón. La varanza y el error típco son: ( ) ; b. Como, no es una fraccón pequeña (mayor que el 10%) es precso aplcar el factor de correccón, por tanto, La varanza y el error típco son: * + * + * ( ) + * + y * + [ ]

28 1.5 DISTRIBUCIÓN EN EL MUESTREO DE UNA PROPORCIÓN MUESTRAL S se repte un expermento que tene probabldad de éxto π, entonces la varable aleatora, que recoge el número total de éxtos en n repetcones, sgue una dstrbucón bnomal. Un problema común consste en que el parámetro π sea desconocdo. Por ejemplo: una corporacón fnancera nteresada en determnar cuál es la proporcón de clentes que pagan puntualmente sus oblgacones credtcas o un gerente nteresado en la proporcón de artículos defectuosos que se producen en un turno determnado en una factoría. En stuacones de este tpo es natural basar nuestra nferenca en la proporcón de éxtos en una muestra tomada de la poblacón que nos nterese. PROPORCION MUESTRAL Sea el número de éxtos en una muestra bnomal, de n observacones, donde la probabldad de éxto es π, entonces, la proporcón de éxto en la muestra Recbe el nombre de proporcón muestral. La meda y la varanza de la dstrbucón muestral de la proporcón muestral puede deducrse fáclmente a partr de la meda y la varanza del número de éxtos que vene dado por: ( ) y ( ) ( ), luego: ( ) ( ) ( ).Es decr, la meda de la proporcón muestral es la proporcón π de éxtos en la poblacón.

29 Su varanza es : ( ) ( ) ( ) ( ) La desvacón típca de la proporcón muestral, es la raíz cuadrada de la varanza y recbe el nombre de error estándar y está dada por: ( ) Se utlza el factor de correccón s la proporcón de la muestra con respecto a la poblacón supera el 10%. En tal caso la desvacón típca de la dstrbucón de proporcones muestrales queda: ( ) S se resta a la proporcón muestral su meda π y se dvde por el error estándar, se obtene una varable aleatora con dstrbucón normal estándar. 1.6 APLICACIONES DE LAS DISTRIBUCIONES MUÉSTRALES. La mportanca de las dstrbucones muéstrales estrba en que muchas decsones se toman a partr de resultados muéstrales, por ejemplo: El drector de una empresa elge una muestra de un producto para determnar s se cumplen determnadas especfcacones de produccón. Un organsmo ofcal toma una muestra de vecnos de una poblacón para decdr s un determnado programa de Benestar producrá los resultados deseados.

30 El gerente de una compañía de seguro elge una muestra para determnar la proporcón de clentes que utlzan el seguro por accdente de sus vehículos. Una aplcacón muy corrente de la dstrbucón muestral es determnar la probabldad de que la meda de una muestra caga dentro de un ntervalo determnado. Puesto que la dstrbucón muestral segurá una dstrbucón normal porque: 1. La muestra se toma de una poblacón normal y. El teorema Central del Límte garantza la normaldad s se selecconan muestras grandes, y además, muchas decsones empresarales dependen de una muestra completa y no solo de una observacón, entonces la fórmula de transformacón ha de ser modfcada para que se tenga en cuenta que no estamos nteresados en una observacón sno en la meda y la fórmula Z se converte en: Varable tpfcada de la dstrbucón muestral. EJEMPLO 1. La desvacón típca de las compras realzadas por los clentes de una tenda concreta es de 18 dólares. S se toma una muestra al azar de 100 consumdores. a. Cuál es el error típco de la dstrbucón muestral? b. Cuál es la probabldad de que la meda muestral supere la meda poblaconal en más de 5 dólares? SOLUCION: a.

31 b. Como la dferenca entre se establece en se tene: o un área de 0,4973. Luego: ( ) ( ) Es decr, la probabldad de que la meda muestral supere la meda poblaconalen más de 5 dólares es de 0,7% EJEMPLO 1.3 La duracón de las bombllas producdas por un certo fabrcante tene una meda de 1.00 horas y una desvacón típca de 400 horas. La poblacón sgue una dstrbucón normal. Suponga que se han comprado 49 bombllas que pueden ser consderadas como una muestra aleatora de la produccón del fabrcante. a. Cuál es la meda de la meda muestral de la duracón de estas bombllas? b. Cuál es la varanza de la meda muestral? c. Cuál es el error estándar de la meda muestral? d. Cuál es la probabldad de que el tempo medo de la duracón de las 49 bombllas sea de menos a 1050 horas? SOLUCIÓN: a. Como b. c. d. Se calcula el valor de Z asì: La probabldad pedda es : ( ) ( )

32 La probabldad que una varable aleatora sea menor que -,63 según la tabla 1 del apéndce es: 0,5 0,4957 = 0,0043, luego la probabldad de que el tempo medo de duracón de las 49 bombllas sea menor de horas es del 0,43%. EJEMPLO 1.4 En un curso de admnstracón de empresas hay 50 estudantes. Cada uno de los ntegrantes de una muestra aleatora de 50 estudantes es nterrogado con el fn de estmar la cantdad de tempo que gasta semanalmente en resolver los problemas de estadístcas. Supóngase que la desvacón típca de la poblacón es de 30 mnutos. a. Cuál es la probabldad de que la meda muestral exceda a la meda poblaconal en más de,5 mnutos? b. Cuál es la probabldad de que la meda muestral este más de 5 mnutos por debajo de la meda poblaconal? c. Cuál es la probabldad de que la meda muestral dfera de la meda poblaconal en más de 10 mnutos? SOLUCIÓN:

33 a. Como la dferenca entre se establece en y además la fraccón, entonces se debe utlzar el factor de correccón para poblacones fntas en el cálculo el error estándar, es decr: [ ] Luego: ( ) ( ( ) La probabldad de que la meda muestral exceda a la meda poblaconal en más de,5 mnutos es del 5,46% b. La expresón que la meda muestral este más de 5 mnutos por debajo de la meda poblaconal se puede escrbr como : Luego: ( ) ( ) ( ) La probabldad de que la meda muestraleste más de 5 mnutos por debajo de la meda poblaconal es de 9,51% c. La expresón que la meda muestral dfera de la meda poblaconal en más de 10 mnutos se puede escrbr así: o Luego la probabldad de que la meda muestral dfera en mas de 10 mnutos de la meda poblaconal está dada por: ( ) ( ) ( )

34 EJEMPLO 1.5 Una empresa empacadora de cereales asegura que la meda del peso que contenen las cajas de estos cereales es de 00 gramos y sus desvacón típca de 6 gramos. La dstrbucón en los pesos es normal. Se elgen 4 cajas que pueden ser consderadas como una muestra aleatora del total de la produccón. a. Cuál es el error estándar de la meda muestral del peso de estas 4 cajas? b. Cuál es la probabldad de que, como meda, el peso de estas 4 cajas sea menor que 197 gramos? c. Cuál es la probabldad de que, como meda, el peso de estas 4 cajas sea mayor que 06 gramos? d. Cuál es la probabldad de que, como meda, el peso de estas cuatro cajas este entre 195 y 05 gramos? SOLUCION: a.

35 b. Se calcula el valor de Z: Luego: ( ) ( ) La probabldad pedda es del 15,87%. c. Se calcula el valor de Z: Luego: ( ) ( ) La probabldad pedda es del,8% Ahora se pde calcular ( ) y ( ) ( ) ( ) EJEMPLO 1.6 El dueño de una tenda de dscos ha comprobado que el 0% de los clentes que entran a su tenda realzan alguna compra. Un día entran a la tenda 180 personas, que pueden ser consderados como una muestra aleatora de todos los clentes: a. Cuál será la meda de la proporcón muestral de clentes que realzaron alguna compra? b. Cuál es la varanza de la proporcón muestral? c. Cuál es el error estándar de la proporcón muestral? d. Cuál es la probabldad de que la proporcón muestral sea menor que 0,15? SOLUCION: a. ( ) ( ) b. La dstrbucón muestral de tene varanza ( ) ( ) El error muestral de la dstrbucón de es: ( ) =0,098

36 c. La varable tpfcada es: Por lo tanto ( ) ( ) (ver grafca) La probabldad de que la proporcón muestral sea menor que 0,15 es de 4,75% EJEMPLO 1.7 Un proceso ndustral genera el 8% de undades defectuosas. Usted compra 100 undades, cual es la probabldad de que sean defectuosas menos del 10%. SOLUCION: ( ) ( ) ( )

37 La probabldad de que sean defectuosos menos del 10% es del 77%. EJEMPLO 1.8 Un proceso de produccón en curso produce un 10% de artículos defectuosos. Un nspector de caldad toma una muestra aleatora smple de 70 artículos y rechazará toda la produccón s más de un 5% de la muestra está defectuosa. Cuál es la probabldad de rechazo? SOLUCION: ( ) ( ) ( ) La probabldad de que sea rechazada toda la produccón es del 91,77% Consulte las sguentes págnas en ntenet:

38 1.5 RESUMEN La DISTRIBUCIÓN MUESTRAL proporcona un enlace mportante entre la muestra ndvdual que por lo general se toma y la poblacón sobre la cual se hace nferenca y se defne como La lsta de todos los valores posbles de un estadístco y la probabldad asocada a cada valor. ERROR MUESTRAL: Es la dferenca entre el parámetro y el estadístco de la muestra utlzado para estmarlo. ERROR TIPICO: Es la medda de la varacón de las medas muéstrales en torno a la meda general. Por tanto, mde la tendenca a ncurrr en error de muestreo en el ntento de estmar el parámetro y está dado por TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE: A medda que el tamaño de la muestra n aumenta, la dstrbucón muestral de medas muéstrales se aproxma a una dstrbucón normal con S la poblacón es fnta y el número n de membros de la muestra no es una fraccón muy pequeña del número N de la poblacón, no se puede asumr que los valores ndvduales de la muestra se dstrbuyan ndependentemente, la probabldad de elegr un elemento dado en cualquer extraccón depende de la seleccón preva realzada anterormente. Para compensar esta modfcacón de probabldades es precso utlzar el factor de correccón para poblacones fntas al

39 calcular la varanza y el error típco. S la extraccón se hace sn susttucón de una poblacón fnta, la varanza es: * + * + * + [ ] PROPORCION MUESTRAL: Sea el número de éxtos en una muestra bnomal, de n observacones, donde la probabldad de éxto es π entonces, la proporcón de éxto en la muestra, Recbe el nombre de proporcón muestral. La meda y la varanza de la dstrbucón muestral de lasproporconesmuestralesestán dadas por: ( ) ( ) ( ) La desvacón típca de la proporcón muestral, es la raíz cuadrada de la varanza y recbe el nombre de error estándar. ( ) y ( ) s Varable tpfcada de la dstrbucón muestral de medas. Varable tpfcada de la proporcón muestral.

40 Taller 1 1. Los gastos semanales (en dólares) en publcdad hechos por N = 5 competdores se ndcan en la sguente tabla. Establezca la dstrbucón muestral para el promedo de gastos, para una muestra aleatora smple de 3 competdores. COMPETIDOR DOLÁRES A 100 B 9 C 118 D 70 E 135. Un banco reporta que la poblacón de sus saldos de depósto a la vsta están normalmente dstrbudos con una meda de 1.00 y una desvacón estándar de 50. Un audtor rechaza certfcar el reporte del banco y toma una muestra aleatora de 36 estados de cuentas. El certfcará el reporte solo s la meda muestral se encuentra a 50 dólares de la supuesta meda poblaconal. Cuál es la probabldad de dcho hallazgo? 3. Una fábrca produce pstones cuyos dámetros se encuentran adecuadamente clasfcados por una dstrbucón normal con un dámetro promedo de 0 centímetros y una desvacón estándar gual a 0,004 centímetros. Para que un pstón srva, su dámetro debe encontrarse entre 4,998 y 5,00 centímetros. S el dámetro del pstón es menor que 4,998 se desecha; s es mayor que 5,00 el pstón puede reprocesarse. Se seleccona una muestra de 8 pstones. Qué porcentaje será desechado? Qué porcentaje será reprocesado?

41 4. Cuando un certo proceso de produccón está funconando correctamente, la resstenca en ohmos de los componentes producdos sgue una dstrbucón normal con meda 9 y desvacón típca 3,6. Se toma una muestra aleatora de cuatro componentes a. Hallar la meda de la dstrbucón muestral de la meda muestral de la resstenca. b. Hallar la varanza de la meda muestral. c. Hallar el error estándar de la meda muestral d. Cuál es la probabldad de que la meda muestral resulte ser mayor que 93 ohmos. 5. Supongamos que la desvacón típca de la cuota pagada mensualmente por los estudantes de certa cudad amercana es de 40 dólares. Se toma una muestra de 100 estudantes con el fn de estmar la renta meda pagada mensualmente por el total de la poblacón de estudantes. a. Cuál será el error estándar de la meda muestral de la cuota mensual? b. Cuál es la probabldad de que la meda muestral exceda a la meda poblaconal en más de cnco dólares? c. Cuál es la probabldad de que la meda muestral este más de 4 dólares por debajo de la meda poblaconal? d. Cuál es la probabldad de que la meda muestral dfera de la meda poblaconal en más de tres dólares 6. Una compañía quere estmar la proporcón de personas que son posbles compradores de afetadoras eléctrcas y que ven los partdos de fútbol del campeonato naconal. Se toma una muestra de 10 ndvduos que se dentfcaron como posbles compradores de afetadoras eléctrcas.suponga

42 que la proporcón de posbles compradores de afetadoras eléctrcas en la poblacón que ven las transmsones es del5%. a es la probabldad de que la proporcón muestral exceda a la proporcón poblaconal en qué valor? b. 0,05 es la probabldad de que la proporcón muestral este por debajo de la proporcón poblaconal en qué cantdad? c. 0,30 es la probabldad de que la proporcón muestral dfera de la proporcón poblaconal en qué cantdad? 7. Una fábrca tene a 439 obreros contratados. De ellos 39 están preocupados sobre sus futuras pensones. Se toma una muestra de 80 obreros y se les nterroga con el fn de estmar la proporcón de la poblacón que está preocupada sobre el futuro de su pensón. a. Cuál será el error estándar de la proporcón muestral de obreros preocupados? b. Cuál es la probabldad de que la proporcón muestral sea menor que 0.5? c. Cuál es la probabldad de que la proporcón muestral se encuentre entre 0.5 y 0,6? 8. El ncremento porcentual del salaro de los drectores ejecutvos de medanas corporacones sgue una dstrbucón normal con una meda del 1.% y una desvacón típca del 3.6%. Se toma una muestra aleatora de 81 de estos drectores ejecutvos. Cuál es la probabldad de que, en promedo, los ndvduos de la muestra tengan ncrementos salarales menores del 10%? 9. Un proceso de fabrcacón produce undades de longtud meda gual a 10 pulgadas, con una desvacón típca de 3. pulgadas. S solo se pueden utlzar

43 undades que mdan entre 9.5 y 10.5 pulgadas, cuántas de las muestras de la muestra de 100 habrá que desechar? 10. El alcalde una cudad de 950 vecnos pensa que la renta meda de éstos es de por lo menos $65.000, con una desvacón típca de $ S se toma una muestra aleatora de 150 personas. Cuál es la probabldad de la renta meda de estos sea mayor que $ ? 11. La desvacón típca del tempo empleado para formar a un trabajador en la realzacón de una tarea es de 40 mnutos. Se toma una muestra aleatora de 64 trabajadores: 1. Cuál es la probabldad de que la meda muestral supere a la meda poblaconal en más de 5 mnutos? a. Cuál es la probabldad de que la meda muestral sea nferor en b. Cuál es la probabldad de que la meda muestral sea nferor en mas de 4 mnutos a la meda poblaconal. c. Cuál es la probabldad de que la meda muestral dfera de la meda poblaconal en más de 3 mnutos? 1. Una compañía farmacéutca sabe que un 5% de todos los usuaros de certo medcamento expermentan graves efectos colaterales. S se examna una muestra aleatora smple de 10 usuaros, calcule cuál es la probabldad de hallar: a. Qué no hay efectos colaterales. b. Entre 5 y 10 casos con efectos colaterales. c. Más de 10 casos con efectos colaterales. nesmuestrales.pdf

44 Evaluacón Con base en la nformacón responda las preguntas 1 a 4 Supongamos que la desvacón típca de la cuota pagada mensualmente por los estudantes de certa cudad amercana es de 40 dólares y se toma una muestra de 100 estudantes con el fn de estmar la renta meda pagada mensualmente por el total de la poblacón de estudantes. 1. El error estándar, en dólares, de la meda muestral de la cuota mensual es: A. 0,40 B. 40,0 C. 4,00 D La probabldad de que la meda muestral exceda a la meda poblaconal en más de cnco dólares es: A. 0,1056 B. 0,3944 C. 0,50 D. 0, La probabldad de que la meda muestral este más de 4 dólares por debajo de la meda poblaconal es: A. 0,3413 B. 0,8413 C. 0,1587 D. 0, La probabldad de que la meda muestral dfera de la meda poblaconal en más de tres dólares es: A. 54,68% B. 77,34% C. 45,3% D. 7,34% Con base en la nformacón responda las preguntas 5 a 8

45 En un curso de admnstracón de empresas hay 50 estudantes. Cada uno de los ntegrantes de una muestra aleatora de 50 estudantes es nterrogado con el fn de estmar la cantdad de tempo que gasta semanalmente en resolver los problemas de estadístcas. Supóngase que la desvacón típca de la poblacón es de 30 mnutos 5. El error estándar, mnutos, de la meda muestral del tempo que se gasta semanalmente en resolver los problemas de estadístcas, es: A. 3,80 B.4,4 C.0,60 D.9,13 6. La probabldad de que la meda muestral exceda a la meda poblaconal en más de,5 mnutos es: A. 74,54% B. 4,54% C. 30,85% D. 5,46% 7. La probabldad de que la meda muestral este más de 5 mnutos por debajo de la meda poblaconal es: A. 0,8413 B. 0,0934 C. 0,1857 D. 0, La probabldad de que la meda muestral dfera de la meda poblaconal en más de 7 mnutos es: A. 0,0658 B. 0,8384 C. 0,0808 D. 0,919

46 PRESENTACION

47 Se estudó anterormente la estmacón de un parámetro desconocdo de la poblacón, es decr, el cálculo de un únco número que fuera una buena aproxmacón para dcho parámetro. En la gran mayoría de los casos práctcos, un estmador puntual por s solo no es adecuado. Por ejemplo, supongamos que un control realzado sobre una muestra aleatora de pezas procedentes de un gran lote de produccón nos lleva a estmar que un 10% de todas las pezas son defectuosas. Un gerente que se enfrente a este dato posblemente se hará preguntas del tpo: puedo estar totalmente seguro de que el verdadero porcentaje de pezas defectuosas está entre el 5% y el 15%? o es muy posble que entre el 8% y el 1% de las pezas sean defectuosas? Esta clase de preguntas va más allá de la contenda en una smple estmacón puntual; son preguntas que buscan conocer la fabldad de dcho estmador. En otras palabras se trata de la búsqueda de un estmador por ntervalos, un rango de valores entre los que posblemente se encuentre la cantdad que se estma. PREGUNTA PROBLEMA Cómo se pueden aplcar los ntervalos de confanza en la toma de decsones empresarales? COMPETENCIAS ESPECÍFICAS 1. Estma e nterpreta ntervalos de confanza para la meda poblaconal. Estma e nterpreta ntervalos de confanza para la proporcón poblaconal 3. Estma e nterpreta ntervalos de confanza para la dferenca de dos meda poblaconales SABERES

48 Intervalos de confanza Intervalos de confanza para la meda poblaconal Intervalos de confanza para proporcones poblaconales Intervalos de confanza para la dferenca de meda de dos poblacones DINÁMICA PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO ACTIVIDAD PREVIA (Trabajo Indvdual). Clasfca los sguentes ntervalos en Abertos, Cerrados o sem aberto: A. x R / x 5 B. x R / x C. x R / 1 x 5 D. x R / 0 x 7 E. x R / 4 x 5 F. x R / x 3. Estmar un parámetro por ntervalo consste en: A. Hallar el máxmo valor que puede tomar el parámetro. B. Calcular el valor mínmo del parámetro. C. Calcular entre que valores está el parámetro. D. Calcular entre que valores está, posblemente, el parámetro. 3. Al estmar un ntervalo de confanza para un parámetro, se cumple que:

49 A. La ampltud es ndependente del tamaño de la muestra. B. La ampltud es ndependente del nvel de confanza. C. A mayor nvel de confanza, mayor ampltud para una msma muestra. D. A menor nvel de confanza, mayor ampltud para una msma muestra. ACTIVIDAD GRUPAL 1 Socalce los resultados obtendos ndvdualmente y escrba sus conclusones al respecto. Haga un lstado de las dudas e nquetudes presentadas en la socalzacón de las actvdades anterores. 3 Realce dferentes redaccones para la nterpretacón de los ntervalos de confanza. Seleccone la que consdere más adecuada y que presente mayor clardad. SABERES Y ACTIVIDADES

50 . ESTIMACION POR INTERVALOS.1 INTERVALOS DE CONFIANZA Se puede partr del hecho que cualquer parámetro que se estme es gual al estadístco que se utlce como estmacón puntual más el error muestrale (negatvo o postvo). Para el caso de la meda muestral se tene: + e S tomamos como ejemplo los datos de la tabla 1. y se seleccona la muestra (1), = , aquí se manfesta un error muestral de e = por lo tanto Al selecconar la muestra (6) = , se manfesta un error muestral negatvo de e = , por lo tanto: = ( ) = La nevtable ncertdumbre sujeta a cualquer estmacón puntual se puede hacer explícta s se presenta una estmacón por ntervalos y se ndca por ejemplo que I S, en donde I es el límte nferor y S es el límte superor. Se acostumbra a construr dchos ntervalos al hacer que la estmacón puntual sea el centro del ntervalo y creando un rango abajo y arrba del centro con ayuda del error estándar del estmador (error típco). Entonces el parámetro desconocdo se supone que se encuentra dentro del ntervalo pero no necesaramente en su centro. Sn embargo, los límtes del ntervalo no necestan estar precsamente en el error estándar abajo o arrba de la estmacón puntual. Al defnr un coefcente C como cualquer valor postvo de fraccón o entorno se puede hacer la afrmacón

51 I.C = Estmacón puntual C.( error típco) INTERVALO DE CONFIANZA: S de una poblacón dada se toman repetdamente muestras aleatoras de tamaño n, se encontraran muchos valores dferentes de un estadístco muestral dado. S a este valor se suma y se resta una certa cantdad, el estadístco muestral se converte en un rango de valores entre los que presumblemente se puede encontrar el parámetro poblaconal desconocdo. A este rango de valores se le llama ntervalo de confanza EJEMPLO.1 Una muestra de salaros ha determnado = $ que podría servr como estmacón puntual de, el error típco es = Crear varas estmacones posbles de ntervalos de con base en error estándar de 0.5, 1.0,.0 SOLUCIÓN: I. C para C. a) S C se toma como 0.5, se estma que se encuentre entre los límtes: (3.50) Luego b) S C se toma como 1, se estma que se encuentra entre los límtes (1) (350) Luego

52 c) S C se toma como.0, se estma que se encuentra entre los límtes () (350) Luego El ejemplo nos muestra claramente que valores más grande de C producen ntervalos más anchos y, por tanto, estmacones menos precsas. El ancho del ntervalo está relaconado con el grado de confanza con el que se puede ndcar que el parámetro de la poblacón en procesos de estmacón se encuentra entre los límtes del ntervalo. S la dstrbucón muestral del estmador utlzado es aproxmadamente normal, el coefcente C de la expresón: I.C = Estmacón puntual C ( error típco) Se puede tratar como un valor Z tal que I.C = Estmacón puntual Z ( error típco) La tabla 1 del apéndce se puede utlzar para calcular las áreas bajo la curva normal que se encuentra dentro de los límtes así calculados. Consdere una dstrbucón normalmente dstrbuda de, y sea 40 y 4,66. Para hacer estmacones de ntervalos de la meda poblaconal, se puede ver a comprenddo en el ntervalo tanto Z. ) ( Z. ) ( Z., por lo S la muestra aleatora selecconada de la tabla 1. produce una 350 qué puede conclurse?

53 Al gual que en el ejemplo.1 la respuesta depende del valor de Z. a) S Z = 0.5, se tene que el área bajo la curva normal estándar entre el centro y Z = 0.5 es 0,1915, por lo tanto el área entre Z = y Z = 0.5 es gual a (0,1915) = Debdo a que el centro de la dstrbucón muestral se encuentra en, se puede tener un 38% de confanza en que nuestro método de construccón del ntervalo producrá un ntervalo que en realdad contene a. En efecto ( 8,87) 350 0,5(8,87) ; 335,57 364,44 Este ntervalo no contene a 400 b) S Z = 1.0, se tene que el 68% de todos los valores de caen dentro del ntervalo de. Se puede tener un 68,8 % de confanza en que 1 nuestro método de construccón de ntervalo producrá un ntervalo que contendrá a. Este ntervalo no contene a ,13 378,87 c) S Z =.0, entonces 95,44% de todos los valores de caen dentro del ntervalo de. Por lo tanto se puede tener un 95,44% de confanza en que nuestro método de construccón de ntervalo producrá un ntervalo que contendrá a. Este ntervalo contene a 400 9,6 407,74

54 Se nota que un valor de Z más pequeño sgnfca una mayor precsón en la estmacón (un ntervalo más angosto), pero tambén mplca un menor grado de confanza en la estmacón. Un valor de Z mayor quere decr menos precsón (un ntervalo más ancho) pero mplca un mayor grado de confanza. S de una poblacón dada se toman repetdamente muestras aleatoras smples de tamaño n, se encontraran muchos valores dferentes de un estadístco muestral dado y se podrá construr muchos ntervalos de confanza dferentes; algunos de ellos contendrán el parámetro poblaconal desconocdo pero otros no. El porcentaje de ntervalos que se puede esperar contengan el valor real del parámetro, cuando se utlce una y otra vez el msmo procedmento de construccón, se denomna Nvel de confanza. El porcentaje de ntervalos que se espera no contengan el valor real del parámetro, se denomna Nvel de sgnfcanca (α).1.1 INTERPRETACION DE LOS INTERVALOS DE CONFIANZA. Un ntervalo de confanza se puede nterpretar de dos maneras dferente. Consderemos el ejemplo.1 parte c; en él se tene un nvel de sgnfcanca del 95,44%, entonces este ntervalo se puede nterpretar así: 1. Confía al 95,44% en que la meda de salaros se encuentra entre $9.60 y $ S se construyen todos los ntervalos de confanza posble ( nc N ), el 95,44% de ellos nclurá el parámetro desconocdo, meda de los salaros.

55 .3 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL. MUESTRAS GRANDES. Una de las aplcacones más correntes de los ntervalos de confanza es la de estmar la meda poblaconal. Por ejemplo: La estmacón del nvel medo de produccón, estmacón del nvel medo de ventas trmestrales, estmacón del nvel medo salaral de una empresa. Para la construccón del ntervalo de confanza se utlzan las fórmulas: I. C para Z. cuando se conoce I. C para Z. S cuando es desconocd o. EJEMPLO. La operadora de una central telefónca está concente de que la poblacón de duracón de llamadas está normalmente dstrbuda con una desvacón estándar de cuatro mnutos. Una muestra aleatora de 50 llamadas produce una duracón meda de 9.1 mnutos. Construya e nterprete un ntervalo de confanza del 95% para la duracón meda de todas las llamadas. SOLUCION: 4 mnutos. n 50 llamadas 9,1 mnutos Nvel de confanza 95%

56 Se tene una poblacón grande, con conocdo, luego: n ,5657 Para un nvel de confanza del 95%; Z = 1,96 Luego I.C Para Z. I.C Para 9,1 (1,96) (0.5657) I.C Para 9.1 1, 1085 Luego: 7, Esto quere decr que con una confanza del 95% se puede afrmar que la duracón meda de las llamadas que entran a la central telefónca esta entre 7,99 y 10,1 mnutos. EJEMPLO.3 Se sabe que la poblacón normalmente dstrbuda de nversones en accones hechas por 75 empleados de una frma tene una desvacón estándar de 99 dólares. Una muestra aleatora de 36 empleados demuestra una nversón meda de 736 dólares, construya e nterprete un ntervalo de confanza del 99,8% para la nversón meda de todos los empleados

57 SOLUCION: N n Nvel de confanza 99,8 Como la fraccón de muestreo n/n es mayor del 10% se aplca el factor de correccón para calcular Luego n N n N ,98 Luego I.C para Z. el valor de Z requerdo es de 3,08 Así I.C para 736 (3.08) (11,98) 699,1 77, 9 Lo cual ndca que la nversón meda de los empleados de la frma en estudo está comprendda entre 699,1 y 77,9 dólares. EJEMPLO.4 En una cudad donde hay 00 gasolneras, un economsta toma una muestra aleatora de 50 de ellas, cuyo preco promedo de gasolna es de pesos por galón, con una desvacón estándar muestral de 68 pesos por galón. Determne e nterprete un ntervalo de confanza del 80% para el preco promedo en la cudad, s se supone que la dstrbucón poblaconal es normal.

58 SOLUCION: N = 00 gasolneras n= 50 = pesos por galón S = 68 Nvel de confanza = 80% Se tene una muestra grande, con una fraccón de muestreo n/n mayor del 10%, luego se hace necesaro aplcar el factor de correccón. es desconocdo. S n N n ,35 N El valor de Z requerdo es de 1,8 Luego I. C para Z. S I. C para 5839 (1,8)(8,35) I. C para , , ,69 Esto nos ndca que el preco promedo de la gasolna por galón en la cudad esta entre 588,31 y 5849,69 pesos.

59 .4 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONALMUESTRAS PEQUEÑAS. Exste un número nfnto de stuacones práctcas donde no es posble obtener una muestra grande, las razones sobran, ncluyendo el alto costo de muestreo. Un ejemplo común es el de las compañías de seguro que comprueban la resstenca de los automóvles a las colsones. Destrur 30 vehículos o más puede ser muy costoso. Cuando se toma una muestra pequeña (n< 30) la dstrbucón normal puede ser nadecuada. Es decr, cuando la muestra es pequeña y es desconocda, no se deberá aplcar la dstrbucón Z. En este caso de muestras pequeñas, los errores estándar de la meda y la proporcón y se estman solo en forma defcente con la ayuda de desvacones estándar muéstrales, S y P x P Como prmero lo demostró Wllam S Gosset, cervecero nglés, que escrbía bajo el seudónmo de student (estudante), en las crcunstancas especfcadas, se puede dervar mejores estmacones de ntervalos s se usa una funcón de densdad de probabldad algo dferente de la curva normal. Gosset, descrbó una dstrbucón muestral para una varable aleatora, t, dervada de una poblacón normalmente dstrbuda y defnda en analogía a la desvacón normal estándar Z. Esto se lustra en la fgura.1

60 FIGURA.1 Comparacón de la dstrbucón Z y la dstrbucón t FIGURA. Famla de dstrbucones t

61 Como la curva normal estándar, la funcón de densdad de probabldad de Gosset, ahora llamada dstrbucón t de student, es: 1. De un solo pco sobre la meda de la varable aleatora. La meda, la medana y la moda son cero.. Perfectamente smétrca alrededor de su valor central. 3. Caracterzada por colas que se extenden ndefndamente en ambos dreccones desde el centro y se aproxman pero nunca tocan al eje horzontal. La únca dferenca es que la varable aleatora es t y no Z; como resultado de esto la varanza de la dstrbucón no es gual a 1, sno que es gual a n1 n 3 Esta varanza de t mplca que exste una dstrbucón t dferente para cada tamaño muestral n, y tambén que la dstrbucón t se aproxma a la dstrbucón Z a medda que aumenta el tamaño muestral. La dstrbucón t para n = tene una varanza gual a uno (1) y es ndstnguble de la normal (véase fgura.). EL valor adecuado de t se puede encontrar en la tabla del apéndce. Dcha tabla muestra el área bajo una curva específca, defnda por un número dado de grados de lbertad, que se encuentran a la derecha de un valor específco de t (df), esta área de cola superor se denomna y este valor de t se desgna como t. Con frecuenca los grados de lbertad (df) aplcables se agregan al subíndce ya sea en paréntess o después de una coma: t ( df ) o t, df

62 Por ejemplo, para 10 grados de lbertad y un área de cola superor de.1, t 1 1,37. En otras palabras, 0.1 del área bajo la curva t apropada para 0 (10) una muestra de n = 11 está asocada con t > 1,37. Debdo a la smetría de la curva 0.1 del área bajo esta curva tambén esta asocada con t < - 1,37. En consecuenca, 0.8 del área bajo la curva esta asocada con valores de t entre 1,37 y 1,37; la probabldad para dcho valor t es gual a 0.8. Para construr una estmacón de ntervalos con un nvel de confanza de 0.8, o sea del 80% se debe usar t = 1,37. Luego los ntervalos de confanza se pueden construr con ayuda de los valores t de la tabla del apéndce así: EJEMPLO.5 Una empresa de alquler de coches está nteresada en conocer el tempo medo que sus vehículos permanecen en el taller de reparacones. Una muestra aleatora de 9 coches ndcó que el pasado año el número de días que cada uno de estos coches había permanecdo fuera de servco fue: Especfcando las hpótess necesaras, calcular e nterpretar ntervalos de confanza del 90% para el número medo de días que la totaldad de los vehículos de la empresa se encuentran fuera de servco.

63 SOLUCION: Se debe suponer que la dstrbucón de la poblacón es normal, como un prmer paso, se tene que hallar la meda y la varanza muestral (con la ayuda de una calculadora). 16, S 4,79 Luego I. C para t S donde S 4,79 9 1,5967 con t 0.10,8 1,860 Así: I. C para 16, I. C para 16, 13,5 19,19 (1,860) (1,5967),9696 Con un nvel de confanza del 90% se estma que,en promedo, los vehículos de la empresa se encuentran fuera de servco entre 13 y 19 días. EJEMPLO.6 El conveno colectvo entre el sndcato de una empresa y la admnstracón de la msma exgía que la produccón meda de una seccón de la fábrca se mantuvera en 11 undades por empleado y mes. Surgeron desacuerdos entre las partes sobre el cumplmento de esta norma. El conveno colectvo especfcaba que s la produccón meda descendía por debajo de la cantdad estpulada de = 11, estaba autorzada a tomar meddas correctvas. Para ahorrar costo se decdó nspecconar solamente 0 obreros que deron una meda de 106 undades. Supóngase que se halló una desvacón típca de 8,5 undades y que los nveles de produccón sguen una dstrbucón normal sugere un ntervalo de confanza del

64 90% que ha habdo volacón del conveno y que está justfcado, por lo tanto, tomar meddas correctvas? SOLUCION: Para un ntervalo de confanza del 90% y 19 grados de lbertad, el valor de t adecuado es de 1,79. Luego: S I. C para t n I. C para 106 (1,79) I. C para 106 3,9 así 10,71 109, Se observa que la produccón meda especfcada en el conveno colectvo no se encuentra en el ntervalo. Se puede conclur, con un nvel de confanza del 90% de que se está volando el conveno. Por lo tanto los drectvos de la fábrca están en su derecho de emprender accones contra el descenso de la productvdad de la empresa..5 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES POBLACIONALES. Supongamos ahora que estamos nteresados en la proporcón de membros de la poblacón que poseen un determnado atrbuto. Por ejemplo: una empresa quere saber qué proporcón de clentes pagan a crédto frente a quen lo hacen de contado o puede estar nteresada en conocer el porcentaje de sus productos que

65 son defectuosos frente al de undades no defectuosas. En cada uno de estos casos solo hay dos resultados posbles.el nterés se centra en la proporcón de respuestas que se clasfcan en uno de estos dos resultados. En el capítulo anteror se dedujo el error típco de la dstrbucón muestral de proporcones muéstrales con p ( 1 ), esta fórmula contene el n parámetro π que se pretende estmar, por lo tanto se utlza la proporcón muestralp x como estmador del error y se tene S P Px ( 1 Px ), así: n S P x es la proporcón observada de éxtos en una muestra aleatora de n observacones procedentes de una poblacón con una proporcón de éxto π, entonces, s n es grande, un ntervalo de confanza para del 1 % para la proporcono poblaconal vene dado por I. C para P x Z S p Px (1 Px ) Px (1 Px ) Es decr Px Z Px Z, donde la varable Z se n n dstrbuye normalmente. 1 EJEMPLO.7 En una encuesta a 673 grandes almacenes, 51 declaraban tener problemas con los robos de los empleados se puede llegar a la conclusón, con una confanza del 99% de que estos datos ndcan que el 78% de todas las tendas tene dfcultades smlares? 1 PAUL NEWBOLD. Estadístca para los Negocos y la economía. España, Prentce Hall 1997, p53

66 SOLUCION: I. C I. C I. C para P Z S x para P 0,774 (,58) (0,016) para P 0,774 0,041 0,73 P 0,815 P ; S P 0,7740,6 673 Con una confanza del 99% se puede conclur que el 78% de todas las tendas tenen problemas con los robos de los empleados. EJEMPLO.8 Un almacén de la cudad quere estmar la proporcón de clentes que pagan con tarjetas de crédtos. Una muestra de 79 clentes ndcó que 1 utlzaban el plástco. Construr e nterpretar el ntervalo de confanza para el almacén. SOLUCION: P x ,1519 S P 0,15190, ,040 I. C para P Z. S I. C para 0,15189,580,040 I. C para 0, ,104 x P 0,05 0,6 Esto quere decr que la proporcón de clentes que pagan con tarjeta de crédto esta entre el 5% y el6%.

67 EJEMPLO.9 En una compañía de autobuses, cada mes, mles de sus autobuses llegan a certa termnal. Con ayuda de una muestra aleatora de 49 autobuses, sn remplazamento, ha de construrse un ntervalo de confanza del 99,9% para la proporcón de todos los que llegan a tempo. La proporcón muestral de llegada exacta es de 0,64. SOLUCION: S P 0,640, ,0686 Un nvel de confanza del 99,9% requere un Z = 3,7 I. C para Luego: I. C para 0,64 3,70,0686 P x Z S P 0,4 0,86 Con un confanza del 99.9% se puede afrmar que el porcentaje de autobuses que llegan a tempo a la termnal está entre 4% y 86% Consulte las págnas:

68 Resumen INTERVALO DE CONFIANZA: S de una poblacón dada se toman repetdamente muestras aleatoras de tamaño n, se encontraran muchos valores dferentes de un estadístco muestral dado. S a este valor se suma y se resta una certa cantdad, el estadístco muestral se converte en un rango de valores entre los que presumblemente se puede encontrar el parámetro poblaconal desconocdo. A este rango de valores se le llama ntervalo de confanza. Nvel de confanza (NC): Porcentaje de ntervalos que se espera contengan el valor real de un parámetro, cuando se utlce una y otra vez el msmo procedmento de construccón. Nvel de sgnfcancaα: Porcentaje de ntervalos que se espera no contengan el valor real de un parámetro, cuando se utlce una y otra vez el msmo procedmento de construccón, (α= 1-NC). Para la construccón del ntervalo de confanza para la meda poblaconal se utlzan las fórmulas: I. C para Z. cuando se conoce I. C para Z. S cuando es desconocd o. Para el cálculo cuando la muestra es pequeña, se utlza S I. C para ( t) ( S ), Donde S, n t S n

69 Para la construccón del ntervalo de confanza para la proporcón poblaconal se utlza la proporcón muestralp x como estmador del error y se tene S P Px ( 1 Px ) n. Utlzando el factor de correccón. N n N 1 cuando sea requerdo. S P x es la proporcón observada de éxtos en una muestra aleatora de n observacones procedentes de una poblacón con una proporcón de éxto P, entonces, s n es grande, un ntervalo de confanza para del 1 % para la proporcono poblaconal vene dado por I. C para P P x Z S p Px (1 Px ) Px (1 Px ) Es decr Px Z Px Z, donde la varable Z se n n dstrbuye normalmente. PAUL NEWBOLD. Estadístca para los Negocos y la economía. España, Prentce Hall 1997, p53

70 Taller 1. Una muestra de 155 usuaros del tren suburbano emplean en este medo de transporte una hora y 37 mnutos en promedo, con una desvacón típca de 4 mnutos. Cuál es el ntervalo del 90% para el tempo medo de todos los usuaros?. El propetaro de una pequeña empresa desea estmar el tempo medo necesaro para realzar una tarea determnada. Tene que asegurarse al 90% de confanza de que el error es nferor a 0.5 mnutos. Se sabe que la desvacón típca es de 3. mnutos. Cuántas observacones de tempos de ejecucón tene que hacer? Z n e 3. El drector de una tenda de anmales de compañía está preocupado por el aumento del número de cachorros que enferman antes de ser venddos. De 53 cachorros estudados, 35 mostraban algún sgno de problema santaro. Elaborar e nterpretar el ntervalo del 95% 4. En la calfcacón de su efcaca, 31 empleados recberon una puntuacón meda del 73,9 con s = S un ntervalo de confanza del 95% ndca que la meda de todos los empleados es menor que 65, la dreccón pretende mplantar un nuevo programa de formacón. Calcular e nterpretar el ntervalo correcto. Se llevará a cabo el programa? 5. Suponga que como experto en control de caldad quere estmar el espesor medo de las lentes óptcas fabrcadas por su empresa. Una muestra de 10

71 lentes da una meda de 0.5mm.Se sabe que la desvacón típca de la poblacón es de 0,17mm. Usted pensa que puede arresgarse a una probabldad de error de sólo el 1%. Construya el ntervalo de confanza adecuado. 6. Un proceso produce bolsas de azúcar refnada. El peso del contendo de estas bolsas tenen una dstrbucón normal con desvacón típca 15gr. Los contendos de una muestra aleatora de 5 bolsas tenen un peso medo de 100gr. Calcular un ntervalo de confanza del 95% para el verdadero peso medo de todas las bolsas de azúcar producdas por el proceso. 7. Una muestra aleatora de 10 autos amercano de un determnado modelo consumen las sguentes cantdades en klómetros por ltro. 17,9 19,8 18,6 18,4 19, 0,8 19,4 0,5 1,4 0,6 Calcular un ntervalo de confanza del 90% para el consumo de gasolna medo poblaconal de los automóvles de este modelo, suponendo que la dstrbucón de la poblacón es normal. 8. De una muestra aleatora de 95 pequeñas empresas fabrcantes, 9 señalaron las mejoras en la caldad como la más mportante ncatva para ncrementar la compettvdad de sus productos. a) Calcular un ntervalo de confanza del 99% para la proporcón poblaconal b) Sn hacer los cálculos, determnar s un ntervalo de confanza del 90% tendrá una longtud mayor, menor o gual a la del ntervalo calculado en la parte a).

72 9. De una muestra aleatora de 198 estudantes de marketng, 98 consderaron como poco étco nflar las calfcacones académcas. Utlzando esta nformacón, un experto en estadístca calculó un ntervalo de confanza de 0,435 a 0,554 para la proporcón poblaconal. Cuál es el contendo probablístco de dcho ntervalo? 10. Un ngenero de control de caldad está nspecconando la maqunara que se supone verterá 0 onzas de detergente lqudo en un recpente. Una muestra de 1 recpentes deja ver que la cantdad meda dosfcada es de 18,9 onzas, sendo la desvacón estándar de 3.1 onzas. Construya un ntervalo de confanza del 90% para la cantdad meda dosfcada por la maqunara, suponendo que dchas cantdades están normalmente dstrbudas. funcona ben la maqunara? 11. Al muestrear en forma aleatora 60 de los 900 empleados de la compañía, el gerente de personal encuentra que un 5% preferen el plan recentemente propuesto de trabajar sólo cuatro días de la semana, pero más horas cada día. Construya un ntervalo de confanza para la proporcón de todos los empleados que nose nclnaron por la propuesta. 1. En una muestra aleatora de 100 famlas, se encuentra que 59 preferen la marca KEMA de un determnado producto. Construya un ntervalo de confanza del 98% para la proporcón de todas las famlas con esa preferenca. 13. In a smple random sample of 500 employees, 160 preferred to take tranng classes n the mornng rather than n the afternoon. Construct a 95% C.I. on the true proporton of employees who favor mornng tranng classes

73 14. Human bengs vary n the tme t takes them to respond to drvng hazards. In one experment n whch 100 healthy adults between age 1 and 30 years were subjected to a certan drvng hazard, and the sample varance of the observed tmes t took them to respond was second squared. Assumng that the tmes to respond are normally dstrbuted, estmate the varablty n the tme response of the gven age group usng a 95% C.I 15. Suppose you want to estmate the average weght of chckens n a laboratory. You lke to be 95% certan that the error s at most 0.1lbs. How many chckens you should nclude n your sample? 16. A certan change n a manufacturng procedure for component parts s beng consdered. Samples are taken usng the exstng procedure and the new one. If 75 tems out of 1500 tems, from the exstng procedure, were found to be defectve, whle 80 tems out of 000 tems for the new procedure were found defectve. Fnd a 90% confdence nterval for the true dfference n the fracton defectve between the exstng and the new procedures. 3 3 Mohammed A. Shayb, Appled Statstcs, bookboon.com, 013 p19,133,135, 154

74 Evaluacón Con base en la nformacón responda las preguntas 1 y La calfcacón que obtenen los vendedores de una frma comercal en una prueba de apttud, sgue una dstrbucón normal. Se extrae una muestra de 5 calfcacones que dan lugar a los sguentes estadístcos: x x La varanza muestral estará dada por: 5 1 A B C. (1508) D. (1508) PAUL NEWBOLD. Estadístca para los Negocos y la economía. España, Prentce Hall 1997, p5

75 . Un ntervalo de confanza del 90% para la meda tendrá: 1. una longtud mayor que uno del 80%. una longtud menor que uno del 80% 3. una longtud gual que uno del 95% 4. una longtud mayor que uno del 95% 3. Un proceso produce bolsas de azúcar refnado. El peso del contendo sgue una dstrbucón normal con desvacón típca 15 gramos. Los contendos de una muestra aleatora de 5 bolsas tenen un peso medo de 100 gramos. El ntervalo de confanza del 95% para el verdadero peso medo de todas las bolsas de azúcar producdas por el proceso está dado por: A. 95,05 104, 95 B. 94,1 105, 88 C. 99,01 100, 99 D. 98,8 101, Como parte de un estudo de mercado, en una muestra de 15personas se encontró que 84 de ellas tenían conocmento de certo producto 5. El ntervalo de confanza del 90% para la proporcón de personas de la poblacón que tenen conocmento del producto, tene respectvamente los sguentes lmtes nferor y superor: A. 0,589 y 0,754 B. 0,60 y 0,741 C. 0,589 y 0,60 D. 0,60 y 0,754 5 HILDEBRAND Y OTT. Estadístca aplcada a la admnstracón y a la Economía. U.S.A, Addson Wesley Iberoamercana 1997, p307.

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77 PRESENTACION Cuando se extrae una muestra aleatora, de una poblacón, la evdenca obtenda puede usarse para realzar nferenca sobre las característcas de la poblacón. Como hemos vsto, una posbldad es estmar los parámetros desconocdos de la poblacón medante el cálculo de estmadores puntuales o ntervalos de confanza. Alternatvamente, la nformacón muestral puede emplearse para verfcar la valdez de una conjetura o hpótess, que se haya formulado sobre la poblacón. 6. PREGUNTA PROBLEMA Son las pruebas de hpótess una herramenta fundamental en la toma de decsones en la empresa? COMPETENCIAS ESPECÍFICAS 6 PAUL NEWBOLD. Estadístca para los Negocos y la economía. España, Prentce Hall 1997, p81

78 1. Formula y contrastar hpótess para la meda poblaconal, para stuacones específcas de la empresa.. Formula y contrasta hpótess para una proporcón poblaconal. 3. Identfca cuando una hpótess es unlateral o blateral. 4. Formular y contrastar hpótess para la dferenca de medas dos poblacones. SABERES Concepto del contraste de hpótess. Prueba de hpótess para la meda poblaconal Prueba de hpótess para la proporcón poblaconal Prueba de hpótess para la dferenca de dos medas poblaconales DINÁMICA PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO ACTIVIDAD PREVIA (Trabajo Indvdual) De las sguentes afrmacones, cuáles son verdaderas y cuáles falsas? 1. En un sstema de hpótess, la hpótess nula es la que se contrasta.. La hpótess nula sempre es aceptada. 3. S la hpótess nula se acepta, entonces la alternatva tambén es válda. 4. La expresón c Z se puede utlzar para calcular el valor crítco en una prueba unlateral de cola derecha para la meda poblaconal. 5. En una prueba blateral, se puede rechazar la hpótess nula s la meda muestral resulta mayor que el valor crtco calculado.

79 6. El procedmento para contrastar hpótess para la proporcón poblaconal, es el msmo utlzado en el contraste de hpótess para la meda. 7. Se puede realzar contraste de hpótess para comparar dos medas poblaconales. 8. En algunos problemas de contraste de hpótess se requere el uso del factor de correccón ACTIVIDAD GRUPAL 1. Socalce los resultados obtendos ndvdualmente y escrba sus conclusones al respecto.. Indque los crteros que se deben tener en cuenta para aplcar una prueba t o una prueba Z. 3. Indque los crteros que se deben tener en cuenta para determnar s una prueba de hpótess es blateral o unlateral. 4. Haga un lstado de las dudas e nquetudes presentadas en la socalzacón de las actvdades anterores.

80 SABERES Y ACTIVIDADES 3. CONTRASTE DE HIPOTESIS 3.1 CONCEPTO DEL CONTRASTE DE HIPOTESIS Veamos el concepto con base en algunos ejemplos lustratvos: 1. Un fabrcante de baterías podría afrmar que la duracón promedo de las baterías tpo A es de 150 horas.. Una compañía recbe un gran cargamento de pezas. Sólo puede aceptar el envío s no hay más de un 5% de pezas defectuosas. La decsón de aceptar o no el envío se puede basar en el análss de una muestra aleatora de pezas. 3. Un fabrcante de detergentes afrma que, en promedo, el contendo de cada bolsa pesa al menos 500 gramos, Para verfcar esta afrmacón, se pesa el contendo de una muestra aleatora y se nfere el resultado a partr de los datos muéstrales.

81 4. Una factoría puede afrmar que la produccón de la máquna A contene menos undades defectuosas que los de la máquna B, para verfcar esta afrmacón no es necesaro revsar toda la produccón de las dos máqunas, basta con tomar muestras aleatoras en ambas y hacer la nferenca a toda la produccón. De estos ejemplos se concluye que la hpótess se formula sobre la poblacón, y las conclusones sobre la valdez de esta hpótess se basa en la nformacón muestral. La hpótess que se contrasta se llama Hpótess nula (Ho) y con la que se contrasta, hpótess alternatva (Ha). Después, a partr de los resultados obtendos en una muestra, o ben rechazamos la hpótess nula y se acepta como verdadera la alternatva, o ben, aceptamos la hpótess nula y se supone que la alternatva es falsa. El hecho de no rechazar la hpótess nula no mplca que esta sea correcta, sgnfca smplemente que los datos de la muestra no son sufcentes para nducr el rechazo. 3. FORMULACION DE DOS HIPOTESIS OPUESTAS Una hpótess, nula o alternatva, puede desgnar un únco valor, llamado 0, para el parámetro poblaconal. En este caso se dce que la hpótess es smple. La notacón smbólca para una hpótess de este tpo es H 0 : 0 Que se lee La hpótess nula es que el parámetro poblaconal es gual al valor específco 0 7. La hpótess alternatva es H A : 0. 7 PAUL NEWBOLD. Estadístca para los Negocos y la economía. España, Prentce Hall 1997, p8

82 La stuacón descrta en (1) es un ejemplo de este tpo, aquí el fabrcante afrma que la duracón promedo de las baterías tpo A que él fabrca es de 150 horas. H : H A : 150 La hpótess alternatva en cada caso sugere que el promedo es mayor o menor que 0 ; Sempre que una hpótess alternatva contenga desvacones desde la hpótess nula en cualquer dreccón se denomna HIPOTESIS DE DOS COLAS. Este tpo de hpótess se establece cuando la precsón es de gran mportanca y las desvacones en cualquer dreccón son naceptables por gual. Una hpótess tambén puede desgnar un rango de valores para el parámetro poblaconal desconocdo. Una hpótess de este tpo se denomna compuesta y será certa para más de un valor del parámetro poblaconal. 8 Un ejemplo de este caso es la stuacón (3) descrta por el fabrcante de detergentes donde afrma que en promedo el contendo de cada bolsa pesa al menos 500 gramos, aquí la hpótess nula se puede escrbr así: H H 0 0 :, especfcamente : 500 H A : gr gr 8 PAUL NEWBOLD. Estadístca para los Negocos y la economía. España, Prentce Hall 1997, p8

83 S en cambo el fabrcante asegura que las bolsas de detergentes contenen una meda de más de 500 gramos, entonces el sstema queda así: H 0 H A : : Se nota que en cualquera de los sstemas planteados, la hpótess alternatva se ndca sempre como nexacta, la nula puede ser ndcada como,,. En todo caso se acostumbra que la H 0 contenga el sgno de gualdad. En el sstema: H 0 H A : : 0, la hpótess nula dce que el parámetro es mayor o 0 gual que un valor específco, en tanto que en la alternatva dce que es menor que ese valor, este sstema de hpótess se plantea cuando algo puede ser con segurdad mayor que un certo valor, pero donde valores menores serían naceptables. Por ejemplo, s de una batería se garantza que tendría una duracón de 100 horas, nade se preocupará s dura más; pero la alternatva de que dure menos podría ser verdad y exgría una accón correctva rápda. En el sstema H 0 H A : 0 : 0, la hpótess nula dce que el parámetro es menor o gual que un valor específco, en tanto que la alternatva dce que es mayor que ese valor. La hpótess alternatva sugere que el promedo es mayor que 0. Este tpo de hpótess se establece cuando algo puede ser con segurdad menor o gual que un certo valor, pero donde valores mayores serían naceptables, por ejemplo, s se consdera la hpótess nula el tempo promedo de entrega de una compañía de transporte es gual o menor que tres días, nade se quejaría s es menor, pero s es mayor sería causa de alarma.

84 El sstema de hpótess sobre el valor de una meda poblaconal, se ndca por lo general en una de estas tres formas con referenca a un valor específco 0. FORMA 1 FORMA FORMA 3 H 0 H A : : 0 0 H : 0 H A : 0 0 H 0 H A : : 0 0 Puede darse el caso que se neceste comparar entre s dos poblacones separadas, como por ejemplo: la duracón comparatva de dos productos, la fabldad relatva de dos procesos de fabrcacón o el nvel de efcaca de dos esquemas publctaros. Las hpótess opuestas sobre la dferenca entre dos medas poblaconales A y B se ndcan del msmo modo señalado. FORMA 1 FORMA FORMA 3 H H 0 A : : A A B B H H 0 A : : A A B B H H 0 A : : A A B B Por lo tanto, la hpótess nula puede decr, forma 1, que dos medas poblaconales son las msmas, por ejemplo, que la duracón promedo de dos tpos de llantas son déntcas. O puede decr forma, que una meda poblaconal es mayor o gual que otra, por ejemplo que los sueldos promedos de la ndustra de la construccón en Bogotá son al menos guales pero posblemente mayores que los de Barranqulla. O puede decr forma 3, que una meda poblaconal es menor o gual que otra, por ejemplo que la produccón promedo de la fábrca A es al menos gual o posblemente menor que la produccón en la fábrca B.

85 Las hpótess sobre una proporcón de la poblacón, tal como la proporcón de undades defectuosas producdas en un proceso, se formulan de una manera análoga a aquellas sobre una meda poblaconal, smplemente se susttuye por, dejando todo lo demás sn cambos, ncluyendo las hpótess sobre la dferenca entre las proporcones de la poblacón. 3.3 SELECCIÓN DE UN ESTADISTICO DE PRUEBA. Después de haber dseñado el sstema de hpótess adecuado, el segundo paso para contrastarla es la seleccón de un estadístco de prueba. Un ESTADÍSTICO DE PRUEBA es aquel valor calculado a partr de los datos muéstrales en una prueba de hpótess para establecer s se rechaza o no se rechaza la hpótess nula. Cada estadístco muestral tene una dstrbucón muestral propa que puede aproxmarse muchas veces por la dstrbucón normal para muestras grandes, o por una dstrbucón t de student para muestras pequeñas. Es así como el estadístco de prueba se puede convertr en un valor Z o un valor t al dvdr la dferenca entre el estadístco muestral y el valor extremo del parámetro poblaconal postulado en la hpótess nula entre el error estándar del estadístco muestral. Z x 0 Para una meda poblaconal Muestras grandes

86 Para una meda poblaconal Muestras pequeñas 0 t S Z P x Para una proporcón de la poblacón P 3.4 DERIVACION DE UNA REGLA DE DECISIÓN Una vez establecdo el sstema de hpótess y el estadístco de prueba adecuado, se debe determnar una regla de decsón que nos ndque s se rechaza o no la hpótess nula. Esta regla de decsón especfca un valor del estadístco tan dferente del valor del parámetro contendo en la hpótess, que excluya atrbur la dferenca al error muestral. Supóngase que se desea contrastar la hpótess para la stuacón planteada en (1). Un fabrcante de baterías afrma que la duracón promedo de las baterías tpo A es de 150 horas H : 150 ; H : A En este caso, la regla de decsón específca valores crítcos de la meda muestral C, demasado alejados por encma o por debajo de 150 para permtr suponer que = 150. S se contrasta la hpótess nula al nvel de sgnfcanca del 5%, se deben encontrar valores crítcos de la meda muestral por encma o por debajo del valor hpotétco = 150 que enmarque el 95% del área comprendda bajo la curva normal. El 5% restante se dvde por gual en dos colas, como se muestra en la fgura 3.1. FIGURA 3.1 Contraste de hpótess al 95%

87 Los valores de comprenddos en el ntervalo del 95% son lo bastante cercanos al valor hpotétco de 150 para que se pueda atrbur la dferenca al error muestral. Esta dferenca se dce que es nsgnfcante estadístcamente al nvel del 5% y se puede explcar por la fluctuacón aleatora de la muestra. Por consguente, no se rechaza la hpótess nula. S el valor obtendo para se stúa más allá de esos valores crítcos en una u otra cola, se rechaza la hpótess nula de que = 150. Estos valores crítcos se determnan con la sguente formula Donde: H Valor hpotétco de la meda poblaconal S S ó n S S n N n Error típco de la dstrbucón muestral. N 1 A partr de estos valores se formula la regla de decsón REGLA DE DECISIÓN: La regla de decsón es un enuncado que se emte para determnar s se rechaza o no la hpótess nula. Específca el valor crítco de los resultados muéstrales.

88 3.5 PRUEBA DE HPOTESIS PARA UNA MEDIA POBLACIONAL. Son muchos los casos en que nteresa contrastar una hpótess en relacón con el valor de una meda poblaconal, entre los cuales se pueden ctar: Un proceso ndustral produce partes metálcas de una longtud promedo de 0 = 5 pulgadas, perfora orfcos con un dámetro promedo de 1, pulgadas o hace mangas de camsa de un largo promedo de 33 pulgadas. La cantdad promedo de detergente puesto en una caja por una máquna llenadora es gual o excede de 0 = 1 lbra. El promedo de resstenca a la ruptura de certo tpo de cable es al menos 5000 lbras. El tempo promedo de entrega de una compañía de transporte es gual o menor de 0 = 3 días El tempo promedo de secado de una pntura es a lo más de 4 horas. Algunos funconaros de la admnstracón pueden estar nteresados en conocer la renta meda de los contrbuyentes de un muncpo determnado. En defntva, un gran número de decsones empresarales, se toman a partr de la meda poblaconal. S se pueden recoplar datos en relacón con este parámetro, las decsones serían más fables y es probable que produzcan resultados favorables. En todo caso para llevar a cabo el contraste de una hpótess nula es necesaro agotar las sguentes cuatro fases: Fase 1: Formular las hpótess Fase : Calcular el valor crítco Fase 3: Formular la regla de decsónpara decdr s se acepta o rechaza la hpótess nula

89 Fase 4: Exponer la conclusón en relacón con la aceptacón o el rechazo de la hpótess nula y cualquer otra nterpretacón que pudera dervarse de dcha conclusón. Esto se lustra en las sguentes stuacones. EJEMPLO 3.1 Un conveno trabajadores- dreccón de una fábrca, exge una produccón meda dara de 50 undades. Una muestra de 150 días revela una meda de 47,3undades con una desvacón típca de 5,7 undades. Poner = 5% y determnar s se cumple esta cláusula del contrato. SOLUCIÓN: Fase 1: Formulacón de las hpótess Como el conveno exge una produccón meda de 50 undades, el sstema de hpótess se establece así: H 0 H A : 50 : 50 Se trata de una prueba blateral, puesto que la hpótess nula puede ser rechazada s los resultados de la muestra están muy por encma o por debajo de 50. Aparece una regón de rechazo en cada una de las colas de la dstrbucón. Fase : Cálculo del valor crítco Para encontrar el valor crítco se debe empezar por encontrar el valor de Z adecuado, según el nvel de sgnfcanca selecconado. Para el ejemplo, se dvde

90 el nvel de confanza entre dos, es decr, 0,95/ = 0,475, que corresponde a un valor Z = 1,96. 5,7 Además: 0, 465 n 150 Luego: C C C H Z 50 1,96(0,465) 50 0,911 49, Fase 3 Regla de decsón: No rechazar H 0 s está comprendda entre 49,1 y 50,91. Rechazar s es menor que 49,1 o mayor que 50,91. Esto se lustra en la fgura 3, H 0 Fase 4: Conclusón FIGURA 3. Una de 47,3 está en la regón de rechazo demasado alejado de 50. Debe rechazarse la hpótess nula lo que ndca que no se está cumplendo la cláusula del contrato. H EJEMPLO 3.

91 Una compañía láctea utlza una máquna para llenar sus latas de kums de 18 onzas. S la máquna funcona mal, tene que ser ajustada. Se elge una muestra de 50 latas, que dan una meda de 18,9 onzas, con una desvacón típca de 4,7 onzas. S se admte un error del 5%. Deberá reajustarse la máquna? SOLUCION: Fase 1: Formulacón de la hpótess Como el llenado debe ser de 18 onzas, el sstema de hpótess convenente es: H 0 H A : 18 : 18 Nuevamente se trata de una prueba blateral dado que la hpótess nula puede ser rechazada s los resultados de la muestra están muy por encma o por debajo de 18 onzas. Fase : Cálculo del valor crítco El valor de Z se encuentra de forma análoga al ejemplo 3.1 y Z = 1,96 S S n 4,7 50 0,665 C C C H ZS 18 (1,96) (0,665) 18 1,3 16, ,3 Fase 3: Regla de decsón

92 Aceptar H 0 s está comprenddo entre 16,7 y 19,3. Rechazar H 0 s es menor que 16,7 o mayor que 19,3; esto se lustra en la fgura 3.3. Fase 4: Conclusón FIGURA 3.3 Una de 18,9 está en la zona de aceptacón. Por lo tanto no se rechaza la hpótess nula; es decr no exste sufcente evdenca para rechazar la hpótess nula. Luego se puede conclur que no es necesaro ajustar la máquna. EJEMPLO 3.3 El departamento de polcía de una cudad de la costa ha encontrado que los agentes de tráfco deben mponer una meda de 7 multas de tránsto al mes. S un agente mpone más de estas multas, quzás sea demasado celoso en el cumplmento de su deber. S entrega menos multas puede que el agente no esté hacendo un buen trabajo. Para evaluar a sus agentes, el jefe de polcía anotó el número de multas mpuestas por 15 agentes. Los resultados se muestran a contnuacón. Al nvel del 5% le parece que la fuerza polcal cumple satsfactoramente su cometdo?

93 SOLUCION: El problema plantea que los agentes deben mponer una meda de 7 multas, n más n menos, entonces el sstema de hpótess se establece así: H 0 H A : 7 : 7 Se trata de una prueba blateral, dado que la hpótess nula puede ser rechazada, s los resultados de la muestra están muy por encma o por debajo de 7. Como sólo se dspone de datos orgnales, se hace necesaro determnar la meda y la desvacón típca muestral. Los cálculos ndcan que: 9,7 S S 4,3 S n 4,3 15 1,11 Dado que la muestra es pequeña el estadístco a utlzar es la prueba t de student, como n = 15, con una nvel de confanza del 95% y 15-1 = 14 grados de lbertad, el valor de t es,145 Así: C C 7 H t S (,145) (1,11) C 7,38 4, ,38 No rechazar la hpótess nula s la meda muestral está entre 4,6 y 9,38 multas. Rechazar la hpótess nula s la meda muestral es nferor a 4,6 o superor a 9,38.Ver fgura 3.4

94 FIGURA 3.4 Como la meda muestral es de9,7 no se debe rechazar la hpótess nula de =7 y se concluye que la fuerza polcal cumple satsfactoramente su cometdo. OBSERVACIONES 1. S la desvacón típca de la poblacón es conocda, se utlzará la prueba z, con ndependenca del tamaño de la muestra, sempre que la poblacón sea normal.. Aplcar una prueba t s se cumplen las condcones sguentes: a. La muestra es pequeña ( n < 30) b. Se sabe que la poblacón es normal. c. es desconocda. 3. S no se sabe s la poblacón es normal, aplcar una prueba NO PARAMETRICA, sea conocda o desconocda. EJEMPLO 3.4 Como parte de un proceso de ensamblaje, se usa un taladro para hacer agujeros en una lámna de metal. Cuando el taladro funcona adecuadamente, los dámetros de estos agujeros tenen una dstrbucón normal con meda centímetros y desvacón típca 0,06 centímetros. Peródcamente se mden los

95 dámetros de una muestra aleatora de agujeros para controlar que el taladro funcona adecuadamente. Asuma que la desvacón típca no varía. Una muestra aleatora de 9 meddas da un dámetro medo de 1,95 centímetros. Contrastar la hpótess nula de que la meda poblaconal es de dos centímetros. SOLUCIÓN: A pesar de que el tamaño de la muestra se puede consderar pequeño, el estadístco de prueba a usar es Z dado que se conoce la desvacón típca poblaconal. Se tene que: 1,95 0 0,06 n 9 0,05 n 0,06 9 0,0 El sstema de hpótess a contrastar es: H 0 H A : : Los valores crítcos están dados por C C C H Z (1,96) ( 0,0) 0,039 1, ,039 Aceptar H 0 s está comprendda entre 1,96 y,039. Rechazar H 0 s es menor que 1.93 o mayor que,039. Ver fgura 3.5

96 FIGURA 3.5 Como = 1,95 < 1,96 se rechaza la hpótess nula y por lo tanto se concluye que la meda poblaconal no es de dos centímetros y que el taladro no funcona correctamente. Hasta ahora sólo se han consderado stuacones que conducen a hpótess blaterales puesto que la meda poblaconal era exactamente gual a un determnado valor específco, orgnándose regones de rechazo a ambos lados de la curva. Pero tambén se puede presentar problemas en que nterese uno sólo de los extremos. S este es el caso, entonces se orgnan los sstemas de hpótess unlaterales como los tratados al nco del capítulo. La decsón de cuál de las dos colas es la que debe contener la regón de rechazo es algo delcado y depende únca y exclusvamente del problema en estudo. Para determnar la manera de dentfcar y abordar pruebas unlaterales es crucal determnar qué sstema de hpótess es el correcto. En prmer lugar se observa que el sgno gual aparece en la hpótess nula de ambos sstemas; esto es: Sstema Sstema 3 H 0 0 H0 : : 0

97 H A : H 0 A : 0 Esto es así porque se consdera que con la hpótess nula se contrasta la Ausenca de dferenca, es decr, la hpótess nula mplca que el valor real del parámetro no dfere de forma sgnfcatva de su valor hpotétco. Otra explcacón de por qué la hpótess nula debe contener el sgno gual se basa en que lo que se contrasta es la hpótess nula, no la alternatva; además se contrasta a un nvel de sgnfcanca concreto, no se puede contrastar afrmacón ambgua H a un nvel de sgnfcanca especfco, por ejemplo 1%. La desgualdad H es ambguo por que no dce el valor precso de. Por consguente, para que la hpótess nula se pueda contrastar a un nvel de sgnfcanca específco ha de contener la precsón que le proporcona el sgno gual. la Para determnar el sstema de hpótess adecuado se debe prestar atencón a la formulacón del problema como se muestra en los sguentes ejemplos. EJEMPLO 3.5 Supóngase que en el ejemplo 3. la compañía láctea afrma que las latas de kums contenen una meda de más de 18 onzas, S se nterpreta correctamente, ello sgnfca que 18, como ésta desgualdad no contene el sgno gual, ha de ser la hpótess alternatva; mentras que la hpótess nula será 18. Luego el sstema de hpótess se puede formular así: H 0 : 18 H A : 18

98 Pero s la compañía láctea hubera afrmado que las latas de kums contenen una meda de 18 onzas o más, la nterpretacón correcta sería 18, como esta desgualdad contene el sgno gual se converte en la hpótess nula y el sstema de hpótess pasaría a ser: H 0 H A : 18 : 18 Una vez establecdo el sstema de hpótess adecuado, es convenente determnar en qué extremo de la curva se encuentra la regón de rechazo. Para ello basta con responder la pregunta Consdérese el sstema de hpótess: Qué provocará el rechazo de la hpótess nula? H 0 H A : : Escrta de esta forma, la hpótess nula no permte utlzar valores pequeños para la meda. Establece claramente que la meda es gual o menor que 18 onzas. Los valores menores que 18, apoyarán y no refutarán la hpótess nula. Los resultados a la zquerda de 18 confrmarán la hpótess nula de que es gual o menor que 18. Así pues, son sólo valores superores a 18 los que dan lugar al rechazo de la hpótess nula. Por lo tanto, la regón de rechazo se encuentra en el extremo derecho o superor de la dstrbucón. Esta prueba de cola a la derecha se lustra en la fgura 3.6.

99 FIGURA 3.6 El valor crítco de la meda muestral que marca una dferenca sgnfcatva con hpotétca lmta la regón de rechazo en la cola derecha. La fórmula de este valor crítco en una prueba de cola a la derecha es: En el caso de que la compañía láctea hubera ndcado que la meda fuera 18 o más. El sstema de hpótess sería entonces: H 0 H A : : Para determnar que extremo de la curva es el que contene la regón de rechazo habrá que volver a contestar la pregunta Qué podría causar el rechazo de la hpótess nula? Tal como se ha ndcado, la hpótess nula admte que exsten valores grandes de la meda muestral mayores de 18 que apoyarán y no refutarán la hpótess nula. Así pues, son los valores sgnfcatvamente nferores a 18 los que provocarían un rechazo de la hpótess nula. La regón de rechazo estará solamente en el extremo nferor o zquerdo de la dstrbucón. Esta prueba de cola a la zquerda se muestra en la fgura 3.7

100 FIGURA 3.7 El valor crítco de la meda muestral que marca una dferenca sgnfcatva con la hpotétca, lmta la regón de rechazo en la cola zquerda. La fórmula de este valor crítco es: OBSERVACIONES Es bueno recordar que para rechazar una prueba unlateral se deben tener en cuenta las sguentes recomendacones: 1. S la nterpretacón correcta de la formulacón tene el sgno gual, esta es la hpótess nula; s no contene el sgno gual, es la hpótess alternatva.. La cola que contene la regón de rechazo vene ndcada por el símbolo de desgualdad de la hpótess alternatva. EJEMPLO 3.6

101 Un concesonaro de autos afrma que los propetaros de sus coches usados pueden recorrer una meda de mllas como mínmo sn necesdad de nnguna reparacón. Con objeto de determnar el grado de honestdad del gerente se elgen 100 clentes y se halla que recorreron una meda de 9.11 mllas sn reparacón, con una desvacón estándar de 07 mllas. Se quere estar seguro al 99% de que el gerente no mente. Cómo podría contrastar su afrmacón? SOLUCIÓN Como la meda de mllas como mínmo se puede escrbr y esta desgualdad contene el sgno de gualdad, se converte en la hpótess nula, luego el sstema de hpótess adecuado es: H 0 H A : : Según la hpótess alternatva se requere una prueba de cola a la zquerda. El valor crítco es entonces: C Z S ; H H S S n ,7 El valor de Z es 0,5 0,01 = 0,4900 al buscar este valor en la tabla 1 del apéndce da un valor de,33 luego: C C C mllas (,33) ( 0,7) 48,3

102 No rechazar la hpótess nula s la meda muestral es superor a 9.95 mllas. Rechazar la hpótess nula s la meda muestral es nferor a 9.95 mllas. Ver fgura 3.8 FIGURA 3.8 Como = 9.11 es menor que 9.95 rechazamos la hpótess nula. Lo que nos ndca que la afrmacón no es certa. Por tanto el gerente del concesonaro está mntendo. EJEMPLO 3.7 S en el ejemplo anteror el gerente en cambo de afrmar que los clentes pueden recorrer mllas como mínmo, afrma que pueden recorrer más de mllas por térmno medo; con la demás nformacón del ejemplo 3.6 y el msmo nvel de sgnfcanca contraste la hpótess para probar la honestdad del empresaro. SOLUCIÓN: Más de mllas por térmno medo se pueden expresar con la sguente desgualdad que representa la hpótess alternatva, el sstema de hpótess es entonces: H 0 H A : : Ahora la prueba es de cola a la derecha (Ver fgura 3.9). Se tene que:

103 n S 07 0,7 1% S Luego: C H Z S C C C , (,33) ( 0,7) 48,3 mllas FIGURA 3.9 No rechazar la hpótess nula s la meda muestral es menor que , mllas. Rechazar la hpótess nula s la meda muestral es superor a , mllas. Como =9.11 es menor que , no se rechaza la hpótess nula de Se rechaza la afrmacón del gerente de que , confrmándose la deshonestdad del empresaro. EJEMPLO 3.8 Un Fabrcante de detergentes afrma que el contendo de los paquetes que vende pesa, por térmno medo, al menos 00 gramos. Se sabe que la dstrbucón de los pesos es normal, con desvacón típca de 4 gramos. Una muestra aleatora de 16 paquetes da un peso medo de 198,4 gramos. Con un nvel de sgnfcanca del 10% Tene razón el fabrcante?

104 SOLUCION: A pesar de que la muestra es pequeña, se puede utlzar como estadístco de prueba Z dado que la dstrbucón es normal y se conoce la desvacón típca poblaconal. 198,4 4 grs 10% n 16 x n La afrmacón al menos 00 gramos se puede expresar en el lenguaje de las desgualdades así: 00 que es la hpótess nula, luego el sstema queda: H 0 H A : : De la hpótess alternatva se deduce que es una prueba de cola a la zquerda (Ver fgura 3.10), por tanto, el valor crítco se encuentra utlzando la fórmula C C C C H Z 00 (1,8) 00 1,8 198,7 (1) FIGURA 3.10

105 Como 198,4 es menor que 198,6 se rechaza la hpótess nula de que 00 y en consecuenca se puede decr que el fabrcante no tene la razón. Cuando no se dspone de muestras grandes y se sabe que la dstrbucón es normal y se desconoce la desvacón típca poblaconal, hay que utlzar la prueba t de student. La fórmula de C se converte en C H t S Prueba de cola a la derecha C H t S Prueba de cola a la zquerda Esto se lustra en los sguentes ejemplos: EJEMPLO 3.9 Una compañía que recbe cargamento de plas tene como polítca aceptar el envío s el tempo medo de vda de las plas del cargamento es como mínmo de 50 horas. Para un cargamento en partcular, el tempo medo de vda en una muestra aleatora de 9 plas fue de 48, horas con una desvacón típca de 3 horas, s se consdera un nvel de sgnfcanca del 5% qué se podría decr de la aceptacón de este lote. SOLUCIÓN: Aquí se tene una muestra pequeña, por lo que el estadístco t es el adecuado. La frase como mínmo 50 horas se puede escrbr 50 esta desgualdad que contene el sgno gual se converte en la hpótess nula, el sstema es pues:

106 H 0 H A : : La hpótess alternatva ndca que es una prueba de cola a la zquerda por lo que el valor crítco se calcula con el uso de la fórmula: C H t S La tabla del apéndce muestra que el valor de t para = 5% y 9-1 = 8 grados de lbertad es: t 0,05 (8) 1,86 S 3 Ademas, S 1 n 9 Así : C C C 50 (1,86) (1) 50 1,86 48,14 Como = 48, es mayor que 48,14 no se rechaza la hpótess nula. Esto nos ndca que no hay sufcente evdenca para rechazar el envío. Ver FIGURA 3.11 FIGURA 3.11

107 EJEMPLO 3.10 El gerente de una empresa dedcada al transporte de encomendas teme que el peso medo de sus envíos sea superor a 30 lbras. Este supuesto es ndeseable porque cualquer peso superor mplca costos de envío adconal. S el contraste de hpótess sugere que el peso medo es superor a 30 lbras, la empresa revsará su procedmento de embalaje. Para determnar el peso medo de todos los envíos de la empresa, se elgen al azar 5 órdenes. La meda muestral es de 3,1 lbras con una desvacón típca de 3,1 lbras. Formular la hpótess para la empresa y realzar la prueba con SOLUCION: Como ser superor a 30 lbras se escrbe 30, esta desgualdad se trata de la hpótess alternatva, puesto que no contene el sgno de gualdad. Entonces: H 0 H A : : Se requere una prueba de cola a la derecha con 5-1 = 4 grados de lbertad. Para una prueba unlateral t 1, 711 0,05(4) Luego el valor crítco es: C C C C H t 30 (1,711) (0,6) 30 1,06 31,06 lbras S

108 No rechazar la hpótess nula s la meda muestral es nferor a 31,06. Rechazar la hpótess nula s la meda muestral es superor a 31,06. Ver gráfco 3.1 FIGURA 3.1 Como = 3,1 es mayor que 31,06, lo probable es que sea mayor que 30 y se rechaza la hpótess nula de 30. La empresa deberá tomar meddas para reducr el peso de sus expedcones y evtar costos de envíos excesvos. 3.6 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA PROPORCIONES Cuando se trata de una proporcón las observacones cumplen una determnada especfcacón, así el nterés no se centra en la meda de la poblacón, sno en el tanto por cento de ésta que cumplen o dejan de cumplr dcha especfcacón. La prueba de proporcones poblaconales sgue el msmo esquema establecdo como se muestra en los sguentes ejemplos: EJEMPLO 3.11 ApexCompany supone que el 15% de las mercancías que producen por un nuevo método son defectuosas. En una muestra de 13 undades hay defectuosas. Con un nvel de sgnfcanca del 10% Qué se puede decr de la suposcón de ApexCompany?

109 SOLUCION: El sstema de hpótess es: H 0 H A : 0.15 : 0.15 P (0,15) (0.85) 13 0,031 Como 0,90/ = 0.45 se obtene de la tabla el valor de Z = 1,65 Luego: P P P C C C P C H 0,15 0,15 Z P (0,031) (1,65) 0,05 0,1 0. No rechazar H o s la proporcón muestralp x está entre 0,10 y 0,0. Rechazar la hpótess H o s P x es nferor a 0,10 o superor a 0,0 P x 13 0,17 Como P x = 0,17 está entre 0,10 Y 0,0, no se rechaza la hpótess nula. Puede decrse entonces que efectvamente el 15% de las mercancías producdas por la compañía son defectuosas. EJEMPLO 3.1 Suponga que ha estado trabajando en una empresa de publcdad durante 5 años. Ahora pensa crear su propa empresa, pero le preocupa s perderá muchos de los actuales clentes. Decde que sólo se establecerá por su cuenta s el 30% como mínmo de las cuentas que ahora gestona le sguen a su nuevo negoco. Para

110 comprobarlo, encuentra que 14 de 54 cuentas que toma como muestra expresan su deseo de acompañarle s funda su empresa. Al nvel del 7%. Deberá fundar su propa empresa? SOLUCION: 0.07 P H P x ( 1 H ) n (0,30 ) (0,70) 54 n 54 0,06 P H 0,30 El 30% como mínmo se puede expresar como que es la hpótess nula, luego el sstema a contrastar es: H 0 H A : 0,30 : 0.30 La hpótess alternatva ndca una prueba de cola a la zquerda. El valor crítco se determna al reemplazar en la fórmula P C : H Z P Donde la tabla del apéndce 1 muestra un valor de Z = 1,48 Luego P P P C C C 0.30 (1,48) (0,06) , No rechazar la hpótess nula s la proporcón muestral es superor a 0,1.

111 FIGURA 3.13 Como 0.6 > 0.1 no se rechaza la hpótess nula, esto nos ndca que puede fundar su propa empresa. EJEMPLO 3.13 En sus funcones de analsta de marketng recén contratado por RAMM Industras se le encarga garantzar que más del 10% de la poblacón conozca su nueva línea de productos. De 300 personas encuestadas 36 manfestaron conocerla. Con un nvel de sgnfcanca de = 4%, ha cumpldo usted con su trabajo? SOLUCION: Más del 10% se puede expresar. Como esta desgualdad no contene el sgno de gualdad se converte en la hpótess alternatva, luego el sstema de hpótess es: H 0 H A : : La hpótess alternatva ndca que es una prueba de cola a la derecha, por tanto el valor crítco se calcula con la expresón P C H Z P H Px 0,1 300

112 P H ( 1 n ) H (0.10)(0.9) El valor de Z para 4%, ( = 0.46) según la tabla 1 del apéndce es gual a 1,75, Así: P P P C C C ,10 0,13 (1,75) ( 0,017) 0,030 Rechazar la hpótess nula s la proporcón muestral es superor a 0,13. Como 0,1 < 0,13 no se rechaza la hpótess nula, esto nos ndca que no se ha cumpldo con lo encomendado. 3.7 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES Hasta ahora se han manejado stuacones en las que ntervene una sola muestra. Examnaremos ahora el caso en que se dspone de muestras aleatoras de dos poblacones, y en el que el parámetro de nterés consste en la dferenca entre las dos medas poblaconales. En los procedmentos que se desarrollaran para contrastar este tpo hpótess, la metodología adecuada depende de la manera en la que se tomaron las muestras 9, es así como se necesta consderar separadamente los casos de los pares asocados y las muestras ndependentes CONTRASTE DE HIPOTESIS - MUESTRA PAREADA 9 PAUL NEWBOLD. Estadístca para los Negocos y la economía. España, Prentce Hall 1997, p308

113 Se entende por muestra pareada, llamada tambén de pares concdentes, un procedmento en el cual se hace concdr varas parejas de observacones con la mayor exacttud posble en las característcas de nterés. Los dos conjuntos de observacones sólo dferen en un aspecto o tratamento, cualquer dferenca posteror de los dos grupos se atrbuye a ese tratamento. Supóngase que se dspone de una muestra aleatora de n pares de observacones x, y, de dos poblacones con medas A y B. Se denota por d y por la meda y la varanza observada para las n dferencas x, a S d los cuales están dados por: d a d Meda de las dferencas en observacones pareadas. n d nda Sd Varanza de las dferencas en observacones pareadas n 1 y Cuando se hace contraste de hpótess con muestras pareadas por lo general se trabaja con muestras pequeñas, en este caso el valor crítco está dado por: d C Sd t Dferenca crítca en la meda de observacones pareadas. n Para llevar a cabo un contraste de hpótess para muestras pares se sgue el msmo procedmento vsto para los contraste de una poblacón. EJEMPLO 3.14

114 Una corporacón ofrece cursos de preparacón a los estudantes para superar exámenes. Como parte de un expermento para evaluar la efcenca del curso, se elge doce estudantes y se dvden en 6 parejas, de manera que los dos membros de cada pareja tengan smlares expedentes académcos. Antes de realzar el examen, se elge aleatoramente un membro de cada pareja para asstr al curso de preparacón. La sguente tabla muestra las puntuacones consegudas en el examen. PAREJA DE ESTUDIANTES ASISTE NO ASISTE Asumendo que las dferencas en las puntuacones sgue una dstrbucón normal, contrastar al nvel de sgnfcanca del 5% que la meda de los puntajes es mayor para los estudantes que assten al curso de preparacón. SOLUCION: Fase 1. Formulacón de la hpótess Sea a B la la meda de los estudantes que meda de los estudantes que no assten al curso de preparacón assten assten al curso de preparacón La meda es mayor para los estudantes que assten al curso de preparacón se puede escrbr como. Cómo esta desgualdad no contene el sgno gual, A B se converte en la hpótess alternatva. El sstema a contrastar es:

115 H H 0 A : A B : A B Que corresponde a una prueba unlateral a la derecha. Fase :Cálculo del valor crítco El valor crítco se obtene con el uso de la fórmula d C t S d n d S S a d d Parejas de estudantes Asste No asste d d SUMATORIA 7 07 n d d 17,1 n nd a 4,13 4,5 07 6( 4,5) 5 85,5 5 17,1 Con y 6-1 = 5 grados de lbertad el valor de t es: t 0.05; 5 d d d c C C,015 Sd t n 4,13, ,4

116 FIGURA 3.14 Fase 3: Regla de decsón No rechazar H 0 s d a 3,39, rechazar la hpótess nula s d a > 3,39 Fase 4: Conclusón Como d 4,5 3, 39 se rechaza la hpótess nula y se concluye que la meda es a mayor para los estudantes que assten al curso de preparacón CONTRASTE DE HIPÓTESIS EN MUESTRAS INDEPENDIENTES Cuando se toman muestras ndependentes, no es precso hacer nngún esfuerzo para que concdan las observacones de una muestra con las otras. A dferenca de las muestras pareadas, las muestras ndependentes no tenen por qué ser del msmo tamaño. Las muestras ndependentes, son muestras aleatoras tomadas de dos poblacones dstntas. Al contrastar hpótess de dos poblacones dstntas con muestras ndependentes DIFERENCIA CRÍTICA: Dferenca entre dos medas muéstrales que es demasado grande para que pueda atrburse al azar de la extraccón. Por el contraro, se puede decr que las medas muéstrales dferen en una cantdad tan grande por que preceden de poblacones dsímles que tene medas desguales.

117 se sgue el msmo procedmento estudado hasta ahora tenendo en cuenta los sguentes elementos adconales. Cuando las varanzas poblaconales son conocdas, la dferenca crítca se halla por medo de la fórmula: d c Z Dferenca crítca entre medas muestrales. A B A B Es el error típco de la dferenca entre las dos medas muestrales. ERROR TÍPICO DE LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES S se toman varos pares de muestras de dos poblacones, las dferencas entre las medas de los pares de muestra varían. El error típco mde esa varacón. La fórmula de cálculo es: A B n A A n B B Error típco de la dferenca entre dos medas muestrales. Donde son las varanzas de las dos poblacones y A B A y B n y n Son los dos tamaños muéstrales. Para llevar a cabo la prueba se compara la dferenca real entre las medas muéstrales, d a A B con la dferenca crítca d C EJEMPLO 3.15 El CITIBANK quere comparar el nvel medo de las cuentas de ahorro abertas en Bancos comercales de Amérca con los de Europa. Muestras de 30 Bancos de

118 Amérca y 30 de Europa tenen medas de A =1.51 dólares y E =1.317 dólares, respectvamente. Se sabe que la desvacón típca en las cuentas de ahorro son de A 517 dólares y 485 dólares. Contrastar la hpótess nula de que no hay dferenca de ahorros medos al nvel del 5%. E SOLUCIÓN: No hay dferenca de ahorros medos se puede escrbr como converte en la hpótess nula, el sstema a contrastar es: que se A E H H 0 A : : La dferenca crítca se calcula con la fórmula A A E E d C A Z E A n A A E n E E ,06 El valor de Z para 0,05 en una prueba blateral es 1,96. Luego d ( 1,96) (44,05) 86, 34 C

119 FIGURA 3.15 Regla de decsón: No rechazar la hpótess nula s: - 86,34 < d a < 86,34 Ahora d a A E Como d d se rechaza la hpótess nula. Los datos sugeren que el nvel a C medo de ahorro en los dos contnentes es dferente EJEMPLO 3.16 Una empresa fabrcante de camsas para hombres tene dudas sobre el tempo medo necesaro para fabrcar sus dos modelos: clásco e nformal. El jefe de produccón afrma que lleva más tempo producr las camsas cláscas que fabrcar las nformales. Los datos de produccón ndcan que para fabrcar 90 camsas cláscas se requró una meda de 140, horas con una desvacón típca de,7 horas, mentras que para fabrcar 110 camsas nformales se tardó una meda de 131,7 horas con una desvacón típca de 3,9 horas. S el jefe de produccón tene razón, abandonarán la produccón de las camsas cláscas. Se deberá hacer un cambo en la línea de produccón? SOLUCION:

120 Como las varanzas poblaconales son desconocdas, se utlzan las varanzas muéstrales como estmacones y el error típco de la dferenca entre medas muéstrales se estmará por la fórmula: S C I S n C C S n I I La dferenca crítca se converte en d C Z S C I Como el jefe de produccón afrma que lleva más tempo producr las camsas cláscas C, que las nformales I, se puede escrbr, y como esta desgualdad no contene el sgno gual se toma como hpótess alternatva y el sstema es: C I H H 0 A : : C C I I Que exge una prueba de cola a la derecha. El valor de Z correspondente a una prueba unlateral con 0,05 es Z 1, 65 El valor crítco se obtene reemplazando en la fórmula d C Z S C I S C I (,7) 90 (3,9) 110 3,30 d C ( 1,65) (3,30) 5,45

121 FIGURA 3.16 Regla de decsón: no rechazar la hpótess nula s d 5,45. Como d I 140, 131,7 8, 5 es mayor que d 5, 45 se rechaza la a C hpótess nula y el argumento del jefe de produccón queda respaldado, las camsas cláscas deben dejar de fabrcarse. a C Consulte en nternet las sguentes págnas:

122 Resumen El contraste de hpótess, es un procedmento que puede emplearse para verfcar, con base en la nformacón muestral, la valdez de una conjetura o hpótess, que se haya formulado sobre la poblacón. La hpótess que se contrasta se llama Hpótess nula (Ho) y con la que se contrasta, hpótess alternatva (Ha). La hpótess opuesta sobre el valor de una meda poblaconal,, se ndca por lo general en una de tres formas con referenca a un valor específco 0. FORMA 1 FORMA FORMA 3 H 0 H A : : 0 0 H : 0 H A : 0 0 H 0 H A : : 0 0 Prueba blateral Prueba unlateral Prueba unlateral Las hpótess opuestas sobre la dferenca entre dos medas poblaconales A y B se ndcan del msmo modo señalado. FORMA 1 FORMA FORMA 3

123 H H 0 A : : A A B B H H 0 A : A B : A B H H 0 A : : A A B B Prueba blateral Prueba unlateral Prueba unlateral Las hpótess opuestas sobre la proporcón poblaconal modo señalado. se ndcan del msmo Un estadístco de prueba es aquel valor calculado a partr de los datos muéstrales en una prueba de hpótess para establecer s se rechaza o no se rechaza la hpótess nula. Entre ellos tenemos: Z 0 Para una meda poblaconal Muestras grandes Para una meda poblaconal Muestras pequeñas 0 t S Z P x 0 Para una proporcón de la poblacón P La regla de decsón es un enuncado que se emte para determnar s se rechaza la hpótess nula. Específca el valor crítco de los resultados muéstrales; que se determna con las expresones: Para pruebas blaterales C H Z S P C C H H t S Z P

124 Para pruebas unlaterales H C S Z H C Z H C S t H C S t P H C Z P P H C Z P

125 Taller 3 1. Un fabrcante ha estado recbendo quejas de sus clentes por que los peddos llegan 1 o más días después de haber sdo envados. El fabrcante seleccona al azar 5 de los peddos de la semana sguente y los envía de una manera dferente. Un estadístco ha de probar s el nuevo procedmento es mejor, a un nvel de sgnfcanca de = El tempo medo de entrega en la muestra resulta de =10, con una desvacón estándar muestral de s = 3 días. Haga la prueba.. La admnstracón federal de avacón cree que el número de despegues y aterrzajes en aeropuertos en los Estados Undos el año pasado fue de 50 por día. Elabore una propuesta de hpótess adecuada de esta creenca en el nvel de sgnfcanca de = 0.01, y use estos datos muéstrales: n = 100, = 71, s = 30 (hay aeropuertos en los Estados Undos). 3. Un gerente desea probar la resstenca a la tensón del hlo que ha de usarse en las nuevas máqunas de su compañía, la cual debe ser de por lo menos 5 lbras. Se toma una muestra aleatora de 16 carretes de varas remesas de entrada al almacén cuya resstenca promedo es de 4 lbras, con una desvacón estándar de 0.5 lbras. Haga una prueba de hpótess a un nvel de sgnfcanca de = 0.10 y dga s el hlo es apropado. 4. Un economsta desea probar s el salaro promedo de mecáncos de avacón en EEUU es en realdad de 600 dólares por mes, como se ha estado dcendo. Se toma una muestra aleatora de n = 100 de los 9.95 mecáncos de avacón del país; el nvel de sgnfcanca deseado es de = La muestra

126 ndca un salaro medo de 675 dólares mensuales y una desvacón estándar de 3 dólares. Haga la prueba. 5. Cuando funcona correctamente, un proceso produce frascos de champú cuyo contendo pesa, en promedo, 00 gramos. Una muestra aleatora de 9 frascos de una remesa presentó los sguentes pesos (en gramos) para el contendo: Asumendo que la dstrbucón de la poblacón es normal, contrastar al nvel del 5%, la hpótess nula de que el proceso está funconando correctamente frente a la alternatva blateral. 6. Un dstrbudor de cerveza afrma que una nueva presentacón, que consste en una fotografía de tamaño real de un atleta muy famoso, ncrementará las ventas del producto en los supermercados en una meda de 50 cajas semanales. Para una muestra de 0 supermercados, el ncremento medo en las ventas fue de 41,3 cajas con una desvacón típca de 1, cajas. Contrastar, al nvel del 5%, la hpótess nula de que la meda poblaconal del ncremento en las ventas es al menos de 50 cajas, ndcando cualquer supuesto que se haga. 7. Un funconaro que trabaja en el departamento de colocacón de una Unversdad, quere determnar s los hombres y las mujeres graduados en Admnstracón de Empresas recben, en promedo, dferentes ofertas de salaros en su prmer trabajo después de graduados. El funconaro selecconó aleatoramente 8 pares de egresados en esa dscplna de manera que las calfcacones, ntereses e hstora de los ntegrantes de cada pareja fuesen lo más parecdo posble. La mayor dferenca fue que un membro de cada pareja

127 era hombre y el otro mujer. La tabla adjunta recoge la mayor oferta salaral que recbó cada membro de la muestra al termnar su carrera. Asumendo que las dstrbucones son normales contrastar la hpótess de que la verdadera meda es mayor para los hombres que para las mujeres. PAREJA MAYOR OFERTA SALARIAL (Mles de pesos) HOMBRE MUJER Su empresa ha determnado en el pasado que el 53% exactamente de la gente de su área de marketng preferen su producto. Se han gastado varos mllones de pesos en una campaña publctara para aumentar su partcpacón en el mercado. Una muestra de 6 personas tomada después de la campaña revela que 346 preferen su producto. Al nvel de sgnfcanca del 4%, se podrá conclur que se ha nvertdo ben el dnero en publcdad? 9. En caldad de nuevo drectvo en formacón de la empresa KAM, su jefe le ha encomendado que determne s los envíos de la factoría salen a tempo. Usted decde contrastar la hpótess de que por lo menos el 95% de los peddos cumplen con los requstos de plazo. Para guardar las espaldas, fja un nvel de sgnfcanca del 1% y seleccona una muestra de 11 peddos y encuentra que 8 de ellos se han retrasado. Qué le dría a su jefe?

128 10. Una revsta especalzada en computacón afrma que la gente tarda máxmo34 horas, en promedo, en aprender un nuevo programa nformátco. Está esta afrmacón respaldada al nvel del 10% s 35 personas tardaron en aprender el programa un promedo de 38,6 horas con una desvacón estándar de15,8 horas? 11. En un proceso de produccón de su empresa tenen que llenarse botellas de agua pura mneral por lo menos con 16, onzas. En caso contraro, el proceso se nterrumpe mentras se hacen los ajustes necesaros. Como estadístco ofcal de la empresa, se le ha asgnado la responsabldad de determnar, con una confanza del 99%, s el proceso funcona como es debdo. En una muestra de 4 botellas se halla que el peso medo del contendo es de 15,7 onzas y la desvacón estándar de 3,7 onzas. Deberá ordenar que el proceso se detenga para realzar los ajustes? 1. The government of a wealthy country ntends to nsttute a program to dscourage nvestment n foregn countres by ts ctzens. It s known that n the past 35% of the country s adult ctzens held nvestment n foregn countres. The government wshes to determne f the current percentage of adult ctzens, who own foregn nvestment s greater than ths long term fgure of 35%. A random sample of 800 adults s selected, and t s found that 30 of these ctzens hold foregn assets. Is ths percentage greater than 35%? Use a 10% sgnfcance level for testng ths clam Mohammed A. Shayb, Appled Statstcs, bookboon.com, 013, 17

129 Evaluacón 1. Un fabrcante de detergente afrma que el contendo medo de los paquetes que vende es de al menos 00 gramos. Se sabe que la dstrbucón de los pesos es normal, con desvacón típca de cuatro gramos. Una muestra de 16 paquetes da una meda de 198,4 gramos. Para realzar el contraste de hpótess, al nvel del10%, el sstema requerdo es: A. H 0 H A : 00 : 00 B. H 0 : 00 : 00 H A C. H 0 : 00 : 00 H A D. H 0 : 00 : 00 H A. El error típco de la dstrbucón muestral del ejercco 1 es: A. 1.5 B. 50 C. 0,5 D De una muestra de 361 propetaros de pequeñas empresas que quebraron, 105 no tuveron asesoría profesonal antes de abrr el negoco. Para contrastar la hpótess nula de que como mucho el 5% de todas estas pequeñas empresa no tuvo asesoría profesonal antes de abrr el negoco, el sstema de hpótess requerdo es:

130 A. H 0 H A : 0,5 : 0,5 B. H0 : 0.5 : 0,5 H A C. H0 : 0,5 : 0,5 H A D. H0 : 5 : 5 H A 4. El error típco aproxmado de la dstrbucón muestral del ejercco es: A.0,40 B. 0,04 C. 0,83 D. 0,39 5. En un contraste de hpótess cuyo sstema a contrastar es H 0 : 00 : 00 H A y se ha obtendo una meda y punto crítco nula s: c, se rechaza la hpótess A. c B. cinf csup C. c D. c

131

132 PRESENTACION Exsten muchos casos en la teoría económca y en el campo de la admnstracón en los que se hace ndspensable el uso del análss y correlacón como herramenta fundamental para la constatacón de teorías relaconadas con la naturaleza de las varables en la verfcacón de la dependenca de una con respecto a otra, y de esta forma hacer estmacones y predccones partendo de observacones de la msma empresa. En este capítulo se presentan algunos conceptos fundamentales de análss de regresón; utlzando como ayuda el modelo de regresón lneal en dos varables, en el cual, la varable dependente se expresa como una funcón lneal de una sola varable ndependente. PREGUNTA PROBLEMA Cómo crees que el análss de regresón lneal puede aplcarse en la solucón de stuacones específcas de una empresa? COMPETENCIAS ESPECÍFICAS 1. Interpreta correctamente los conceptos báscos del análss de regresón lneal smple.. Utlza el método de mínmos cuadrados ordnaros (MCO), para la estmacón de los parámetros del modelo de regresón en dos varables. 3. Establece nferenca acerca de los parámetros estmados

133 SABERES Interpretacón de la regresón, termnología y notacón Estmacón por mínmos cuadrados Verfcacón de hpótess, capacdad explcatva de una funcón de regresón DINÁMICA PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO ACTIVIDAD PREVIA (Trabajo Indvdual) 1. De las sguentes, es una ecuacón lneal: A. x 3y xy 1 B. x 3y y 3 C. 3x y 3 4x D. x y 5. En la ecuacón lneal x 4y 6 la pendente es: A. 0,5 B. 1,5 C. -0,5 D. -1,5 3. En una ecuacón lneal, la pendente representa: A. El ncremento de la varable ndependente con respecto a la varable dependente. B. El ncremento de la varable dependente con respecto a la varable ndependente. C. El ntersecto con el eje. D. El ntersecto con el eje Y.

134 4. Estmar la regresón lneal de Y sobre, consste en: A. Determnar el ntersecto con el eje Y. B. Determnar el ntersecto con el eje. C. Determnar la pendente y la constante de regresón. D. Determnar el coefcente de determnacón. ACTIVIDA GRUPAL Socalce los resultados obtendos ndvdualmente y escrba sus conclusones al respecto. Redacte un nforme sobre la mportanca de la aplcacón de la regresón lneal en que hacer de su profesón. Escrba un lstado de las dudas y dfcultades en el desarrollo de la actvdad ndvdual.

135 SABERES Y ACTIVIDADES 4. REGRESION LINEAL SIMPLE Es común que los economstas y admnstradores de empresa estén nteresados en la forma en que dos varables estén relaconadas. En general, cualquer estudo económco o empresaral debe comenzar con un conjunto de proposcones que emanan de la teoría económca y que el analsta está nteresado en constatar. Las funcones de demanda de produccón son ejemplos claros de relacones sobre las que se puede estar nteresado en constatar determnadas propedades. Se comenzará por la forma más smple de regresón, que es la relacón lneal entre dos varables. 4.1 INTERPRETACIÓN DE LA REGRESIÓN En térmnos generales se puede decr que: El análss de regresón está relaconado con el estudo de la dependenca de una varable (VARIABLE DEPENDIENTE) de una o más varables adconales (VARIABLES EPLICATIVAS) con la perspectva de estmar y/o predecr el valor (poblaconal) medo o promedo de la prmera en térmnos de los valores conocdos o fjos de las segundas.

136 EJEMPLO 4.1 Un economsta puede estar nteresado en estudar la dependenca que exste entre los gastos personales de consumo y el ngreso personal real. Este tpo de análss puede ser de gran ayuda para estmar la propensón margnal a consumr, es decr, el cambo promedo en los gastos de consumo ante una varacón, de por ejemplo, una undad en el ngreso real. EJEMPLO 4. Un profesonal en economía laboral puede estar nteresado en estudar la relacón exstente entre el porcentaje de cambos en los salaros monetaros o nomnales y la tasa de desempleo. Dcho conocmento puede ser de gran ayuda para realzar conjeturas sobre el proceso nflaconaro por el cual puede atravesar una determnada economía, puesto que los aumentos en salaros probablemente se referan en aumento en los precos. EJEMPLO 4.3 El drector de mercado de una empresa puede estar nteresado en conocer la manera como se relacona la demanda de su producto con los gastos en publcdad en que ncurre dcha empresa. Este tpo de estudo sería de gran utldad para averguar la elastcdad de la demanda del producto en los gastos de publcdad de la empresa, es decr, la respuesta promedo de la demanda ante un aumento de una undad, por ejemplo un dólar, en el presupuesto de gastos de publcdad. Este conocmento a la vez puede ser de mucha utldad para determnar el presupuesto óptmo de publcdad.

137 De los ejemplos anterores se puede deducr que dentro del análss de regresón nos nteresa lo que se conoce como la dependenca estadístca, y no la dependenca funconal o determnístca entre las varables, como aquellas que se representan en la físca clásca. En las relacones estadístcas entre varables tratamos esencalmente con varables ALEATORIAS O ESTOCÁSTICAS, es decr, varables que tenen dstrbucones probablístcas. La mejor forma de lustrar la regresón lneal, es utlzando los dagramas de dspersón. Supóngase que es el preco de un determnado ben a lo largo del tempo e Y la cantdad de demanda del msmo. S la nformacón dsponble se refere a n observacones, por ejemplo la cantdad demandada por un grupo de famlas, ésta aparece recogda en dos seres en la tabla 4.1. Tabla 4.1 Cantdad demandada por un grupo de famlas Período Preco Cantdad demandada n n Y 1 Y... Y... Y n

138 S el preco y la cantdad demandada son varables ndependentes, se moverán una al margen de la otra. En este caso, la representacón en un sstema de coordenadas de los pares de la tabla anteror generaría una nube de puntos como las de la fgura 4.1. En el caso de que ambas varables no sean ndependentes, sno que estén relaconadas funconalmente, y s la relacón exstente entre ambos es nversa, un valor elevado de Y aparecerá asocado a un valor pequeño de y vceversa. En térmnos gráfco, la relacón entre demanda y preco podría entonces tomar la forma recogda en el dagrama de puntos de la fgura 4.. La representacón gráfca es efcaz para obtener una nformacón ntutva sobre la evolucón de dos varables (y su relacón). Esta nformacón, sn embargo, no suele ser sufcente para el empresaro o economsta, que normalmente pretenderá cuantfcar la relacón exstente entre las varables analzadas. Dos técncas amplamente utlzadas con objeto de cuantfcar la relacón exstente entre las varables son el análss de regresón y el análss de correlacón. Aunque están estrechamente relaconadas conceptualmente las dos son muy dferentes.

139 La regresón es una expresón cuanttatva de la naturaleza básca de la relacón entre las varables dependentes e ndependentes. Por ejemplo, dado un modelo de regresón smple con una varable ndependente, el modelo determnará s las dos varables tenden a desplazarse en la msma dreccón (las dos crecen o decrecen al msmo tempo) o en sentdo opuesto (una aumenta cuando la otra dsmnuye). Tambén ndcará la cantdad en qué Y cambará cuando la varable ndependente varíe en una undad. En el análss de correlacón el objetvo fundamental es la medcón de la fuerza o grado de asocacón lneal entre varables, el coefcente de correlacón mde la soldez de dcha relacón. 4. TERMINOLOGIA Y NOTACIÓN Los térmnos varables dependentes y varable explcatva se defnen o descrben de varas maneras: Varable Dependente Varable Explcada Varable Predcha Varable Regresada Varable Respuesta Varable Endógena Varable Independente Varable Explcatva Varable Predctor Varable Regresor Varable de Control. Varable Exógena S estamos estudando la dependenca de una varable en una sola varable explcatva, como en el ejemplo de las ventas y la publcdad, dcho estudo se conoce como Análss de Regresón Smple o en dos varables

140 4.3 FUNCIÓN DE REGRESIÓN POBLACIONAL Se ha dcho que el objetvo del análss de regresón es estmar o predecr el valor medo o promedo de la varable dependente con base en los valores fjos o conocdos de la varable explcatva. Veamos medante un ejemplo como se lleva acabo este análss: Supóngase que se está nteresado en estudar la relacón exstente entre los gastos de consumo famlar semanal Yy el ngreso famlar dsponble semanal. Es decr, se desea predecr el nvel promedo de gastos de consumo semanales, conocendo el ngreso de la famla en este lapso. Se parte de una poblacón de 60 famlas, dvddas en 10 grupos con el msmo ngreso aproxmadamente. Tabla 4. Datos hpotétcos de ngresos famlares por semana Ingreso famlar Consumo por semana Total Valor esperado

141 Esta tabla se puede nterpretar así: Para un ngreso semanal de 100 ml pesos, hay 6 famlas cuyos gastos de consumo semanales están entre 65 ml y 88 ml pesos. Es decr, cada columna muestra la dstrbucón de los gastos de consumo Y correspondente a un nvel fjo de Ingreso, esto es, muestra la dstrbucón condconal de Y dado valores de. Medante el uso de la probabldad condconal se puede calcular el valor esperado de Y dado, que es smplemente la meda o valor promedo de la poblacón. Para los datos hpotétcos del ejemplo la meda condconal de Y dado = 10 se calcula así: E (Y/= 10) = (1/5) (79) + (1/5) (84) + (1/5)(90) + (1/5) (94) + (1/5) (98) = 89. En la últma fla de la tabla 4. se muestran los demás valores esperados para Y dado respectvos. Los valores de la tabla 4. se muestran en el sguente dagrama de dspersón. FIGURA 4.3 Dstrbucón de gastos para dferentes nveles de ngreso

142 En el dagrama se muestra claramente que, en promedo, los gastos de consumo aumentan al ncrementarse el ngreso. La anteror afrmacón puede aprecarse mejor s se concentra la atencón en los puntos que representan dferentes valores condconales medos de Y que aparecen exactamente sobre una línea recta con pendente postva. Esta línea se denomna línea de regresón lneal. De aquí se puede conclur que cada meda condconal E (Y/ ) está en funcón de. Smbólcamente: E(Y/ ) = f ( ) (4.1) En donde f ( ) denota una funcón de la varable explcatva. La ecuacón 4.1 se conoce como la funcón de regresón poblaconal (FRP). Dcha funcón denota úncamente que la meda poblaconal de la dstrbucón de Y dado está funconalmente relaconada con. Es decr, dce cómo la respuesta meda o promedo de Y varía con. En stuacones reales no se cuenta con la totaldad de la poblacón para efectuar el análss. Por tanto la forma funconal de FRP debe ser aproxmada de una manera empírca; se puede suponer que la FRP es una funcón lneal de. E(Y/) = (4.) En la cual 1 y son parámetros desconocdos pero fjos que se denomnan coefcentes de regresón. Esta expresón se conoce como funcón de regresón lneal poblaconal.

143 4.4 ESPECIFICACIONES ESTADISTICAS DE LA FRP. Como se apreca en la fgura 4.3 a medda que el ngreso famlar aumenta, los gastos de consumo famlar en promedo tambén aumentan. Pero s observamos la tabla 4. se deduce que no necesaramente aumentan con el nvel de ngreso. Por ejemplo: para un nvel de ngreso de $ exste una famla cuyos gastos de consumo de $ son menores que el gasto de consumo de dos famlas cuyo ngreso semanal es solo de $ Sn embargo los gastos de consumo promedo de las famlas con ngresos semanales de $ son superores que los de famla con ngresos semanales de $80.000; $ y $ ml respectvamente. De este análss se concluye que para un nvel de ngreso dado, los gastos de consumo de una famla se concentran alrededor del consumo promedo de todas las famlas para ese msmo, esto es, alrededor de su esperanza condconal. Por consguente, se puede expresar la desvacón de un Y ndvdual alrededor de su valor esperado así: (4.3) En donde la desvacón es una varable aleatora no observable que toma valores postvos o negatvos y se le conoce como perturbacón estocástca o térmno del error estocástco.

144 La ecuacón 4.3 postula que los gastos de una famla, dado su nvel de ngreso, son guales a los gastos promedos de consumo de todas las famlas con ese nvel de ngreso, más una cantdad que es aleatora. S se supone que E( Y/ ) es lneal en como en la ecuacón 4., entonces: Y = E( Y/) + (4.4) Ahora s se toma el valor esperado en la ecuacón 4.3 a ambos lados se tene: E (Y / ) = E [ E (Y / )] + E ( / ) = E (Y / ) + E ( / ) Puesto que E ( Y / ) = E ( Y/ ), entonces E ( / ) = 0 En otras palabras, el supuesto de que la línea de regresón pasa por los medos condconales mplca que los valores medos condconales son guales a cero. De donde se deduce que: E ( Y/ ) = 1 es equvalente a : Y = s E( Y / ) 0 1 La especfcacón estocástca de 4.4 ofrece la ventaja de mostrar que, además del ngreso, exsten otras varables que afectan los gastos de consumo de una famla, los cuales no se pueden explcar en su totaldad por la varable ncluda en el modelo de regresón. 4.5 FUNCION DE REGRESION MUESTRAL (FRM)

145 Como en la práctca lo que está al alcance del analsta es una muestra de valores de Y correspondentes a valores fjos de, se debe hacer consderacones de muestreo. Por consguente la tarea es la estmacón de la Funcón de Regresón Muestral (FRM) con base en nformacón muestral. Para ello supóngase que se obtenen dos muestras de Y selecconadas aleatoramente para valores fjos de. (véase tabla 4.3). Ahora se cuenta con un solo valor de Y para cada dado. Al realzar un dagrama de dspersón con los datos de la tablas 4.3 se observa que no es factble estmar con precsón la FRP, debdo a las fluctuacones muéstrales como se ve en la fgura 4.4, en donde se grafcan dos líneas de regresón muestral que tratan de ajustar lo mejor posble los puntos de dspersón. FRM1 y FRM son las resultantes de la prmera y segunda muestra respectvamente; aquí no exste modo alguno de afrmar con certeza cuál de las dos líneas representan la verdadera línea de regresón poblaconal. Supuestamente, ambas representan la línea de regresón poblaconal, pero debdo a las fluctuacones muéstrales son una aproxmacón de la verdadera FRP. En general se obtendrá N FRMS dferentes para N muestras dferentes y no es factble que estas sean guales. TABLA 4.3 Muestras de Y para valores fjos de Muestra aleatora 1 Muestra aleatora Y Y

146 FIGURA 4.4 Dstrbucón de un solo gasto para dferentes nveles de ngreso. De manera análoga a la FRP en que se fundamenta la regresón lneal poblaconal, es posble desarrollar el concepto de funcón de regresón muestral. Para representar la línea de regresón muestral, la expresón a utlzar es: Yˆ ˆ ˆ 1 donde: Yˆ Estmador de E( Y / ) ˆ Estmador de I ˆ Estmador de 1 En la forma estocástca la funcón de regresón poblaconal es: Yˆ ˆ 1 e ˆ En donde e denota el térmno resdual (muestral).

147 En síntess, el objetvo fundamental del análss de regresón consste en estmar la FRP Y 1 Con base en la FRM Y ˆ ˆ 1 e FIGURA 4.5 Comparatvo de la FRM con la FRP 4.6 ESTIMACION POR MINIMOS CUADRADOS Supóngase que se dspone de x, y ), ( x, y )...( x n, y ) n pares de observacones. ( 1 1 n El objetvo es encontrar la recta que se ajuste mejor a estos datos, es decr, estmar los coefcentes desconocdos de la recta de regresón poblaconal. La manera natural de estmar los parámetros, es encontrar estmadores de 1 y que hagan mínmos los errores.

148 FIGURA 4.6 Estmacón mnmzando los errores Cualquer estmador razonable de la recta de regresón dejará algunos de los datos observados por debajo y otros por encma de la recta estmada. Por lo tanto alguno de los e de la ecuacón e Y ˆ ˆ 1, serán postvos y otros negatvos. S se quere penalzar por gual los valores postvos y los negatvos de la msma magntud, una posbldad es trabajar con los cuadrados de e. La suma de las descrpcones al cuadrado entre los puntos y la recta es: e ( Y ˆ ) ( ˆ ˆ Y Y 1 ) El método de mínmos cuadrados seleccona cono estmador de la recta de regresón poblaconal, a aquellos valores para los cuales esta suma de cuadrado es menor. Para mnmzar, e respecto a 1 y se tene:

149 e 1 Y ˆ ˆ 0 1 e Luego: ( Y ˆ ˆ 1 ) 0 Y ˆ ˆ 0 (1) 1 Y ˆ ˆ 0 () 1 Las ecuacones (1) y () se pueden escrbr: n 1 Y n 1 ˆ 1 n 1 ˆ, entonces, Y n ˆ ˆ 1 (1) n 1 Y ˆ 1 ˆ () Estas ecuacones se llaman Ecuacones Normales. Este sstema se puede resolver por susttucón u otro método. Despejando en (1) se tene: ˆ1 Y n ˆ 1 (*) Susttuyendo * en () se obtene:

150 Y Y ˆ n ˆ Y Y n n Y Entonces: ˆ n Y ˆ Y n Y n Y n n. n n n n. n Y EJEMPLO 4.4 Con los sguentes datos relatvos a consumo renta (en Dólares) de 15 famlas ajuste una regresón: Consumo = 1 renta. Los datos se dan en dólares semanales. Consumo Renta Solucón: Y 1

151 Y (Consumo) (Renta) Y ,06 68 n Y Y 0, , , , , (79,06) (15)(79,06)(68) ˆ ˆ n n Y Y 0,69 ˆ 13,38 ˆ (79,06) (0,69) 68 ˆ ˆ ˆ Y

152 Así el modelo estmado queda representado por Y = 13,38 + 0,69 Se puede nterpretar la regresón estmada de la sguente manera: S la renta semanal aumenta en un dólar, se espera que el consumo promedo daro aumente aproxmadamente en 69 centavos de dólar. S la renta de una famla fuera de cero dólares, se esperaría que el consumo semanal sea de aproxmadamente 13,4 dólares. La gráfca 4.7 presenta la recta de regresón estmada junto con los puntos. demás FIGURA 4.7 Estmacón Consumo - Renta 4.7 SUPUESTOS FUNDMENTALES PARA EL MODELO DE REGRESION LINEAL

153 Se ha dcho que en el análss de regresón el objetvo no es solamente obtener 1 y, s no tambén hacer nferenca acerca de los verdaderos valores de 1 y. Es decr, se puede estar nteresado en saber que tan cerca están 1 y de los parámetros poblaconales, así como que tan ajustado está Y al verdadero E(Y/ ). Por lo tanto se hace necesaro plantear certos supuestos sobre la manera como se genera y Y, dado que 1. Lo cual muestra que Y depende tanto de como de. Así, para hacer cualquer nferenca estadístca sobre Y y sobre 1 y, se deben plantear los sguentes supuestos: SUPUESTO 1 El valor medo o promedo de es gual a cero, ese decr, E( / ) = 0. Con este supuesto se asegura que aquellos factores que no están explíctamente ncludos en el modelo no afectan sstemátcamente al valor de Y. En otras palabras, se supone que los valores postvos de se cancelan con los valores negatvos de tal forma que sus efectos promedos sobre Y es cero. SUPUESTO Igual varanza para. Esto quere decr que el térmno aleatoro tene la msma varanza en cada perodo o elemento de la muestra. A esta propedad se le denomna HOMOCEDASTICIDAD, e mplca que las observacones de Y que corresponden a dferentes valores de tenen la msma varanza. Varanza de E( ) E( E )

154 SUPUESTO 3 No exste auto correlacón entre las Esto sgnfca que los térmnos aleatoros de un perodo son ndependentes de los de cualquer otro perodo o covaranza. E( ) E( ) 0 (, ) E j j j SUPUESTO 4 Cero varanza entre y Aquí se supone que el térmno de perturbacón es ndependente de la varable explcatva. Este supuesto se ntroduce para poder establecer un efecto ndvdualzado de y de sobre la varable Y. S la varable explcatva y el térmno aleatoro están correlaconados no es posble establecer su efecto ndvdual sobre la varable explcada. Además, sobre la varable ndependente se establece que: Los valores de la varable permanecen fjos de una muestra a otra. La varable se mde sn error de observacón. 4.8 VERIFICACIÓN DE HIPÓTESIS Dado que las perturbacones sguen una dstrbucón para las que se han ntroducdo unos supuestos, la forma de cálculo de los estmadores hace que ellos tambén sean varables aleatoras con una certa dstrbucón. Esto mplca que el verdadero valor puede cambar de una muestra a otra y por ello resulta convenente alguna medda de precsón de estos estmadores. Para ello en estadístca se utlza la desvacón estándar o ERROR ESTANDAR DE LOS ESTIMADORES. En este sentdo cabe señalar que s a los supuestos anterores

155 se les añade la hpótess de que la varable sgue una dstrbucón normal, con meda cero y varanza, se puede demostrar que el cocente entre la dferenca de los estmadores 1 y y los parámetros poblaconales, y sus desvacones estándar S 1 y S se dstrbuyen como una t de student con n grados de lbertad (numero de observacones menos numero de parámetros estmados). Esto es: Donde S 1 representa la desvacón estándar o error estándar de 1 y se obtene medante la fórmula: El error estándar de, S se calcula con la fórmula: En ambas expresones se representa la varanza resdual corregda, estmador nsesgado de la varanza del térmno de perturbacón y se defne así: S e e n

156 Dada una muestra y obtenda una estmacón de 1 medante el método de mínmos cuadrados, se puede construr un ntervalo de confanza a través de la S t expresón, n, la cual arrojara dos valores entre los cuales se encuentra el parámetro buscado con nvel de sgnfcanca que se desee. Cuanto mas pequeño sea dcho ntervalo, mas precsa será la estmacón. EJEMPLO 4.5 Con los datos relatvos a Consumo Renta de 15 famlas (ejemplo 4.4), construr un ntervalo de confanza del 95% para el coefcente de regresón. SOLUCION: Prmero se debe calcular el error estándar de, S S S e n e n e, para este caso n = 15 = 13 e SCE, suma de cuadrados e Y Y, Y 13,38 0, 69 Luego reemplazando cada valor de, se obtene el valor estmado respectvo para Y, como se muestra en la sguente tabla.

157 Y Y 13,38 0, 69 68,58 89,8 75,48 54,78 54,78 58,3 44,43 76,17 67,0 71,34 73,41 76,86 75,48 81,00 5,0 e Y 5,4 8,7 4,5-1,78,,77-0,43 13,83 4,80 Y -4,34 13,59-6,86-33,48 0,00-8,0 e 9, ,0384 0,4304 3,1684 4, ,479 0, ,689 3, , , , , , , ,04 0, ,78 e 0 e 3950, ,78 Luego S e 303, Se 303,90 303,90 Así, S 0, 574 n (79,06) 4586,746 Al reemplazar los valores S 0, 574 ; n = 13 y t, 160, los límtes del ntervalo para el coefcente de regresón son: S t 0,69 (0,574)(,160) 0,69 0, ,13 0.5, 13 Así, (0.134, 1.46 ), lo que ndca que el parámetro aproxmadamente está entre 0,13 y 1,5 con una confanza del 95%.

158 Además s e hace uso de la expresón t, n S se puede verfcar o contrastar la hpótess acerca de un parámetro determnado. Esto es, s se quere verfcar que 1 toma un valor concreto h, se platea como sstema de hpótess: H H o A : h 1 : h 1 h Como t n, bajo la hpótess nula se puede obtener t t n. S S Este valor se contrasta con el valor teórco arrojado por las tablas de dstrbucón al nvel de sgnfcanca escogdo con n grados de lbertad. Debe tenerse en cuenta s la hpótess es blateral o unlateral. En el caso de una hpótess blateral, s el valor del estadístco es tal que rechaza H o. t tc se EJEMPLO 4.6 Verfcar s la renta es explcatva de las varacones en el consumo (Ej. 4.4) SOLUCION: Se formula es sstema de hpótess: H H o A : 0 : 0 La eleccón del test de una sola cola responde al conocmento que se tene sobre la teoría de consumo que es funcón drecta de renta. Para un nvel de sgnfcanca del 5% y 13 grados de lbertad, t 1, 77 c

159 0,69 Ahora, t, 68 S S 0,574 FIGURA 4.8 Prueba de hpótess, Consumo - Renta Como t tc se rechaza H o y por lo tanto se puede decr que en la muestra estudada 0, 69 es un parámetro sgnfcatvo, pudéndose conclur entonces que la renta es explcatva de las varacones en la cantdad consumda. 4.9 CAPACIDAD EPLICATIVA DE UNA ECUACION DE REGRESION LINEAL. Una ecuacón de Regresón puede consderase como un ntento de emplear la nformacón proporconada por una varable ndependente para explcar el comportamento de una varable dependente Y. 11 Exste una medda de uso muy generalzada en el análss de regresón que ndca el grado de explcacón que la varable ndependente logra al ajustar los datos medante una relacón lneal que se denomna coefcente de determnacón, R squared; cuando los datos son arrojados medante ordenador. 11 PAUL NEWBOLD. Estadístca para los Negocos y la economía. España, Prentce Hall 1997, p398

160 El coefcente de determnacón se representa por R y se calcula medante el cocente entre la varanza explcada por el modelo y la varanza total de la varable dependente. Para los valores muestrales, la recta de regresón estmada puede escrbrse como Y e o tambén, Y Y e donde Y 1 1 La cantdad Y es el valor predcho por la recta de regresón para la varable dependente, y el resduo e es la dferenca entre los valores observado y predcho. Por tanto, el resduo representa la parte del comportamento de la varable dependente que no puede ser explcada por su relacón lneal con la varable ndependente 1 (Ver fgura 4.9) FIGURA 4.9. Partcón de los componentes de la varacón de Y 1 PAUL NEWBOLD. Estadístca para los Negocos y la economía. España, Prentce Hall 1997, p399

161 Ahora s a la ecuacón Y Y e se resta Y a cada lado se obtene: ( Y Y) ( Y Y) e. Elevando al cuadrado ambos térmnos de la ecuacón y sumando respecto al índce, se obtene como resultado: ( Y Y) ( Y Y) e Varabldad Varabladaexp lcada Varabldad Total SCT por el mod elo SCR Dónde: SCT = Suma de cuadrados total. SCR = Suma de cuadrados de la regresón. SCE = Suma de cuadrados resdual (o del error). noexp lcada SCE Al dvdr la ecuacón SCT = SCR + SCE entre SCT se tene: SCT SCT SCR SCT SCE SCT 1 SCR SCT SCE SCT Pero SCR R SCT Luego R 1 SCE SCT 0 R 1, ya que es mposble explcar más del 100% de la varable Y. Con los valores del ejemplo 4.4 se obtene la sguente nformacón: Y Y 13,38 0, 69 68,58 89,8 75,48 54,78 54,78 58,3 e Y Y Y Y Y Y 5,4 8,7 4,5-1,78,, ,58 1,8 7,48-13, -13, -9,77

162 44 44,43-0, , ,17 13,83 8, ,0 4,80 4-0, ,34-4,34-1 3, ,41 13, , ,86-6, , ,48-33,48-6 7, ,00 0, ,0-8, ,98 SCE 3950, 78 SCT ( Y Y) 6138 e SCR ( Y Y) 176,88 El coefcente de determnacón es por tanto: R , ,3563 Este resultado ndca que aproxmadamente el 36% de la varabldad muestral del consumo está explcada por su dependenca lneal con la renta por hogar. Otra forma de calcular el coefcente de determnacón R es utlzando las formula: ( S Y ) R, donde Y S Y Y S S n S Y Y SY Y n n Para el ejemplo:

163 S Y S S Y R (1186)(100) (1186) (100) ( S S ) S Y Y 4570, (316) (4570,93)(6138) ,34 0,3563 Consulte las sguentes págnas en nternet:

164 Resumen En térmnos generales se puede decr que: El análss de regresón está relaconado con el estudo de la dependenca de una varable (VARIABLE DEPENDIENTE) de una o más varables adconales (VARIABLES INDEPENDIENTES) con la perspectva de estmar y/o predecr el valor (poblaconal) medo o promedo de la prmera en térmnos de los valores conocdos o fjos de la segunda. En térmnos gráfco, la relacón entre demanda y preco podría entonces tomar la forma recogda en el dagrama de puntos La representacón gráfca es efcaz para obtener una nformacón ntutva sobre la evolucón de dos varables (y su relacón). Esta nformacón, sn embargo, no suele ser sufcente para el empresaro o economsta, que normalmente pretenderá cuantfcar la relacón exstente entre las varables analzadas.

165 El método de mínmos cuadrados seleccona cono estmador de la recta de regresón poblaconal, a aquellos valores para los cuales esta suma de cuadrado es menor. Para mnmzar, e respecto a 1 y se tene: ˆ 1 Y n Y ˆ Y n Y n La recta estmada de regresón queda expresada como Y 1 El Coefcente de determnacón R ndca el grado de explcacón que la varable ndependente logra al ajustar los datos medante una relacón lneal Es una medda de uso muy generalzada en el análss de regresón. El coefcente de determnacón se representa por R y se calcula medante el cocente entre la varanza explcada por el modelo y la varanza total de la varable dependente. ( Y Y) ( Y Y) e Varabldad Varabladaexp lcada Varabldad Total por el mod elo noexp lcada SCT SCR SCE Dónde: SCT = Suma de cuadrados total. SCR = Suma de cuadrados de la regresón. SCE = Suma de cuadrados resdual (o del error). R 1 SCE SCT 0 R 1

166 Taller 4 1. Una compañía asgna dferentes precos a una rado grabadora partcular en 8 cudades dferente del país, la tabla adjunta muestra el número de undades venddas y los precos correspondentes en mles de pesos. Ventas: Preco: a. realce un gráfco con estos datos y estme la regresón lneal de las ventas sobre el preco. b. Qué efectos se esperaría en las ventas s se produjera un ncremento de pesos c. Halle un estmador puntual del volumen de venta cuando el preco de rado grabadora en una cudad dada es de pesos. d. S el preco de una rado grabadora se fja en pesos, hallar ntervalos de confanza del 95% para el volumen de ventas reales en una cudad concreta y para el número esperado de ventas en esa regón.. Para una muestra de 0 observacones mensuales, un analsta fnancero quere efectuar la regresón de la tasa porcentual del rendmento (Y) de las accones de una empresa sobre la tasa porcentual del rendmento () de un índce bursátl. Dspone de la sguente nformacón: Y,6 145,7 Y 5,4 150,5

167 a. Estme la regresón lneal de Y sobre. b. Interprete la pendente de la recta de regresón muestral c. Interprete la constante de la recta de regresón muestral. 3. Una compañía dstrbuye un test de apttud entre todos sus nuevos representantes de venta. La dreccón tene nterés en conocer la capacdad del test para predecr el eventual éxto de estos representantes. La tabla adjunta recoge el valor de las ventas semanales medas (en mllones de peso) y las puntuacones obtendas en el test de apttud para una muestra aleatora de 8 representantes Ventas semanales: Puntuacón en el test: Estme la regresón lneal de las ventas semanales sobre las puntuacones en el test de apttud. 4. Se conjetura que el número de botellas de una cerveza mportada que se vende cada noche en los restaurantes de una cudad depende lnealmente del costo medo de las cenas en esos restaurantes. Los sguentes resultados se obtuveron de una muestra de 17 restaurantes de aproxmadamente de gual tamaño, donde.550 Y 16 n Y Y n Hallar la recta de regresón muestral

168 5. Una cadena de restaurantes de comdas rápdas decde llevar a cabo un expermento para medr la nfluenca del gasto en publcdad sobre las ventas. En 8 cudades del país, se realzaron dferentes varacones relatvas en el gasto en publcdad, comparado con el del año anteror, y se observaron las varacones en los nveles de ventas resultantes. La tabla adjunta muestra los resultados. Incremento del gasto en publcdad (%) Incremento en las ventas (%) ,4 7, 10,3 9,1 10, 4,1 7,6 3,5 a. Estmar la regresón lneal del ncremento en las ventas sobre el gasto en publcdad. b. Hallar un ntervalo de confanza del 90% para la pendente de la recta de regresón. 6. Se ntentó evaluar el tpo a plazo como predctor del tpo al contado en el mercado de valores. Para una muestra de 79 observacones trmestrales, se obtuvo la regresón lneal estmada Y = , donde Y es la Varacón real en el tpo al contado y es la Varacón en el tpo a plazo. El coefcente de determnacón fue de y la desvacón típca estmada de la pendente de la recta de regresón poblaconal fue de

169 a. Interpretar la pendente de la recta de regresón estmada. b. Interpretar el coefcente de determnacón c. Contrastar la hpótess de que la pendente de la recta de regresón es postva, nterprete el resultado. d. Contrastar la hpótess de que la pendente de la recta de regresón poblaconal es La tabla muestra, para 8 marcas de café nstantáneo, el número medo de adquscones por comprador (Y) y el porcentaje de compradores en un año () Y a. Estmar la regresón de las adquscones por comprador sobre el porcentaje de compradores. b. Interpretar la pendente de la recta de regresón estmada. c. Hallar e nterpretar el coefcente de determnacón. d. Hallar e nterpretar un ntervalo de confanza del 90% para la pendente de la recta de regresón poblaconal. e. Hallar un ntervalo de confanza del 90% para las adquscones por comprador esperadas en una marca cuyo porcentaje de compradores es Supongamos que el pasado año ocho empresas tuveron los benefcos y gastos (en mllones de pesos) en nvestgacón recogdos en la tabla adjunta.

170 a. Ajuste una línea de regresón tomando los benefcos como varable dependente y los gastos en nvestgacón como varable ndependente. b. Obtenga el coefcente de termnacón y verfque la sgnfcacón de la pendente de la recta de regresón. A partr de los resultados obtendos, podremos conclur que los gastos en nvestgacón orgnan benefcos? BENEFICIOS GASTOS DE INVESTIGACION Los economstas suelen afrmar que las varacones del PNB real afectan a la rentabldad de los fondos de nversón. A contnuacón se presentan los datos recogdos para u perodo de 10 años. Porcentaje de varacón del PNB real Rendmento de los fondos de nversón (%)

171 a. Qué sugere el coefcente de regresón? b. Respalda el coefcente de determnacón esta afrmacón? c. Calcular e nterpretar el error típco de la estmacón.

172 Evaluacón RESPONDA LAS PREGUNTAS CON BASE EN LA SIGUIENTE INFORMACION Se prueba una campaña publctara para un producto en 10 cudades. La ntensdad de la publcdad varía de una cudad a otra. El porcentaje Y de famlardad con el producto se determna por medo de una encuesta después de la campaña publctara; en esta se obtuvo el sguente resumen numérco: x 6,5 x 411,5 y 413, 7 y 341,7 xy 930, La pendente de la recta estmada está dada por la expresón: 930,45 10(6,5)(413,7) A. 411,5 10(6,5) (6,5)(413,7) 930,45 B ,5 (6,5) C. (6,5)(413,7) 930,45 10 (6,5) 411, ,45 10(6,5)(41,37) D. 411,5 10(6,5). El valor de la pendente de regresón ndca: A. El ncremento en el porcentaje de aceptacón del producto por cada punto de aumento en la ntensdad de la publcdad. B. El ncremento en la ntensdad de la publcdad por cada punto de aumento en el porcentaje de aceptacón del producto.

173 C. El ncremento en el porcentaje de aceptacón del producto cuando la ntensdad de la publcdad es cero. D. El ncremento en la ntensdad de la publcdad cuando el aumento en el porcentaje de aceptacón del producto es cero. 3. El valor de coefcente de determnacón R ndca que: A. La ntensdad en la publcdad está explcada por su dependenca lneal con el porcentaje de aceptacón en un R x100% B. La ntensdad en la publcdad está explcada por su dependenca lneal con el porcentaje de aceptacón en un R % C. El porcentaje de aceptacón está explcado en un R % por su dependenca lneal con La ntensdad en la publcdad. D. El porcentaje de aceptacón está explcado en un R x100% por su dependenca lneal con La ntensdad en la publcdad. 4. La constante de regresón está dada por la expresón: A. (6,5)(413,7) 930,45 413, (6,5) 411,5 10 (6,5)(413,7) 930,45 413,7 B ,5 (6,5) 413,7 930,45 10(6,5)(413,7) C ,5 10(6,5) 413,7 930,45 10(6,5)(41,37) D ,5 10(6,5)

174

175 TABLA 1 DISTRIBUCION NORMAL 13 Z

176 TABLA DISTRIBUCION t (Unlateral)

177 TABLA 3 DISTRIBUCION t (Blateral)