Problemas de Probabilidades y Estadísitica. Agustin y Alejandro

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1 Problemas de Probabilidades y Estadísitica Agustin y Alejandro 7 de enero de 2010

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3 Prefacio Este es el plan original de clases prácticas del curso de Probabilidades y Estadísitca impartido a en la Facultad de física por Dr. Kalet Leon, Lic. Agustin Lage y Msc. Alejandro Lage. 1. Problemas de clculo de probabilidades bsicos con mucha combinatoria y en variables discretas. Todos los tipos de muestreo clsicos. Aplicaciones de la distribucin binomial y del concepto de independencia de eventos. 2. Problemas con funciones de variables aleatorias. Derivacin de la distribucin de probabilidades de una funcin de variables aleatorias con una o varias variables. Problemas que utilicen la distribucin acumulativa y las distribuciones marginales en una variable. 3. Calculo de las funciones generadoras de momento y los momentos de distribuciones conocidas. Ejercicios para utilizar las distribuciones mas conocidas, Normal, Log Normal, Poison, Exponencial, Gamma. Suma de mltiples distribuciones normales y Gamma. Multiplicacin 4. Problemas bsicos de inferencia de una distribucin o sus parmetros a partir de datos experimentales dados. Calculo con estimadores de Maximo Likelihood. Utilizar ambas estrategias tanto bayesianas como frequentista. 5. Problema de ajuste de modelos a datos experimentales utilizando el mtodo de los mnimos cuadrados. Estimacin de la bondad de ajuste con la distribucin de Chi-cuadrado. Ejemplo con tcnicas de boostraping. 6. Problemas de comparacin de hiptesis. Ilustrar algunos ejemplos de aplicacin de la distribucin de t de student y despus mucha inferencia bayesiana Alejandro Lage Castellanos La Habana, 2008 i

4 ii PREFACIO

5 Índice general Prefacio I 1. Espacio muestral y combinatoria Placa de un carro Mesa redonda Comités Con y sin reemplazo Probabilidad condicional Bernoulli Suma del Dado Tiempos de espera Cartas y 10 Sobres Terremotos y Tormentas Casino Moneda simetrica Torneo de Boxeo Sexo de los hijos Examen Final Cumpleaños Mounty Hall Chimpanze Bernoulli Acotar la intersescción Piezas defectuosas Fallos simultaneos Fallos simultaneos en paralelo Esperanza de Vida Avión de 4 motores Moneda sesgada Bayes y probabilidad condicional Piezas defectuosas Accidentes y seguros Moneda justa y moneda trucada iii

6 iv ÍNDICE GENERAL Control de calidad Alarma de Lluvia Urnas Avión de cuatro motores II El hígado y el alcohol V.A. y Distribuciones Multinomiales Experimento de Bernoulli Muestreo sin remplazo Percepción extransensorial Cumulativa gaussiana Llegar Tarde o Temprano x e y uniformes Triangulo Moneda en rejilla Aguja en Parrilla Superficie de la esfera Interiror de la esfera: Vector aleatorio Vector aleatorio Esfera Compleja Esfera en R n Función de Variables Aleatorias Continuas Distribución Inversa Medida Deltaica Convolución X*Y y X/Y Máximo de un conjunto de variables Exponencial Generador de Números Aleatorios Estirando Intervalos Flecha y Arco Distribución de x + y Distribución de x y Distribución de x/y Moneda cargada Suma Gaussiana X menor que Y Exponencial Esperar un Omnibus El omnibus en Poissonville y Clockville Represa y Terremoto

7 ÍNDICE GENERAL v 5. Función generadora de Momentos y Distribuciones más comunes Límite Continuo Distribución Gamma Densidad geométrica Función Generatriz Suma aleatoria Adivinando distribuciones Teorema Central del Límite Transformada de la Guassiana Demuestre TLC Aproximación Gaussiana Tamaño de una muestra Difusión en 1D Inferencia Bayesiana y Máxima Similaridad Dos monedas Estimando la distribución uniforme Estimando Poisson Conjugada de la Gaussiana El sesgo de la Varianza Termómetro de Boltzman Contando Peces Intervalo de confianza Bayesiano Las frases del fortune Datos experimentales y Mínimos Cuadrados Teoría Ejercicios Formula Matricial para modelos lineales Recta y Parabola Recta y Parabola Parametro constante Test de Hipótesis Teoría Ejercicios Internet y TV Media y Varianzas desconocidas El test del signo Varianza Conocida Producto de la tienda Michelson Cavendish

8 vi ÍNDICE GENERAL 10.Comparación de Hipótesis con MLR y MAP Teoría Ejercicios Significación de MLR Test del VIH Test para la dist. Exponencial

9 Capítulo 1 Espacio muestral y combinatoria Problemas de cálculo de probabilidades básicos con mucha combinatoria y en variables discretas. Todos los tipos de muestreo clásicos. Aplicaciones de la distribución binomial y del concepto de independencia de eventos. Aspectos a tratar Definición de probabilidad, probabilidad condicional, probabilidad conjunta y eventos independientes. Combinatoria, distribución binomial, Proceso de Bernoulli. Muestreo con remplazo y sin remplazo. Nota: Buena parte de los ejercicios aqui presentados fueron extraídos del libro Teoría de las Probabilidades del Dr. José E. Valdés Castro, de la Facultad de Matemáticas y Computación de la Universidad de la Habana. En particular todos los ejercicios teóricos fueron copiados de su libro. Teoría Ejercicios Teóricos 1. Sean A, B, y C sucesos. Demuestre que P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC). 2. Demuestre que P(AB) P(A) + P(B) Pruebe que la probabilidad de que ocurra exactamente uno de los sucesos A o B es P(A) + P(B) 2P(AB). 4. Sean A y B sucesos mutuamente excluyentes en un experimento. Supongamos que el experimento se repite de manera independiente hasta que ocurre A o B. Pruebe que la probabilidad de que A ocurra antes que B es P(A)/[P(A) + P(B)]. 1

10 2 CAPÍTULO 1. ESPACIO MUESTRAL Y COMBINATORIA Respuesta: Consideremos la probabilidad de que no ocurra ni A ni B en el experimento n: P(A c B c ) = 1 P(A + B) para todo n N, entonces la probabilidad de que ocurra A por primera vez en el n-esimo experimento sin haber ocurrido antes B sera P(ocurra A y no hallan ocurrido ni A ni B en los n 1 primeros experimentos) = P(A)[P(A c B c )] n 1 luego la probabilidad buscada es la suma de estas probabilidades para cada experimento, es decir, para todo n N P(A)P(A c B c ) n 1 = n N = = P(A) 1 P(A c B c ) P(A) 1 [1 P(A + B)] P(A) P(A) + P(B) 5. Probar que P(A i ) = 1,i = 1,2,... si y solo si P( i=1 A i) = Demuestre que si los sucesos A y B son independientes, entonces también son independientes A y B. 7. Sean A y B dos sucesos. Analice la independencia de estos sucesos si: a) A B b) AB =ø c) P(A) = Demuestre que la independencia conjunta de los sucesos A, B y C implica la independencia de los sucesos: a) A y B C b) A y BC y la independencia conjunta de los sucesos A, B y C 9. Suponga que la ocurrencia del suceso B hace más probable la ocurrencia del suceso A. Entonces la ocurrencia de A hace más probable la ocurrencia de B? 10. Sean {An} y {Bn}, n 1, dos sucesiones crecientes de sucesos con respectivos límites A y B. Pruebe que si A n y B n son independientes para cada n, entonces A y B son independientes. Ejercicios de Cálculo Placa de un carro Las matriculas de los autos en cuba constan de 3 letras y 3 numeros. Cuantas matriculas distintas se pueden obtener? Mesa redonda si: En cuantas formas distintas se pueden sentar 10 personas alrededor de una mesa circular

11 3 1. hay 5 hombres y 5 mujeres y queremos que cada hombre tenga a su lado mujeres (y viceversa); 2. hay 5 parejas y deseamos que las parejas permanezcan sentadas juntas. Considere cualquier dos ditribuciones como la misma si una resulta de una rotación de la mesa a partir de la otra (cada persona sique teniendo el mismo vecino a derecha y a izquierda que en la otra configuracion) Comités Si 18 personas deben ser agrupadas en 3 comités de tamaños 5, 6 y 7, de cuántas formas es posible hacer esto? Con y sin reemplazo Dos números se escogen al azar entre los números del 1 al 10, sin remplazo. Halle la probabilidad de que el segundo número escogido fuese el 5 Cómo cambia esa probabilidad si el muestreo es con reemplazo? Solución: P(i 2 = 5) = P(i 2 = 5 i 1 5) = Probabilidad condicional 10 9 = 1 10 Un grupo de 100 chips semiconductores contiene 20 defectuoso. Se escogen dos chips al azar. 1. Cual es la probabilidad de que el primero sea defectuoso? 2. Cual es la probabilidad de que el segundo sea defectuoso dado que el primero lo era? 3. Cual es la probabilidad de que ambos sean defectuosos? Solucion: a) La probabilidad de que el primero sea defectuoso es independiente del numero de chips que se seleccionan y es por tanto 20/100 = 0,2 b) Si el primero es defectuoso la probabilidad de que el segundo lo sea es (20 1)/(100 1) = 0,192 ver que cuando la n es muy grande la probabilidad es igual a la del primer evento. c) La de que ambos sean defectuosos es la probabilidad de los eventos independientes: P1 P2 = 0,192x0, Bernoulli Un experimento de Bernoulli es un experimento aleatorio cuyo resultado puede ser clasificado de dos formas, digamos exito o fallo. Una sequencia de Bernoulli ocurre cuando se repite un experimento de Bernoulli muchas veces de forma independiente, tal que la probabilidad de exito y de fallo (p y 1 p) se mantienen la misma en cada una de las repeticioines. Considere que se realizan una secuencia de n experimentos de Bernoulli, calcule la probilidad de

12 4 CAPÍTULO 1. ESPACIO MUESTRAL Y COMBINATORIA 1. que al menos ocurrió un exito. 2. que exactamente ocurrieran k 3. que todos los intentos fueron exitosos Suma del Dado Considere el experimento de lanzar dos dados no sesgados. Considere como A el evento en el que las suma de ambos dados es 7 y como B el evento de que la suma de ambos dados es 6. Supongamos que obsevamos el evento C que consiste en que el primer dado salio como 4. Demostrar que el evento A y el evento C son independientes pero esto no se cumple para el evento B y el evento C Tiempos de espera Si lanzamos repetidamente una moneda con probabilidad de escudo p: 1. cual es la probabilidad que tengamos que esperar k veces para observar la primera cara. 2. Cual seria la probabilidad de esperar k o mas veces: Cartas y 10 Sobres Suppose that 10 cards, of which five are red and five are green, are placed at random in 10 envelopes, of which five are red and five are green. Determine the probability that exactly two envelopes will contain a card with a matching color Terremotos y Tormentas Suppose that the occurrences of earthquakes and high winds are unrelated. Also suppose that, at a particular location, the probability of a high wind occurring in any single minute is 10 5 and the probability of a moderate. ea rthquake in any single minute is Find the probability of joint occurrence of the two events during any minute. Building codes do not require the engineer to design buildings for the combined effects of these loads. Is this reasonable? 2. Find the probability of the occurrence of one or the other or both during any minute. For rare events, i.e. events with small probabilities of occurrence, the engineer frequently assumes: P(AU B) P(A) + P(B). Is this reasonable? 3. If the events in consecutive minutes are mutually independent, what is the probability that there will be no moderate earthquake in year at this location? In 10 years?

13 Casino Considere el siguiente juego. Se lanzan dos dados y se considere la suma de los numeros que salen. En la primera tirada una suma de 7 ou 11 ganan, 2,3 y 12 pierden, y cualquier otra suma, digamos x 1, le permite seguir jungando. A partir de ese momento usted continua lanzando los dados hasta que ocurra una de las sumas 7 (y pierde) o x 1 (y gana) Cual es la probabilidad de ganar en el casino Moneda simetrica Se lanza una moneda simtrica al azar hasta que aparezca escudo en dos lanzamientos consecutivos. Halle la probabilidad de que el número de lanzamientos sea igual a cuatro Torneo de Boxeo En un torneo participan 8 boxeadores que se aparean mediante un sorteo. En cada tope entre dos boxeadores se elimina al perdedor. En el torneo participan dos boxeadores que se sabe que ganarán con seguridad sus topes con los seis restantes. Cuál es la probabilidad de que estos dos boxeadores ocupen el primero y el segundo lugar en el torneo? Sexo de los hijos Un matrimonio tiene cuatro hijos. Cuál es la probabilidad de que sean dos de cada sexo? Cuál es la probabilidad de que tres sean del mismo sexo? Examen Final Un profesor entrega a un grupo de estudiantes 10 problemas de los cuales se seleccionarán de manera aleatoria 5 de ellos, que consistirán en el examen final. Si un estudiante sabe resolver 7 problemas, cuál es la probabilidad de que el estudiante resuelva correctamente al menos 3 problemas (con ello aprueba)? Cuál es la distribución de probabilidad de las notas del estudiante? Cumpleaños Un grupo tiene r estudiantes. Halle una fórmula para la probabilidad de que coincida el día de nacimiento (cumpleaos) de al menos dos estudiantes del grupo. Compruebe que esta probabilidad es mayor que 0.5 para r = 23 y mayor que 0.7 para r = Mounty Hall Considere tres bolsas, una de las cuales contiene un premio. Usted selecciona una de las bolsas al azar, y luego, de las dos restantes, le muestran una bolsa vacía. A continuación puede seguir una de las dos siguientes estrategias: quedarse con la bolsa seleccionada al azar, o seleccionar la otra bolsa que queda, de contenido desconocido. Calcule la probabilidad de quedarse con el premio para cada una de las estrategias.

14 6 CAPÍTULO 1. ESPACIO MUESTRAL Y COMBINATORIA Chimpanze Bernoulli Un chimpanze de nombre Bernoulli es sentado delante de un teclado que contiene las 29 letras del alfabeto y la tecla del espacio. Como promedio el chimpanze presiona dos teclas por segundo. Suponiendo que lo hace de forma desordenada, qué tiempo deberemos esperar, como promedio, hasta que teclee su nombre? Acotar la intersescción Sean P(A) = 0,9 y P(B) = 0,8. Verifique que 0,7 P(AB) 0,8. Respuesta: P(AB) 1 [P(A c ) + P(B c )] = 1 0,1 0,2 = 0,7, por otra parte como AB B entonces P(AB) P(B) = 0,8, teniéndose que 0,7 P(AB) 0, Piezas defectuosas Un lote de N piezas contiene M piezas defectuosas. Se seleccionan sucesivamente n piezas del lote al azar. Calcule la probabilidad de que la pieza obtenida en la i-ésima selección sea no defectuosa Fallos simultaneos Un sistema está constituido por 3 bloques con probabilidades de fallo q 1, q 2, q 3, respectivamente, en un intervalo de tiempo dado. El sistema falla cuando fallan al menos 2 de sus bloques. Calcule las probabilidades de fallo y de trabajo sin fallo del sistema. Considere los fallos de los bloques independientes Fallos simultaneos en paralelo Un sistema está constituido por n bloques en paralelo (el sistema falla si y solo si fallan todos sus los bloques). Calcule el número mínimo de bloques que garantiza una probabilidad de fallo del sistema menor que α = 10 3, en un intervalo de tiempo dado, si la probabilidad de funcionamiento de cada bloque en ese intervalo es p = 0,9. Considere los fallos de los bloques independientes Esperanza de Vida La tabla de longevidad en un cierto país indica que la probabilidad de llegar a los 25 años es 0,95, mientras que la probabilidad de llegar a los 65 años es 0,65. Si una persona tiene 25 aos, Cuál es la probabilidad de que llegue a los 65 años? Avión de 4 motores Cada uno de los motores de un avión puede averiarse durante un vuelo, con probabilidad q = 0,01. El fallo de cada motor es independiente del fallo de cualquier otro motor. El avión puede continuar su vuelo si funcionan al menos la mitad de los motores. Qué es más seguro,

15 7 un avión de 2 motores o uno de 4 motores? Para que valores de q es más seguro un avión de 4 motores? Moneda sesgada Se desea generar los resultados del lanzamiento al azar de una moneda simétrica, pero solo se posee una moneda sesgada que tiene probabilidad p desconocida de aparición de escudo. Compruebe que con el siguiente procedimiento la probabilidad de aparición de cada cara es igual a 1/2: 1. Lanzar la moneda 2. Lanzar la moneda otra vez 3. Si en ambos lanzamientos aparece la misma cara reiniciar con el paso El resultado del último lanzamiento es el resultado deseado.

16 8 CAPÍTULO 1. ESPACIO MUESTRAL Y COMBINATORIA

17 Capítulo 2 Bayes y probabilidad condicional Cálculo de probabilidades inversas a través de la fórmula de Bayes. Inferencia Bayesiana. Aspectos a tratar Probabilidad condicional. Inferencia de hipótesis a partir de la fórmula de Bayes. Teoría Ejercicios Teóricos 1. Analice donde falla el siguiente razonamiento. La probabilidad de viajar en un avion donde algún pasajero lleva una bomba escondida es p = Por tanto la probabilidad de viajar en un avión donde 2 pasajeros llevan una bomba es p 2 = Antes de un viaje en avión, un estudiante que no aprobó el curso de probabilidades piensa de la siguiente forma. Mejor llevo yo mismo una bomba, y así la probabilidad de que haya otra en el avión es 10 12, y el vuelo es más seguro. 2. En el radio dijeron que en el 35% de los accidentes de tránsito están involucrados choferes que han bebido. Esto quiere decir que en el 65% restante están involucradas personas que no bebieron, dejando claro que es más seguro conducir después de haber bebido. Por qué está mal la conclusión anterior? Piezas defectuosas Two manufacturing plants produce similar parts. Plant 1 produces 1,000 parts, 100 of which are defective. Plant 2 produces 2,000 parts, 150 of which are defective. A part is selected at random and found to be defective. What is the probability that it came from plant 1? 9

18 10 CAPÍTULO 2. BAYES Y PROBABILIDAD CONDICIONAL Accidentes y seguros La probabilidad de tener un accidente de tránsito en el transcurso de un año es de p = 0,01 para una persona que no consume alcohol habitualmente, y 8 veces mayor para una persona alcohólica. El 2% de la población de una Ciudad se sabe que consume alcohol habitualmente. 1. Cuál es la probabilidad de que una persona tomada al azar de la población tenga un accidente en el transcurso de un año? 2. Si una persona no alcohólica tuvo un accidente el año pasado, cuál es la probabilidad de que vuelva a tener uno este año? 3. Si una persona que no conocemos nos dice que tuvo un accidente el año pasado, cuál es la probabilidad de que vuelva a tener uno este año? Moneda justa y moneda trucada Suppose that a box contains one fair coin and one coin with a head on each side. Suppose that a coin is selected at random and that when it is tossed three times, a head is obtained three times. Determine the probability that the coin is the fair coin Control de calidad Una máquina que detecta piezas defectuosas en una fábrica, detecta el 80% del total de piezas defectuosas. Además suele equivocarse y catalogar como defectuosas al 5% del total de las piezas que no lo son. La experiencia acumulada indica que el 10% de las piezas que salen son defectuosas. 1. Cuál es la probabilidad de que una pieza que la máquina indica como defectuosa sea de hecho defectuosa? 2. Cuál es la probabilidad de que una pieza que la máquina indica como correcta sea de hecho correcta? 3. Compare y comente los resultados previos Alarma de Lluvia Se ha estimado que la probabilidad de que llueva es Una alarma en un local interior debe indicar si llueve. La probabilidad de que la alarma funcione cuando llueve es 0.8 y la probabilidad de que funcione erróneamente cuando no hay lluvia es Si suena la alarma, Cuál es la probabilidad de que esté lloviendo?.

19 Urnas Se tienen 10 urnas, etiquetadas con los números En la urna u se tienen u bolas negras y 10 u bolas blancas. José selecciona una urna al azar y hace N extracciones con reposiciíon, obteniendo n B bolas blancas, y N n B bolas negras. Luego le muestra el resultado del experimento a Pedro. Si N = 10 y n B = 7 cuál es la probabilidad de que la urna escogida fuese u desde el punto de vista de Pedro? Avión de cuatro motores II Cada uno de los motores de un avión puede averiarse durante un vuelo, con probabilidad q = 0,01. El fallo de cada motor es independiente del fallo de cualquier otro motor. El avión puede continuar su vuelo si funcionan al menos la mitad de los motores. 1. Qué es más seguro, un avión de 2 motores o uno de 4 motores? Explique con números. 2. Para que valores de q es más seguro un avión de 4 motores? 3. La compañía FreeFall tiene el viernes en la tarde 100 aviones en vuelo, 20 de los cuales son de 2 motores (el resto son de 4). Llega la información imprecisa de que un avión de esta compañía se ha caído. Cuál es la probabilidad de que dicho avión fuese uno de los de 2 motores? Asuma q = 0, El hígado y el alcohol Dice la radio que en el 40% de los pacientes con problemas hepáticos, son consumidores frecuentes de alcohol. En Cuba el 5% de la población es consumidora habitual de alcohol. 1. Si se toma al azar un paciente con problemas hepáticos, con qué probabilidad no tiene un problema alcohólico? 2. Parecería que es preferible tomar alcohol, pues más de la mitad de los pacientes con problemas hepáticos son abstemios. Calcule cuánto más probable es tener un problema hepático si se es alcohólico que si no.

20 12 CAPÍTULO 2. BAYES Y PROBABILIDAD CONDICIONAL

21 Capítulo 3 V.A. y Distribuciones Multinomiales Experimento de Bernoulli Supongamos que X representa la diferencia entre el número de escudos y el número de estrellas cuando se lanza n veces al azar una moneda simétrica. Halle: 1. los posibles valores de X. 2. la distribución de probabilidad de X cuando n = 3. Grafíquela Muestreo sin remplazo Suponga que un lote de 100 unidades de un producto contiene 6 unidades defectuosas. Sea X el número de unidades defectuosas en una muestra de 10 unidades seleccionadas aleatoriamente del lote. Hallar P(X = 0) y P(X > 2). Grafique F(k) = P(X < k) usando una computadora Percepción extransensorial Una persona dice tener percepción extrasensorial. Para verificar esto se lanza 10 veces al azar una moneda simétrica y se le pide a la persona que prediga el resultado de cada prueba. Acierta en 7 de las 10 ocasiones. Halle la probabilidad de que si responde al azar, la persona logre un resultado al menos tan bueno como el obtenido. Un ensayo clínico se acepta como respaldo cient fico a un producto si el resultado obtenido tiene una probabilidad inferior al 5% de ser reproducido por el azar. Halle la función k(n) del número mínimo de éxitos necesarios en la predicción del lanzamiento (N veces) de la moneda para garantizar estar dentro del criterio del 5% de fiabilidad. Comentario: El Dr. Luis Carlos Silva, investigador en estadística en el Centro de Información de Ciencias Médicas (Infomed) y autor de varios libros, sugirió el siguiente experimento para someter a prueba científica los llamados efectos piramidales. Numerar 100 frascos de agua y someter 50 a la acción de las pirámides, manteniendo en secreto la numeración de 13

22 14 CAPÍTULO 3. V.A. Y DISTRIBUCIONES MULTINOMIALES los frascos escogidos. Luego devolver los 100 frascos a los defensores de la energía piramidal y pedirles que por cualquier método que ellos quisieran identificacen los frascos que habían sido sometidos a las pirámides. Hasta cuántos errores podrían permitirse los piramólogos para estar dentro del criterio del 5%? Cumulativa gaussiana Sea F(x) = 1 e x2 la función de distribución de la variable aleatoria X. Calcule: P(X > 2), P(1 < X < 3) Llegar Tarde o Temprano Suponga que usted tiene una cita. El costo por unidad de tiempo de una llegada tarde a la cita es k, y el costo por unidad de tiempo de una llegada antes de la hora fijada para la cita es c. Suponga que el tiempo del viaje suyo hasta el lugar de la cita es una variable aleatoria con densidad de probabilidad f(t). Determine el instante en que usted debe partir para minimizar el costo esperado. Considere el caso particular de un tiempo de viaje con distribución gaussiana t N(30,10). Calcule el instante en que debe partir si k = c, y si k = 10c. Interprételos x e y uniformes Sean x e y dos variables aleatorias con probabilidad uniforme en [0, 1]. Halle la densidad de probabilidad f(x,y), la distrbución cumulativa de probabilidad F(x,y) así como las respectivas marginales. Son independientes estas variables? Halle. 1. la probabilidad de que x < y. 2. la probabilidad de que x < y dado que y < 0,5. 3. la densidad de probabilidad de la variable aleatoria x + y. Grafíquela. 4. la densidad de probabilidad de la variable z = mín(x,y) Triangulo Considere la selección aleatoria (con probabilidad uniforme) de dos puntos en un segmento de longitud 1. Halle la probabilidad con la que se puede formar un triángulo con los tres segmentos resultantes de dicha selección ((0,x) (x,y) y (y,1), donde x es el punto más a la izquierda) Moneda en rejilla (MacKay) Una moneda circular de radio a se lanza sobre una rejilla cuadrada (dibujada en un papel) con lado b > a, de forma aleatoria. Cuál es la probabilidad de que la moneda no toque la rejilla? Respuesta (1 a/b) 2

23 Aguja en Parrilla (MacKay) Una aguja de longitud a es lanzada sobre un plano cubierto de lineas paralelas equidistantes (distancia b > a). Cuál es la probabilidad de que la aguja intersecte alguna de las lineas? Respuesta 2a πb Superficie de la esfera Considere el espacio muestral compuesto por los puntos de la superficie de una esfera. Considere todos los puntos equiprobables. Defina la variable aleatoria θ, φ (coordenadas esféricas) para designar dichos puntos. 1. En qué rango de valores de θ y φ f(θ,φ) > 0 2. Cuál es la densidad de probabilidad f(θ,φ)? 3. Cuál es la distribución cumulativa F(θ,φ)? 4. Por qué no son todos los valores de (θ,φ) equiprobables? 5. Son independientes las variables θ y φ? Interiror de la esfera: Vector aleatorio Considere a todos los puntos del interior de una esfera de radio R como equiprobables. 1. Halle la densidad de probabilidad de la variable aleatoria (vector) r = (x,y,z) 2. Halle la densidad marginal en x, f(x). 3. Halle la densidad de probabilidad de la variable (r,θ,φ). 4. Halle la densidad marginal en r f(r). Grafíquela. 5. Demuestre que el módulo r y cualquier de las coordenadas angulares son variables independientes. Es esto cierto para x,y,z? 6. Halle las probabilidades condicionales f(x r) y f(r x) que relacionan al módulo de un vector con una de sus proyecciones Vector aleatorio Considere a todos los puntos del interior de una esfera de radio R con probabilidades tales que el módulo del vector a un punto es una varaible aleatoria con distribución uniforme en 0,R. 1. Halle al densidad de probabilidad de (r,θ,φ). Es igual a la del ejercicio anterior? 2. Halle la densidad de probabilidad de la variable aleatoria (vector) r = (x,y,z) 3. Halle las probabilidades condicionales f(x r) y f(r x) que relacionan al módulo de un vector con una de sus proyecciones.

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