Los Números Racionales

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1 Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x = donde y son números enteros. En efecto, l ecución 4x = 12 tiene solución en Z, y que x = 3 l resuelve. Pero l ecución 5x = 6 no tiene solución en Z. Por ello nos vemos en l necesidd de crer un nuevo conjunto que conteng tods ls soluciones de este tipo de ecuciones Construcción de los números rcionles En Z Z se puede definir l relción de equivlenci (, ) (c, d) d = c. A un clse de equivlenci [(, )] se le represent medinte lo que se llm frcción forml. Es decir, l clse [(, )] se represent por. 161

2 Frcciones Puede verse, por ejemplo, que según es relción de equivlenci 1 = 2 2 y que [(1, 2)] = [(2, 4)], esto es, 1 4 = 2 2 en Z. Según esto, el conjunto 4 Q es relmente el conjunto de clses de equivlenci de est relción. Vemos que l relción es de equivlenci: Reflexiv: Se (, ) Z Z. Como (, ) (, ) =, y l multiplicción de enteros es conmuttiv, se tiene l reflexividd. Simétric: Si (, ), (c, d) Z Z tles que (, ) (c, d) se tiene d = c, es decir c = d, de donde (c, d) (, ). Trnsitiv: Si (, ), (c, d), (e, f) Z Z tles que (, ) (c, d) y (c, d) (e, f), se tiene d = c y c f = d e. Multiplicndo ls primer expresión por f se otiene d f = c f, que se convierte en d f = d e. Como d 0 entonces f = e. El conjunto cociente, Z Z, se denot Q y se llm el conjunto de números rcionles. Puede verse que, por ejemplo, (1, 3) (4, 12) pues 1 12 = 3 4, por lo que se tiene l iguldd de clses [(1, 3)] = [(4, 12)]. Est clse tmién es igul clses [( 1, 3)], [(10, 30)], [(15, 45)], [( 100, 300)], [( 18, 54)]. Es decir, tods ests clses son l mism, son el mismo número rcionl, el que generlmente se conoce como un tercio Frcciones Sen, Z con 0. Consideremos l ecución x = (12.1) Slvo ciertos csos, est ecución no tiene solución en Z. Un solución de l ecución (12.1), denotd x = o ien /, y se denomin un frcción o cociente de números enteros. Llmmos el numerdor y el denomindor. Alguns propieddes que tienen ls frcciones son dds en l siguiente proposición.

3 J. TREJOS PRINCIPIOS DE MATEMÁTICA 163 Proposición 12.1 Sen,, c, d, k Z con 0, d 0, k 0. Se tiene: ) = c d d = c. ) k k =. c) =. d) =. ) Al considerr ls ecuciones x = y dx = c, ms tienen l mism solución x si = c. Ahor ien, l multiplicr x = por d d se tiene (dx) = d, lo que usndo dx = c se convierte en c = d. ) Considérese l ecución x =, cuy solución es x =. Multiplicndo por k se otiene (k)x = k, cuy solución es x = k k. Los incisos c) y d) quedn como ejercicios pr el lector. Deido l inciso () de l proposición nterior, hy distints forms de escriir frcciones que representn l mism solución de un ecución. Ess distints forms de representr un frncción se llmrán equivlentes. Sin emrgo, distinguiremos entre ests distints representciones un en prticulr. Decimos que es un frcción irreducile si (, ) = 1, es decir, si, son primos reltivos. Por ejemplo, 2 es irreducile; 5 no es irreducile unque 1, l cul es equivlente 5, sí lo es. 35 Teorem 12.2 Se p un frcción. Entonces existen n, m Z tles que p = n m, con n un frcción irreducile. m Se p =, con, Z, 0. Sin pérdid de generlidd, tomemos > 0 (si < 0, st considerr (c) ó (d) de l proposición 12.1).

4 Operciones en los números rcionles Se d = (, ), el máximo común divisor de y. Como d y d entonces existen n, m Z tles que = dn y = dm. Luego p = = dn = n. dm m Como d > 0 y > 0, se sigue que m > 0. Como d = (, ) = (dn, dm) = d(n, m), entonces 1 = (n, m). Por lo tnto, p = n con n frcción irreducile. m m Hgmos hor l conexión entre Q y ls frcciones. Sen,, c, d enteros con 0 y d 0. Vése que, según el inciso () del teorem 12.1 ls frcciones y c son igules si d = c. Por otro ldo, según l d definición de l relción de equivlenci [(, )] = [(c, d)] si d = c. Es decir, l condición pr l iguldd de frcciones es l mism que l condición pr l iguldd de números rcionles vistos como clses de equivlenci. Por ello, se identificn ls frcciones con ests clses de equivlenci, que son los números rcionles: = [(, )] y por ello se dice entonces que los elementos de Q son frcciones. En delnte, considerremos entonces Q como el conjunto de frcciones con, Z, 0, soluciones generles de ls ecuciones x =. Por el teorem 12.2, culquier frcción se puede representr por medio de un frcción irreducile. Consideremos l ecución 1 x =, donde Z. Es clro que x = es un solución de est ecución, cuy solución se escrie en form de frcción como. Por lo tnto, podemos identificr el entero con l 1 frcción. Así, los enteros son soluciones de ecuciones del tipo (12.1), 1 y entonces se puede firmr que que Q contiene Z: Z Q Operciones en los números rcionles A continución presentmos ls operciones de sum y multiplicción de los números rcionles, sí como tods ls propieddes importntes de ésts.

5 J. TREJOS PRINCIPIOS DE MATEMÁTICA 165 Definición 12.1 Sen y c dos números rcionles. Definimos l sum d de rcionles como el rcionl tl que: + c d d + c =. d Vemos que el conjunto de frcciones es un conjunto cerrdo pr l sum, esto es, que el resultdo de l sum tmién es un frcción, es decir, p, q Q : p + q Q, p q Q. En efecto, si p = es solución de l ecución x = y q = c es solución d de l ecución dx = c, entonces tmién lo son de ls ecuciones equivlentes dx = d y dx = c; sumndo se tiene (d)(p + q) = d + c, por lo que l ecución (d)x = d + c tiene por solución p + q, que en form de frcción se escrie p + q = d+c. d El lector puede oservr que se dee pror que l sum está ien definid, esto es, el resultdo de l sum no depende de l frcción que se use pr representr los números rcionles: si (, ) (, ) y (c, d) (c, d ) entonces + c = + c. Est prue, unque un poco d d tedios, es fácil de relizr. Pr ello se pueden usr los siguientes lems. Lem 12.3 Sen,,, Z con, 0. Si = entonces se tiene =. Lem 12.4 Sen,, c Z con 0. Entonces c = c. L siguientes cutro propieddes de l sum de números rcionles formn prte de ls propieddes de cmpo de los números rcionles. Proposición 12.5 (Propieddes de l sum) L sum de números rcionles cumple ls siguientes propieddes: ) Conmuttividd: p, q Q : p + q = q + p. ) Asocitividd: p, q, r Q : p + (q + r) = (p + q) + r. c) Elemento neutro: 0 Q, p Q : 0 + p = p + 0 = p. d) Opuestos: p Q, q Q : p + q = q + p = 0.

6 Operciones en los números rcionles () Sen p = y q = c d + c c + d. Entonces p + q = = = d d d q + p, usndo l conmuttividd de l sum y multiplicción en los números enteros. (c) Se 0 = 0, es decir, el cero de Q se define prtir del cero de Z. 1 Entonces, si p =, se tiene 0+p = 0 + = 0 +1 = 0+ = = p. 1 1 Al igul que pr los número enteros, escriimos p q en lugr de p + ( q). Proposición 12.6 (Ley de cncelción de l sum) Sen p, q, r Q, si p + q = r + q entonces p = r. Si p + q = r + q entonces sumndo q en mos ldos de l iguldd se tiene (p + q)+ ( q) = (r + q)+ ( q), que por socitividd se convierte en p + (q + ( q)) = r + (q + ( q)), lo que por definición de opuestos es p+0 = r+0, que equivle p = r por l definición de elemento neutro. Proposición 12.7 (Unicidd del neutro de l sum) El neutro de l sum es único. En efecto, si existen dos neutros de l sum 0 y 0 entonces se tiene, pr todo p Q: p + 0 = 0 + p = p, lo cul llev p + 0 = 0 + p = p, 0 + p = 0 + p pues p = p. Luego, por l ley de cncelción de l sum, proposición 12.6, se lleg 0 = 0. Por el resultdo nterior, se puede entonces hlr de el cero de Q.

7 J. TREJOS PRINCIPIOS DE MATEMÁTICA 167 Puede notrse que el cero de Q se puede escriir como 0, pr culquier Z. En efecto, 0 = 0 1 = 0 0 = = 0, que es un iguldd ciert en Z, donde el cero tmién es único. Proposición 12.8 (Unicidd del opuesto de l sum) Se p Q. Entonces existe un único elemento de Q que cumple l propiedd de ser el opuesto de p. L demostrción se dej como ejercicio pr el lector. Grcis l unicidd del opuesto de culquier rcionl p, se puede entonces escriir p como el único opuesto de ese número. Finlmente, osérvese que l sum de frcciones tiene l siguiente propiedd: + c = + c. En efecto, + c = +c en Z y l proposición 12.1(). = (+c) = +c, usndo l propiedd distriutiv Definición 12.2 Sen y c dos números rcionles. Definimos el producto de rcionles como el rcionl tl d que: c d = c d. L prue de que Q es cerrdo pr el producto qued como ejercicio pr el lector. L prue de que est operción está ien definid tmién es fácil, por lo que se invit l lector hcerl. Ls siguientes cutro propieddes del producto de números rcionles tmién formn prtes de ls propieddes de cmpo de Q. Nótese que l propiedd (d) no se cumple en los números enteros. Proposición 12.9 (Propieddes del producto) El producto de números rcionles cumple ls siguientes propieddes:

8 Operciones en los números rcionles ) Conmuttividd: p, q Q : p q = q p. ) Asocitividd: p, q, r Q : p (q r) = (p q) r. c) Elemento neutro: 1 Q, p Q : 1 p = p 1 = p. d) Inversos: p Q, p 0, q Q : p q = q p = 1. (c) Proemos l existenci del elemento neutro: tomemos q = 1, donde 1 1 denot el uno de los enteros. Entonces, pr todo p = Q se tiene: p q = 1 1 = 1 1 = = p. Luego, q = 1 es neutro del producto. 1 (d) Se p = Q. Como p 0 en Q entonces 0 en Z. Al multiplicr p por se otiene = = = 1. Luego, se tom q = como un opuesto de p. Nótese que el neutro de Q tmién se puede escriir pr culquier Z, 0. En efecto, = 1 1 = 1, lo cul es cierto. 1 Proposición (Ley de cncelción del producto) Sen p, q, r Q con q 0. Si qp = qr entonces p = r. L demostrción se dej como ejercicio pr el lector. Vemos que el inverso de un número rcionl es único. En efecto, si p Q, p 0 es tl que existen inversos, Q tles que p q = q p = 1 p q = q p = 1 entonces se deduce 1 = p q = p q, y usndo l ley de cncelción del producto se otiene q = q. Por lo tnto, podemos escriir p 1 como el inverso de p. Y vimos que, si p =, entonces p 1 = pues p p 1 = = 1 = 1. 1 Tenemos otr propiedd reltiv ls operciones de los rcionles, llmd propiedd distriutiv.

9 J. TREJOS PRINCIPIOS DE MATEMÁTICA 169 Teorem (Propiedd distriutiv) Sen p, q, r Q. Entonces: ) p (q + r) = p q + p r. ) (p + q) r = p r + q r. Se dej como ejercicio pr el lector. Así, Q con ls operciones de sum y producto que cumplen ls propieddes de los teorems 12.5, 12.9 y es un cmpo o cuerpo. De hecho, culquier conjunto con dos operciones que cumpln ess propieddes se llm un cmpo o cuerpo. En delnte podremos denotr p q como pq. Teorem (Asorenci del cero) Pr todo p Q se tiene 0p = 0. Se p = y o = o 1. Entonces 0 p = 0 1 = 0 1 = 0 = 0 pues en Z el cero es sorente pr el producto. Proposición Sen p, q Q. Entonces: () ( 1)( 1) = 1. () ( 1)p = p. (c) ( p)( q) = pq, ( p)q = p( q) = (pq). (d) ( p) = p. Proposición Sen p, q, r, s Q. Entonces:

10 Operciones en los números rcionles () (p + q) = ( p) + ( q). () p(q r) = pq pr. (c) (p q) + (q r) = p r. (d) (p q) + (r s) = (p + r) (q + s). (e) (p q)(r s) = (pr + qs) (ps + qr). Teorem En Q no hy divisores de cero: si p, q Q son tles que p q = 0 entonces p = 0 ó q = 0. Hy dos csos: Si p = 0: entonces es clro que p = 0 ó q = 0. Si p 0: entonces existe p 1 Q tl que p p 1 = 1. Como q = q 1 entonces q = q (p p 1 ) = (p q) p 1 = 0 p 1 = 0. Proposición Sólo 0 y 1 stisfcen: p 2 = p. Si p 2 = p entonces p 2 p = 0 que es p(p 1) = 0, y por el teorem se tiene p = 0 p 1 = 0, que es p = 0 p = 1. Proposición Si p, q Q entonces: () (pq) 1 = p 1 q 1. () (p 1 ) 1 = p. (c) ( p) 1 = p 1. (d) (pq 1 ) 1 = p 1 q. Denotmos en lguns ocsiones p 1 como 1 p.

11 J. TREJOS PRINCIPIOS DE MATEMÁTICA Orden de los números rcionles Se define el conjunto de los rcionles positivos Q + como el conjunto de ls frcciones p = irreduciles tles que, enteros positivos, con > 0. Se define el conjunto de los rcionles negtivos Q como el conjunto de ls frcciones p = irreduciles tles que 0 y > 0. Es clro que Q + Q = {0} y que Q + Q = Q. Si p Q + ponemos p 0 y si p Q ponemos p 0. Además, si p 0 y p 0 entonces escriimos p > 0, y si p 0 y p 0 entonces escriimos p < 0. Diremos que p es myor o igul que q si p q Q + ; en tl cso escriiremos p q. Si p q y p q ponemos p > q. L relción prq p q es un relción de orden totl, como se puede compror fácilmente. Proposición Sen p, q, r Q. ) Si p 0 y q 0 entonces p + q 0 y pq 0. ) Si p 0 y q 0 entonces p + q 0 y pq 0. c) Si p 0 y q 0 entonces pq 0. d) Si p > 0 y pq 0 entonces q 0. e) Si p > 0 y pq 0 entonces q 0. f) Si p < 0 y pq 0 entonces q 0. g) Si p < 0 y pq 0 entonces q 0. h) Si p q y r s entonces p + r q + s. i) Si r 0 y p q entonces rp rq. j) Si r 0 y p q entonces rp rq. Los incisos h),i),j) de l proposición nterior se pueden tmién enuncir pr desigulddes estricts.

12 Irrcionlidd de Irrcionlidd de 2 Proposición No existe r Q tl que r 2 = 2. Supongmos por contrdicción que hy un número rcionl r cuyo cudrdo es 2, es decir, tl que r 2 = 2. Como r es rcionl, entonces existen números enteros p y q tles que r = p/q; demás, por el teorem 12.2 es posile suponer que tl representción es irreducile, es decir, que p y q no tienen fctores comunes. Se tiene entonces p 2 /q 2 = 2, o lo que es lo mismo p 2 = 2q 2. Esto signific que p 2 es un número pr, por lo que p tmién dee ser pr (de lo contrrio, p tendrí l form 2n + 1 pr lgún entero n y p 2 = 4n 2 + 4n + 1 = 2(2n 2 + 2n) + 1, que es impr). Entonces, existe n Z tl que p = 2n, de donde p 2 = 4n 2 = 2q 2, y q 2 = 2n 2, por lo que q 2 y q son pres. De est form, tnto p como q son pres y tendrín entonces un fctor común (el 2), lo cul es imposile puesto que hemos supuesto que r est ddo en su form más simple. Por lo tnto, no existe un número rcionl tl que su cudrdo se 2. Deido l resultdo nterior, no todos los números reles son rcionles (suponiendo que 2 es rel). Esto lo formlizremos más delnte. Pr terminr con l presente sección, veremos más de cerc el significdo de un frcción. Consideremos dos enteros,, con 0. Queremos exminr de cerc el significdo de l frcción, que define un número rcionl. Por el lgoritmo de l división Euclíde, existen q, r Z tles que: con 0 r <. Vemos dos csos: = q + r Si r = 0 entonces, es decir, = q. Así, q es solución de l ecución x =. Por lo tnto, l frcción es exctmente el entero q: = q Z.

13 J. TREJOS PRINCIPIOS DE MATEMÁTICA 173 Si r > 0: l solución de l ecución x = r es r, es decir, r 1. Este número está entre 0 y 1, pero es menor que 1. En efecto, como 0 < r <, multiplicndo por el número positivo 1, entonces 0 < r 1 < 1, es decir, 0 < r < 1. Luego, = 1 se puede escriir como q + r, donde q es entero y r ]0, 1[, y que = 1 = (q + r) 1 = q( 1 ) + r 1 = q + r. El número r es l expnsión deciml de. Hrí que pror que ést es finit o infinit periódic. Puede consultrse este tem en [14] Ejercicios 1. Pruee los incisos c) y d) de l proposición Complete l demostrción de l proposición Pruee que Q es cerrdo pr el producto. 4. Complete l demostrción de l proposición Pruee l proposición Demuestre el teorem Se E = { n n Z}. Se define l función f : Z E, donde tl 1 que f() = pr todo Z. Pruee que f es iyectiv y que 1 f( + ) = f() + f() y f( ) = f() f(). Est es un form de pror que Z está contenido en Q, y que ls operciones de sum y producto en Z y Q se identificn. 8. Sen x, y Q tles que x < y. Pruee que existe un rcionl entre x y y en culquier de los csos siguientes: x = 0 y = 0 x < 0 < y 9. Prue que l sum de números rcionles, según l construcción prtir de clses de equivlenci, está ien definid. Esto es, que si (, ) (, ) y (c, d) (c, d ) entonces + c = + c. Con ello, d d no import con qué frcción se represente los números rcionles, que el resultdo de l sum será único.

14 Ejercicios 10. Pruee l proposición Pruee que 3 es un número irrcionl.

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