### pero Maple no sabe que es f(5), ni f(x), ni df(x). Lo se porque #### me contesta con una tonteria... f(x); f(5); df(5);

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1 ############################################# #### Oct 2013 Algunas notas de Maple para ahorrar tiempo a mis alumnos... ################################################## #### Nota1 diff command is used to differentiate expressions and the D command is used to differentiate functions. Compare these sentences. Both calculate the derivative of cosh(2x) at x=5. ##### expressions f:=cosh(2*x); (1) diff(f,x); diff(f,x$4); df:=diff(f,x); subs(x=5,df); evalf(%); ### pero Maple no sabe que es f(5), ni f(x), ni df(x). Lo se porque #### me contesta con una tonteria... f(x); f(5); df(5); (2) ##### functions restart: f:=x->cosh(2*x); f(5); #chico listo! D(f); fp:=x->d(f)(x); fp(5); ################# End of Nota1 ############################################################### ########### ############## Note 2 The source code for most Maple library functions is available with the commant `showstat'. For instance... what is the source code of int? Look what int does... int(sqrt(1+(cos(x))^2),x=0..pi); evalf(%); (3) #### Quite los comentarios ##### en la sentencia que sigue y (4)

2 vera el codigo #### showstat(int); ############## End of Note 2 ############################################################### ########### ############## Note 3 #### Numeros que son cero porque son digito-dependientes. 4*I-(u-1/u): solve(%); evalf(%); 4*I-(u-1/u): fsolve(%); Digits:=40: 4*I-(u-1/u): fsolve(%); (5) (6) (7) ######### ni caso a este *10^(-50) ### es cero patatero, como tb lo era el *10^(-18) anterior. Se comprueba #### siempre incrementando el numero de digitos ############## End of Note 3 ##### ##### ############## Note 4 #### Antes de exportar como.pdf reduzca los dibujos, por favor. #### O tendra que echar papel y papel y papel de lo grandes que quedan los dibujos. plot(sin(x)/x,x= ,color=green); ### Entre en el frame del dibujo, vaya a las esquinas con el cursor y resize el frame ### Como cuando se reduce una pantalla.

3 x ############## End of Note 4 ##### ##### ##################################################### ####### April 2012 ###################################################### Metodo de Newton para resolver f(x)=0 Input (o lo que usted debe dar al programa): f(x), fp(x), x0, numero de iteraciones N (aqui no lo he llamdo N, he puesto 10 directamente), tolerance (aqui 10^(-6), puede usted cambiarlo). Comentarios: 1-Hay casi un cero de f(x) en [-3,-2], pero si uno se acerca se ve que es mentira, no lo hay. Se ve con plot. 2-Yo he calculado fp(x), la derivada de f(x), con diff(f(x),x); y luego definido esta copiando con el raton. 3- El punto inicial x0=-100. es una mala eleccion, pero converge lo mismo... al cabo de muchas iteraciones (26), convergencia no cuadratica, pero convergencia al fin y al cabo. Y si se empieza por x0=5+i*1.5 (quien dice que no se pueden usar complejos?? Se usan igual, faltaria mas) tarda 7 iteraciones. restart: with(plots): f:=x->x^3+4*x^2-10: fp:=x->3*x^2+8*x: plot(f(x),x=-4..2); x0:=evalf(5+i*1.5): #good choice: 4 iterations

4 #x0:=evalf(-1.5): #bad choice: 61 iterations. Worse than -100 diff(f(x),x); n:='n': for n from 1 to 10 do x1:=x0-f(x0)/fp(x0): if abs(x1-x0)<10^(-6) then break else x0:=x1 end if; end do; n; 10 5 x ############## Newton compared with secant to solve f(x)=0 Same exercise with Newton and Secant methods ######## Newton restart: f:=x->x^3+4*x^2-10: diff(f(x),x); fp:=x->3*x^2+8*x: x0:=evalf(1): #good choice of the starting point n:='n': for n from 1 to 15 do x1:=x0-f(x0)/fp(x0): if abs(x1-x0)<10^(-6) then break else x0:=x1 (8)

5 end if; end do; n; ##### Secant x0:=1: x1:=2: n:='n': for n from 1 to 10 do x2:=evalf(x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0))): #f(x2); if (abs(x2-x1))<10^(-6) then break else x0:=x1: x1:=x2: end if: end do; n; 5 Digits:=20: fsolve(f(x),x); ### Lo que dice Maple ############### Un metodo iterativo. Este no converge. Input: F(x), (no hace falta derivada), x0, numero de iteraciones (7), y tolerancia (10^(-6)) restart: F:=x->x^3+4*x^2+x-10; x0:=1.5: n:='n': for n from 1 to 7 do x1:=f(x0): if abs(x1-x0)<10^(-6) then break else x0:=x1 end if: end do; n; (9) (10)

6 8 ############### Tres+dos dibujos en el mismo frame. Cinco en total. Las rectas negras quedan a 45 grados con la horizontal. Se cortan en la solucion F1(x)=F3(x)=F5(x)=x. Si se estudia desde el punto de vista de tres esquemas iterativos F1(x)=x, F3(x)=x, F5(x)=x, se tiene que: rojo diverge, azul converge... lentamente pero converge y verde converge rapido (claro, es Newton, la estrella) restart: F1:=x->x^3+4*x^2+x-10; F3:=x->sqrt(10-x^3)/2: F5:=x->x-(x^3+4*x^2-10)/(3*x^2+8*x); plot([f1(x),f3(x),f5(x),x, (x )], x= ,y=-3..4,discont=true,color=[red,blue,green,black, black]); (11)

7 4 3 y x # Newton en dos (o mas) dimensiones. Esto ya es otra cosa... aqui ya llegan pocos packages (a dos dimensiones llegan todos, me refiero a problemas de verdad, no academicos). Los hay, pero siempre resuelven otro problema distinto al que uno tiene. La ultima sentencia es un teorema (es broma). Input: f1,f2; x0, y0, numero de iteraciones (15) tolerancia (10^(-9)): Eso quiere decir que del resultado final solo podemos decir que POR LO MENOS 9 cifras decimales son exactas. Ojo que es un Newton y va que vuela. Si tarda 15, 20 iteraciones... es que algo pasa. Es tarea nuestra saber el que. Si el input es complejo x0:=0.9+11*i: y0:=0.7: le cuesta 26 iteraciones. Se cambia 15 por 50 y encima sobran. Notese que yo no he cambiado el numero de Digitos a 17. Intuyo que lo ha cambiado el package `with(vectorcalculus):' el solito. Metete... Se usa la INVERSA de una matriz. En la segunta parte hago el mismo problem pero yo construyo el Jacobiano y no uso inversa. A mi me gusta mas hacerlo asi. restart: with(plots): with(linearalgebra): with(vectorcalculus)

8 : f1:=(x,y)->sin(x+y)-x: f2:=(x,y)->cos(x-y)-y: ##### Maple sabe resolverlo el solito fsolve({f1,f2}); ### o tb fsolve({f1(x,y),f2(x,y)}); ##### Este lo sabe resolver maple (hay solo una solucion y te la da). ### Como hubiera mas de una solucion ibamos listos para darnos Maple #### la que nosotros buscamos... tendriamos que ir diciendo, avoid tal solution #### avoid also that solution... avoid is an optional argument in fsolve. See ##### the help page implicitplot([x=sin(x+y),y=cos(x-y)],x=-2..2,y= ,color= [red,blue]); (12) y x ##################################### Para ver que funciona ### El Jacobiano (una matriz que tiene Maple en las tripas). Jacobian([f1(x,y),f2(x,y)],[x,y]); #### En el punto (2,5) y la llamo J. Su inversa en ese punto J:=Jacobian([f1(x,y),f2(x,y)],[x,y]=[2.,5.]); Jinverse:=MatrixInverse(J);

9 x0:=0.9+0*i: y0:=0.7: n:='n': for n from 1 to 15 do J:=Jacobian([f1(x,y),f2(x,y)],[x,y]=[x0,y0]); Jinverse:=MatrixInverse(J); v:=vector(1..2,[x0, y0])-jinverse.vector(1..2, [f1(x0,y0),f2 (x0,y0)]); if (abs(v[1]-x0)<10^(-9)) and (abs(v[2]-y0)<10^(-9)) then break else x0:=v[1]: y0:=v[2]: end if: end do; n; (13)

10 5 ###################### restart: with(plots): with(linearalgebra): f1:=(x,y)->sin(x+y)-x: f2:=(x,y)->cos(x-y)-y: #### Jacobiano: fabricado a mano, no se lo pido a Maple. J:=(x,y)->Matrix(2,2,[D[1](f1)(x,y),D[2](f1)(x,y),D[1](f2)(x, y),d[2](f2)(x,y)]); F:=(x,y)->Vector[column](2,[f1(x,y),f2(x,y)]); (14) (15) ### Checking J(x,y); J(1,0); J(1.,0); F(2*I,0.3); (16) ##### Solving the system without the INVERSE. Inverse is expensive #### but not too expensive for 2x2 matrices.

11 x0:=0.9+0*i: y0:=0.7: n:='n': for n from 1 to 7 do v0:=vector[column]([x0,y0]); v1:=vector[column]([x1,y1]); F(x0,y0)+J(x0,y0).(v1-v0); eq:=linearsolve(j(x0,y0),-f(x0,y0)); #### le dejo a Maple que lo haga como quiera x1:=eq[1]+x0: y1:=eq[2]+y0: if (abs(eq[1])<10^(-9)) and (abs(eq[2])<10^(-9)) then break else x0:=x1: y0:=y1: end if: end do; n; ####### Note that the number of Digits is the default number, 10

12 (17)

13 5 (17) ############### Generando numeros aleatorios con el antiguo lcg method que tenia Maple en las tripas Input: N, x[1]. a, m fijados por los libros. Si se necesitanm entre [o,1) hay que dividir cada x[n] por m restart: with(statistics): #### antigua (Maple9 o inferior). ### with(plots): N:=100: a:= : m:=10^12-11: x[1]:= : for i from 2 to N do x[i]:=irem(a*x[i-1],m): #### generador de numeros aleatorios: lo tiene Maple somewhere end do: seq(x[i],i=1..10); (18) i:='i': sum(x[i],i=1..60); i:='i': sum((x[i])^2,i=1..n)/n; evalf(%); (19) ############### Generando numeros aleatorios con el nuevo generador de Maple en with (RandomTools[MersenneTwister]): Input: N. los numeros estan entre [0,1) uniformemente distribuidos. restart: with(randomtools[mersennetwister]): N:=1000: for i from 1 to N do x[i]:=generatefloat(); end do: seq(x[i],i=1..15); (20) Esto dice Help de el. Me parece muy bien. Sin inconveniente en usarlo

14 The RandomTools[MersenneTwister] subpackage contains functions for creating pseudo-random number generators using the Mersenne Twister algorithm. This algorithm has the following properties: -- the command outputs a pseudo-random float uniformly distributed in [0,1), -- period length of 2^ dimensional equidistribution property -- passed various tests, including the diehard test by G. Marsaglia and the load test by O.Hellekalek and S. Wegenkittl -- very fast ############### Input: N. Los numeros son enteros entre [0, ) uniformemente distribuidos. restart: N:=1000: with(randomtools[mersennetwister]): for i from 1 to N do x[i]:=generateinteger(); end do: seq(x[i],i=1..15); (21) #############33 ############# ### Number 5. RANDU ### Oct 13th 2011 restart: with(statistics): with(plots): 2^31: N:=5000: m:=2^31: N/30.; x:=array(1..n): x[1]:=314156: n:='n': for n from 1 to N-1 do x[n+1]:=irem((2^16+3)*x[n],2^31): end do: l:=[seq(evalf(x[i]/m),i=1..n)]: Histogram(l,color=cyan,frequencyscale=absolute); #### si no se pone frequencyscale=absolute te lo acopla a un area 1 (22)

15 i:='i': points:={seq([x[i],x[i+1]],i=1..n-10)}: pointplot(points,color=black); 0 0 i:='i': points:={seq([x[i],x[i+1],x[i+2]],i=1..n-10)}: pointplot3d(points,color=blue);

16 393225* *(-6)+C=0: isolve(%); ######################### #### Oct 2011 #### Number 8 Calculate Pi with Monte Carlo method restart: a:= : m:=10^12-11: N:=100: u[1]:= : v[1]:= : i:='i': for i from 1 to N-1 do u[i+1]:=irem(a*u[i],m): v[i+1]:=irem(a*v[i],m): end do: i:='i': lu:=seq(u[i],i=1..n): lv:=seq(v[i],i=1..n): i:='i': for i from 1 to N do x[i]:=-1.+2.*evalf(u[i]/m): y[i]:=-1.+2.*evalf(v[i]/m): end do: seq(x[i],i=1..n): i:='i': for i from 1 to N do if (x[i]^2+y[i]^2<=1.0) then f[i]:=1 else f[i]:=0 end if: end do: seq(f[i],i=1..n): i:='i':

17 n:=sum(f[i],i=1..n); Vbox:=4: #### Abox en realidad, no importa Pi_approx:=evalf(Vbox*n/N); #### Alternativa (MEJOR QUE LO ANTERIOR AQUI: no se le fuerza a Maple a recordar tanto numero) n:=0: for j from 1 to N do if (x[j]^2+y[j]^2<=1.0) then n:=n+1 end if: end do: n; Pi_approx:=evalf(Vbox*n/N); 69 #### error as in Numerical Recipes (Press-Teukolsky book) error_estimate:=evalf(vbox*sqrt(n*(n-n)/n^3)); [Pi_approx-error_estimate,Pi_approx+error_estimate]; #con prob del 68% [Pi_approx-2*error_estimate,Pi_approx+2*error_estimate]; #95% [Pi_approx-3*error_estimate,Pi_approx+3*error_estimate]; # % Lease: es casi imposible... (23) (24) (25) ##### De donde salen esas probabilidades... p:=x->exp(-(x-mu)^2/(2*sigma^2))/sigma/sqrt(2*pi): int(p(x),x=mu-3*sigma..mu+3*sigma); evalf(%); (26) ###### Observe that valor_medio_de_las_f:=sum(f[i],i=1..n)/n; #### o sea n/n valor_medio_de_las_fsquare:=sum((f[i])^2,i=1..n)/n; #### o sea n/n (27) (28) (valor_medio_de_las_fsquare-(valor_medio_de_las_f)^2)/n: Vbox*sqrt(%): err:=evalf(%); (29)

18 ##### Coincide con error_estimate: claro, es lo mismo. (29) ##################3 ##### ################### ##### Computer test: the sum of indep random variables prepared with no matter ##### what distribution ##### is normal (if the number of terms in the sum is large). ##### Here the number of terms ##### is 10 and the starting variables are uniformly distributed in [0,1) ##### Students; have to know how to get the Histogram (pink) (or they have to ##### construct one). The blue curve is maths, not random variables... ############################### restart: with(statistics): with(plots): N:=100: #### modifiquese a voluntad: el dibujo saldra mejor a:= : m:=10^(12)-11: x[1]:= : for i from 2 to N do x[i]:=irem(a*x[i-1],m): #### generador de numeros alotorios: lo tenia Maple somewhere end do: seq(x[i],i=1..20); (30) i:='i': sum(x[i],i=1..10); i:='i': sum(x[i],i=11..20); i:='i': sum(x[i],i=21..30); ##### Del input anterior... i:='i': j:='j': for j from 1 to N/10 do y[j]:=sum(x[i]/m,i=10*j-9..10*j); end do: i:='i': l:=[seq(evalf(y[i]),i=1..n/10)]: (31) #### Gaussian distribution

19 o:=subs(mu=5,sigma=sqrt(5/6),exp(-(x-mu)^2/(2*sigma^2))/(sigma* sqrt(2*pi))); ##### sin frequencyabsolute (asi la mete en un area igual a 1) p:=histogram(l,color=pink,title="que cosa mas bien"): q:=plot(o,x=0..10,color=blue): display({p, q}); que cosa mas bien x

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