GENERACIÓN DE SUB-DOMINIOS LOCALES DE INTERPOLACIÓN EN UN MÉTODO SIN MALLA GENERATION OF LOCAL INTERPOLATION SUB-DOMAINS IN MESHLESS METHODS

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "GENERACIÓN DE SUB-DOMINIOS LOCALES DE INTERPOLACIÓN EN UN MÉTODO SIN MALLA GENERATION OF LOCAL INTERPOLATION SUB-DOMAINS IN MESHLESS METHODS"

Transcripción

1 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007, pp GENERACIÓN DE SUB-DOMINIOS LOCALES DE INERPOLACIÓN EN UN MÉODO SIN MALLA GENERAION OF LOCAL INERPOLAION SUB-DOMAINS IN MESHLESS MEHODS Nicolás Ipiza Carrasco 1, 2 Fraco Perazzo Maggi 1 Jua Arada Pasté 1, 2 Luis Pérez Pozo 1, 2 Recibido 15 de juio de 2006, aceptado 8 de mayo de 2007 Received: Jue 15, 2006 Accepted: May 8, 2007 RESUMEN Ua de las pricipales vetajas de utilizar u método si malla es la posibilidad de realizar aálisis uméricos si la ecesidad de efectuar u proceso de partició o subdivisió del domiio e elemetos más pequeños. Si embargo, la utilizació de putos o partículas para discretizar u cuerpo requiere de ua estrategia para seleccioar aquellos putos que formará parte de los sub-domiios de iterpolació local de la solució, tambié llamados ubes. El presete trabajo muestra el desarrollo e implemetació de ua técica para la geeració de los sub-domiios de iterpolació para u método si malla. Para validar la correcta implemetació de la técica propuesta, se llevará a cabo simulacioes e el campo de la elasticidad lieal de sólidos 3D mediate u programa umérico basado e la formulació teórica del Método de Putos Fiitos (MPF). Palabras clave: Métodos si malla, método de putos fiitos, ubes de iterpolació local. ABSRAC he absece of grids i meshless methods removes the burde associated to them i the modellig process. Nevertheless a adequate strategy for the selectio of poits which will be used i the iterpolatio sub domais (clouds) is required. his work presets the developmet ad applicatio of such a strategy. Correspodig validatios are preseted through simulatios i the field of 3D liear elasticity, performed with a meshless program based i the Fiite Poit Method techique. Keywords: Meshless methods, fiite poit method, local iterpolatio of clouds. INRODUCCIÓN El desarrollo de métodos uméricos si malla o libre de malla platea ua forma alterativa de solució e alguos problemas de la mecáica computacioal, que tradicioalmete puede ser resueltos mediate técicas uméricas como el Método de Elemetos Fiitos (MEF) o el de Volúmees Fiitos. La ausecia e estos métodos de ua malla de elemetos o de elemetos dismiuye el tiempo ivertido e la preparació de la iformació ecesaria para el cálculo y tiee vetajas sobre todo e geometrías 3D dode es ecesario cotar co u geerador de malla eficiete y robusto [11]. La maera de realizar la iterpolació local de la fució aproximada y la forma de obteer el sistema de ecuacioes difereciales discretas que gobiera el problema ha dado lugar a dos clases de métodos si malla, la primera basada e smooth particle hydrodyamics procedures [19] y la seguda basada e geeralized fiite differece techiques [11, 17], para mayor referecia y detalles de otros métodos si malla ver [15]. E el Método de Putos Fiitos (MPF) [2-4], la aproximació local se obtiee mediate la técica estádar de míimos cuadrados poderados, utilizádose 1 Departameto de Mecáica. Uiversidad écica Federico Sata María. Aveida España Valparaíso, Chile Aula UFSM-CIMNE. Departameto de Mecáica. Uiversidad écica Federico Sata María. Aveida España Edif. C-246. Foo: (56-32) Valparaíso, Chile Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007

2 Ipiza, Perazzo, Arada y Pérez: Geeració de sub-domiios locales de iterpolació e u método si malla colocació putual para obteer el sistema de ecuacioes discretas, es decir, se utiliza el cojuto de ecuacioes difereciales directamete, si ecesidad de costruir ua forma débil o realizar itegracioes alguas sobre el domiio [18]. La cosistecia y covergecia del método ha sido aalizada co aterioridad por los autores, verificádose u correcto comportamieto del método para problemas tato de mecáica de fluidos como de sólidos, fudametalmete e 2D [4, 5, 7, 9 y 14]. E el presete trabajo se aaliza y desarrolla ua técica para la geeració de sub-domiios locales de iterpolació o ubes e 3D, basada e ua triagulació local de Delauay. Esta importate etapa comprede desde la modelació geométrica de la pieza a aalizar, hasta la geeració de ubes para todo el domiio. Los ejemplos desarrollados e geometrías 3D demuestra u correcto comportamieto de la solució umérica del MPF cuado se utiliza la técica de geeració de ubes propuesta e este trabajo. FORMULACIÓN DEL MÉODO DE PUNOS FINIOS Sea I el subdomiio de iterpolació de ua fució u(x) y s j co j=1,2,, ua colecció de putos co coordeadas x j I. El subídice I e las expresioes idetifica aquel puto de la ube, dode se requiere evaluar la aproximació, tambié deomiado odo estrella. La fució icógita u(x) puede ser aproximada e el iterior de I por m u( x) u ( x) p l ( x) l p ( x) I l1 x, x (1) I dode = [ 1 2 m ], y el vector p(x), llamado base de iterpolació, cotiee típicamete moomios que asegura e el espacio de coordeadas ua base completa. Por ejemplo e 3D, las bases más usadas so las siguietes: p [ 1, x, y, z, x, xy, xz, y, yz, z ] p [ 1, x, y, z, x, xy, xz, y, yz, z, x y, x z, xy, xyz, xz, y z, yz ] p [ 1, x, y, z, x, xy, xz, y, yz, z, x, x y, x z, xy, xyz, xz, y, y z, yz, z ] (2) 2 La fució icógita u(x) puede ser evaluada e los putos de la ube I, obteiedo h u h h h u u 1 1 p 1 C h u h u p dode u u( x ) j j so las icógitas, pero los valores buscados u j u ( x ) so los valores aproximados y j p j = p(x j ). E ua aproximació mediate elemetos fiitos el úmero de putos e el subdomiio se escoge de forma que m =. E este caso, C es ua matriz cuadrada y el procedimieto coduce a las fucioes estádares del método de elemetos fiitos. Si > m, la aproximació utilizada o se puede adaptar a todos los valores de u j h. El problema puede ser resuelto determiado los valores de û, que miimice la suma de las distacias al cuadrado o error e cada puto, poderado por ua fució (x I x j ), es decir h I I j j l1 2 j J ( x x )( u u( x )) míimo (3) (4) La fució de poderació utilizada e el MPF correspode a la fució de Gauss ormalizada. Reemplazado la aproximació (1) e (4) y miimizado respecto de, se obtiee 1 h 1 1 I I I I C u, C A B (5) dode las compoetes de A(x I ) = A 1 (matriz de mometos) y B(x I ) = B I so A p ( x ) ( x x ) p ( x ) i, j 1,..., m I ij i k I k j k k1 B I p ( x ) ( x x ) i 1,..., m j 1,..., ij i j I j (6) Substituyedo de la ecuació (5) e (1), la aproximació fial adopta la siguiete forma. h u ( x) p ( x) C 1 u x (7) I I co m = 10, 17 y 20 respectivamete. Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2,

3 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007 co las fucioes de forma i I I N ( x) p ( x) C 1 i 1,..., (8) Se debe otar que de acuerdo co el carácter de míimos cuadrados de la aproximació u( x ) u ( x ) u h j j j (9) es decir, los valores locales de la fució aproximada o coicide co los valores odales de la fució icógita. De todas formas û es ua aproximació válida, co la cual se busca satisfacer la ecuació diferecial y codicioes de cotoro, siedo u j h simplemete parámetros descoocidos. CONCEPO DE GENERACIÓN DE NUBES Detro de todo método umérico libre de malla hay tres procesos básicos presetes: proceso de iterpolació o aproximació local, proceso de poderació y fialmete discretizació de la fució objetivo. Se puede observar e [8] que las etapas citadas determia la importacia de la geeració de sub-domiios locales o ubes de putos y defie e gra maera la calidad del cálculo posterior. E u método libre de malla, el domiio de aálisis debe quedar descrito completamete a través de odos. Ua vez obteida la totalidad de los putos, tato del cotoro como del domiio iterior, se procede co el proceso propio de geeració de ubes. E la figura 1 se preseta u ejemplo del cocepto de ubes de putos. ÉCNICAS DE GENERACIÓN DE NUBES Los ivestigadores dedicados a los métodos libres de malla ha propuesto diversas técicas geométricas de geeració de ubes, [6, 11-13, 16-17]. La metodología seguida e el presete trabajo está basada e la ivestigació de Löher [14]. Para aplicar la técica propuesta de geeració de ubes, se requiere dos aspectos fudametales, por u lado la lista de putos que discretiza la geometría y por otro la triagulació de la superficie. Ua vez obteida esta iformació se procede a determiar las ubes de putos. Ua técica fácil de implemetar está basada e el criterio de míima distacia [12], e el cual los putos que coforma la ube queda detro de u círculo de radio R I y cetrado e el odo estrella, a priori o resulta fácil defiir el valor de R I de modo de coseguir u úmero suficiete de putos; si embargo, el mayor icoveiete es coseguir ua ube adecuada, o lo más simétrica posible; ver figura 2a. (a) (b) (c) Figura 2. Geeració local de subdomiios, a) criterio Figura 2. Geeració local de subdomiios, a) criterio míima distacia, b) criterio de ocho segmetos y c) criterio de cuatro cuadrates Figura 1. Cocepto de ubes de putos. Figura 1. Cocepto de ubes de putos. Ua seguda técica deomiada por sus autores como eight segmet criterio [11], cosiste e subdividir el etoro que rodea al odo estrella co ocho segmetos 206 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007

4 Ipiza, Perazzo, Arada y Pérez: Geeració de sub-domiios locales de iterpolació e u método si malla y seleccioar por cada segmeto el odo más cercao; ver figura 2b. U tercer método deomiado como four quadrat criterio [17], cosiste e utilizar u sistema cartesiao de ejes e el odo estrella y escoger los dos más cercaos a éste por cada cuadrate. E estos dos últimos métodos se puede coseguir ubes de mejor calidad, si embargo, debe ser modificados para la obteció de los sub-domiios para odos de la superficie y cercaos a ésta, ver figura 2c. riagulació de Delauay La técica empleada e el presete trabajo se basa e ua triagulació local de Delauay, la cual es ampliamete utilizada debido a lo equilibrada de la distribució obteida, esta permite coectar el odo estrella co sus vecios más próximos mediate tetraedros (caso 3D) [20]. Los pasos importates de esta técica so: (a) (c) (b) (d) Defiir u sistema local de ejes cartesiaos, cetrado e el odo estrella, para idetificar aquellos putos más próximos al orige por cada octate, ver figura 3a. Formar co el odo estrella los tetraedros iiciales; ver figura 3b. Para cada tetraedro se geera ua esfera circuscrita; ver figura 3c. Se verifica la NO existecia de putos iteriores adicioales detro de la esfera; ver figura 3c. E caso de existir u puto iterior se elimia el tetraedro iicial y se crea dos uevos tetraedros co el puto más cercao al odo estrella; ver figura 3d. Se repite este proceso para todos los putos perteecietes al domiio local; ver figura 3e Fialmete se escoge los putos más cercaos o que aporta más iformació al odo estrella; ver figura 3f. GENERACIÓN DE NUBES Y VECORES NORMALES A cotiuació se detalla las etapas ivolucradas e la geeració de ubes 3D. Geeració iicial de putos que discretiza la geometría La geeració iicial de putos que discretiza todo el domiio del problema y la triagulació de la superficie se obtiee a partir del programa comercial de Pre y Post proceso GID M. (e) (e) (f) (f) Figura 3. Geeració local de subdomiios mediate la triagulació de Delauay. Cálculo de la regió local de búsqueda de putos para cada subdomiio de iterpolació o ube La regió local de búsqueda de putos es u cubo de lado L, cetrado e el odo estrella que se calcula de la siguiete forma: L V 3 (10) dode V es el volume de la regió local, es el Nº de putos coteidos e ella (este se cosidera costate e igual a u úmero arbitrario de putos, el cual se defie previamete) y la desidad de putos de esta regió. Se cosidera que la desidad de putos es costate para todo el volume de la geometría, por tato este parámetro tambié es costate para cada ua de las regioes locales. Se calcula e base a la catidad de putos totales de la discretizació y el volume del paralelepípedo que ecierra a la geometría del problema. Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2,

5 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007 Búsqueda de putos cercaos La búsqueda para los putos cercaos se realiza usado la regió local calculada ateriormete tal como se muestra e las figuras 4a y 4b. Luego, detro de cada regió se verifica la catidad de putos; si el úmero de putos cercaos ecotrados es demasiado pequeño, la regió de búsqueda se agrada e u 30%. Por el cotrario, si demasiados putos fuero ecotrados, la regió de búsqueda se reduce e u 15%. Se repite este procedimieto, hasta que u úmero aceptable de putos cercaos sea ecotrado. La técica descrita ateriormete permite geerar ubes para problemas e geometrías complejas, co presecia de cocavidades a lo largo del cotoro de la pieza. a) Búsqueda de caras cercaas La búsqueda de caras cercaas se realiza usado la regió local utilizada e la etapa aterior. Mediate el aálisis de vértices y baricetros de las caras respectivas, se procede a verificar si estos putos perteece o o a la regió local respectiva; ver figura 4b. b) Filtrado caras cercaas Luego de almaceadas las caras correspodietes a cada odo estrella, se debe elimiar aquellas que el odo estrella i, o pueda ver. Esto se puede observar e la figura 4c, dode sólo queda las caras que cumple co la codició descrita. c) Filtrado putos cercaos La búsqueda para los putos cercaos puede etregar alguos ubicados e el lado icorrecto de u límite segú lo mostrado e la figura 4c. Estos putos so llamados putos iválidos. Esta situació sucede co frecuecia para las esquias agudas, zoas cócavas y e geeral para cualquier geometría compleja co ubes desas de putos. Las caras cercaas obteidas previamete se puede utilizar para filtrar los putos más lejaos. Por lo tato, cualquier puto j que al crear el segmeto de recta puto j: puto i itersecte ua de las caras cercaas, se quita de la lista, dejado sólo los putos e el lado correcto del límite; ver figura 4d. riagulació de Delauay Se geera los tetraedros mediate la técica de Delauay detro del domiio local de búsqueda. Ua vez obteida ua ube prelimiar de putos alrededor del odo estrella, se determia la catidad requerida de putos que coforma ésta. Este ítem se relacioa co el tamaño de la base de iterpolació usada; ver ecuació (2). d) Figura 4. Esquema de geeració de sub-domiio local para odo estrella i. Cálculo del vector ormal perteeciete a cada puto de la superficie Ua vez obteidos los putos perteecietes a la ube, se procede a calcular los vectores ormales correspodietes a cada uo de los putos de la superficie de la discretizació, 208 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007

6 Ipiza, Perazzo, Arada y Pérez: Geeració de sub-domiios locales de iterpolació e u método si malla para ello se utiliza la triagulació de la superficie obteida a partir del programa GID M. E primer lugar se determia los triágulos vecios al puto dode se desea determiar el vector ormal; ver figura 5. Luego se calcula el vector ormal de cada uo de los triágulos vecios y se procede a calcular el vector del puto de iterés de la siguiete forma dode, i c i ˆ ˆ (11) c es el vector ormal del puto de iterés y c el vector ormal de cada uo de los triágulos alrededor de este puto. los límites del cuerpo tridimesioal. Esto o quiere decir bajo igua circustacia que la técica trasgreda la filosofía meshless, ya que la técica umérica de cálculo sólo cosidera los odos que discretiza la geometría [14]. Los triágulos que defie los cotoros sólo so utilizados e la correcta geeració de ubes que se ecesita. El trabajo se ha llevado a cabo teiedo como geerador de la geometría al software de Pre y Post proceso GID M. Es sobre la base de la iformació que puede etregar éste que se elaboraro las distitas etapas de la geeració de ubes. E la figura 6 se muestra ua geometría 3D particular, co su respectiva discretizació del cotoro mediate triágulos. Ua vez obteidos los putos que discretiza la geometría y los triágulos que describe el cotoro, correspode la etapa de búsqueda de putos y caras cercaas a cada odo estrella, tato del cotoro, como del domiio. Figura 5. Cálculo de vector ormal para putos superficie. IMPLEMENACIÓN DEL GENERADOR DE NUBES PROPUESO Para implemetar el geerador de ubes 3D, se ecesita la siguiete iformació geométrica de la pieza a aalizar: 1. La lista de putos que describe la geometría, tato del cotoro como del domiio. 2. La lista de triágulos que defie la superficie del cotoro que ecierra el cuerpo a aalizar. Es importate poer éfasis e este último puto y mecioar que para el desarrollo de la técica de geeració de ubes propuesta es ecesaria ua triagulació o mallado de la superficie que represeta el cotoro de la geometría, ya que de esta maera se defie co precisió Figura 6. Cotoro de rueda detada recta, discretizada a través de triágulos. Luego de obteer los putos y caras cercaos como se muestra e la figura 4b, hay que filtrar los putos iválidos correspodietes a esta primera búsqueda. Para la elimiació de putos iválidos se debe filtrar las caras que el odo estrella o puede ver. Se utiliza para ello el siguiete algoritmo [10]: DO: triágulos almaceados Obteer vector ormal del triágulo aputado hacia el exterior ˆ Producto cruz etre dos lados del triágulo, cuidado de que apute hacia el exterior. Luego ormalizar el vector obteido. Obteer vector que ue al odo estrella i co el baricetro del triágulo v Bai Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2,

7 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007 Obteer producto puto etre ˆ y v Ba i Obteer águlo etre ˆ y v Ba i COS 1 ˆ v ˆ v Bai Bai Verificar si 90º Se matiee el triágulo. 90º Se elimia el triágulo. END DO E la figura 7 se puede observar esta técica de elimiació de caras e ua aalogía 2D. Figura 7. Elimiació de caras que el odo estrella o Figura 7. Elimiació de caras que el odo estrella o puede ver. Luego de esta etapa, se procede a elimiar los putos iválidos de la ube prelimiar. La técica de elimiació se basa e el segmeto de recta que ue el odo estrella co cada puto a aalizar. Si esta itersecta algua de las caras cercaas al odo estrella, se dispoe la elimiació del puto respectivo. El detalle del algoritmo [10] es el siguiete: DO: putos j de la ube prelimiar Obteer segmeto de recta L ij, uiedo el odo estrella i, co odo j examiado. DO:riágulos almaceados (vértices a,b,c) Obteer vector ormal del triágulo ˆ Calcular el puto P, que itersecta el plao del triágulo, co la proyecció de la recta L ij IF: Puto P o perteece al segmeto de recta L ij CYCLE Verificar si puto P perteece a la regió del triágulo Calcular los putos medios de cada lado del triágulo M ab, M ac, M bc Obteer tres vectores uiedo el puto P, co los putos medios M de cada lado, MP ab, MP ac,. MPbc Calcular los tres vectores ormales iteriores a cada lado del triágulo ˆ, ˆ, ˆ ab ac bc. Calcular producto puto para cada lado respectivo MP ˆ, MP ˆ, MP ˆ. MP ab ˆ 0 MP ab ac ˆ 0 ac ab ab ac ac bc bc IF: y y MP bc ˆ 0 bc HEN Puto P perteece a la regió del triágulo ELSE Puto P o perteece a la regió del triágulo END IF IF: Puto P perteece a la regió del triágulo HEN Elimiar puto j EXI DO END IF END DO END DO E la figura 8 se ilustra globalmete el proceso de elimiació de caras y putos iválidos de la ube del odo i. Ua vez defiida la ube correspode verificar la catidad de odos que la coforma, teiedo e cueta el tamaño de la base de iterpolació que se utilizará. El criterio para añadir o elimiar odos es la distacia etre éstos y el odo estrella. 210 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007

8 Ipiza, Perazzo, Arada y Pérez: Geeració de sub-domiios locales de iterpolació e u método si malla Figura 9. Mésula. Modelo geométrico y discretizació e putos. Figura 8. Proceso de elimiació de odos iválidos de la ube del odo estrella i. EJEMPLO DE GENERACIÓN DE NUBES A cotiuació se ilustrará u ejemplo para visualizar el tipo de sub-domiio geerado co el algoritmo propuesto. Mésula Este elemeto tridimesioal fue utilizado como ejemplo de aplicació del geerador de ubes e el espacio. La discretizació fue llevada a cabo mediate odos, como se ilustra e la figura 9. La figura 10 muestra la ube correspodiete al odo estrella 633, la cual tambié está ubicada e ua zoa cócava de la pieza. Como se puede observar, la ube geerada muestra u bue comportamieto e cuato a presecia de putos iválidos. Figura 10. Nube del odo estrella 633. Vista alzada de la geometría. Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2,

9 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007 EJEMPLOS NUMÉRICOS Se desarrollaro dos ejemplos uméricos para validar las ubes geeradas co el algoritmo propuesto. Estos ejemplos fuero aalizados mediate u código si malla (MPF), el cual recibe las ubes geeradas para luego esamblar y resolver el sistema de ecuacioes de elasticidad. Cilidro empotrado e tracció simple Los datos de este ejemplo so los que se ilustra e la figura 11. Segú esto, el máximo desplazamieto e la direcció del esfuerzo se determia co 4 * L* P 2 E * * d (12) Reemplazado los valores mostrados e la figura 11, se tiee que Figura 11. Cilidro empotrado e tracció simple. Datos geométricos, material y codicioes de carga. 4* 0. 3* e11* * * 10 [ m ] (13) Al modelar esta geometría co ta sólo 738 putos y posteriormete geerar las ubes, se obtiee los resultados ilustrados e las figuras 12 y 13. Se puede verificar que el error cometido respecto al máximo desplazamieto e la direcció del esfuerzo, es de 0,42%, mietras que los esfuerzos e el eje z se preseta costates. El esfuerzo e el eje z correspode a u valor costate e igual a 1.273*10 08 [Pa]. Figura 12. Cilidro empotrado e tracció: cotoros de desplazamieto e la direcció del esfuerzo aplicado. Mésula Esta pieza mecáica se aalizó co u esfuerzo e direcció logitudial e el orificio cetral. ambié se prescribe u desplazamieto ulo, para poder simular presecia de peros sujetadores e los lugares correspodietes. Esta codició, y la discretizació e triágulos y putos de la geometría, se muestra e la figura 14. Para este ejemplo, la mésula se discretizó e putos. Los resultados uméricos obteidos se ilustra e las figuras E la figura 15 se puede cotrastar la solució e cuato a desplazamieto, e la direcció del esfuerzo aplicado, cuado se utiliza el MPF y el MEF. E las figuras 16-19, se muestra los cotoros de desplazamieto y los esfuerzos, además de la geometría deformada respectivamete. Figura 13. Cilidro empotrado e tracció: cotoros de esfuerzo e la direcció del esfuerzo aplicado Otro aspecto iteresate por ivestigar correspode a la calidad de las ubes geeradas e los cotoros de Neuma, ya que es e estos putos dode se cocetra los mayores porcetajes del error, de la solució umérica que se obtiee co el MPF. 212 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007

10 Ipiza, Perazzo, Arada y Pérez: Geeració de sub-domiios locales de iterpolació e u método si malla Figura 16. Cotoros de esfuerzo e direcció del esfuerzo aplicado, obteidos co MPF. Figura 17. Cotoros de desplazamieto e direcció trasversal a la direcció del esfuerzo aplicado, obteidos co MPF. Figura 14. Mésula: Codicioes de cotoro y discretizació e triágulos y putos. Figura 18. Geometría deformada (MPF) Discretizació e putos. (a) Figura 15. Comparació e cotoros de desplazamieto e la direcció del esfuerzo aplicado, etre a) MPF y b) MEF. Figura 19. Proceso de deformació de la pieza (MPF). (Cotiúa). Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2,

11 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007 (b) [2] E. Oñate, S. Idelsoh, O.C. Ziekiewicz ad. Fisher. A fiite poit method for aalysis of fluid flow problems. Proceedigs of the 9th It. Coferece o Fiite Elemet Methods i Fluids. Veize, Italy, pp [3] E. Oñate ad S. Idelsoh. A mesh free fiite poit method for advective-diffusive trasport ad fluid flow problems. Computatioal Mechaics. Nº 21, pp Figura 19. Proceso de deformació de la pieza (MPF). CONCLUSIONES E cuato a la geeració de sub-domiios de iterpolació o ubes, se puede observar que para geometrías reales y complejas, el algoritmo propuesto cumple eficazmete los requerimietos de ubes si presecia de putos iválidos. Mediate ejemplos geométricos se comprobaro las virtudes del código propuesto para la geeració de ubes, e especial e piezas sólidas co particularidades geométricas cócavas. Cosiderado que las ubes so geeradas para problemas e 3D, y que además preseta u correcto comportamieto geométrico, se visualiza como futura líea de ivestigació, u estudio sobre la utilizació eficiete de las estructuras de datos para la geeració de ubes. AGRADECIMIENOS Los autores agradece el soporte etregado para la realizació del presete trabajo a CONICY mediate el proyecto Fodecyt y a la DGIP de la UFSM a través del proyecto USM De la misma forma los autores agradece al Cetro Iteracioal de Métodos Numéricos e Igeiería (CIMNE), de Barceloa, España, la utilizació del Pre y Post procesador GID M. REFERENCIAS [1] E. Oñate, S. Idelsoh ad O.C. Ziekiewicz. Fiite poit method i computatioal mechaics. Research Report. Nº 67. CIMNE. Barceloa, España [4] E. Oñate, F. Perazzo ad J. Miquel. Advaces i stabilized fiite poit method for structural mechaics. Report Nº 164 CIMNE. Barceloa, España [5] E. Oñate, F. Perazzo ad J. Miquel. A fiite poit method for elasticity problems. Computers & Structures. Vol. 79, pp [6] E. Oñate ad S. Idelsoh. A fiite poit method for icompressible flow problems. Computig ad Visualizatio i Sciece [7] F. Perazzo, J. Miquel ad E. Oñate. El método de putos fiitos para problemas de la diámica de sólidos. Revista Iteracioal de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño e Igeiería. Vol. 20 N 3. Uiversitat Politécica de Cataluya. Barceloa, España [8] F. Perazzo. Ua metodología umérica si malla para la resolució de las ecuacioes de elasticidad, mediate el método de Putos Fiitos. esis para optar al grado de doctor. Uiversitat Politécica de Cataluya. Barceloa, España [9] F. Perazzo, S. Oller, J. Miquel ad E. Oñate. Avaces e el método de Putos Fiitos para la mecáica de sólidos. Revista Iteracioal de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño e Igeiería. Uiversitat Politécica de Cataluya. Vol. 22 Nº 2, pp Barceloa, España [10] N. Ipiza. Desarrollo e implemetació de la capacidad de modelar geometrías 3D e el método si malla de Putos Fiitos. esis para optar al título de Igeiero Mecáico. Departameto de Mecáica. Uiversidad écica Federico Sata María. Satiago, Chile [11] N. Perroe ad R. Kao. A geeral fiite differece method for arbitrary meshes. Computers & Structures. Vol. 5, pp Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007

12 Ipiza, Perazzo, Arada y Pérez: Geeració de sub-domiios locales de iterpolació e u método si malla [12] P.S. Jese. Fiite differece techique for variable grids. Computers & Structures. Vol. 2, pp [13] R. Löher. Some Useful Data Structure for the Geeratio of Ustructured Grids. Commuicatios ad Applied Numerical Methods [14] R. Löher, C. Sacco, E. Oñate ad S. Idelsoh. A fiite poit method for compressible flow. Iteratioal Joural for Numerical Methods i Egieerig. Vol. 53, pp [15]. Belytschko, Y. Krogauz, D. Orga, M. Flemig ad P. Krysl, Meshless Method: A overview ad recet developmets. Computer Method i Applied Mechaics ad Egieerig. Vol. 139, pp [16]. Liszka, C.A. Duarte ad W. worzydlo. Hp- Meshless cloud method. Computers Methods i Applied Mechaics ad Egieerig. Vol. 139, pp [17]. Liszka ad J. Orkisz. he fiite differece method at arbitrary irregular grids ad its applicatio i applied mechaics. Computers & Structures. Vol. 11, pp [18] O. Ziekiewicz y R. aylor. El método de los elemetos fiitos. Las bases. Quita edició. Vol [19] L. Lucy. A umerical approach to the testig of the fissio hypothesis. he Astromical Joural. Vol. 82 Nº 12, pp [20] N. Weatherill, K. Morga ad O. Hassa. A itroductio to mesh geeratio. Joh Wiley & Sos Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2,

TEMA 5: INTERPOLACIÓN

TEMA 5: INTERPOLACIÓN 5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x

Más detalles

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida.

UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN. características de asignación. método húngaro o de matriz reducida. UNIDAD 8 MODELO DE ASIGNACIÓN características de asigació. método húgaro o de matriz reducida. Ivestigació de operacioes Itroducció U caso particular del modelo de trasporte es el modelo de asigació,

Más detalles

1.1. Campos Vectoriales.

1.1. Campos Vectoriales. 1.1. Campos Vectoriales. Las fucioes, ampliamete empleadas e la igeiería, para modelar matemáticamete y caracterizar magitudes físicas, y cuyo domiio podría ser multidimesioal, puede teer u rago uidimesioal

Más detalles

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con:

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con: TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA.- Itroducció E los problemas de Programació Lieal os ecotraremos co: - Fució Objetivo: es la meta que se quiere alcazar, y que será la fució a

Más detalles

Programación Entera (PE)

Programación Entera (PE) Programació Etera (PE) E geeral, so problemas de programació lieal (PPL), e dode sus variables de decisió debe tomar valores eteros. Tipos de PE Cuado se requiere que todas las variables de decisió tome

Más detalles

Capítulo 2. Operadores

Capítulo 2. Operadores Capítulo 2 Operadores 21 Operadores lieales 22 Fucioes propias y valores propios 23 Operadores hermitiaos 231 Delta de Kroecker 24 Notació de Dirac 25 Operador Adjuto 2 Operadores E la mecáica cuática

Más detalles

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo

Modelos lineales en Biología, 5ª Curso de Ciencias Biológicas Clase 28/10/04. Estimación y estimadores: Distribuciones asociadas al muestreo Modelos lieales e Biología, 5ª Curso de Ciecias Biológicas Clase 8/10/04 Estimació y estimadores: Distribucioes asociadas al muestreo Referecias: Cualquiera de los textos icluidos e la bibliografía recomedada

Más detalles

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES

OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES MATERIAL DIDÁCTICO DE PILOTAJE PARA ÁLGEBRA 2 OPERACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES ÍNDICE DE CONTENIDO 2. Suma, resta, multiplicació y divisió 6 2.1. Recoociedo la estructura de moomios y poliomios 6

Más detalles

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es,

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es, VALORES Y VECORES PROPIOS Y LA REDUCCION DE CÓNICAS A) EL PROBLEMA PROPIO oda matriz cuadrada A de orde co elemetos (reales o complejos) es u operador lieal que actúa sobre el espacio vectorial E, dimesioal,

Más detalles

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate1203 Cálculo Diferencial Parcial 3 (27/10/2010)

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate1203 Cálculo Diferencial Parcial 3 (27/10/2010) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate1203 Cálculo Diferecial Parcial 3 (27/10/2010) 1. Cosidere la fució f (x) = 3(x 1) 2/3 (x 1) 2 a) Halle el domiio b) Ecuetre los putos críticos,

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 5 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 5 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2006 (Modelo 5 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A Sea la regió defiida por las siguietes iecuacioes: x/2 + y/3 1 ; - x + 2y 0; y 2. (2 putos) Represete

Más detalles

Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 9: Inferencia Estadística, Estimación de Parámetros Grupo B

Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 9: Inferencia Estadística, Estimación de Parámetros Grupo B Métodos Estadísticos de la Igeiería Tema 9: Iferecia Estadística, Estimació de Parámetros Grupo B Área de Estadística e Ivestigació Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragó Abril 200 Coteidos...............................................................

Más detalles

2. LEYES FINANCIERAS.

2. LEYES FINANCIERAS. TEMA 1: CONCEPTOS PREVIOS 1. INTRODUCCIÓN. Se va a aalizar los itercambios fiacieros cosiderado u ambiete de certidumbre. El itercambio fiaciero supoe que u agete etrega a otro u capital (o capitales),

Más detalles

Estadística Descriptiva

Estadística Descriptiva Igacio Cascos Ferádez Dpto. Estadística e I.O. Uiversidad Pública de Navarra Estadística Descriptiva Estadística ITT Soido e Image curso 2004-2005 1. Defiicioes fudametales La Estadística Descriptiva se

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A)

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) IES Fco Ayala de Graada Juio de 01 (Geeral Modelo 6) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 01 MODELO (COMÚN) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) -1-1 1 Sea las matrices A =

Más detalles

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0 Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada

Más detalles

APLICACIONES LINEALES.

APLICACIONES LINEALES. APLICACIONES LINEALES. INTODUCCIÓN: APLICACIONES ENTE CONJUNTOS. Ua aplicació etre dos cojutos A y B es ua regla que permite asigar a cada elemeto de A, uo de B. La aplicació del cojuto A e el cojuto B

Más detalles

ESTADÍSTICA BÁSICA. Discretas. Función de masa de probabilidad: P(X=x i ) Sólo se toma un conjunto finito valores {x 1, x 2,...}

ESTADÍSTICA BÁSICA. Discretas. Función de masa de probabilidad: P(X=x i ) Sólo se toma un conjunto finito valores {x 1, x 2,...} ESTADÍSTICA BÁSICA 1.) Coceptos básicos: Estadística: Es ua ciecia que aaliza series de datos (por ejemplo, edad de ua població, altura de u equipo de balocesto, temperatura de los meses de verao, etc.)

Más detalles

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS)

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA (DATOS AGRUPADOS) Los valores icluidos e u grupo de datos usualmete varía e magitud; alguos de ellos so pequeños y otros so grades. U promedio es u valor simple, el cual es cosiderado como el valor más represetativo o típico

Más detalles

Estimación puntual y por intervalos de confianza

Estimación puntual y por intervalos de confianza Ídice 6 Estimació putual y por itervalos de cofiaza 6.1 6.1 Itroducció.......................................... 6.1 6. Estimador........................................... 6. 6.3 Método de costrucció

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 014 MODELO OPIÓN A EJERIIO 1 (A) (1 75 putos) Represete gráficamete la regió

Más detalles

TEMA 3.- OPERACIÓN FINANCIERA

TEMA 3.- OPERACIÓN FINANCIERA . DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN. TEMA 3.- OPEACIÓN FINANCIEA Se deomia operació fiaciera a todo itercambio o simultáeo de capitales fiacieros pactado etre dos agetes, siempre que se verifique la equivalecia,

Más detalles

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante,

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante, 883 Aálisis matemático para Igeiería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPÍTULO 3 Métodos uméricos de u paso El objetivo de este capítulo es itroducir los métodos uméricos de resolució

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS 4º ESO º Trimestre Autor: Vicete Adsuara Ucedo INDICE Tema : Vectores e el Plao.. Ejercicios Tema 9 Tema : Depedecia Lieal...7 Ejercicios Tema. 0 Tema 3: El Plao Afí...... Ejercicios

Más detalles

0-3 2 0 4-2 -2 0-1 0-1 0-3-13-1

0-3 2 0 4-2 -2 0-1 0-1 0-3-13-1 IS Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 6) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A JRCICIO 1 ( putos) Sea las matrices: -1 4-1 - 1 5 - -6 A ; B 0-1 y C 0-1 1 0 1-0 -1 Determie X e la ecuació matricial

Más detalles

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2)

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2) Trasformada Z La trasformada Z es u método tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas cotiuos

Más detalles

7.2. Métodos para encontrar estimadores

7.2. Métodos para encontrar estimadores Capítulo 7 Estimació putual 7.1. Itroducció Defiició 7.1.1 U estimador putual es cualquier fució W (X 1,, X ) de la muestra. Es decir, cualquier estadística es ua estimador putual. Se debe teer clara la

Más detalles

Tema 9 Teoría de la formación de carteras

Tema 9 Teoría de la formación de carteras Parte III Decisioes fiacieras y mercado de capitales Tema 9 Teoría de la formació de carteras 9.1 El problema de la selecció de carteras. 9. Redimieto y riesgo de ua cartera. 9.3 El modelo de la media-variaza.

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA El campo de la estadística tiee que ver co la recopilació, presetació, aálisis y uso de datos para tomar decisioes y resolver problemas. Motgomery

Más detalles

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES Modelo PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN

Más detalles

Práctica 6: Vectores y Matrices (I)

Práctica 6: Vectores y Matrices (I) Foamets d Iformàtica 1r curs d Egiyeria Idustrial Práctica 6: Vectores y Matrices (I) Objetivos de la práctica El objetivo de las prácticas 6 y 7 es itroducir las estructuras de datos vector y matriz e

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5) IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 5) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 008 (MODELO 5) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A De las restriccioes que debe cumplir las

Más detalles

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON págia 171 Los productos otables tiee la fialidad de obteer el resultado de ciertas multiplicacioes si hacer dichas multiplicacioes. Por ejemplo, cuado se desea multiplicar los biomios cojugados siguietes:

Más detalles

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua

Más detalles

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones Trasformada Z La trasformada Z es u método para tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas

Más detalles

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento.

UNIDAD Nº 2. Leyes financieras: Interés simple. Interés compuesto. Descuento. UNIDAD Nº 2 Leyes fiacieras: Iterés simple. Iterés compuesto. Descueto. 2.1 La Capitalizació simple o Iterés simple 2.1.1.- Cocepto de Capitalizació simple Es la Ley fiaciera segú la cual los itereses

Más detalles

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso

Más detalles

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( puto) U taller de carpitería ha vedido 5 muebles, etre sillas, silloes y butacas, por u total de

Más detalles

Capítulo I. La importancia del factor de potencia en las redes. eléctricas

Capítulo I. La importancia del factor de potencia en las redes. eléctricas La importacia del factor de potecia e las redes eléctricas. Itroducció Las fuetes de alimetació o geeradores de voltaje so las ecargadas de sumiistrar eergía e las redes eléctricas. Estas so de suma importacia,

Más detalles

Muestreo. Tipos de muestreo. Inferencia Introducción

Muestreo. Tipos de muestreo. Inferencia Introducción Germá Jesús Rubio Lua Catedrático de Matemáticas del IES Fracisco Ayala Muestreo. Tipos de muestreo. Iferecia Itroducció Nota.- Puede decirse que la Estadística es la ciecia que se preocupa de la recogida

Más detalles

Análisis en el Dominio del Tiempo para Sistemas Discretos

Análisis en el Dominio del Tiempo para Sistemas Discretos OpeStax-CNX module: m12830 1 Aálisis e el Domiio del Tiempo para Sistemas Discretos Do Johso Traslated By: Erika Jackso Fara Meza Based o Discrete-Time Systems i the Time-Domai by Do Johso This work is

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: UNA VARIABLE Juliá de la Horra Departameto de Matemáticas U.A.M. 1 Itroducció Cuado estamos iteresados e estudiar algua característica de ua població (peso, logitud de las hojas,

Más detalles

BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalencia (transversales) 1) Características del diseño en un estudio de prevalencia, o transversal.

BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalencia (transversales) 1) Características del diseño en un estudio de prevalencia, o transversal. Departameto de Estadística Uiversidad Carlos III de Madrid BIOESTADISTICA (55-10536) Estudios de prevalecia (trasversales) CONCEPTOS CLAVE 1) Características del diseño e u estudio de prevalecia, o trasversal

Más detalles

Transformaciones Lineales

Transformaciones Lineales Trasformacioes Lieales 1 Trasformacioes Lieales Las trasformacioes lieales iterviee e muchas situacioes e Matemáticas y so alguas de las fucioes más importates. E Geometría modela las simetrías de u objeto,

Más detalles

Medidas de Tendencia Central

Medidas de Tendencia Central EYP14 Estadística para Costrucció Civil 1 Medidas de Tedecia Cetral La Media La media (o promedio) de ua muestra x 1, x,, x de tamaño de ua variable o característica x, se defie como la suma de todos los

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica.

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. págia 05. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto {,,, 4,

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

PRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O

PRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O PRIMERA SESIÓN Problema N l. l. Se cosidera la sucesió de úmeros reales defiida por la relació de recurreca: U +l = a U + ~ U -, co > O Siedo: a y ~ úmeros fijos. Se supoe tambié coocidos los dos primeros

Más detalles

ANÁLISIS Y RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS

ANÁLISIS Y RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS NÁLSS Y ESOLCÓN DE CCTOS. Las Leyes de Kirchhoff..- Euciado de las Leyes de Kirchhoff. Defiició de Nodo y Lazo Cerrado. Las Leyes de Kirchhoff so el puto de partida para el aálisis de cualquier circuito

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 1) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 1) Enunciado Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo 1) Euciado Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

Más detalles

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) =

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) = Pruebas de Acceso a Eseñazas Uiversitarias Oficiales de Grado (0) Materia: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumo deberá cotestar a ua de las dos opcioes propuestas A o B. Se podrá utilizar

Más detalles

El término de error en los esquemas de diferencias finitas

El término de error en los esquemas de diferencias finitas El térmio de error e los esquemas de diferecias fiitas Selee Solorza, Carlos Yee-Romero, Adia Jorda-Aramburo y Samuel Cardeña-Sáchez Facultad de Ciecias, Uiversidad Autóoma de Baja Califoria, Km. 103 carretera

Más detalles

TEMA 2 - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (I): LÍMITES Y CONTINUIDAD. 1. Conceptos topológicos previos en el espacio euclídeo R n.

TEMA 2 - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (I): LÍMITES Y CONTINUIDAD. 1. Conceptos topológicos previos en el espacio euclídeo R n. Fucioes de varias variables (I TEMA - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (I: LÍMITES Y CONTINUIDAD. Coceptos topológicos previos e el espacio euclídeo R. Sea R el espacio euclídeo de dimesioes. U puto a de

Más detalles

REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL

REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 375 REVISIÓN DE ALGUNOS INDICADORES PARA MEDIR LA DESIGUALDAD XAVIER MANCERO CEPAL 376 Revisió de alguos idicadores para medir desigualdad Medidas de Desigualdad Para medir el grado de desigualdad e la

Más detalles

8 Funciones, límites y continuidad

8 Funciones, límites y continuidad Solucioario 8 Fucioes, límites y cotiuidad ACTIVIDADES INICIALES 8.I. Copia y completa la siguiete tabla, epresado de varias formas los cojutos uméricos propuestos. Gráfica Itervalo Desigualdad Valor absoluto

Más detalles

LA TRANSFORMADA Z { } CAPÍTULO SEIS. T n n. 6.1 Introducción

LA TRANSFORMADA Z { } CAPÍTULO SEIS. T n n. 6.1 Introducción CAPÍTULO SEIS LA TRANSFORMADA Z 6. Itroducció E el Capítulo 5 se itrodujo la trasformada de Laplace. E este capítulo presetamos la trasformada Z, que es la cotraparte e tiempo discreto de la trasformada

Más detalles

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS APUNTES DOCENTES ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS PROFESORES: MARIN JAIMES CARLOS JAVIER SARMIENTO LUIS JAIME UNIDAD 3: EVALUACIÓN ECONÓMICA DE PROYECTOS DE INVERSIÓN EL VALOR PRESENTE NETO VPN Es ua

Más detalles

en. Intentemos definir algunas operaciones en

en. Intentemos definir algunas operaciones en OPERACIONES EN 8 E la secció aterior utilizamos fucioes de el primer couto y estudiar sus propiedades e Itetemos defiir alguas operacioes e Recordemos de cursos ateriores que tomamos al couto de los compleos

Más detalles

CADENAS DE MARKOV. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida

CADENAS DE MARKOV. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida CADENAS DE MARKOV Itroducció U proceso o sucesió de evetos que se desarrolla e el tiempo e el cual el resultado e cualquier etapa cotiee algú elemeto que depede del azar se deomia proceso aleatorio o proceso

Más detalles

TEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones.

TEMA 28: Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones. MATEMÁTICAS Represetació Gráica de Fucioes 1 TEMA 28: Estudio global de ucioes Aplicacioes a la represetació gráica de ucioes Esquema: Autor: Atoio Pizarro Sácez 1 Itroducció 2 Domiio de deiició y recorrido

Más detalles

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

PRUEBAS DE HIPÓTESIS PRUEBAS DE HIPÓTESIS E vez de estimar el valor de u parámetro, a veces se debe decidir si ua afirmació relativa a u parámetro es verdadera o falsa. Vale decir, probar ua hipótesis relativa a u parámetro.

Más detalles

Planificación contra stock

Planificación contra stock Plaificar cotra stock 5 Plaificació cotra stock Puede parecer extraño dedicar u tema al estudio de métodos para plaificar la producció de empresas que trabaja cotra stock cuado, actualmete, sólo se predica

Más detalles

CAL. CONTROL Y ASEGURAMIENTO DE CALIDAD

CAL. CONTROL Y ASEGURAMIENTO DE CALIDAD MCAL103/03 LIBRO: PARTE: TÍTULO: CAL. CONTROL Y ASEGURAMIENTO DE CALIDAD 1. CONTROL DE CALIDAD 03. Aálisis Estadísticos de Cotrol de Calidad A. CONTENIDO Este Maual cotiee los procedimietos para aalizar,

Más detalles

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales. QUÉ ES UN RNSFORMCIÓN? E térmios geerales, ua trasformació es ua fució que permite trasformar u vector que perteece a u espacio vectorial (domiio)

Más detalles

ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES

ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES Las medidas de PML a ser implemetadas, se recomieda e base a las opcioes de PML calificadas como ecoómicamete factibles.

Más detalles

b. La primera parte del apartado es igual al apartado a, con la diferencia de que el segundo medio es agua.

b. La primera parte del apartado es igual al apartado a, con la diferencia de que el segundo medio es agua. Septiembre 0. Preguta B.- Se tiee u prisma rectagular de vidrio de ídice de refracció,4. Del cetro de su cara A se emite u rayo que forma u águlo a co el eje vertical del prisma, como muestra la figura.

Más detalles

ANEXO I ANEXO I CONCEPTOS SÍSMICOS BÁSICOS

ANEXO I ANEXO I CONCEPTOS SÍSMICOS BÁSICOS AEXO I COCEPTOS SÍSMICOS BÁSICOS E este aeo se compila alguos de los coceptos sísmicos básicos pero ecesarios. Se itroduce los tipos de movimietos vibratorios, así como su descripció y otació matemática.

Más detalles

16 Distribución Muestral de la Proporción

16 Distribución Muestral de la Proporción 16 Distribució Muestral de la Proporció 16.1 INTRODUCCIÓN E el capítulo aterior hemos estudiado cómo se distribuye la variable aleatoria media aritmética de valores idepedietes. A esta distribució la hemos

Más detalles

Análisis de Señales y Sistemas Digitales. Concepto Algoritmo Implementación

Análisis de Señales y Sistemas Digitales. Concepto Algoritmo Implementación Aálisis de Señales y Sistemas Digitales FFT Cocepto Algoritmo Implemetació 2010 FFT Trasformada Rápida de Fourier Cocepto La trasformada rápida de fourier (FFT) es u algoritmo que permite él cálculo eficiete

Más detalles

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004 Solució del eame de Ivestigació Operativa de Sistemas de septiembre de 4 Problema (,5 putos: Ua marca de cereales para el desayuo icluye u muñeco de regalo e cada caja de cereales. Hay tres tipos distitos

Más detalles

2. SEGMENTACIÓN DE OBJETOS.

2. SEGMENTACIÓN DE OBJETOS. RECONOCIMIENTO DE MATERIALES PLÁSTICOS A TRAVÉS DE TÉCNICAS DE VISIÓN ARTIFICIAL EN COLOR AL OBJETO DE SU IMPLEMENTACIÓN EN UNA LÍNEA DE TRIAJE DE UNA E.R.S.U. Martíez de Salazar Martíez, Erique p, Jaramillo

Más detalles

Midiendo el Desempeño

Midiendo el Desempeño Midiedo el Desempeño Prof. Mariela J. Curiel H. Midiedo el Desempeño Qué variables se desea medir Cuáles so las herramietas dispoibles Qué tecicas se utiliza para calcular los parámetros de etrada de u

Más detalles

Dada una secuencia g[n] se define su transformada Z (TZ) directa G(z), como. La relación entre la secuencia y su transformada se denota por:

Dada una secuencia g[n] se define su transformada Z (TZ) directa G(z), como. La relación entre la secuencia y su transformada se denota por: Tema 4. Trasformada Z. La trasformada Z para sistemas discretos desempeña u papel aálogo a la trasformada de Laplace para sistemas cotiuos. os va a permitir represetar la relació etrada salida de u sistema

Más detalles

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta.

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta. . POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS E este capítulo vamos a tratar de expoer distitas técicas para hallar las potecias aturales de matrices cuadradas. Esta cuestió es de gra importacia y tiee muchas aplicacioes

Más detalles

MODELO PARA EL ESTUDIO DEL REEMPLAZO DE UN EQUIPO PRODUCTIVO

MODELO PARA EL ESTUDIO DEL REEMPLAZO DE UN EQUIPO PRODUCTIVO FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA MODELO PARA EL ESTUDIO DEL REEMPLAZO DE UN EQUIPO PRODUCTIVO FERNANDO ESPINOSA FUENTES Necesidad del reemplazo. Si se matiee u riesgo durate u tiempo

Más detalles

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL Ezequiel Uriel DEFINICIONES Matriz Ua matriz de orde o dimesió p- o ua matriz ( p)- es ua ordeació rectagular de elemetos dispuestos e filas y p columas de la siguiete forma:

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 1) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 1) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 007-008 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN A

Más detalles

La volatilidad implícita

La volatilidad implícita La volatilidad implícita Los mercados de opcioes ha evolucioado bastate desde los años setetas, época e la que ue publicada la órmula de Black Scholes (BS). Dicha órmula quedó ta arraigada e la mete de

Más detalles

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1 RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- II FUNDAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA Tema 3- Parte I Etapas del Modelo de Markowitz I. DETERMINACIÓN DEL CONJUNTO DE POSIBILIDADES DE INVERSIÓN - Se

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 5)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 5) SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 01 (MODELO 5) OPIÓN A EJERIIO 1_A ( 5 putos) U comerciate dispoe de 100 euros para comprar dos tipos de mazaas A y B. Las del tipo A las compra a 0 60 euros/kg

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2008 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna 12 2 = 3 12. , es decir IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo Juio) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 008 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A 0 a b Sea las matrices A= y B= 0 6 a) ( 5 putos)

Más detalles

Los sistemas operativos en red

Los sistemas operativos en red 1 Los sistemas operativos e red Objetivos del capítulo Coocer lo que es u sistema operativo de red. Ver los dos grupos e que se divide los sistemas oeprativos e red. Distiguir los compoetes de la arquitectura

Más detalles

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA MATERIA: FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA CUADERNO DE PRÁCTICAS DE INGENIERÍA MECÁNICA CURSO 009/0. (Segudo cuatrimestre) Prof. Pedro Luís Gómez Sáchez Prof.

Más detalles

Desigualdades. José H. Nieto (jhnieto@yahoo.com)

Desigualdades. José H. Nieto (jhnieto@yahoo.com) Desigualdades José H. Nieto jhieto@yahoo.com). Itroducció Las desigualdades juega u rol fudametal e matemática. Existe libros completos dedicados a su estudio, y e las competecias iteracioales de problemas

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 1) OPCIÓN A

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 1) OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2012 (Modelo 1 ) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 1) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A -1-6 -1 1 2 a 0 1 Sea las matrices A

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució LITERATURA Y MATEMÁTICAS El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía cuidadosamete los

Más detalles

METODOLOGÍA UTILIZADA EN LA ELABORACIÓN DEL ÍNDICE DE PRECIOS AL POR MAYOR EN LA REPÚBLICA DE PANAMÁ I. GENERALIDADES

METODOLOGÍA UTILIZADA EN LA ELABORACIÓN DEL ÍNDICE DE PRECIOS AL POR MAYOR EN LA REPÚBLICA DE PANAMÁ I. GENERALIDADES METODOLOGÍA UTILIZADA EN LA ELABORACIÓN DEL ÍNDICE DE PRECIOS AL POR MAYOR EN LA REPÚBLICA DE PANAMÁ I. GENERALIDADES La serie estadística de Ídice de Precios al por Mayor se iició e 1966, utilizado e

Más detalles

MEDIDAS DE RESUMEN. Jorge Galbiati Riesco

MEDIDAS DE RESUMEN. Jorge Galbiati Riesco MEDIDAS DE RESUMEN Jorge Galbiati Riesco Las medidas de resume sirve para describir e forma resumida u cojuto de datos que costituye ua muestra tomada de algua població. Podemos distiguir cuatro grupos

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SEPTIEMBRE 013 MODELO OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) Sea R la regió factible defiida por las iecuacioes x 3y, x 5, y 1. (0 5 putos) Razoe si el puto (4 5,1 55) perteece

Más detalles

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras

Más detalles

Asignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales

Asignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales Asigatura: Geometría I Grado e Matemáticas. Uiversidad de Graada Tema 2. Espacios vectoriales Prof. Rafael López Camio Uiversidad de Graada 14 de diciembre de 2012 Ídice 1. Espacio vectorial 2 2. Subespacio

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A)

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Geeral Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 014 MODELO (COMÚN) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 a Sea las matrices A = y

Más detalles

La contribución de la clase de Computación a la introducción y desarrollo de conceptos elementales de Matemática Numérica en el nivel medio.

La contribución de la clase de Computación a la introducción y desarrollo de conceptos elementales de Matemática Numérica en el nivel medio. La cotribució de la clase de Computació a la itroducció y desarrollo de coceptos elemetales de Matemática Numérica e el ivel medio. MsC. Rubé Rodríguez Ramos Lic. Eric Crespo Hurtado Dr. C. Tomás Crespo

Más detalles

Sucesiones numéricas.

Sucesiones numéricas. SUCESIONES 3º ESO Sucesioes uméricas. Ua sucesió es u cojuto ordeado de úmeros reales: a 1, a 2, a 3, a 4, Cada elemeto de la sucesió se deomia térmio, el subídice es el lugar que ocupa e la sucesió. El

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2009 (Modelo 3 Junio) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna+

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2009 (Modelo 3 Junio) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna+ IES Fco Ayala de Graada Sobrates 009 (Modelo 3 Juio) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua+ MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 009 (MODELO 3) SELECTIVIDAD ANDALUCÍA OPCIÓN A EJERCICIO 1 Sea la igualdad A X + B = A, dode

Más detalles

ANÁLISIS DE LA DESIGUALDAD DE LA RENTA EN GRANADA, A PARTIR DE LOS DATOS DE LA E.P.F. Y DIFERENTES ESTIMACIONES DE LA CURVA DE LORENZ

ANÁLISIS DE LA DESIGUALDAD DE LA RENTA EN GRANADA, A PARTIR DE LOS DATOS DE LA E.P.F. Y DIFERENTES ESTIMACIONES DE LA CURVA DE LORENZ ANÁLISIS DE LA DESIGUALDAD DE LA RENTA EN GRANADA, A PARTIR DE LOS DATOS DE LA E.P.F. Y DIFERENTES ESTIMACIONES DE LA CURVA DE LORENZ Rafael Herrerías Pleguezuelo - rherreri@plato.ugr.es Rosa Mª García

Más detalles

Aproximando la iluminación por módems

Aproximando la iluminación por módems Aproimado la ilumiació por módems A.L. Bajuelos S. Caales, G. Herádez A. M. Martis Resume E este artículo obteemos solucioes aproimadas a ua geeralizació del problema clásico de ilumiació de polígoos.

Más detalles

Apuntes De Análisis Numérico.

Apuntes De Análisis Numérico. Aputes De. Prof. Alberto Agarita. Departameto De Ciecias Básicas, Uidades Tecológicas de Satader. y P 1 (x) P 2 (x) P 3 (x) P i (x) P (x) P(x) I 1 I 2 I 3 I x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x x P(x) = P 1 (x) P 2 (x)

Más detalles