GENERACIÓN DE SUB-DOMINIOS LOCALES DE INTERPOLACIÓN EN UN MÉTODO SIN MALLA GENERATION OF LOCAL INTERPOLATION SUB-DOMAINS IN MESHLESS METHODS

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1 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007, pp GENERACIÓN DE SUB-DOMINIOS LOCALES DE INERPOLACIÓN EN UN MÉODO SIN MALLA GENERAION OF LOCAL INERPOLAION SUB-DOMAINS IN MESHLESS MEHODS Nicolás Ipiza Carrasco 1, 2 Fraco Perazzo Maggi 1 Jua Arada Pasté 1, 2 Luis Pérez Pozo 1, 2 Recibido 15 de juio de 2006, aceptado 8 de mayo de 2007 Received: Jue 15, 2006 Accepted: May 8, 2007 RESUMEN Ua de las pricipales vetajas de utilizar u método si malla es la posibilidad de realizar aálisis uméricos si la ecesidad de efectuar u proceso de partició o subdivisió del domiio e elemetos más pequeños. Si embargo, la utilizació de putos o partículas para discretizar u cuerpo requiere de ua estrategia para seleccioar aquellos putos que formará parte de los sub-domiios de iterpolació local de la solució, tambié llamados ubes. El presete trabajo muestra el desarrollo e implemetació de ua técica para la geeració de los sub-domiios de iterpolació para u método si malla. Para validar la correcta implemetació de la técica propuesta, se llevará a cabo simulacioes e el campo de la elasticidad lieal de sólidos 3D mediate u programa umérico basado e la formulació teórica del Método de Putos Fiitos (MPF). Palabras clave: Métodos si malla, método de putos fiitos, ubes de iterpolació local. ABSRAC he absece of grids i meshless methods removes the burde associated to them i the modellig process. Nevertheless a adequate strategy for the selectio of poits which will be used i the iterpolatio sub domais (clouds) is required. his work presets the developmet ad applicatio of such a strategy. Correspodig validatios are preseted through simulatios i the field of 3D liear elasticity, performed with a meshless program based i the Fiite Poit Method techique. Keywords: Meshless methods, fiite poit method, local iterpolatio of clouds. INRODUCCIÓN El desarrollo de métodos uméricos si malla o libre de malla platea ua forma alterativa de solució e alguos problemas de la mecáica computacioal, que tradicioalmete puede ser resueltos mediate técicas uméricas como el Método de Elemetos Fiitos (MEF) o el de Volúmees Fiitos. La ausecia e estos métodos de ua malla de elemetos o de elemetos dismiuye el tiempo ivertido e la preparació de la iformació ecesaria para el cálculo y tiee vetajas sobre todo e geometrías 3D dode es ecesario cotar co u geerador de malla eficiete y robusto [11]. La maera de realizar la iterpolació local de la fució aproximada y la forma de obteer el sistema de ecuacioes difereciales discretas que gobiera el problema ha dado lugar a dos clases de métodos si malla, la primera basada e smooth particle hydrodyamics procedures [19] y la seguda basada e geeralized fiite differece techiques [11, 17], para mayor referecia y detalles de otros métodos si malla ver [15]. E el Método de Putos Fiitos (MPF) [2-4], la aproximació local se obtiee mediate la técica estádar de míimos cuadrados poderados, utilizádose 1 Departameto de Mecáica. Uiversidad écica Federico Sata María. Aveida España Valparaíso, Chile. icolas.ipiza@usm.cl, fraco.perazzo@usm.cl 2 Aula UFSM-CIMNE. Departameto de Mecáica. Uiversidad écica Federico Sata María. Aveida España Edif. C-246. Foo: (56-32) Valparaíso, Chile. jua.aradap@usm.cl, luis.perez@usm.cl 204 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007

2 Ipiza, Perazzo, Arada y Pérez: Geeració de sub-domiios locales de iterpolació e u método si malla colocació putual para obteer el sistema de ecuacioes discretas, es decir, se utiliza el cojuto de ecuacioes difereciales directamete, si ecesidad de costruir ua forma débil o realizar itegracioes alguas sobre el domiio [18]. La cosistecia y covergecia del método ha sido aalizada co aterioridad por los autores, verificádose u correcto comportamieto del método para problemas tato de mecáica de fluidos como de sólidos, fudametalmete e 2D [4, 5, 7, 9 y 14]. E el presete trabajo se aaliza y desarrolla ua técica para la geeració de sub-domiios locales de iterpolació o ubes e 3D, basada e ua triagulació local de Delauay. Esta importate etapa comprede desde la modelació geométrica de la pieza a aalizar, hasta la geeració de ubes para todo el domiio. Los ejemplos desarrollados e geometrías 3D demuestra u correcto comportamieto de la solució umérica del MPF cuado se utiliza la técica de geeració de ubes propuesta e este trabajo. FORMULACIÓN DEL MÉODO DE PUNOS FINIOS Sea I el subdomiio de iterpolació de ua fució u(x) y s j co j=1,2,, ua colecció de putos co coordeadas x j I. El subídice I e las expresioes idetifica aquel puto de la ube, dode se requiere evaluar la aproximació, tambié deomiado odo estrella. La fució icógita u(x) puede ser aproximada e el iterior de I por m u( x) u ( x) p l ( x) l p ( x) I l1 x, x (1) I dode = [ 1 2 m ], y el vector p(x), llamado base de iterpolació, cotiee típicamete moomios que asegura e el espacio de coordeadas ua base completa. Por ejemplo e 3D, las bases más usadas so las siguietes: p [ 1, x, y, z, x, xy, xz, y, yz, z ] p [ 1, x, y, z, x, xy, xz, y, yz, z, x y, x z, xy, xyz, xz, y z, yz ] p [ 1, x, y, z, x, xy, xz, y, yz, z, x, x y, x z, xy, xyz, xz, y, y z, yz, z ] (2) 2 La fució icógita u(x) puede ser evaluada e los putos de la ube I, obteiedo h u h h h u u 1 1 p 1 C h u h u p dode u u( x ) j j so las icógitas, pero los valores buscados u j u ( x ) so los valores aproximados y j p j = p(x j ). E ua aproximació mediate elemetos fiitos el úmero de putos e el subdomiio se escoge de forma que m =. E este caso, C es ua matriz cuadrada y el procedimieto coduce a las fucioes estádares del método de elemetos fiitos. Si > m, la aproximació utilizada o se puede adaptar a todos los valores de u j h. El problema puede ser resuelto determiado los valores de û, que miimice la suma de las distacias al cuadrado o error e cada puto, poderado por ua fució (x I x j ), es decir h I I j j l1 2 j J ( x x )( u u( x )) míimo (3) (4) La fució de poderació utilizada e el MPF correspode a la fució de Gauss ormalizada. Reemplazado la aproximació (1) e (4) y miimizado respecto de, se obtiee 1 h 1 1 I I I I C u, C A B (5) dode las compoetes de A(x I ) = A 1 (matriz de mometos) y B(x I ) = B I so A p ( x ) ( x x ) p ( x ) i, j 1,..., m I ij i k I k j k k1 B I p ( x ) ( x x ) i 1,..., m j 1,..., ij i j I j (6) Substituyedo de la ecuació (5) e (1), la aproximació fial adopta la siguiete forma. h u ( x) p ( x) C 1 u x (7) I I co m = 10, 17 y 20 respectivamete. Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2,

3 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007 co las fucioes de forma i I I N ( x) p ( x) C 1 i 1,..., (8) Se debe otar que de acuerdo co el carácter de míimos cuadrados de la aproximació u( x ) u ( x ) u h j j j (9) es decir, los valores locales de la fució aproximada o coicide co los valores odales de la fució icógita. De todas formas û es ua aproximació válida, co la cual se busca satisfacer la ecuació diferecial y codicioes de cotoro, siedo u j h simplemete parámetros descoocidos. CONCEPO DE GENERACIÓN DE NUBES Detro de todo método umérico libre de malla hay tres procesos básicos presetes: proceso de iterpolació o aproximació local, proceso de poderació y fialmete discretizació de la fució objetivo. Se puede observar e [8] que las etapas citadas determia la importacia de la geeració de sub-domiios locales o ubes de putos y defie e gra maera la calidad del cálculo posterior. E u método libre de malla, el domiio de aálisis debe quedar descrito completamete a través de odos. Ua vez obteida la totalidad de los putos, tato del cotoro como del domiio iterior, se procede co el proceso propio de geeració de ubes. E la figura 1 se preseta u ejemplo del cocepto de ubes de putos. ÉCNICAS DE GENERACIÓN DE NUBES Los ivestigadores dedicados a los métodos libres de malla ha propuesto diversas técicas geométricas de geeració de ubes, [6, 11-13, 16-17]. La metodología seguida e el presete trabajo está basada e la ivestigació de Löher [14]. Para aplicar la técica propuesta de geeració de ubes, se requiere dos aspectos fudametales, por u lado la lista de putos que discretiza la geometría y por otro la triagulació de la superficie. Ua vez obteida esta iformació se procede a determiar las ubes de putos. Ua técica fácil de implemetar está basada e el criterio de míima distacia [12], e el cual los putos que coforma la ube queda detro de u círculo de radio R I y cetrado e el odo estrella, a priori o resulta fácil defiir el valor de R I de modo de coseguir u úmero suficiete de putos; si embargo, el mayor icoveiete es coseguir ua ube adecuada, o lo más simétrica posible; ver figura 2a. (a) (b) (c) Figura 2. Geeració local de subdomiios, a) criterio Figura 2. Geeració local de subdomiios, a) criterio míima distacia, b) criterio de ocho segmetos y c) criterio de cuatro cuadrates Figura 1. Cocepto de ubes de putos. Figura 1. Cocepto de ubes de putos. Ua seguda técica deomiada por sus autores como eight segmet criterio [11], cosiste e subdividir el etoro que rodea al odo estrella co ocho segmetos 206 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007

4 Ipiza, Perazzo, Arada y Pérez: Geeració de sub-domiios locales de iterpolació e u método si malla y seleccioar por cada segmeto el odo más cercao; ver figura 2b. U tercer método deomiado como four quadrat criterio [17], cosiste e utilizar u sistema cartesiao de ejes e el odo estrella y escoger los dos más cercaos a éste por cada cuadrate. E estos dos últimos métodos se puede coseguir ubes de mejor calidad, si embargo, debe ser modificados para la obteció de los sub-domiios para odos de la superficie y cercaos a ésta, ver figura 2c. riagulació de Delauay La técica empleada e el presete trabajo se basa e ua triagulació local de Delauay, la cual es ampliamete utilizada debido a lo equilibrada de la distribució obteida, esta permite coectar el odo estrella co sus vecios más próximos mediate tetraedros (caso 3D) [20]. Los pasos importates de esta técica so: (a) (c) (b) (d) Defiir u sistema local de ejes cartesiaos, cetrado e el odo estrella, para idetificar aquellos putos más próximos al orige por cada octate, ver figura 3a. Formar co el odo estrella los tetraedros iiciales; ver figura 3b. Para cada tetraedro se geera ua esfera circuscrita; ver figura 3c. Se verifica la NO existecia de putos iteriores adicioales detro de la esfera; ver figura 3c. E caso de existir u puto iterior se elimia el tetraedro iicial y se crea dos uevos tetraedros co el puto más cercao al odo estrella; ver figura 3d. Se repite este proceso para todos los putos perteecietes al domiio local; ver figura 3e Fialmete se escoge los putos más cercaos o que aporta más iformació al odo estrella; ver figura 3f. GENERACIÓN DE NUBES Y VECORES NORMALES A cotiuació se detalla las etapas ivolucradas e la geeració de ubes 3D. Geeració iicial de putos que discretiza la geometría La geeració iicial de putos que discretiza todo el domiio del problema y la triagulació de la superficie se obtiee a partir del programa comercial de Pre y Post proceso GID M. (e) (e) (f) (f) Figura 3. Geeració local de subdomiios mediate la triagulació de Delauay. Cálculo de la regió local de búsqueda de putos para cada subdomiio de iterpolació o ube La regió local de búsqueda de putos es u cubo de lado L, cetrado e el odo estrella que se calcula de la siguiete forma: L V 3 (10) dode V es el volume de la regió local, es el Nº de putos coteidos e ella (este se cosidera costate e igual a u úmero arbitrario de putos, el cual se defie previamete) y la desidad de putos de esta regió. Se cosidera que la desidad de putos es costate para todo el volume de la geometría, por tato este parámetro tambié es costate para cada ua de las regioes locales. Se calcula e base a la catidad de putos totales de la discretizació y el volume del paralelepípedo que ecierra a la geometría del problema. Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2,

5 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007 Búsqueda de putos cercaos La búsqueda para los putos cercaos se realiza usado la regió local calculada ateriormete tal como se muestra e las figuras 4a y 4b. Luego, detro de cada regió se verifica la catidad de putos; si el úmero de putos cercaos ecotrados es demasiado pequeño, la regió de búsqueda se agrada e u 30%. Por el cotrario, si demasiados putos fuero ecotrados, la regió de búsqueda se reduce e u 15%. Se repite este procedimieto, hasta que u úmero aceptable de putos cercaos sea ecotrado. La técica descrita ateriormete permite geerar ubes para problemas e geometrías complejas, co presecia de cocavidades a lo largo del cotoro de la pieza. a) Búsqueda de caras cercaas La búsqueda de caras cercaas se realiza usado la regió local utilizada e la etapa aterior. Mediate el aálisis de vértices y baricetros de las caras respectivas, se procede a verificar si estos putos perteece o o a la regió local respectiva; ver figura 4b. b) Filtrado caras cercaas Luego de almaceadas las caras correspodietes a cada odo estrella, se debe elimiar aquellas que el odo estrella i, o pueda ver. Esto se puede observar e la figura 4c, dode sólo queda las caras que cumple co la codició descrita. c) Filtrado putos cercaos La búsqueda para los putos cercaos puede etregar alguos ubicados e el lado icorrecto de u límite segú lo mostrado e la figura 4c. Estos putos so llamados putos iválidos. Esta situació sucede co frecuecia para las esquias agudas, zoas cócavas y e geeral para cualquier geometría compleja co ubes desas de putos. Las caras cercaas obteidas previamete se puede utilizar para filtrar los putos más lejaos. Por lo tato, cualquier puto j que al crear el segmeto de recta puto j: puto i itersecte ua de las caras cercaas, se quita de la lista, dejado sólo los putos e el lado correcto del límite; ver figura 4d. riagulació de Delauay Se geera los tetraedros mediate la técica de Delauay detro del domiio local de búsqueda. Ua vez obteida ua ube prelimiar de putos alrededor del odo estrella, se determia la catidad requerida de putos que coforma ésta. Este ítem se relacioa co el tamaño de la base de iterpolació usada; ver ecuació (2). d) Figura 4. Esquema de geeració de sub-domiio local para odo estrella i. Cálculo del vector ormal perteeciete a cada puto de la superficie Ua vez obteidos los putos perteecietes a la ube, se procede a calcular los vectores ormales correspodietes a cada uo de los putos de la superficie de la discretizació, 208 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007

6 Ipiza, Perazzo, Arada y Pérez: Geeració de sub-domiios locales de iterpolació e u método si malla para ello se utiliza la triagulació de la superficie obteida a partir del programa GID M. E primer lugar se determia los triágulos vecios al puto dode se desea determiar el vector ormal; ver figura 5. Luego se calcula el vector ormal de cada uo de los triágulos vecios y se procede a calcular el vector del puto de iterés de la siguiete forma dode, i c i ˆ ˆ (11) c es el vector ormal del puto de iterés y c el vector ormal de cada uo de los triágulos alrededor de este puto. los límites del cuerpo tridimesioal. Esto o quiere decir bajo igua circustacia que la técica trasgreda la filosofía meshless, ya que la técica umérica de cálculo sólo cosidera los odos que discretiza la geometría [14]. Los triágulos que defie los cotoros sólo so utilizados e la correcta geeració de ubes que se ecesita. El trabajo se ha llevado a cabo teiedo como geerador de la geometría al software de Pre y Post proceso GID M. Es sobre la base de la iformació que puede etregar éste que se elaboraro las distitas etapas de la geeració de ubes. E la figura 6 se muestra ua geometría 3D particular, co su respectiva discretizació del cotoro mediate triágulos. Ua vez obteidos los putos que discretiza la geometría y los triágulos que describe el cotoro, correspode la etapa de búsqueda de putos y caras cercaas a cada odo estrella, tato del cotoro, como del domiio. Figura 5. Cálculo de vector ormal para putos superficie. IMPLEMENACIÓN DEL GENERADOR DE NUBES PROPUESO Para implemetar el geerador de ubes 3D, se ecesita la siguiete iformació geométrica de la pieza a aalizar: 1. La lista de putos que describe la geometría, tato del cotoro como del domiio. 2. La lista de triágulos que defie la superficie del cotoro que ecierra el cuerpo a aalizar. Es importate poer éfasis e este último puto y mecioar que para el desarrollo de la técica de geeració de ubes propuesta es ecesaria ua triagulació o mallado de la superficie que represeta el cotoro de la geometría, ya que de esta maera se defie co precisió Figura 6. Cotoro de rueda detada recta, discretizada a través de triágulos. Luego de obteer los putos y caras cercaos como se muestra e la figura 4b, hay que filtrar los putos iválidos correspodietes a esta primera búsqueda. Para la elimiació de putos iválidos se debe filtrar las caras que el odo estrella o puede ver. Se utiliza para ello el siguiete algoritmo [10]: DO: triágulos almaceados Obteer vector ormal del triágulo aputado hacia el exterior ˆ Producto cruz etre dos lados del triágulo, cuidado de que apute hacia el exterior. Luego ormalizar el vector obteido. Obteer vector que ue al odo estrella i co el baricetro del triágulo v Bai Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2,

7 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007 Obteer producto puto etre ˆ y v Ba i Obteer águlo etre ˆ y v Ba i COS 1 ˆ v ˆ v Bai Bai Verificar si 90º Se matiee el triágulo. 90º Se elimia el triágulo. END DO E la figura 7 se puede observar esta técica de elimiació de caras e ua aalogía 2D. Figura 7. Elimiació de caras que el odo estrella o Figura 7. Elimiació de caras que el odo estrella o puede ver. Luego de esta etapa, se procede a elimiar los putos iválidos de la ube prelimiar. La técica de elimiació se basa e el segmeto de recta que ue el odo estrella co cada puto a aalizar. Si esta itersecta algua de las caras cercaas al odo estrella, se dispoe la elimiació del puto respectivo. El detalle del algoritmo [10] es el siguiete: DO: putos j de la ube prelimiar Obteer segmeto de recta L ij, uiedo el odo estrella i, co odo j examiado. DO:riágulos almaceados (vértices a,b,c) Obteer vector ormal del triágulo ˆ Calcular el puto P, que itersecta el plao del triágulo, co la proyecció de la recta L ij IF: Puto P o perteece al segmeto de recta L ij CYCLE Verificar si puto P perteece a la regió del triágulo Calcular los putos medios de cada lado del triágulo M ab, M ac, M bc Obteer tres vectores uiedo el puto P, co los putos medios M de cada lado, MP ab, MP ac,. MPbc Calcular los tres vectores ormales iteriores a cada lado del triágulo ˆ, ˆ, ˆ ab ac bc. Calcular producto puto para cada lado respectivo MP ˆ, MP ˆ, MP ˆ. MP ab ˆ 0 MP ab ac ˆ 0 ac ab ab ac ac bc bc IF: y y MP bc ˆ 0 bc HEN Puto P perteece a la regió del triágulo ELSE Puto P o perteece a la regió del triágulo END IF IF: Puto P perteece a la regió del triágulo HEN Elimiar puto j EXI DO END IF END DO END DO E la figura 8 se ilustra globalmete el proceso de elimiació de caras y putos iválidos de la ube del odo i. Ua vez defiida la ube correspode verificar la catidad de odos que la coforma, teiedo e cueta el tamaño de la base de iterpolació que se utilizará. El criterio para añadir o elimiar odos es la distacia etre éstos y el odo estrella. 210 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007

8 Ipiza, Perazzo, Arada y Pérez: Geeració de sub-domiios locales de iterpolació e u método si malla Figura 9. Mésula. Modelo geométrico y discretizació e putos. Figura 8. Proceso de elimiació de odos iválidos de la ube del odo estrella i. EJEMPLO DE GENERACIÓN DE NUBES A cotiuació se ilustrará u ejemplo para visualizar el tipo de sub-domiio geerado co el algoritmo propuesto. Mésula Este elemeto tridimesioal fue utilizado como ejemplo de aplicació del geerador de ubes e el espacio. La discretizació fue llevada a cabo mediate odos, como se ilustra e la figura 9. La figura 10 muestra la ube correspodiete al odo estrella 633, la cual tambié está ubicada e ua zoa cócava de la pieza. Como se puede observar, la ube geerada muestra u bue comportamieto e cuato a presecia de putos iválidos. Figura 10. Nube del odo estrella 633. Vista alzada de la geometría. Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2,

9 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007 EJEMPLOS NUMÉRICOS Se desarrollaro dos ejemplos uméricos para validar las ubes geeradas co el algoritmo propuesto. Estos ejemplos fuero aalizados mediate u código si malla (MPF), el cual recibe las ubes geeradas para luego esamblar y resolver el sistema de ecuacioes de elasticidad. Cilidro empotrado e tracció simple Los datos de este ejemplo so los que se ilustra e la figura 11. Segú esto, el máximo desplazamieto e la direcció del esfuerzo se determia co 4 * L* P 2 E * * d (12) Reemplazado los valores mostrados e la figura 11, se tiee que Figura 11. Cilidro empotrado e tracció simple. Datos geométricos, material y codicioes de carga. 4* 0. 3* e11* * * 10 [ m ] (13) Al modelar esta geometría co ta sólo 738 putos y posteriormete geerar las ubes, se obtiee los resultados ilustrados e las figuras 12 y 13. Se puede verificar que el error cometido respecto al máximo desplazamieto e la direcció del esfuerzo, es de 0,42%, mietras que los esfuerzos e el eje z se preseta costates. El esfuerzo e el eje z correspode a u valor costate e igual a 1.273*10 08 [Pa]. Figura 12. Cilidro empotrado e tracció: cotoros de desplazamieto e la direcció del esfuerzo aplicado. Mésula Esta pieza mecáica se aalizó co u esfuerzo e direcció logitudial e el orificio cetral. ambié se prescribe u desplazamieto ulo, para poder simular presecia de peros sujetadores e los lugares correspodietes. Esta codició, y la discretizació e triágulos y putos de la geometría, se muestra e la figura 14. Para este ejemplo, la mésula se discretizó e putos. Los resultados uméricos obteidos se ilustra e las figuras E la figura 15 se puede cotrastar la solució e cuato a desplazamieto, e la direcció del esfuerzo aplicado, cuado se utiliza el MPF y el MEF. E las figuras 16-19, se muestra los cotoros de desplazamieto y los esfuerzos, además de la geometría deformada respectivamete. Figura 13. Cilidro empotrado e tracció: cotoros de esfuerzo e la direcció del esfuerzo aplicado Otro aspecto iteresate por ivestigar correspode a la calidad de las ubes geeradas e los cotoros de Neuma, ya que es e estos putos dode se cocetra los mayores porcetajes del error, de la solució umérica que se obtiee co el MPF. 212 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007

10 Ipiza, Perazzo, Arada y Pérez: Geeració de sub-domiios locales de iterpolació e u método si malla Figura 16. Cotoros de esfuerzo e direcció del esfuerzo aplicado, obteidos co MPF. Figura 17. Cotoros de desplazamieto e direcció trasversal a la direcció del esfuerzo aplicado, obteidos co MPF. Figura 14. Mésula: Codicioes de cotoro y discretizació e triágulos y putos. Figura 18. Geometría deformada (MPF) Discretizació e putos. (a) Figura 15. Comparació e cotoros de desplazamieto e la direcció del esfuerzo aplicado, etre a) MPF y b) MEF. Figura 19. Proceso de deformació de la pieza (MPF). (Cotiúa). Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2,

11 Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007 (b) [2] E. Oñate, S. Idelsoh, O.C. Ziekiewicz ad. Fisher. A fiite poit method for aalysis of fluid flow problems. Proceedigs of the 9th It. Coferece o Fiite Elemet Methods i Fluids. Veize, Italy, pp [3] E. Oñate ad S. Idelsoh. A mesh free fiite poit method for advective-diffusive trasport ad fluid flow problems. Computatioal Mechaics. Nº 21, pp Figura 19. Proceso de deformació de la pieza (MPF). CONCLUSIONES E cuato a la geeració de sub-domiios de iterpolació o ubes, se puede observar que para geometrías reales y complejas, el algoritmo propuesto cumple eficazmete los requerimietos de ubes si presecia de putos iválidos. Mediate ejemplos geométricos se comprobaro las virtudes del código propuesto para la geeració de ubes, e especial e piezas sólidas co particularidades geométricas cócavas. Cosiderado que las ubes so geeradas para problemas e 3D, y que además preseta u correcto comportamieto geométrico, se visualiza como futura líea de ivestigació, u estudio sobre la utilizació eficiete de las estructuras de datos para la geeració de ubes. AGRADECIMIENOS Los autores agradece el soporte etregado para la realizació del presete trabajo a CONICY mediate el proyecto Fodecyt y a la DGIP de la UFSM a través del proyecto USM De la misma forma los autores agradece al Cetro Iteracioal de Métodos Numéricos e Igeiería (CIMNE), de Barceloa, España, la utilizació del Pre y Post procesador GID M. REFERENCIAS [1] E. Oñate, S. Idelsoh ad O.C. Ziekiewicz. Fiite poit method i computatioal mechaics. Research Report. Nº 67. CIMNE. Barceloa, España [4] E. Oñate, F. Perazzo ad J. Miquel. Advaces i stabilized fiite poit method for structural mechaics. Report Nº 164 CIMNE. Barceloa, España [5] E. Oñate, F. Perazzo ad J. Miquel. A fiite poit method for elasticity problems. Computers & Structures. Vol. 79, pp [6] E. Oñate ad S. Idelsoh. A fiite poit method for icompressible flow problems. Computig ad Visualizatio i Sciece [7] F. Perazzo, J. Miquel ad E. Oñate. El método de putos fiitos para problemas de la diámica de sólidos. Revista Iteracioal de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño e Igeiería. Vol. 20 N 3. Uiversitat Politécica de Cataluya. Barceloa, España [8] F. Perazzo. Ua metodología umérica si malla para la resolució de las ecuacioes de elasticidad, mediate el método de Putos Fiitos. esis para optar al grado de doctor. Uiversitat Politécica de Cataluya. Barceloa, España [9] F. Perazzo, S. Oller, J. Miquel ad E. Oñate. Avaces e el método de Putos Fiitos para la mecáica de sólidos. Revista Iteracioal de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño e Igeiería. Uiversitat Politécica de Cataluya. Vol. 22 Nº 2, pp Barceloa, España [10] N. Ipiza. Desarrollo e implemetació de la capacidad de modelar geometrías 3D e el método si malla de Putos Fiitos. esis para optar al título de Igeiero Mecáico. Departameto de Mecáica. Uiversidad écica Federico Sata María. Satiago, Chile [11] N. Perroe ad R. Kao. A geeral fiite differece method for arbitrary meshes. Computers & Structures. Vol. 5, pp Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2, 2007

12 Ipiza, Perazzo, Arada y Pérez: Geeració de sub-domiios locales de iterpolació e u método si malla [12] P.S. Jese. Fiite differece techique for variable grids. Computers & Structures. Vol. 2, pp [13] R. Löher. Some Useful Data Structure for the Geeratio of Ustructured Grids. Commuicatios ad Applied Numerical Methods [14] R. Löher, C. Sacco, E. Oñate ad S. Idelsoh. A fiite poit method for compressible flow. Iteratioal Joural for Numerical Methods i Egieerig. Vol. 53, pp [15]. Belytschko, Y. Krogauz, D. Orga, M. Flemig ad P. Krysl, Meshless Method: A overview ad recet developmets. Computer Method i Applied Mechaics ad Egieerig. Vol. 139, pp [16]. Liszka, C.A. Duarte ad W. worzydlo. Hp- Meshless cloud method. Computers Methods i Applied Mechaics ad Egieerig. Vol. 139, pp [17]. Liszka ad J. Orkisz. he fiite differece method at arbitrary irregular grids ad its applicatio i applied mechaics. Computers & Structures. Vol. 11, pp [18] O. Ziekiewicz y R. aylor. El método de los elemetos fiitos. Las bases. Quita edició. Vol [19] L. Lucy. A umerical approach to the testig of the fissio hypothesis. he Astromical Joural. Vol. 82 Nº 12, pp [20] N. Weatherill, K. Morga ad O. Hassa. A itroductio to mesh geeratio. Joh Wiley & Sos Igeiare. Revista chilea de igeiería, vol. 15 Nº 2,