Sexta Edición. Di Rienzo, Julio Alejandro. Casanoves, Fernando. Gonzalez, Laura Alicia. Tablada, Elena Margot. Díaz, María del Pilar

Transcripción

1 Estadística para las Ciencias Agropecuarias Sexta Edición Di Rienzo, Julio Alejandro Casanoves, Fernando Gonzalez, Laura Alicia Tablada, Elena Margot Díaz, María del Pilar Robledo, Carlos Walter Balzarini, Mónica Graciela

2 SEXTA EDICIÓN Primera Impresión EDICIÓN ELECTRÓNICA Julio Di Rienzo Fernando Casanoves by Di Rienzo, Julio Alejandro; Casanoves, Fernando; Gonzalez, Laura Alicia; Tablada, Elena Margot; Díaz, María del Pilar; Robledo, Carlos Walter; Balzarini, Mónica Graciela. ISBN: xxx-xxxx-xx-x Queda hecho el depósito que prevé la ley Queda prohibida la reproducción total o parcial de este libro en forma idéntica o modificada por cualquier medio mecánico o electrónico, incluyendo fotocopia, grabación o cualquier sistema de almacenamiento y recuperación de información no autorizada por los autores.

3 Prólogo La estadística aplicada ha tenido un gran florecimiento en los últimos 0 años y hoy es parte del lenguaje científico cotidiano. Aunque el tratamiento estadístico de los resultados experimentales no es un seguro contra los hallazgos casuales, es un gran avance en ese sentido y representa una formidable herramienta para la interpretación de datos, no solo poniendo restricciones a la percepción caprichosa de la información, sino guiando metodológicamente su indagación. La enseñanza de la estadística en las ciencias agropecuarias no es un tributo a la modernidad sino una larga tradición que se origina en los trabajos de Fisher que, a comienzos del siglo XX, sentaron las bases de la estadística aplicada a la experimentación agrícola. La sexta edición es el resultado de un trabajo de reorganización de contenidos, selección y actualización de ejemplos y reformulación de problemas de las ediciones anteriores. Es el resultado de la experiencia docente y de la interacción con sus principales destinatarios, los alumnos. Esta edición también se ha enriquecido incluyendo los diseños en parcelas divididas, nuevos ejercicios y la inclusión, en la sección de Ejercicios Resueltos, de soluciones basadas en el uso del paquete estadístico InfoStat para ejercicios seleccionados de los capítulos 4, 8, 9 y 10. Como en otras ediciones, hemos incorporado varias sugerencias de distintos colegas que, en distintas universidades argentinas, utilizan este material como soporte de sus cursos de grado. Córdoba, Argentina, 005

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5 Índice de Contenidos 1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA... 1 INTRODUCCIÓN... 1 POBLACIÓN... MUESTRA... VARIABLES... 3 Tipos de variables...4 MUESTREO ALEATORIO SIMPLE... 6 RESUMEN DE LA INFORMACIÓN MUESTRAL... 7 Tablas de distribución de frecuencias y gráficos para variables discretas...8 Tablas de distribución de frecuencias y gráficos para variables continuas...1 MEDIDAS RESUMEN DE LA INFORMACIÓN MUESTRAL Medidas de posición...16 Medidas de dispersión...17 OTROS TIPOS DE MUESTREOS Muestreo Estratificado...19 Muestreo por Conglomerados...0 Muestreo por Captura y Recaptura...1 REPRESENTACIONES GRÁFICAS... 1 Gráfico de Barras...3 Diagramas de Torta...5 Diagramas de Caja ( Box Plot )...6 Diagrama de puntos ( Dot-Plot )...8 Histogramas y Polígonos...30 Diagramas de Tallo y Hojas...30 Diagramas de Dispersión...31 Diagramas de Líneas...3 Q-Q Plots...33 EJERCICIOS VARIABLES ALEATORIAS INTRODUCCIÓN ESPACIO MUESTRAL - EVENTOS PROBABILIDAD Probabilidad según Kolmogorov...45 I

6 Índice de contenidos Probabilidad: Concepto Frecuencial...47 Probabilidad: Concepto Clásico...48 EVENTO ALEATORIO CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Función de Distribución Acumulada...51 Función de Densidad...53 Función de densidad de una variable aleatoria discreta...53 Función de densidad de una variable aleatoria continua...54 MEDIDAS RESUMEN DE LA DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Esperanza de una variable aleatoria...56 Propiedades de la esperanza...57 Varianza de una variable aleatoria...59 Cuantiles de una variable aleatoria...6 EJERCICIOS MODELOS ESTADÍSTICOS: DISTRIBUCIÓN NORMAL Y OTRAS DISTRIBUCIONES INTRODUCCIÓN DISTRIBUCIÓN NORMAL La Función de Densidad Normal...69 Estandarización...7 Función de Distribución Acumulada Normal...74 OTRAS DISTRIBUCIONES FUNCIONES DE DENSIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Distribución Uniforme Discreta...77 Distribución Bernoulli...78 Distribución Binomial...80 Distribución Binomial Negativa...8 Distribución Geométrica...85 Distribución Hipergeométrica...86 Distribución Poisson...89 Distribución Multinomial...90 FUNCIONES DE DENSIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Distribución Uniforme...91 Distribución Gamma...9 Distribución Exponencial...93 II

7 Índice de contenidos Distribución Chi-Cuadrado...94 EJERCICIOS DISTRIBUCIÓN DE ESTADÍSTICOS MUESTRALES INTRODUCCIÓN DISTRIBUCIÓN DEL ESTADÍSTICO MEDIA MUESTRAL Teorema Central del Límite Distribución T de Student Distribución de la diferencia de dos medias muestrales...11 DISTRIBUCIÓN ASOCIADA AL ESTADÍSTICO VARIANZA MUESTRAL EJERCICIOS ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS INTRODUCCIÓN CONCEPTO DE ESTIMACIÓN ESTIMACIÓN PUNTUAL Propiedades clásicas de los buenos estimadores...16 Insesgamiento...16 Consistencia...17 Eficiencia...18 ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA Procedimiento general para encontrar un intervalo de confianza para un parámetro Estimación de la esperanza de una variable aleatoria normal Caso 1: Se conoce la varianza σ Caso : No se conoce la varianza σ CÁLCULO DEL TAMAÑO MUESTRAL PARA OBTENER UN INTERVALO DE CONFIANZA PARA µ CON UNA AMPLITUD DETERMINADA EJERCICIOS CONTRASTE DE HIPÓTESIS INTRODUCCIÓN PROCEDIMIENTO DE LA PRUEBA DE HIPÓTESIS ERRORES CÁLCULO DE LA PROBABILIDAD DE COMETER ERROR DE TIPO II (β) EFECTOS DE LAS VARIACIONES DE LA REGIÓN DE RECHAZO SOBRE β EFECTO DE LAS VARIACIONES DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA SOBRE β POTENCIA DE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS CURVA DE POTENCIA III

8 Índice de contenidos RELACIÓN ENTRE ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPÓTESIS EJERCICIOS INFERENCIA SOBRE LA ESPERANZA Y LA VARIANZA DE VARIABLES ALEATORIAS DISTRIBUIDAS NORMALMENTE INTRODUCCIÓN PRUEBA DE HIPÓTESIS ACERCA DE UNA ESPERANZA Caso 1: Se conoce la varianza σ Caso : No se conoce la varianza σ PRUEBA DE HIPÓTESIS ACERCA UNA VARIANZA ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE UNA VARIANZA PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DOS VARIANZAS PRUEBA DE HIPÓTESIS Y ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE DOS ESPERANZAS Caso 1: Las varianzas son conocidas Caso : Las varianzas son desconocidas Caso -a: Las varianzas son desconocidas e iguales Caso -b: Las varianzas son desconocidas y diferentes Caso 3: Dos muestras no independientes Prueba T para observaciones apareadas EJERCICIOS ANÁLISIS DE LA VARIANZA INTRODUCCIÓN DEFINICIONES PRELIMINARES EL ANÁLISIS DE LA VARIANZA DE EFECTOS FIJOS A UN FACTOR DE CLASIFICACIÓN Fundamentos del análisis de la varianza de efectos fijos Cuadrados medios y prueba de hipótesis La partición de la suma de cuadrados y la tabla del ANAVA PRUEBAS "A POSTERIORI" El test de Tukey Prueba de Fisher VERIFICACIÓN DE SUPUESTOS DEL ANÁLISIS DE LA VARIANZA EJERCICIOS IV

9 Índice de contenidos 9 ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL INTRODUCCIÓN ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL ESTIMACIÓN DE LA RECTA DE REGRESIÓN. MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS ESTIMACIONES Y PREDICCIONES INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA ESPERANZA CONDICIONAL DE Y INTERVALO DE PREDICCIÓN DE Y DADO X INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA ORDENADA AL ORIGEN INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PENDIENTE PRUEBAS DE HIPÓTESIS EN REGRESIÓN LOS SUPUESTOS DEL ANÁLISIS DE REGRESIÓN VALOR PREDICTIVO DEL MODELO DE REGRESIÓN ANÁLISIS DE CORRELACIÓN LINEAL PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE ρ EJERCICIOS DISEÑO DE EXPERIMENTOS... 7 INTRODUCCIÓN... 7 ELEMENTOS DEL DISEÑO DE EXPERIMENTOS... 7 Experimento...7 Unidad experimental...7 Factores y Tratamientos...8 Modelo para las observaciones...8 Fuentes de Error...9 Aleatorización...9 Repetición...30 Precisión...31 Estructura de parcelas...31 Algunos diseños clásicos...3 Completamente aleatorizado...3 Bloques completos aleatorizados...33 Cuadrado latino...36 Estructura de tratamientos...38 Experimentos Factoriales...39 Parcelas Divididas...47 EJERCICIOS V

10 Índice de contenidos 11 ANÁLISIS DE DATOS CATEGÓRICOS INTRODUCCIÓN ANÁLISIS DE TABLAS DE CONTINGENCIA Tablas de contingencia a un criterio de clasificación...60 Tablas de contingencia a criterios de clasificación (marginales libres)...6 Tablas de Contingencia a criterios de clasificación (marginales fijos)...64 EJERCICIOS BIBLIOGRAFÍA TABLAS ESTADÍSTICAS RESPUESTAS A ALGUNOS EJERCICIOS IMPARES VI

11 Índice de Definiciones Definición 1.1: Población... Definición 1.: Tamaño poblacional... Definición 1.3: Muestra... Definición 1.4: Unidad muestral...3 Definición 1.5: Tamaño muestral...3 Definición 1.6: Variable...4 Definición 1.7: Muestreo aleatorio simple...6 Definición 1.8: Frecuencia absoluta...8 Definición 1.9: Media muestral o promedio...16 Definición 1.10: Cuantil muestral...16 Definición 1.11: Mediana muestral...16 Definición 1.1: Moda muestral...17 Definición 1.13: Rango muestral...17 Definición 1.14: Varianza muestral...18 Definición 1.15: Desviación Estándar muestral...18 Definición 1.16: Coeficiente de variación muestral...18 Definición 1.17: Promedio ponderado...19 Definición.1: Espacio muestral...43 Definición.: Punto muestral o evento elemental...44 Definición.3: Evento...44 Definición.4: Eventos mutuamente excluyentes...44 Definición.5: Medida de Probabilidad (Kolmogorov, 1937)...45 Definición.6: Probabilidad condicional...46 Definición.7: Independencia de Eventos...46 Definición.8: Probabilidad: concepto frecuencial...47 Definición.9: Probabilidad: concepto clásico...48 Definición.10: Evento aleatorio...48 Definición.11: Variable aleatoria...49 Definición.1: Función de distribución acumulada...51 Definición.13: Función de densidad de una v.a. discreta...53 Definición.14: Función de densidad de una v.a. continua...54 Definición.15: Esperanza de una v.a. discreta...56 Definición.16: Esperanza de una v.a. continua...57 Definición.17: Varianza de una v.a. discreta...60 VII

12 Definiciones Definición.18: Varianza de una v.a. continua...60 Definición.19: Coeficiente de variación Definición.0: Cuantil...6 Definición 3.1: Variable aleatoria normal...69 Definición 3.: Estandarización...7 Definición 3.3: Función de densidad normal estándar...7 Definición 3.4: Distribución Uniforme Discreta Definición 3.5: Distribución Bernoulli...79 Definición 3.6: Distribución Binomial...81 Definición 3.7: Distribución Binomial Negativa (para k entero) Definición 3.8: Distribución Geométrica Definición 3.9: Distribución Hipergeométrica Definición 3.10: Distribución Poisson...89 Definición 3.11: Distribución Multinomial...91 Definición 3.1: Distribución Uniforme...91 Definición 3.13: Distribución Gamma...9 Definición 3.14: Distribución Exponencial Definición 3.15: Distribución Chi-Cuadrado...94 Definición 4.1: Error Estándar Definición 5.1:Estimación y estimador puntual...16 Definición 5.: Insesgamiento...16 Definición 5.3: Consistencia...17 Definición 5.4: Eficiencia...18 Definición 5.5: Amplitud del intervalo de confianza Definición 6.1: Nivel de significación Definición 6.: Región o zona de rechazo Definición 6.3: Región o zona de no rechazo Definición 6.4: Puntos críticos...14 Definición 6.5: Potencia de una prueba Definición 7.1: Distribución F Definición 8.1: Unidad experimental Definición 8.: Tratamiento Definición 8.3: Variable aleatoria observada o respuesta Definición 8.4: Repetición Definición 8.5: Modelo lineal Definición 8.6: Cuadrado Medio Dentro o del Error Definición 8.7: Cuadrado Medio Entre o Cuadrado Medio de Tratamiento VIII

13 Definiciones Definición 8.8: Residuo Definición 9.1: Modelo de regresión lineal simple...01 Definición 9.: Coeficientes de regresión muestral...05 Definición 9.3: Coeficiente de determinación muestral...16 Definición 9.4: Coeficiente de correlación lineal...18 Definición 9.5: Coeficiente de correlación lineal muestral de Pearson...18 Definición 10.1: Experimento...7 Definición 10.: Diseño de la estructura de parcelas...3 Definición 10.3: Estructura de Tratamientos...39 Definición 11.1: Variable categórica...55 IX

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15 1 1 Estadística Descriptiva Introducción El registro de observaciones es una práctica común en el marco de la investigación. Estas observaciones surgen como resultado de un proceso de observación bajo condiciones dadas o de un proceso experimental. Si, por ejemplo, se registraran las temperaturas mínimas diarias ocurridas en la década del 80, suponiendo un total de 3650 días, podríamos pensar que existió un proceso natural cuya realización definió la temperatura efectivamente registrada en cada uno de los 3650 días. Situaciones como ésta conducen a los conocidos estudios observacionales. En otras circunstancias, las observaciones son el resultado de la provocación de un fenómeno, o experimento, bajo condiciones controladas. A modo de ejemplo, se podría considerar la aplicación de distintos insecticidas en bandejas con 100 insectos, en cada una de las cuales se registra el número de insectos muertos. Situaciones como éstas son conocidas como estudios experimentales. Generalmente la información registrada en un proceso de observación es tratada, en un primer momento, con el objetivo de describir y resumir sus características más sobresalientes. Esto se conoce como estadística descriptiva y generalmente se basa en el uso de tablas y gráficos, y en la obtención de medidas resumen. El objetivo de este capítulo es reconocer la población y las variables relevantes en un proceso de observación o de experimentación, caracterizar y describir muestras de las poblaciones mediante medidas resumen, tablas de frecuencias y representaciones gráficas y conocer algunas metodologías de extracción de muestras. Antes de abordar el problema de describir un conjunto de observaciones se verán algunos conceptos básicos que permiten la introducción de los procedimientos estadísticos. 1

16 Estadística Descriptiva Población Definición 1.1: Población Una población es un conjunto de elementos acotados en un tiempo y en un espacio determinados, con alguna característica común observable o medible. Desde el punto de vista agronómico: 1. A qué elementos hace referencia la definición? Los elementos considerados podrían ser días, animales, semillas, plantas, personas o localidades de una cierta región.. Por qué acotar en tiempo y espacio? Dependiendo de los intereses en juego, suele ser necesario recortar el problema, o especificar claramente los alcances o fronteras del problema en estudio, ya que dentro de estos márgenes todo lo que se diga o afirme tendrá validez, y fuera de ellos no. Por ejemplo, consideremos el hecho de la estacionalidad de las precipitaciones dentro del año, y la existente entre años. Se conoce acabadamente que existen grupos de años secos y grupos de años húmedos. Más aún, que su alternancia tiene cierta frecuencia de ocurrencia. Por ello cuando estudiemos las precipitaciones acumuladas durante el mes de diciembre, será necesario especificar a qué grupo de años estamos refiriéndonos, para que lo que se analice pueda ser correctamente interpretado. El término espacio, por otro lado, puede tener en la práctica distintas connotaciones, cuestión que con el tiempo (desde el punto de vista cronológico) no ocurre. Así el espacio puede denotar una región, un volumen determinado, un lote, etc. Definición 1.: Tamaño poblacional Si la población es finita, diremos que el tamaño poblacional es el número de elementos de la misma y lo denotaremos con N. Muestra Generalmente es imposible o impracticable examinar alguna característica en la población entera, por lo que se examina una parte de ella y en base a la información relevada en esa porción se hacen inferencias sobre toda la población. Definición 1.3: Muestra Se entiende por muestra a todo subconjunto de elementos de la población.

17 Estadística Descriptiva Definición 1.4: Unidad muestral Una unidad muestral es el elemento o entidad de la muestra. Definición 1.5: Tamaño muestral Tamaño muestral es el número de elementos de la población que conforman la muestra y se denota con n. El problema es cómo debe ser seleccionada esa parte de la población que proveerá la información acerca de la o de las características buscadas de manera tal que puedan obtenerse conclusiones. Vale la pena hacer una reflexión acerca del comentario, que respecto del tamaño muestral, hace uno de los más conocidos estudiosos del muestreo. Es clásico (y cómico) el personaje que después de pasar 10 días en un país extranjero está en condiciones de criticar la industria, reformar su sistema político, etc. Pero en realidad la diferencia que existe entre este personaje y el estudioso de ciencias políticas, que vive 0 años en ese país dedicado a estudiarlo, es que el primero basa sus conclusiones en una muestra mucho más pequeña y es menos consciente de su ignorancia (Cochran, 1981). En este capítulo se presentan algunas técnicas para la obtención de muestras de una población y las formas principales de resumir la información que éstas proveen. En los capítulos siguientes se verá cómo, a partir de los resúmenes muestrales, se puede estimar o inferir acerca de los parámetros distribucionales (estadística inferencial). Variables Las observaciones o mediciones sobre los elementos de una población constituyen la materia prima con la cual se trabaja en Estadística. Para que dichas observaciones puedan ser tratadas estadísticamente deben estar expresadas o poder ser reexpresadas en términos numéricos. Aunque sea obvio, se destaca que la característica de interés a observar o medir en cada elemento de la población debe ser la misma, en tanto que se espera que no asuma el mismo valor en cada uno de los elementos que la conforman. Aquellas características que van cambiando en su estado o expresión entre los elementos de la población se denominan "variables", mientras que aquellas que no cumplen esta condición son llamadas "constantes". 3

18 Estadística Descriptiva Definición 1.6: Variable Una variable es una característica, propiedad o atributo, con respecto a la cual los elementos de una población difieren de alguna forma. Para denotar a una cierta variable se utilizan letras mayúsculas, y con la misma letra en minúscula se hace referencia a un valor en particular observable en un elemento de la población, y al que se suele llamar dato. Así, por ejemplo, si X denota el número de semillas germinadas en un conjunto de bandejas de germinación, x denotará el número de semillas germinadas observadas en una de aquellas bandejas, siendo utilizado un subíndice para hacer referencia a un valor en particular. Así, x 0 representa el número de semillas germinadas observadas en la bandeja número 0. Esta notación se suele generalizar, utilizando como subíndices letras minúsculas desde la i en adelante y luego indicando el rango de posibles valores que puede adoptar el subíndice para establecer cuántos datos se consideran en el problema. A modo ilustrativo se presentan algunos ejemplos de notación con subíndices: a) x i, i=1,...,6 hace referencia taxativamente a los valores observados x 1, x, x 3, x 4, x 5, y x 6, no interesando otros si existieran. b) x i, i=1,... en este caso i puede valer a partir de 1 en adelante y hasta infinito. c) x i, i=0,1,... en este caso i puede valer desde cero hasta infinito. Nota: En la práctica el término infinito, simbolizado por, significará valores inconmensurables (negativos o positivos), sea para el subíndice (como en los casos b y c) como para los datos propiamente dichos (por ejemplo - < x i < ). A fines ilustrativos, suponga que en la década de 1980 se registraron las temperaturas mínimas de los 3650 días. Siguiendo con la notación introducida, X hace referencia a las temperaturas mínimas en la década 80 y x i, i=1,...,3650 a las efectivamente registradas. En particular, x 11 denotará el valor de temperatura mínima registrado en el día 11 del período considerado; así, si en dicho día la temperatura mínima fue de -3. grados centígrados, escribiremos x 11 = -3., y de esta forma se indica la temperatura de cualquier día en particular. De una manera general se suele denotar a un conjunto de n observaciones por {x 1, x,...,x n }, donde x n hace referencia al último término de la serie de datos. En el ejemplo anterior, n es Tipos de variables Se llamará variable continua a aquella característica cuyas observaciones pueden asumir cualquier valor dentro de un intervalo. En estos casos el conjunto de posibles 4

19 Estadística Descriptiva valores es no numerable 1. En otras palabras, existe una cantidad infinita de posibles valores para los resultados de la variable. Se puede describir el conjunto de posibles valores de una variable continua de distintas formas. Se suele seguir la siguiente convención: a) Un intervalo es cerrado si sus extremos pertenecen al mismo, lo que se denotará con corchetes, por ejemplo, [a, b] denota al conjunto de todos los x tal que a x b. b) Un intervalo es abierto si sus extremos no pertenecen al mismo, lo que se denotará con paréntesis, por ejemplo, (a, b) denota al conjunto de todos los x tal que a < x < b. c) Un intervalo es semi-cerrado (o semi-abierto) si uno de sus extremos no pertenece al mismo, lo que se denotará con el corchete y el paréntesis que corresponda. Por ejemplo, (a, b] denota al conjunto de todos los x tal que a<x b, en tanto [a, b) = {x : a x < b}. Es necesario no confundir el tamaño (cardinalidad) del conjunto observado, con el del conjunto de posibles valores a observar. El primero puede ser finito (es decir, es posible establecer cuántos elementos lo conforman) en tanto el segundo puede ser infinito. En el caso de las temperaturas mínimas que se presentó, el rango de posibles valores podría ser -5 C x -1 C, un intervalo continuo, y por lo tanto con infinitos valores posibles de ser observados, en tanto que el tamaño de la población considerada es de 3650 días. En la práctica ocurre que los instrumentos de medición producen un redondeo del verdadero valor que presenta el elemento a medir, según la precisión que acrediten. Pero no por ello se deberá decir que el rango de posibles valores es finito. Si el termómetro con que se realizan las mediciones de las temperaturas mínimas mide en C con decimales de precisión, entre 1 C x 5 C existirían ( ) + 1 = 401 datos posibles, no obstante esta variable es de tipo continua. Se llaman variables discretas, en contraposición a las variables continuas, a aquellas características que asumen un número finito o infinito numerable de valores posibles. Así, las variables discretas surgen de conteos, como por ejemplo el número de días hasta la germinación del 50% de las semillas de una bandeja, número de colonias de microorganismos sobre plantas enfermas, el número de frutos de un árbol, el número de mazorcas en plantas de maíz, etc. Se llaman variables categóricas, en contraposición a las variables cuantitativas, a 1 Se dice que un conjunto es infinito numerable si cada uno de sus elementos se asocia biunívocamente con un número natural, en caso contrario se dice que el conjunto es no numerable. 5

20 Estadística Descriptiva aquellas cuya escala de medida es un conjunto de categorías. Entre ellas podemos distinguir al menos: a) Categóricas nominales, como la orientación de los vientos, que se podrían considerar como Norte, Sur, Este, Oeste ; el color del tegumento de las semillas, el sexo, etc. b) Categóricas ordinales, como el grado de ataque de una virosis vegetal que puede ser "severo", "moderado" o "leve". Es importante señalar que las variables continuas se pueden discretizar (por ejemplo tomando intervalos) y así ser tratadas como discretas o, cuando una variable discreta asume una gran variedad de valores, como podría ser el caso de contar el número de pulgones en hojas de trigo, ésta puede ser tratada como una variable continua. Muestreo aleatorio simple Definición 1.7: Muestreo aleatorio simple El muestreo aleatorio simple es el método de selección de n unidades de una población de tamaño N de tal modo que cada una de las muestras posibles tenga la misma oportunidad de ser elegida (Cochran,1981). Para obtener una muestra aleatoria simple se enumeran las unidades de la población de 1 a N y posteriormente se extrae una serie de n números aleatorios entre 1 y N (tarea que se puede realizar usando una tabla de números aleatorios o mediante un programa de computación que produce una tabla semejante). Las unidades cuya numeración coincide con la serie de números seleccionados conformarán la muestra aleatoria. En este esquema muestral si una unidad muestral fue previamente seleccionada, entonces no puede ser seleccionada nuevamente. En cada extracción el proceso debe garantizar la misma oportunidad de selección a todos y cada uno de los elementos que no hayan N sido seleccionados aún. Por este método existen Cn n! formas posibles de obtener n N elementos de entre N. No obstante, sólo existen C n muestras (conjuntos diferentes) todas con igual oportunidad de ser extraídas. La probabilidad de cada muestra es entonces igual a 1 N C n. El método recibe también el nombre de muestreo sin restitución porque en la muestra no puede aparecer el mismo elemento repetido, es decir, que una vez que un elemento ha sido extraído no es restituido y por lo tanto no está disponible para la elección del próximo elemento de la muestra. 6

21 Estadística Descriptiva Por ejemplo, se tiene una población de seis elementos identificados como: a, b, c, d, e, f y se desea saber cuántas muestras posibles de tamaño 3 se pueden tomar de la misma utilizando un esquema de muestreo sin restitución. Si el tamaño poblacional es N = 6 y el de la muestra es n = 3, entonces el número de muestras posibles sin restitución es: 6 6! C 3 = = = = 0 (6-3)! 3! 36 6 La muestras posibles son las siguientes: a, b, c a, b, d a, b, e a,b, f a, c, d a, c, e a,c, f a, d, e a, d, f a, e, f b, c, d b, c, e b, c, f b, d, e b, d, f b, e, f c, d, e c, d, f c, e, f d, e, f En los puntos que siguen, cuando se haga referencia a muestra, se considerará solamente a la obtenida a partir de un muestreo aleatorio simple con restitución. En este tipo de muestreo la cantidad de formas posibles de extraer n elementos desde una población de tamaño N es igual a N n. Por ejemplo, si una población tiene elementos identificados con a y b y se quiere saber cuantas formas se tiene de extraer tres elementos, estas son 3 =8 y están dadas por: {aaa, aab, aba, baa, bba, bab, abb, bbb}. Nótese que aab, aba, y baa contienen los mismos elementos, por lo cual éstas constituyen la misma muestra (dos conjuntos con iguales elementos son indistinguibles) luego el total de muestras posibles es menor que N n pero en este caso las muestras no son todas igualmente probables (ver Capitulo ). Resumen de la información muestral Al registrar los resultados de un estudio observacional o experimental, se obtiene un número de observaciones que puede ser muy grande y su simple listado es de poca relevancia en el sentido interpretativo. Aunque a partir de dichos registros se puede encontrar la respuesta buscada, no están ordenados de manera tal que adquieran significado para el investigador. Es por esto deseable presentar las observaciones en forma resumida. 7

22 Estadística Descriptiva A los fines de ordenar, resumir y presentar la información, se utilizan tablas y gráficos apropiados para cada tipo de variable (variables numéricas, continuas o discretas, o bien, variables no numéricas o de naturaleza categórica), por lo que trataremos las distintas situaciones por separado. Tablas de distribución de frecuencias y gráficos para variables discretas Una tabla de distribución de frecuencias posee una columna que contiene los diferentes valores que toma la variable en estudio y otra columna que indica la frecuencia absoluta. Definición 1.8: Frecuencia absoluta Se denomina frecuencia absoluta al número de veces que el valor de la variable se repite en el conjunto de datos. Simbolizando con x i, i = 1,,3...m, a los distintos valores observados para la variable X y por n i a la frecuencia absoluta del valor x i, podemos agrupar los datos en una tabla de frecuencias de la siguiente manera : con n = n 1 + n + n n m = x i n i x 1 n 1 x n x m n m n m i= 1 n i, representando el número total de observaciones. Generalmente en una tabla de distribución de frecuencias no sólo se muestran las frecuencias absolutas, sino que también se incluyen las frecuencias relativas y las frecuencias acumuladas (absolutas y relativas), como es descripto en el ejemplo a continuación: Ejemplo 1.1 Un experimento consistió en contar el número de flores por planta de una muestra 8

23 n = 50 plantas. Los valores resultantes del conteo fueron los siguientes: Estadística Descriptiva Los datos así presentados son de difícil interpretación, por lo que conviene resumirlos como en la siguiente tabla: Tabla 1.1: Tabla de distribución de frecuencias para la variable número de flores por planta. i x i n i N i f i F i En esta tabla se puede ver que el número total de datos es 50, que las plantas con menos de 3 flores y con más de 9 son poco frecuentes y que plantas que tienen entre 6 y 8 flores son las más frecuentes. Esta tabla de frecuencias se construye de la siguiente forma: a) En la primera columna se colocan los valores de i = 1,...,m, donde m es el número de diferentes valores que asume la variable X. b) En la segunda columna se colocan los valores observados x i, diferentes entre sí, de la variable X que representa el número de flores por planta. c) En la tercera columna el número de veces que aparece cada valor, o sea, la frecuencia absoluta (n i ). d) En la cuarta columna se observan las frecuencias absolutas acumuladas, denotadas por N i. Éstas se definen como el valor que surge de la acumulación por fila de las correspondientes frecuencias absolutas, o sea: 9