Muestreo. Tipos de muestreo. Álvaro José Flórez. Febrero - Junio Facultad de Ingenierías. 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística

Transcripción

1 Muestreo Tipos de muestreo Álvaro José Flórez 1 Escuela de Ingeniería Industrial y Estadística Facultad de Ingenierías Febrero - Junio 2012

2 Introducción Todos los métodos probabilísticos de muestreo están soportados por la estructura del azar. Una gran ventaja de esto es que elimina la subjetividad que podría influir en la elección de las unidades que integrarán la muestra. El hecho de que una muestra esté basada en la probabilidad permitirá la aplicación de la inferencia estadística haciendo que las conclusiones obtenidas tengan validez.

3 Por qué muestrear? En muchas investigaciones sobre una población determinada es necesario el uso de la metodología del muestreo para llevarla a cabo. Algunas de las razones para ello pueden ser Población objeto de estudio es infinita o muy grande La observación de la característica analizada pone en peligro la existencia de la unidad misma. Costo de medición. Acceso a las unidades de estudio. La población es suficientemente homogénea como para que cualquier muestra dé una buena representación. Las muestras deben estar basadas en un diseño probabilístico de muestreo para inferir, de forma válida, dicha característica sobre la población con un margen de error y nivel de confianza.

4 Por qué muestrear? Error Muestral: Diferencia entre la realidad (parámetro) y la estimación basada en la muestra. Error no muestral: Se genera por el procedimiento del censo o muestreo durante la operación de recolección. Ejemplo: preguntas mal formuladas, mediciones mal realizadas, marcos muestrales imperfectos e inadecuados.

5 Algunas definiciones Población objeto de estudio En la determinación de una población objeto suelen intervenir tres elementos fundamentales que a su vez determinan la validez del estudio. El tiempo, el espacio y las características que deben cumplir las unidades que serán medidas. Marco Muestral Medio físico o digital que permite ubicar e identificar las unidades que pertenecen a la población objeto de estudio en una investigación. El muestreo probabilístico necesita dar a cada unidad de la población objeto de estudio una probabilidad diferente de cero para que sea seleccionada en la muestra que finalmente será estudiada o medida.

6 Algunas definiciones Unidad de estudio Es cada uno de los elementos de la población objeto sobre los cuales se realizan las mediciones u observaciones. Unidad de muestreo Es cada uno de los elementos que componen la población muestreada. Estas unidades cubren la población objeto y cada elemento de esta debe pertenecer a una sóla unidad de muestreo. Ejemplo: En un estudio para medir la incidencia de cierta enfermedad en cierto periodo de tiempo, en una determinada comunidad, es mas simple tomar una muestra de hogares que de personas. Los primeros generalmente pueden ser identificados con la ayuda de mapas o registros municipales, mientras que una identificación previa de las personas resulta ser más complejo.

7 De que depende el tamaño de una muestra? La precisión. el nivel de confianza. la variabilidad de la característica de interés. No depende directamente del tamaño de la población. a medida que crece la población, su tamaño pierde influencia sobre el tamaño de la muestra

8 De que depende el tamaño de una muestra? Tamaño de muestra (n) Tamaño de la población (N) N n

9 Tipos de muestreo Muestreo Probabilístico Todas las unidades seleccionadas para la muestra, tienen una probabilidad conocida de inclusión en ella y su selección se realiza mediante un proceso aleatorio. Algunos métodos de muestreo probabilístico son: Muestreo Aleatorio Simple (MAS) Muestreo Aleatorio Estratificado (MAE) Muestreo Sistemático (MSIS) Muestreo por Conglomerados (MCON) Muestreo Multietápico

10 Muestreo Aleatorio Simple (MAS) Se desea extraer un subconjunto de tamaño definido n de una población de tamaño N. En un MAS se debe garantizar que todos los posibles subgrupos de tamaño n de dicha población, tenga la misma probabilidad de ser seleccionados. Cada unidad de la población tiene la misma posibilidad de ser elegida que las demás para integrar la muestra La selección de una unidad cualquiera de la población no influye a la selección de otra unidad.

11 Muestreo Aleatorio Simple (MAS) Características La selección de unidades requiere de un marco de muestreo. Cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de selección (idéntica y conocida). La muestra se toma mediante un procedimiento aleatorio. Eficiente en poblaciones homogéneas. El procedimiento de selección es fácil.

12 Muestreo Aleatorio Simple (MAS) Inconvenientes La construcción de un marco muestral puede ser muy compleja (costosa) en muchas situaciones. Puede ser que no en todos los casos se obtenga una muestra representativa (poblaciones muy heterogéneas). Los errores de muestreo puede ser muy elevado en caso de que la población sea muy heterogénea.

13 Muestreo Aleatorio Simple (MAS) Procedimiento para seleccionar una muestra: 1 Seleccionar un marco de muestreo adecuado. 2 Asignar a cada elemento de la población un número de 1 hasta N. 3 Generar n números aleatorios diferentes comprendidos en el intervalo. 4 Los números así generados indican los elementos o unidades de la población que debemos incluir en la muestra.

14 Muestreo Aleatorio Simple (MAS) Si el parámetro a estimar es la media poblacional µ entonces su estimador es x Expresión de precisión: Mediante esta se establece por parte del investigador el máximo error de muestreo permitido. x µ δ Error de muestreo Expresión de confiabilidad Esta expresión establece para la precisión definida un nivel de confianza determinado P ( x µ δ) = 1 α

15 Muestreo Aleatorio Simple (MAS) Si se supone que la variable aleatoria x se distribuye normal, entonces se puede estandarizar en la expresión: ( ) x µ δ P = 1 α var( x) var( x) Ecuación fundamental: z 1 α/2 = δ var( x)

16 Muestreo Aleatorio Simple (MAS) Si se utiliza como estimador de var( x) a: var( x) = (1 f) S2 N n, donde f = n N, S2 N = 1 N 1 N (x i X) i=1

17 Muestreo Aleatorio Simple (MAS) Si se utiliza como estimador de var( x) a: var( x) = (1 f) S2 N n, donde f = n N, S2 N = 1 N 1 N (x i X) El tamaño de muestra puede ser calculado como: n 0 n = 1 + n 0 /N ; n 0 = S2 S N N 2 es una cantidad ( ) 2 δ desconocida que debe z α/2 estimarse i=1 El diseño óptimo de la muestra, en particular la determinación previa de su tamaño óptimo, sólo podría conseguirse a partir del conocimiento de la población. Paradoja de Friedman

18 Muestreo Aleatorio Simple (MAS) Cómo se estima la varianza poblacional para la variable analizada (SN 2 ) de forma adelantada?

19 Muestreo Aleatorio Simple (MAS) Cómo se estima la varianza poblacional para la variable analizada (SN 2 ) de forma adelantada? Mediante el uso de un estudio piloto aplicado sobre la población objetivo. Por conocimiento parcial de la distribución de la característica analizada (distribución). Mediante el juicio de expertos, los cuales se basan en estudios similares.

20 Muestreo Aleatorio Simple (MAS) En un MAS el tamaño de muestra se determina como (en caso que se quiera estimar µ): n = n 0 n 0 1+ n 0 N si n0 N < 0,05 si n0 N 0,05 n 0 = ( S 2 ) 2 δ z α/2

21 Muestreo Aleatorio Simple (MAS) En un MAS el tamaño de muestra se determina como (en caso que se quiera estimar µ): n = n 0 n 0 1+ n 0 N si n0 N < 0,05 si n0 N 0,05 n 0 = ( S 2 ) 2 δ z α/2 A mayor nivel de confianza, más grande es el tamaño de la muestra El máximo error tolerable influye inversamente en el tamaño de la muestra. Entre más heterogénea sea la población, el tamaño de muestra requerido será mayor.

22 Muestreo Aleatorio Simple (MAS) A mayor nivel de confianza, más grande es el tamaño de la muestra Tamaño de muestra (n) Nivel de Confianza

23 Muestreo Aleatorio Simple (MAS) El máximo error tolerable influye inversamente en el tamaño de la muestra Tamaño de muestra (n) Error de Estimación

24 Ejemplo En una comunidad integrada por casas se desea estimar el consumo promedio mensual de gas por vivienda con un nivel de confianza del 95 % y un error de muestreo de δ = 6.95m 3. Estudios anteriores para dicha comunidad permiten suponer que para el consumo mensual de gas en dicha comunidad Ŝ2 = Qué tamaño de muestra será necesario en este caso para llevar a cabo la correspondiente estimación?

25 Ejemplo En un lote de frascos para medicina, con una población de 8000 unidades, se desea estimar la media de la capacidad en centímetros cúbicos de los mismos. A través de un premuestreo de tamaño 35 se ha estimado que la desviación estándar es de 2cms 3. Si se quiere tener un error de muestreo máximo de 0.25cms 3 y un nivel de confianza del 95 %. De que tamaño debe de ser la muestra?

26 Ejemplo En un lote de frascos para medicina, con una población de 8000 unidades, se desea estimar la media de la capacidad en centímetros cúbicos de los mismos. A través de un premuestreo de tamaño 35 se ha estimado que la desviación estándar es de 2cms 3. Si se quiere tener un error de muestreo máximo de 0.25cms 3 y un nivel de confianza del 95 %. De que tamaño debe de ser la muestra? Si sólo se esta dispuesto a muestrear 200 frascos, Cuál es el error de muestreo que se estaría asumiendo? (manteniendo el nivel de confianza del 95 %) Si se desea mantener el error de muestreo en 0.25cms 3, Cuál es el nivel de confianza de la muestra? (asuma normalidad de la población)

27 Muestreo Aleatorio Simple (MAS) Si el parámetro a estimar es una proporción poblacional(p ) entonces su estimador es la proporción muestral ˆp y su varianza es: ( ) N n P (1 P ) var(ˆp) = N 1 n Por lo cual el tamaño de muestra puede calcularse de la siguiente forma: n = n (n 0 1)/N ; n 0 = P ( (1 ) P ) 2 δ z α/2 En situaciones prácticas se decide tomar P =0.5 para resolver el problema de su no-conocimiento (dicho valor produce la máxima varianza del estimador de P, cuando los otros factores que la determinan están constantes)

28 Muestreo Aleatorio Simple (MAS) Los pacientes que siguen tratamientos antidepresivos tienen alta probabilidad de abandonar dichos tratamientos y, por lo tanto, tener nuevas recaídas. En el hospital en donde se atendieron 600 pacientes con un nuevo fármaco denominado venlafaxina, el cual es suministrado una sola vez al día, se desea estimar el porcentaje de pacientes que abandonaron el tratamiento con un error del 6 %. Se cree para este tipo de pacientes que el porcentaje de abandono para el tratamiento está alrededor del 30 %. Cuántos pacientes tratados con el nuevo fármaco deben de investigarse para determinar el verdadero valor de P con un nivel de confianza del 95 %, en dicho hospital?

29 Muestreo Aleatorio Estratificado Realizar un muestreo en una población muy heterogénea utilizando un MAS requiere grandes esfuerzos para alcanzar cierto nivel de precisión. En algunas ocasiones, la característica de interés tiene comportamientos distintos (en promedio) con respecto a subgrupos poblacionales. Si esto ocurre, es posible mejorar la precisión de las estimaciones tomando muestras independientes en cada unos de los subgrupos (Estratos). Algunas variables típicas de estratificación son del tipo regional (municipio, departamento), demográfico (género o grupo de edad) y socioeconómico (grupo dei ingresos).

30 Muestreo Aleatorio Estratificado Algunas consideraciones del MAE Se supone que la variabilidad Entre los estrato es grande mientras que dentro de ellos existe poca variabilidad, en relación con la variable que se está estudiando. La definición de cada estrato no establece ambigüedades y las unidades de cada estrato se pueden listar La selección dentro de cada estrato se hace mediante un MAS.

31 Muestreo Aleatorio Estratificado Características Más eficiente para poblaciones heterogéneas. Al dividir una población heterogénea se busca que, el error cometido al muestrear estos estratos sea menor. El error total derivado de los estratos puede ser menor que si no se realiza la estratificación Las estimaciones basadas en la muestra estratificada, usualmente tienen mayor precisión (o menor error muestral) que si utilizamos un MAS con toda la población. Se debe disponer de una(s) característica(s) muy precisas o adecuadas para la división de la población en estratos altamente homogéneos.

32 Muestreo Aleatorio Estratificado Si la población se divide en L estratos y el parámetro a estimar es la media poblacional, entonces su estimación es: y su varianza es: X Es = 1 N L h=1 L X h N h = W h Xh h=1 V ( X Es ) = L Wh 2 V ( X h ) = h=1 L h=1 W 2 h (1 f h) S2 h n h Donde X h y Sh 2 son el promedio y la varianza de X en el estrato h.

33 Muestreo Aleatorio Estratificado El tamaño de muestra en el MAE se determina de la siguiente forma: n = L Wh 2 n S2 h n 0 /N n h=1 w 0 = h V 0 Donde W h = N h N, w h es un valor que depende de la forma de ( ) 2 asignación de n a cada estrato y V 0 = δ z es la varianza α/2 deseada. Si n 0 es menor al 5 % de la población, entonces n = n 0

34 Muestreo Aleatorio Estratificado Una entidad gubernamental está interesado en estimar, entre otras variables, la ganancia media de las empresas del sector industrial de una ciudad en el último año fiscal (N = 2396). Como se sabe que ganancias de las empresas puede tomar valores muy variables, la entidad decide dividir las empresas según su tamaño, como Pequeña (N 1 = 1576), Media (N 2 = 737) y Grande (N 3 = 83). Esta clasificación la realizan en base a información disponible de los impuestos declarados por cada empresa 1. Se quiere determinar la ganancia media de los ingresos con un nivel de confianza del 95 % y un margen de error de 20 unidades 1 Gutiérrez, H. A. (2009), Estrategias de muestreo: Diseño de encuestas y estimación de parámetros

35 Muestreo Aleatorio Estratificado Una entidad gubernamental está interesado en estimar, entre otras variables, la ganancia media de las empresas del sector industrial de una ciudad en el último año fiscal (N = 2396). Como se sabe que ganancias de las empresas puede tomar valores muy variables, la entidad decide dividir las empresas según su tamaño, como Pequeña (N 1 = 1576), Media (N 2 = 737) y Grande (N 3 = 83). Esta clasificación la realizan en base a información disponible de los impuestos declarados por cada empresa 1. Se quiere determinar la ganancia media de los ingresos con un nivel de confianza del 95 % y un margen de error de 20 unidades Luego de tomar una muestra piloto de compañias de cada tamaño se observó que: Tamaño n x S 2 Pequeña Mediana Grande Gutiérrez, H. A. (2009), Estrategias de muestreo: Diseño de encuestas y estimación de parámetros

36 Asignación de la muestra Una vez determinado el tamaño de la muestra n, se debe definir o asegurar la participación en dicha muestra de todos los estratos. Se de cumplir que n = L h=1 n h La forma de repartir la muestra n en cada estrato incide en la precisión del estimador, lo idea es que se escoja la repartición que de la menor varianza del estimador. Algunas de estas asignaciones son: Uniforme Proporcional De mínima varianza (Neyman) Óptima (depende de los costos de tomar una muestra)

37 Asignación de la muestra Asignación Uniforme: Consiste en asignar el mismo número de unidades muestrales a cada estrato. n h = n L h Da la misma importancia a todos los estratos, en cuanto al tamaño de la muestra. Favorece a los estratos de menor tamaño y perjudica a los grandes, en cuanto a precisión. En este caso: w h = 1 L

38 Asignación de la muestra Asignación Proporcional: se reparte la muestra final en entre los estratos de forma proporcional al tamaño de estos. n h = n N h N Estrato más grande muestra más grande, estrato más pequeño muestra más pequeña. la indicada cuando no tenemos información sobre la distribución de la característica en estudio. En este caso: w h = N h N

39 Asignación de la muestra Asignación de mínima varianza: se reparto la muestra de forma que para un tamaño fijo de n, la varianza sea mínima. Cuanto mayor sea la variabilidad de estrato, más elementos se seleccionan en la muestra de tal forma que la varianza global sea mínima. ( ) W h S h n h = n L h=1 W hs h Estrato más heterogéneos obtienen muestra más grande, estrato más homogéneos muestra más pequeña. la indicada cuando no la variabilidad de cada estrato es muy diferente. En este caso: w h = W h S h L h=1 W hs h

40 MAE para una proporción Si el parámetro a estimar es una proporción poblacional (P) entonces su estimador es: ˆp Es = 1 N L N h ˆp h = h=1 L W h ˆp h h=1 Donde L es el número de estratos y ˆp h es la proporción estimada en el estrato h. La varianza del estimador ˆp Es : Var(ˆp Es ) = 1 N 2 L h=1 N 2 h (N h n h ) N h 1 ( ) Ph (1 P h ) n h

41 MAE para una proporción El tamaño de muestra para estimar P por medio de un MAE se calcula como: ( ) L h=1 W 2 Nh P h (1 P h ) h N h 1 /w h n 0 = V 0 Donde W h = N h N, w h es un valor que depende de la forma de ( ) 2 asignación de n a cada estrato y V 0 = δ z es la varianza α/2 deseada. n = n 0 si n 0 N < 0,05 n 0 1+ n 0 N si n 0 N 0,05

42 MAE para una proporción Asignación Uniforme: Asignación Proporcional: n h = n L h w h = 1 L h n h = nw h Asignación Mínima varianza: w h = W h W h Nh P h (1 P h ) N h 1 n h = n L h=1 h W Nh P h (1 P h ) N h 1 w h = W h Nh P h (1 P h ) N h 1 L h=1 W h Nh P h (1 P h ) N h 1

43 Ejemplo El transporte urbano destinado al servicio público en una gran ciudad está compuesto por 3000 taxis y 2000 buses. La secretaría de Tránsito y Transporte de dicha ciudad desea estimar la proporción de vehículos de servicio público que son conducidos por sus dueños exclusivamente. Se cree que el porcentaje puede ser del 20 % para buses y del 40 % para taxis. Determine el número de buses y de taxis que se deben revisar para encontrar tal estimación con un nivel de confianza del 95 % y un margen de error máximo tolerable del 6

44 Muestreo Sistemático Una muestra sistemática es obtenida cuando los elementos son seleccionados en una manera ordenada, donde se suponen que el marco muestral está ordenado de una forma particular. En lugar de extraer n números aleatorios sólo se extrae uno, se parte de ese número aleatorio i, y los elementos que integran la muestra son los que ocupan los lugares i, i + k, i + 2k,..., i + (n 1)k, se toman individuos de k en k. Este método es frecuentemente utilizado por la facilidad que proporciona en lo que respeta a la selección de la muestra. Su aplicación requiere que la población tenga una secuencia ordenada para poder seleccionar la muestra a intervalos constantes. una muestra sistemática puede dar la misma precisión de estimación acerca de la población, que una muestra aleatoria simple cuando los elementos en la población están ordenados al azar.

45 Ejemplo Con el objetivo de medir el nivel de contaminación de metales pesados en un terreno de forma irregular aledaño a una empresa industrial la cual deposita en él sus desechos industriales, se ha levantado un plano del terreno y en el se ha construido una rejilla que permite dividirlo en 40 unidades muestrales de determinada área. Se selecciona una muestra de tamaño 8 de cinco en cinco partiendo de la unidad #3 y siguiendo la ruta estipulada. Finalmente las 8 muestras de lodo son enviadas al laboratorio para su respectivo análisis. k = N n El punto i que se emplea como punto de partida será un numero al azar entre 1 y k

46 Muestreo Sistemático Ventajas Extiende la muestra a toda la población. Recoge el posible efecto de estratificación debido al orden en que figuran las unidades de la población. Fácil aplicación. No es necesario un listado de toda la población Desventajas La posibilidad de aumento de la varianza si existe periodicidad en la población. No hay independencia en la selección de unidades en las distintas zonas, ya que las unidades extraídas en cada zona dependen de la seleccionada en la primera zona.

47 Muestreo por Conglomerados En un muestreo por conglomerados, la población se divide en unidades o grupos, que deben ser lo más representativas posibles de la población, es decir, cada grupo debe representar la heterogeneidad de la población objeto de estudio y ser entre sí homogéneos. Los conglomerados deben ser tan heterogéneos como la población, en relación a las variables estudiadas, y entre si homogéneos. Para obtener una muestra bastará con seleccionar aleatoriamente algunos conglomerados.

48 Muestreo por Conglomerados Procedimiento para seleccionar una muestra: Dividir la población en conglomerados no excesivamente grandes. Esta división se realiza habitualmente atendiendo a divisiones geográficas, administrativas, o de otro tipo. Considerar el conjunto de conglomerados como una nueva población, procediendo a la selección de m conglomerados mediante un MAS Se realizan las mediciones de la variable bajo estudio en todos los individuos de los conglomerados seleccionados El muestreo bietápico es un caso particular de muestreo por conglomerados en el que en la segunda etapa no se seleccionan todos los elementos del conglomerado, sino que se seleccionan un determinado número de elementos de cada conglomerado de manera aleatoria

49 Ejemplo En una fábrica de refrescos se desea medir el contenido promedio de líquido por botella, para mantener el estándar de calidad. El producto se empaca en canastilllas de 12 unidades cada una. Para tal propósito se toma una muestra aleatoria de 5 cajas de refrescos y se determina en cada una de las botellas de cada caja el contenido exacto de líquido

50 Muestreo por Conglomerados Ventajas Es eficiente cuando la población es muy grande y dispersa. Reduce costos. No es preciso tener un listado de toda la población sino de las unidades (conglomerados) por los que se agruparán. Desventajas El error es mayor que cuando se utilizan otras técnicas de muestreo, pero su valor práctico lo hace muy popular. Calculo del error de muestreo es complejo. Si los conglomerados no reproducen exactamente la variabilidad de la población, los errores al extrapolar los resultados de la investigación serán mayores.